Indonesi an  Journa l  of El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   23 ,  No.   1 ,   Ju ly   2021 , p p.  590 ~ 599   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v 23 .i 1 . pp 590 - 599          590       Journ al h om e page :  http: // ij eecs.i aesc or e.c om   Numeri cal  Soluti on  of D rin feld - So kolov - W ilso   s yste m  by  usi ng   modified  adomi an  decom position  method       Badr an   J as im  S alim 1 , Od ay  A hmed   Jasim 2 ,    Ze i ad  Y ahy a  A li 3   1,2 Univer sit y   of   Mos ul,   Coll eg e of  Basic E du ca t i on,   Dep art m ent  of  Mathe m atics,   Mos ul,   Ira q   3 Univer sit y   of   Mos ul,   Col le ge   of ph y sic al e duc ati on  and  sport   sci e nce s,  Mos ul ,   Ir a q       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   Ma r   17 , 202 0   Re vised  Ma y   14 , 2 02 1   Accepte d  Ma y   1 9 ,  2021       In  thi s  pap er,   the  m odifi ed  a dom i an  dec om positi o n  m et hod  (MA D M)  is  used   to  solve  diff erent  t y pes  of  dif fer ential   equati ons,  one  of  th e  num eri c a l   ana l y sis  m et hods  for  solving  nonli nea r  par ti al   d iff ere n ti a l   equa ti ons   (Drinfe ld - Sokol ov - W il son  s y ste m )  and  short  (DS W S)  tha t  occ u r  in  shall ow   wate r  f lows.     A  Gene tic  Algori th m   was  used  to  fi nd  the  opti m al  v al ue   for  th e   par amete r   (a) .   W e  num eri call y   solved  th e  s y s tem   (DSWS )  and  compare d  t h e   result   to  th e  ex a ct   soluti on .     W hen  the   v al ue  of  t   is  low  and  cl ose   to  ze ro ,   the  MA DM   provide s a n  exc e ll en t  ap proximati on  to  t he  exact   solut ion .   As   well   as   the   lower   v al u e  of   c  leads  t o  the   num eri c a l  al gori thm  of  (MA DM)   appr oac h ing  th e   rea l   soluti on .   Final l y ,   found  the  opti m al   v al ue  when  a= - 10  b y   using   the  g ene t ic   al gori th m  (G - MA DM ).   All  the  comput at ions  wer e  ca rri ed  out  wi th  the   a id  of  Mapl e   18  and  Matlab  t o  find  the   p ara m et er  v al u e  (a)   b y   using  th e  gene t ic   al gori th m   as  well   as  to   f igure s   dra wing .     The   err ors  in  thi s   paper   r esult ed   from   cut e r rors a nd  m ea n   square   err ors.     Keywor ds:   Modifie d  adomian  dec om positi on  m et hod   No nlinear  par ti a l  diff eren ti al   equ at ion s   No nlinear  Syst em   Dr infeld - So ko lov - W il so   Gen et ic  algo rithm     This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Od ay   A hm ed  Jasim ,    Dep a rtm ent o f M at hem a ti cs,   Un i ver sit y   o f   Mosu l,   Al - Ma j m oo a  A l - thq a fiy aa   Ro ad ,  M osul , Ira q.   Em a il :  od ay al no am y@uo m os ul.edu.i q     1.   INTROD U CTION   Nonlinea r  par t ia l  diff ere ntial   equ at io ns   ( N PD Es )  are  use d  to  desc ribe  m any  sci ences,  includi ng  ph ysi cs,  m at hem at ic s,  eng ine erin g,   a nd   c he m ist ry,  and   are   so lve d  by  us i ng   a  num ber   of  num erical   m et hods .   Geor ge  A dom ia n  disc overe d  an d  dev el op e d  the   m et ho d  so - cal le d  a  de com po sit ion   m et ho d  f or   s ol vin g  a   diff e re ntial   eq uation,  i nteg ro - dif fer e ntial ,  diff e ren ti al - delay ,  and   pa rtia l  diff ere ntial   equ a ti on s.  T he  so lu ti on   is   fou nd   as  a n  i nf i nite  sequen ce  that  co nv e r ges  ra pid ly   to   accurate  s olut ion s.  N on li ne a r  pa rtia l  diff e ren ti al   equ at io ns   ( NPDEs)   are  t he  be st  way  to  des cribe  m os t  of  the  e ng i neer i ng,  m at he m a ti cal,   an d  sci e nces  issues   al ike,  it   descr i bes   the  proces ses  of   heat  tra ns fe r,   fl uid   fl ow,  wa ve  m otion ,  el ect ronic  ci rcu it s  as  well   as  their  us e i n  the  pr ob lem s o f  str uctu ral str uctur e s a nd the m at hem at ic al  d escripti on of c hem ic al  reacti ons  [ 1,   2].     I n  this  pa per,  consi der a  nonl inear syste m  ( DSW), i n t he n or m al iz ed  for m   [3] :      − 3 = 0 ,       − 3  − ( + ) = 0 ,                                                                                                       ( 1)     The param et er ( a) is  no nzero,  ( , ) , ( , )   is   de pe nd e nt  va riables,  but  x,   t i nd e pende nt  var ia bles.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Num eri c al s olut ion   of Dri nfeld - Sokol ov - Wi ls o  syste m by  us i ng …   ( B adran  Jasim  Sali m)     591   In   t he  19 80’s  Adom ia n  discu ssed  a n ew  m eth od  that pro vide s  an  ef fici ent m eans  for  the an al yt ic   and  nu m erical   so lu ti on   of   dif fer e ntial   equ at io ns,  an d  by  ap plica ti on   m ade  to  t he  Duff i ng   eq uation  f ound  a n  er r or   a m ou nt  of  0.0001 [ 4].     A  ge netic   al go rithm   (G A )   is   a  m et ho d   of  optim iz at ion   an d  researc h.  F rom   a  Dar wi nian   pe rs pecti ve,  this  m e tho d  ca n  be   cl assifi ed   as  one  of   t he   ev olu ti onary  al gorithm s  that  dep e nd  on  i m it a ti ng   the  w ork  of   natu re.   J ohn  Ho ll an d  int rod uced   ge netic   al gorithm s  in  19 60  based   on  the  co ncep t  of  Darwin ’s  the or y  of   evo l ution,  a nd  his  stu de nt  D avid  E .  Go l dberg   f ur the r  e xtend e d  G A  in  1989.  T he  ge ne ti c  al go rithm   us es  a   search  te c hn i que  to  fin d  prec ise   or   ap pro xim at e  op tim iz a t ion   s olu ti ons.  Gen et ic   al gorithm s  are  cl assif ie d  as   Global   search   heu ris ti cs.  G eneti c  al go rith m s   are  con sid ered   as  one  of  the  m os t  i mp ort ant  te ch niq ue s  i n  searchi ng   for  the  optim al   cho ic e  fr om   a  se t  of   av ai la ble  sol ution s  f or  a  spe ci fic  design,  and   m os t  resear cher s   us e  them   to  fi nd  the  best  s olu ti on.   [ 5].  T he refor e ,  t  will   be   us e d  to   fin d  the  best  D rinfel d - S okol ov - W il s on   syst e m .     