Indonesi an  Journa l  of El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   24 ,  No.   1 ,  Octo be r   2021 ,  pp.  42 8 ~ 443   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v 24 .i 1 . pp 428 - 44 3          428       Journ al h om e page :  http: // ij eecs .iaesc or e.c om   A  no ve l  se cure biomedic al d ata aggre gation  using f ull y  homomorph ic encryption   in WS N       Ch et hana  G . ,  Pad m aja  K .   V .   Depa rtment  o f  E le c troni cs  and   C om m unic at ion  E ngine er ing,  RV  Coll ege  of   En gi neer in g ,   VTU,   Karna ta k a, I ndi a       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  his tory:   Re cei ved   Oct   6 ,  2020   Re vised  J ul   29 ,  2021   Accepte d  Aug   4 ,  2021       A  new  m et hod  of  sec ure   da ta   ag gre gation  for  de ci m al   da ta   hav in g  int eg er  as  well   as  fr ac t ion al   par t  using  h om om orphic   enc r y p ti on  is  desc ribe d .   Th e   proposed  homomorphic  enc r y pt ion  provide s  addi ti on,   s ubtra c ti on ,   m ult ipl icati on ,   d ivi sion  and  av er agi ng  oper a ti ons   in  the   ci ph er  d om ai n  for   both  positi ve  an d  nega ti v e  num ber s.  The   sch e m e  uses  int ege r   m at ric es  in   fini te  fi el d   Zp  as  enc r y p ti on   a nd  dec r y p ti on   k e y s .   An  embedde d  dig it a l   signat ure   al o ng   with  data  pro vide s  data  inte grity   and  aut h e nti c at ion  b y   signat ure   ver ifi c at ion  at   th e  rece ivi ng  end.   Th e  proposed  sche m e  is  imm une   to  chose n  p la i nte xt  and  cho sen  ci ph ert ex t   at t ac ks.   In  t he  c ase   of   hom om orphic   mul ti pl ic a ti on ,   th e   ci ph ert ex t  expans ion  rat io  gro ws   li near l y   with  the   data  siz e.   The   comput at i onal   complexit y   of  the   proposed  m et hod  for  m ult ipl icati on  a nd  divi sion  is  rel ative l y   le ss   b y   22. 87%  c om par ed  to   Brake rski  and   Vaika n ta na tha n  m et hod  when  the   size   of  the   pl ai n te xt  d at a   is   te n  d ec ima l  dig its .   Ke yw or ds:   Gen e rali zed i nverse   Ho m om or ph ic   encr y ption   Secu re  data ag gr e gatio n   Sign m od   Sign e d finit e  fiel d   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Au th or :   Chetha na G .   Dep a rtm ent o f El ect ro nic s  and C omm un ic ation   En gin ee rin g   RV Colle ge  of  En gin eeri ng, 8 th Mi le , Mysor e Roa d,  Be ng al uru - 5600 59   Affil ia te d  un de r  Vis ves war ay a Tec hn ologica l Un i ver sit y, B el agav i , I nd ia   Em a il : chethan ag@rvce .edu.i n       1.   INTROD U CTIO N     The  Ba sic   pu r po s e  of  data  aggre gation  ( D A)   i n  WSN   is   to  com bin e  the  data  c ollec te d  f ro m   the   sens or   no des  i nto   a   s uitable   aggre gate.  T he   ag gr e gate  m a y  be  s um ,  avera ge,   m in,  m ax,   m edian  or  an y  oth e r   m et ric  of   t he  c ollec te d  datase t.  The   ag gregat e  ty pe  dep e nds   on  natu re  of  the  pro blem   and   the   re quirem ents  of  end   us e rs   (E U ) .  In   ge ner al ,  D A  el i m inate s  un nece ssary,  i nc on s eq ue ntial ,  red un dan t  a nd   ou t dated  data  values .   In  m os t o f  the   cases,  DA   com pr ess es the  d at a size  w it hout  aff ect in g  the  c or e i nfor m at ion . T his  i n  tu rn  reduces  the  traf fic  loa d  from   aggreg at or  to  t he  nex t  i nten ded  de sti na ti on   th at   res ul ts  in  lo wer  e ne rg y  c onsu m ption  an d  conseq ue nt inc rease in  the life  of the   WSN.    -   Sec ur e   data  a ggre gation    In   t his  pa pe r,   t he   bio m edical   data  li ke  bo dy  tem per at ur e,   pulse   rate,  a nd  br eat h  r hythm   are  colle ct ed   from   wear able   sens or s  al on g  with  ad diti onal   patho l og ic al   data  li ke  bloo d  press ur e  (systoli c  and   dias toli c),   and     bloo d  s ugar ,   f or  ag grega ti on .  T he  cl ust er  hea d  (CH)  c ollec ts  the  data   from   the  sens or s  a nd  sto res  t hem   in   a  rep ute d  cl ou d  ser ver   (CS ).   Her e ,  the  CH  is  the  data  own er  and   the  a ggr egati on   op e rati on   is  delegate d  to  the   CS.  E ven  th ough  cl oud  ser ve rs  hav e   buil t  in  sec ur it y  agai ns t  exte rn al   t hreat s,  a n  hones t  bu t  c ur i ous  i ns ide r  m ay   acce ss  the   stored   healt h  record s   with out  authorizat ion .   To  pr e ve nt  this,  al l  the  sensiti ve  data  are  se nt  to   CS,  store d  at   CS  and   sent  out  by  the  CS  in  the  encr ypt ed  form .  T he  aggre gate  o pe r at ion s  su c h  as   su m,  pr od uct,  aver age  is  et c.  are  carried  ou t  in  th e  CS .  Secur e  da ta   agg re gat io n  (SDA )  can  be   i m ple m ented  us ing   non - hom o m or ph ic   or  hom om or ph ic   m et ho ds.  I n  t his  w ork  we  use   f ul ly   ho m o m or phic   enc ryptio n,  us i ng  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       A novel  sec ur e  biomedic al dat a aggre gati on  us in g  f ully h omo m or phic  e nc ryptio n  in  WSN   ( Chethan a G )   429   m at rix  keys,  to  i m ple m ent  S DA.  The  S DA  op erati ons  ba sed  on  hom o m orp hic  op e rati on s  a re  carrie d  ou t  at  the CS.   -   Re la te d  wor k   T he  im pact  of  data  ag gregati on  f ro m   the  se ns or  nodes   int o  a  s uitable   a ggre gate   is  propose d  in  2002  [ 1 ] .  Ra ndha wa   a n d   J a i n   [ 2]   exp al ine d  c urr ent  sta tus  a nd   fu t ur e   di recti on s   in  data   a ggre gatio n  in   w irel ess  sens or   n et w orks.   In   [3 ] - [ 5],  the  auth ors  ha ve  com pr e he ns ively   re view ed  s e ver al   sec ur e  data  ag gre gatio n  (S D A )  schem es  wh ic h  inc lud e  non - hom om or phic   as  well   as  ho m o m or ph ic   m et hods .  