TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.4, April 201 4, pp. 2652 ~ 2 6 5 7   DOI: http://dx.doi.org/10.11591/telkomni ka.v12i4.4807          2652     Re cei v ed Se ptem ber 8, 2013; Re vi sed  Octob e r 16, 2 013; Accepte d  No vem ber  5, 2013   Optimization Design of Cantilever Beam for Cantilever  Crane Based on  Improved GA      Shufang Wu 1 *, Tiexiong Su 2      1 School of Me chan ical En gi n eeri ng an d Aut o matio n , Nort h  Universit y  of C h in a, T a iyua n, 030 05 1, Chin a   2 School of Mec hatron i c Eng i n eeri ng; North U n iv ersit y  of Ch i na; T a i y ua n, 0 300 51, Ch ina   *Co e rrspo ndi n g  author, e-ma i l :   sh u f a n g w u66@ 1 2 6 . co m      A b st r a ct   Based  on in  d epth study of  opti m i z at ion  d e s ign  meth ods,  accord ing to a naly z i n g th e fo rces of  cantil ever be a m  for Canti l ev er Cr an e, w i th the feature  that I-bea ms u s ed in  cantilever beam   m o stly,   combi n in g stru ctural  opti m i z at ion  tech niq u e   w i th discr ete  v a ria b les  w i th G A , an  opti m i z a t ion  des ig n  met hod   of cantilever beam  for Cantil ever Crane based on im prov ed GA was propos ed for the problem s of huge  mater i al  re dun dancy  an d  hig h  pr oducti on  c o st. Mathe m ati c al  mo de l a n d  fitness fu nctio n  of th e struct ur a l   opti m i z at ion w i th discrete v a riabl es w e re b u ilt, opti m i z at i on d e sig n  of cantil ever b e a m  structure w a s   achi eved, the  efficiency of thi s  opti m i z a t i on  desi gn  me th od  w a s validate d   and th e cons u m pti on of stee l  for  prod uction w a s  reduce d . T h is meth od h ad a  certain  g u id in g signific anc e for engi ne erin g a pplic atio n.    Ke y w ords :  in dex ter m s-opti m i z at io n desi g n, improve d  GA,  discrete vari abl es, fitness functio n , cantil e v e r   crane     Co p y rig h t   ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  The g eom etry and l oadi n g  conditio n s of C antilev e r  Crane  are quite  com p lex, so  stru ctural parameter s are prima r ily  dete r mine d  by  ex perie nce,   no  pre c ise cal c ul ation of stren g th   and  safety factor is  often a la rge r  value in  ord e r  to meet th e relia bility requireme nts  in  traditional d e s ign meth od s. Therefo r e, materi al  wa ste and cost im proving a r e p r odu ce d.   At present, th ere  are  many  algo rithms a nd t heo rie s  a bout optim um  stru ctu r al d e s ign. A s   a  global opti m ization se a r ch algo rithm ,   Genetic  Al gorithm  (GA) is a ge nera l  frame w ork  for   solving  comp lex optimizati on problem s  whi c h ha s fe w limitations  on se archin g  spa c e, no n eed  of continuity of solution s a nd stro ng rob u stne ss.  Existing resea r ch on gen etic al gorithm i s  ma inly  about optimi z ation method  for continu o u s varia b le s. Due to cantil ever bea m with I-beam s a n d   discrete  d e si gn va riable s ,  discrete  resul t s which  obtai ned  by adj ust i ng the  optimi z ation  meth o d s  of continuo u s  variabl es a nd need to test the  feasi b ility and reliability are usually infeasib le  solutio n s. T h erefo r e, rese arch o n   cal c u l ation me th od  for o p timum  stru ctural d e sign with  di screte   variable s  ha s a certain p r a c tical valu e.  By study on optimization te c hni que of di screte vari abl es an d impro v ing stand ard  genetic  algorith m  in  this arti cle,  mathemati c al  model  a n d  fitness fun c tion of the optimizatio n  with   discrete va ria b les  have buil t  and ca ntilever be am st ru cture of Cantil ever Cra ne h a s o p timize d  by  sele ction,  cro s sover an d  mutation. Finally, st ru ctural optimi z ation pro b le m with discrete   variable s  ha s solved.       