The  present  pa per  ai m s  at   a naly z ing   the  m od ifie d  dec om po sit ion   m eth od  (MA DM) ,   so l ving   th e   nonlinea r  par ti al   dif fer e ntial   syst e m   (D S W) ,   m on it or ing   the  le vel  of  m et hod  acc ur acy   in  the   so l utio n  an d  fin din g   the  op t i m u m   so luti on  by  ( G_ M ADM ).   D rin feld - S okolov - W il son   equ at io n  us e d  by  m any  research e rs   su c h  that;   it   use d  t he  F - e xp a ns io n  m et ho d  and  ob ta ine d  s om e  new   e xac t  so luti ons   f or  the  cl assic   Dr i nf el d - Soko l ov - W il s on  e qu at io n  [ 6].  A ppli ed  t he  Ho m oto py  a na ly si s  m et ho d  ( HA M )  to   obta in  the  ap pro xim at e   so luti ons  of  C oupled   D rin feld' s - Sok olov - W il so n  (DS W)   S yst e m   and   f ou nd  the  c onve r ge nce  reg i on  an d  the   resu lt   was  c ompare d wit h  t he e xact s olu ti ons  [7].   Ma ny  resea rchers  hav e   use d  the  A DM  m eth od  t o  s olv e   the  fo ll owin g ;  so m e  m od el s  of   no nlinea r   par ti al   dif fer e ntial   equ at io ns  [8 ] ,  f or   li ne ar  f racti on al   differe ntial   equ at io ns   [ 9],  nonlinea r  W a ve - li ke   equ at io ns   with   a  va riable  c oeffici ent  [ 10] ,  no nlinear  i ntegro - dif fer e ntial   equ at io ns   [ 11 ] ,  a nd  li nea r  a nd   nonlinea r  bounda r y  value   pro blem s  with  Neu m ann  bo unda ry  c onditi ons  [12],  B urg ess  eq uatio n  with  a   nonlinea r  sour ce  [13],  a  cl ass  of   high  orde r  nonlinea r  pa rtia l  diff e ren ti al   syst e m s  (Mikhailov - N ov i kov - Wa ng   and sixt h - order C ouple d  Ra m ani Syst em s)  [1 4].   So m e  researchers  disc o ve re d  a  powerfu l  m od i ficat ion   of  the  A do m ia n  deco m po sit io n  m et ho d  that  will   acce le rate  the  ra pid   c on ve rg e nce  of   the  series  so l ution   [15],  a  ne w  m e thod  cal le d  the   two - ste p  Ado m ia n  deco m po sit io n  m e tho d  (T SADM)   t hat  will   i m pr ove  cal c ulati on s   [ 16 ] ,  and  a  new  Mod i ficat ion   A dom ia n  Deco m po sit io n  Me thod  f or  Nonlinea r  I nte gr al   E quat ion s .   [ 17 ] .  H ow e ve r,   s om e  research e rs  hav e   use d  the   MADM  m et ho d  t o  so l ve  the  f ollow i ng   issues:    par ti a l  diff ere ntial   equ at io ns   (Burge rs  eq uatio n)  [ 18 ] ,   gen e rali zed  fif th - order  K or te weg - d e  Vr ie s  ( GFKdV)   eq uat ion   [ 19 ] ,  f or  fi nd i ng  exa ct   sol ution s   of  nonl inear   integral e quat ion s  [1 7 ] , d im ensio nal (2+ 1) fo r  no nlinear  syst e m   W u - Z ha ng [2 0 ] .    The  c om par ison  with   the   MADM  m et ho d  is  as   f ollow s:   W az waz   com par iso n  betwee n  t he   Var ia ti onal   it erati on   m et ho d  and   t he  a do m i an  dec om po sit ion   m et ho d  [21 ] .  Ra ne n  com par es  t he  hom otopy   per t urbati on  m et hod  to   A D M;   sh e  s olv e s   so m e  exam pl es  an d  il lustra te s   the  ef fici ency  of  t he   ho m oto py  per t urbati on  m et hod   [22 ] .  Al - Am r  com par e s  A dom ia n’ s  deco m po sit io n  m et ho d  a nd  V ariat io nal  it erati on  m et ho d  of  a  Re act ion - Diffu sion   Syst em   w it h  fast  rev e rsible  reacti on   [2 3 ] .  Qa sim   app li ed  ( A D M)  for   nonlinea r  Wu   Zha ng   syst em   and   com par e d  the  so luti on   with  MVIM,   HP M,  an d  RDTM  [20].  Firooz j ae   com par es  the  ado m ia n  deco m po sit io n  m et ho d  an d  di ff e ren t ia l  qu ad ratu re  m et ho d  f or  so l ving  so m e  nonl inear  par ti al  d i ff e rent ia l equ at io ns   [ 24 ] .       The  organ iz at i on   of  this  pap e r  is  as  f ollo ws:  sect ion   one   pr ov i de s   a  histori cal   br ie f  a nd   i ntr oductio n  for  M AD M  a nd  AD M .  Sect i on  two   e xpla in s   the  m at hem a t ic a l  m et ho d  of   the  MA DM.   S ect ion   t hr ee   di sp la ys   the  ap plica ti on  and  so l ution  to  the  Dr i nf el d - Sok olov - Wils o  syst em   so lves  by  MA DM.   W hile  sect io n  four   fin d s   ou t  t he  N um erical   So luti on   f or   D rinfel d - S okol ov - W il so   syst em   by  MADM.   S ect ion   fi vein vestig at es   th e   op ti m u m   so luti on   by  ( G_ M AD M ).   Sect io n  six   re pr ese nt s  the   Re su lt s  and   discuss i on s  of   the  so l ution   by  MADM,  a nd   i t  is  m or e  accurate  an d  faster  than  oth e r  com m on ly   us ed  te ch no l og ie s .  Finall y,  c onc lusio n  rem ark s ar e  gi ven in  sect ion  seve n .       2.   MA T HEM AT ICA L  O F  MA DM:   Con si der the s yst e m  w ritt en  in a n op e rato r f or m  as:   1 ( )   +   1 ( )   +   1 ( ) =   1   ( )   2 ( ) +   2 ( , )   +   2 ( , )   =   2   ( )                                                                                                (2)                    Wh e re  1 , 2   are   in ve rtible   li near  operat or s ,  1 , 2   are   nonlinea r  operat or s   an d  1 , 2     li nea r  par t,   f ro m   ( 2 ) ,  getti ng :    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  590   -   599     592     1 ( )   =   1   ( ) −   1 ( )   −   1 ( )   2 ( ) =   2   ( ) −   2 ( , )   −   2 ( , )                                                                                                       ( 3)     Using t he  init ia l condit io ns  a nd Ap plied the   − 1   of  ( 3 ) ,  g et :     ( , ) =   1 ( ) −   1 − 1   1 ( ) −   1 − 1   1 ( )   ( , ) =   2 ( ) − 2 − 1   2 ( , ) −   2 − 1   2 ( , )                                                                                       ( 4)                      Wh e re  − 1   the  in ve rse  ope rato r,   1 ( ) , 2 ( )   represe nts  the  t erm s  hav in g  f r om   integrati ng  the  rem ai nin g  t e r m   1   ( ) . 2   ( ) . ADM ass um e s a se ries the  ( , ) , ( , )    can  be  e xpress ed by [ 2 5 ]:     1 ( ) = ∑ ( , 1 , … . , ) ∞ = 0     2 ( , ) = ∑ ( , 1 , … . , , , 1 , … . , ) ∞ = 0   Wh e re  D m , E m  are the  Ad om i an’ s  poly nom i al s [ 4],  and  defi ned   by:         = 1 !   1 [ 1 ( ∑ 1 ∞ = 0 ) ] 1 = 0 ,   = 1 !   