Indonesi an  Journa l  of  El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   23 ,  No.   1 ,   Ju ly   2021 , p p.  471 ~ 47 8   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v 23 .i 1 . pp 471 - 47 8          471       Journ al h om e page :  http: // ij eecs.i aesc or e.c om   Perform ance of s imi larity  explicit  group it eration f or solvin g 2D  un stea d y conv ection - diffu s ion equa tion       Nu r  Af z a M at A li 1 ,  Ju m at S ulaima n 2 ,  Az ali Sa udi 3 ,  Nor  Syahid a Moh am ad 4   1,2,4 Facul t y   of  Sc ie nc e and  Natu ra l  Resourc es,   Uni ver siti   Malay si a S aba h  (UM S), M al a y s ia   3 Facul t y   of  Com puti ng  and  Infor m at ic s,  Univ ersi ti   Ma lay sia   Saba h  (UM S),  Malays ia       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   Ma r   3 1,  2021   Re vised  Jun   8 ,   2021   Accepte d  J un  1 7 , 202 1       In  thi s  pap er,   a  s imila rity   finite  d iffe ren ce   (SF D)  soluti on  is  addr e ss ed  for  the  two - dimensional  (2D)  par abolic  par ti a l  diff ere nt ia l  equati on  (PD E),  spec ifica l l y   on  t he  unstea d y   con vec t ion - diffusio n  proble m .   Stru ct uring  the  sim il ar ity   tra nsf orm at ion  using  wave   var i ables,  we  red uc e  th e  p ara bol ic   PD E  int o  el l ipt i c  PD E.   The  num eri c al   solut ion  of   t he  cor r espondin g  sim il ar i t y   equa t ion  is  obta i ned  using  a  sec o nd - orde r  ce n tra l  SF D  discre ti za t i on  sche m e   to  get   the   sec on d - orde r  SF D  ap proxima ti on  equ at ion .   W e  propose  a  four - point   sim il arit y   expl i ci t  group  (4 - point   SEG)  it er at iv e  m et hod  as  a  num eri cal   soluti on  of  th e   la rge - sca l e  an d  sparse  li n ea r   s y stems   der iv e d  from   SF D   discre t iz a ti on  of  2D  unstea d y   con vec t ion - diffusio n  equa t ion  (CDE ).   To  show   the   4 - point   SEG   it erati on  eff icie nc y ,   two  itera ti v e  m et hods,  such  as  Jac obi   and  Gauss - Seide l  (GS )  it er ati ons,  are   al so  conside red .   Th e   num eri ca l   expe riments  are  ca rri ed  out   usi ng  thre e   differe nt  proble m s  to  i ll ustrate  our   proposed  it erati ve  m et hod' s  pe rfo rm anc e.   Fina lly ,   the   num erica l  result s   show ed  tha t   our   proposed  i te r at i ve  m et hod  is  m ore   eff icient  than  the  Jac ob i   and  GS   itera ti on s in  t erms   of  iter at ion   num ber   an d  execut ion   t ime.   Ke yw or d s :   Convect io n - dif fu si on equati on   Partia l dif fer e nt ia l equ at io n   Si m il arity exp l ic it  g rou p   Si m il arity f init e d if fer e nce    Si m il arity so lu ti on   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Ju m at   Su la i m a n   Faculty  of  Scie nce a nd N at ur a l R esources   Un i ver sit i M al ay sia  Sab a h   Jal an UMS,  88 400 K ota K i na balu, Sa bah, M al ay sia   Em a il :  j um a t@um s.ed u. m y       1.   INTROD U CTION   Convect io n - dif fu si on  eq uatio n  (C DE )  is  one  of  the   m os t  chall eng i ng  prob le m s  and  f re qu e ntly   us e d  in  va rio us   bran ches  of  en gin e erin g  a nd  ap plied  sci e nce,  e spe ci al ly   in  rad ia l  trans port  in   a  por ou s   m edium   [1 ] ,   heat  trans fer   i n  a  nanof l uid   fill ed  [ 2],  heat  tr a ns fe r  in  a  dr ai ning  film   [3 ] ,  and   water  tra nsport  in  s oil  [4 ] .   Also ,   the  ap plica ti ons  of  CDE   can   be  fou nd  in  [5 ] - [ 8].  D ue  t o  it s  ap plica ti on,  these   pr oblem s  hav e  rec ei ved  extensi ve  at te ntion,  a nd  m a ny  rese arc her s   at tem pted  to   so lve   these   pr ob le m s  nu m erical ly   to  achie ve  t he  lowest  com pu t at ion al   com plexity   and   highe st  per f or m ance.  