SDA   us in g  ho m om or ph ic   m et ho ds   bas ed  on  m at rix  keys  are  des cribe d  in  [ 6 ] - [ 8].  In   [6 ] ,  a uthors  ha ve  de scribe d  ho m om or ph ic   add it io n  ha ving  ve ry  good  se cur it y  m easur es.  I n  [ 7],  the  a uthors  ha ve  pr esented  hom om or ph ic   add it io n  of  m a trix  data  w hic h  is  su it able  f or  dig it al   i m ages.  In   [8 ] ,  a n  S DA   sc hem e  su it able  fo r  la r ge - scal e  wireless  se nso r  net works  is  com pr ehe ns iv el y  descr ibe d.  Fu ll y  ho m om or ph ic   enc ryption   (FHE )  s chem es  base d  on   diff e r ent  m at he m at i cal   app r oac hes   are  extensivel y  descr ibe d  in  the  su r vey  pa pe rs  [9 ] - [ 11 ] .  I n  these   pap e rs,   the  aut hors  ha ve  re viewed   m os t  of   the  avail able  cl assic al   and   la ttice   al so   kn ow n  as  m a trix  base d  FH E   m et ho d s  with  appr opriat e  co m par ison   am on g  th os e  m et ho ds.  I n  [ 11 ] ,  Ma rtins  et   al.   hav e  discusse d  var io us  FH E  m et ho ds   from   the  eng in eerin g  point  of  view.   I n  [ 12 ] ,  Dijk,  et   al.   ha ve   pr ese nted  on e  of   the  earli es t  FH E  m et ho d  know n  as  D G HV   sch e m e  wh ic h  is  ba sed  on  ba s ic   m od ular  arit hm et ic .  Crai g   [ 13] ,  ha s  pr opos e d  F H E   us in g  ideal   la tt ic es  with  squa sh in g  te ch niqu e  that  per m it s  bootstra pp i ng.  In   [14],  the  a ut hors  ha ve  pr e sente d  FH E   w hich   use s  sho rter  publ ic   keys.  In  [ 15] ,  Bra ker s ki  a nd  Vaika ntan at ha n  (BV )  hav e   re al iz ed  F H E  with  re - li near iz at ion   a nd   dim ension   r edu ct io n  te c hniqu es  t o  im pr ov e  the  perform ance  of  F HE.   Be cause  of  dim ensi on   reducti on  te ch nique,   the d ec r ypti on  proce ss is  relat ively   fas t.  H ow e ve r,   i n  BV  m et ho d,  th e   plainte xt  is  a  b it   ( 0  or   1).  Hedgli n  ph il li ps   an d   rei ll ey   (H PR)  [16 ] ,  hav e  de velo ped   F HE  di rec tl y  fo r  integers   wh ere by  co nv ersio n  from   integers  t o  bin a ry  an d  vi ce - ve rsa  a re  a voide d.   HP R   m et hod  is  c om pu ta ti on al ly   ex pe ns ive .  I n  [ 17 ] ,   [ 18 ] ,   auth or s  ha ve  di scusse d  on  F PGA  ba sed  fu l ly   ho m o m or ph ic   encr ypti ons .   They  ha ve  prov i ded   so l utio ns   f or  achievin g  lo w - com plexity   ho m o m or ph ic   op erati on s for   F H E,  co nver ging o n  t he  ha r dw a r e  i m ple m entat i on.   I n  [19 ] - [ 23] ,  aut hors  ha ve  discuss e d  on  pri vacy  pr es er vin g  a ggre gatio n  te ch niques  for  non - ho m om or ph i c   m et ho ds.  Wh e reas  in  our  pr opos e d  rese arc h  w ork,   ne w  pri vacy  preser vi ng   m et ho d  for   fu ll y  ho m omor phic   aggre gation  f unct ions  a re  dis cusse d  a nd  is  r eal iz ed  us i ng  s of t war e   w hich   can  be  sc al ed  up  ef fortl essly   at   low  com pu ta ti on al   cost.        2.   P R OP OSE D MET HO D   In   our  pro pose d  w ork,   a  nov e l  secur e  data  a ggre gation  sc hem e  based   on  ho m om or ph ic   op e rati ons  is  descr i bed.  T he   schem e  is  design at ed  a s  ho m o m or ph ic - s e cur e  d at a  a ggr egati on   ( H SDA ).   The  basic  la yout  of   HSDA  is as   s how n  i n  F i gure  1.           Figure  1. Lay out o f  hom o m or ph ic   secu re  dat a ag gr e gatio n  ( HSDA )       2.1.      B as ic   la yout o f hom om orph ic   secure  da t a a ggreg at i on   In  F i gure  1,  th e  c luster  h ea d  ( CH)   colle ct s  th e  vital   data  fr om   senso rs  a nd  it   is  the  data   ow ne r .  It  al s o  hous es  the  E ncr y pter,   Key   Gen e rati on /St or a ge  U nit  an d  oth e r  nece s sary  hard war e   and   s of twa re .  The   encr y pted  data  is  sent  and   st ored  in  t he  CS.  The  CS  bl oc k  ho l ds   the  e ncry pted  data  in  a ppr opriat e  ta bles  wit h    Rep ly   Qu ery   Ou tp u t   Inp u t   CLUST ER H EAD   End  User (EU )     C   E {i}   Q   R = Ran d o m izatio n  ter m   S =  Sig n atu re  p a ra m e te r   G   C  =  Q * E { i }   (E n cr y p ter)   Clo ud Server  (CS )   Decr y p ter        Key   Gen eration  an d  Key   Sto rage Unit   Ap p en d   R an d  S   Qu er y   Gen erator        Encry p ted  Stor ag e   Qu ery Process in g   Ho m o m o rph ic Uni t   D   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   24 , N o.   1 ,  Oct ober  20 21 :  42 8   -   44 3   430   su it able  la bels .   The   hom o m or phic   un it   is  i m ple m ented  in   CS  us in g  t he  python  s oft wa r e.  CS  has   the  qu e ry  processi ng   unit   that   acce pts  qu eries  f ro m   E Us  an d  ge ner at es  the  cor re spo nd i ng   r esp onse   after  ho m om o rphic   op e rati ons  an d  then,   se nd s  ba ck  the  co rr ect   rep li es  to  the  EUs.   T he  quer y  and   re ply  are  al so   in  the  en crypted   form .  The  EU s  can  be  Do ct or s ,  Sp eci al ist s  or   a ny  auth ori zed  e ntit ie s.  The  E U  unit   hous es  the  de cryp te r   wh ic h  decr y pts  the  re plies  f r om   ho m o m or phic   unit   to   get   the  fi nal  res ult   in  t he  plainte xt  f or m at .  A ddit ion al   detai ls ab ou t t he  workin g of t he  v a rio us   un it s  of  F ig ur e  1 wil l be  unveile d s ub s eq ue ntly .     2.2.      S ymbols ,  def ini ti on s  an d not at i on s   Our  pro pose d  m et ho d  H SDA   us es  m od ular   arit hm e ti c  op erati on s  i nvolvi ng   ve ct ors  an d  m at rices  with  posit ive  a nd   negat ive  de cim al   nu m ber s .  Vecto rs  an d  m at rices  are  rep rese nted  by  sy m bo ls  in  bo l d  capit al  fonts. Sca la r v ariables a re  r ep resen te d  in  no r m al  f on t.       2.2.1.  