TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 13, No. 1, Janua ry 201 5, pp. 91 ~ 1 0 0   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 13i1.688 9          91      Re cei v ed O c t ober 2 1 , 201 4; Revi se d Novem b e r  24, 2014; Accept ed De cem b e r  15, 2014   Optimal Disturbance Rejection Control of  Underactuated Autonomous Underwater in Vertical  Plane      Yang Qing 1 , Gao De-xin* 2   1 Colle ge of Info rmation Sci enc e and En gi neer ing, Ocean U n i v ersit y  of C h in a,   Qingd ao C h in a   2 Colle ge of Aut o matio n  an d El ectronic e ngi ne er,  Qingda o Un iversit y   of Scie nce & T e chnol og y,   Qingd ao C h in a    *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : qdga od e x in @12 6 .com       A b st r a ct  T o  reali z e t he  opti m a l  contro l  of under actuat ed aut ono mou s  underw a ter v ehicl e (AUV) in  vehicl e   pla ne w i th  exte rnal  distur banc es, a o p ti ma l d i sturba nce  r e je ction co ntrol l er  is pr opos ed  w i th resp ect to th e   qua dratic  perf o rmanc e in dex es. Firs tly, the depth c ontro l  mo de l of  u n d e ractuate d  AU V system  and  th e   w a ve mo del  is  propos ed; T h en bas ed o n  the the o ry of  the qua dratic o p t i mal co ntrol a n d  stabil i ty degr ee   constrai nt, a f eedforw a rd  a n d  fee d b a ck o p t ima l   distur b a n c e re jectio n c ontrol  law  w i th  a  hig her   mea n - squar e co nver genc e rate  is d e rive d fro m  the  Riccati  eq uati on a nd th e Syl v ester eq uati o n, w h ich ca n re jec t   the d i sturba nc e i n flue nce  to  AUV. F i na lly, t he c ontrol l er   is  ap pli ed t o  the  div e  p l an e c o ntrol  of AUV w i th  w a ve force disturba nces, an d the results de mo nstrat e  the effectiveness a nd  rob u stness  of the controll e r .    Ke y w ords :    un deractu ated A U V Systems, o p timal co ntrol, disturb ances, s t ability d egre e     Copy right  ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion   Autonomo u s Und e rwate r  Vehicle s  (AUV)  have  been  an a r ea  of a c tive re se arch for the   last few decades since t hese v ehicl es have vari ous applications  in military ,  commerci a l  an d   sci entific mi ssion s . The  d epth-kee p ing  contro l for  AUV system s is  a co mm on an d impo rtant  navigation  co ntrol problem,  whic h ca n test stability of AUV, underwater depth a n d variable d e p th   perfo rman ce.  The r e  are m any go od  me thods to  solv e this p r oble m , su ch  a s  P I D an d im pro v ed  PID method [ 1 ], sliding m o de control [2 -3], adaptiv e  control [4], predictive  Cont rol [5], optim a l   control [6-7] and ba ckste pping  cont rol  [8], etc. In   vertical pl ane  motion, the  AUV syste m  is  inevitably infl uen ced  by  wi nd, wave, flo w  a nd  othe r compl e x  envi r onm ental disturban ce   force.  Wave fo rce i s  o n e  of  the  main  distu r b ances,  whi c h  is treated a s  a disturban ce for AUV, and   modele d   by the exo s yste m. The  motio n  situ ation  of  AUV i s   more compl e x u nder  wave fo rce   disturban ce s,  but al so  whi c h  can  affect  its moti on  control  accu ra cy, even ma ke the  control  of  unsta ble. If control failu re, AUV will so o n  surfa c e  o r   depth in cre a ses sharpl y, so the disturba nce   reje ction  prob lems  of AUV s  have im po rta n t sig n if ica n ce in th eory  an d practi ce. A nother for AUV  control, the converg e n c e  speed of  syste m s state s  i s   also  an imp o r tant  facto r   which can not be   ignored, be cause of the  faster d e cay, the better stability, so that  we draw i n to the stabil i ty  degree in de sign of the control la w for AUV sy stem s, based on  the linear q u adrati c  optim al  control theo ry.  