To  achie ve  the  low  c om pu ta ti on al   com pl exity ,  there  a re  m any  stu dies  on  sim il arit y  so luti on  te ch niques  ha ve  bee n  e xp l ored  by  m any  res earche rs  a nd  a pp li e d  in  pa rtia l  dif fer e ntial   equa ti on s  (PDEs) .   For  in sta nce ,  A fify  [ 9]  pr ese nted   sim il arit y  so luti on s  in   m agn et ohyd rodynam ic ,  wh ic h  is  ob ta in ed  by   us in g  scal in g  trans form at io ns   the n  so l ved  nu m erical ly   by  us in g  the  sho oting   t echn i qu e  with   four t h - orde r  Runge – K utta  integ rati on   sch e m e.  M.  Sia va sh i  et   al.   [10],  the   auth or s  obta in ed  a  sim i la rity  so luti on  of   ai r   and  na noflui d  i m pin gem ent  coo li ng  of   a   c yl ind rical   por ous  heat   sink  us i ng  si m il arity  var ia bl es  then   s olv e d  nu m erical ly .  Usm an   et   al.     [ 11] ,  a   sim i la rity   so luti on   of  the   water/m agn et ite  na noflui d  m od el le d  P DEs  su bject   t o  the r m al   rad ia ti on   and  L or e ntz  f or ce  over   stret chab l e   ro ta ti ng  disks  is  ob ta ine d  by  su pport in g  preci se  si m il arity  transf orm at i on.  The  stu di es  on   the  sim il arit y  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  471   -   47 8   472   so luti on  can  al so   be  f ound  in  [12 ] - [ 15] .  Ba sic al ly ,  the  m ai n  idea  of   us i ng   a  si m i la rity  so luti on   is  to  re duce  the  nu m ber   of  in de pende nt  va riables  of  a  syst em   of   PDEs  at   le ast   on e  le ss  than  that  of   th e  or igi nal  eq ua ti on.   Be cause  of  th e  low  com pu t at ion al   c om pl exity   and  high  c om pu ta ti onal   perform ance  of  this   m eth od,   it s  i m ple m entat io n  is  of interest .   Ma ny  researc he rs  ha ve  so l ve d  the  CDE  usi ng   the  finite   diff e ren ce  m et ho d  (FDM)  in  ad diti on   to  th e   above  nu m erical   m et ho ds   f or  so lvi ng   t he  pro po s ed  C DE  prob le m   as  no te d  in  the  fir st  pa r agr a ph.   As  a  r esult,   a  new   fi nite  diff e re nce  (FD)  disc reti zat ion   sc hem e  has  been   propos ed  by  com bin ing   se ver al   nu m erical  discreti zat ion   s chem es,  m os tly  fr om   the  FD  schem e  fa m ily.  For  instance ,  the  no ns ta nd ard   FD   [16 ] - [ 18] ,  th e   expo nen ti al   FD   [19 ] - [ 21 ]   a nd   pe rturbati onal   FD   [ 22 ]   are  im ple m ented   f or   so l ving  CDE .  N o  doubt    that  [16 ] - [ 22]   can  pr ese nt  ou tst a nd i ng   pe rfor m ance,  but   it   su f fer s  fro m   hig h  com pu ta ti on al   c omplexit y   because   the   obta ined  a ppr ox i m at ion   eq uatio n  ge ner at ed   a  seq uen ce   of  li near  syst em s  fo r   each   ti m e  lev el ,  i n  wh ic h  this  phen om eno n  w il l  increase  c om pu ta ti on al   com plexi ty .  T he  com pu ta ti onal   com plexity   of   al gorithm s  is  d et erm ined  by  t wo   norm s:  the  nu m ber   of  nodes  that  ha ve  t o  be  e xam ined  and   t he  opera ti on al   cost  per  no de.   The  m or e  li ne ar  syst em s,  the  m or e  node s  w il l  be  use d  that   will   be   af fect ed  by  c om pu ta ti on al   com plexit y.  In  conj un ct i on   w it h  new   FD   dis creti zat ion   sc hem es  in  [16 ] - [ 22 ] ,  we  ai m   to   introd uce  an  e ntirel y  new   FD   sc he m e  based   on   com bin at ion   of  the  sim il arity  and   FD   schem es,  na m ed  as  si m i la rity  finite   diff e re nce  ( SF D)   disc reti zat i on sc hem es, to  inv e sti gate it s  f easi bili ty  in  s olv in g  C DE.   