I nd o ne s ia n J o urna l o f   E lect rica l En g ineering   a nd   Co m p u t er   Science   Vo l.  9 ,   No .   2 ,   Feb r u ar y   2 0 1 8 ,   p p .   38 7 ~3 9 4   I SS N:  2 5 0 2 - 4 7 5 2 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ee cs.v 9 . i2 . p p 3 8 7 - 394          387       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e. co m/jo u r n a ls /in d ex . p h p / ijeec s   Ex tended  FTO PS IS w ith  Dista nce  a nd Set  T heo retic - Ba sed  Si m ila ri ty M ea sure       No H a s hi m a h Sul a i m a n ,   Da ud   M o ha m a d,  J a m ila h M o hd   Sh a rif f ,   Sh a rif a h Aniza   S a y ed  Ah m a d,  K a m ila h A bd ul la h   F a c u lt y   o f   Co m p u ter an d   M a th e m a ti c a S c ien c e s,  Un iv e rsiti   T e k n o lo g M A R A ,   4 0 4 5 0   S h a h   A la m ,     S e lan g o Da ru E h sa n ,   M A LAYSIA       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   A ug   9 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   No v   2 0 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   J an   14 ,   2 0 1 8       Co m p a rin g   f u z z y   n u m b e rs  is   a n   e ss e n ti a p ro c e ss   in   d e d u c in g   th e   o u t p u o m a n y   f u z z y   d e c isio n   m a k in g   m e th o d s.  O n e   o f   th e   c o m p a riso n   m e th o d s   c o m m o n l y   u se d   is  b y   u sin g   sim i larity   m e a su re .   T h e   m a in   a d v a n tag e   o f   th e   sim il a rit y   m e a su re   o v e r   o th e a p p ro a c h e is  it a b il it y   to   m in i m ize   th e   lo ss   o f   in f o rm a ti o n   in   t h e   c o m p u tatio n a l   p ro c e ss .   S e v e ra sim il a rit y   m e a s u re h a v e   b e e n   a p p li e d   e ff e c ti v e l y   in   f u z z y   d e c isio n   m a k in g   m e th o d s.  In   th i p a p e r,   a   n e w   si m il a rit y   m e a su re   b a se d   o n   t h e   g e o m e tri c   d istan c e ,   th e   c e n ter  o f   g ra v it y ,   H a u sd o rf   d istan c e   a n d   t h e   se th e o re ti c   sim il a rit y   f o r m u la  k n o w n   a s   th e   Dic e   si m il a rit y   in d e x   a r e   in c o rp o ra te d   in to   t h e   Ex ten d e d   F u z z y   T e c h n iq u e   f o Ord e P re f e re n c e   b y   S i m il a rit y   to   Id e a S o lu ti o n   ( F T OP S IS )   m e th o d   p a rti c u larly   in   c a lcu latin g   th e   c lo se n e ss   c o e ff icie n ts.  T h is  si m il a rit y   m e a su re   is   in   fa v o o f   o th e rs  a s   it   is  a b le  to   d isc ri m in a te  t w o   si m il a r   sh a p e   f u z z y   n u m b e rs  e ff e c ti v e l y   w it h   tw o   d iff e re n lo c a ti o n s.  A   v a li d a ti o n   p ro c e ss   is  c a rried   o u b y   i m p le m e n ti n g   th e   p ro p o se d   p r o c e d u re   o f   th e   Ex ten d e d   F T OP S IS   w it h   th e   n e w   si m il a ri ty   m e a su re   in   so lv in g   a   su p p li e se lec ti o n   p ro b lem   a n d   th e   ra n k in g   o u tco m e   is  th e n   c o m p a re d   w it h   th e   Ex ten d e d   F T OP S IS   w it h   o th e e x isti n g   sim il a rit y   m e a su re .   T h e   re su lt   sh o w s   th a th e   Ex ten d e d   F T OP S I S   w it h   th e   p ro p o se d   sim il a rit y   m e a su re   g iv e a   c o n siste n re su lt   w it h o u t   re d u c i n g   a n y   in f o rm a ti o n   i n   th e   c o m p u tatio n a l   p r o c e ss .   K ey w o r d s :   FT OP SIS   Fu zz y   Nu m b er s   Co p y rig h ©   2 0 1 8   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   No r   Hash i m ah   Su la i m a n   Facu lt y   o f   C o m p u ter   an d   Ma t h e m a tical  Scie n ce s ,   U n i v er s iti   T ek n o lo g i M A R A ,     4 0 4 5 0   Sh ah   A la m ,   Sela n g o r   D ar u l E h s a n ,   M AL A Y SI A .   E m ail:  n h a s h i m a @ t m s k . u it m . ed u . m y       1.   I NT RO D UCT I O N   Dec is io n   m a k i n g   ( DM )   i n   f u zz y   e n v ir o n m e n r eq u ir es  e x t en s i v u s e   o f   f u zz y   n u m b er s .   R ati n g   o f   alter n ati v es  an d   cr iter ia  w e ig h ts   d eter m i n atio n   ar co m m o n l y   e x p r ess ed   in   ter m s   o f   f u z z y   lin g u is tic  v al u es   d ef in ed   m at h e m atica ll y   b y   f u zz y   n u m b er s .   D u to   t h i s   r ep r esen tat io n ,   co m p ar is o n   o f   f u z z y   n u m b er s   b ec o m e   c r u cial  ele m e n i n   s o lv i n g   DM   p r o b lem .   Si m ilar it y   m ea s u r is   v er y   u s ef u m ea n s   f o r   th p u r p o s o f   co m p ar i n g   f u zz y   n u m b er s   as   i h a s   t h ad v an tag e   o f   m in i m i zin g   t h lo s s   o f   i n f o r m atio n   i n   th e   co m p u tatio n a l   p r o ce s s   [ 1 ] .   E ar ly   w o r k s   o n   f u zz y   s i m ilar it y   m ea s u r e s   ca n   b f o u n d   i n   [ 2 ] an d   [ 3 ] .   