In this pape r, a optimal disturb a n c e  reje ctio n co ntrol with a  higher me a n -squa re  conve r ge nce rate is propo sed for und era c tuated  AUV  with re spe c t to the quad rat i c perfo rma n ce  indexe s . First l y, we introd uce a mo del  of under a c t uated AUV system in vertical plan e, then   based  on th e theo ry of  linear qu ad ratic o p tima l control  a nd stability  de gree con s trai nt,  a   feedforwa rd and feedb ack optimal di sturba nce reje ction controll er  with a hig her me an-sq ua re   conve r ge nce  rate  is de riv ed from th e  Riccati  equ ation a nd th e  Sylvester e q uation,  whi c h  is  robu st for the  disturb a n c e i n fluen ce to AUV.   The org ani za tion of the paper is a s  follo ws. Sectio n 2 presents the  AUV model and the  wave force  d i sturb a n c e s   model. Th e  optimal di st u r ban ce  rej e ct ion control l a w is  derive d  in   Section s  3. Then sim u latio n  results a r e  pre s ente d  in Section 4.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 1, Janua ry 2015 :  91 – 1 0 0   92 2.   Under actu a ted  AUV Sy stems an d Disturba nce  Model   2.1. Depth Control Mod e l and Linearization   A  sch ematic  of the  AUV model with its body-f ixed co ordin a te syst em is sho w n  in Figure  1, which is a compl e x non-linear sy stem , and has  stro ng cou p ling b e twee n state variable s , it’ s  a  very dif f icult  probl em to desig n an optimal c ontrol law for  AUV kinem atics system, so the  kinem atics model of  AUV  is transfo rme d  into  a simple one from  the six degrees of freed om  model p r op o s ed by Fo ssen, and then  the novel  model ha s fou r  degree s of freed om, and  four  indep ende nt input variabl e s . In orde r to facilitat e the analysi s  and  synthesi s  of control sy ste m ,  the cou p ling  ef fect betwe e n  the roll su rface mo ve me nt and two ca se of plane  motion is u s u a lly  ignored, then  the vehicle motion is divided into  hori z ontal and vertical moveme nt. In  this paper ,  we con s id er the  vertical  movement, and assumi ng that the  axial veloci ty is constant,  all  transve rse pa ramete r is ze ro, and only a  AUV tail  rudder p r op elle r ,  so the  AUV  system has  only  one control i nput  s , and there a r e two  degre e s of  freedo m of motion.  The  kinem atic an d   dynamic e q u a tions [9]  can b e  expre s sed  as follo ws:         Figure 1. AUV model       2 2 0 2 00 [] () c o s [( ) ] () c o s ) s i n co s s i n GG q w u q uw uu s ww q q yy G G q w uq uw ww q q GB G B u u s mw u q x q z q Z q Z w Z u q Zu w Z w w Z q q W B u Z Iq m x u q w z w q M q M w Mu q M u w M w w M q q xW x B z W z B u M zw u q             （                              (1)    Whe r e   is th e pitch angl e ,   w is the heav e velocity ,  s  is the cont rol  fin angle,  yy I  is the   moment of inertia of the  vehicl e about the pitch axis,  u is  the forward veloc i ty ,  W  denote s  th e   vehicle’ s wei ght and  0 B  is th e vehicle buo yancy .   The p h ys ical meani ng of other param eters in  referen c e [10], the nonlinear sy stem  (1) is  not convenie n t to control syst em analysi s  and  synthe sis, so  the model is  linea rzed b a se d on the small pe rturb a tion method . Suppose th e   referen c e mo tion as the axial direct motion, not bow to the motion  and roll motio n , and seco n d   orde r coef fici ent is relatively  small, wh ich  can b e  n egle c ted,  ( , , )(, , ) 0 GG G B B B xy z x y z  ,  then the linea r equatio n group is avail a b l e, as follow:     2 2 00 0 0 00 0 0 () 00 1 0 0 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 wq u w u q uu wy y q u w u q uu s mZ Z w Z Z w Zu MI M q M M u q Mu t zu z                            (2)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Distu r ban ce  Reje ction Control  o f  Underactu ated Autonom o u s…  (Yang Q i ng)  93 2.2. Disturb a nces Mod e l of Wav e  Force   The extern al disturban ce s  for  AUV’ s  are  compl e x, and wave force  is one of th e main   disturban ce s.  