Ba sed  on  the   second  par a grap h,   we  can  see  that  m any  researc her s  ha ve  pro pose d  a  new   F D   discreti zat ion   schem e  with  ge tt ing   hi gh   c om pu ta ti on al   pe rfor m ance  an d  lo wer   c om pu ta ti on al   c omplexit y.  Ap a rt  f r om   that,  we   at tem pt  to  e xam ine  t he  feasibil it y  of  the  SF D  di screti zat ion   sc hem e  as  a  nu m erical  m et ho d  to  s ol ve  2D  unste a dy  CDE.  Ba se d  on  the  pr e vi ou s  li te ratu re   rev ie w  on  ap plyi ng   the  si m il arity   so luti ons  i n  th e  first  pa ra gr a ph,  the  fin ding s  showe d  t hat  the  sim il arit y  so luti on  te ch ni qu e  has  su cces sfu ll y   reduce d  the  i ndepe ndent  va riables  of  PD E s   an d  the n  tra nsfo rm   the m   into  ordi nar y  di ff e ren ti al   eq ua ti on   (ODE).  It  m e ans  t hat  the   c om pu ta ti on al   cost  of  the   sim il arity  te chni qu e   will   dec r ease  an d  m ake  the   com pu ta ti on al   com plexity   of   the  sim i la rity   a ppr ox im at ion   equ at io n  lo w  c om par ed  to  with ou t  us i ng  sim i l arit y   so luti ons.  Howev e r,   m os t  of   them   are  so lvin g  PD E s  us i ng   sim il ari ty   s olu ti ons  are  c on ce r ned   with   PD E  pro blem s  being   re duced   to  OD E   pr ob le m s,  but  the  stu di es  con ce r ning   reducin g  para bo li c  P DEs  i nt o  the  corres pondin g  el li ptic  PD Es  hav e   not  been  fou nd  ye t.  T he   m a in  idea  is   to  m ai ntain  the  dim ension   of   t he   m od el   so   that  the  cha racteri sti c  of   the obj ect  can  be  pr e ser ve d.   I nspire d  by   this  te chn i qu e' s  low  c om pu ta ti on al   com plexity   and   hi gh   com pu t at ion al   pe rform ance,  we  pro po s e  ne wly  SF D  disc reti zat ion   sc hem es.  W i th  that,   we  ap plied  t he   si m il arity  so luti on  sp eci fical ly   us ing   wave   var ia bles  tra nsfo rm at ion   in  order   t o  re duc e  2D   par a boli c PD E s in deta il s 2D  un ste a dy CD E  pro blem  into  2D ell ipti c PDE s.   Th e  2D   unste a dy  CDE  is  first   trans form ed  into  a  2D  el li ptic  PD E  via  a  si m il arity  so luti on   te c hniq ue  to  so lve  the  pro po se d  pr oblem .  The  SFD   ap pro xim a tio n  e qu at i on   i s  then  f or m ed  by  discreti zi ng   th e   corres pondin g  el li ptic  PD E  us in g  the  ne w ly   SFD   discre ti zat ion   schem es.  Since  t he  SFD   a ppr oxim at ion   equ at io n  produ ces  a  la rg e - sca le   and   s par se  li near   syst em   wi th  it s  m at rix  c oeffici ent,  an  e ff ect ive  s olv e r  m us t   so lve   the   res ulti ng  la rg e   a nd  s par se   li near  sy stem .  Accor ding  t o  the   re su lt s   in  [ 23 ] - [ 25] ,  t he  it erati ve   ap proac h  is  m os t  def i nitel y  the  best  li near   so l ver   f or  la rg e  a nd  s pa rse  li nea r  syst e m s.  Seve ral  it erati ve  m et ho ds   f or   so lvi ng   a   li nea r  syst em   with  a  la rg e - scal e  a nd   sp a rse  c oeffici ent  m at rix  are  disc us se d  i n  the  li te ratu re .  The  i m ple m entat io ns   of  the  poi nt  i te rati on  f a m ily,  su c h  a s  su cce ssive  ov e r - r el axati on   (SOR)   [ 26 ] ,   [ 27 ] ,   acce le rated  ov er - r el axati on  ( AO R )  [ 28 ] ,   [ 29] ,  an d  kaud d  su ccessi ve  ove r - relaxati on  ( K SO R)   [ 30 ] ,   [ 31] ,  can   be  us e d  to  s ol ve  this  li near  m et ho d.   E va ns   [ 32 ]   in ven t ed   the  ex plici t  group  (E G )   it erati on   m et ho d  f or  ob ta ini ng  an   a ppr ox im at e  so luti on  by  gro upin g  the   li near  syst e m   into  a   seq uence  of   ( 4x4)  li near  sy stems   base d  on   t he  c oeffici ent  m at r ix' s  char act eris ti cs.  