I ndo ne s i a n J o ur na l  o f  E l e c t r i c a l  E ng i ne e r i ng  a nd C o m p u t e r  Sc i e nc e   V o l.   11 ,  N o.   1 J ul y   201 8 , p p 275 ~ 28 3   I SSN :   2502 - 4752 D O I :  10. 11 591/ i j eecs . v 11 .i 1 .p p 275 - 2 83           275       Jou r n al  h om e p age h ttp : //ia e s c or e . c om / j our nal s / i nde x . php/ i j e e c s   M [x ] /G /1  M ult is t a g e Q ueu e w it h St a nd - by  Serv er  du ring  M a in  Serv er’ s  I n t erru p t io ns       C .  Y u var an i C .  V i j ayal ak s h m i   D ep ar t m en t  o f  M at h em at i cs ,  V el a m m al  I n s t i t u t e o f  T ech n o l o g y ,  P a n ch et t i ,   S A S ,  M a th e m a tic s  D iv is i o n ,     V e l l or e  I ns t i t ut e  of  T e c hnol og y ,  C he nna i ,  I n di a       A rt i cl e I n f o     AB S T RAC T   A r tic le  h is to r y :   R ecei v ed   Se p   24 ,  201 7   Re v i s e d   No v   1 0 ,  201 7   A ccep t ed   D ec  11 ,  2 01 7       T h is  p a p e r  in v e s tig a te s  a   m u ltis ta g e  b a tc h  a r r iv a l q u e u e  w ith   d i f f er en t  s er v er   i n t er r u p t i o n s  an d  a s eco n d  s er v er  r ep l aces  t h m ai n  s er v er   d u r i n g  t h e   i nt e r r u pt i o ns .  T he   di f f e r e nt  s e r v e r  i nt e r r upt i ons  a r e  a s s um e d t o be :  m ul t i pl e   v a c a t i on,  e x t e nde d v a c a t i on,  br e a k dow w i t h de l a y  t i m e  a nd s e r v e r  unde r   t w o  p h as es  o f  r ep ai r .  C u s t o m er s   ar e a s s u m ed  t o  ar r i v e i n  b at ch es   acco r d i n g   t P oi s s o n pr oc e s s  a nd a  s i ng l e  s e r ve r  pr ov i de s  s e r v i c e  t o t he  c us t om e r s .   W he n t he  m a i n s e r v e r  i s  i na c t i ve  due  t o t he  i nt e r r u pt i ons ,  s t a nd - b y  s er v er   pr ov i de  s e r v i c e  t o t he  a r r i v a l s .  I n a ddi t i o n,  c us t o m e r s   m a y  r e ne g e  dur i ng  s e r v e r  br e a k dow n or  d ur i ng  s e r v e r  v a c a t i on d ue  t i m pa t i e nc e .  T r a ns i e nt   s ol ut i on a n d t he  c or r e s po ndi ng  s t e a d y  s t a t e  s ol ut i on i s  de r i v e d us i ng   s uppl e m e nt a r y  v a r i a bl e  t e c hni que .     M a th e m a ti c s  S u b je c t C l a s s i f i c a ti o n 60K 2 5,  6 0K 30   Ke y wo rd s :   B at ch  A r r i v al   B r eak d o w n s   M u lti - S t a g e S er v i ce   R ep ai r   V acat i o n   C opy r i g ht   ©  201 8   I ns t i t ut e  o f  A d v anc e d E ngi ne e r i ng  an Sc i e nc e   A l l  ri g h t s re se rv e d .   Co rre sp o n d i n g  Au t h o r :   C .  Y u va r a ni   D ep ar t m en t  o f  Mat h e m at i cs ,   V el a m m al   I n s tit u te  o f  T e c h n o lo g y ,  P a n c h e tti,  S A S ,  M a th e m a tic s  D i v is io n ,     V e l l o r e  I ns t i t ut e  o f  T e c hno l o g y,  C he n na i ,  I nd i a ,   E m a il:  y u v a. c h an d r as e k ar an @ g m a i l . co m       1.   I NT RO D UCT I O N   M a ny  a u t h or s   h a v e  s t u di e d qu e u e i ng   m ode l s  b y   i m por t i ng  m a ny  a s pe c t s  o n  t h e m  s u c h a s   s er v er   v acat i o n ,  b r eak d o w n ,  r ep ai r ,  r en eg i n g ,  b al k i n g  et c.   A  b at ch  ar r i v al  q u eu ei n g   m o d el   w i t h  d i f f er en t   v acat i o n  p o l i ci es  i s  s t u d i ed  b y  n u m er o u s  a u t h o r s   i nc l ud i n R .   V i m a l a d e vi   [ 1 ] ,   G . A yya p p a &   S . S h ya m a l a   [ 2 ]  a nd  K e . J . C ,  H ua ng. H . I  a n d   C hu. Y . K   [ 3 ] .   G .   Ay y ap p an  an d  S .  S h y a m al a [ 4 ]  o b t ai n ed  t r an s i en t  s t at e an d  s t ead y   s t at e o f  b at c h  ar r i v a l  q u eu e s u b j ect  t o   r an d o m  b r eak d o w n s  an d  B er n o u l l i  s c h ed u l e s er v er  v acat i o n   w i t h  s eco n d  o p t i o n al  r ep ai r .   K h al a f  [ 5 ]  s t u d i ed   t he   s i ngl e   s t a ge   q ue ue i n m o d e l   w i t h   s i n gl e   o r i gi na l   a nd   e xt e nd e d   va c a t i o ha v i n b r e a kd o w w i t h   d e l a t i m e   a nd   t he   s ys t e m   e q ui p p e d   w i t a   s t a nd - by - s er v er   w o r k s   d u r i n g   t h m ai n   s er v er  s t o p s .   M o n i t B ar u ah ,   K . C . Mad an  an d  T i l l al  E l d ab i   [ 6 ]  s t u d i ed  a t w o  s t a g e b at ch   ar r i v al  q u eu w i t h  r en e g i n g  d u r i n g  v acat i o n a nd   b r eak d o w n  p er i o d s .  B at ch  ar r i v al  r et r i al  q u eu w i t h   m u l t i  o p t i o n al  r ep ai r  i s  d i s cu s s ed  b y  D . S u m i t h a an d   K . U d a y a C h a n d r i k a [ 7 ] .  