2. Simple G A   GA is  a  kind  of glob al o p t imization  se arch al gorith m  whi c h  sim u lates the p r oce s s of   geneti c  and e v olution in na ture an d prop ose d  by  Holl and at University of Michig an in hi s pap er  for the  first i n  19 75. Th e  algorith m , firstly, enc ode s acco rdin g to  the  solutio n   of the p r obl e m ,  transl a tes  so lution space  into GA se arching  sp ace and p r o d u c e s  an initia l grou p, the n ,  simulate s th e phen omen on of bree di ng, cro s sove r and ge neti c  mutation i n  the pro c e s s of  natural  sele ction an d h e re dity, improve s  the  ada pta b ility of individual in  the g r oup  thro ugh  a   variety of genetic ma nip u lation ope rators, the r eb y obtains be tter individua ls, use ge ne tic   operators (se l ection, cro ssover and m u tation) to  co mbine the s e  individual s, prod uce a n e w  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim i zation De sign of Ca ntileve r Beam  fo r Cantile ve r Crane Ba se d on… (Sh u fang Wu)  2653 can d idate g r oup, having  several gen e r ation of gen etic evolution  until after some conve r ge nce  index is sati sfied, that means get the op timal  solution  of the proble m  [1-3]. The pro c e ss  sho w s  in Figure   1.   Simple gen etic algo rithm s  can b e  define d  as a 7 - ele m ent array:    (, , , , , , ) cm GA M F s c m p p                      ( 1)    In this  type,  M  is pop ulati on si ze,  F  is individual fitness evalu a tion functio n ,  S  is selection   operator,  C  i s  cro s sover o perato r ,  m  is  mutation o p e r ator,  P C  is  cross o ver r a te,   P m  is  mutation   rate.           Figure 1. Simple GA Flowchart       The key p r obl ems in the p r oce s s of implementation a s  follows:   (a) Codi ng   Codi ng i s  th e  process th at re pre s e n ting  the first g e n e ration  of i n d i viduals in th e g r oup   with a  fixed - length  bin a ry encodin g   string.  Usu a l l y codi ng l e ngth i s  d e te rmine d  by t h e   requi rem ent  of actual p r e c isi on an d th e si ze of the  grou p is  gen erated  by ran dom meth od.  In   gene ral, the  large r  the  popul ation  size i s , the  b e tter it is. But oversi ze  scale  will re du ce   computational efficiency  and small  size will  cause algorit hm convergence i n  advance, t hen  optimal sol u tion co uld not  be obtain ed.   (b) Fitness  func tion          Fitness fu ncti on i s  a  corre s po ndin g  rela tionshi p b e tween i ndividua ls a nd th eir fitness i n   a grou p. In geneti c  algo ri thm, the pro bability of  individual he re dity to the n e xt generatio n o f   grou p is d e ci ded by the size of the in dividual fi tne ss. Th e grea ter the indivi dual fitness,  the   C   B A   x    Q+G 1 y  P 1   P 2   N 1   N 2   L  L 1   q  Figure 2. Sch e matic Di ag ram of  Cantile ver Beam Structure  and L oa d Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 4, April 2014:  2652 – 2 657   2654 bigge r the p r obability that inherit to the  next gene ra ti on is. Oth e rwise, the le ss i t  is. In gene ral,  take obj ective  function a s  the fitness evaluation fun c t i on in the ma ximum probl e m .  (c) Gen e tic o perato r   The sim p le g enetic al gorit hm usu a lly includ es three  geneti c  ope ra tors:   1. Select o p e r ation: individ uals  with hi g her  fitne s s se lected f r om t he current p o pulation,  put into the matchin g  set  (buffer), p r e pare d  for late r ch romo so m e  cro s sing -ov e r, mutation  and   prod uci ng n e w  individ ual.  