Com par ed   to  the   G S  it er at i on ,   t his  blo c k  it erati ve  m eth od  i s   faster.   Alth ough  t he  c onve r ge nce  rate  for  E G  it erati on  has   bee n  acce le rat ed,   se ve ral  res earche rs  hav e   create d  new   ver si ons  of   the  E G  it erati on   fam ily,  i nclu ding  4E G SO R  via  ni ne - po i nt  Laplaci an  ( 4EGSOR 9L )  [33],   4  po i nt - e xp li ci t  decou pled  gro up   (EDG )  [34]   and   9  P oi nt - E DGSOR  [ 35]   in  w hich  al l  of   these  blo c k  it erati on s  hav e si gn i fican tl y decreased  their co nver ge nc e rate. A li   et   al.   [ 36 ]  and Be e  et  a l.   [37] u s ed  the EG  m eth od for  so lvi ng   the  2D  CDE  to  so lve  the  li near   syst em   of   un ste a dy  adv ect io n - di ffusio n  pro blem   it erati vely ,  an d  their   resu lt s  ind ic at ed  that  this  m et hod  has  a  fa st  con ve r gen ce   du e  to  the  la r ge  num ber   of   po i nts  that  m us t  be  treat ed  sim ult aneously .  H oweve r,   withou t  us ing   sim il a rity   so luti on   t echn i qu e s,  the   hig h  c om pu ta ti on al   com plexity   will   occu r  t o  ge t  the  appr ox i m at e  so luti on  of   t he  2D   unste ady  CD E.   To  ac hieve  t he  lo w  com pu ta ti on al   com plexity , w e p r opose  a  ne w varia nt  of th e EG  it erati on  fam i ly  to  so lve  2D   un ste a dy  CDE  by   so lvi ng the  ge ne rated linea r  sy stem .   As  a  re su lt ,  t he  rem ai nd er  of   t his  pa per   fo c us es  on  ev al uating  t he  e ff ic acy   of  the   four - po i nt   si m il arity  exp l ic it   gr ou p  (4 - po i nt  SE G)  it erati ve  m et ho d  for  s olv i ng  the  syst em   of   SF D  a ppr ox i m at ion   equ at io ns,  w hi ch  wa s  ins pire d  by  th e  ne wl y  dev el ope d  S FD   disc reti zat ion   schem e.   T he   com bin at ion   of   t he  SFD   sc hem e  a nd   the  E G  it erati ve  m et ho d  can  be  us e d  to  form ulate   the  4  point - S EG  it erati ve  m e tho d.   To   il lustrate   the  f easi bili ty   of   4 - po i nt  SE G  it er at ion ,  t he  f ollow i ng  ge ner al   eq uation  f or   2D   unste ady  CDE  i s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Perf orma nce  of  simil ar it y exp li ci t gro up it er ation f or  so lv in g 2D …   ( Nu r Af za  M at Ali )   473   consi d ere d  i n  t his  pa pe r  to  i nvest igate   the  f easi bili ty   of   th e  SF D  disc reti zat ion   sc hem e s  an d  perform ance  of  the  4 p oin t - S E G  it erati ve  m eth od :           + 1   + 2   = 1 2  2 + 2 2  2 + ( , , ) , Ω × ( 0 , ] ,     (1)     su bject   t o  the  foll ow i ng con diti on s       ( , , ) = ( , , ) , ( , ) ∈ Ω , ∈ ( 0 , ] ,       ( , , 0 ) = ℎ ( , ) , ( , ) ∈ Ω ,     (2)     wh e re  1   and   2   are  co ns ta nt  s pe eds  of  co nve ct ion   in  the  directi on   of     an d    resp ect ively ;  1 > 0   and     2 > 0   are   the   c oeffici ents  of  di ffu sivit y  in  t he  −   a nd  −   di recti ons,   res pecti vely ;  Ω   is  a   s ubset   of   ℝ 2 ;  ( 0 , ]   is t he  ti m e int erv al ;  ( , , )   an d  ℎ ( , )   de no te  t he  sm oo t h functi ons.       2.   SFD   AP PR O X I M ATIO N E QUA TI ON   Be fore  we   sta r t  the  discr et iz at ion   process  of  pro blem   (1 ),   f irstl y,  we   tra nsfo rm   pr oble m   (1)  int o  the   2D   el li ptic  PDE  us i ng  sim i lar it y  transfo rm a ti on   s pecifica ll y  on  wa ve  va r ia bles  as  e xpla ined  i n  t he  pr e viou s   sect ion .  To sta r t t he  tra ns f or m at ion   process , l et  u s c onside r  t he  wav e  v a riab le s as foll ows  [ 27 ] ,   [ 38 ] ,   [ 39 ] ;       = −  ,       = −  ,     (3)     and w e  use t he  tran s f or m at ion   ( , , ) = ( , ) . Usin g   (3),  in   (1) red uce s   t o an ell ipti c P DE  as ;         (   +   ) + ( 2  2 + 2  2 ) = − ( , ) , Ω ∈ [ , ] × [ , ] ,     (4)     wh e re  = 2 −   , = 1 = 2 , = 1 = 2 .   