M u l t i s t ag e B at ch  ar r i v al  q u e u e s u b j ect  t o  d i f f er en t  v acat i o n  p o l i cy   w i t h  t w o  p h as e s   o f  r ep ai r  i s  d i s cu s s ed  i n  C . Y u v ar an i  a n d  C . V ij a y a la k s h m i [ 8 ] .   I n  t h i s   w o r k ,   w e co n s i d er  M [ x ] / G / 1  q u eu w i t h   N   s t ag es  o f  s er v i ces   u n d er  d i f f er e n t  v acat i o n   p o l i cy  an d  e x t e n d ed  v acat i o n  s u b j ect  t o  s y s t e m  b r eak d o w n   w i t h  d el a y  t i m e  an d   t w o  p h as e o f  r ep ai r s .  I n   ad d i t i o n ,   w e as s u m e t h at  t h e cu s t o m e r s   m a y  r en e g e d u r i n g  b r eak d o w n  o r  v acat i o n  p er i o d  d u e t o  i m p at i e n ce.   T h i s  p ap er  i s  o r g an i zed  as  f o l l o w s .  T h e as s u m p t i o n s  o f  o u r  m o d el  ar e g i v e n  i n   s ect i o n  2 .  D ef i n i t i o n s   a nd  E q ua t i o ns   go ve r ni n g t he  s ys t e m  a r e  gi ve n i n s e c t i o n 3 .  T he  t i m e  d e p e nd e nt  s o l ut i o n s   h av e b een  o b t ai n ed   i n  s ec t i o n  4  a n d  co r r es p o n d i n g  s t ead y  s t at e r es u l t s   h av e b ee n  d er i v ed  e x p l i ci t l y  i n   s ect i o n   5 .  M ean  q u e u e s i ze   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SSN :   25 02 - 4752   I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p   Sc i ,   Vo l 11 , N o .   1 J ul y   201 8   :   2 75     283   276   an d   m ean   w a i t i n g  t i m e ar e co m p u t ed  i n   s ect i o n  6 .  S o m e p ar t i cu l ar  cas es  ar e d i s cu s s ed  i n  s ect i o n  7  an d  t h e   n u m er i cal  r es u l t s   a r e  gi ve n i s e c t i o n 8 .       2.   M O D EL A S S U M P TI O N S   W e as s u m e t h f o l l o w i n g  t o  d es cr i b e t h e q u eu e i n g   m o d el  o f  o u r  s t u d y .   a)   T h m ea n   ar r i v al   r at o f   c u s t o m er s   i n   b at c h es   i s   λ   an d   t h e y   ar s er v ed   o n b y   o n o n   f i r s t   co m -   fi r s t   s e r v e d ba s i s .  T h e  f i r s t  or de r  pr oba bi l i t y  t h a t  a  ba t c h  of   i   c us t o m e r s  a r r i ve s  a t  t he  s ys t e m  d ur i ng a  s ho r t   in te r v a l o f  ti m e  ( t;  t   dt ]  i s  λ c i dt   ( i   1 ) , w h e r e  0  ≤   c i   ≤  1  a nd  = 1 = 1 .   b)   A  s i n g l e s er v er  p r o v i d es   N   s t ag e s  o f  s er v i ces  f o r  eac h  c u s t o m er ,   w i t h  t h e  s er v i ce t i m e s  h a v i n g  g e n er al   d is tr ib u tio n .   L e B i (x )   a nd   b i ( x)   ( i   = 1,   2,   3, , N )   be   t h e   di s t r i bu t i on  a n t h e   de n s i t y   f u nc t i on   of   i   s t ag s er v i ce r es p ect i v el y .   L et   dx x i ) ( µ   be   t h e  c on di t i on a l  pr oba bi l i t y  de n s i t y  o f  s e r v i c e  c o m p l e t i on du r i ng  t he  i n t e r va l  ( x ;  x +  d x] ,  gi ve t ha t  t he  e l a p s e d  t i m e  i s  x,  s o  t ha t     ) ( x i µ ( ) 1 ( )          an d  t h er ef o r e,     = t i dx x i i e t t b 0 ) ( ) ( ) ( µ µ   ,      i   = 1 ,  2 , 3 ,… ,N   c)   A f t er  s er v i ce co m p l et i o n  o f  a  cu s t o m er ,  t h e s er v er   m a y  r e m ai n  i n  t h e s y s t e m  t o  s er v e t h e n e x t  cu s t o m er   w it h  p r o b a b ilit y   0 β   o r  h m a y  p r o ceed  o n   j th   v a c a tio n  s c h e m e  w ith   p r o b a b ility   j β   ) 1 ( M j   a nd   = 1 = 0 .   T h e  s e r v e r s  v a c a tio n  ti m e  f o llo w s  a  g e n e r a l ( a r b itr a r y )  d is tr ib u t io n   w ith  d is tr ib u tio n   f u nc t i o V j (x )   a n d de ns i t y   f unc t i on   v j (x ) .  L e t   dx x j ) ( γ   b e  th e  c o n d iti o n a l p r o b a b ility  o f  a  c o m p le ti o n  o f   a  va c a t i o n d ur i n g t he  i nt e r va l  ( x;  x +  d x]  g i ve n t ha t  t he  e l a p s e d  va c a t i o n t i m e  i s   x,  s o  t ha t     ) ( x j γ ( ) 1 ( )   an d  t h er ef o r e,                 = t j dx x j j e t t v 0 ) ( ) ( ) ( γ γ   ,       j   = 1 2 , 3 ,… ,M   d)   O n ce t h e o r i g i n al   v acat i o n  g et s  o v er ,  t h e s er v er   h as  a n   o p t i o n  o f  t ak i n g  a n  ex t en d e d  v acat i o n   w i t h   pr oba bi l i t y  p or  h e   m a y  r e j oi n   th e   s y s te m  i m m e d ia te l y   w it h  p r o b a b ilit y  1 - p .  