I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   21 ,   N o .   1 J a n u a r y   2021 ,   pp .   5 05 ~ 5 1 5   IS S N :   25 02 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 21 .i 1 .   pp 505 - 5 1 5             505       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om   S h o w   o f f   t h e   e f f i c i e n c y   o f   d a i - l i a o   m e t h o d   i n   m e r g i n g   t e c h n o l o g y   f o r   m o n o t o n o u s n o n - l i n e a r   p r o b l e m s       R an Z.   A l - K aw a z A b b as   Y .   A l - B aya ti   D e pa r t m e n t   o f   M a t he m a t i c s ,   C o l l e g e   o f   B a s i c   E duc a t i o n,   U ni v e r s i t y   o f   T e l a f e r ,   M o s ul ,   I r a q       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e M a y   16 ,   2020   R e v i s e J ul   2 0 ,   202 0   A c c e pt e d   A ug  4 ,   2020       I t hi s   a r t i c l e ,   w e   g i v e   a   n e w   m o di f i c a t i o f o r   t he   D a i - L i a o   m e t ho t o   s o l v e   m o no t o no us   no nl i n e a r   p r o bl e m s .   I o ur   m o di f i c a t i o n,   w e   r e l i e o t w o   i m po r t a nt   p r o c e dur e s ,   o ne   o f   t he m   w a s   t he   p r o j e c t i o m e t ho a nd  t he   s e c o nd  w a s   t h e   m e t ho o f   da m pi ng   t he   qua s i - N e w t o c o ndi t i o n.   T he   ne w   a ppr o a c o f   de r i v a t i o y i e l ds   t w o   ne w   pa r a m e t e r s   f o r   t h e   c o nj ug a t e g r a di e n t   di r e c t i o w hi c h,   t h r o ug s o m e   c o ndi t i o ns ,   w e   ha v e   d e m o ns t r a t e t h e   s uf f i c i e nt   d e s c e n t   pr o pe r t y   f o r   t he m .   U nde r   s o m e   ne c e s s a r y   c o ndi t i o ns ,   t he   ne w   a ppr o a c a c hi e v e g l o ba l   c o nv e r g e nc e   pr o pe r t y .   N um e r i c a l   r e s u l t s   s ho w   how   e f f i c i e nt   t he   ne w   a ppr o a c i s   w he c o m pa r e d   w i t h   b a s i c   s i m i l a r   c l a s s i c   m e t h o ds .   Ke y w or d s :   D a i - L i a o   m e t h o d   D a m p i n g   t e c hn o l o g y   G l o b a l   c o n v e r ge n c e   P r o j e c t i o n   m e t h o d   Q ua s i - N e w t o n   c o n di t i o n   T hi s   i s   an   ope n   ac c e s s   ar t i c l e   u nde r   t he   C C   B Y - SA   l i c e ns e .     Cor r e s pon di n g   Au t h or :   R a n a   Z .   A l - K a w a z   D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s   U n i v e r s i t y   of   T e l a f e r   Co l l e ge   o f   B a s i c   E duc a t i o n,   M o s ul ,   I ra q   E m a i l :   r a na . a l ka w a z @ y a h o o . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N     T h e   i s s ue   i n   t h i s   a rt i c l e   i s   t h e   a s s u m pt i o n   o f   f i n d i n g   t h e   v e c t o r   v a l ue   x       ,   i . e .   a s   i n :                               (   )       (1)     W he n                       i s   c o nt i n u o u s   a n d   m o no t o no u s   a n d   s a t i s f y   (   (   )     (   ) )   (       )         .   M e t ho d s   f o r   s o l v i ng   t h i s   t y p e   o f   p ro b l e m   v a ry   w he t h e y   a re   no t   re s t r i c t e d   t o   N e w t o n' s   m e t ho d   a n d   q u a s i - N e w t o m e t ho d s ,   a n d   t he y   a re   p re f e r re d   d u e   t o   t he   c o nv e r g e nc e   o f   t he i l o c a l   l i ne s   t o   t h e   s e c o nd   a n d   l o c a l   l e v e l s .   W he n   d e a l i n g   w i t h   l a r g e - s c a l e   no nl i ne a e q u a t i o ns ,   t he   s o - c a l l e d   C o nj u g a t e   G r a d i e n t   ( C G )   m e t ho d   o f   a l l   k i n d s   i s   e f f e c t i v e   [ 1 - 8 ] .   A p p l i c a t i o ns   a n d   i n no v a t i o ns   c o nt i n u e   a ro u n d   t he s e   t e c h no l o g i e s   t o   t h i s   d a y   [ 9 - 1 1 ] .   