TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 13, No. 3, March 2 015,  pp. 497 ~ 50 2  DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 13i3.721 5          497     Re cei v ed Au gust 2, 201 4; Re vised Sept em ber  18, 20 14; Accepted  Octob e r 16, 2 014   A Nonlinear System of Generalized Predictive Control        Jingfan g Wa ng  Schoo l of Information Sci enc e & Engin eer in g, Huna n Inter natio nal Ec ono mics Univers i t y ,    Cha ngsh a , Chi na, postco de: 410 20 5   E-mail: matlab _b ysj@ 12 6.co m      A b st r a ct   Genera l i z e d   pr edictiv e co ntrol  (GPC) a l gor ithm h a s  b e e n   app lie d to  al l k i nds  of i n d u stry contro l   systems. But systemic  and  effective  metho d  for non lin ear  sy stem h a s not b een fo und. To this pro b le m, thi s   pap er inte grat es the ch aract e ristics of PID  techno l ogy  a nd GPC, pres ent a PID g e n e rali z e d  pred ic tive  control a l gor ith m  for a class of  nonl ine a r system,  a nd i m pr o v es the contro l  qua lity of the system.     Ke y w ords : ge nera l i z e d   pre d i c itive contro l,  PID, nonli n e a r system, si mul a ti on     Copy right  ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion   Since the 19 90s, the mo dern in du stri al bec ome q u ickly to co mplex, large - scale and  automation d e velopme n t, therefo r e ma n y  industria l control sy stem s with a high  degre e  of non- linearity, cou p ling, whe n  the variability and large ti me-del ay cha r a c teri stics,  and  the existence of  deman dingth e  con s trai nt condition s. Th ese requi re  t he automati c  control te ch nology to pro v ide   importa nt technical gu aran tee for th e re alizatio n  of ef ficient, safe,  high-quality  mass p r o duct i on.  Only rely  on t r adition al  con t rol techniq u e s   su ch a s  PI D  control al g o rithm  ca n n o t solve  all th ese  probl em s. T herefo r e,  we  mu st see k  more  adva n ce d  cont rol  metho d s to  meet th e  high  requi rem ents  of modern ind u strial   autom atic co ntrol te chn o logy . Th e contin uou s  developm ent  of  comp uter te chnolo g y bro u ght great cha nge s to the  control system   hardware,  a nd on  this  ba sis,   the new  control algorith m  - predi ct ive co ntrol slo w ly d e velope d.  Gene rali zed  predi ctive control algo rithm  with a feedback  corre c tion, multi-ste p   predi ction, ro lling optimiza t ion cont rol  method,  an d  thus control  the effect of good, stro n g   robu stne ss, this control al gorithm  can  be used to  control  compl e x industri a l p r ocesse s [1], or  difficult to est ablish preci s e  the mathem a t ical mo d e l, a nd ha s b een  use d  in   the control system   of  the ch emical, petrole um,  metallurgy, machi n e r y a nd othe r ind u strial  se cto r s, and  refle c ts the  cha r a c teri stics of the a sup e rio r  tradition al cont rol system, is a pro m ising n e w  cl ass of comp u t er  control algo rit h ms.   From the a b o ve, we can  see that, alth ough  p r edi cti v e control ha s many adva n tage s,  however, the  traditional P I D cont rol al gorithm b e ca use of its st ructure is  sim p le, clea r and   con c i s e alg o ri thm robu stne ss, lo w co ntro l algor ithm m odel a c cura cy requirement s and o peration   easily a c cept ed in actu al indu strial p r o c ess co nt rol o r  occu py a dominant po sit i on, con s train ed  gene rali zed p r edi ctive cont rol to the appl icat ion of the  actual in du strial field.  Relatively According  to th e above,  we  can   see tha t  the PID co ntrol te chn o l ogy with  predi ctive  co ntrol  com b in ation i s  a  ne w  re sea r ch  dire ction; the  integration  of the  re spe c tive   cha r a c teri stics of this ne w control algo rit h m has  ce rtai n signifi can c e .       