M od ul ar  a ri t hmetic  f or  si gn ed  inte gers   A  hom o m or ph ic   encr ypti on  s yst e m   that  us es  su bt racti on   s hould   be  able  to  ha nd le   bo t h    po sit ive  a s   well   as  neg at i ve  num ber s  a s,  the  res ult  of  subtract io n  of   tw o  nu m ber s   can  be  pos it iv e  or   ne gative.  I n  conve ntion al   m od ular  arit hm et ic   Z p ,  all  the  el e m ents  are  in  the  ra nge  0  to  ( p ‒1)  a nd  he nce  they   are  po sit ive .   In   cry ptogra ph y,  p   is  a  la rg e   pr im e  nu m be r.   I n  this  w ork ,  sign e d  fi nite  fiel d  (S F F)   m odular  a rithm e ti c  is   introd uced   to  t ake  care  of  po sit ive  as  well   as  neg at ive  int eger s .  Co nv e nt ion al   m od ular  arit hm etic  is  u sed  in  conve nti on al   fi nite  fiel d  (CFF )  Z p .  In   Z p ,  the   range  of  integ ers  is  from   0  t o  ( p ‒ 1).  Wh e n  neg at ive  i ntege rs  are   involve d,   t he  Sign e d  Fi nite  Fiel d,   ab brevi at ed  as  SF F p   is  us ed .  T he  r ang e  of  intege rs  in  S FF p   is  from   – floo r ( − 1 2 )     to     + f loor ( − 1 2 ) .   T a ble 1 sh ow s  the  co m par iso n betwee n C FF  an d SFF .       Table  1.   C om par iso n of CFF  and SF F      Co n v en tio n al Finite Field  ( CF F)   Sig n ed  Finite Field  ( SFF )   Sy m b o l   Z p   SFF p   Ran g e   Integ ers fro m  0 to   (p - 1)   Integ ers fro m   – f lo o r ( − 1 2 )   to  +f lo o r ( − 1 2 )   No .  o f  ele m en ts in   rang e   p   p   Rep resentatio n  of   an  ar b itrar y   in teg er  ‘x’   y   = ( x   m o d   p )  =  x   ‒  floo r ( ) ∗   y   =  x   ‒  round ( ) ∗   Matlab f u n ctio n   y   =  m o d ( x ,  p )     [ b u ilt in f u n ctio n ]   y   =  sig n Mo d   ( x ,  p )      [ User def in ed ]       w he n  x   is a sca la r  intege r, sig nMod  ( x ,  p ) i s  def i ned as,     sign M od ( x ,  p )  =  x   ‒  round ( ) ∗   (1)     T he defi niti on  is exten de d  f or  a n  i ntege r vect or or m at rix  X   as,     si gn M od ( X ,  p )  =  X   ‒ r ound ( X / p ) * p ;     The  sig nM od   op e rati on  is  a pp li ed  t o  al l  the  in div i du al   el e m ents  of   m at rix  X  to  get  the  m at r ix  sign M od( X ,  p ) .  The  siz es  of  X   and   si gn M od( X ,  p )  are   sa m e .   Exam ple  1  dem on strat es  the  di ff e ren ce  be twee n  CFF  and   S FF  values .  Examp le   1 :  Her e,   p   =   11 .   I nte ger   va riable  x   var ie s  from   0  to  2 2   and   the  c orres pondin g  equ i valent  val ues  i n  CFF   give n  by  y   =          m od  ( x ,  p )   an d  i n  S FF  giv e n  by   z   =  si gn M od( x ,  p )   are   as  show n  i n  Table  2.       Table  2.   y   = m od( x ,  p )   a nd  z   = sig nMod( x ,  p )  v al ues for  p   = 11 a nd for  x   = 0   t o  22   x   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   y   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   0   z   0   1   2   3   4   5   ‒ 5   ‒ 4   ‒ 3   ‒ 2   ‒ 1   0   1   2   3   4   5   ‒ 5   ‒ 4   ‒ 3   ‒ 2   ‒ 1   0       Fr om  ( 1) a nd  f ro m  Tab le   2 , it  can be  seen  th at ,   signMo d ( , ) = {   mo d ( , ) , whe n   0 ≤ mod ( , ) ≤ floo r ( / 2 )             mo d ( , ) − .     whe n     mod ( x , p ) >   floor ( / 2 )           It ca n be  ver ifi ed  that t he foll ow i ng d ist ri bu t ive pr op e rty  which  holds  go od  for  m od ( …)   al so   ho l ds   good  for  sign M od(… )  a s,   sign M od( a   ±  b ,  p )  =  sig nMod (signMo d( a ,  p )  ±  si gn M od( b ,  p ) ,  p )   sign M od( a   *  b ,  p )  = si gn M od( sign M od( a ,  p ) *s ig nMod ( b ,  p ),  p )   The  ab ove  ide ntit ie s  ho ld  good   for  both  posit ive  and   negat ive  integer  va lues  of  a   an d  b  as  well   as   wh e n  a   an d  b   are  inte ger  m atr ic es.  An  obvi ou s ,  but  interes ti ng   pro per ty   of  sigM od( x ,  p )  and  m od ( x ,  p ),  w he n  x   = 1 i s,    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       A novel  sec ur e  biomedic al dat a aggre gati on  us in g  f ully h omo m or phic  e nc ryptio n  in  WSN   ( Chethan a G )   431   sign M od( 1,   p )    = m od ( 1,   p )  = 1 ,      ass um ing    p  >  1.    Si m il arly ,   wh e n  the  ar gum ent  is an  ide ntit y m at rix  × ,   signMod ( × , ) = mod ( × , ) = × n         , a ss um in g     >   1 .                                                                                                                                                                                   2.2.2.  Decr ypt ion m at ri ces   The   dec ryptio n  m at rix,   desig na te d  by  D   is  a n  i ntege r   m at ri x  of  siz e  ×   where  ∈ Z p × .  He re   m   is cho se n  to b e  g reater tha n  n  and  the elem ents o f  D   are cho sen  su c h  that rank( D )  =  n .  Th e v al ue  of   n   de pends   on   t he  siz e  of   the  plainte xt  da ta   el e m ent  to  be  enc rypte d.   Her e ,  D   is  a  ta ll   m a trix  an d  it   has  it s  le ft  m odula r   inv e rse [2 4] d e sign at e d by  A   s uch tha t,     m od ( A * D ,  p )   =  ×   ( 2 )     Her e   ∈ ×    an d  is  giv en  b y,     = left − = ( ∗ ) − ∗ T                           ( in   mod   p )   ( 3 )     Her e ,  m at rix  A   is  t he  Mo or e - Penrose  i nvers e  [25]  of  D   in  Z p   and  D T   is  t he  tra ns pose  of  D .  F or   a  give n  f ull  rank  D ,   it s  Moore - Penr os e  i nv e rse  is   uniq ue   a nd  is  giv e n  by  ( 3)  wh e r e  ( ∗ ) −   is  the  m odul ar  m at rix  inv e rse  of     ( ∗ ) .   Whe n  m ulti ple  inv e rses  a re  need e d,   t hey  are  ge ne rated  us in g  t he   null   sp ace  of   D .  Since  D   is a  tal l  m at rix,  it  h a s left  null  sp ace   [ 25 ] .   Let  m a trix  F   re pr ese nts t he  m odular  left n ull  sp ace  of  D .    