Var io u s   f u zz y   s i m ilar it y   m ea s u r es  w h ic h   tak i n to   co n s id er atio n   f ac to r s   li k d is ta n c e,   ce n ter   o f   g r av it y ,   s p r ea d ,   J ac ca r d   in d ex ,   Dice   s i m ilar it y   i n d ex ,   g eo m etr ic  m ea n   an d   g eo m etr ic  s h ap ch a r ac ter is tics   li k h ei g h t,  ar ea   a n d   p ar am eter   h av e   b ee n   in tr o d u ce d   in   th li ter atu r [ 4 - 1 0 ] .   R ec en tl y   [ 1 1 ]   in tr o d u ce d   g en er alize d   s i m ilar i t y   m ea s u r t h at  ca n   m ea s u r m o s t y p es  o f   f u zz y   n u m b er s ,   m ea n w h i le  [ 1 2 ]   p r o p o s ed   s i m ilar it y   w it h   m u ltip le  f ea t u r es  to   o v er co m s h o r tco m in g s   o f   s o m e   ex i s ti n g   s i m ilar it y   m ea s u r es.   Si m i lar it y   m ea s u r h as  b ee n   ap p lied   to   s o lv p r o b le m s   i n   v ar io u s   f ield s .   Si m ilar it y   m ea s u r h a s   b ee n   in co r p o r ated   in   th d ev elo p m e n o f   f u zz y   k n o w le d g b ased   s y s te m   [ 1 3 ] .   R ef [ 1 4 ]   in tr o d u ce d   an d   u tili ze d   s i m ilar it y   m ea s u r i n   m atc h i n g   f i n g er p r in i m a g e.   R is k   a n al y s is   p r o b le m s   h av b ee n   s o l v ed   b y   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  9 ,   No .   2 Feb r u ar y   2 0 1 8     3 8 7     394   388   s ev er al  s i m ilar it y   ap p r o ac h es  [ 8 , 1 2 , 1 5 ] .   A   f o r ec asti n g   p r o b le m   h as   b ee n   s tu d ied   b y   [ 1 6 ]   w h er co m b in ed   m et h o d   o f   f u zz y   ti m s er ie s   an d   s i m ilar it y   m ea s u r is   u s e d   to   p r e d ict  th f u tu r s to c k   v alu e s .   I n   ad d itio n ,   s i m ilar it y   m ea s u r es  h av al s o   b ee n   in teg r ated   i n   s y s te m   d ev elo p m e n w h ich   i n cl u d r ec o m m e n d er   s y s te m   f o r   p r o d u ct  clas s i f icatio n   [ 1 7 ] ,   Fu zz y   L o g ic - De m p s ter   T h eo r y   s y s te m   [ 1 8 ]   a n d   s y s te m   f o r   d eter m in i n g   f u zz y   r eg io n   m er g i n g   o n   i m ag s e g m e n tat io n   [ 1 9 ] .   T h ap p licatio n s   o f   s i m i lar it y   m e asu r es  i n   r an k i n g   d ec is io n   alter n ati v es   in   DM   m et h o d s   h av e   also   b ee n   e x p lo r ed   b y   m a n y   r esear c h er s ,   in   p ar ticu lar ,   t h e   FT OP SIS  h as  b ee n   t h f o cu s   o f   att e n tio n .   Si m ilar it y   f u n cti o n s   [ 1 , 2 0 - 2 1 ] h av also   b ee n   i n teg r ated   i n   v ar ian ts   o f   FT OP SIS  lik th E x te n d ed   FT O P SIS  an d   th Mo d if ied   FT O P SIS  w h ic h   t h en   w er ap p lied   to   s o lv e   s u p p lier   s elec tio n   p r o b lem s .   R ef   [ 2 2 ]   in tr o d u ce d   s i m ilar i t y   m ea s u r b ased   o n   th g e n e r alize d   Ł u k asie w icz   s tr u ct u r in   FT OP SIS  th at  e n h an ce s   p aten t r an k in g   r es u lts .   Dis ta n ce   an d   s et  t h eo r etic  b as ed   s i m ilar it y   m ea s u r p r o p o s e d   b y   [ 1 0 ]   h as  th ab ili t y   to   d i s cr i m i n ate   t w o   s i m ilar   s h ap f u zz y   n u m b er s   ef f ec tiv e l y   w it h   t w o   d if f er en lo ca tio n s .   T h p er f o r m an c o f   th m ea s u r i n   d eter m in i n g   th s i m ilar it y   d eg r ee s   o f   co m p ar ed   g en er ali ze d   tr ap ez o id al  f u zz y   n u m b er s   is   f o u n d   to   b e   co m p ar ab le  w it h   s o m e x is t in g   m ea s u r e s .   I n   t h is   p ap er ,   th s i m i lar it y   m ea s u r i s   i n co r p o r ated   in   th e   E x ten d ed   FT OP SIS  b ase d   d ec is io n   m a k i n g   [ 1 ]   s p ec if ica ll y   i n   ca lc u lat in g   t h clo s e n ess   co e f f ic ien t s   o f   d ec is io n   alter n ati v es.  I m p le m en tatio n   o f   th e   n e w   d ec is io n   m ak in g   p r o ce d u r i n   s o l v i n g   s u p p lier   s elec tio n   p r o b lem   i n   a   s u p p l y   ch ai n   s y s te m   ad o p ted   f r o m   [ 1 ] is   t h en   ca r r ied   o u to   in v est ig ate   t h e   co n s i s te n c y   o f   th e   r an k i n g   r esu l ts .       2.   P RE L I M I NARIE   I n   t h is   s ec tio n ,   n e w   d ec i s io n   m a k i n g   ( DM )   p r o ce d u r is   p r o p o s ed   w h er eb y   t h s i m ilar it y   m ea s u r e   b y   [ 1 0 ]   is   i n teg r ated   i n to   th ex ten d ed   FT OP SIS  p r o ce d u r e   [ 1 ] .   So m d ef i n itio n s   r elate d   to   th g e n er alize d   tr ap ez o id al  f u zz y   n u m b er s   ( G T FNs )   ar g iv en   as  f o llo w s .     Def ini t io n 1   [ 2 3 ]       g e n er alize d   tr ap ez o id al  f u zz y   n u m b er   ( GT FN)   A a a a a A ~ 4 3 2 1 : , , , ~   is   a   f u zz y   s et   d ef i n ed   b y   a   m e m b er s h ip   f u n ctio n   ] , [ : ) x ( A ~ 1 0   w h er e     o t h e r w i s e , a x a , a a a x a x a , a x a , a a a x x A ~ A ~ A ~ A ~ 0 4 3 4 3 4 3 2 2 1 1 2 1           ( 1 )   s u c h   th a 4 3 2 1 a , a , a , a 4 3 2 1 a a a a   an d   1 0 , A ~ .   