Wheth e r  ea ch in dividual  will be  sel e cted a nd  co pied to the   next  gene ration b a s ed o n  cum u l a tive proba bil i ty mainly.  Ba sic o perator i s  the ch oo sin g  prob ability:    ) ( ) ( i i x F x F s                             ( 2)    In this  formula,  i x is the i - th  chromo som e  in the po pul ation,  ) ( i x F is  fitnes s  func tion,  ) ( i x F  is   the sum of all  individual fitness in the po pulation.   2. Cro s sove r operation: T w o in dividual s bin a ry cod e  we re  cho s en from th e  curre n t  popul ation a nd one or m o re bits  were  exchang e  from each oth e r, then ne w individuals  were   prod uced. T a ke two indi viduals,  A  and  B , as example in the  current po p u lation, two  new  individual s  A'  and  B'  we re g enerated thro ugh si ngle - po int cro s sover.     01 00010100 11 10110111 11 00010100 01 10110111 ’ ’ B A crossover B A             ( 3 )     3. Mutation operatio n: take one bit of the cu rrent bi nary co de in dividual a s  a variation  point, invert gene valu es  of it. For example, take th e forth bit of individual  C  as  mutation point,   new in dividua l  C '  wa s gen erated afte r mutation.    1000010011 1001010011 ’ C mutation C       ( 4 )     (d) O p e r ation  param eters  M : pop ulation  si ze,  whi c h  i s  the  nu mbe r  of individ ual s in the  g r ou p, is 20 -10 0  u s ually;  T :  terminate ev olutional ge n e ration of g enetic  alg o rit h ms, usually  the value is 100 -50 0 ;  Pc :  crossover probability, usual ly  the value is 0.4 -0.99;  Pm : mutation probability, usually the val ue  is 0.000 1-0.1.       3. Impro v ed  Gene tic Alg o rithm of  Cantilev e r Beam for Cantilev e r  Crane  3.1. Cantilev e r Beam Str u ctur e and S t res s  Analy s is   Take s the  col u mn ca ntilever cran e as i n stan ce  with Lifting weig ht  Q = 3 t, Weight rotating  radiu s   R =400 0mm an d Lifting heig h t  H =3000m m. At pre s ent, I iro n  with the p a rticular type  3 6  c,  height  h   = 3 6 0 mm, width  b  = 14 0mm a n d  wei ght is  a bout 29 7kg served a s   ca n t ilever bea m in   finalize d  pro d u ct [4]. Cantilever bea m structure and lo ad we re sho w n in the follo wing figu re.   In Figu re  2,  Q  a s  m a ximu m lifting lo ad,   G1  a s  trolley  dea dweight,  q   a s  ca ntilever beam  dead weig ht load set,  L  as cantilever le ngth,  L1  as  cantilever len g t h of cantilever bea m,  N1  as   the level  rea c tion of p o int  C,  N2  a s  th e  level re actio n  of poi nt  A ,  P2   a s  ve rtical  reactio n  of  poi nt  A,   P1  as vertical re actio n  o f  point  C .    3.2. Cantilev e r Beam Str u ctur e Opti mized Model   Due to a dopti on of I steel i n  cantileve r b eam, optimized po ssi ble value s  we re di screte   variable s .  Th e ch ara c te rist ics  of discrete variabl e opt imization  pro b lems  we re  t hat  the varia b le   values we re discrete ne ss,   feasible sol u tion  set  was distrib u ted  m a inly  as scattering sp ots  a nd  obje c t fun c tio n s  and   con s t r aint fu nctio n s  in  the  mat hematical m o del  we re  no  longe r  had  the   contin uity and differentiab ility, so man y  effectiv e p a rsi ng algo rit h m in the original co ntinu ous  variable o p timization  coul d not be appli ed [5-7].   