Let   us  buil d  the   di stribu ti on  of  un i form l y  node   points  as   sh ow n  in  Fi gur e 1  t o help  us e xp l or e  the  der i vation o f  t he  si m il arity approxim a ti on  e qu at ion .   Fr om   the  Fig ure   1,   we  m us t  di screti ze   the  sol ution   do m ai n,   ( Ω )   un if orm l y  in  bo th    and     directi ons   with  a  m esh  siz e,  ℎ   w hich  is  def i ned   as   Δ = − , Δ = − , ℎ = Δ = Δ   an d  = + 1 .  Using  the  SFD schem e and the  finite   gri d  net wor k  in  F ig ure   1,   we dis creti ze the  2D  el li ptic PDEs ( 4) as  fo ll ows:           |  = + 1 , − − 1 , 2ℎ     2  2 |  = + 1 , − 2 , + − 1 , ℎ 2     |  = , + 1 − , − 1 2ℎ     2  2 |  = , + 1 − 2 , + , − 1 ℎ 2   (5)     The n  s ubsti tute ( 5)  i nto   ( 4) ,  we ha ve  the  foll ow i ng app roxi m at ion  equati on ;       ( + 1 , − − 1 , 2ℎ + , + 1 − , − 1 2ℎ ) + ( + 1 , − 2 , + − 1 , ℎ 2 + , + 1 − 2 , + , − 1 ℎ 2 ) = − , ,     (6)     By  si m plifyi ng  (6 ),  we   get ;       − 1 , + + 1 , + , − 1 + , + 1 − 4 , = ,     (7)     wh e re  = 1 − 2 1 , = 1 + 2 1 ,  1 = ℎ 2 ,  2 = 2ℎ   and  , = − , 1 .      Ba sed  on  the   SFD  ap pro xi m at ion   ( 7),  a  li near   syst em   gen e rates  with   the  c oe ff ic ie nt  m at rix  is    la rg e - scal e an d spa rse  i n  m at ri x form  as ( 8)  by  taking  = 1 , 2 , 3 , … ,     =     (8)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  471   -   47 8   474   wh e re;           = [           2 3 0 0 ⋯ 0 1 2 3 0 ⋯ 0 0 1 2 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 ]           , = [               1   2   3   4 ⋮   ]             , = [             1   2   3   4 ⋮   ]                   and       1 = [         0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ]         , 2 = [         − 4 0 ⋯ 0 − 4 ⋯ 0 0 − 4 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 − 4 ]         , 3 = [         0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ]         ,         = [ 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ , ] ,         for  = 1 , 2 , 3 , … , .       3.   DERIV ATIO N  O F  4 - P OINT  SEG ITER ATIO N   Since  the  coe f fici ent  m at rix  for  the  li ne ar  s yst e m   (8 )  has   la rg e - scal e  an d  sp a re   cha racte risti cs ,  this  stud y  pro pose d  a   faster   nu m erical   so l ver  by   em plo yi ng   a   4 - point  SE G  it erati on .  N ow,  in   this  sect io n,   t he   form ulati on   of  4   po i nt - S EG   at tem pts  to  be   est ablished .   To  obta in  the   fo rm ulati on   of   4 - po i nt  SE G,   we   consi der   t he  gr id  netw ork  in  Fig ure   1  a nd  a   group  of   blo c k  no de  points  con ce pt  in  Fi g ure   2  The  finit e  gr id  netw ork  of   the   SFD   a ppr ox i m at ion   equat io n  is  de picte d  i n  Fig ure   2 ,  w he re  the  blo c k  it erati on   a ppr oa ch  ha s  been m ade u nti l i te rati on  c onve rg e nce is a chi eved .             Figure  1. Finit e grid  netw ork s  at   m =8     Figure  2.  Im ple m entat ion   of  t he  4 - point S EG   it erati on  at s ol ution d om ai n ,  Ω       Appl y  (7)  on   any  gro up   of  four   node  points  in  the  s ol ution   dom ai n,   the  4 - point  S EG  it erati on  s c hem e can  be   form ulate d  as ;       [ 4 − 0 − − 4 − 0 0 − 4 − − 0 − 4 ] [ , + 1 , + 1 , + 1 , + 1 ] = [ 1 2 3 4 ]     (9)     w he re ,                       1 = − 1 , + , − 1 − , ,                                                   2 = + 2 , + + 1 , − 1 − + 1 , ,       3 = + 2 , + 1 + + 1 , + 2 − + 1 , + 1 ,                 4 = − 1 , + 1 + , + 2 − , + 1 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Perf