2. Generalized Predictive Control   2.1. Basic Pr inciple of Ge neralize d  Predictiv e  Control   Gene rali zed  Predi ctive Co ntrol (GP C ) [ 2 ] wa s p r op o s ed in 19 84  by Clarke et al. GPC   based on  ge nerali z e d  min i mum varia n ce co ntrol, th e  introdu ction  of a multi-ste p  pre d ictio n  i dea  to make it a rando m noi se, sig n ifica n t ly impr oved  the ability o f  anti-distu r b ance and de lay  variation. GP C's  ba sic  structure a s  sh own  by  the p r edi ction m o d e l, GPC is  ro lling optimi z a t ion   and feed ba ck corre c tion co nsi s ts of thre e parts.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 3, March 2 015 :  497 – 5 0 2   498     Figure 1. GPC structu r e schem atic      2.2. Generali zed Predic ti v e  Control M odel  In 1987, Cla r ke et al gen e r alized pa ram e tric mo del b a se d co ntrol. Its essen c e i s  ba sed  on gen erali z ed minimum  variance introdu ce d the i dea of the multi-ste p  predictio n, ran d o m   noise, anti-lo ad distu r ba n c e an d dela y  variat ion capability has been sig n ificantly impro v ed   robu stne ss suitable for o p en-lo op u n sta b le, non -m ini m um pha se  delay syste m . The ba sic f o rm  of the al gorith m , the follo wi ng di screte  di fferentia l e q u a tions to d e scrib e  the  mat hematical m o del  of the controlled obje c t:    A z  y t B z  μ t1 C z  ω t / ∆                         (1)    Whe r e  A z  、 B z  、 C z   are th e ba ckward  shift op erato r   z   polynomial.  μ t  and  yt  is  respe c tively rep r e s ent th e input a n d  output of the controll ed  obje c t, = z  , is  differenc e  operator. ω t  is  not rel a ted t o  the  seq u e n ce  of ra ndo m variabl es. C on stant  n  an d  n  is not  related to the  seq uen ce of random va riab les.Con s tant  C z  =1.       3. A Class o f  Nonlinear G e neralized Predictiv e  Control   3.1. Nonline a r Sy stem Model  Gene ral no nli near  system  can b e  used  to describ e the followi ng I / O model with first- orde r del ay:       y t f yt 1 ， … ， y t n ， u t1 ， … ， ut m     ( 2 )     Whe r ein m,  n, resp ectivel y , is known as  a sy stem  input output gradatio n times o r  the  ceiling in order: f () is the unknown, and is  y t1 ， … ， y t n ， u t 1 ， … ， u t m  ‘s   nonlin ear fun c tion.The foll owin g co ndition is satisfied :   a)  f(0,0, …0)=0,      b)  f() is abo ut   ， … ，  ，  ， … ，   continuou sly   differentiabl e, and variou s  partial de rivat i ves bou nde d .     3.2. Equiv a le nt Time-v ar y i ng Linear Sy stems  In order to fa cilitate  the  an alysis,  we  co ns id er only the input-o utpu t system, the  system   eq. (2), we ob tain the following theorem b y  analyzing:   Theorem  3. 1  [3]: sati sfy the  con d itio n (1 ),  (2) n on-lin ea r  system eq.  (2 )  can  be   equivalently e x presse d as  f o llows  when denatu r ed system:     y t f y t1 ， … ， y tn ， u t1 ， … ， u tm            (3)  = a t y t1 ⋯ a t y tn b t u t 1 ⋯ b t u t m      Formula’ s a i ,b j  is bou nded  time-varying  coeffici ents.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A Nonline a r  System  of Generali z e d   Pre d ictive Co ntro l (Jingfa ng Wang)  499 3.3. Time-v ar y i ng Parameter Iden tifica tion   Theo rem 3.1  only given t he existe nce  of t he equiv a lent linea r  system of the  origin al  nonlin ear sy stem, did n o t  give the  spe c ific  par amet ers of the  co rre sp ondi ng l i near sy stem  in   every mome nt. Since the nonlinea r fu nction f () of   the partial d e rivative is u n kn own, i.e.  the   linear  rep r e s entation of th e re spe c tive coeffici ents i n  the Equatio n (3) i s  un kn own. And  ca n be  see n  from  th e above  de ri vation, the co efficient  a i1 ， …n ， b j 1 ， …m  is  not only with  the no nline a r functio n  f  (), also  a s soci ated  with  the  input  and  o u tput of the   system, th at  is  con s tantly ch angin g  with ti me. Ne ed o n line ide n tifi ca tion  of  the s e time-varying  coeffici ents, on   this ba sis, re -desi gn of the controlle r.  