The n,     m od ( F * D ,  p )  =  ( − )    Her e , th e  size  of  F   is ( m ‒ n ) * m . Wh en  the re  is n o   am bi gu it y, the a bove  e quat ion can  be  wr it te n  as ,     F * D   =  ( − )    ( 4 )     F   is   obta ined  usi ng the m odular  li near al ge bra .     2.2.3.  E ncry pti on   m at ri ces   The  e ncr y pti on  m at rix,   desig nated  by  E   is  an  intege r  m atr ix  of   siz e  × ,  wh e re  m at rix  E   ∈ Z p n × m .  Ma tr ix  E   is  c onstr ucted   su c h  that  ∗   =  ×   .  Ma t rix  E   is   de rive d  from   A   and   F   as  f ollows.  C onside r  (4)   and pre - m ulti ply bo th  sides  of  ( 4)  by a n  ar bitrary r an dom  integer  m at rix   ( − )   th at  b el ongs t o  × ( − )   .   The n,      ( − ) ∗ ( ∗ ) ( − )    =   ( − ) ∗ ( − )  =     (5)     In   ( 5) can  b e  r e wr it te n  as ,     ( ∗ )  ∗  =      (6)     Now, co ns i der   (2) whic h  ca n be e xpresse d  a s,      ∗  =   ×   (7)     The  siz e  of  the  LH S  of  (6)  a s  well  as that  of  (7)  is  n x n . T he refor e , on ad di ng (7) an d ( 6) ,   we get ,        ∗  + ( ∗ )  ∗  = ×   This is  rewrit te n  as ,     ( + ∗ ) ∗   =  ×     (8)   Let  the m at rix  su m   ( + ∗ )   be den ote d by m at rix  E  as ,      = + ∗   ( 9 )     Fr om  ( 8) a nd (9),      ∗   =  ×   (10)     Ma trix  E   that  sat isfie s  ( 10 )  i s  cal le d  the  ge ner al iz ed  i nv e r se  [25]  of  D   a nd   is  giv e n  by   ( 9 ).   Si nce  E   dep e nds  on  W   wh ic h  is  rand om   m at rix  that  can  ta ke  dif fer e nt  disti nct  valu es,  E   al so   can  ta ke  dif fer e nt  va lues.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   24 , N o.   1 ,  Oct ober  20 21 :  42 8   -   44 3   432   The  m at rix  W   has  n ×( m ‒ n )  el e m ents  wh ic h  belo ng  to  Z p . E ach  el em ent  can  ta ke  p   disti nc t  values   from   0  to  ( p   ‒  1)  a nd  th us   t heoreti cal ly ,  th e  num ber   of  possible   disti nct   ways  i n  w hich   W   ca n  be  c on structed   is  p × ( − ) .    Let   us   re pr ese nt  the  i th   instan ce  of   W   by  W { i }  wh er e  i   can  ta ke  value s  in  t he  ra nge  1  to   × ( − ) .   The n  from   ( 9) , t he  c orres pondin g  E { i } ca n be  rewrit te n as,     E { i } =  A   +  W { i }* F   (1 1 )     for  i   =  1  t o  × ( − ) .    I n t erm s o f  the  i th   ver si on of  E ,  in  ( 1 0 )  can  b e  re wr it te n  as ,       E { i }* D   =  ×     (1 2 )     We  us e  E { 1},  E {2}, …,  E { i },…  as   the  e ncr y ption  m atr ic es  w hich   ar e  obta ine d  f r om   (1 1 ),  by   corres pondin gly  ch o o s i ng  W {1},   W {2}, …,   W { i }  an d  so  on.  F or  good  secur it y  we  c hoose   W { i }   su ch  that  E { i }   is  no n - s pa r se.   Th ere  is  no   ri gid   r ule  in  sel ect ing   the   or de r  W {1},  W {2},… ,  W { i }.  The  first  ra ndom l y  sel ect ed  W   is  de no te d  as  W {1},  the   sec ond  one  as  W {2},  t he  i th   on e  is  cal le d  W { i }.  The  i nten ti on   of   gen e rati ng  dif f eren t  E { i }’s  is  to  us e  dissim i la r  E { i }’s  for  su ccess i ve  enc ryptio ns   to  av oid   ch os e n  pla in  te xt   at ta ck .   E { i }’s a re th e  left m od ula r  in verses  [24] of  D .    Securi t y  of  t he  Encr yptio n  Keys :   By   knowin g  the  de crypti on  key  D ,  the  e ncr y ption   key  E { i }  cannot  be   de te rm ined  as  t here  are   × ( − )   possi ble  values   f or  E { i }.  T he   pro ba bi li ty   of   c orrect  gu e ssin g  t he   pr ese nt  E { i }  is  thu s  1 × ( − )   w hich  w il l  be  a  ver y  s m al l  fr act ion   w hen   p   a nd  ( m ‒ n )  a re  la r ge.  I n  our  e xam ples  ( m ‒ n )  is  ta ken  as  2.   Larg e r  va lues  of   p   an d  ( m ‒ n )  can  pro vid e  hi gh e r  de gr ee  of   sec ur it y  fo r  the  enc rypti on   key.   I n  e xam pl e   2 ,  tw o  sam ple s  of     W { i }’ s    and   t he  c orres pondin g  E { i }’ s  are  ge ne rated   for  a  gi ve n  D    and   it   is sh own  t hat the  pro du ct   of e ncr y ption key  and the  dec ryp ti on   key res ults  in  the  ide ntit y m at r ix.    Example  2 :  Le t  m  = 3 , n =  2 a nd the m odulus p  = 11 a nd  D =   [ 1 2 3 5 10 7 ] . he  m od ular n ull space  of  D   is f ound   to b e ,   F   =  [7, 9 , 1 ] .  U si ng (3),  m at rix  A   is f ound to be,   = ( ∗ ) − ∗ = [ 8 3 5 10 8 1 ] .   Let  u s ta ke  W   {1} as   { 1 } = [ 4 7 ] .    The n usin g (11 ),   we get   {1} a s   { 1 } = [ 8 3 5 10 8 1 ] + [ 4 7 ] ∗ [ 7 9 1 ] = [ 36 39 9 59 71 8 ] .     Af te r  takin g  t he  m od  w it h  p   =  11,  m at rix    { 1 } = [ 3 6 9 4 5 8 ] .   Now, i t can  be verifie d  th at   { 1 } ∗ = [ 3 6 9 4 5 8 ] ∗ [ 1 2 3 5 10 7 ] = [ 111 99 99 89 ]   (    11 ) = [ 1 0 0 1 ] .   Si m il arly , taki ng  {2} =  [ 8 6 ] ,     m a trix  {2} is  fou nd  to b e ,   { 2 } = [ 9 9 2 8 7 7 ] .   It can  b e  v e rifi ed  that  { 2 } ∗ = [ 9 9 2 8 7 7 ] ∗ [ 1 2 3 5 10 7 ] = [ 56 77 99 100 ]   (    11 ) = [ 1 0 0 1 ]     2.2.4.  Repre se nt ati on  of dat a to be e ncry p ted   In   HSDA ,  the  data  to  be  e nc rypted  a re  bi o - m edical   sa m pl es  li ke  BP,  su gar   le vel,  puls e  rate,  bo dy   tem per at ur e  a nd  so   on.  T he  a ct ual  values  m ay   be  intege rs  for  BP   m easur e m ents  or     dec i m al   nu m ber s  with   fr act io nal  par t s  f or  bo dy  tem per at ure  (i n  Fa hren heit )   m easur em ent s .  I n  our   w ork ,  the   fi xed - po i nt  represe ntati on   for  decim a l  nu m ber s   is  us e d .  Fo r   the  i ntege r   pa rt,  L   dig it s  are  us ed   an d  f or   t he  fr act io na l  par t ,   K   dig it s a re  use d  as  sho wn  in  (13).  C onside r  a d eci m al  n umber  r e pr ese nted  b y  g ( L , K )  as  f ollows.       (13)     Her e ,  t he   wei ghts  of  t he  i nte ger  par t   are   [ 10 L − 1 , 10 L − 2   , … , 10 0 ]   a nd  th e  weig hts   of   the   f racti on al  par t  a re  [ 10 − 1 , 10 − 2   , … , 10 − ]   in  tha t  order.  T he  c on cat e nated  w ei gh t  vecto r  re pr ese nted   by  V ( L,  K )  is   def i ned as,     ( , ) = [ 10 − 1 , 10 − 2 , … . , 10 0 ,       10 − 1 , 10 − 2 , … , 10 − ]                                   ( 14)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       A novel  sec ur e  biomedic al dat a aggre gati on  us in g  f ully h omo m or phic  e nc ryptio n  in  WSN   ( Chethan a G )   433   In   ( 14)  s up e rsc ript  T   re pr ese nt s  trans pose  operati on .  T he  si ze  of  col um n  ve ct or   V ( L,  K )   i s  ( L + K )x1.  T he  e quivale nt   r ow   vect or   of  g,   re pr ese nted   by  G   ( L ,  K )  be  def i ned as,     G   ( L ,  K )  =  [ g ( 1),  g ( 2),  ---- ,  g ( L ),  g ( L + 1) ,   g ( L + 2),  - --- ,  g ( L + K )]   (15)     In   ( 14)  a nd   ( 15) ,  pa ram et er  L   re pr ese nts  th e  le ng t h  of  th e   integer   pa rt   in   dig it s ,    w hile  the  le ngth  of  the f racti onal  part i s r epr ese nt ed  by  K . V ect or  G ( L ,  K )  is a v ect or  of size 1 x( L + K ).  Eac h  el e m ent o f  G ( L ,  K )  is  a  decim al   dig it   in  the  ra nge  0  to  9.   I n  ( 15)   i m plies  that  the  j th  el em ent  of   G ( L ,  K )  is   ob ta i ned   a s  the  j th  decim al   dig it   of   g ,  for  j   =   1  to   ( L + K ),   c ounti ng  f ro m   le ft  to   rig ht,  i gnori ng   the  decim al   po int.   Th us ,   vec tor  G   ( L ,  K )  is   the   e qu i valent  row   vecto r   of  deci m al   nu m be r  g   ( L ,  K ) .   T he  process  of  gener at ing   vecto r  G   ( L ,  K )  from   g   ( L ,  K )  c an be cal le d as  the d eci m al  d igit  d ec om po sit ion .  F ro m  ( 13) ,  (14) a nd (1 5) ,   it  can  be  see n  t hat,     g   ( L ,  K )  =   G   ( L ,  K ) * V   ( L ,  K)     ( 16)     In   ( 16) ,  the  siz e  of   g   is  ( 1x( L + K ))   x(( L + K )  x1   =  1  wh ic h  is  a  scal ar.  W he n  there  is  no  am big uity ,  g   is  us e d  in   place o f  g   ( L ,  K ). E xam ple   3 i ll us trat es the  r epr ese ntati on  of a  decim al  n um ber  b y i ts eq uiv al ent  r ow vec tor.     Example  3 .   Le t  the  giv e n  dec i m al   nu m ber   be,   g(4 ,   4)   =  23 45 • 6789   ,  Her e ,  L   =  4  a nd  K   =  4 .  T he n,   G   ( 4,   4)   =   [2,  3,   4,  5,  6,   7,  8,  9].  I n  t his  case,  V   (4,  4)   =  [ 10 3 , 10 2 , 10 1 10 0 ,        − ,  − ,  −    − ]   .  From   G   ( 4,  4)   and      V   (4,  4),  the  decim al  eq uiv al ent  g   is  ca lc ulate d  as,       g   =  G  ( 4, 4)* V   ( 4,   4) =  [2,  3,   4,   5, 6,  7,   8, 9]  *  [ 10 3 , 10 2 , 10 1 , 10 0 ,        − ,  − ,  −   ,  − ]           = 2 ∗ 10 3 + 3 ∗ 10 2 + 4 ∗ 10 1 + 5 ∗ 10 0 + 6 ∗ 10 − 1 + 6 ∗ 10 − 2 + 8 ∗ 10 − 3 + 9 ∗   10 − 4   =  2345•6 789.       I n  our   pr opos e d  m et ho d ,   H S DA,   we  us e  int eger  r o w   vect ors  li ke  G   ( L ,  K )  as  t he  basic  pl ai ntext  data  to  be  e ncr y pte d.   Dep e ndin g  on   t he  natur e   of  the  pro blem ,  the  le ngth  of   t he  r ow  vect or   i s  fixe d  at   ( L + K ) .  T he  values  of   L   a nd  K   are  desi gn er’ s   decisi on  and   dep e nd  on  the  range  of  th e  data  values  of  the  pro blem   unde r  consi der at io n.      2.2.5.  Repre se nt ati on  of a ne gative  decimal   number   Let     h   be  a  neg at ive  decim al   nu m ber   as  h   =  ‒  g    an d  le t  G ( L ,  K )  be   the  row  vect or   w hic h  is   equ i valent  of   g .  T he n,   obviously ,  H ( L ,  K )  =  row  ve ct or   of  h  =  ‒  G ( L , K ) .  As  a n  ex am ple ,   l et   h   =  ‒  567.2 3.   The n,   H ( 3,   2)   =  ‒  [5,  6,   7,   2,   3].    Fr om   H (3,   2),  the  c orre sp on ding  deci m al   nu m ber   h  is  ob ta ine d  bas ed  on  ( 16 )   as,   h   =  H ( 3,   2)* V ( 3,   2)   =  ‒  [5,  6,  7,   2,   3] *[100,   10,  1,  0.1,  0.0 1] T   =  ‒( 500  + 60+7+  0.2+ 0.0 3)   =  ‒567. 23 .  No te  t hat,      ‒ [ 5,   6, 7,  2,   3] =  [‒5, ‒ 6, ‒7,  ‒2, ‒ 3] .         In  ge ne ral,  the   range  of  the   el e m ents  of  a   r ow  vecto r  c orre sp on ding  t o  a   po sit i ve   or  ne ga ti ve  decim a l   nu m ber ,  is ‒9 t o  + 9.   A fe w num erical  ex am p le s ar e s how n  i n  Ta ble  3   f or  L   = 6.       Table  3.   R ow  vecto r  re presen ta ti on  of  decim al  n um ber s   Sl.     No .     Ro w Vec to r  G ( L ,  K )  o f  size 1x ( L + K )  with  L   =  6 an d   K   = 4   Ro w E le m en ts      →   g (1)   g (2)   g (3)   g (4)   g (5)   g (6)   g (7)   g (8)   g (9)   G(10 )   Deci m a l weigh ts  →   10 5   10 4   10 3   10 2   10 1   10 0   10 ‒ 1   10 ‒ 2   10 ‒ 3   10 ‒ 4     Deci m a l nu m b er  ( g )   ↓   Integ er  p art   Fraction al part   1   2 3 5 .46   0   0   0   2   3   5   4   6   0   0   2   9 9 9 9 9 9 .9999  ( +v e m a x )   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9   3   ‒ 8 9 .0305   0   0   0   0   ‒ 8   ‒ 9   0   ‒ 3   0   ‒ 5   4   ‒ 9 9 9 9 9 9 .9 9 9 9  ( ‒ v e  m ax )   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   ‒ 9   5   4 6 8 0 3 9   4   6   8   0   3   9   0   0   0   0   6   0 .38   0   0   0   0   0   0   3   8   0   0       If   t he  nu m ber   of   decim al   dig it s  of  the  i ntege r  pa rt  is  le ss  t ha n  L ,  le adi ng  z ero s   are  i ns e rted  s uch  that   the total  num ber  d eci m al  d igit  is equ al  to  L . Sim il arly ,   if the n um ber   of   di gits in the  fr act ion al   par t i s les s than   K ,  trai li ng   zer os   are  ap pe nd e d  to  m ake  it  e qu al   to  K .  F or   exam ple,  in  Table  3,   f or   S e ri al   N o.   1  with  data  =  235.4 6,   th ree  le adin g  zer os   and   tw o  trai li ng  zero s  are  in se rted.   