TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 13, No. 2, Februa ry 20 15, pp. 271 ~ 281   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 13i2.703 3          271     Re cei v ed  No vem ber 1 6 , 2014; Re vi sed  De cem ber 2 8 ,  2014; Accep t ed Jan uary 1 5 , 2015   A Review to AC Modeling and Transfer Function of DC- DC Converters      Azadeh Ahm a di* 1 , Rahim Ildarabadi 2  Dep a rtment of Electrical & C o mputer Eng i n e e ri n g , Hakim S abzev ari Un ive r sit y , Sabz evar , Iran  *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : azade h.ahm adi@s un.hs u.a c .ir 1 , r.ildar @hsu.ac.ir 2       A b st r a ct   In this paper, AC modeling and small  signal  transfer function for DC-DC converters  are  represented. T he  fundam entals governing the  formulas are also  review ed.  In DC-DC converters, the  output voltage must  be k ept constant,  regardless of  changes in  t he input  voltage or  in the  effective load  resistance. T r ansfer function is  t he necessary know ledge to  design a pr oper feedback  control such as  PID  control  to regulate the  output voltage as linear PI D  and PI controllers are usually designed for DC-DC  converters using standard frequency response tec hniques based on the small signal model of  the  converter.    Ke y w ords :  D C -DC Co nvert e r, boost conv erter, buck co n v erter, AC mo d e lin g, transfer functio n     Co p y rig h t   ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  DC-DC po we r conve r ters are   empl oye d   in  a va riet y of appli c ati ons, i n cl udin g  po we r  sup p lie s for person a l compute r s, of fice eq uipm ent, spa c e c raft powe r  systems, lapt op   comp uters, a nd tele comm unication s e quipme n t,  as well a s   dc motor  drive s . In a  DC-DC  conve r ter, th e d c  inp u t vo ltage is conv erted to  a d c  output volta ge havin g a   magnitud e  di ffer   from the  inp u t, possibly  wi th opp osite  p o larity o r   with  isol ation of  the in put an d  output  gro und   referen c e s . Figure 1  sho w s a DC-DC co nverter a s   a  black box. It  conve r ts a d c  input voltage, v g   (t) , to a dc o u tput voltage, v (t) , with a  magni tud e  other than th e input voltage. In a typical DC– DC converte r appli c ation, t he o u tput vol t age v(t)  mu st be  kept  con s tant, re ga rdl e ss of  cha n g e s  in the  input  voltage v g  (t) o r  in  the  effecti v e load  resi st ance  R. Thi s   is a c com p lish ed by  buildi n g a   circuit that v a rie s  the  con v erter  cont rol  input   [i.e., the duty cy cle  d(t)] in  su ch  a way that t h e   output voltag e v(t) is re gul ated to  be  e qual to   a  de sired  refe ren c e value.T o  d e sig n  the  co ntrol  system of a converte r, it is nec e s sary to  model the converte r dyn a mic be havio r. In particul a r, it  is of intere st  to determin e   how va riation s  in the po we r input voltag e v g (t), the load cu rrent, a n d   the duty cycl e d(t) affect the  output voltage. Unfo rtun ately, under standin g  of con v erter dynami c   behavio r is h a mpe r ed by  the nonlin ear time-varyi ng  nature of th e swit chin g and pul se -wi d th   modulatio n proce s s.      Figure 1. A DC-DC  conve r t e r beh avior      In particular, i t  is of intere st to determi n e  how vari atio ns in the  power inp u t voltage v g (t),  the load  cu rrent, and the  duty cycle  d(t )  affect  the  o u tput voltage.  Unfo rtu natel y, understand ing  of co nverte r dynami c   be havior is ha mpered  by  the n onlin ear time-va r ying  natu r e  of the   swit chin g and  pulse -wi d th modulatio n proce s s.