2 [ 2 ( ∑ 2 ρ j , ∑ 2 σ j ∞ = 0 ∞ = 0 ) ] 2 = 0    , m = 0 , 1,  2,  …..  ;                                                         ( 5)     By  K al la  poly nom ial can be  w rit te n   ( 5 )   as  t he   f ollow i ng [26 ]:     = 1 ( ) − ∑ ( , 1 , … . , − 1 ) − 1 = 0                                                                                                  (6)     Wh e re  = , 1 , … . , − 1 an d   D m  can  be give n  as :   0 = 1 ( )      1 =  ( 1 ( ) ) 1 +   1 2   2  2 ( 1 ( ) ) 1 2 +                     1 6   3  3 ( 1 ( ) ) 1 3 +     1 24 4  4 ( 1 ( 0 ) ) 1 4 +   … … …     2   =  ( 1 ( ) ) 2   +   1 2   2  2 ( 1 ( ) ) [ 2 1   2 + 2 2 ] +   1 6   3  3 ( 1 ( 0 ) )   [ 3 1 2 2 +   3 1 2 2 + 2 3 ] +   … … …      Si m il arly , f ind   E m   and   F m .       3.   APPLI CA TI ON M ADM T O THE  DS W S:   In this sect io n,  app li ed  the   MADM   t o  s olv e   analy ti cal   syst e m   ( 1 ) :       1 ( )   − 3   1 ( )   = 0   ,     2 ( )   − 3 2 (  ) − ( 2 ( ) ( ) +                                                                                                             ( 7)   2 ( ) ( ) ) = 0                                                        Wh e re,    = , = ,    = 3 3 ,     By  app ly in g  th e inv e rse o per a tor   − 1 = ∫ ( . )  0    the n, the  ( 7 )   yi el ds :       σ ( x , t ) = γ   ( x ) + 3 − 1 ( ∅ 1 ( ρ ) ) ,     ( , ) =   ( ) + 3 2 (  ) + ( − 1   ∅ 2 ( , ) + − 1 ∅ 3 ( , ) ) ,     Wh e re,    ∅ 1 ( ) =    , ∅ 2 ( , ) =  , ∅ 3 ( , ) =    The  M AD M  as su m es an  in fini te  ser ie s fo r  ( , ) , ( , ) , a s in  t he  f ollo wing :   ( , ) = ∑ ( , ) ∞ = 0     ( , ) = ∑ ( , ) ∞ = 0     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Num eri c al s olut ion   of Dri nfeld - Sokol ov - Wi ls o  syste m by  us i ng …   ( B adran  Jasim  Sali m)     593   Infinite  ser ie s   of Ado m ia n  po ly no m ials can be  wr it in g  ∅ 1 , ∅ 2 , b y:     ∅ 1 ( ) = ∑ ∞ = 0   , ∅ 2 ( , ) = ∑ , ∅ 3 ( , ) = ∑ ∞ = 0 ∞ = 0     Wh e re:   ( 0 , 1 , … … … . , ) = 1 ! [ 1 ( ∑ ∞ = 0 ) ] = 0   , ≥ 0       ( 0 , 1 , … , , 0 , 1 , … , ) = 1 ! [ 2 ( ∑ ∞ = 0 , ∑ ∞ = 0 ) ] = 0 , ≥ 0                              (8)   (   0 , 1 , … , , 0 , 1 , … , ) =     1 ! [ 3 ( ∑ ∞ = 0 , ∑ ∞ = 0 ) ] = 0                                                                         T he  fir st  poly no m ia ls   us i ng  ( 8),  t he   ap pro pr ia te   m od i fied  A do m i an  po ly no m ia l s,  are   c om pu te d  by:   =        1 =   1  +   1  + 1 1      2 =   2  +   1  + 2 1  + 1 2  + 2 2      ⋮     =         1 =    1  +   1   + 1  1      2 =    2  +   2   + 2  1  +   1  2  + 2  2      ⋮   =         1 =    1  +   1   + 1  1      2 =    2  +   2   + 2  1  +   1  2  + 2  2      ⋮     And  s o o n,   by  ( 7 ) , writ in g:     0 ( , ) = 0 ( , ) =   ( )   + 1 ( , ) = − 1 [ 3 ] ;         ≥ 1 ,                                                                                                                           (9)   + 1 ( , ) = − 1 [ 3 2 (  ) +  + ] ; ≥ 1 ,           4.     N UM E RI CAL  SOLU TI O N   It conside rs  t he  so l ution s  of  (9)   wit h  the  init ia l and co ndit ions [ 3]:     ( , ) = 2 √ 3  ℎ ( √ 3 ( ) ) ,       ( , ) = 2  ℎ 2 ( √ 3 ( ) ) ,                                                                                                                            ( 10)        To  cal c ulate  th e MAD N f or     ( , )      ( , ) , we s ubsti tuted  the init ia l co ndit ion s  ( 1 0 )   into   ( 9 )   and  by  us i ng  Ma ple 18 la nguag e  got as  foll ow s:       σ 1 ( x , t ) = 4 3 c 5 2 ⁄ √ 3   sin h ( 1 3 ⁄ √ 3c   x ) a c osh ( 1 3 ⁄ √ 3c   x ) 3       1 ( , ) = 64 12 5 2 ⁄     √ 3    ℎ ( 1 3 ⁄ √ 3   ) co sh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 3 −   64 3 5 2 ⁄     √ 3    ℎ ( 1 3 ⁄ √ 3   ) co sh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 5 +   16 3     5 2 ⁄        ℎ ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 3 2 ⁄ co sh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 4     Now ,   find  2 :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  590   -   599     594   2 ( , ) =   32 3     11 2 ⁄ √ 3    ℎ ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 2 cosh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 5         +     8   4 √ 3   3 2 ⁄ cosh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 3   − 16 11 2 ⁄ √ 3    ℎ ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 2 cosh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 7 −     32 3     8   4 √ 3 3 2 ⁄ cosh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 5   2 ( , ) = 2 9 1 5 2 ⁄ c osh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 9 [   4 [ 96   3 2 ⁄ cosh ( 1 3 ⁄ √ 3   ) 5 +………. . - 7560    3 2 ⁄    ℎ ( 1 3 ⁄ √ 3   ) ] ]     To fin d  σ   then:   σ ( x , t ) = σ o ( x , t ) + σ 1 ( x , t ) + σ 2 ( x , t ) + ⋯   ( , ) = 2 3 1 5 2 ⁄     c osh ( 1 3 √ 3 ) 7   { √ 3 c {   − 2 cosh ( 1 3 √ 3 ) 4   sinh ( 1 3 √ 3 ) 3 2 ⁄ 3 2 ⁄                  − 16   cosh ( 1 3 √ 3 ) 2 sinh ( 1 3 √ 3 ) √ 9 2 ⁄   + cosh ( 1 3 √ 3 ) 6 2 +                                       12   cosh ( 1 3 √ 3 ) 4 3 + 24   sinh ( 1 3 √ 3 ) 6 √ 9 2 ⁄   − 16 co s h ( 1 3 √ 3 ) 2 3   }           (11)     And  t o fin d  ρ   th en:   ρ ( x , t ) = ρ o ( x , t ) + ρ 1 ( x , t ) +   ρ 2 ( x , t ) + ⋯   ρ ( x , t ) = 2 9 1 a 5 2 ⁄     c osh ( 1 3 √ 3c x ) 9   { c { 96   cosh ( 1 3 √ 3c x ) 7   t 2 a 3 2 ⁄ c 3 + 64 cosh ( 1 3 √ 3c x ) 4     ∗ sinh ( 1 3 √ 3c x ) √ 3a   c 9 2 ⁄ t 2 − 24   co s h ( 1 3 √ 3c x ) 6   ∗ sinh ( 1 3 √ 3c x ) 6   t   a 3 2   ⁄ c 3 2 ⁄ +       105 ∗ cosh ( 1 3 √ 3 ) 6   √ 3     2 3 − 3024   co s h ( 1 3 √ 3 ) 5   3 2 ⁄   2 3 … . . … … } }             (12)     It h as  got the  s olu ti ons  of the  syst e m  ( 1)   nu m erical ly  as f ol lows :     ( , ) = ∑ ( , ) ∞ = 0     ( , ) = ∑ ( , ) ∞ = 0       This s olu ti on i s con v er gen t t o t he  e xact s olu t ion   [ 27 ]:   ( , ) = 2 √ 3  ℎ ( √ 3 ( −  ) ) ,                 ( , ) = 2  ℎ 2 ( √ 3 ( −  ) ) ,           5.   E X PLAI NED   (G _MA DM)   Using  t he  genet ic   al go rithm   an d  t he  MA DM,  t his  m et ho d  ai m s  to  fin d   the   best  nonl inear  D S W  par am et ers.  