Structu r e o p timization  mat hematical mo del of  di scret e  varia b le  co uld be  de scri bed a s   follows :  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim i zation De sign of Ca ntileve r Beam  fo r Cantile ve r Crane Ba se d on… (Sh u fang Wu)  2655 12 mi n ( ) ( , , , ) , .. ( ) 0 1 , 2 , , () 0 1 , 2 , , ni i i j k FX F x x x x S S S st g X j m hX k p            ( 5 )     In this  type,  () F X is the obj ecti ve function,  X is the de sig n  variable s ,  i S  is di sc ret e   variable s   val ues set of i x , S  is s e t for  (1 , 2 , , ) i Si n  ,  () j g X is the ine quality  con s trai nt fun c tion,  () k hX  is the equalit y const r aint functio n .  (1) Obje ctive  Function   The cantileve r beam  of ca ntilever cran e  is a  wel d me nt which was  con s i s ts  of I steel and  bra c ket. I ste e l was sta n d a rdi z ed  an d  bra c ket  wa s  weld ed  with  steel plate  afte r  cutting. Val ues  of sectio n pa rameters an d  sup port pl ate thickne ss  p a rameters were  the set of discrete va riabl e s   and o p timiza tion de sign  must corre s p ond  with the   spe c ification s  an d sta n d a rd s. The r ef ore,  obje c tive function coul d be  rewritten a s :    11 2 2 min ( ) , ii i F XL x A x x S S S           ( 6)  In this  type, objec t ive func tion  () FX is qu ality of cantileve r  beam,  1 is de n s ity of I steel,  L is  le ngth o f  I steel,  1 x  is p l ate are a  of I steel,  2  is de nsity of bra cket plate,  A  is  ar e a  of  steel plate,  2 x is thickne ss of steel plate.  (2) Con s trai nts   Strength con s traint s:     11 ；   22                             ( 7)     Stiffness con s traint:     11 f f ；   22 f f                             ( 8)    Among them:   1  is maximum stre ss of the cantileve r beam,  2 is max i mum stress of  cantileve r bracket,  1 f  is m a ximum di spl a cem ent of I steel,  2 f is maximum displacement of  brac ket.    3.3. Impro v e d  Gene tic Al gorithm of Discrete Varia b le   (1) Initial con d itions a nd constraints  Geneti c  algo rithm took de sign vari able s  co ding a s  operation obj ects a nd four design   variable s L 、 1 x 、 2 x 、 A  were  cont ained  in th e  obje c tive fun c tion  acco rdi ng to type  (6 ). The   cantileve r cra ne had a fixe d rotating rad i us in the current re sea r ch (i.e.,  L  is a fixed value) a nd  A is  cro s s-se cti onal  are a  of t he b r a c ket .Compa red  to  cantilever  bea m and  up righ ts, length  an d  width  of ca ntilever  b r a c ket were small, so  they  were  can be  seen  a s   con s tant va lues. Be ca use   of little effect  on the  overall  quality,  2 x was not  optimi z ed .  1 x  wa s  cross-section a l a r ea   of I-bea m  whi c h  can b e  se arche d  i n  the man u a l  x1={ 2 1 .516,  26.131, 3 0 .765,  35.5 78,  39.578, 4 2 .128,  46.528, 4 8 .54 1 , 53.541, 5 5 .404, 61. 0 04,  67.156, 7 3 .55 6 , 79.956, 7 6 .480, 83.6 80}. It can be  see n   that  1 x is  disc ret e  variables  optimiz a tion des i gn.  Available by the stiffness a nd stre ngth of  theoretical know l edge,  sel e ction of I ste e l  sho u ld satisfi ed the followi ng co nstraint s.    0 ] [ - 2 / ) 2 / ( * ) 2 / ( * ) 1 ( W E L q E L Q G                  ( 9)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 4, April 2014:  2652 – 2 657   2656 0 ] [ - 8 / 3 ) 2 / ( * 3 / 3 ) 2 / ( * ) 1 ( f EI E L q EI E L Q G            ( 10 )    Available  by cantileve r cr a ne d e si gn  sp ecification s , mm f MPa 16 ] [ , 156 ] [ ； The valu es of  W, I  were discrete numeri c al  and dep end  on iteration  values of cross-se ct ional  area of I-be am.  Becau s e  the  sup port  plate  locate d in  co nstrai nts sid e ,  its st re ss an d defo r matio n  were  small,  so   con s trai nt ca n be omitted.  (2) En cod e    Whe n  de sign  variable s  a r e  discrete n u m e rical   In the discret e  variable  structural optimi z ati on of ge n e tic algo rithm ,  the length of binary  cod ed de pen ded on th e numbe r of di screte vari ab le numb e r.  Each in dividual ado pt hybrid   cod ed metho d  whi c h incl u ded bina ry coded, de ci ma l integer cod ed (serial n u m ber of discrete   variable  valu es) an d real-cod ed  (di s cre t e variabl e va lues). Bina ry cod ed  wa s u s ed i n   cro s so ver  and mutation  operation s . Coded relation ship  wa s sh o w n in Tabl e 1 .       Table 1. Hyb r id Cod ed Co mpari s o n  Tab l e  binar y  coded   decimal in teger coded   real-coded   0000  0 21.516 0001  1 26.131 0010  2  30.765   ……  …… …… 1111  15 83.680     (3) Fitness  func tion  Simple gen e t ic algo rithm  usually u s e d  for solvin g the pro b le m of unco n strain ed  maximum pri n cipl e, gene rally took obj e c tive func tion  as fitness fu nction a nd fitness value  was  requi re d to b e  greater tha n  ze ro. But  cantilever  bea m optimize in  the arti cle b e longe d to sol v ing   the proble m   of minimum  p r inci ple  with  constrai ns . So s o me methods   were  adopted to trans f orm   gene ral fitne s s fun c tion to  anothe r ki nd  of fitne ss fu n c tion  whi c h i n clu ded  co nstrained.  Refu sal  strategi es  we re used he re.    ma x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 11 2 2 1 1 2 2 '( ) ( ) ( ) '( ) 0 ( ) F X C L x A x i f and and f f and f f F X i f or or f f or f f       In this  formula,  ) ( X F is  fitnes s  func tion,  max C  is a large r  given co nstant.   ( 4) G eneti c  o perato r s  Selection  op erato r ： Fitne s s valu e p r o portion  sele ct meth od  wa s a dopte d  an d   accompli sh ed  by roulette wheel metho d  in sele ction.   In this way, firstly, individu al fitness was cal c ulate d , a nd then th e p r opo rtion  of in dividual  fitness in the  total popul ation's fitness  was  cou n ted which re pre s e n t ed  the cho s e n   proba bility  in  the pro c e s s  of sele ction.  Wheth e r the  indivi dual was sele cted or  not wa s  d e termin ed  by   a   rand om num ber, so as t o  ensure the good g e n e s tra n smitte d to the ne xt generatio n  of  individual s.  Cro s sove r op erato r ： Due t o  the fewer o p timal de sign  variable s  a n d the sm alle r desi gn  variable s ’  stri ng le ngth, the  crossove r  probability  was  100 % (  It me ans that all  th e chro mo som e s  were involved in the cr o ssover o peratio n) in  this opti m al de sig n , the inte rsectio n  was  gen era t ed   rand omly.   Mutation op e r ator ： Vari ation wa s an i m porta nt me thod to prev ent pre c o c io us, the  numbe r of  va riation digits were  d e termi ned by  t he m u tation p r ob a b ility, the len g th of e n codi ng   string a nd the  populatio n si ze, and the n  do mutation o peratio n.  (5) O p e r ation  param eters  The p opul atio n si ze  M   =50,  the ge netic a l gebra i s  5 0 , the  cro s sove r  rate  Pc =100 %, the   mutation rate  Pm = 0.001,  Cm ax = 10 0.  The  kno w n  p a ram e ters of  cantileve r :th e lifting capa city  Q  = 3t,  R = 4000m m,  H   = 3 000m m, the type of I - beam s i s  3 6 c ,  h  =  3 60m m, b  =  140 m m ,  x1 = 9 0 . 88 c m 2,  G1  is the trolley’s self-weight,the ca nt ilever’s  self-weight load co nce n tration  q  =  31.069 kg/m,  the cantileve r’s total length   L = 43 00mm,  the cantileve r length  L1  = 3000mm , th e   scaffold mate rial is Q 235,t he cro s s-sect ional a r ea  A  =14 62.5 c m2 、 the thickne ss  of steel pl ate  x2  = 26mm, Mpa 156 ] [ 2 , mm f 1 ] [ 2 .  