In ord e r to  st udy  co nvenie n tly ,  the irreg u lar lo ng  storm wave s i s  si mplified a s  p o int  long cre s ted  wave s, as foll ow:      11 () () c o s ll jj j jj tt L                                                                                             (3)    Whe r e,  l  is the numb e r of  comp one nt wave,  2( ) jj j LS ,  j jj t   ,  j  i s   a   rand om vari a b le, by wave  theory,  it is uniform  dist ribution  between  0 - 2 ,  j   is the  j   comp one nt wave freque ncy,  () S is the Ocea n wave spe c trum de nsity functio n .   We  co nst r u c t a  system  mo del to  de scrib e  the  irregul a r   wave fo rces for th e A U V  in two - dimen s ion a l hori z ontal pl a ne.  Define   cos ( ) jj j vL  is th e ho ri zontal   velocity of  water  parti cle   orbital  motion . Let  1 () T l vt v v ,  is the  j v  frequ ency. By  2 jj j vv   ,  1 , 2 , ..., j l , we have:    vv                                                          (4)    Whe r e  22 2 12 dia g { , , ..., } l   .  Define  () () , ( ) T TT w t vt vt   , then:     0 () () () 0 () 0 ( ) I wt wt G w t vt I w t                                                                                      (5)    Wwhere  I  is  the  l dimen s ion a l  unit matrix,  and  0  is  the  l  dimensi onal  ze ro matrix.   Acco rdi ng to  the li nea r  wave th eo ry, the  re sulta n t force fo r the A U V  system i s   1 () ( ) () l jj j j Ft T v t , where  () j j T  is the st re ss  co efficient, whi c h i s  dete r mi ned by th e   freque ncy of the co rrespon ding wave.     1 1 ( ) () () ( ) () () 0 ( ) () l l Ft T T v t TT I w t Hw t                                                                                      (6)    So the effect on AUV of the total wave distur ban ce  can be de scrib ed by the followin g  system :    () ( ) () () wt G w t F tH w t                                                                                                       (7)    AUV in the proce s s of operation, the wa ve di sturb a n c e can b e  dire ctly put into the AUV  dynamics mo de l as extern al distur bing f o rce, so  we h a ve the vertical motion mo del for co nsta nt  spe ed AUV system, as foll ow:     () () () () s x tA x t B t F t                                                                                  (8)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 1, Janua ry 2015 :  91 – 1 0 0   94 Whe r e,     1 00 0 0 00 0 0 , 00 1 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 0 w q uw uq wy y q u w u q wm Z Z Z Z qM I M M M u xA zu            , 1 2 2 00 00 00 1 0 0 00 0 1 0 wq uu wy y q uu mZ Z Z u MI M M u B                 3. Design Op timal Contr o ller  3.1. Design  of the  Con t r o l La w   In AUV  operation, the  state of  the sy stem converges  faster,  it s stability is better. In order  to enhan ce th e stability of AUV, we ca n cho o se the following  quad ratic perfo rma n ce in dex:    2 0 1 [( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 tT T ss J ex t Q x t t R t d t                                                                        (9)    W h er e  Q  and   R  re sp ectively  is  semi -defini t e and  p o sitiv e -definite  ma trix.  0  is a   k now n  scalar fun c tio n . The  optim al control  pro b le m i s  to  se arch the  opti m al control la w  * () s t , which  make s the va lue of perfo rmance index  (12 )  minimum .   