T he  s e r ve r s  e xt e nd e d   v a c a tio n  ti m e  f o llo w s   a  g e n e r a ( a r b itr a r y )   d is tr ib u t io n  w it h   d i s tr ib u tio n  f u n c tio n   W j (x )   a n d de ns i t f u nc t i o w j (x ) .  L e t   dx x j ) ( θ   be  t h e  c on di t i on a l  pr oba bi l i t y  of  a  c om pl e t i on  o f  a  e x t e n de v a c a t i on  d ur i n g t he  i nt e r va l  ( x;   x +  d x]  gi ve n t ha t  t he  e l a p s e d  e xt e nd e d  va c a t i o n t i m e  i s   x,  s o  t ha t     ) ( 1 ) ( ) ( t W t w x j j j = θ          an d  t h er ef o r e,                = t j dx x j j e t t w 0 ) ( ) ( ) ( θ θ   ,       j   =1 ,  2 , 3 ,… ,M   e)   R e n e g i n g   i s   a s s u m e d   to   f o llo w   e x p o n e n t ia d is tr ib u t io n   w it h   p a r a m e te r   η .   T h u s   η d is   t h e   p r o b a b ilit y   th a t   a cu s t o m er  can  r en e g e d u r i n g   a s h o r t  i n t er v al  o f  t i m (t ;  t   +   dt ].   f)   O n ce t h e s er v er  b r eak d o w n ,  t h e r ep ai r  d o  n o t  s t ar t  i m m ed i a t el y .  T h er e i s  a  d e la y  ti m e  to   s ta r t th e  r e p a ir s .   T h e        d e la y  ti m e   f o llo w s   g e n e r a l d is tr ib u tio n   w i th  d i s t r ib u tio n  a n d  d e n s it y  f u n c tio n   H (x a nd   h (x )   r es p ect i v el y .   L e t   dx x ) ( φ   b e  th e  c o n d itio n a l p r o b a b ility  o f  a  c o m p le tio n  o f  a  d e la y  t i m e  d u r in g  th e   i nt e r va l  ( x;  x +  d x]   gi ve n t ha t   t he  e l a p s e d  d e l a y  t i m e  i s   x,  s o  t ha t   ) ( 1 ) ( ) ( x H x h x = φ             an d  t h er ef o r e,                 = t dx x e t t h 0 ) ( ) ( ) ( φ φ     g)   T h e s er v er  b r eak d o w n  i s  a s s u m ed   t o   o ccu r   acco r d i n g   t o   p o i s s o n   s t r ea m   w i t h   m ea n   b r eak d o w n   r at α   >   0.   h)   W h en  t h s er v er  b r eak d o w n  t h e r ep ai r  p r o ces s   m a y  s t ar t  an y  t i m e.  F i r s t  t h e s er v er  s en t   f o r  f i r s t  es s en t i al   r ep ai r  ( F E R ) .  A f t er  t h e co m p l et i o n  o f  F E R ,  t h e s er v er   m a y   o p t  f o r  t h e s eco n d opt i on a l  r e pa i r  ( S O R )   w i t Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p  S c i     I SSN :   2502 - 4752       M [ x ] / G / 1 M ul t i s t age  Q ue ue  w i t h St and - b y S er ver  d u r i n g  M a i n  S er ver s   I nt e r r upt i ons   ( C .  Y uv ar ani )   277   p r o b a b ilit y  r  o r  m a y  j o in  th e  s y s te m   w it h  p r o b a b ilit y  1 - r  t o  r en d er  t h e s er v i ce t o  t h e cu s t o m er s .   i)   B o th  th e  r e p a ir  p r o c e s s  F E R  a n d  S O R   f o llo w s  a  g e n e r a l ( a r b itr a r y )  d is tr ib u t io n   w it h  d is tr ib u tio n   f u n c tio n   U j (x )   a nd  d e ns i t y f u nc tio n   u j ( x f or  j  = 1, 2   r es p ect i v el y .  L et   dx x ) ( 1 κ   a nd   dx x ) ( 2 κ   b e  th e  c o n d itio n a l   p r o b a b i l i t y   o f   a   c o m p l e t i o o f   a   F E R   a nd   S O R     d ur i n t h e   i nt e r va l   ( x;   +   d x]   gi ve t ha t   t he   e l a p s e d   r ep ai r  t i m e i s  x ,  s o  t h at   ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 x U x u x = κ             an d  t h er ef o r e,                 = t dx x e t t u 0 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( κ κ     ) ( 1 ) ( ) ( 2 2 2 x U x u x = κ             an d  t h er ef o r e,                 = t dx x e t t u 0 2 ) ( 2 2 ) ( ) ( κ κ     T he  s t a nd - b y   s er v er  p r o v i d s er v i ce t o  t h e c u s t o m er s   w h en   t h m ai n   s er v er  i s  o n   v acat i o n ,  ex t e n d ed   v acat i o n ,   w a iti n g   f o r re p a i r t o  s t a rt  o u n d e r re p a i r u n t i l  t h e   m a i n   s e rv e r re t u rn s .  T h e  s t a n d - b y  s e r v ic e  ti m e  is   a s s u m e d  to  f o llo w  e x p o n e n t ia l  d is tr ib u tio n   w it h   p a r a m e te r   δ.       3.   D EF IN IT IO N S   A N D   E Q U A TIO N S  G O V ER N I N G  TH E S Y S T EM   W e d ef i n e   (i )   ) , ( ) ( t x P i n   d en o t es   t h p r o b ab i l i t y   t h at   t h er ar n   ( n     0 )   cu s t o m er s   i n   t h q u eu e x cl u d i n g   t h e   o n i n   s er v i ce  at   t i m t   a n d   t h s er v er   i s   act i v e p r o v i d i n g   th   s t a ge   ( i   = 1,   2,   3, , N )   of   s e r vi c e   w i t h   t h e  e l a ps e s e r v ic e  ti m e   f o r  th is  c u s to m e r  is  x  a n d  it s  c o r r e s p o n d in g  p r o b a b ility  ir r e s p e c ti v e  o f   v a lu e  o f  x  is  d e n o te d  b y   ) ( ) ( t P i n .   ( ii)    ) , ( ) ( t x V j n   d e n o te s  th e  p r o b a b ility  t h a t a t ti m e  t ,  t he   s e r ve r  i s  o th   v acat i o n   ( j   = 1 , 2 , 3 ,… ,M )   a n d   t h er ar n   ( n     1 )   cu s t o m er s   w a i t i n g   i n   t h e   q u e u f o r   s er v i ce  an d   i t s   co r r es p o n d i n g   p r o b ab i l i t y   i r r es p ect i v e   of  v a l u e  of  x  i s  de n ot e d b y   ) ( ) ( t V j n .   ( iii)   R n (1) ( x , t )  de n ot e s   t h e  pr oba b i l i t y  t h at  at   t i m e t ,  t h e s er v er  i s  i n act i v e d u t o  b r eak d o w n  a n d  t h s y s t e m  i s   u n d er   F E R   w h i l t h er ar n   ( n     0 )   cu s t o m er s   i n   t h q u e u an d   i t s   co r r es p o n d i n g   p r o b ab i l i t y   i r r es p ect i v e   of  v a l u e  of  x  i s  de n ot e d b y  R n ( 1) (t ).   (i v )  R n (2) ( t)  d e n o te s  th e  p r o b a b ilit y  th a t a t ti m e  t,  th e  s e r v e r  is  in a c ti v e  d u e  to  b r e a k d o w n  a n d  th e  s y s te m  i s   u n d er   S O R   w h i l t h er ar n   ( n     0 )   cu s t o m er s   i n   t h q u e u an d   i t s   co r r es p o n d i n g   p r o b ab i l i t y   i r r es p ect i v of  v a l u e  of  x  i s  de n ot e d b y  R n ( 2) (t ).   ( v )   Q ( t)  =   P r o b a b ility  th a t  at  t i m e t ,  t h er e ar e n o  cu s t o m er s  i n  t h e q u e u e an d  t h e s er v er  i s  i d l e b u t  av ai l ab l e i n   t he  s ys t e m .   (v i ) , ( ) ( t x E j n   d e n o te s  t h e  p r o b a b ility   th a t a t ti m e  t,  t h e   s e r v e r   is  o n    th   e x t en d ed   v acat i o n   ( j   = 1 ,  2 3 , , M )   a n d  t h e r e  a r e   n   ( n  ≥  1 )  c us t o m e r s   w a i t i ng  i n  t h e  qu e u e   f or  s e r v i c e  a n d  i t s  c or r e s pon di ng  pr oba bi l i t y  i r r e s pe c t i v e  o f  v a l u e  of  x  i s  de n ot e d b y   ) ( ) ( t E j n .   ( v ii)  D n ( x , t )   d en o t es   t h p r o b ab i l i t y   t h at   t h er ar n   ( n     0 )   cu s t o m er s   w ai t i n g   i n   t h q u eu f o r   s er v i ce  at   t i me   t,  a n d  th e  s e r v e r  is   w a iti n g  f o r  r e p a ir  to  s ta r t w it h  e la p s e d  d e la y  ti m e  x  a n d  its  c o r r e s p o n d in g  p r o b a b ility   ir r e s p e c tiv e  o f  v a lu e  o f  x  is  d e n o te d  b y  D n (t ).     T he  q ue ue i n m o d e l  i s  t he n,  g o ve r ne d  b y  t he   f o l l o w i n g s e t  o f  d i f f e r e nt i a l - d i f f er en ce eq u a t i o n s :   [ ] = = + + + + n k i k n k i n i i n i n t x P c t x P x t x P t t x P x 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( λ α µ λ                                  i   = 1 , 2 , 3 ,… , N   ,   n  ≥  1                             [ ] 0 ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 = + + + + t x P x t x P t t x P x i i i i α µ λ                       i = 1 2 , 3 ,… ,N                                 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SSN :   25 02 - 4752   I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p   Sc i ,   Vo l 11 , N o .   1 J ul y   201 8   :   2 75     283   278   [ ] = + + + = + + + + + n k j k n k j n j n j j n j n t x V c t x V t x V x t x V t t x V x 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( λ η δ η δ γ λ                      j   = 1 , 2 3 ,… ,M    ,   n    1                           [ ] ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 t x V t x V x t x V t t x V x j j j j j η δ δ γ λ + = + + + +                                                                                                                                                         j   = 1 2 , 3 ,… ,M                        [ ] = + + + = + + + + + n k j k n k j n j n j j n j n t x E c t x E t x E x t x E t t x E x 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( λ η δ η δ θ λ                      j   = 1 2 , 3 ,… ,M   ,   n    1                          [ ] ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 t x E t x E x t x E t t x E x j j j j j η δ δ θ λ + = + + + +                                                                                                                                                         j   = 1 2 , 3 ,… ,M                        ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) , ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( t x R t x R c t x R x t x R t t x R x n n k k n k n n n + = + + = + + + + + η δ λ η δ κ λ   ) , ( ) ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) , ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 t x R t x R x t x R t t x R x η δ δ κ λ + = + + + +         1 , ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) , ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( + + + = + + + + + + = n t x R x r t x R t x R c t x R x t x R t t x R x n n n k k n k n n n κ η δ λ η δ κ λ   ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) , ( ) 1 ( 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 0 2 ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 t x R x r t x R t x R x t x R t t x R x κ η δ δ κ λ + + = + + + +   [ ] = + + + = + + + + + n k k ni k n n n n t x D c t x D t x D x t x D t t x D x 1 1 ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( λ η δ η δ φ λ   [ ] ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( 1 0 0 0 t x D t x D x t x D t t x D x η δ δ φ λ + = + + + +   dx t x R x dx t x R x r t Q dx x t x V p dx x t x P t Q dt d M j j j N N ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) 2 ( 0 0 2 ) 1 ( 0 0 1 1 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 = + + + = κ κ λ γ µ β   T h e  a bov e  e qu a t i on s  a r e  t o be   s ol v e d s u bj e c t  t o t h e  f ol l o w i ng  bou n da r y  c on di t i on s :   dx t x R x dx t x R x r dx x t x E t Q c dx x t x V p dx x t x P t P n n M j j j n M j n j j n N N n n ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) , 0 ( ) 2 ( 1 0 2 ) 1 ( 1 0 1 1 0 ) ( 1 1 0 1 ) ( 1 0 ) ( 1 0 ) 1 ( + + = + = + + + + + + + + = κ κ θ λ γ µ β Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p  S c i     I SSN :   2502 - 4752       M [ x ] / G / 1 M ul t i s t age  Q ue ue  w i t h St and - b y S er ver  d u r i n g  M a i n  S er ver s   I nt e r r upt i ons   ( C .  Y uv ar ani )   279   N i dx t x P x t P i n i i n ,..., 3 , 2 ) , ( ) ( ) , 0 ( ) 1 ( 0 1 ) ( = = µ M j dx t x P x t V N n N j j n ,..., 2 , 1 ) , ( ) ( ) , 0 ( ) ( ` 1 0 ) ( = = + µ β M j dx x t x V p t E j j n j n ,..., 2 , 1 ) ( ) , ( ) , 0 ( 0 ) ( ) ( = = γ dx x t x D t R n n ) ( ) , ( ) , 0 ( 0 ) 1 ( φ =   = = = = N i i n N i i n n t P dx t x P t D 1 ) ( 1 1 0 ) ( 1 ) ( ) , ( ) , 0 ( α α     W e as s u m e t h at  i n i t i al l y   t h er e ar e n o  cu s t o m er s  i n  t h e s y s t e m  an d  t h e s er v er  i s  i d l e.  S o   t h e i n i t i al   c o n d itio n s  a r e   0 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 0 = = j n j V V ,           j   = 1,   2,  3, , M    a n d  Q ( 0)  =  1  ,  D 0 (0 ) =  0   a n d   0 ) 0 ( ) ( = i n P   f o r   n  =  0 , 1 2 , … ,       i   = 1 2 3 ,… ,N                                                                                               4.   TH E T I M E - D EP EN D EN T S O LU TI O N   B y   us i n g t he   s up p l e m e nt a r y v a r ia b le  te c h n iq u e ,   w e  o b ta in  t h e  f o llo w i n g  tr a n s ie n s o lu tio n     [ ] [ ] DR s Q z C s Q s z f X z f B z f B z f B z f B s z P i i i ) ( ) 1 ) ( ( )) ( 1 ( ) ( )) ( ( 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) , ( 2 1 1 1 1 2 1 1 ) ( + = λ K                                                       i   =  2 , 3 , 4 ,… ,N                                          [ ] [ ] M j z f z f V DR s Q z C s Q s z f z f B z f B z f B s z V j N j j ,..., 2 , 1 ) ( )) ( ( 1 . ) ( ) 1 ) ( ( )) ( 1 ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) , ( 2 2 1 1 1 2 1 1 ) ( = + = λ β K   [ ] [ ] M j z f z f W z f V X DR s Q z C s Q s z f z f B z f B z f B p s z E j j N j j ,..., 2 , 1 ) ( )) ( ( 1 )) ( ( ) ( ) 1 ) ( ( )) ( 1 ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) , ( 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ) ( = + = λ β K   [ ] [ ] [ ] ) ( )) ( ( 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( 1 ) ( ) 1 ) ( ( )) ( 1 ( )) ( ( ) , ( 2 2 1 1 1 2 1 1 2 ) 1 ( z f z f U X DR z f B z f B z f B s Q z C s Q s z f H z s z R N + = K λ α                [ ] [ ] [ ] ) ( )) ( ( 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( 1 ) ( ) 1 ) ( ( )) ( 1 ( )) ( ( ) , ( 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 ) 2 ( z f z f U z f U X DR z f B z f B z f B s Q z C s Q s z f H z r s z R N + = K λ α Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SSN :   25 02 - 4752   I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p   Sc i ,   Vo l 11 , N o .   