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim i zation De sign of Ca ntileve r Beam  fo r Cantile ve r Crane Ba se d on… (Sh u fang Wu)  2657       3.4. The Opti mization De cisions   This p ape r h a s too k  the  cantilever’ s weight as   obje c tive function  with co nst r ai nts that  the maximal   displ a cement  wa s  not mo re that all o wa ble valu es, th e maximum   stre ss  wa s le ss  than 1 56Mp a  and  the mi nimum  safet y  factor was less th an  1 . 5. Then, th e cantilever  had  optimize d . T he converge nce  re sult was  sho w n in  Figure 3. T he obje c tive  function b e g an to   conve r ge to the optimal so lution after 61 th  generation;  the target value wa s 23 6.9 K g.   The stress an d displ a ceme nt before an d  after optimization we re sh own in Ta ble  2.      Table 2. The  Values  Com p arison befo r e  and after Size Optimizatio n     design ariables  w e ight   max i mum displacement max i mum stress Minimum  safet y  factor  1 x 2 x before 90.880   26  287.3 Kg 13.8 mm   92.3 MPa   2.01  after  73.556   24  236.9Kg 15.3mm   106.5MPa   1.98      4. Conclusio n   Thro ugh the  global optimi z ation a b ility  of genetic  al gorithm, the tradition al alg o rithm in   the di screte  space o p timization p r obl e m s  wa s  so lv ed. Ta king  cantilever  cran e cantilever b eam  stru cture a s   an exa m ple,  the  cr oss-section a l a r ea  wa s taken  as th e  de sig n  vari able s ,  the  minimum wei ght wa s take n as the obj ective f unctio n , and the di screte vari ab le optimizatio n  desi gn ba sed  on geneti c  algorithm  wa s carrie d out. Accordi ng to the data whi c h  were sh own in   table 2, the o p timized  qual ity is about 2 0 % lighter  th an befo r e, th e utilizatio n rate of the ma teria l   has imp r ove d ,  the size of the stru ctu r e p a rt s ha s rea s onably match ed and the re sea r ch provid e d   a theoreti c al  basi s  for the l i ghtwei ght op timization de sign of the can t ilever crane.       Referen ces   [1]  T A O Yuan-fan g , SHI Xia o -fe i . Optimization  desig n for crane g i rders b a sed o n  impr oved p a rticl e   s w arm algorithm.  Chines e Jo urna l of Constr uction Mac h in e r y . 2012; (1): 50-53.   [2]  Z H ANG Sicai,  Z H ANG F ang -xi ao. Ap pl icati on of  A l gorithms in Structur al  Optimization Design  w i t h   Discrete Var i ables.  Jour nal  of Southw est Jiaotong U n verstit y . 2003; (4):1-5 .   [3]  Z H ANG Yan- ni an, LIU  Bi n, GUO Pen g - fe i.  H y brid  Genetic Algo rithm for  Optimum  D e si gn of  Bu ild in g   Structure.  Jour nal of North eas tern Univ ersity . 2003; (10): 9 9 0 -99 3 .  [4]  XU Ge-n in g, LU F eng- yi, Z H ANG Lian g– yo u. Res earc h  o n  Comp leted O p timize d Desi g n  of Structure   for Sle w i ng Ca ntilev e r Cran e.  Journ a l of Ton g ji Un iversity . 2 001; (12): 1 476 -148 0.  [5]  ZHAO Yan-min, HUO Da.  Opti mal D e sig n  of Stee l T r uss Structure B a sed  on G ene tic Simul a t e d   Anne ali ng Al go rithm.  Journa l of Z heng z h o u   Univers i ty.  201 1; (6): 54-57.   [6]  GUO Peng-fei,  HAN Ying-sh i. An Imitative Full-St ress Gen e tic Algor ithm for  Structueal Optimizatio n   w i t h  Discret e Variables.  En gin eeri ng Mech an ics.  2003; (4): 95-9 8 .  [7]  Z hu Cha o y a n l,  Z hang Yan n i a n, Guo Pengfe i l, W ang  Xuezh i . An H y br id Genetic Al gorith m  for Shap e   Optimization of  Structure  w i t h  Discrete Variables.  Jo urn a l  o f  W uhan  Univ e r sity of T e chn o l ogy.  20 11 ;  (2): 156-1 59.   Figure 3. The  Optimization  Gene ration a nd  Obje ctive Function   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.