I n   p ar ticu lar ,   f o r   1 A ~ A ~   is   ca lled   a   t r ap ez o id al  f u zz y   n u m b er   i f   4 3 2 1 a a a a ,   a   tr ian g u la f u zz y   n u m b er   i f     4 3 2 1 a a a a ,   an d   is   s i n g le to n   i f   4 3 2 1 a a a a .   Fig u r 1   s h o w s   a   g r ap h ical   r ep r esen tatio n   o f   GT FN.           Fig u r 1 .   T h Gr ap h ical  R ep r esen tat io n   o f   GT FN       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       E xten d ed   F TOPS I S   w ith   Dis ta n ce   a n d   S et  Th eo r etic - B a s ed   S imila r ity  Mea s u r e   ( N o r   Ha s h i ma h   S u la ima n )   389   Def ini t io n 2 [ 2 4 ]   Op er atio n s   o n   t w o   GT FNs   A ~ : a , a , a , a A ~ 4 3 2 1 an d   B ~ ; b , b , b , b B ~ 4 3 2 1 .   a)   A d d itio n B ~ A ~ , m i n ( ; b a , b a , b a , b a B ~ A ~ 4 4 3 3 2 2 1 1   b )   Mu ltip licatio n ) , ( m i n ; b a , b a , b a , b a B ~ A ~ B ~ A ~ 4 4 3 3 2 2 1 1 .     Def ini t io n 3 [ 1 0 ]   Giv e n   co n ti n u o u s   u n i v er s e   [ 0 , 1 ]   an d   s et  o f   g en er alize d   f u zz y   n u m b er s   o v er   U FS ( U ) .   L et   A ~ : a , a , a , a A ~ 4 3 2 1   an d   B ~ : b , b , b , b B ~ 4 3 2 1   b t w o   g e n er alize d   tr a p ez o id al  f u zz y   n u m b er s   i n   FS ( U )   an d   ] , [ ) U ( FS ) U ( FS : S 1 0 .   T h s i m ilar it y   m e asu r b et w ee n   A ~   an d   B ~   is   d ef i n ed   as   ) ( ) ( ) ( B ~ A ~ B ~ A ~ B ~ A ~ B ~ S , A ~ S B B ~ A ~ i i i b a , b a , b a , b a m a x b b b b ) ( a a a a ) ( ) b b )( a a ( ) b b )( a a ( x ˆ x ˆ b a B ~ , A ~ S ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 3 3 2 2 1 1 2 4 3 2 2 1 2 2 4 3 2 2 1 2 4 3 4 3 2 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 1 1   w h er e A ~ x ˆ   an d   A ~ y ˆ   ar th h o r izo n tal  ce n ter   o f   g r a v it y   ( C OG)   o f   A ~   an d   B ~   ca lcu lated   as   A ~ A ~ A ~ A ~ A ~ a a y ˆ a a y ˆ x ˆ 2 4 1 3 2 ,     1 0 2 1 0 2 6 4 1 4 1 1 4 2 3 A ~ A ~ A ~ A ~ A ~ and a a if , and a a if a a a a y ˆ   an d   0 0 0 1 B ~ A ~ B ~ A ~ B ~ A ~ S S if S S if S , S B      s u ch   t h at  1 4 a a S A ~   an d   1 4 b b S B ~ .     T h s i m ilar it y   m ea s u r B ~ , A ~ S    s atis f ies th f o llo w in g   p r o p er ties :   ( P 1 )       T w o   f u zz y   n u m b er s   A ~   an d   B ~   ar id en tical  if   an d   o n l y   if   1 B ~ , A ~ S .   ( P 2 )     A ~ , B ~ S B ~ , A ~ S   ( P 3 )       I f A ~ : a , a , a , a A ~   an d   B ~ : b , b , b , b B ~ ar r ea l n u m b er s ,   th en       B ~ A ~ B ~ A ~ B ~ A ~ b a b a b a b a B ~ , A ~ S 1 1 2 2 2 2 2 .     T h ab o v s i m ilar it y   m ea s u r e   e m b ed s   f o u r   ele m e n t s   in   th e   f o r m u la  w h ich   ar th g eo m etr ic  d is tan ce ,   t h e   ce n ter   o f   g r av it y ,   Hau s d o r f f   d is tan ce ,   a n d   Dice   s i m ilar it y   i n d ex   th a ar i m p o r ta n a n d   f a v o r ab le  in   s i m ilar it y   m ea s u r e m e n t.  T h m ea s u r h a s   th ad v an tag o f   d is cr i m i n at in g   t w o   s i m ilar   s h ap f u zz y   n u m b er s   e f f ec ti v el y   w it h   t w o   d if f er e n t lo ca tio n s   [ 1 0 ] .       3.   E XT E ND E F T O P SI S U SI NG   DI ST ANC E   AND  S E T   T H E O R E T I C - B ASE SI M I L ARI T M E ASURE   An   ex te n d ed   FT OP SIS  p r o ce d u r in co r p o r atin g   s i m i lar it y   m ea s u r b y   [ 1 0 ]   p ar t icu lar l y   i n   ca lcu lati n g   th clo s e n es s   co ef f icien t s   o f   th d ec i s io n   alter n ati v es i s   p r esen ted   as  f o llo w s .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  9 ,   No .   2 Feb r u ar y   2 0 1 8     3 8 7     394   390   S tep   1 :   Set u p   co m m ittee  o f   K   d ec is i o n   m a k er s   to   d eter m i n th i m p o r tan ce   w ei g h ts   o f     cr iter ia  an d   to   r ate  m   alter n ativ e s   b ase d   o n   th cr iter ia.   L i n g u i s tic  ter m s   a n d   th   co r r esp o n d in g   tr ap ez o id al  f u zz y   n u m b er s   u s ed   f o r   th e s p u r p o s es a r as sh o w n   in     T ab le    1 .   I n   th f o llo w i n g   s te p s ,   let  ) w , w , w , w ( w ~ jk jk jk jk k j 4 3 2 1   an d     ) d , c , b , a ( x ~ i j k i j k i j k i j k k ij   r ep r esen th w ei g h ts   o f   cr it er ia  j C   an d   r atin g s     o f   alter n ati v es    i A   g i v en   b y   t h k - th   d ec is io n - m ak er , k D ,   r esp ec ti v el y ,   w i t h   m . . . , , , i 2 1 n ..., , , j 2 1   an d   K ,..., , , k 2 1 .       T ab le  1 .   L in g u i s tic  T er m s   f o r   C r iter ia  W eig h ts   a n d   R ati n g   o f   A lter n a tiv e s   C r i t e r i a   W e i g h t   F u z z y   N u mb e r   L i n g u i st i c   T e r ms   F u z z y   N u mb e r   V e r y   l o w   ( V L )   ( 0 . 0 ,   0 . 0 ,   0 . 1 ,   0 . 