T he  foll ow i ng equati ons ar e  use d wit h  the  MA DM series  so l ut ion   for (1 1),  ( 12):             ( ) = ∑ ∑ ( ( , ) − ̂ ( , ) ) 2 = 1 = 1     ( ) = ∑ ∑ ( ( , ) − ̂ ( , ) ) 2 = 1 = 1   = 1 / 2   | ( ) + ( ) |                σ   a nd   ρ   are  the   so l ution s   of  t he  syst e m   DSW  f or   ( 11 ) ,  ( 12 ) .  σ ̂   an d  ρ ̂   are  t he  e xact  so luti ons   f or   t he  syst em   DSW.  S  re pre sents  the  m ean  sq ua re  er ror.   Th us ,  by  us in g  the  gen et ic   al gorithm ,  we  find   t hat  a= - 10  is  the  op ti m u m  v al ue  fo r  t he  syst e m s  ( 11 ) ,  ( 12 ) .  T hi s v a lue is o bta ined by using the Mat la b  pro gram  an d  the g e netic   al gorithm   m eth od,  w hich  pr ov i des  the  best   values  of   the  par am et ers  in  the  D S W   syst e m .   The  err ors  in  this  pap e r  a re   resu l te d  f ro m  cu t er rors  a nd m ean sq ua re e rro rs.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Num eri c al s olut ion   of Dri nfeld - Sokol ov - Wi ls o  syste m by  us i ng …   ( B adran  Jasim  Sali m)     595   6.   RESU LT S  AND DI SCUS S ION   Com par ison  th e  ab so l ute  er r or s   f or  t he  M ADN   res ults  a nd  e xact  s olu t ion  f or   σ ( x , t )   an d   ρ ( x , t ) ,  wh e n  a = 0 . 1 , c = 0 . 0001 ,     an d   a = 0 . 1 , c = 0 . 01 , t = 1 .   Th e  lo wer  value   of  c,   the   cl ose r  res ults  are   to   the  real  so luti on,  noti ced  that  the  accuracy  of   t he  so luti on   w a s  excell ent,  as  sh ow n  in  (see  Table  1,   2)   an d  al so  (see F i gure  1 -   4) .   The  s olu ti on  f or  ( 1 ) ,  wit h  th e  init ia l  conditi on s   ( 10 ) ,  by  us in g  ge netic   al gorithm   (G _M AD M) ,  w e   ta ke   a = − 10 , c = 0 . 0001 , t = 1 ,  w her e  t he  re cei ve d  va lue  is  the  best   value   that   is  a  =  - 10  by  usi ng   G - MADM,   as shown i n  (see Ta ble 3)  a nd also   in  (see  Fig ure  5,   6) .   Thro ugh  the   ta bles  (see   Ta ble  1,  3) ,   we   note   that   the   r esults   for  ρ ,   σ   w hen  a   =   0.1 ,   c  =   0.01,  t   =   1  a nd  a  =  - 10,  c  =  0.01,  t  =  1  by  usi ng   M AD M  a nd  G - MA DM,  r especti vely .  We  no te   t hat  the  resu lt s  by  us in g  th e   gen et ic  al gorithm  are  bette r ( m or e accur at e) .   By   com par ed   the  ab so l ute  error   betwee n  MADM  a nd   G - M AD M  m et hods ,  t he  te chn i qu e   ( G - MADM)  is  the   best  (see  Tabl e  4) .  T he  Ma pl e  18   softwa re  was  us e d  to  do  al l  of   the  m e asur em ents,  an d  the   Ma tl ab  pro gr a m  w as u sed  to e xecu te  t hem .     Table  1 .   M ADN  a nd ex act   sol ution   w hen   a = 0 . 1   , c = 0 . 0001   , t = 1                                             Table  2.     MA D N  a nd ex act   sol at ion   w he n  a = 0 . 1   , c = 0 . 01   , t = 1            |  −   |          |  −   |   - 100   0 .00 0 3 1 1 7 3 2 5 7 7 5   0 .00 0 3 1 1 7 1 7 2 2 0 2   1 .53 5 7 3 1 2 3 7 * 1 0 - 8   0 .00 1 4 5 7 6 6 6 1 3 5   0 .00 1 4 5 7 5 1 4 3 8 1   1 .51 7 5 3 6 4 9 9 * 1 0 - 8   - 90   0 .00 0 3 2 0 8 4 9 3 4 7 3   0 .00 0 3 2 0 8 3 4 8 8 0 3   1 .44 6 6 9 6 3 1 9 * 1 0 - 8   0 .00 1 5 4 4 1 7 2 3 6 4   0 .00 1 5 4 4 0 2 5 3 0 7   1 .47 0 5 6 9 9 9 6 * 1 0 - 8   - 80   0 .00 0 3 2 9 3 8 4 1 0 0 1   0 .00 0 3 2 9 3 7 0 6 9 3 3   1 .34 0 6 8 1 7 6 3 * 1 0 - 8   0 .00 1 6 2 7 4 1 5 6 2 8   0 .00 1 6 2 7 2 7 5 8 0 4   1 .39 8 2 3 8 9 1 9 * 1 0 - 8   - 60   0 .00 0 3 3 7 2 3 0 1 8 5 4   0 .00 0 3 3 7 2 1 8 0 0 7 1   1 .21 7 8 3 1 2 7 2 * 1 0 - 8   0 .00 1 7 0 5 8 6 9 7 2 3   0 .00 1 7 0 5 7 3 9 7 6 5   1 .29 9 5 8 0 9 0 8 * 1 0 - 8   - 70   0 .00 0 3 4 4 2 8 3 2 5 2 9   0 .00 0 3 4 4 2 7 2 4 6 4 5   1 .07 8 8 3 5 6 7 3 * 1 0 - 8   0 .00 1 7 7 7 9 7 0 4 1 1   0 .00 1 7 7 7 8 5 2 9 4 8   1 .17 4 6 3 4 9 3 4 * 1 0 - 8   - 50   0 .00 0 3 5 0 4 4 4 2 2 2 7   0 .00 0 3 5 0 4 3 4 9 7 4 2   9 .24 8 5 4 9 2 8 2 * 1 0 - 9   0 .00 1 8 4 2 1 7 2 5 0 9   0 .00 1 8 4 2 0 7 0 0 6 7   1 .02 4 4 1 5 7 8 3 * 1 0 - 8   - 40   0 .00 0 3 5 5 6 2 2 3 7 4 9   0 .00 0 3 5 5 6 1 4 8 0 0 7   7 .57 4 2 3 4 9 4 2 * 1 0 - 9   0 .00 1 8 9 7 0 1 3 3 9 0   0 .00 1 8 9 6 9 2 8 2 9 8   8 .50 9 2 1 3 8 3 2 * 1 0 - 7   - 30   0 .00 0 3 5 9 7 3 8 4 0 1 5   0 .00 0 3 5 9 7 3 2 6 1 5 1   5 .78 6 4 0 0 3 4 8 * 1 0 - 9   0 .00 1 9 4 1 1 7 9 0 4 6   0 .00 1 9 4 1 1 1 3 3 1 7   6 .57 2 8 7 1 7 2 8 * 1 0 - 7   - 20   0 .00 0 3 6 2 7 2 7 2 3 8 2   0 .00 0 3 6 2 7 2 3 3 2 8 6   3 .90 9 6 2 0 8 3 9 * 1 0 - 9   0 .00 1 9 7 3 5 6 7 9 6 3   0 .00 1 9 7 3 5 2 3 1 9 7   4 .47 6 6 1 1 9 2 8 * 1 0 - 7   - 10   0 .00 0 3 6 4 5 4 0 5 0 2 3   0 .00 0 3 6 4 5 3 8 5 3 1 0   1 .97 1 2 5 7 5 8 4 * 1 0 - 9   0 .00 1 9 9 3 3 4 7 7 8 7   0 .00 1 9 9 3 3 2 5 1 0 9   2 .26 7 8 2 0 8 6 6 * 1 0 - 7   0   0 .00 0 3 6 5 1 4 8 3 7 1 5   0 .00 0 3 6 5 1 4 8 3 6 9 8   1 .7* 1 0 - 12   0 .00 1 9 9 9 9 9 9 9 9 9   0 .00 1 9 9 9 9 9 9 9 8 0   1 .9* 1 0 - 11   10   0 .00 0 3 6 4 5 4 0 7 6 7 7   0 .00 0 3 6 4 5 4 2 7 3 5 6   1 .96 7 8 5 7 5 8 4 * 1 0 - 9   0 .00 1 9 9 3 3 4 8 4 4 9   0 .00 1 9 9 3 3 7 1 0 9 2   2 .26 4 3 2 0 8 6 6 * 1 0 - 8   20   0 .00 0 3 6 2 7 2 7 7 6 2 2   0 .00 0 3 6 2 7 3 1 6 6 8 3   3 .90 6 1 2 0 8 3 9 * 1 0 - 9   0 .00 1 9 7 3 5 6 9 2 2 1   0 .00 1 9 7 3 6 1 3 9 4 9   4 .47 2 8 1 1 9 2 8 * 1 0 - 8   30   0 .00 0 3 5 9 7 3 9 1 7 0 3   0 .00 0 3 5 9 7 4 4 9 5 3 7   5 .78 3 4 0 0 3 4 8 * 1 0 - 9   0 .00 1 9 4 1 1 8 0 7 7 6   0 .00 1 9 4 1 2 4 6 4 7 6   6 .56 9 9 7 1 7 2 8 * 1 0 - 8   40   0 .00 0 3 5 5 6 2 3 3 6 9 1   0 .00 0 3 5 5 6 3 0 9 4 0 3   7 .57 1 2 3 4 9 4 2 * 1 0 - 9   0 .00 1 8 9 7 0 1 5 4 2 6   0 .00 1 8 9 7 1 0 0 4 8 6   8 .50 6 0 1 3 8 3 2 * 1 0 - 8   50   0 .00 0 3 5 0 4 4 5 4 1 7 9   0 .00 0 3 5 0 4 5 4 6 6 3 2   9 .24 5 3 4 9 2 8 2 * 1 0 - 9   0 .00 1 8 4 2 1 7 4 6 5 5   0 .00 1 8 4 2 2 7 7 0 6 5   1 .02 4 0 9 5 7 8 3 * 1 0 - 7   60   0 .00 0 3 4 4 2 8 4 6 2 0 9   0 .00 0 3 4 4 2 9 5 4 0 6 8   1 .07 8 5 8 5 6 7 3 * 1 0 - 8   0 .00 1 7 7 7 9 7 2 4 6 9   0 .00 1 7 7 8 0 8 9 9 0 7   1 .17 4 3 8 4 9 3 4 * 1 0 - 7   