T he   m o no t o n i c   e q u a t i o ns   a ro s e   i n   s e v e r a l   d i f f e re n t   p r a c t i c a l   s i t u a t i o ns   f o e x a m p l e   s e e   [ 1 2 ] .   T he   m o s t   i m p o rt a n t   a d v a n t a g e   o f   C G - m e t ho d s   i s   t h a t   t he   d i re c t i o n   o f   t he   s e a rc d o e s   no t   re q u i re   t he   c a l c u l a t i o o f   t he   J a c o b i m a t r i x   w h i c l e a d s   t o   l o w   m a t re q u i re m e n t s   o e a c h   i t e r a t i o n .   L i k e w i s e ,   w he t he s e   m e t ho d s   o v e r l a p   w i t h   t he   p ro j e c t i o t e c h n i q u e   p ro p o s e d   b y   S o l o d o v   a nd   S v a i t e [ 1 3 ]   t o   s o l v e   l a r g e - s c a l e   no n l i ne a e q u a t i o ns   a n d   c o ns t r a i ne d   no n l i ne a e q u a t i o ns   t h a t   s o m e   re s e a rc he rs   h a v e   e x p a n d e d   a s   i n   [ 1 4 - 1 9 ] .   R e c e nt l y ,   m a ny   re s e a r c he rs   h a v e   p re s e n t e d   a r t i c l e s   o ho w   t o   f i n d   t he   s o l u t i o t o   b o t c o ns t r a i ne d   a n d   u nc o ns t r a i ne d   m o no t o ne s   ( 1 )   a n d   g i v e   t he m   a   l o t   o f   a t t e nt i o [ 2 0 - 2 7 ] .   I nc l u d e   t he   i d e a   o f   p ro j e c t i o t h a t   ne e d s   t o   b e   a c c e l e r a t e d   u s i n g   a   m o no t o no u s   c a s e   F   b y   m o no t o ny   F   a n d   l e t t i n g                       ,   t he   hy p e rp l a n e :       H   *         |   (     )   (         )     +   .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   21 ,   N o .   1 J a n u a r y   2021   :     505   -   5 1 5   506   S e pa ra t e s   s t r i c t l y         f r o m   t h e   s o l ut i o s e t   o f   (2) .   T hr o ug [1 3]   w h e r e   t h e   n e x t   i t e ra t i o           t o   b e   t h e   pr o j e c t i o n   o f         o n t o   t h e   h y pe r pl a n e       .   S o ,             c a b e   e v a l ua t e d   a s :                   ,             (     ) -           (     )   (         )   (     )   (     )     (2)                                                                         (     )   (           )   (     )       T h i s   p a pe r   i s   o r ga ni z e a s   f o l l ow s :   In   S e c t i o n   2,   w e   de s c r i b e   t h e   pr o po s e n e w   pr o c e dur e .   S e c t i o n   de r i v e t h e   pe na l t y   pa ra m e t e r s .   G l o b a l   c o n v e r ge n c e   h a s   b e e n   de m o n s t ra t e i n   S e c t i o n   4.   F o r   S e c t i o n   w e   l i s t   n u m e ri c a l   e xpe ri m e n t s   i i t .       2.   O P TI M A L   D A M P ED   D A I - LI A O     T he   re s e a rc he rs   g a v e   D a i   a nd   L i a o   [28]   a   p a r a m e t e w o rt hy   o f   u p d a t i ng   t o   t hi s   t i m e   b e c a u s e   o f   i t s   a b i l i t y   t o   re a c g l o b a l   c o nv e rg e nc e   t hro u g t he   p ro p e rt i e s   o f   p a ra m e t e t ,   w hi c c o u l d   s e t   u s   s o m e   f a i l u re s   re s u l t i ng   f ro m   t he   d e v i a t i o o f   t he   s e a rc d i re c t i o o f   i t s   p a t t o   re a c t he   s m a l l e s t   p o i nt   o f   t he   f u nc t i o n ,   s u c t ha t :                        (               )             ( 3)     L a t e L i a n L i   m o di f i e (3)  by   us i n g   t h e   p r o j e c t i o n   t e c hn i q ue   i n   t h e i r   f o r m u l a   [29] .   T h e   r e s e a r c h e F a t e m i   [30]   p r e s e nt e a   p r e c i s e   m e t h o i de ri v i n t h e   c o n j uga t e   g ra di e n t   p a r a m e t e       by   s e t t i n g   c o n di t i o n s   o n   i t   (t h e   c o n d i t i o n   o f   o r t h o go na l i t y   a n c o n j uga t i o n a n t hr o ug h   t h e   pe n a l t y   f un c t i o n   t h e   r e s ul t s   of   t h e   de r i v a t i o w e r e   l a r ge l y   a pp r o pri a t e   i n   de v e l o pi n g   a   f o r m ul a   f o r   t h e   D a i - L i a o   pa ra m e t e r   a n d   t h e   po s i t i v e   v a l ue   of   t I n   t h i s   s e c t i o n ,   w e   pr e s e nt   a i m p r o v e m e t h o f o r   de r i v i n g   a   p a r a m e t e r         .   