2 )   V e r y   P o o r   ( V P )   ( 0 ,   0 ,   1 ,   2 )   L o w   ( L )   ( 0 . 1 ,   0 . 2 ,   0 . 2 ,   0 . 3 )   P o o r   ( P )   ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 )   M e d i u m L o w   ( M L )   ( 0 . 2 ,   0 . 3 ,   0 . 4 ,   0 . 5 )   M e d i u m Po o r   ( M P )   ( 2 ,   3 ,   4 ,   5 )   M e d i u m ( M )   ( 0 . 4 ,   0 . 5 ,   0 . 5 ,   0 . 6 )   F a i r   ( F )   ( 4 ,   5 ,   5 ,   6 )   M e d i u m H i g h   ( M H )   ( 0 . 5 ,   0 . 6 ,   0 . 7 ,   0 . 8 )   M e d i u m G o o d   ( M G )   ( 5 ,   7 ,   8 ,   9 )   H i g h   ( H )   ( 0 . 7 ,   0 . 8 ,   0 . 8 ,   0 . 9 )   G o o d   ( G )   ( 7 ,   8 ,   8 ,   9 )   V e r y   H i g h   ( V H )   ( 0 . 8 ,   0 . 9 ,   1 . 0 ,   1 . 0 )   V e r y   G o o d   ( V G )   ( 8 ,   9 ,   1 0 ,   1 0 )       S tep   2 :   Ob tain   th a g g r eg ated   cr iter ia  w ei g h 4 3 2 1 j j j j j w , w , w , w w ~   w it h   r esp ec t to   j C   w h er   1 1 jk k j w m i n w K k jk j w K w 1 2 2 1 K k jk j w K w 1 3 3 1 4 4 jk k j w m a x w .     S tep   3 :   Ob tain   th a g g r eg ated   f u zz y   r atin g s , ) d , c , b , a ( x ~ ij ij ij ij ij ,   o f   th i - th   alter n ati v w it h     r esp ec to   j C n , . . . , , j 2 1   s u c h   t h at   i j k K k k ij K k i j k ij i j k ij i j k k ij d m a x d , c K c , b K b , a m i n a 1 1 1 1 .     S tep   4 :   C o n s tr u ct  f u zz y   d ec is io n   m a tr ix ,   n x m ij ] x ~ [ D ,   an d   th n o r m alize d   f u zz y   d ec is io n     m atr i x ,     n m ij r ~ R ~ w h er e   C j , a m i n a , a a , b a , c a , d a r ~ ; B j , d m a x d , d d , d c , d b , d a r ~ ij i j ij j ij j ij j ij j ij i ij * j * j ij * j ij * j ij * j ij ij     w it h   an d   C   r ep r ese n ti n g   b en ef it a n d   co s t c r iter ia,   r esp ec tiv el y .     S tep   5 :   Ob tain   t h e   w ei g h ted   n o r m a lized   f u zz y   d ec is io n   m atr i x ,   V ~ ,   b y   m u ltip l y i n g   t h n o r m alize d     f u zz y   d ec is io n   m atr ix   n m ij r ~ R ~   an d   th co l u m n   cr iter ia  w ei g h m atr i x ,     ] w ~ , . . . , w ~ , w ~ [ W ~ n 2 1 .   W h av n m ij v ~ V ~ w h er e       4 3 2 1 ij ij ij ij j ij ij v , v , v , v w ~ r ~ v ~ .     S tep   6 :   Dete r m i n th Fu zz y   P o s itiv I d ea l So lu tio n   ( FP I S),   } A , A { A * T * T * 2 1   an d   th e   Fu zz y     Neg ati v I d ea l So lu tio n   ( FNI S),   } A , A { A T T 2 1   s u ch   t h at     * n * j * * T v ~ ,..., v ,..., v ~ A 1 1   w it h   } v { m a x }, v { m a x }, v { m a x }, v { m a x v ~ ij i ij i ij i ij i * j 4 4 4 4 ,   n j T v ~ , . . . , v ~ . . . , , v ~ A 1 1   w it h   } v { m i n }, v { m i n }, v { m i n }, v { m i n v ~ ij i ij i ij i ij i * j 1 1 1 1 ;   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       E xten d ed   F TOPS I S   w ith   Dis ta n ce   a n d   S et  Th eo r etic - B a s ed   S imila r ity  Mea s u r e   ( N o r   Ha s h i ma h   S u la ima n )   391   * n * j * * T v ~ ,..., v ,..., v ~ A 1 2   w it h   } v { m a x }, v { m a x }, v { m a x }, v { m a x v ~ ij i ij i ij i ij i * j 4 3 2 1 ,   n j T v ~ ,..., v ~ ..., , v ~ A 1 2 w it h   } v { m i n }, v { m i n }, v { m i n }, v { m i n v ~ ij i ij i ij i ij i * j 4 3 2 1 .   S tep   7   Usi n g   De f i n itio n   3 ,   ca lcu lat th s i m ilar it y   v a lu e s   * i S an d   i S   f o r   th i - t h   alter n ati v f r o m     FP I S,  } A , A { A * T * T * 2 1   an d   FNI S,  } A , A { A T T 2 1   w h er e   n j * j ij i * i * i v ~ , v ~ S A , A S 1 ,    n j j ij i i i v ~ , v ~ S A , A S 1 ,    m . . . , , , i 2 1 .     S tep   8 :   C alcu late  t w o   t y p e s   o f   clo s en es s   co ef f icie n ts   f o r   th i - th   a lter n ati v e , i T A CC 1   an d     i T A CC 2 m . . . , , , i 2 1 w h er e     ) A , A ( S ) A , A ( S ) A , A ( S A CC T i i * T i * i * T i * i i T 1 1 1 1 ,     ) A , A ( S ) A , A ( S ) A , A ( S A CC T i i * T i * i * T i * i i T 2 2 2 2 .     S tep   9 :   Dete r m i n th r a n k i n g   p o s itio n   o f   t h i - t h   alter n ati v es a cc o r d in g   to   th 1 T CC   an d     2 T CC   v alu e s .   T h h ig h er   t h v al u e,   t h h i g h er   is   th r a n k in g   p o s iti o n .       4.   RE SU L T S AN AN AL Y SI S   I n   th is   s ec t io n ,   th p er f o r m a n ce   o f   th s i m i lar it y   m ea s u r b y   [ 1 0 ]   in   th co n tex o f   d ec is i o n   m ak in g   ( DM )   is   in v e s ti g ated   b y   i m p l e m en tin g   t h p r o p o s ed   DM   p r o ce d u r in   s o lv i n g   s u p p lier   s elec tio n   p r o b le m   ad o p ted   f r o m   [ 1 ]   in   w h ic h   th d ata  ar p r esen ted   in   T ab le  2   a n d   T ab le  3 .     N u merica E xa mp le:   A   h i g h - t ec h n o lo g y   m an u f ac tu r i n g   co m p an y   d esire s   to   s elec s u itab l m a ter ial   s u p p lier   to   p u r c h ase   n e w   p r o d u cts.  Af ter   p r eli m i n ar y   s cr ee n i n g ,   f iv e   ca n d id ates, i A , 5 2 1 , . . . , , i   ar e   s h o r tli s ted   f o r   f u r th er   ev a lu at i o n .   