1 J ul y   201 8   :   2 75     283   280                      [ ] [ ] [ ] ) ( )) ( ( 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( 1 ) ( ) 1 ) ( ( )) ( 1 ( ) , ( 2 2 1 1 2 1 1 z f z f H X DR z f B z f B z f B s Q z C s Q s z s z D N + = K λ α   w h e r e  D R  i s  gi ve n b y   [ ] [ ] )) ( ( )) ( ( )) ( ( 1 )) ( ( ) 1 ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) 1 ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 0 1 1 2 1 1 1 z f B z f B z f B z f U r r z f U z f H z z f W z f V p z f V p z f B z f B z f B z z f DR N M j j j j M j j j N K K + + + = = = α β β β                   α λ + + = )) ( 1 ( ) ( 1 z C s z f ,                             z z z C s z f η δ η δ λ + + + = )) ( 1 ( ) ( 2   )) ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( 2 2 2 1 2 2 2 1 z f U z f U z f H z f W z f V z f B j j i   ar e t h L ap l ace  S tie lt j e s   t r an s f o r m  o f  S er v i ce t i m e B i ( x )  ,  v acat i o n  t i m e V j ( x) ,  e xt e nd e d  va c a t i o n W j ( x ) ,  d el ay  t i m e H ( x ) ,  an d  r ep ai r   t i me  U 1 ( x)  a nd  U 2 ( x )  r es p ect i v el y .       5.   TH E S TE A D Y  S TA T E R ES U LT S   B y   u s i ng  t h e  pr ope r t y   ) ( lim ) ( lim 0 t f s f s t s =   W e  o b ta in  th e  f o llo w i n g   s te a d y  s ta te   r e s ul t   [ ] N i dr Q w B w B w B w B z C z P i i i ,..., 2 , 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ) ( ( ) ( 1 2 1 ) ( = = K λ   [ ] M j m m V dr Q z C w B w B w B w z V j N j j ,..., 2 , 1 ) ( 1 ) 1 ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( = = λ β K     [ ] M j m m W m V dr Q z C w w B w B w B p z E j j N j j ,..., 2 , 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( = = λ β K   [ ] [ ] m m U dr w B w B w B Q z C m H z z R N ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ) ( ( ) ( ) ( 1 2 1 ) 1 ( = K λ α                [ ] [ ] m m U dr m U w B w B w B z C m H z r z R N ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ) ( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 ) 2 ( = K λ α                    [ ] [ ] m m H dr w B w B w B Q z C z z D N ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ) ( ( ) ( 2 1 = K λ α   w h e r e  d r  i s  gi ve n b y   [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 1 0 2 1 w B w B w B m U r r m U m H z m W m V p m V p w B w B w B z w dr N M j j j j M j j j N K K + + + = = = α β β β                   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p  S c i     I SSN :   2502 - 4752       M [ x ] / G / 1 M ul t i s t age  Q ue ue  w i t h St and - b y S er ver  d u r i n g  M a i n  S er ver s   I nt e r r upt i ons   ( C .  Y uv ar ani )   281   α λ + = )) ( 1 ( z C w ,                             z z z C m η δ η δ λ + + = )) ( 1 (     L e t  W q ( z)  b e t h e P G F  o f  q u eu e s i ze i r r es p ect i v e o f  t h e s t at o f  t h e s y s t e m .  T h en   w h av e,                      ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( z D z R z R z E z V z P z W M j j N i M j j i q + + + + + = = = =   I n  o r d e r  to   o b ta in  Q ,  u s i n g  t h e  n o r m a liz a tio n  c o n d itio n   1 ) 1 ( = + Q W q   W e s ee t h at   f o r  z=1 ,  W q ( z)  i s  i n d et er m i n at e o f  t h f o r m  0  /  0 .  T h er ef o r e,  w e ap p l y   L H o p i t al s  r u l e   a n d  o n  s i m p l i f y i n g   w e  o b t a i n   t h e  r e s u l t  ( 1 ) ,   w h e r e   C ( 1 )  =  1 ,  C ( 1 )  =  E ( I ) ,  i s   m e a n  b a t c h   s i z e  o f  t h e  a r r i v i n g   c u st o m e r s,   ), ( ) 0 ( j j V E V = j   =   1, 2, 3 ,… ,M    i s   t h m ea n   o f   v acat i o n   t i m e, ) ( ) 0 ( j j eV E W =   is   th e   m ean  o f  e x t e n d ed  v acat i o n  t i m e,   ), ( ) 0 ( D E H =   i s  t h m ean  o f  d el a y  t i m e, ) ( ) 0 ( 1 1 R E U =   is  th e   m ean  o f  F E R  t i m e ,   ) ( ) 0 ( 2 2 R E U =   i s  t h m e an  o f  S O R  t i m e an d  l et   = = + = M j j j M j j j eV E p V E V E 1 1 ) ( ) ( ) ( β β ) ( ) ( ) ( 2 1 R rE R E R E + = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 α α α α N B B B B K = .   [ ] { } [ ] [ ] { } ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( D E R E V E m I E B R E D E m I E R E V E B R E Q I E W q + + + + + + + = α λ α α α λ α α α α λ       6.   TH E M EA N  Q U EU E S I Z A N D  TH S Y S TEM  S I Z E   L e t   L q   d en o t e t h m ea n  n u m b e r  o f  cu s t o m er s  i n  t h e q u e u e u n d er  t h e s t ead y  s t at e,  t h e n   [ ] 1 ) ( = = z q q z W dz d L   S in c e  th i s  g i v e s   0 /0  f o r m  w e   w r ite   ) ( ) ( ) ( z D z N z W q =   w h er N (z )  a n d   D (z ar e t h e    n u m er at o r  a n d   d en o m i n at o r  o f  t h R H S  o f  eq u at i o n  ( 5 4 )  r es p ect i v el y .  