70   0 .00 0 3 3 7 2 3 1 6 9 6 2   0 .00 0 3 3 7 2 4 3 8 7 2 0   1 .21 7 5 8 1 2 7 2 * 1 0 - 8   0 .00 1 7 0 5 8 7 1 5 0 1   0 .00 1 7 0 6 0 0 1 4 3 9   1 .29 9 3 8 0 9 0 8 * 1 0 - 7   80   0 .00 0 3 2 9 3 8 5 7 2 2 3   0 .00 0 3 2 9 3 9 9 1 2 6 8   1 .34 0 4 5 1 7 6 3 * 1 0 - 8   0 .00 1 6 2 7 4 1 6 9 6 4   0 .00 1 6 2 7 5 5 6 7 7 2   1 .39 8 0 7 8 9 1 9 * 1 0 - 7   90   0 .00 0 3 2 0 8 5 1 0 4 9 7   0 .00 0 3 2 0 8 6 5 5 1 5 2   1 .44 6 5 4 6 3 1 9 * 1 0 - 8   0 .00 1 5 4 4 1 7 3 1 3 4   0 .00 1 5 4 4 3 2 0 1 8 4   1 .47 0 4 9 9 9 9 6 * 1 0 - 7   100   0 .00 0 3 1 1 7 3 4 3 3 0 5   0 .00 0 3 1 1 7 4 9 6 8 6 4   1 .53 5 5 9 1 2 3 7 * 1 0 - 8   0 .00 1 4 5 7 6 6 6 2 5 7   0 .00 1 4 5 7 8 1 8 0 0 5   1 .51 7 4 7 6 4 9 9 * 1 0 - 7   Figure  1. The   MADM a nd E xact S olu ti on  σ ( x , t ) wh e n  a= 0.1, t =1,  c= 0.0 001   Figure  2. The   MADM a nd E xact S olu ti on  p ( x , t ) wh e n  a= 0.1, t =1,  c= 0.0 001     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  590   -   599     596                                         Table  3.     ( G_M AD M)   an d  e xact s olu ti on   w hen   a = − 10   , c = 0 . 0001   , t = 1   Table  4.     Th e a bs ol ute er r or   be tween t he real  so l ution an d M AD M,  G - M AD M m et hods   X         |  −   |         |  −  |   - 100   0 .00 0 2 2 7 0 2 7 1 1 4 9   0 .00 0 2 2 4 7 7 7 0 3 8 2   0 .00 0 0 0 2 2 5 0 0 7 6 6 5 4   0 .00 0 0 0 7 7 6 7 9 0 0 9 5 0   0 .00 0 0 0 7 5 7 8 7 0 7 5 3 8   1 .89 1 9 3 4 1 1 9 * 1 0 - 7   - 90   0 .00 0 4 0 4 3 8 5 2 5 0 9   0 .00 0 4 0 0 3 8 9 8 3 2 0   0 .00 0 0 0 3 9 9 5 4 1 8 8 8 8   0 .00 0 0 2 4 6 4 7 8 0 9 0 8   0 .00 0 0 2 4 0 4 6 8 0 2 6 4   6 .01 0 0 6 4 3 5 7 * 1 0 - 7   - 80   0 .00 0 7 2 0 2 4 8 9 9 0 2   0 .00 0 7 1 3 1 7 2 6 9 6 6   0 .00 0 0 0 7 0 7 6 2 9 3 6 4 8   0 .00 0 0 7 8 2 0 2 8 3 3 6 2   0 .00 0 0 7 6 2 9 2 2 9 4 3 0   1 .91 0 5 3 9 3 1 8 * 1 0 - 6   - 60   0 .00 1 2 8 2 5 9 2 3 5 5   0 .00 1 2 7 0 1 1 9 9 6 8   0 .00 0 0 1 2 4 7 2 3 8 6 6 2   0 .00 0 2 4 8 0 5 9 2 2 2 2   0 .00 0 2 4 1 9 8 0 7 1 0 0   6 .07 8 5 1 2 2 0 5 * 1 0 - 6   - 70   0 .00 2 2 8 2 7 7 2 1 9 8   0 .00 2 2 6 0 9 9 3 5 5 5   0 .00 0 0 2 1 7 7 8 6 4 2 6 6   0 .00 0 7 8 6 1 5 7 0 2 8 8   0 .00 0 7 6 6 8 1 3 7 7 8 6   1 .93 4 3 2 5 0 1 7 * 1 0 - 5   - 50   0 .00 4 0 5 6 4 6 9 3 0 1   0 .00 4 0 1 9 1 5 5 6 9 4   0 .00 0 0 3 7 3 1 3 6 0 7 4 2   0 .00 2 4 8 4 3 7 1 1 8 2   0 .00 2 4 2 3 0 4 1 8 7 4   6 .13 2 9 3 0 8 4 0 * 1 0 - 5   - 40   0 .00 7 1 7 3 7 7 7 9 6 9   0 .00 7 1 1 2 4 1 5 7 5 1   0 .00 0 0 6 1 3 6 2 2 1 7 7 1   0 .00 7 7 7 8 7 4 0 5 2 5   0 .00 7 5 8 7 9 6 8 6 7 6   1 .90 7 7 1 8 4 9 4 * 1 0 - 4   - 30   0 .01 2 5 0 2 9 5 9 9 5   0 .01 2 4 1 1 1 4 6 7 3   0 .00 0 0 9 1 8 1 3 2 2 3 7 1   0 .02 3 6 5 7 7 9 6 6 4   0 .02 3 1 0 5 4 8 4 5 0   5 .52 3 1 2 1 4 2 2 * 1 0 - 4   - 20   0 .02 0 8 7 4 3 1 8 5 9   0 .02 0 7 6 4 8 8 7 4 5   0 .00 0 1 0 9 4 3 1 1 3 6 0   0 .06 5 9 4 5 0 6 3 6 9   0 .06 4 6 7 7 0 8 2 6 2   1 .26 7 9 8 1 0 7 1 * 1 0 - 3   - 10   0 .03 1 0 8 5 7 7 4 0 6   0 .03 1 0 1 0 3 1 0 0 6   0 .00 0 0 7 5 4 6 4 0 0 3 7 5   0 .14 5 7 6 2 7 2 7 6   0 .14 4 2 4 5 8 9 9 6   1 .51 6 8 2 7 9 6 2 * 1 0 - 3   0   0 .03 6 5 1 3 3 7 6 5 7   0 .03 6 5 1 3 0 1 1 4 9   3 .65 0 8 * 1 0 - 7   0 .19 9 9 9 8 2 3 0 8   0 .19 9 9 8 0 0 0 1 3   1 .82 2 9 5 * 1 0 - 5   10   0 .03 1 2 6 1 0 7 0 6 4   0 .03 1 3 3 4 9 5 4 0 2   0 .00 0 0 7 3 8 8 3 3 8 3 7 5   0 .14 5 7 7 4 9 9 4 6   0 .14 7 2 8 1 9 0 1 6   1 .50 6 9 0 6 9 6 2 * 1 0 - 3   20   0 .02 0 9 9 8 7 2 1 8 9   0 .02 1 1 0 7 9 4 2 3 2   0 .00 0 1 0 9 2 2 0 4 2 6 0   0 .06 5 5 4 7 5 3 3 8 5   0 .06 6 8 3 1 7 8 4 3 6   1 .28 4 2 5 0 5 1 1 * 1 0 - 3   30   0 .01 2 5 5 4 0 3 2 1 9   0 .01 2 6 4 6 5 0 4 8 6   0 .00 0 0 9 2 4 7 2 6 7 3 7 1   0 .02 3 4 2 9 6 7 8 8 8   0 .02 3 9 9 0 1 1 2 8 0   5 .60 4 3 3 9 2 2 2 * 1 0 - 4   40   0 .00 7 1 9 1 2 9 9 6 3 7   0 .00 7 2 5 3 2 6 1 2 7 8   0 .00 0 0 6 1 9 6 1 6 4 0 7 1   0 .00 7 6 9 7 9 1 1 9 7 5   0 .00 7 8 9 1 4 6 9 8 7 8   1 .93 5 5 7 9 0 3 4 * 1 0 - 4   50   0 .00 4 0 6 2 1 4 2 0 4 3   0 .00 4 0 9 9 8 3 9 7 0 7   0 .00 0 0 3 7 6 9 7 6 6 4 4 2   0 .00 2 4 5 9 0 6 7 4 2 2   0 .00 2 5 2 1 3 0 2 8 4 4   6 .22 3 5 4 2 2 4 0 * 1 0 - 5   60   0 .00 2 2 8 4 5 7 5 2 4 6   0 .00 2 3 0 6 5 7 8 3 4 0   0 .00 0 0 2 2 0 0 3 0 9 3 6 6   0 .00 0 7 7 8 4 1 1 8 3 0 0   0 .00 0 7 9 8 0 4 5 5 4 6 0   1 .96 3 3 7 1 5 9 7 * 1 0 - 5   70   0 .00 1 2 8 3 1 6 2 1 1 5   0 .00 1 2 9 5 7 6 2 0 9 3   0 .00 0 0 1 2 5 9 9 9 7 7 6 2   0 .00 0 2 4 5 6 7 8 9 7 8 8   0 .00 0 2 5 1 8 4 9 9 1 0 4   6 .17 0 9 3 1 6 0 5 * 1 0 - 6   80   0 .00 0 7 2 0 4 2 8 7 0 3 4   0 .00 0 7 2 7 5 7 6 9 0 8 5   0 .00 0 0 0 7 1 4 8 2 0 5 1 4 8   0 .00 0 0 7 7 4 6 5 4 0 2 3 4   0 .00 0 0 7 9 4 0 5 2 2 3 7 0   1 .93 9 8 2 1 3 5 8 * 1 0 - 6   90   0 .00 0 4 0 4 4 4 1 9 0 2 9   0 .00 0 4 0 8 4 7 7 7 4 2 0   0 .00 0 0 0 4 0 3 5 8 3 9 0 8 8   0 .00 0 0 2 4 4 1 7 8 4 7 7 4   0 .00 0 0 2 5 0 2 8 1 0 9 8 8   6 .10 2 6 2 1 3 5 7 * 1 0 - 7   100   0 .00 0 2 2 7 0 4 4 9 7 0 3   0 .00 0 2 2 9 3 1 7 7 4 6 9   0 .00 0 0 0 2 2 7 2 7 7 6 5 5 4   0 .00 0 0 0 7 6 9 5 8 7 9 1 8 6   0 .00 0 0 0 7 8 8 7 9 9 4 3 6 0   1 .92 1 1 5 1 7 3 9 * 1 0 - 7   x   _        |  − _   |   _        |  − _   |   - 100   0 .00 0 0 3 1 1 7 3 3 4 5 4 0   0 .00 0 0 3 1 1 7 1 7 2 2 0 2   1 ..3 2 4 3 2 . . 