A   co m m i ttee  o f   d ec is io n   m ak er s , k D , 3 2 1 , , k   r ate  th s h o r tlis ted   s u p p lier s   b ased   o n   f iv b en e f i t c r iter ia j C , 5 2 1 ,..., , j s h o w n   i n   T ab le  1 .       T ab le  2 .   Dec is io n   C r iter ia   D e c i si o n   c r i t e r i a   j C   P r o f i t a b i l i t y   o f   su p p l i e r   1 C   R e l a t i o n s h i p   c l o se n e ss   2 C   T e c h n o l o g i c a l   c a p a b i l i t y   3 C   C o n f o r man c e   q u a l i t y   4 C   C o n f l i c t   r e so l u t i o n   5 C       T h w ei g h t s   o f   cr iter ia  an d   r atin g   o f   al ter n ati v es  b y   t h d ec is io n   m a k er s   ar p r esen ted   in   T ab le  3   an d   4 ,   r esp ec tiv el y .         T ab le  3 .   I m p o r tan ce   W eig h t s   o f   C r iter ia  j C   b y   Dec is io n   Ma k e r s   k D   C 1   C 2   C 3   C 4   C 5   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   H   H   H   VH   VH   VH   VH   VH   H   H   H   H   H   H   H               Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  9 ,   No .   2 Feb r u ar y   2 0 1 8     3 8 7     394   392   T ab le  4 .   R atin g   o f   al ter n ati v es i A ,   b ased   o n   cr iter ia j C   b y   d ec is io n   m ak er   k D     C 1   C 2   C 3   C 4   C 5   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   D 1   D 2   D 3   A 1   MG   MG   MG   MG   MG   VG   G   G   G   G   G   G   G   G   G   A 2   G   G   G   VG   VG   VG   VG   VG   VG   G   VG   VG   VG   VG   VG   A 3   VG   VG   G   VG   G   G   VG   VG   G   VG   VG   VG   G   VG   G   A 4   G   G   G   G   G   MG   MG   MG   G   G   G   G   G   G   G   A 5   MG   MG   MG   MG   G   G   MG   MG   MG   MG   MG   G   MG   MG   MG       T ab le  5   s h o w s   t h w e ig h ted   n o r m al ized   f u zz y   d ec is io n   m atr ix   o b tai n ed   b y   p er f o r m i n g   Ste p   3   to   Step   5   i n   t h e   p r o ce d u r p r esen ted   in   Sectio n   3 .       T ab le  5 .     W eig h ted   No r m alize d   Fu zz y   Dec i s io n   Ma tr i x     C 1   C 2   C 3   C 4   C 5   A 1   ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 5 3 , 0 . 6 4 , 0 . 9 0 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 4 , 0 . 6 4 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 4 , 0 . 6 4 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 4 , 0 . 6 4 , 0 . 8 1 )   A 2   ( 0 . 5 6 , 0 . 7 2 , 0 . 8 0 , 0 . 9 0 )   ( 0 . 6 4 , 0 . 7 2 , 1 . 0 0 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 6 4 , 0 . 7 2 , 1 . 0 0 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 5 6 , 0 . 7 2 , 0 . 9 3 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 6 4 , 0 . 7 2 , 1 . 0 0 , 1 . 0 0 )   A 3   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 9 , 0 . 8 7 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 9 , 0 . 8 1 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 9 , 0 . 8 7 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 5 6 , 0 . 6 9 , 0 . 9 3 , 1 . 0 0 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 9 , 0 . 8 1 , 1 . 0 0 )   A 4   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 4 , 0 . 6 4 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 5 9 , 0 . 6 1 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 5 3 , 0 . 5 9 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 4 , 0 . 6 4 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 4 9 , 0 . 6 4 , 0 . 6 9 , 0 . 9 0 )   A 5   ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 5 9 , 0 . 6 1 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 5 3 , 0 . 5 9 , 0 . 8 1 )   ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 )       T h f u zz y   p o s iti v id ea s o l u tio n   ( FP I S), } { 2 1 * T * T * A , A A   an d   th f u zz y   n eg at iv id ea s o l u tio n   ( FNI S), } { 2 1 T T A , A A ar d eter m i n ed   b ased   o n   t h w ei g h ted   n o r m a lized   f u zz y   d ec is io n   m atr i x .   T h co r r esp o n d in g   FP I Ss   an d   FNI Ss   ar p r esen te d   as f o llo w s .     ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 1 , A * T ,   , , A T ) , 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ( 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ), , 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ( 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ), , 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ( 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ) , 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ( 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ), , 0 . 3 5 , 0 . 3 5 ( 0 . 3 5 , 0 . 3 5 1 , , A * T , 1 , 1 ) ( 0 . 6 4 , 0 . 7 2 , 0 . 9 3 , 1 ) , ( 0 . 5 6 , 0 . 7 2 , 1 , 1 ) , ( 0 . 6 4 , 0 . 7 2 , 1 , 1 ) ( 0 . 6 4 , 0 . 7 2 , 0 . 8 7 , 1 ) , ( 0 . 5 6 , 0 . 7 2 2 . , A T ) , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 ), , 0 . 5 9 , 0 . 8 1 ( 0 . 3 5 , 0 . 