orma nce  of  simil ar it y exp li ci t gro up it er ation f or  so lv in g 2D …   ( Nu r Af za  M at Ali )   475     By   est ablishin g  the  in ve rse  m at rix  of   th e  coeffic ie nt  sys tem   (9 )  an d  m anip ulati ng   it ,  the  ge ner al  schem e o f  the   4 - point S E G  it erati on can  b e   wr it te n  as ;       [ , + 1 , + 1 , + 1 , + 1 ] ( + 1 ) = 1  4 [ 1 1 + 3 2 + 6 3 + 3 4 2 1 + 1 2 + 3 3 + 4 4 5 1 + 2 2 + 1 3 + 2 4 2 1 + 4 2 + 3 3 + 1 4 ]     (10)     wh e re     4 = 8 ( 4 −  ) ,  1 = 8 −  ,  2 = 2 ,  3 = 2 ,  4 =  ,  5 = 2   and  6 = 2 .  T he  4 - po int   SEG  it erati on  wh ic h has  bee n use d  to  so l ve  the  pro po se d p roblem   (1) ,  is   s umm arised in  Algorithm  1 .       Algorithm  1 :   4 - point  SEG  it er at ion   i.   In it ia li ze   ← 0   an d  ← 10 − 10   ii.   Ca lc ulate     an d    iii.   iv.     Fo r   = 1 , 2 , 3 , … , ,   cal culat e  the e qu at io n ( 10) .   Perfo rm   the  conve rg e nce  te s t,  | ( + 1 ) − ( ) | < = 10 − 10 .  If   ye s,  go  to  ste p  ( v).   Othe rw ise ,  r e pe at  step ( ii i).   v.   Disp la y t he  nu m erical  o utput s.       4.   NUMER IC A L E X PERI M ENT   T hr ee   sel ect ed   num erical   experim ents  wer e  perform ed  in  t his  sect io n  t o  i ll us trat e  the  fe asi bili ty   of    4 - point  SE G  it erati on  i n  s olv i ng  t he  2D   unste ady CDE  (1) a s co m par ed w it h  the Jaco bi a nd   GS  it erati on s.  F or  the  sake  of   c om par ison,  we   con si der e d  th ree  crit eria  in cl ud e   it erati on   nu m ber   ( Iter. ),   exec utio n  ti m e  in   seco nd   ( Time )   and   m axim u m   abso lute  e rror   ( Err . ).   All   the   num erical   exp e rim ents  wer e  r un  with  dif fer e nt   m esh  siz es ( m )  su c h  as  64, 1 28, 2 56, 512,  and  1024.   Pr oble m  1  [40 ]   Con si der   ( 1)   in  the  unit   sq ua re  do m ai n   [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ]   wi th  dif fus ion   c oeffici en ts  = 0 . 05 ,  convecti on c oe ff ic ie nts    = 0 . 8   and  an  a naly ti c so luti on is ;       ( , , ) = 1 1 + 4  ( − ( − 1 − 0 . 5 ) 2 1 ( 1 + 4 ) − ( − 2 − 0 . 5 ) 2 2 ( 1 + 4 ) ) .     (11)     Pr oble m  2  [41 ]   To  dem on strat e   the  be ne fits  of   t he  4 - po i nt  SEG   it erati on ,   we  c reated  a  new  te st  pr oblem   with  a n  analy ti c so luti on as  foll ow ;       ( , , ) =  ( − 2 ) cos ( ) sin ( 2 ) .     (12)     and   the  source   te rm  is ;       ( , , ) =  ( − 2 ) [ cos ( + 2 ) + cos ( ) ( 1 2 sin ( 2 ) + cos ( 2 ) ) ] .     (13)     Con si der ( 1) in   [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ]   with  d i ffusio n coe ff ic ie nts   = 0 . 5 , a nd con vecti on  coeffic ie nts  = 1 . 0 .   Pr oble m  3  [42 ]   In   t his  pro ble m ,  we  c on sid e r  ( 1)   i n  the  unit   sq ua re  do m ain   [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ]   wi th  di ffusi on   c oe ff ic ie nts   = = = 1 . 0 , con vecti on c oe ff ic ie nts  = 64 . 0   an d  the   analy ti c so l ution i s     ( , , ) = − ( 3 + 3 ) sin (  +  )     (14)     and the  source   te rm  is ;       ( , , ) = (  +  ) − ( 3 + 3 ) cos (  +  )     (15)     All  the  nu m erical   resu lt s  fo r   4 - po i nt   SEG   it erat ion   tog et her   with  Jaco bi  and   GS   it er at ion s  in  so l vi ng   the   above t hr ee  pr ob le m s w ere c ollec te d  a nd tabu la te d i n T abl es 1,  2  a nd 3, re sp ect ively .   Ba sed   on   Tabl es  1  t o  3,  obvi ou sly ,  it   s hows   that  our  pro po sed  it erati ve  m et hod,   nam el y  4 - point   SE G  it erati on , gives  trem end ously  i m pr ove in te r m  o f  it erati on   nu m ber  a nd exe cution t i m e, w hic h  sig nifica ntly  h a s   appr ox im at ely   red uce d  it era ti on   num ber   and   e xecu ti on   tim e  by  58 . 