Theorem 1 :   Con s id er the  LQR p r o b le m of the syst em (8 ) with t he pe rform a n c e ind e x  (9), the optim al control LQ R is existe nt and uni que, a nd its form a s  follows:     *1 1 () [ ( ) ( ) ] ˆ [( ) ( ) ] T sw T w tR B P x t P w t RB P x t P w t                                                                     (10)    Whe r e  P  is the unique  soluti on the  Riccati  matrix equation.     () ( ) 0 T AI P P A I P S P Q                                                          (11)    v P  is the uniqu e  solution of th e matrix differential equ atio n.     [( ) ] ( ) T ww A IP S P P I G P H                                                           (12)    Whe r e  1 T SB R B .  Proof:       Orde r   () ( ) () () () () t t s t x te x t ut e t wt e w t                                                                                                  (13)    Takin g  (1 3) to (8) a nd (9 ),  after s i mplification we get:   0 () () () () (0 ) x tA x t B u t H w t xx                                                                          (14)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Distu r ban ce  Reje ction Control  o f  Underactu ated Autonom o u s…  (Yang Q i ng)  95 Whe r e  () A AI  .   And the new  perfo rman ce i ndex as follo ws:     0 1 [( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 J xt Q x t u t R u t d t                                                             (15)    Acco rdi ng to   Pontryagin  m a ximum p r in ciple, the  opt i m al control p r oblem  of sy stem (14) with  the   quadratic perf ormance index (18)  leads t he followi ng  TPBV problems:       0 ( ) () () ( ) () () ( ) (0 ) , ( ) 0 T tQ x t A t x tA x t S t H w t xx                                                                           (16)    And the optimal cont rol la w ca n be exp r esse d as:     1 () () T ut R B t                                                                                        (17)    In order to s o lve the TPBV  problems  (17), let:    () () () w tP x t P w t                                                                               (18)    Whe r e  , w PP  are  pendi ng m a trixes, de rivate  two  side s  of (21 ) , an d  su bstituting the  se co nd  type of (16), we get:       () () ( ) { ( ) [ () () ] () } [ () () ] () () () ( ) () () ( ) () ( ) () w w tt w t w tt ww w w tP x t P w t P A xt SP xt P w t H w t P ew t G ew t PA P S P x t P S P e w t PH e w t P P G e w t PA P S P x t P S P w t PH w t P I G w t                                                                (19)    By adding (1 9) into the first expression  of (16), it follows:     () ( ) [( ) ( ) ] ( ) 0 T T ww AP P A P S P Q x t AP S P P I G P H w t                                                    (20)    Becau s e  of  selectin g eithe r   () x t ,  () wt  and, e q u a tion (20 )  is  all hold,  so   we  ca n get  matrix  differential eq uation s  of  P ,  w P .So we can get  ) ( t , then from (1 8):     1 () [ ( ) ( ) ] T w ut R B P x t P w t                                                                  (21)    Referen c e to (7) a nd (1 3), the feedforwa rd-feed ba ck o p timal disturb ance reje ctio n control law  of  system (8)  ca n be uniq ue confirme d.    * 1 1 () () * { [ ( ) ( )]} = [ () () ] t s tT t t w T w te u t eR B P e x t P e w t RB P x t P w t                                                  (22)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 1, Janua ry 2015 :  91 – 1 0 0   96 Theo rem 1 is  proved.   Notic e  1.  Co mpared  with the cla s sical feedba ck opt i m al co ntrol l a w, the fee d forward- feedba ck opti m al distu r ba nce  reje ction  control la w  (22 )  ha s the  feed-fo rward  items. So for a  system with  a disturban ce  its c ontrol p e rform a n c e i s  clea rly sup e rio r  to the classical feedb ack  optimal co ntrol law.   