5 3 ), , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 ) , 0 . 6 1 , 0 . 8 1 ( 0 . 3 5 , 0 . 5 3 ), , 0 . 5 6 , 0 . 7 2 ( 0 . 3 5 , 0 . 4 8 2     Usi n g   De f i n itio n   3 ,   s i m ilar it y   v alu e s   b et w ee n   ea ch   a lter n ati v an d   t h t w o   t y p es  o f   FP I ( FNI S)  ar ca lcu lated .   B ased   o n   th ese  v alu es,  th clo s e n es s   co ef f icie n ts   i T A CC 1 an d   i T A CC 2 5 2 1 , . . . , , i   ar e   d er iv ed ,   an d   th r esu l ts   ar d is p la y ed   in   T ab le  6   an d   T a b l 7 ,   r esp ec tiv el y .   R a n k in g   o r d er s   o f   alter n ati v e s   o b tain ed   b ased   th ca lcu lated   clo s en es s   co ef f icien ts   w it h   r esp ec to   th tw o   t y p e s   o f   FP I an d   FNI ar also   co m p ar ed   w it h   th r an k i n g   o r d er s   b y   [ 1 ] .       T ab le  6 .   C lo s en ess   C o ef f icie n t s   o f   A lter n a tiv e s i T A CC 1   S i mi l a r i t y   v a l u e s   C r i t e r i a   C l o se n e ss  C o e f f i c i e n t   R a n k i n g   C 1   C 2   C 3   C 4   C 5   i T A CC 1   P r o p o se d   M e t h o d   R e su l t   u si n g   [ 1 ]   A 1     ) A , A ( S * T * 1 1 1   0 . 1 3 8   0 . 1 9 5   0 . 2 5 1   0 . 2 5 1   0 . 2 5 1   0 . 3 3 7   4   4   ) A , A ( S T 1 1 1   0 . 6 0 3   0 . 4 5 2   0 . 3 6 0   0 . 3 6 0   0 . 3 6 0   A 2   ) A , A ( S * T * 1 2 2   0 . 3 6 4   0 . 5 0 3   0 . 5 0 3   0 . 4 2 9   0 . 5 0 3   0 . 7 3 6   1   1   ) A , A ( S T 1 2 2   0 . 2 3 1   0 . 1 3 9   0 . 1 3 9   0 . 1 7 6   0 . 1 3 9   A 3     ) A , A ( S * T * 1 3 3   0 . 3 6 3   0 . 3 5 0   0 . 3 6 4   0 . 4 2 1   0 . 3 5 0   0 . 6 2 8   2   2   ) A , A ( S T 1 3 3   0 . 2 2 1   0 . 2 3 6   0 . 2 2 1   0 . 1 8 0   0 . 2 3 6   A 4   ) A , A ( S * T * 1 4 4   0 . 2 5 1   0 . 1 8 2   0 . 1 6 8   0 . 2 5 0   0 . 2 8 5   0 . 3 5 8   3   3   ) A , A ( S T 1 4 4   0 . 3 6 0   0 . 4 9 4   0 . 5 2 1   0 . 3 6 0   0 . 3 1 0   A 5     ) A , A ( S * T * 1 5 5   0 . 1 3 8   0 . 1 8 2   0 . 1 3 8   0 . 1 6 8   0 . 1 3 8   0 . 2 1 3   5   5   ) A , A ( S T 1 5 5   0 . 6 0 3   0 . 4 9 3   0 . 6 0 3   0 . 5 2 1   0 . 6 0 3   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       E xten d ed   F TOPS I S   w ith   Dis ta n ce   a n d   S et  Th eo r etic - B a s ed   S imila r ity  Mea s u r e   ( N o r   Ha s h i ma h   S u la ima n )   393   T ab le  7 .     C lo s en ess   co ef f icie n ts   o f   alter n a tiv e s ,   ) A ( CC i T 2   S i mi l a r i t y   v a l u e s   C r i t e r i a   C l o se n e ss  C o e f f i c i e n t   R a n k i n g   C 1   C 2   C 3   C 4   C 5   i T A CC 2   P r o p o se d   M e t h o d   R e su l t   u si n g   [ 1 ]   A 1     ) A , A ( S * T * 2 1 1   0 . 3 6 5   0 . 4 3 3   0 . 4 7 9   0 . 5 5 3   0 . 4 7 9   0 . 3 8 7   4   4   ) A , A ( S T 2 1 1   0 . 9 0 2   0 . 8 3 0   0 . 7 0 8   0 . 7 5 6   0 . 4 6 2   A 2   ) A , A ( S * T * 2 2 2   0 . 7 9 7   0 . 9 3 2   0 . 9 3 2   0 . 9 3 8   0 . 9 3 2   0 . 7 1 3   1   1   ) A , A ( S T 2 2 2   0 . 5 1 1   0 . 3 6 4   0 . 3 3 0   0 . 4 2 9   0 . 1 9 1   A 3     ) A , A ( S * T * 2 3 3   0 . 8 3 2   0 . 7 1 3   0 . 7 7 7   0 . 9 3 7   0 . 7 1 3   0 . 6 4 3   2   2   ) A , A ( S T 2 3 3   0 . 4 5 2   0 . 5 5 2   0 . 4 5 2   0 . 4 3 6   0 . 3 1 4   A 4   ) A , A ( S * T * 2 4 4   0 . 5 5 3   0 . 3 9 9   0 . 3 7 0   0 . 5 5 3   0 . 5 5 3   0 . 4 0 4   3   3   ) A , A ( S T 2 4 4   0 . 7 0 8   0 . 8 7 8   0 . 8 3 3   0 . 7 5 6   0 . 4 0 3   A 5     ) A , A ( S * T * 2 5 5   0 . 3 6 5   0 . 3 9 9   0 . 3 1 3   0 . 4 2 9   0 . 3 1 3   0 . 3 0 0   5   5   ) A , A ( S T 2 5 5   0 . 9 0 2   0 . 8 7 8   0 . 9 0 2   0 . 9 1 9   0 . 6 5 8       B ased   o n   T ab le  6   an d   T ab le  7 ,   it  i s   o b s er v ed   th a s i m i lar it y   v al u es   b et w ee n   t h i - t h   alter n ati v es,   i A 5 2 1 , . . . , , i   an d   t h e   FP I S,  * T A 2   ( o r   FNI S,  2 T A   )   ar r elati v el y   h ig h er   a s   co m p ar ed   to   s i m i lar it y   v a lu e s   b et w ee n   t h i - th   alter n at iv e s   a n d   th FP I S,  * T A 1   ( o r   FNI S,  1 T A ) ,   ac r o s s   all  cr iter ia.   Ne v er th e less ,   b o th   t y p es   o f   clo s en es s   co ef f icie n ts ,   i T A CC 1 an d   i T A CC 2 ,   lead   to   s i m ilar   o r d er in g s   o f   a lter n ati v es  i n   w h ic h   2 A   is   r an k ed   f ir s f o llo w ed   b y 3 A , 4 A 1 A   an d   5 A .   T h r an k i n g   o r d er s   o f   alte r n ativ e s   ar f o u n d   to   b co n s i s ten t   w it h   [ 1 ] .       5.   CO NCLU SI O N   I n   t h is   p ap er ,   w e   h a v p r o p o s ed   an   E x te n d ed   FT OP SIS  p r o ce d u r in co r p o r atin g   th e   s i m ilar it y   m ea s u r p r o p o s ed   b y   [ 1 0 ] .   T h ad v an tag e   o f   t h s i m ila r it y   m ea s u r [ 1 0 ]   w h ich   ar e   co m p o s ed   o f   th e   g eo m etr ic   d is ta n ce ,   t h ce n ter   o f   g r av it y ,   Ha u s d o r f   d i s tan ce   an d   t h e   Dice   s i m ilar it y   i n d ex   lies   in   it s   ab ilit y   i n   d is cr i m i n ati n g   t w o   s i m ilar   s h a p f u zz y   n u m b er s   ef f ec ti v el y   w it h   t w o   d if f er en lo ca tio n s .   