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  271 – 281   272 These difficul t ies can be  o v erco me thro ugh the u s e  of waveform  averagi ng a n d  small  signal modeli ng techni ques.As illustrated in  Fi gure  2, a  cont roller block i s  an integral  part of any  power p r o c e s sing  system. It is nearly always  de sire d to prod uce a well-re gulate d  output.           Figure 2. Req u ired  cont roll er to DC-DC  convete r       Since switchi ng co nverte rs are  nonlin e a r sy st ems, i t  is desi r able  to const r u c t small- sign al linea rized mod e ls. T h is is  acco mp lishe d by pert u rbin g an d lin eari z ing th e a v erage d   model  about a q u ie scent op erati ng point. Ac equivalent  circuit s  can b e  co nstructe d, in the sa me   manne r  used  in to  co nst r u c t d c  e quival ent ci rcuits. T he d c   co mpo nent of  a  con v erter  wavefo rm   is given by its averag e valu e, or the inte gral ov e r  on e  swit ching  pe riod, divide d by the swit chi ng  perio d. Soluti on of  a  dc-dc  co nverte r to find   its dc,  o r  stea d y -state,voltag e s and  currents   therefo r e invo lves avera g in g the waveforms.   A typical DC–DC bu ck  converte r and  feedba ck lo op blo ck di a g ram i s  illust rated in   Figure 2 [11, 8, 2].  It is d e sired to de sign this  feed back sy stem in su ch a wa y that the output   voltage i s  a c curately regul ated, an d i s  i n se nsitive to   disturban ce s  in v g (t)  or in t he lo ad  cu rre n t.  Additionally, the p o wer  sta ge a nd  a fee dba ck net work fee dba ck  system  shoul d  be  stabl e, a nd  cha r a c t e ri st ic s  su ch a s  t r a n sie n t  ov er sh oot ,    settling   time, and  ste ady-state  reg u lation  sho u l d   meet spe c ifications.    We a r e inte rested to d e si gn co nverte rs and th eir  control  system s su ch  as Fi gure  3. To d e sig n   the system o f  Figure 3, a  dynamic  mo del of the switching  conve r te r is  req u ired. What is t h e     effect of vari ations in th e  powe r  inp u t voltage,  the load current , or the duty  cycle the  ou tput  voltage? Wh at are the small-sign al transfe r fun c tions? To an swer the s e  q uestio n s, we  will  extend the steady-state  model s to in clud e t he dynamics intro duced  by the indu ctors  and  cap a cito rs of  the conve r ter.           Figure 3. A simple dc-d c re gulator   syste m ,includi ng a  buck co nvert e r       Modelin g i s  t he  rep r e s ent ation of  physical  phe nom ena  by math ematical  me ans. I  n   engin eeri ng,  it is de sire d to mod e l  the im po rtan t dominant  behavio r of  a syste m , while   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A Revie w  to AC Modeli ng  and Tran sfer  Functio n  of DC-DC  Con v e r ters (A za deh  Ahm a di)  273 negle c ting  other in co nseq uential p hen omena. Simp lif ied termin al  equatio ns  of the co mpo n e nt  element s a r e   use d , an d m a ny aspe cts of  the system   resp on se ar e   negle c ted  alt ogethe r, that  is,  they are “u n m odele d .”    The swit chin g  rip p le  i s  small  in a we ll-de sign ed converte r  o p e r ating  i n  con t inuou s  con d u c tion m ode  (CCM ). Hen c e,  we ig nore  the  sw it chin g rip p le,  and m odel  o n ly the und erl y ing  ac va riation s   in the convert e r waveform s. Suppose  th at som e  a c  variation i s  int r odu ced i n to the  c onverter duty c y c l e d (t), s u c h  that:    d(t ) = D +  D m cos  ω m t    W h er e D a nd D  m   are  co n s tants,  | D m  <<   D  |  a n d  th e mo du la tio n  fr e q ue nc y  ω m  is  m u ch  smalle r tha n   the co nverte r swit chin g freque ncy  ω x  =2 π f x . The res u lting trans is tor gate drive   sign al is sho w n in  Figu re   4(a ) , and  a ty pical  co nvert e r o u tput volt age  wavefo rm v (t) i s   sho w en   in Figu re 4 ( b). The  spe c trum  of v(t) is ill ustrated in Fi gure  4. This  sp ectru m  cont ains  comp one nts  at the switching freq uen cy as  well  as its ha rm onics and  si deba nd s; these  comp one nts are small   in magnitud e   if the  switchi n g  rippl e is sm all. In additio n , the spe c trum  contai ns a lo w-frequ en cy comp one nt at the modulati on frequ en cy  ω m .        