F or   S e ria l  N o.   3  with  da ta   =  ‒8 9.0 305  f ou r   le ading zer os   a re in se rted .      2.2.6.  E ncry pti on   of  d ata   Let   the  data  to  be  e ncr ypte d  be  de ci m a l  nu m ber   g   wh i ch  can  be  pos it ive  or   ne gative,   w hich  is   represe nted  by  it s  row  vector  eq uiv al ent  G ( L ,  K )    of  siz e  1x( L + K ).   T his  G ( L ,   K )     is  ext end e d  by  ap pe ndi ng    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   24 , N o.   1 ,  Oct ober  20 21 :  42 8   -   44 3   434   rand om   scal ar   el e m ent  R   for  enc ryptio n  proces s  an d  sca la r  el e m ent  S   represe nting     dig it al   sign at ure  f or  sign at ur e  ve rifi cat ion   process   to g et  t he  R ea dy  to  E ncr ypt  V ect or   Q   as ,     Q   =  [ G ( L ,  K ) ,  R ,  S ]  = [ G ,  R ,  S ]   (17)     Wh e n  t her e   is  no  am big uity ,  G ( L ,  K )  is  re fe rr e d  as  G   for  e asy   wr it in g.   In  ( 17 ) ,   Q   is  the   aug m ented   ver si on   of   G    and   the   siz e  of  Q   is  1x ( L + K + 2),  beca us e  tw o  extra  el em ents  are  app e nd e d  to  Q .  Ele m e nt  R   is   the  ra ndom iz ing   el em ent  and   S   is  the  sig natu re  el em ent.  Both  o f  them   belong  t o  SF F p \ {0 }.  The   pur pose   of  R   and  S   an d  t he  s el ect ion   of  t heir val ues wil l be   disc us se d  in  s ect ion   3A(i).     In   HSD A,   t he   siz e  of  th e  enc ryptio n  vecto r  say   E {1},  is  n × m   a nd  in  t he   desi gn   of  encr y ption / dec ryptio n  sc hem e ,  n   is c ho se n  e qual  to  L + K +2 . T hat is,      n   =  L   +  K   +  2     ( 18)     The n  the  siz e  of   Q  is  1× n   { w hich  is  sam e  as   1x   ( L + K +2 )}.  The  enc ryptio n  of   Q  is  car ried   ou t  by  sim ply  po st   m ul ti plyi ng   Q   in sig ne d  Fi nite Fi el d by  E { i } ( say   for  i   =  1) to  g et  t he  ci pherte xt  C   w hic h belo ngs to  S FF p   as,     = signMo d ( ∗ { } , )   ( 19)     The  siz e  of  C   i s (1x n )x( n x m ) =  (1x m )  and  C   belo ngs to  SFF p .              2.2.7.  Decr ypt ion  of  d ata   T he  data  to  be   ob ta ine d  after  de cry pt ion   is   the  deci m al  nu m ber   g   w hich  co uld   be   po sit ive   or  neg at i ve ,   an d  it   is  rep resen te d  by  it s  ro w  ve ct or   eq uiv al e nt  G   ( L ,  K )  of  siz e  1x   ( L + K ) .  Decr ypti on   of  C   is  carried  out as ,     dec ( ) = signMod ( ∗ , )   (20)     Substi tuti ng fo r  C   from  ( 19) On t he  R HS o f  (20) a nd sim pl ify ing   giv es ,     dec ( ) = signMod ( signMo d ( ∗ { } , ) ∗ , ) = signMo d ( ∗ { } ∗ , )   (21)     Fr om  ( 12 ),   E { i }* D   =   × .    He nce ,     dec( C )  =  signMo d ( , )   =  Q   (22)     signMod ( , )   =  Q ,  beca us e   Q   bel ongs   t o  SFF p .  T hus  de c( C )  obta ined   us i ng  ( 22)  re cov e rs  t he  or i gin al   plainte xt  vecto r  Q .   Af te r  stri ppin g  R   an d  S   from   Q , w e  g et   G .    From   G , its  equivale nt   g   is o btained  usi ng  (16).       3.   HOMOM O R PHIC OPE R ATIO NS   ON  BIOME DICA L DA T A      In   HSDA ,  t he  su m   and   ave ra ge  ag gregates  of   bio m edical   data  in  ci pher  do m ai n  are  obt ai ned   us in g  Ho m om or ph ic   Op e rati ons .  Th e  ci ph erte xts  are  integers  in  SF F p   as  sp eci fi ed  by  (19).  Th ese  ci ph erte xts   wh e n  decr y pted ,   res ult  in  the  pla intext.  T his  is  po s sible  un de r  certai n  ty pe s  of   e nc ryption s  an d  s ub se qu e nt   decr y ption s .  T ho s e  sp eci al   ty pes  of  enc rypti on s  w hich  are  a m enab le   to  hom o m or phic   operati ons  are  c al le d  h om om or ph ic   encr ypti ons  (H E ).   I f  al ong  with  ad diti on,  oth e r  arit hm etic,  al gebraic  op e rati on s  are  ho m om or ph ic ,   then  the  c orre sp on ding  en cr ypti on s  a re  de sign at e d  as  f ul ly   h om o m or ph ic   encr ypti ons  (F H E)   [6 ] ,  [ 7].   I n  the   fo ll owin g  sect ion s ,  hom o m or ph ic   a dd it io n,   su bt racti on,  m ulti plica ti on ,  di vision,  an d  av erage   op e rati ons a re  discusse d al on g wit h  si gn at ure ve rificat ion a nd d at a a uthe nt ic at ion .      3.1.   H om omorphic   addi ti on   The  pro posed   H om o m or phic   A dd it io n  m et hod  us e d  in   HSD A  is  de sign at e d  as  H SDA_A DD.   Con si der   t w o  plainte xt  deci m al   nu m ber s  g   and   h   of  le ngt h  at   m os t  L  dig it s.  Let   their  equ i valents  r ow   vectors  be  G   a nd  H  ea ch wit h  siz e  1x ( L + K ). A ppe nd  R 1,  S 1 an d  R 2,  S 2   t o  G   a nd  H   res pecti vely   to g et   Q 1  a nd  Q 2 as,       (23)     The  siz e  of   Q 1  as  well   as  Q 2  is  1x( L + K +2 )  =  1x n .  ( N ote  that  n   =  L + K +2).  Let   C 1  an d  C 2  be  th e   encr y pted  ci phertexts  ob ta i ne d from   Q 1  a nd  Q 2 as,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       A novel  sec ur e  biomedic al dat a aggre gati on  us in g  f ully h omo m or phic  e nc ryptio n  in  WSN   ( Chethan a G )   435     (24)     Her e ,  {1}  a nd  {2}  are  tw o  di ff ere nt  ve rsions  of    whose  s iz e  is  n x m .  Th e  siz e  of   1  or   2  i s   (1x n ) x( n x m )  =  1x m . When  the re is  no am big uity , (24)  ca n b e sim ply rewr it te n  as,         (25)     Her e ,  C 1 an d  C 2  are  of size  1x m   a nd  belo ng to  SFF p.   Let   us  a dd  C 1 an d  C 2  in  SF F p   to  get  C 3 as,     C 3  =  C 1  +  C 2 = 1 ∗ { 1 }   +  2 ∗ { 2 }     ( 26)     Now, t he res ultant H om o m or phic  addit io n  is  ci ph e rtext  C 3,   whose si ze is  1x m   is se nt to  t he  inten ded  EU who  dec rypts  C 3 as,     Q 3 = si gn M od( C 3* D ,  p ) =   C 3* D   (27)     The  siz e  of  Q 3 i s (1x m )x( m x n )   =  1x n . Here,  the  decr y pter h as already  rece ived  t he decry ption  m at rix  D ,  dur i ng init ia li zat ion   of the se ssio n.   