T h i m p le m e n tatio n   o f   th e   E x te n d ed   FT OP SISin   w h ic h   t h clo s e n es s   co ef f icie n ts   o f   th d ec i s io n   a lter n ati v es   ar ca lcu lated   u s i n g   th s i m ilar it y   m ea s u r g i v e n   b y   [ 1 0 ]   i s   elu cid ated   w i th   a n   ap p licatio n   in   s o lv i n g   s u p p lier   s elec tio n   p r o b le m .   T w o   d if f er e n r u le s   f o r   d ete r m in in g   t h p o s iti v id ea s o lu tio n   a n d   th n e g ati v id ea s o lu tio n   [ 1 ]   ar e m p lo y ed .   T h r es u lt  s h o w s   t h at  r a n k i n g   o r d er s   o f   alter n at iv es   w it h   r esp ec t   to   a n y   t y p e   o f   id ea l   s o l u tio n s   b ein g   u s ed   as   b en c h m ar k i n g   f u zz y   n u m b er s   in   ca lcu lati n g   t h s i m ilar it y   d e g r ee s   ar co n s is ten t   w it h   o n e   an o th er .   C o m p ar i s o n   w it h   [ 1 ]   also   in d icate s   t h at  r a n k i n g   o f   a lter n ati v es a r p r eser v ed   as b o th   ap p r o ac h es g i v e   s i m ilar   o r d er in g s   o f   al ter n ati v es.  Fo r   f u t u r w o r k ,   d if f er en s i m ilar it y   m ea s u r es  m a y   b co n s id er ed   in   d eter m in i n g   th clo s e n e s s   co ef f icien ts   i n   th E x te n d ed   FT O P SIS  an d   co m p ar ati v an al y s i s   ca n   b m ad e.       Ac k no w ledg e m e nts    T h au th o r s   w o u ld   lik to   th an k   t h R e s ea r ch   Ma n a g e m e n C e n tr ( R MC)  an d   Fac u lt y   o f   C o m p u ter   an d   Ma th e m atica l   Scie n ce s ,   Un i v er s iti   T ek n o lo g i   M AR A   ( U iT M) ,   Ma lay s ia  f o r   f in a n cia ll y   s u p p o r tin g   th i s   r esear ch   u n d er   th g r a n t o f   L E ST A R I   ( 6 0 0 - I R MI /D A N A   5 /3 /L E ST AR I   ( 0 1 3 3 /2 0 1 6 ) ) .         Ref er ence s   [1 ]   Ni y ig e n a ,   L . ,   L u u k k a ,   P . ,   &   Co ll a n ,   M .   S u p p li e e v a lu a ti o n   w it h   fu z z y   si m il a rit y   b a s e d   f u z z y   T OP S IS   w it h   n e f u z z y   si m il a rit y   m e a su re .   In   IEE 1 3 t h   In ter n a ti o n a S y mp o siu o n   Co m p u t a ti o n a In tell ig e n c e   a n d   In f o rm a ti c s.   2 0 1 2 2 3 7 - 2 4 4 .     [2 ]   Zw ic k ,   R. ,   Ca rlstein ,   E. ,   &   Bu d e sc u ,   D.  V .   M e a su re o f   sim i larity   a m o n g   f u z z y   c o n c e p ts:  c o m p a ra ti v e   a n a ly sis.   In ter n a ti o n a J o u rn a o Ap p ro x im a te R e a s o n i n g .   1 9 8 7 1 ( 2 ),   2 2 1 - 2 4 2 .   [3 ]   P a p p is,   C.   P . ,   &   Ka ra c a p il i d is,  N .   I.   A   c o m p a ra ti v e   a ss e ss m e n o f   m e a su re o f   si m il a rit y   o f   f u z z y   v a lu e s.   Fu zz y   S e ts a n d   S y ste ms .   1 9 9 3 ;   56 (2 ),   1 7 1 - 1 7 4 .   [4 ]   Ch e n ,   S . J.  &   Ch e n ,   S . M .   F u z z y   risk   a n a l y sis  b a se d   o n   sim il a rit y   m e a su re o f   g e n e ra li z e d   f u z z y   n u m b e rs.   IEE E   T ra n sa c ti o n o n   Fu zz y   S y ste ms .   2 0 0 3 11 (1 ) ,   4 5 - 5 6 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  9 ,   No .   2 Feb r u ar y   2 0 1 8     3 8 7     394   394   [5 ]   Yo n g ,   D.,   W e n Ka n g ,   S . ,   Zh e n F u ,   Z. ,   &   Qi,   L .   C o m b in i n g   b e li e f   f u n c ti o n b a se d   o n   d istan c e   o e v id e n c e .   De c isio n   S u p p o rt  S y ste ms .   2 0 0 4 ;   38 (3 ),   4 8 9 - 4 9 3 .   [6 ]   Ch e n ,   S . J.  A   n e w   si m il a rit y   m e a s u re   o f   g e n e ra li z e d   f u z z y   n u m b e rs   b a se d   o n   g e o m e tri c - m e a n   a v e ra g in g   o p e ra to r.   In   IEE E   In ter n a ti o n a Co n fer e n c e   o n   Fu zz y   S y ste ms .   2 0 0 6 ;1 8 7 9 - 1 8 8 6 .     [7 ]   Ch e n ,   S . M . ,   &   Ch e n ,   J.H.  F u z z y   risk   a n a l y sis  b a se d   o n   ra n k in g   g e n e ra li z e d   f u z z y   n u m b e rs  w it h   d if f e r e n h e ig h ts   a n d   d if fe re n sp re a d s,  Exp e rt S y st e ms   wit h   Ap p li c a ti o n s .   2 0 0 9 3 6 ,   6 8 3 3 6 8 4 2 .   [8 ]   W e i,   S .   H.,   &   Ch e n ,   S .   M .   A   n e w   a p p ro a c h   f o f u z z y   risk   a n a l y s is  b a se d   o n   sim il a rit y   m e a su re o f   g e n e ra li z e d   f u z z y   n u m b e rs.   Exp e rt S y ste ms   wit h   A p p l ica ti o n s .   2 0 0 9 36 (1 ) ,   5 8 9 - 5 9 8 .   [9 ]   Ye ,   J.  T h e   Dic e   si m il a rit y   m e a su r e   b e tw e e n   g e n e ra li z e d   trap e z o id a f u z z y   n u m b e rs  b a se d   o n   th e   e x p e c ted   in terv a a n d   it m u lt icriteria   g ro u p   d e c isio n - m a k in g   m e th o d .   