Figure 4. AC variation of the conve r ter  si gnal s (a ) tran sisto r  gate d r i v e signal,a nd  (b) the  resulting con v erter outp u t voltage wavef o rm       The ma gnitud e  and p h a s e  of this co mpo nent dep end  on the duty cycle variatio n, as well   as th e fre que ncy respon se  of the  conv erter. If  we neglec t the  s w itc h ing  ripple,  then this  low- freque ncy  co mpone nt rem a ins [a s illu strated in Fi gure 4(b ) ]. The  obje c tive of our a c  mod e li ng  efforts is to predict this lo w-freque ncy co mpone nt .      Figure 5. Spectrum of the o u tput  voltage waveform v(t) of Figure 4          The switchi ng  ripple s  i n  the in du ctor cu rrent a n d  ca pa citor vo ltage  wavefo rms a r e   remove d  by averagi ng over  o ne swit ch ing  pe rio d .  Hence, the lo w-freq uen cy co mpone n ts  of the  indu ctor an d cap a cito r wav e form s are m odele d  by eq uation s  of the form:      〈 〉  〈 〉             (1)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  271 – 281   274   〈 〉  〈 〉     Whe r e ‹x  (t) ›  Ts  den otes th e averag e of x(t) over an in terval of  length T s  [11]:      〈  〉            (2)     So we will apply the basi c  approximat i on of  remov i ng the high-frequency switching  ripple by ave r aging ove r  on e swit chin g p e riod.   In the n e xt p a rts  we  will  d e rive a c   mod e ling of  ba sic DC-DC conv erters  and  th en by th e   approximatio n method m entione d abo ve we will d e ri ve sm all si gnal tra n sfe r  function of  su ch   conve r ters.       2.   AC Equiv a lent Circui t Modeling   2.1. The Basi c AC Mo deling Appro ac h  Let us de rive a small - si gnal  ac model of t he bu ck-bo o st converte r of Figure 6 [9, 2]  .     Figure 6. Buck-b oo st conv erter exam ple       The  analy s is  begin s , by  de terminin g the  voltage  and   curre n t waveform s of  the i ndu ctor  and capa citor. When the switch i s  in po sition 1,  the ci rcuit of Figu re  7(a) i s  obtain ed.             Figure 7. Buck-Bo o st Conv erter  circuit: (a) switch  i s  in  position 1, (b ) sw itch i s  in position 2      The indu cto r  voltage and  capa citor curre n t are:                                        (3)     We  no w m a ke the  sm all-ri pple  app roxi mation  by re placi ng  wave forms with  th eir l o w- freque ncy av erag ed value s        〈 〉            (4)         〈 〉     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A Revie w  to AC Modeli ng  and Tran sfer  Functio n  of DC-DC  Con v e r ters (A za deh  Ahm adi)  275 With the  swit ch in  po sition  2, the ci rcuit of  Figure 5 ( b) i s  obtain e d. Its indu cto r  voltage  and capa citor current a r e:                              (5)     Use of the small-ri pple a p p roximatio n , to repla c e  i ( t ) and  v ( t ) with t heir ave r ag ed  values, yield s :         〈 〉         〈 〉 〈 〉           (6)     Averagin g  the indu ctor vol t age used Eq uation (2 ):     〈 〉  〈 〉   ′ 〈 〉        (7)     By insertion  this eq uation i n to Equation  (1) le ad s to:      〈 〉   〈 〉  ′ 〈 〉           (8)     This e quatio n  descri b e s  ho w the lo w-fre quen cy  comp onent s of the  indu ctor  cu rre nt vary  with time. A similar procedure lead s to the  capa citor dynamic equation. Average  cap a citor  c u rrent:      〈 〉   〈 〉  ′  〈 〉 〈 〉         (9)     Upo n  insertin g this equ atio n into Equatio n (1) a nd coll ecting terms,  we will o b tain :      〈 〉   ′ 〈 〉 〈 〉            (10 )     This i s  the b a s ic  avera ged  equatio n whi c h de sc ribe s d c  an d low-fre quen cy a c  variation s   in the cap a cit o r voltage.   