1 *10 - 9   0 .00 0 0 1 4 5 7 6 6 2 0 3 6   0 .00 0 0 1 4 5 7 5 1 4 3 8 1   1 .47 6 5 5 7 6 1 0 * 1 0 - 9   - 90   0 .00 0 0 3 2 0 8 5 0 1 9 8 5   0 .00 0 0 3 2 0 8 3 4 8 8 0 3   1 .53 1 8 4 3 6 5 2 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 5 4 4 1 6 8 2 6 7   0 .00 0 0 1 5 4 4 0 2 5 3 0 7   1 .42 9 6 0 7 9 4 1 * 1 0 - 9   - 80   0 .00 0 0 3 2 9 3 8 4 9 1 1 2   0 .00 0 0 3 2 9 3 7 0 6 9 3 3   1 .42 1 8 1 3 1 3 5 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 6 2 7 4 1 1 6 2 1   0 .00 0 0 1 6 2 7 2 7 5 8 0 4   1 .35 8 1 7 1 0 8 7 * 1 0 - 9   - 60   0 .00 0 0 3 3 7 2 3 0 9 4 0 8   0 .00 0 0 3 3 7 2 1 8 0 0 7 1   1 .29 3 3 9 2 0 5 9 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 7 0 5 8 6 5 9 0 2   0 .00 0 0 1 7 0 5 7 3 9 7 6 5   1 .26 1 3 7 5 7 0 1 * 1 0 - 9   - 70   0 .00 0 0 3 4 4 2 8 3 9 3 6 9   0 .00 0 0 3 4 4 2 7 2 4 6 4 5   1 .14 7 2 6 0 3 9 3 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 7 7 7 9 6 6 8 7 9   0 .00 0 0 1 7 7 7 8 5 2 9 4 8   1 .13 9 3 1 4 6 4 4 * 1 0 - 9   - 50   0 .00 0 0 3 5 0 4 4 4 8 2 0 3   0 .00 0 0 3 5 0 4 3 4 9 7 4 2   9 .84 6 2 8 1 3 2 2 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 8 4 2 1 6 9 3 6 7   0 .00 0 0 1 8 4 2 0 7 0 0 6 7   9 .93 0 0 9 4 6 8 0 * 1 0 - 10   - 40   0 .00 0 0 3 5 5 6 2 2 8 7 2 0   0 .00 0 0 3 5 5 6 1 4 8 0 0 8   8 .07 1 3 5 3 0 5 7 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 8 9 7 0 1 0 7 3 9   0 .00 0 0 1 8 9 6 9 2 8 2 9 8   8 .24 4 1 0 4 9 1 8 * 1 0 - 10   - 30   0 .00 0 0 3 5 9 7 3 8 7 8 6 0   0 .00 0 0 3 5 9 7 3 2 6 1 5 2   6 .17 0 9 1 9 7 2 6 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 9 4 1 1 7 6 9 7 1   0 .00 0 0 1 9 4 1 1 1 3 3 1 7   6 .36 5 4 8 0 3 2 8 * 1 0 - 10   - 20   0 .00 0 0 3 6 2 7 2 7 5 0 0 3   0 .00 0 0 3 6 2 7 2 3 3 2 8 6   4 .17 1 7 8 2 2 6 0 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 9 7 3 5 6 6 5 3 8   0 .00 0 0 1 9 7 3 5 2 3 1 9 7   4 .33 4 0 9 4 7 9 9 * 1 0 - 10   - 10   0 .00 0 0 3 6 4 5 4 0 6 3 5 1   0 .00 0 0 3 6 4 5 3 8 5 3 1 0   2 .10 4 1 4 1 8 7 2 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 9 9 3 3 4 7 0 6 1   0 .00 0 0 1 9 9 3 3 2 5 1 0 9   2 .19 5 2 4 7 8 6 2 * 1 0 - 10   0   0 .00 0 0 3 6 5 1 4 8 3 7 1 6   0 .00 0 0 3 6 5 1 4 8 3 6 9 8   1 .8* 1 0 - 13   0 .00 0 0 1 9 9 9 9 9 9 9 9 9   0 .00 0 0 1 9 9 9 9 9 9 9 8 0   1 .90 0 0 0 0 0 9 4 * 1 0 - 13   10   0 .00 0 0 3 6 4 5 4 0 6 3 5 1   0 .00 0 0 3 6 4 5 4 2 7 3 5 7   2 .10 0 6 4 1 9 4 1 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 9 9 3 3 4 9 1 7 5   0 .00 0 0 1 9 9 3 3 7 1 0 9 2   2 .19 1 7 4 7 8 7 7 * 1 0 - 10   20   0 .00 0 0 3 6 2 7 2 7 5 0 0 3   0 .00 0 0 3 6 2 7 3 1 6 6 8 4   4 .16 8 1 8 2 3 3 1 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 9 7 3 5 7 0 6 4 6   0 .00 0 0 1 9 7 3 6 1 3 9 4 9   4 .33 0 2 9 4 8 1 6 * 1 0 - 10   30   0 .00 0 0 3 5 9 7 3 8 7 8 6 0   0 .00 0 0 3 5 9 7 4 4 9 5 3 7   6 .16 7 8 1 9 7 8 7 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 9 4 1 1 8 2 8 5 1   0 .00 0 0 1 9 4 1 2 4 6 4 7 6   6 .36 2 5 8 0 3 4 1 * 1 0 - 10   40   0 .00 0 0 3 5 5 6 2 2 8 7 2 0   0 .00 0 0 3 5 5 6 3 0 9 4 0 3   8 .06 8 4 5 3 1 1 2 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 8 9 7 0 1 8 0 7 7   0 .00 0 0 1 8 9 7 1 0 0 4 8 6   8 .24 0 9 0 4 9 3 2 * 1 0 - 10   50   0 .00 0 0 3 5 0 4 4 4 8 2 0 3   0 .00 0 0 3 5 0 4 5 4 6 6 3 2   9 .84 3 0 8 1 3 8 1 * 1 0 - 10   0 .00 0 0 1 8 4 2 1 7 7 7 9 7   0 .00 0 0 1 8 4 2 2 7 7 0 6 5   9 .92 6 8 9 4 6 9 5 * 1 0 - 10   60   0 .00 0 0 3 4 4 2 8 3 9 3 6 9   0 .00 0 0 3 4 4 2 9 5 4 0 6 8   1 .14 7 0 1 0 3 9 7 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 7 7 7 9 7 6 0 0 1   0 .00 0 0 1 7 7 8 0 8 9 9 0 7   1 .13 9 0 6 4 6 4 5 * 1 0 - 9   70   0 .00 0 0 3 3 7 2 3 0 9 4 0 8   0 .00 0 0 3 3 7 2 4 3 8 7 2 1   1 .29 3 1 5 2 0 6 3 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 7 0 5 8 7 5 3 2 2   0 .00 0 0 1 7 0 6 0 0 1 4 3 9   1 .26 1 1 7 5 7 0 2 * 1 0 - 9   80   0 .00 0 0 3 2 9 3 8 4 9 1 1 2   0 .00 0 0 3 2 9 3 9 9 1 2 6 8   1 .42 1 5 8 3 1 3 8 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 6 2 7 4 2 0 9 7 1   0 .00 0 0 1 6 2 7 5 5 6 7 7 2   1 .35 8 0 1 1 0 8 8 * 1 0 - 9   90   0 .00 0 0 3 2 0 8 5 0 1 9 8 5   0 .00 0 0 3 2 0 8 6 5 5 1 5 3   1 .53 1 7 0 3 6 5 4 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 5 4 4 1 7 7 2 3 1   0 .00 0 0 1 5 4 4 3 2 0 1 8 4   1 .42 9 5 3 7 9 4 1 * 1 0 - 9   100   0 .00 0 0 3 1 1 7 3 3 4 5 4 0   0 .00 0 0 3 1 1 7 4 9 6 8 6 5   1 .62 3 2 7 3 6 6 3 * 1 0 - 9   0 .00 0 0 1 4 5 7 6 7 0 3 5 6   0 .00 0 0 1 4 5 7 8 1 8 0 0 5   1 .47 6 4 9 7 6 1 0 * 1 0 - 9   Figure  3. The   MADM a nd E xact S olu ti on  σ ( x , t ) wh e n  a= 0.1, t =1,  c= 0.0 1     Figure  4. The   MADM a nd E xact S olu ti on  p ( x , t ) wh e n  a= 0,1, t =1,  c= 0.0 1   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Num eri c al s olut ion   of Dri nfeld - Sokol ov - Wi ls o  syste m by  us i ng …   ( B adran  Jasim  Sali m)     597                                       7.   CON CLUSIONS   The  D S W   syst e m   was  so lved   by  us in g  MA DN.   W e  noti ced  that  this  m et hod  is  extre m el y  fast  in  conve rg e nt  to  t he  real  s olu ti on.   F urt her m or e ,  the  act ual  be hav i our  of   t he  pro blem   m ay   b e  al te red   if  the  sp ee d  and  c onverge nc e  are  not  c on s trai ned  by   any  restrict ive  ass um pt ion s.   Als o,  the  l ow e r  valu e  of  C  a nd  T ,  wh i c h  so luti on  ap pro aches  the  real  so luti on .   Gen e ti c  al go rithm   has  al so   bee n  use d  to  fin d  the  op ti m u m   value  of  the   par am et er  (a) .   The  a bs ol ute  error   betwee n  t he  real  s olu ti on  an d  the  G - M AD M,  M A DM  m et ho ds   cal c ul at ed .  All c al culat ions are  c onduct e d  with the  h el p o f  Ma ple  18 a nd Mat la b  P rogr am s.       ACKN OWLE DGE MENTS   The a uth or s  are  ver y gr at efu l t o  the U niv ersit y of  Mosu l /C ollege o f  Ba sic  Ed ucati on  an d  the Coll ege  of   ph ysi cal   edu cat ion   and   sp or t  sci ences   fo r  their  pr ov ided  facil it ie s,  wh ic h  helped   to  im pr ov e  the  qu al it y  of   this wo rk .       REFERE NCE S   [1]   A.  W az waz ,   “ T he  de compos it io n  m et hod  app li e d  to  s y s te m s  of  par tial  d iffe r ent i al   equa t ions  and   to  th e  r ea c ti on - diffusion  bruss el at or  m odel , ”  Ap pli ed  Mathe mat i cs  and  Computa ti on ,   vol .   110,   no.   2 - 3 ,   pp.   251 - 264,   2000,   d oi:  10. 1016/s0096 - 3 003(99)00131 - 9.     [2]   A.  W az waz ,   “ A  compari son  bet wee n  the   var ia t i onal   itera t ion  m et hod  and  Adom ia n  dec om positi on  m et hod, ”  v ol.  207,   pp .   129 - 13 6,   2007 ,   doi :  10 . 1016/j . ca m . 2006 . 07. 018 .     [3]   M.  El - Bora i,   A.   A.  Za g hrout ,   a nd  A.  M.  El sha er,   “ Exact   solut i ons  for  nonli near  par tial  diff ere n ti al   equations   b y   using c osine - fun ct ion   m et hod, ”  v ol.   9 ,   no .   