J o u rn a o t h e   Ch in e se   In stit u te  o In d u stri a En g in e e rs 2 0 1 2 ;   29 ( 6 ),   3 7 5 - 3 8 2 .   [1 0 ]   S a y e d   A h m a d ,   S . A . ,   M o h a m a d ,   D.,   S u laim a n ,   N.H.,   M o h d   S h a riff ,   J.&   A b d u ll a h ,   K.  A   Dist a n c e   a n d   S e T h e o re ti c - Ba se d   S imil a rity  M e a su re   fo Ge n e ra li ze d   T ra p e zo i d a Fu zz y   Nu mb e rs .   P a p e p re se n ted   a 2 5 th   Na ti o n a S y m p o siu m   o f   M a th e m a ti c a S c ien c e s,  P a h a n g ,   M a lay sia .   2 0 1 7 .   [1 1 ]   Ch o u ,   C.   C.   A   g e n e ra li z e d   si m il a rit y   m e a su re   f o f u z z y   n u m b e rs.   J o u rn a o In tel li g e n &   Fu zz y   S y ste ms .   2 0 1 6 ;   30 ( 2 ),   1 1 4 7 - 1 1 5 5 .   [1 2 ]     Kh o rsh i d i,   H.  A . ,   &   Ni k f a laz a r,   S .   A n   i m p ro v e d   si m il a rit y   m e a su re   f o g e n e ra li z e d   f u z z y   n u m b e rs   a n d   it a p p li c a ti o n   t o   f u z z y   risk   a n a l y sis.   Ap p li e d   S o f Co m p u ti n g .   2 0 1 7 52 ,   4 7 8 - 4 8 6 .   [1 3 ]   Ch e n ,   S .   M .   A   n e w   a p p ro a c h   to   h a n d l in g   f u z z y   d e c isio n - m a k in g   p ro b lem s.   IEE T ra n sa c ti o n o n   S y ste ms ,   M a n ,   a n d   Cy b e rn e ti c s .   1 9 8 8 ;   18 ( 6 ),   1 0 1 2 - 1 0 1 6 .   [1 4 ]   S rid e v i,   B. ,   &   Na d a ra jan ,   R.   F u z z y   si m il a rit y   m e a su re   f o g e n e r a li z e d   f u z z y   n u m b e rs.   In ter n a ti o n a J o u r n a o Op e n   Pro b lem s in   C o mp u ter   S c ie n c e   a n d   M a t h e ma ti c s .   2 0 0 9 2 (2 ) ,   2 4 2 - 2 5 3 .   [1 5 ]   L i,   J.,   &   Zen g ,   W .   F u z z y   risk   a n a l y sis  b a se d   o n   th e   sim il a rit y   m e a su re   o f   g e n e ra li z e d   trap e z o id a f u z z y   n u m b e rs.  J o u rn a o In telli g e n &   Fu zz y   S y ste ms . 2 0 1 7 32 (3 ),   1 6 7 3 - 1 6 8 3 .   [1 6 ]     Ch e n g ,   S .   H. ,   Ch e n ,   S .   M . ,   &   Jia n ,   W .   S .   F u z z y   ti m e   se rie f o re c a stin g   b a se d   o n   f u z z y   lo g ica re l a ti o n sh i p a n d   sim il a rit y   m e a su re s.   In fo rm a ti o n   S c ien c e s .   2 0 1 6 ;   3 2 7 ,   2 7 2 - 2 8 7 .   [1 7 ]   F a rd ,   K.  B. ,   Nilas h i,   M . ,   &   S a li m ,   N.  Re c o m m e n d e s y ste m   b a se d   o n   se m a n ti c   sim il a rit y .   In ter n a ti o n a J o u r n a o f   El e c trica a n d   C o mp u ter   En g in e e rin g .   2 0 1 3 ;   3 ( 6 ),   7 5 1 .   [1 8 ]   M a se len o ,   A . ,   Ha sa n ,   M .   M . ,   &   T u a h ,   N.  Co m b in in g   F u z z y   L o g ic  a n d   De m p ste r - S h a fe T h e o ry .   In d o n e sia n   J o u rn a o El e c trica En g in e e rin g   a n d   Co m p u ter   S c ien c e .   2 0 1 5 16 (3 ),   5 8 3 - 5 9 0 .   [1 9 ]   G u n a w a n ,   W . ,   &   A ri f in ,   A .   Z.   F u z z y   Re g io n   M e rg in g   u sin g   F u z z y   S i m il a rit y   M e a su re m e n o n   Im a g e   S e g m e n tatio n .   I n ter n a t io n a J o u r n a o E lec trica a n d   Co mp u ter   E n g i n e e rin g   ( IJ ECE ) .   2 0 1 7 ;   7 (6 ) ,   3 4 0 2 - 3 4 1 0 .   [2 0 ]   L u u k k a ,   P .   F u z z y   si m il a rit y   in   m u lt icriteria   d e c isio n - m a k in g   p ro b l e m   a p p li e d   t o   su p p li e e v a lu a ti o n   a n d   se lec ti o n   in   su p p ly   c h a in   m a n a g e m e n t.   Ad v a n c e s in   Arti fi c ia In tel li g e n c e .   2 0 1 1 2 0 1 1 , 6 .   [2 1 ]     Co ll a n ,   M . ,   &   L u u k k a ,   P .   Ev a lu a ti n g   R& p ro jec ts  a in v e st m e n ts  b y   u sin g   a n   o v e ra ll   ra n k in g   fro m   f o u n e f u z z y   si m il a rit y   m e a su re - b a se d   TOP S I S   v a rian ts.   IEE T ra n sa c ti o n s o n   Fu zz y   S y ste ms . 2 0 1 4 ;   22 ( 3 ),   5 0 5 - 5 1 5 .   [2 2 ]   L u u k k a ,   P . ,   &   Co ll a n ,   M .   Hist o g ra m   ra n k in g   w it h   g e n e ra li z e d   sim il a rit y - b a se d   T OP S IS   a p p li e d   to   p a ten ra n k in g .   In ter n a ti o n a J o u r n a l   o f   Op e ra ti o n a l   Res e a rc h .   2 0 1 6 ;   25 ( 4 ),   4 3 7 - 4 4 8 .   [2 3 ]   L i,   G . ,   Ko u ,   G . ,   L in ,   C. ,   Xu ,   L .   &   L iao ,   Y.  M u lt i - a tt ri b u te  d e c isio n   m a k in g   w it h   g e n e ra li z e d   f u z z y   n u m b e rs.   J o u rn a o t h e   Op e ra ti o n a Res e a rc h   S o c iety .   2 0 1 5 66 (1 1 ),   1 7 9 3 - 1 8 0 3 .   [2 4 ]   Ch e n ,   S . H.,   &   Hs ieh ,   C. H.  Ra n k in g   g e n e ra li ze d   f u zz y   n u mb e wit h   g r a d e d   me a n   i n teg ra ti o n   r e p re se n ta ti o n .   In   P r o c e e d in g s o f   th e   8 th   In tern a t io n a Co n f e re n c e   o F u z z y   S e ts  a n d   S y ste m As so c iatio n   W o rld   Co n g re ss .   1 9 9 9 ,   2 ,   5 5 1 - 5 5 5 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.