Substi tuti ng  for  C 3  f r om  ( 26 )  in (2 7)  we g et  the d e crypte d  ou t pu t a s,     Q 3 =  ( 1 ∗ { 1 } + 2 ∗ { 2 } ) ∗ =   1 ∗ { 1 } ∗ + 2 ∗ { 2 } ∗     (28)     Fr om  ( 28 )   a nd  (12),   Q 3 =  Q 1  +  Q 2   ( 29)     Substi tuti ng fo r  Q 1 an d  Q 2  f r om  ( 23)  in  (2 9), w e  h a ve,       Q 3 = [ G ,   R 1,   S 1] + [ H ,  R 2,  S 2]   ( 30)       Sp li tt ing   Q 3 i nt o  3 pa rts, we  ge t,       Q 3 = [ B ,  R 3,  S 3]   (31)     In   ( 31),   the  siz e  of   B   is  1x ( L + K )  wh il e  R 3  and   S 3  are  scal ars.   I n  fact  B   is  the  first  ( L + K )   el e m ents  of   Q 3.  Hen ce   B   c an be e xpresse d usin g  t he  c olo n n otati on of  Ma tl ab  as,       B   =  Q 3(1  :  L + K )   (32)     Fr om   (31)   a nd   (30),  we  see  t hat,       [ B ,  R 3,  S 3]  =  [ G ,  R 1,  S 1]  +  [ H ,  R 2,   S 2]  (33)   Fro m   (3 3),  t he  decr y pted o utputs in  SF F p  a re,     B   =   sig nMod( G   +  H ,  p )   (34)     R 3  =  sig nMod  ( R 1 +  R 2,  p )   (35)     S 3 = si gn M od( S 1 +  S 2,  p )   (36)     G   an d  H   are  ve ct or s  of   decim al   dig it s   as  in   Table   3.   He nc e  the  range  of   t he  el em ents  of   G   an d  H   ar e    from   [‒ 9  to  +9 ] .  Ther ef ore ,   the  range  of  th e  el e m ents  of   t heir  su m     B   is   [‒ 18  to  +1 8].  Since  the  m od ulu s  p   us e d  in   H SDA   is  la r ge,   t he  c on st raint  − floor ( p − 1 2 )   <  ‒18  <   =  el em ents  of  B   <   =  18  <  floo r ( p − 1 2 )   is  sat isfie d  and  he nce   B   be longs  t o  S FF p   an d  t her e  is   no  wr a paro und  ano m al y  in  the   arit hm et ic   operati on  B   =  G   +  H .   Ther e f or e ,   B   gi ves  the   c orrec t  resu lt   of  a dd i ti on   as   in   nor m al   al geb ra.   D ur i ng  ad diti on  op e rati on  R 3  a nd  S 3  are ig nore d.     3.1.1.  R ole of  R   an d   S   in   h om om orph ic   e ncrypti on/ dec rypti on   Con si der  the  c ase  w her e   scal ars  R   an d  S   a re   not  intr oduce d  in  form ing   Q   fr om   G   as  in  ( 17).   The n  Q  =  G .  F ur the r,   consi der   t he  scenari o  w he re   G   is  an  al l  zero   vect or     w he n  the  co rr es po nd i ng   g   =  0    of   siz e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   24 , N o.   1 ,  Oct ober  20 21 :  42 8   -   44 3   436   1x( L + K ).   T he n  Q     i s   al so   a n  al l  zero   vecto r  and  the  e nc ryp te d  val ue  of  Q   represe nted   by   C   as  gi ven  by   (19 )   would  al s o  be   an  al l   zero   vec tor.   T hus ,   t he  e ncr y pted  ci phe rtext  dire ct ly   rev eal s  the  or i gi nal  plainte xt  i ns te ad  of   hi ding  it   wh en  the  plainte xt  is  zero .  T o  ov e rc om e  this  zero - to - zer o  m app i ng,  Scal ar  R   is  app en de d  to  G ,  The n,  t he  e ncry pted  ci phe rtext  of   [ G ,  R ]   would be,       = [ 0 1 ( + ) , ] ∗ { } ( + + 1 )      (37)     In   (37),  the  te r m ,  0 1 ( + )   is  the  al l  z ero   G   vect or   of  siz e  1x( L + K )   and   t he  siz e  of  the  en crypti ng  m at rix  E { i }  is  ( L + K +1 )  xm .  In   this  cas e ,  C   le aks  the   scal ed - up  val ue  of  the   la st  row  of   t he  e ncr y pt ion   key   m at rix   E { i }( L + K +1)   xm .  Hen ce  the  encr y ption   key   is  com pr om ised .  T o  m itigate  this,  one  m or e  scal ar  S   is  a ppend e d  to  [ G ,  R ]   to  ge t  Q   =  [ G ,  R ,  S ] .  Her e ,  S   al so  ser ves  as   the  sign at ur e  ve rif ic at ion   pa ram e te r.   Now,   w he n  G   =  0 1 ( + ) , th e ci ph e rtex t  C   is,     = [ 0 1 ( + ) , , ] ∗ { } ( + + 2 )  =  R *[( L + K +1 )   th   row of   E { i }]   +  S *[( L + K + 2)   th   row of   E { i }]     ( 38)     In   t his  case,   C   is  the  wei gh te d  su m   of   t he  la s t  two  rows  of  E { i }.  The refore ,  it   is  ha rd  to  recover   the   exact  val ues  of  the   la st  two  r o ws   of  E { i }.  Ap a rt  f r om   thi s,  in  HSD A_A DD,  scal ars   S 1  an d  S 2  are  use d  f or   ver ific at io n  of  ad diti on   oper at ion   as   well   as  sig natu res  f or  aut hen ti cat ion  an d   will   be   ex plained   in   sect ion  3A(ii ) . Sca la r  R   w hich va ries rand om ly  f ro m  o ne  encr y ption t o  t he  ne xt  enc ry ption p rovides ra ndom izati on  of   the cip her te xt  that p rev e nts  pl ai n  te xt att ack.   On ce  t he  s um   vecto r   B   is  obt ai ned   as  giv e n  by  ( 32),   it s  de cim al   equ ivale nt  b  is  ob ta i ne d  ba sed  on  (16)   as      b   =  B * V ( K ,  L ).   T he   ho m om or ph i c  add it io n  has  3  sta ges  as  s hown   in   F ig ur e  2.  Adde r  unit   in  ci ph e r   do m ai n  is  i m pl e m ented  in  a  cl oud  se rv e r  w he reas  En crypt ion   operati on   is  carried  out  by  the    data  owner .   T he   decr y pter  is   th e  E U .  D uri ng  the  init ia li zat i on  of  t he  H om o m or ph ic   A dd it io n  se ssio n ,   t he   dec rypter   sho uld  hav e  r ecei v ed  the  decr y ption  m at rix  D   a nd t he  scal ar   s um  t erm   design at e d by  S 3 original   as,     S 3 original   = si gnMod( S 1+ S 2,  p )   (39)           Figure  2.  H omom or phic   ad diti on       3.1.2.  Sign atu re  verific at i on and  au t hen ticat i on  d urin g  addi tion   The  E U ,   afte r  decr y ption  of  C 3,   gets   Q 3  f r om   wh ic h ,   it s  l ast   el e m ent  de sign at e d  as   S 3 d ec   is  obta ine d   as  ind ic at ed  in   (3 6).  T he n  th e  EU  chec ks   wh et her   S 3 dec  i s  exactl y  equ al   to  S 3 original .  If   there  we re  no  error s ,   S 3 dec   w ou l d  be   eq ual  S 3 original .  