Seen by The o rem 3.1, the  system  Equa tion (2)  can b e  expre s sed  as:     y t ϕ t θ t ξ t                                  (4)    Whe r e     ϕ t  y t1 ， … ， y tn ， u t1 ， … ， u tm         ( 5 )           θ t  a t ， a t ， …a t ， b t ， b t ， … ， b t     3.4. Contr o ller Desig n   By the formul a (3 )  sho w s,  the w.  Cha r g ed o b ject typ e  eq.(2) is  e quivalent lin e a r time - v a ry ing sy st e m s:       y t a t y t1 ⋯ a t y tn   b t u t1 ⋯ b t u t m + ξ t                            (6)    Theo rem 3.1  sho w s that  | a | 、 b r .  A ssu me 1: a t ∑ a 、 F t ∞       i 0 ， …n     b t ∑ b 、 F t ∞       i 0 ， …m     Here  a b a si s functio n  a p p r oximation  wi th va ria b le coefficient s.  A c tual appli c at ion,  the  interception o f  a finite number of term s, that:    a t ∑ a 、 F t       i 1 ， … n       b t ∑ b 、 F t      i 1 ， …m Y t a , F ty t1 ⋯ a , F ty t1 ⋯ a , F ty t n … a , F ty tn b , F tu t1 ⋯ b , F tu t 1 … b , F tu tm ⋯ b , F tu tm ε t   (7)   y t ϕ t θ ε t       (8)     Whe r e,     θ a , ， …,a , ， … ， a , ， … ， a , ， b , ， …,b , ， … ， b , ， … ， a ,     ϕ t  y t 1 F t ,…, y t 1 F t ， …y t n F t … y t n F t   ut 1 F t , … , u t 1 F t ， … u t m F t … u t m F t ]    Here is in clud ing noi se an d  unmodel ed d y namics.  A ssu me 2:   ε t  is bound ed,  | ε t | k ,  k  is the no rmal  numbe r. For  solving  cont rol law  conve n ien c e,  (3-6 ) can be  expre s sed a s :    A t ， z  y t B t ， z  u t1 ε t   (9)     A t ， z   a , F t ⋯ a , F t z  ⋯ a , F t ⋯ a , F t z   B t ， z   b , F t ⋯ b , F t z  ⋯  b , F t ⋯ b , F t z  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 3, March 2 015 :  497 – 5 0 2   500 So the time-varying pa ra meter e s tima tion in  the o r iginal  syste m  Equation  (3) int o   Equation  (4 )  in the fixed - length p a ram e ters e s timat ed. Paramete r ide n tificatio n  u s ing  ada p t ive   algorith m  as f o llows:       θ t P θ t1 ϕ     ϕ  ϕ       e t y t ϕ t 1 θ t 1     The above fo rmula, P r  is p r oje c tion op erand,an d is u s ed to locate  ） （ t ˆ  on a co mpa c t  set  c.     A t ， z  y t B t ， z  u t1 ε t                    (10)    Estimation m odel Equ a tio n  (10 )   can  b e  used a s  th e GPC  plant  model, the  desi gn of  gene rali zed p r edi ctive cont rolle r, as the  cont rolle r of the origi nal no nlinea r syste m .      4. The Gener a lized Predic tiv e  of a Class of  Nonlinear Sy stems PID Control  Algorithm   4.1. Plant model  By theorem  3 . 1, spline  ba sis fun c tion s [4] better tha n  other  polyno m ial ba sis fu nction s  smooth a nd  simple  cal c ul ation, usin g this time -va r ying co efficient s of the cubi c spli ne ba si s  function a pproximation. Finally, we  ca n cal c ulate the  estimated m o del:    A t ， z  y t B t ， z  u t1 ε t                       (11)    Whe r e eq.(11 )   can be used   as  the GPC cha r ge d li ke  a mod e l, the  desi gn  of gen erali z e d   predi ctive co ntrolle r and  controlle r a s  a n  element no nlinea r syste m s.      4.2. Contr o ller Desig n   Formul a  (11 )   wa s  cha r ge d  with the  obj e c t mo del, mo re than  on e of  a  cla s s of n o nlinea r   system s GPC princi ple de si gn PIDGPC  controlle r. The  performan ce  index functio n  we get:       J t E ∑ k ∆ e tj k e tj k ∆ e tj  ∑ λ j ∆ ut j  12et ∆ et 0   e t j ω t j y  t j                          (12)    Whe r e E is th e mathemati c al expecta tio n , N is the predictio n hori z on,  N  is cont rol ling a  time domain,  λ j  is a wei ghtin g coeffici ent, we set the co nstant  λ 、 k 、 k 、 k , res p ec tively, for  the coefficie n t  of the proportional term,  the int egral term coeffici e n t and deriva t ive coefficie n t,  y  t j  is  y t  forward j – th step p r e d i ction, the se t value of the  ω t j  for a given  softenin g   seq uen ce.       