3 ,   2011 .     |   − |   a = .   , = .    , =   |   − |   = .   , = .    , =   |   − _ |   = −    , = .    , =   |   − _ |   = −    , = .    , =   1 .53 5 7 3 1 2 3 7 * 1 0 - 8   1 .51 7 5 3 6 4 9 9 * 1 0 - 8   1 ..3 2 4 3 2 . . 1 *10 - 9   1 .47 6 5 5 7 6 1 0 * 1 0 - 9   1 .44 6 6 9 6 3 1 9 * 1 0 - 8   1 .47 0 5 6 9 9 9 6 * 1 0 - 8   1 .53 1 8 4 3 6 5 2 * 1 0 - 9   1 .42 9 6 0 7 9 4 1 * 1 0 - 9   1 .34 0 6 8 1 7 6 3 * 1 0 - 8   1 .39 8 2 3 8 9 1 9 * 1 0 - 8   1 .42 1 8 1 3 1 3 5 * 1 0 - 9   1 .35 8 1 7 1 0 8 7 * 1 0 - 9   1 .21 7 8 3 1 2 7 2 * 1 0 - 8   1 .29 9 5 8 0 9 0 8 * 1 0 - 8   1 .29 3 3 9 2 0 5 9 * 1 0 - 9   1 .26 1 3 7 5 7 0 1 * 1 0 - 9   1 .07 8 8 3 5 6 7 3 * 1 0 - 8   1 .17 4 6 3 4 9 3 4 * 1 0 - 8   1 .14 7 2 6 0 3 9 3 * 1 0 - 9   1 .13 9 3 1 4 6 4 4 * 1 0 - 9   9 .24 8 5 4 9 2 8 2 * 1 0 - 9   1 .02 4 4 1 5 7 8 3 * 1 0 - 8   9 .84 6 2 8 1 3 2 2 * 1 0 - 10   9 .93 0 0 9 4 6 8 0 * 1 0 - 10   7 .57 4 2 3 4 9 4 2 * 1 0 - 9   8 .50 9 2 1 3 8 3 2 * 1 0 - 7   8 .07 1 3 5 3 0 5 7 * 1 0 - 10   8 .24 4 1 0 4 9 1 8 * 1 0 - 10   5 .78 6 4 0 0 3 4 8 * 1 0 - 9   6 .57 2 8 7 1 7 2 8 * 1 0 - 7   6 .17 0 9 1 9 7 2 6 * 1 0 - 10   6 .36 5 4 8 0 3 2 8 * 1 0 - 10   3 .90 9 6 2 0 8 3 9 * 1 0 - 9   4 .47 6 6 1 1 9 2 8 * 1 0 - 7   4 .17 1 7 8 2 2 6 0 * 1 0 - 10   4 .33 4 0 9 4 7 9 9 * 1 0 - 10   1 .97 1 2 5 7 5 8 4 * 1 0 - 9   2 .26 7 8 2 0 8 6 6 * 1 0 - 7   2 .10 4 1 4 1 8 7 2 * 1 0 - 10   2 .19 5 2 4 7 8 6 2 * 1 0 - 10   1 .7* 1 0 - 12   1 .9* 1 0 - 11   1 .8* 1 0 - 13   1 .90 0 0 0 0 0 9 4 * 1 0 - 13   1 .96 7 8 5 7 5 8 4 * 1 0 - 9   2 .26 4 3 2 0 8 6 6 * 1 0 - 8   2 .10 0 6 4 1 9 4 1 * 1 0 - 10   2 .19 1 7 4 7 8 7 7 * 1 0 - 10   3 .90 6 1 2 0 8 3 9 * 1 0 - 9   4 .47 2 8 1 1 9 2 8 * 1 0 - 8   4 .16 8 1 8 2 3 3 1 * 1 0 - 10   4 .33 0 2 9 4 8 1 6 * 1 0 - 10   5 .78 3 4 0 0 3 4 8 * 1 0 - 9   6 .56 9 9 7 1 7 2 8 * 1 0 - 8   6 .16 7 8 1 9 7 8 7 * 1 0 - 10   6 .36 2 5 8 0 3 4 1 * 1 0 - 10   7 .57 1 2 3 4 9 4 2 * 1 0 - 9   8 .50 6 0 1 3 8 3 2 * 1 0 - 8   8 .06 8 4 5 3 1 1 2 * 1 0 - 10   8 .24 0 9 0 4 9 3 2 * 1 0 - 10   9 .24 5 3 4 9 2 8 2 * 1 0 - 9   1 .02 4 0 9 5 7 8 3 * 1 0 - 7   9 .84 3 0 8 1 3 8 1 * 1 0 - 10   9 .92 6 8 9 4 6 9 5 * 1 0 - 10   1 .07 8 5 8 5 6 7 3 * 1 0 - 8   1 .17 4 3 8 4 9 3 4 * 1 0 - 7   1 .14 7 0 1 0 3 9 7 * 1 0 - 9   1 .13 9 0 6 4 6 4 5 * 1 0 - 9   1 .21 7 5 8 1 2 7 2 * 1 0 - 8   1 .29 9 3 8 0 9 0 8 * 1 0 - 7   1 .29 3 1 5 2 0 6 3 * 1 0 - 9   1 .26 1 1 7 5 7 0 2 * 1 0 - 9   1 .34 0 4 5 1 7 6 3 * 1 0 - 8   1 .39 8 0 7 8 9 1 9 * 1 0 - 7   1 .42 1 5 8 3 1 3 8 * 1 0 - 9   1 .35 8 0 1 1 0 8 8 * 1 0 - 9   1 .44 6 5 4 6 3 1 9 * 1 0 - 8   1 .47 0 4 9 9 9 9 6 * 1 0 - 7   1 .53 1 7 0 3 6 5 4 * 1 0 - 9   1 .42 9 5 3 7 9 4 1 * 1 0 - 9   1 .53 5 5 9 1 2 3 7 * 1 0 - 8   1 .51 7 4 7 6 4 9 9 * 1 0 - 7   1 .62 3 2 7 3 6 6 3 * 1 0 - 9   1 .47 6 4 9 7 6 1 0 * 1 0 - 9   Figure  5. The   G - M AD M a nd  Ex act   So l utio n  σ ( x , t ) wh e n  a= - 10, t= 1,  c= 0.0 001     Figure  6. The   G - M AD M a nd  Ex act   So l utio n  p ( x , t ) wh e n  a= - 10, t= 1,  c= 0.0 001   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  590   -   599     598   [4]   G.  Adom ia n,   “ N on - li ne ar  stoc has ti c   oper a tor equations”,  A cade mi c  Press,   San  Di e go,   CA .   1986 .     [5]   N.  A.  Al - tha no on,   O.  S.  Qasim ,   and  Z.   Y.  Algamal,   “ Tuning  par amete r  es ti m at ion  in  SC AD - support  vec tor  m ac hine   using   fi ref l y   al gori thm  with  applic at ion   in  gen e  se le c ti o n  and  ca nc er  cl a ss ifi ca ti on , ”   Co mput.   B iol .   Me d . ,  2018,   doi :  10 . 10 16/j . compbiom ed. 2018. 10 . 034.     [6]   He.   Y.  He ,   Y.  Long,   and   L .   Shaoli n ,   “ Exa c t  S olut ions  of  th e  Drinfe l’d - Sokol ov - W il son  Equation  Us ing  the  F  -   Expa nsion  Meth od  Com bine d  w it h  Exp - Funct io n  Method. ”  Int e rnational   Mathem ati cal ,   vol.   5 ,   no.   65,   pp.   3231 - 3242,   2010 .   [7]   Arora,   Raj an  an d  Anoop  Kum a r,   “ Soluti on  of   the   Couple d  Drinfe ld’s  -   Sokolov  -   W il son   (D SW )  sy st em  b y   Hom otopy   An aly s is  Method,”  Adv   S ci   E ngng,   Me d. ,   v ol.   5,   no .   10 ,   pp.   1105 - 11 11,   2010.   Doi :  10. 1166/a sem . 2 013. 1399.     [8]   A.  H.  Ali,   “ Ado m ia n  dec om positi on  m et hod  for  solving  som e  mode ls  of  nonli ne ar  par tial  diff erenti al   equa t ions, ”   Basrah J ournal  of  Sc ie nc e ,   vol .   26,   no .   1 ,   pp .   1 - 11,   2008 .     [9]   R.   S.  Abdul - j ab bar ,   “ A  num eri c al   sche m e  for  t he  soluti on  of  f rac t iona l  int eg ro -   diffe ren tial  eq uat ions  using  th e  Adom ia n  dec om positi on, ”  Journ al  of   univers it y   o f  Anbar  for P ure   scie n ce ,   vol .   6,   no.   1 ,   pp .   64 - 66 ,   2012.     [10]   M.  Ghorei shi,   P.   Pinang,   and  N.  H.  M.  Ali ,   “ Adom ia n  Dec om positi on  Me thod  (  AD M  )  for  Nonline ar  W av e - li k e   Equa ti ons  with  Va ria bl e  Coeff i c ie nt  1  In troduc t i on, ”  App li ed  Ma the mati cal   Sc ie n ce s,   vol .   4,   no .   4 9,   pp.   2431 - 244 4,   2010.     [11]   J.  Duan,  T .   Cha olu,   R .   R ac h ,   a nd  L.  Lu ,   “ The  Adom ia n  de co m positi on  m et h od  with  conve r genc e   a cc e le r at i on   te chn ique s  for  nonli ne ar  fra ction al   diffe r ent i a l  eq uat ions, ”  Comput.   Math.   wit h  Ap pl . ,   vol .   66,   no.   5,   pp.   728 - 736,   2013,   doi :  10 . 10 16/j . ca m wa. 201 3. 01. 019 .     [12]   W .   Al - ha y ani ,   “ An  Eff ic ie n t  Advanc ed  Adom ian  Dec om positi on  Method  to  Solve  Second - Orde r  Boundar y   Val ue  Problems   with  Neum ann  Condit ions,”   Int ernat i onal  Mathe mati cal   Forum,   vol.  10,   no.   1,   pp.   13 - 23,   2015,   do i:  10. 12988/IMF.2 015. 410182.     [13]   O.  Gonz,   “ Apply ing  Adom ia n  D ec om positi on  M et hod  to  Solv e  Burgess  Equa ti o n  with  a  Non - L i nea r  Sourc e , ”  In t.   J.  Appl.   Com put.   Math ,   vo l. 3, p p.   213 - 224 ,   201 7,   doi :  10 . 