T h en   w u s e   = 2 )) 1 ( ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( D N D N D L q                                                                                                             [ ] { } 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( + + = R E V E B R E Q I E N α α α α λ                                        [ ] [ ] [ ] { } { } ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )) 1 ( ( ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 )) 1 ( ( )) ( 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 1 2 V E I E m V E I I E V E I E B D E R E V E B I E R E R rE D E R E R E I E m D E R E I E D E R E I I E B N λ α αλ λ α α α α α λ αλ αλ α α λ α + + + + + + + + = [ ] [ ] { } ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( D E R E V E m I E B R E D E m I E D + + + + + = α λ α α α λ                                                      [ ] ( ) [ ] [ ] { } { } ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( )) 1 ( ( )) ( 1 ( ) ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 V E m V E m V E m B R E D E V E m I E B I E D E D E R E R E m m m D E R E I I E B I E D + + + + + + + + + + + = α α α λ α λ α α λ α λ   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SSN :   25 02 - 4752   I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p   Sc i ,   Vo l 11 , N o .   1 J ul y   201 8   :   2 75     283   282   W he r e ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 1 2 1 2 2 j M j j j M j j j M j j j eV E V E p eV E p V E V E = = = + + = β β β , ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 R rE R E R E + =   a nd   )) 1 ( ( I I E i s  t h s eco n d  f act o r i al   m o m e n t  o f  t h e b at c h  s i ze o f  ar r i v i n g   cu s t o m er s  an d   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 α α α α α α α α α α N N N B B B B B B B B B B + + + = K K K K .  T he n,   i f   w e  s ub s t i t ut e  t he  va l ue s   ) 1 ( ), 1 ( ), 1 ( ), 1 ( D D N N   i L q,   W e g et  t h e p er f o r m an ce  m e as u r e i n  t h e cl o s ed   f o r m.     7.   P ART I C UL A R CAS E S   O ur   q u eu e i n g  s y s t e m  ca n  b e co n s i d er ed  as  a v er y  g e n er al  s y s t e m  a n d  l o t  o f  s y s t e m s  al r ead y   s t u d i ed   can  b e a p ar t i cu l ar  cas e o f  o u r  s y s t e m .     Ca s e  ( i )  No  Re n e g i n g     I f   w e as s u m e t h er e i s  n o  r en eg i n g ,  s i n g l e s t a g e o f  s er v i ce  ,   s in g le   v a c a tio n  p o lic y  a n d   th e r e  is  n o   s eco n d   o p t i o n al   r ep ai r   t h en   ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 eV E p V E V E β β + = ) ( ) ( 1 R E R E = ) ( ) ( 1 α α B B = z z C m δ δ λ + = )) ( 1 (   al s o  w e g et   [ ] { } [ ] [ ] { } ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( D E R E V E m I E B R E D E m I E R E V E B R E Q I E W q + + + + + + + = α λ α α α λ α α α α λ   T h e ab o v e r es u l t  ag r ees   w i t h  t h e r es u l t  o f  K h al af . R . F  [ 5 ]       C as e  ( i i )  N o D e l ay,  N o  s t an d b y S e r ve r ,  N o E x t e n d e d  V ac at i on ,  N o O p t i on al  R e p ai r     I f   w e a s s u m e  t h er i s   n o  d el a y ,  s t a n d b y   s er v er ,  ex t en d ed  v acat i o n  an d   s eco n d  o p t i o n al  r ep ai r   w i t h   t w o  s t a ge s  o f   s e r vi c e   ha vi n g s i n gl e  va c a t i o n p o l i c y   t he ) ( ) ( 1 1 V E V E β = ) ( ) ( 1 R E R E = ) ( ) ( ) ( 2 1 α α α B B B = ,   z z C m η η λ + = )) ( 1 (   al s o   w e g et             [ ] { } [ ] [ ] { } ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( R E V E m I E B R E m I E R E V E B R E Q I E W q + + + + + + = α λ α α α λ α α α α λ   T h e ab o v e r es u l t  ag r ees   w i t h  t h e r es u l t  g i v e n  M o n i t a B ar u a h  et  al . , [ 6 ]       8.   NUM E RI CAL  R E S U L T   I n o r d e r  t o  e xa m i ne  t he   va l i d i t y  o f   t he   r e s u l t s   w e ap p r o ach  n u m er i cal  r es u l t .  F o r  t h at  p u r p o s w e   a s s u me   s er v i ce t i m e,   v acat i o n  t i m e,  e x t e n d ed  v acat i o n  t i m e,  d el a y  t i m e,  F E R  a n d  S O R  ar e al l  f o l l o w s   e x p o n e n t ia l d is tr ib u tio n  a n d   w e  c h o o s e  th e  f o llo w in g  a r b itr a r y   v a lu e s  : N  = 1  ,  M  =  1   ( s in g l e  s e r v e r  a nd  s i ng l e   v acat i o n ) ,     0 , 5 , 2 ; 5 . 0 ; 5 . 0 ; 5 . 0 , 5 , 4 ; 5 , 7 ; 2 ; 0 )) 1 ( ( ; 1 ) ( 1 2 1 1 1 = = = = = = = = = = = = = δ η α β κ κ γ µ λ p r I I E I E       T a bl e  1.   C om pu t e V al u es  o f  V ar i o u s  Q u eu C h ar act er i s t i cs   θ   φ   Q   ρ   L q   W q   4   7   1 0   1 2   3   0 . 