To derive a  complete a c  e quivalent ci rcuit m odel, it is ne ce ssary to write an e q uation for  the averag e converte r input  current. Buck -b oo st input curre n t wavef o rm is:         〈 〉              Upon averagi ng over one switchi ng period, we will obt ain:      〈 〉  〈 〉     This i s  the b a s ic  avera ged  equatio n whi c h de sc ribe s d c  an d low-fre quen cy a c  variation s   in the co nve r ter in put cu rre nt. These  equation s   are n onlin ea r be cau s e t hey involve the  multiplicatio n of time-varyin g  quantitie s.   If the convert e r is d r iven wi th some  stea dy-state, or q u iesce n t, inputs:           〈 〉      Then,  after t r ansi ents hav e sub s ide d  t he in du ctor  current,  capa citor voltage, and input  c u rrent:      〈 〉 , 〈 〉 , 〈 〉   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  271 – 281   276 Rea c h the q u i escent value s   I, V , and  Ig , given by the steady-state  analysi s  a s  [8, 2]:       ′      ′          To con s truct a small-sig nal  ac m odel at a quiesce nt operatin g point  ( I ,  V ), one assume s  that the input voltage  v g (t)   and the duty cycle  d( t)   a r e  equal to som e  given quie s cent value s :       〈 〉            In re spo n se, and afte r any  tran sient s ha ve sub s id ed,  the co nverte r depe nde nt voltage s  and current s will be eq ual to the co rre sp ondin g  quie s cent value s , plus  small a c  variation s :      〈 〉  ̂     〈 〉      〈 〉   ̂     If the ac varia t ions are mu ch smalle r in  magnitud e  than the re spe c tive quiescent  values.        ≪      ≪ | |  , | | ≪ | |     | ̂ | ≪ | |        ̂ ≪     Then   the no nlinea r conve r ter equ ation s  can   be  line a rized. F o r the in du ctor e quation,   one obtai ns:        ̂      ′       It should be n o ted that the compl e me nt  of the duty cycle is give n b y :      ′  1  1  ′  with ′ 1     Multiply out and coll ect terms:           ̂    ′          ′                        The de rivative of  I  is zero,   sin c e  I  is by definition a d c  (con stant) t e rm. For the  purp o ses  of de riving a   small - si gnal   ac  model,  the  dc term s ca n   be co nsi dere d   kno w n co n s tant  q uantiti e s .   On the right -h and si de of e quation three  types of term s ari s e:   a)  Dc  terms : These terms  co ntain dc q uan tities only.  b)  First - order a c   term s : Each of these te rms  contai ns  a single a c  quantity, usually  multiplied by  a con s tant  coeffici ent su ch a s   a d c  term. Th ese term s a r e lin ear  function s of the ac vari atio ns.   c)  Secon d -ord er ac term s : Th ese te rm s co ntain the p r o duct s  of ac  q uantities.  He nce   they are nonli near, be ca use they involve  the multiplica t ion of time-varying si gnal s.   The  se co nd-orde r  ac terms  are  mu ch smalle r th an the  first-o r de r te rms.   So we  will   negle c t se co nd-o r d e r term s. Also, dc terms on ea ch  side of equatio n are eq ual. After discardi ng   se con d -o rd er terms, and  removing d c  term s (which add to ze ro ), we will h a ve:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A Revie w  to AC Modeli ng  and Tran sfer  Functio n  of DC-DC  Con v e r ters (A za deh  Ahm adi)  277    ̂    ′           Figure 8. Circuit equivalent  to the sma ll-sign al ac in du ctor loo p  equ ation       The ca pa citor equation  can  be lineari z e d  in a similar  manne r. So, we will h a ve:         ′ ̂          Figure 9. Circuit equivalent  to the sm all-sign al ac  cap a citor n ode e quation       Finally, the equation of the  average in pu t current is al so line a ri zed.        ̂   ̂     By collecting  terms, we obt ain:        ̂        ̂       ̂            We  again  ne glect th e second-order no nlinea r te rms.  The  dc term s o n  both  si d e s  of the   equatio n are  equal. The  re maining first-orde r line a r a c  term s are:      ̂  ̂          Figure 10. Circuit equival e n t  to the small-sign al ac in pu t source  curre n t equation       This i s  the  lineari z e d  small-sign al e quat ion that  descri b e s  the low-fre q u ency a c   comp one nts  of the convert e r input curre n t.  Colle cting three circuit results:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  271 – 281   278     Figure 11. Buck- boo st sm all-si gnal a c  e quivalent ci rcuit      Combi nation  of depen dent  sou r ces into  effective ideal  transfo rme r , lead s to the final model.         Figure 12. Final Small sig nal ac e quival ent circuit mo del of the buck-b o o s t conv erter      2.2. Results for Sev e ral  Basic  Conv erters         Flyback        3. Conv erter Trans f er Fun ctions   3.1. Transfer  Function s of the  Buck -Boost  Conv erter                                The conve r te r co ntain s  two input s   and   and o ne out put,  .Hen ce, the  ac  output voltag e variatio ns  can be  expressed  as the  s uperpo sition  of terms ari s i ng from  the t w o  inputs:               The co ntrol - to-outp u t and l i ne-to -outp u t transfe r  fun c tions  can b e  d e fined a s  [5, 2], [13-14]:              Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A Revie w  to AC Modeli ng  and Tran sfer  Functio n  of DC-DC  Con v e r ters (A za deh  Ahm a di)  279 To find  the li n e -to-output t r ansfe r fu nctio n  we  set th e  sou r ces to  ze ro  as in  Figu re 13 (a ).  We can then  push the sou r ce a nd the indu ctor thro u gh the tran sforme rs, to ob tain the circui t of  Figure 13(b).          (a) Set  d  sour c e s t o  ze ro     (b) p u sh indu ctor an d  v  source thro ugh  trans formers    Figure 13. Manipul ation of  buck-b o o s t equivalent  ci rcuit to find the  line-to -outp u t transfe r  function G v g   (s)       The tran sfe r  functio n  is obt ained u s ing t he voltage di vider formul a:         ′    ′    ′   ′   ′   ′  ′   (11 )     Whi c h is the f o llowin g  stan dard fo rm:                            ( 1 2 )       Derivatio n  of the control - t o -outp u t tran sfer fun c tion  G vd (s )   is   c o mplic a ted. Firs t, In  small - si gnal  model, set vg  source to  zero:         Then, pu sh al l elements to  output sid e  of transfo rme r :        There a r e t w o  d sou r ce s. On e  way to solve th e mod e l i s  t o  u s e  sup e rpositio n,  expre ssi ng th e output v as a sum of terms ari s i ng from the two source s. With voltage sou r ce   only:      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  271 – 281   280     ′ ‖   ′ ‖      With the cu rrent sou r ce al one:              ′ ‖ ‖      The tran sfe r  functio n  is the  sum of abov e equatio ns:          ′ ‖   ′ ‖    ′  ‖      By algebrai c  manipul ation,  we will have:           ′     ′   ′     This eq uation  is of the form:                         (13 )     The dc  gain i s :           ′  ′  ′     The ang ula r  frequ en cy of the ze ro is:         ′            And:       ′ √  , ′     Simplified usi ng the dc  rela tionshi ps:        ′ , ′     3.2. Transfer  Function s of some Ba sic CCM  Conv erter s   The p r omin e n t feature s  of  the line-to -o utput  and  co ntrol-to -outp u t  transfe r  fun c tion s of  the ba sic  bu ck, boo st, an d  buck-boo st  converte rs  are  summ ari z e d   in Tabl e 1. In  each  case, th e   control-to -out put transfe r functio n  is of the form  of Equation (13)  and the line-t o -outp u t tran sfer  function i s  of the form of Equation (12 ) .    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.