ω t y t   ω t j ηω tj 1 η y t j    j1 , 2 ， … ， N     Whe r ein  yt  is the set value of  the time point t,  η 0  1  is  soften fac t or.   Introdu ction o f  Diopha ntine  equation s .     1 E A ∆ Z  F E B G Z  H                                          (13)    Whe r ein, E j ， F j ， G j ， H j  is a polynomi a l for Z 1 . Through a  se ries of cal c ul ations a nd  derivation s  e v entually cam e  to the following formula:     ∆ u t P T y r t P T F j η j y t P T H j ∆ u t 1          ( 1 4 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A Nonline a r  System  of Generali z e d   Pre d ictive Co ntro l (Jingfa ng Wang)  501 u t  u t 1 ∆ u t                           (15)    Be seen fro m  the above derivation of the plant  para m eters are  known,  the PID indirect  gene rali zed p r edi ctive cont rolle r is de sig ned a s  follows:  To a  spe c ifie d fore ca st do main  N, co ntrol of time-d o m ain  N u , the weighted  co nst ant  ,  as well as the  numbe r of PID co ntrol pa rametersk p 、 k i 、 k d .  (1) T he linea rization of no n linear  system s,  have to the GPC model  para m eters  matrix A,  B;  (2) T he polyn omial E j ， F j ， G j ， H j   is solv ed by the the Diop hantine  equatio n;  (3) T he control amount is  solved by the  formula (1 4),  (15);   (4)   t t 1, and returns to (1 ).       5. Simulation and Con c lusions   Gene rali zed  Predi ctive Co ntrol u s ing  m u lti-step  pred iction, do mai n  N, a s   well  as th e  control domai n N u  foreca st incre a se of these two pa ram e ters  with a single step p r e d iction, PID- GPC adde d para m eter  k p 、 k i 、 k d ,  these para m e t ers and cont rol weig hting con s tant s  λ ,s often   the sele ction  factor  η  control  performance w ill have an i m portant impact.  Controlled o b j ect:     y t 5y t 1 y t 2 1 y t 1 2 y t 2 2 y t 3 2 u t 1 1 . 1u t 2    y 1 y 2 0 ； y 3 1 ， u 1  1 ， u 2 1    The GPC pa ramete rs ta ken pre d iction  field N = 20, control the time domain N u 1,  η 0 . 95 ,  λ 0 . 3,  ρ 0 . 6 ,  PID parameters is  k p 0 . 5 ， k i 0 . 8 ， k d 5 . 6.   The followin g  plans were the GPC and PID-GP C tracking  y r t 1 step  re spo n se   simulat i o n  re sult s.             Figure 2. Wh en  λ 0 . 3, The simu lation re sults  of the conven tional GPC  Figure 3. Wh en  λ 0 . 3, k p 0 . 5 ,  PID-GPC  simulat i o n  re sult s       The  simulat i o n  re sult s  sho w  t hat  t h e  i m pr ove d   con t roller PID-G P C the  co ntrol effect  than tradition al GPC cont rol effect, ca n effect ively sho r ten the t r ack time, a nd enh an ce  the   robu stne ss of  the co ntrol,  sup p re ss ove r sh oot  smoot her  cont rol a c tion, to a c hi eve the control  effec t.      Referen ces   [1]  Xi ao-N i n g  Du,  Yu-Geng  Xi, Shao-Y u a n . Predict iv e contro l of compl e x  s y stems res e a r ch.  Electric   Autom a tion . 20 05; 22(5): 4-1 0 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 3, March 2 015 :  497 – 5 0 2   502 [2]  Rou han i R, R K  Mehra. Mo d e l Al gorithm ic  Contro l (MAC). Basic T heoret ical Pro perti es.  Autom a tion .  199 5; 18(4): 40 1-41 4.  [3]  Guo Ji an. Ge nera lize d  Pre d i ctive C ontro l  of a cl ass  of  non lin ear s y st ems. [Nan jin g  Univ ersit y  of   Scienc e an d T e chn o lo g y  Doc t oral Diss e rtati on. 200 2: 13-3 8 .  [4]  Gao Qinhe, W ang Sun an,  Huan g Xi an xian g. Gener al i z ed Pred ictive  Control of var y in g s y ste m   param eters.  Computer Si mul a tion.  20 08; 25 (2): 181-1 83.   [5]  Clarke DW , et al. Genera lize d  Productive C o ntrol.  Autom a tic.  1987; 23( 2): 137- 162.   [6]  Rou han i R, Metha RK. Mo d e l Alg o rithmic  Contro l (MAC) . Basic T heoretical Pro perti es Automatic .   198 2; 18(3): 40 1-41 4 ．   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.