Lemma 1  If  (, ) A B is co mpletely controllabl e, then  (, ) A B is compl e tely controll able    Proof.  If  (, ) A B is completely cont rollabl e, so:     1 [, , , ] n ra nk B A B A B n                                                                   (23)    Let,    () ( ) KK K K A AI A f A                                                                       (24)    Whe r e,  () K f A  is Low-level  sub - K expressio n , so :    21 21 21 21 ,, , , ,, ( ) , , ( ) ,, , , n n n n r a n k BA BA B A B r a n k B A B B AB f A B A B f AB r a n k BA BA B A B n                           (25)    The proof is complete. Similarl y the observability can prove.     3.2. Design  of the  Distu r bance s  Obs e rv er    In fac t,  ) ( t w  in (22) i s  un kn o w n for it i s   the  state ve ctor of exo system (2 ). T h e   feedforwa rd  control term i n  (2 2) i s  p h ysically  unreal izabl e in the   pra c tical  engi neeri ng. In th is  se ction, we in trodu ce a di sturba nce ob se rver to ma ke i t  realiza b le.   Suppo se th a t  exosystem  (2 ) is ob servabl e  com p letely. Con s tru c t a  dist urba nce  observe r as f o llows:     00 ˆ ˆˆ () () [ ( ) ( ) ] ˆˆ () w t Gw t K F t Hw t wt w                                                                       (26)    Whe r e  ) ( ˆ t w  is the  output ve cto r  of  (26 ) ,  K  is t he o b serve r   matrix of a p p r op riate  dime nsio ns.  And the obse r ver erro r is d enoted a s :     ) ( ˆ ) ( ) ( ~ t w t w t w                                                                                            (27)    Then we hav e:    ) ( ~ ) ( ) ( ~ t w KH G t w                                                                                 (28)    Bec a us e  ) , ( H G is obse r vable, ei genvalu e s of   KH G  can be cho s en to ma ke the   observe r e r ror ve ctor  ) ( ~ t w  conve r ge s t o  ze ro  at a n  app ointed  spe ed  of expone ntial   attenuation, that is:    0 l i m ( )l i m e x p ( ( ) ) ( )0 tt wt G K H t w t                                                             (29)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Distu r ban ce  Reje ction Control  o f  Underactu ated Autonom o u s…  (Yang Q i ng)  97 So the phy si cally realization  of the  co ntrol la w (22 )  can b e  gu arante ed  and  (22 )  i s   rewritten as  follows :     *1 ˆ () [ ( ) ( ) ] T sw tR B P x t P w t                                                              (30)      4.  Simulatio n  Example  The hyd r ody namic  co efficients of a fo reign typical AUV to the n o minal m odel  [10] as  follows :    - 1 . 040 0. 865 - 0 . 020 0 - 0. 072 6. 000 - 0 . 681 0. 708 0 - 0. 722 () 01 0 0 0 10 2 0 0 s ww qq t zz                                                      (31)    The initial  state of AUV is  0 050 T , taking the  axial velocity 2 m /s, and the  para m eters o f   wave force  disturban ce s as follows,  12 3 4 () 1 . 1 , () 0 . 8 , () 1 . 3 , () 1 . 5 TT T T   , The   para m eters o f  the quadrati c  perfo rma n ce index ,1 QI R , 0.5 .  (1) Sele ct      01 10 G    , (0 ) 1 0 T w     The  wave f o rce di sturb ances  are sinusoidal  sig nal. Using   LQR  co ntroll er a nd o p timal  disturban ce rejectio n  contro ller  (O DRC), and the  sim u lati on  comp arative curve s  of  () , ( ) x tu t ,  as  follows :           Figure 2. State vector 1 () x t   Figure 3. State vector 2 () x t       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 1, Janua ry 2015 :  91 – 1 0 0   98       Figure 4. State vector 3 () x t   Figure 5. State vector 4 () x t         Figure 6. Con t rol vector  () ut       (2) Sele ct      -0 .2 2 . 3 2. 1 0 . 