32 - 68.34%  an d  50. 86 - 66. 89 %  fo r     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  471   -   47 8   476   Pr oble m   1,   69 . 83 - 72.17%  and   64.55 - 71. 89%  for  Probl e m   2  and   74.43 - 79. 33 %  a nd   69.44 - 73. 53%  f or  Pr oble m   3  re sp ect ively .  Al so ,  for  the   m axim u m   abso lute  er ror,   al l  it erati ve  m e tho ds  sho w  e xc el le nt   agr eem ent and  cl os e  to  the e xa ct  so luti on .       Table  1.   C om par iso n of  Iter. ,  Time , a nd  Er r.   for  Jac obi,  GS   and 4 - po i nt SE G  it erati ons  of  Pr oble m  1     Metho d   Mesh  Size   6 4 x 6 4   1 2 8 x 1 2 8   2 5 6 x 2 5 6   5 1 2 x 5 1 2   1 0 2 4 x 1 0 2 4   Iter.   Jaco b i   2236   6732   1 9 0 1 7   4 9 8 6 8   1 1 9 7 2 9   GS   1268   3919   1 1 4 3 4   3 1 1 4 6   7 8 2 8 7   4 - p o in t SE G   708   2242   6744   1 9 0 3 8   4 9 9 0 8   Time   Jaco b i   1 .48   4 .79   3 8 .20   3 9 1 .40   3 7 8 5 .6 4   GS   0 .82   2 .77   2 5 .30   2 6 1 .91   2 6 2 8 .6 7   4 - p o in t SE G   0 .49   1 .76   1 6 .91   1 7 9 .43   1 8 6 0 .2 7   Err.   Jaco b i   1 .50 5 8 1 7 E - 05   1 .51 5 9 1 9 E - 05   1 .53 7 6 1 4 E - 05   1 .62 0 9 3 4 E - 05   1 .92 7 4 4 5 E - 05   GS   1 .50 4 6 5 1 E - 05   1 .51 1 8 9 7 E - 05   1 .52 2 8 4 4 E - 05   1 .56 5 9 5 8 E - 05   1 .72 5 0 0 4 E - 05   4 - p o in t SE G   1 .50 4 1 1 2 E - 05   1 .50 9 9 3 7 E - 05   1 .51 5 3 3 0 E - 05   1 .53 7 6 9 9 E - 05   1 .62 0 5 4 3 E - 05       Table  2 .  C om par iso n of  Iter. ,  Time , a nd  Er r.   for  Jac obi,  GS   and 4 - po i nt SE G  it erati ons  of  Pr oble m  2     Metho d   Mesh  Size     6 4 x 6 4   1 2 8 x 1 2 8   2 5 6 x 2 5 6   5 1 2 x 5 1 2   1 0 2 4 x 1 0 2 4   Iter.   Jaco b i   9906   3 5 1 4 7   1 2 2 6 4 0   4 1 8 7 4 6   1 3 8 7 7 0 0   GS   5231   1 8 6 8 8   6 5 7 9 3   2 2 7 2 9 5   7 6 5 6 0 4   4 - p o in t SE G   2757   9907   3 5 1 4 3   1 2 2 6 2 7   4 1 8 7 1 4   Time   Jaco b i   5 .94   2 2 .20   2 4 7 .69   3 5 2 2 .9 5   4 4 3 0 1 .54   GS   3 .14   1 2 .52   1 4 5 .05   1 9 2 3 .9 3   2 6 9 9 1 .47   4 - p o in t SE G   1 .67   7 .45   8 6 .06   1 1 6 7 .6 3   1 5 7 0 3 .74   Err.   Jaco b i   3 .26 8 6 6 8 E - 03   3 .26 9 3 2 6 E - 03   3 .27 0 3 2 6 E - 03   3 .27 3 9 1 9 E - 03   3 .28 8 1 9 0 E - 03   GS   3 .26 8 6 3 1 E - 03   3 .26 9 1 7 6 E - 03   3 .26 9 7 3 0 E - 03   3 .27 1 5 4 9 E - 03   3 .27 8 6 9 6 E - 03   4 - p o in t SE G   3 .26 8 6 1 2 E - 03   3 .26 9 1 0 2 E - 03   3 .26 9 4 3 4 E - 03   3 .27 0 3 6 5 E - 03   3 .27 3 9 5 3 E - 03       Table  3 .  C om par iso n of  Iter. ,  Time , a nd  Er r.   for  Jac obi,  GS   and 4 - po i nt SE G  it erati ons  of  Pr oble m  3     Metho d   Mesh  Size     6 4 x 6 4   1 2 8 x 1 2 8   2 5 6 x 2 5 6   5 1 2 x 5 1 2   1 0 2 4 x 1 0 2 4   Iter.   Jaco b i   421   1697   6611   2 5 5 1 9   9 8 0 7 3   GS   158   750   3138   1 2 5 5 2   4 9 1 5 2   4 - p o in t SE G   87   387   1604   6403   2 5 0 8 2   Time   Jaco b i   0 .34   1 .23   1 4 .90   2 0 0 .16   3 0 8 2 .4 6   GS   0 .13   0 .62   7 .18   1 0 7 .98   1 6 5 7 .8 1   4 - p o in t SE G   0 .09   0 .33   4 .01   6 1 .16   9 3 2 .81   Err.   Jaco b i   1 .14 7 1 3 2 E - 03   1 .13 8 3 1 4 E - 03   1 .13 6 0 6 7 E - 03   1 .13 5 5 3 7 E - 03   1 .13 5 5 5 3 E - 03   GS   1 .14 7 1 3 2 E - 03   1 .13 8 3 1 3 E - 03   1 .13 6 0 6 1 E - 03   1 .13 5 5 1 3 E - 03   1 .13 5 4 4 9 E - 03   4 - p o in t SE G   1 .14 7 1 3 2 E - 03   1 .13 8 3 1 2 E - 03   1 .13 6 0 5 8 E - 03   1 .13 5 5 0 1 E - 03   1 .13 5 3 9 7 E - 03       5.   