8 58 5   0 . 8 68 4   0 . 8 72 4   0 . 8 73 9   0 . 1 41 5   0 . 1 41 6   0 . 1 27 6   0 . 1 26 1   0 . 6 28 8   0 . 6 01 9   0 . 5 93 1   0 . 5 9   0 . 3 14 4   0 . 3 01 0   0 . 2 96 6   0 . 2 9 5   4   7   1 0   1 2   5   0 . 8 31 4   0 . 8 43 4   0 . 8 48 2   0 . 8 5   0 . 1 68 6   0 . 1 56 6   0 . 1 51 8   0 . 1 5   0 . 7 02 4   0 . 6 81 9   0 . 6 75 7   0 . 6 73 7   0 . 3 51 2   0 . 3 40 9   0 . 3 37 9   0 . 3 36 9   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nd o ne s i a n J  E l e c  E ng  &  C o m p  S c i     I SSN :   2502 - 4752       M [ x ] / G / 1 M ul t i s t age  Q ue ue  w i t h St and - b y S er ver  d u r i n g  M a i n  S er ver s   I nt e r r upt i ons   ( C .  Y uv ar ani )   28 3        T h i s  t ab l e cl ear l y  s h o w s  t h at  as  t h e d el a y  t i m e a n d  t h e ex t e n d ed  v acat i o n  t i m e i n c r eas es ,  t h e   s er v er  i d l e t i m e i n cr eas e s  an d   t h e u t i l i zat i o n  f act o r  d ecr eas es .       9.   CO NCL U S I O N   W e h av e s t u d i ed  M [x] / G / 1  q u eu w i t h   N  s t a g es  o f  s er v i c es  u n d er  d i f f er en t   v acat io n  p o lic y  a n d   ex t en d ed   v acat i o n   s u b j ect   t o   s y s t e m  b r eak d o w n   w i t h   d el a y   t i m e an d  t w o   p h a s o f  r ep ai r s .  I n   ad d i t i o n   w e   as s u m e  t h at  t h e c u s t o m er s   m a y  r e n eg e  d u r i n g  b r eak d o w n  o r  v acat i o n  p er i o d  d u e t o   i m p a t i en ce.  T h s er v i ce   t i m e,  v acat i o n  t i m e,  ex t e n d ed  v aca tio n  ti m e ,  d e la y  ti m e  a n d  r e p a ir  a r e  a ll f o llo w   g e n e r a l d is tr ib u tio n .  T h is   w o r k  p r es e n t s   t h e cl o s ed  f o r m  o f  t h i m p o r t an t  p er f o r m a n ce   m eas u r e.  M an y  q u e u ei n g  s y s t e m  s t u d i ed  al r ead y   ar e t h e s p eci al  cas es  o f  t h i s   m o d el .       R EF ER EN C ES   [ 1]   R . V i m al a D ev i ,   M [ x] / G/ 1  Q u eu e w i t h  T w o  P h as e o f  H et er o g e n eo u s  S er v i ce  un de r   D i f f er en t   V acat i o n  P o l i cy ,   R e s tr ic te d  A d m is s ib ility  a n d  S e t u p J o ur n al  of   A dv anc e s   in   M a th e m a tic s ,   v ol .  9,  20 14,   2 687 - 26 95 .   [ 2]   G . A y y a ppa n a nd S . S hy a m a l a ,   T i m e  D e pe nde nt  S ol u t i o of   M [ x] / G / 1 Q ue ue i ng  M ode l   W i t h S e c ond  O pt i o na l   S er v i ce,  B er n o u l l i  k - opt i o na l   V a c a t i on a n d B a l k i ng I n t e r nat i on al   J o ur n al  of  Sc i e nt i f i c  an R e s e ar c P ubl i c at i o ns v ol .  3,  2 01 3,   1 - 13 .     [ 3]   K e .J .C , H u a n g .H .I  a n d  C h u .Y . K “B at ch  A r r i v al  Q u eu e w i t h   N - p o lic y  a n d  a tm o s V acat i o n s Ap p li e d   M at he m at i c al  M ode l l i ng ,  v ol .   34 ,  20 10,  4 51 - 46 6.   [ 4]   G . A y y ap p an  an d  S . S h y a m al a,   M [ x] / G / w i t h B e r nou l l i  S c he dul e  S e r v e r  V a c a t i on R a ndom  B r e a k dow n a nd S e c on d   O p tio n a l R e p a ir J o ur n al  o f  C om put at i o ns  &   M ode l l i n g ,  vo l .  3,  201 3 ,   1 59 - 175 .   [ 5]   K h a l a f .R .F Q ue ue i ng  S y s t e m s  w i t h F our  D i f f e r e nt  M a i n S e r v e r s  I nt e r r upt i o ns  a n d a  S t a nd - B y  S er v er I nt e r nat i o nal  J our n al   of   St a t i s t i c s  an d P r o ba bi l i t y ,   vo l .  3 ,  2 01 4,   49 - 54.   [ 6]   M oni t a  B a r ua h,  K . C . M a da n a n T i l l a l  E l da bi ,   A  T w o S t a ge  B a t c h A r r i va l  Q ue ue  w i t h R e ne g i ng dur i ng  V a c a t i o a nd  B r e a k dow n P e r i o ds A me ri c a n  J o u rn a l   o f  Op e ra t i o n s R e se a rc h ,  v ol .  3,  2 01 3,   57 0 - 5 80.   [ 7]   D .  S um i t ha  a nd K .  U da y a  C ha ndr i k a B at ch   A r r i v a l R e tr ia l Q u e u e   w ith  D e la y   T i m e  a n d   A d d itio n a l M u lti - O p t io n a R ep ai r I nt e r na t i o nal  J our nal  of   A dv anc e d  C om p ut e r  R e s ea r ch ,  V ol .  7,  20 17,   3 2 - 41 .      [ 8]   C . Y u v ar an i  an d  C . V i j ay al ak s h m i ,   M [ X ] / G / 1 M ul t i s t a g e  Q ue ue  W i t h R e ne g i ng  D ur i ng  V a c a t i on a nd B r e a k dow n   P e r i ods  a n d S e c o nd  O pt i ona l  R e p a i r I nt e r nat i o nal  J our nal   of   P ur e  and  A p pl i e d  M at he m a t i c s ,  V ol . 109 ,   2 01 6,  59 - 6 6.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.