4 G     , (0 ) 1 0 T w     The wave fo rce di sturban ce s are the  conv e r ge nt signal, Usi ng  LQR  controll er and   optimal di stu r ban ce  rej e ct ion  controller (O DRC) , an d the  simul a tion compa r a t ive curve s   of  () , ( ) x tu t , as  follows :          Figure 7. State vector 1 () x t   Figure 8. State vector 2 () x t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Distu r ban ce  Reje ction Control  o f  Underactu ated Autonom o u s…  (Yang Q i ng)  99       Figure 9. State vector 3 () x t   Figure 10. State vector 4 () x t         Figure 11. Co ntrol vecto r   () ut       From th e si mulation  cu rves, it ca n b e  se en that  the presente d   optimal disturban ce   reje ction  co n t roller i s   effective, and it  is mo re   rob u st abo ut exte rnal  distu r ba nce s  tha n  L Q R  controlle r.      5. Conclusio n   This pap er concentrate s on  u nde ra ctu a ted  AU V  sy stem s contro l pro b lem i n   vertical  plane affe cte d  by the wa ve force di st urba nc es, a n d  based on t he qua drati c  optimal co ntrol  theory a nd  st ability deg ree  co nstraint, the o p timal di sturb a n c e  rej e ction  control l er  with a  hig h e r   mean -squa re  conve r ge nce  rate i s  de rive d from  the  Ri ccati equ atio n and th e Sylvester  equati on,  and  we  intro d u ce  a  distu r b ance o b serve r  to m a ke  it realizable.  Si mulation  re su lts sho w  that  the  desi gne d co ntrol la w ha s a good  con v ergen ce  effect and  effectively supp ress the exte rnal  disturban ce s.       Ackn o w l e dg ements   This work wa s su ppo rted i n  part by the Nation al Natu ral Scie nce Found ation of Chin a (6 0804 005 ),  and by the Nat u ral Sci e n c e  Found ati on of  Shandon g Province (ZR20 11FQ0 06 ),  b y   the Natural Scien c e Fo und ation of  Qing dao City(1 2-1 - 4-3-(17 )-j ch )      Referen ces   [1]  Xi ao JP. T he researc h  for AUV deep-s e t and  pitch control.  Dali an: Da lia n Mariti me Un ive r sity . 2009.   [2]  Bian  XQ, C h e ng  XQn, Ji a H M , etal. A b o ttom foll o w i ng c ontrol l er for  un deractu ated A U V bas ed  o n   iterative sl idi n g  and incr ement  feedback.  C o n t rol and D e cisi on . 201 1; 26(2) : 289–2 93.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 1, Janua ry 2015 :  91 – 1 0 0   100 [3]  BESSA WM, D U T R A MS, KR EUZER E. Depth control of  remotely  operated under w a t e r vehicles usi ng  an ad aptiv e fuzz y  sli d in g mod e  control l er.  Ro bust and A u ton o mous Syste m s . 2008; 56( 8): 670 –6 77.   [4]  Z hang LJ, Qi X, Z hao JM, Pang YJ. Dept h-kee p in g cont rol for auton o m ous un der w a ter vehicle i n   vertical pl an e u s ing a daptiv e  o u tput feed back  controll er.  Co ntrol T heory &  Appl icatio ns . 2 012; 29( 10):  137 1-13 76.   [5]  Du L, Yan W S , Gao J, Chen  YH. Model ing  and mo del  pr edictiv e contro l  of AUV lon g it udi nal m o tion   und er w a ve  dis t urbanc es.  Jou r nal of Syste m  Simulati on . 20 12; 24(6): 1 180 -118 4   [6]  Xi ao JP. T he researc h  for AUV deep-s e t and  pitch control.   Dali an: Da lia n Mariti me Un ive r sity , 2009.   [7]  Moreira  L, S o ares CG.  H2  an d H ∞  d e si gns for  div i n g  an d co urse   control  of a n   Autonom ous   und er w a ter ve hicle i n  pres en ce of  w a ves.  Journ a l of oce a n ic en gin eer ing . 2008; 33( 2): 69-88.    [8]  Lin Y-Yi. Study  of ship course  nonlinear  control  bas ed backstepping.  Dali an: Dal i an Mariti me  Univers i ty,  200 7.  [9]  Mugd ha S  Nai l , Sah  jen d ra  N Sin gh. Stat e-de pen de nt R i ccati e q u a tion - base d  ro bust  drive  pl a n e   control of AUV  w i t h  contro l co nstraints.  Ocea n Engi ne erin g . 200 7; 34: 171 1 -  1723.   [10]  Prestero T .  Verificati on  of a  si x-de gre e  of  freed om simu latio n  mo del  for the  REMU S auto nomo u s   und er w a ter ve hicles.  USA: M I T , 2001.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.