CONCL US I O N   In  this   pa pe r,  we  hav e  be en  su cces sf ully   red uce d  2D   parab olic  PD Es ,  par ti c ul arly   on   the    convecti on - dif fu si on   pro blem ,   into  2D   el li ptic  PD Es  usi ng   the  sim ilarity   so luti on s   te chn iq ue  via   wav e   var ia bles  in  w hich  we  m anage  to  get  a  low  com pu ta ti on al   com plexity   as  desire d  in  this  stud y.  T he  sim il arity   appr ox im at ion   eq uation  ha s   bee n  discreti zi ng   b y  us in g  the  S FD  dis creti zat ion   sc hem e  to  get  th e  SF D   appr ox im at ion   equ at io n.   T his   approxim ation   eq uation  ge ne rated  a  la rg e - scal e  and   spa r se  li near   syst em   then   so lve d  usi ng  4 - point   SE G,   G S  an d  Jaco bi  it erati on s.  T he  4 - point   SE G  it erati on   ha s  ac hieve d  the  hi ghest   perform ance  ba sed  on  the  im plem entat ion   of  these   th ree  it erati on s   since   the  it erati on  num ber   an d  e xe cution  tim e   was  s m aller  than  Jaco bi   and   GS   it erati on s .  Th us ,  we  can  co nclu de  that  our  pro pos ed  m e tho d  is  m or e  eff ic ie nt  t han  GS   a nd  Jac ob i  it erati on s.   T his  re searc h  will   be  furthe r  e xp a nded   in to   the  us e   of   SF D  discreti zat ion s chem e v ia  h al f - swee p   an d quarte r -   swee p   it e rati on f am il ie s  for  s olv i n g t he  2D   unste a dy CDE.         ACKN OWLE DGE MENTS   Fo r   the  c om pleti on   of   t his  pa per,  the  a utho r s  ap pr eci at e  th e  fun d  ob ta ine d  f r om   Un iver sit i  Ma la ys ia   Saba h ,  Ma la ys ia  u nde r  the   res earch   grant  sch e m e (GUG0 491 - 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Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Perf orma nce  of  simil ar it y exp li ci t gro up it er ation f or  so lv in g 2D …   ( Nu r Af za  M at Ali )   477   REFERE NCE S     [1]   E.   J.  Veli ng ,   “ Radi a l  Tra nsport  in   a   Porous   Medium  with  Dirichle t ,   Neum ann  a nd  Robin - T y pe   Inhom ogene ous  Boundar y   Valu es  a nd  Gene ral  Init ia l  Dat a:   Anal y tical   Solu ti on  a nd  Eva lu at ion , ”  Journal   of  Engi nee rin g  Mathe mati cs ,   vo l.   75 ,   pp .   173 – 18 9,   2012 ,  doi :   10 . 1007/s10665 - 011 - 9509 - x .   [2]   M.  Sheikhol esl a m i,   R.   E ll ah i,   an d  M.  Hass an,   “ A  Stud y   o f   Nat ura l  Convection  He at   Tr ansfe rs  in  a   Na nofuid  Fll ed   Enc losure  w it h  El li p ti c  Inn er  C y l inde r , ”  Int ernati onal  Journal  of  Numerical   M et hods  for  Heat   and   Fl uid  Fl o w ,    vol.   24 ,   no .   8 ,   pp .   1906 – 1927 ,   20 14 ,  doi :   10 . 1108 /HFF - 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                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  471   -   47 8   478   [26]   R.   Rahman,  N.  A.  M.  Ali ,   J.  Su la iman,   and  F.   A.  Muhiddin ,   “ Caput o’s  Finit e  Diffe ren c e  Solut ion  o f  Frac ti ona l  Two - Point  Boundar y   V al ue  Pr oble m s  Us ing  S OR  Ite ration, ”  I n  AIP   Confe ren ce   Proc ee dings ,   vol.   2013 ,   201 8 ,    pp.   020034 ,   doi :  10. 1063/1. 50542 33 .   [27]   N.  A.  M.  Ali,   R.   Rahman,   and  J.  Sulai m an,   “ SO R   Ite rative   Metho d  w it h  W ave   Va ria bl e  Tra nsform at ion  f or  Solving   Advec ti on - Diffu sion E qua ti ons,”   In  AI P  Con fe re nce   Proceedi ngs ,   vol .   2013 ,  no .   1 ,   2018 ,  doi :   10 . 1 063/1. 5054235 .   [28]   A.  Sunarto,   J.  S ula iman,   and  A.  Saudi ,   “ Im p li cit  Finit e  Diff e ren c e  Soluti on   f or  Ti m e - Frac ti onal   Diffusion   Equa ti ons  Us in g  AO R  Meth od, ”  In  Journ al  of  Phy si cs:  Confe renc e  Serie s ,   vol .   495 ,  no.   1,   2014 ,    doi:   10 . 1088/17 42 - 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