1 007/s 40819 - 015 - 0100 - 4.     [14]   A.  F.  Qasim   and  M.  A.  Hila l ,   “ Solving  a  Cla ss   of  High  Order  Non - li nea r  Pa rti al   Diff ere n ti a l   Sy st ems   Us ing   Adom ia n  Dec om positi on  Method  Adom ia n, ”  D iy ala  Journal  Fo r P ure  Sci enc e ,   vol.   14,   no.   2,   pp.   76 - 93,   2017,   doi:  10. 24237/DJP S.14 02. 378B.     [15]   W az waz ,   Abdul - m aj id.   “ A  rel i a ble   m edi c at ion   of  adomian  de c om positi on  m et hod”  Applied  Mathe mati cs  and  Computati o n ,   vo l.   102 ,   no .   1 ,   pp .   77 - 86.   1999 ,   doi :  10. 1016 /S0096 - 3003(98)10024 - 3.     [16]   X.  Luo,   “ A  two - step  Adom ia n  dec om positi on  m et hod, ”  Applied  Mathe mati cs  and  Computati on,   vol.   170,   no. 1 ,   p p.   570 - 583,   2005 ,   doi:   10 . 1016/j.a m c. 2004. 12. 010 .     [17]   H.  Jafa ri,   E.   T a yy eb i,   S.  Sadegh i, a nd  C.   M.  Khalique,   “ A ne w m o difi c at ion  of  th e  Adom ia n  dec om positi on  m et hod  for  nonli n ea r   integra l   equ at ions  MS C,   ”  vol .   1 ,   n o.   4 ,   pp .   33 - 39 ,   2014.   [18]   M.  Basto,   V.  Se m ia o,   and  F.  L .   Cal heiros ,   “ Num eri ca l  stud y   of   m odifi ed  Adom ia n’s  m et hod  appl i ed  to  Burg ers   equa t ion, ”  Jou rnal  of  Computati onal  and   Appl ie d  Ma t hemati cs,   vo l.  206,   pp.   92 7 - 949,   2007,   doi:   10. 1016/j.c am.2006. 09. 001 .     [19]   H.  O.  Bakod ah,  “ Modifie d  ado m ai n  dec om positi on  m et hod  f o r  the   g ene r al i zed  fift h  ord er  K dV  equa ti ons , ”  Ame rican Journal  of   Computati o nal  Math emati cs ,   no .   Janua r y   20 13,   2017 ,   doi :  10 . 4236/ajcm.2013 . 31008.     [20]   A.  F.  Qasim   and  Z.   Y.  Ali ,   “ Applic a ti on  of  Mo dif ie d  Adom ia n  Dec om positi on  Met hod  to  (2+ 1)  -   di m ensiona l  Non - li ne ar  W u - Zha n g  s y stem, ”  Jour nal  of  Al - Qadisi yah  for  Compute r  Sci en ce   and   M athe mati cs,   vol .   10,   no.   1,   pp .   40 - 53,   2018 ,   doi :  10 . 29304/j q cm.2018. 10. 1 . 340.     [21]   A.  W az waz ,   “ A  compari son  bet wee n   the  v a ria ti on al   itera t io n  m et hod  and  Adom ia n  dec o m positi on  m et hod, ”   Journal  of  C omputati onal  and  Appl i ed  Mathe mat i cs ,   vol.   207,   no. 1,   pp.   129 - 1 36,   2007,   do i:  10. 1016/j.c am.2006. 07. 018 .     [22]   Z.   R ane n ,   “ Hom otop y   per turbation  m et hod  fo r  solving  the  nonl ine ar   wave   equations. ”   JNUS ,   v ol.   13 ,   no .   4,   pp .   190 - 193,   2010 .   Doi:  10. 22401 /jnus . 13. 4. 26 .     [23]   J.  Ann  and  M.  Al - Am r,   “ Nu m eri c a l  soluti on   of  a  React ion - Diffu sion  s y stem  wit h  fast  rev ersibl e   rea c ti on  b y   usin g   adomian’ s  dec o m positi on  m et hod  and  he’ s  va ria ti on al   i te r at io n  m et hod, ”  AL - Raf idai n  Journal  of  Computer   Sci en ce s and   Ma the mati cs ,   vol .   9 ,   no .   2 ,   pp .   243 - 257,   2012 ,   doi :  1 0. 338 99/c sm j. 20 12. 163715.     [24]   Z.   A.  Firooz jae,  “ The   compari son  adomian  decom positi on  m et hod  and  diffe r en ti al   qu adr a ture   m et hod  for  solving   som e  nonli nea r   par tial  d ife ren tia l  equations,”  Am eric an  Journal  of  Applied  Ma th emati cs,   vol.  3,   no.   3,   pp.   90 - 94 ,   2015,   doi :  10 . 11 648/j . aj am.2015 0303. 12.   [25]   G.  Adom ia n,   “ S olut ion  of  Ph y si ca l  Problems   b y   dec om positi on, ”  Appl .   Math .   Comput. ,   vol.   27,   no.   9 - 10,   pp.   145 - 154,   1994 ,   doi :  1 0. 1016/0898 - 12 21(94)90132 - 5.     [26]   El - Kal la ,   I .   L.,  “ Err or  Anal y sis   of  Ado m ia n  S eri es  Soluti on  t o  A  Cla ss   of   N onli ne ar  Diffe re nti al   Equ ations” ,   Appl ie d   Math emati cs  E - Note s ,   v ol.   7 ,   pp .   214 - 22 1,   2007 .     [27]   T.   Y.  W u,   J.E .   Zha ng,   “ On  m odel li ng  non li ne ar  long  wave ”,   in:   L. 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Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Num eri c al s olut ion   of Dri nfeld - Sokol ov - Wi ls o  syste m by  us i ng …   ( B adran  Jasim  Sali m)     599   BIOGR AP HI ES OF  A UTH ORS         Bad ran  Jasim  Salim  rec e ive d   his  Ph.D   In  Mathe m at i cs,   2015,   Coll eg e  of  Math emati cs,   Univer sit y   of  Voronez h /Russia.   M.Sc  In  Mathe m atics,   200 4,   Mathe m at i cs  Depa rtment,  Coll ege  of  Com pute r  Sci ence  an d  Mathe m at i cs,   Univer sit y   of  M osul/Ira q.   Lectu r e /Full - T ime   Le c ture r  at   Dept .   of  Mathe m atic s/F ac ulty   of  B asic   edu ca t ion/ Uni ver sit y   of  Mos ul/ Ira q  2006 .   M y   r ese ar ch  in terest  in cl udes   Num eri ca l   Model in g,   Num eri c al   An aly s is,  Opt imi zat ion.         Oday   Ah me d  Jasim  recei ved   his  Master   d egr ee s  in   Appl y   M at hemat ic s  sci en ce   from   th e   Coll ege  of  Com pute r  Sc ie nc e  a nd  Mathe m atics ,   Univer si t y   of  Mos ul,   Ira q ,   in   2013.   Sinc e   2013,   I  am  cur ren tly   a  l ecture r  of  Mathe m at ic s   scie nce   in  the   Depa rtment   of  Mathe m at i cs,   Coll ege  of  B asi c  Edu ca t ion  at   t he  Univer si t y   of   Mos ul,   Ir aq.  My   rese ar ch  int e r est  in cl udes  Num eri ca l  Mod e li ng,   Num eri cal A naly sis ,   Optim iz a ti on.       Z ei ad  Ya hy a  Ali  rec e ive d  a  m aste r' s  degr e e   in  appl ie d  m athem at ic s  from   the   Coll eg e  of   Educ a ti on /Dep ar tment  of  Math e m at ic s,  Univ ersi t y   of  Mos ul,   Ir a q,   in  2010 .   Sin c e  2010,   I  am   cur ren t l y   workin g  as  a  le ct ur er  i n  the   Sports  Scie nce s  Branc h ,   C oll eg e  of  Ph y sic al   Educat ion  and  Sports  Science s  at  the  Univ ersity   of  Mos ul,  Ira q.   M y   r ese ar c h  int er ests  i nc lu de  num eri c al   m odel li ng,   num e ric a l  an aly sis,   op ti m iz ation,   and   stat ist ic s.           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.