If   S 3 dec   ≠  S 3 ori ginal ,  it   ind ic at es  the  pr ese n ce  of   so m e  com pu ta ti on al   e rror  or   t hat  the  input  C 3  is   al te red   or  C 3  i s  no t  from   an  authe ntic  source .   The  ho m om or phic   ad diti on   al gorithm   of   H SDA  involves  en c ryption,  decr y ption an d si gnat ure  ver ific at io n as gi ven :     ----------------------------------------- ------------   Algorithm HSDA_ADD      -----------------------------------------------------     Inputs: Integers  g   and  h   to be added using homomorphic encryption.    Output: Homomorphically added ciphertext and its decrypted result,  b   =  g   +  h   //Encryption stage   1.   Ge t vectors  G   and  H   from  g   and  h   as in (15)   2.   Formulate  Q 1 and  Q 2 by appending suitable  R 1,  S 1 and  R 2,  S 2 as in (23)   3.   Obtain  C 1 and  C 2 by encrypting  Q 1 and  Q 2 as in (24)    //Encryption over   //Addition at Homomorphic Adder in Cloud   4.   Get sum  C 3 as,  C 3 = signMod( C 1+ C 2,  p )   //Addition over.  C 3 is sent to the decrypter   //Decryption   5.   Get  Q 3 using the decryption key  D   as,  Q 3 = signMod( C 3* D ,  p )    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       A novel  sec ur e  biomedic al dat a aggre gati on  us in g  f ully h omo m or phic  e nc ryptio n  in  WSN   ( Chethan a G )   437   6.   Get  S 3 dec  as the last element of  Q 3   7.   If  S 3 rec   ≠  S 3 original            Display “ERROR”          Discard  Q 3 (and take any remedial action like ‘request repeat’ etc.)          Goto step 10   Else   8.   Get  B   by taking first ( L + K ) terms of  Q 3   9.   Get  b   using  b   =  B * V ( L ,  K )             //based on (16)    10.   End   --------------------- --------------------------------     The  E nc ryptio n , h om o m or ph ic   add it io n, an d decry ption   of  two num ber s a re ill us trat ed  in  ex am ple 4 .   Exa m ple  4 :  H ere,  L   =  2,  K   =2,   n   =  6,   m   =  8  and   p   =  97.  D ecrypti on  m at r ix  D   is  create d  rando m ly .  Fr om   D,   two  e nc ryptio n m a tri ces  E   {1 } an d  E   { 2}  a r e g e ner at e d  as   in (1 1) .           = [               20 27 38 30 63 24 79 17 27 13 71 73 19 08 57 15 3 79 83 67 53 87 52 84 44 40 54 87 1 1 56 15 24 17 47 43 69 80 26 3 58 89 47 25 23 19 89 36 ]                          { 1 } = [           81 89 3 11 31 32 55 54 72 53 30 67 59 68 58 32 1 57 95 20 86 50 32 64 30 54 66 81 23 67 26 33 41 65 6 75 75 91 18 39 71 37 83 23 88 42 46 71 ]                         { 2 } = [           74 11 70 23 93 4 46 85 88 26 75 38 61 7 73 43 34 24 92 12 87 51 35 42 22 87 83 27 61 63 49 42 28 20 95 94 85 51 69 12 96 23 96 45 2 19 70 65 ]               It can be v e rifi e d  sig nMod ( E   {1} * D ,  p )  = s ign M od   ( E   {2}  * D ,  p )  =  I 6x6 . T he  tw o  a dd e nds ar e ta ke n  as  g   = 63•7 9  a nd   h   =  89 • 65. T he n  G   =  [6, 3, 7 , 9]  and  H   =  [8, 9 , 6, 5] . Ta king [ R 1,   S 1] = [ 23, 17] a nd   [ R 2,   S 2]  = [ 12, 19]  we get ,   Q 1  =  [ 6,   3,  7,   9,   23,  17]   an d  Q 2  =  [ 8,   9,   6 ,   5,  12 ,  19] .  F ro m   (2 4),  C 1  =  signMo d ( 1 ∗ { 1 } , )                                                    and   C 2  =  signMo d ( 2 ∗ { 2 } , ) . T he  ciph e rtexts   C 1  a nd  C 2 are  f ound as ,   C 1  = [25      16       6     - 46      2 8     - 15     2 4     - 29]     and     C 2  = [ - 22     2 6      25       0     - 23     4 0     - 48       - 2]      N ow,  C 3  = sig nMod  ( C 1+ C 2,   p )  g i ves,  C 3  =  [3    4 2    31    - 46      5      25    - 24    - 31] . Decry ption o f  C 3 usi ng (2 7)  giv es ,   Q 3  =  sig nMod  ( C 3* D ,  p )  = [ 14      12       13      14      35       36] .  Vect or  B   is o btained fr om   Q 3, by takin g  the  f irst 4  (h e re,  L + K   =  4)  el em ents   of  Q 3  as ,  B   =  [ 14         12         13        14] .  It  can  be  observ e d  from   no rm al   a lgebr a  t ha t,  Q 3  =  Q 1+ Q 2.   N ow  the  decim al   integer  b   is  obta ined  base d  on  (16)  as,  b   =  B * V   ( 2,   2)  =  [ 14 ,  12,  13,  14 ]   *[10,  1,   0.1, 0.0 1]   T   = 153.4 4 w hich  is   sam e as  g + h .     3.1.3.  Addi tio n  w ith m ultipl e a d dends   Con si der  the  a dd it io n  b   =  u   ( 1)   + u   ( 2)   + …+ u ( j )+ …+ u ( J ) .  Let   U ( j )  be  the   row  vecto r  c orres pondin g  to  u ( j ).    Let   th e  corres pondin g  ci phe r  val ue  be  C ( j )   =  si gnMod( U (j )* E { j },  p )  for  j   =  1  t o  J .   The n  a ddit ion   C 3  =  C   ( 1) + C   ( 2)  +…+ C ( j )+…+ C ( J )  is ca rr ie d ou t c um ulati vely  as,              C 3 =  0;              f or  j   =  1:  J              C 3 = si gn Mod( C 3+ C ( j ),  p );              E nd   The n,   Q 3  =  sign M od  ( C 3* D ,  p )  =   [ B ,  R ,  S ] .  Her e,   B   =  U   ( 1)   + U   ( 2)  +…+ U ( j )+… + U ( J ).   The   ra ng e   of   el e m ent   U ( j )  is  fr om   ‒9   to  +9   fo r  j   =  1  to  J.   Wh e n  al l  su ch  el e m ents  are  add e d  the  ra nge  w ou l d  be  ‒9* J   to  +9* J   a nd  this   range  has  to  be  withi n  the  SFF p   ra nge,    − floor ( − 1 2 )    + floor ( − 1 2 )    for  co rr ect   r esult.   Ther e f or e,  the   value o f  p   s houl d  be  chose n  s uc h  that,     − floor ( − 1 2 )   ≤ ‒ 9* J   <  9* J   ≤     floor ( − 1 2 )   (40)     3.2.      H om om orph ic   sub traction   Ho m om or ph ic   Subtract io n  is  si m il ar  to  add it ion   exce pt  that   C 3  is  ta ken   as  C 3  =  C 1‒  C 2  in  ste p  4  of  Algorithm   HSDA _AD D  to  ge t  b   =  g   ‒  h.   A no t her   a ppr oac h  is  to  trea t  g   ‒  h   as  g   +  (‒   h )   wh ic h  is  the  a ddit ion   op e rati on  that  can  be  ca rr ie d ou t  by  HSDA _AD D.        Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.