T ha t   i s :       (   )                                                 A n d   t a ke       (                 ) ,   t h e   g ra di e nt   o f   t h e   m o de l   i n           ,   a s   a e s t i m a t i o o f           .   It   i s   e a s y   t s e e   t h a t :         (                 )                                 (4)     U n fo r t u na t e l y ,             i (4)   i s   n o t   a v a i l a b l e   i n   t h e   c u rr e nt   i t e r a t i o n,   b e c a us e             i s   u n k n o w n .   T h us ,   w e   m o di f i e (4),   a nd  s e t                                           (5)     W h e r e   t > i s   s ui t a b l e   a pp r o xi m a t i o o f               If   t h e   s e a r c h   d i r e c t i o o f   CG - m e t h o s uc t ha t                                     (6)     A n   e ff i c i e n t   n o n l i n e a r   CG - m e t h o d,   w e   i n t r o duc e   t h e   fo l l ow i n o pt i m i z a t i o n   p r o b l e m   b a s e o n   t h e   pe n a l t y   f un c t i o n:              ,                       , (                   )     (                   )   -         -   (7)     N ow ,   s ub s t i t ut i ng  ( 5)  a n d   (6)   i (7) ,   a n d   us e   t h e   p r o j e c t i o n   t e c hn i q ue   w e   ob t a i n :               [                                     , (                   )                                                             (                           )     (                   )                                                     (                   )   - ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Show   of f   t he   e f f i c i e n c y   of   da i - l i ao   m e t h od  i n   m e r gi ng  t e c hno l ogy   f or   m o not o nous   n on…   ( R an Z .   A l - K aw az )   507   A f t e r   s o m e   a l ge b ra i c   a b b r e v i a t i o n s ,   w e   ge t   t h e   f o l l o w i n f o r m ul a               ,                                                                                                                                                                                                                                                                        -   (8)     W h e r e                 (                       )                 (               )               T o   ge t   a   n e w   pa ra m e t e r   w e   c o n s i de t h e   f o l l ow i n a s s um p t i o n   a s   t h e   h e s s i a a pp r o xi m a t i o           s a t i s f i e s   t h e   e xt e n de d a m pe qua s i - N e w t o n   e qua t i o n   a n w i t h   t h e   i n c o rpo r a t i o o f   t h e   us e   o f   pr o j e c t i o n   t e c hn o l o g y   w e   ge t :                               (               (         )             )                       ̅           (9)     W h e r e           {                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 (10)     A n d         i s   t h e   p r o j e c t i o n   s t e p.   W e   ge t                                     (     (         ̅         )     (               )   )                                                   (     (         ̅         )     (               )   )                           ̅                 ̅                 (     (         ̅         )     (               )   )                                               ̅         (     (         ̅         )     (               )   )             S o ,   t h e r e   a r e   t w o   pos s i b l e   s c e n a r i o s   f o r   t hi s   pa ra m e t e r   s uc t ha t :     Ca s e   I:     i f                                               t h e           a n d     ̅                                                             (           (               )     (               )   )                                                   (           (               )     (               )   )                                                             (           (               )     (               )   )                                                         (           (               )     (               )   )             If                                                                            (               )                   (         )                                         (               )                                     (         ) (               )             (11)     It   i s   i n t e r e s t i ng  t o   i n v e s t i ga t e   t h e   m e t h o w h e       a pp r o a c h e s   i n f i n i t y ,   b e c a us e   by   m a ki n g   t h i s   c oe ff i c i e n t   l a r ge r ,   w e   pe n a l i z e   t h e   c o n j uga c y   c o n di t i o n   a n t h e   o r t h o go na l i t y   pr o pe r t y   v i o l a t i o n s   m o r e   s e v e r e l y ,   t h e r e by   fo r c i n t h e   m i ni m i z e r   o f   (7)  c l o s e r   t o   t ha t   o f   l i n e a r   c o n j ug a t e   g ra d i e nt   m e t h o d.   W e   o b t a i n                                                           (               )                   (         )                                         (               )             (12)     W e   n o t i c e   f r o m   t h e   p r e v i o us   e qua t i o n   t ha t   i t   b e l o n gs   t o   t h e   pa r a m e t e r   c l a s s   fo r   D a i - L i a o   a n t ha t ' s   e xa c t l y   w h e s e t t i ng  m = 0   w e   ha v e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   21 ,   N o .   1 J a n u a r y   2021   :     505   -   5 1 5   508                                                 (         )                                                   (         )             (13a )                                                   (         )                             (13b )     W h e n   c o m pa r e t o   t h e   p a ra m e t e r   D a i - L i a o ,   w e   n o t i c e   t ha t   t he   v a l ue   i s               (         )                     (         -   (14)     Ca s e   II :   i f                                               t h e   ̅                           f r o m   e qua t i o (9)   a n d                   by   p r o j e c t i o t e c hni que ,   m = 0   t o   c o n v e r t   t h e               f o r m   t o                   [                                       (           (             )     (           )   )                                   (           (             )     (           )   ) ]     [                         (           (             )     (           )   )                           (           (             )     (           )   ) ] (15)     If   w e   s ub s t i t ut i n g   e qua t i o n   (9 i n   ( 15)  a n d   us i ng  a l ge b ra i c   s i m pl i f i c a t i o n s ,   w e   o b t a i t h e   f o rm ul a :                         ( ,                                       -                       ,                                       -                                     )   (16a )     i . e .         (     (             )           (           )   )                                                       a n d                                       (         )                             (         )                                     (         )       (         )       A s   w e   t a l ke a b o ut   (     t h e (     w h e n   y o c o m e   c l os e   t o   i n f i n i t y ,   t h e n   w e   us e   t h e   pa ra m e t e r   o m i t t e f r o m   t h i s   l i m i t :                                           ( ,                                       -                       ,                                       - )   (16b )       t o   o b t a i n   b e t t e r e s ul t s   a s   i S e c t i o n   5.       3.   D ER I V I N G   TH P EN A LT Y   P A R A M ETER   T h e   de ri v a t i o n   w i l l   b e   a c c o r di n g   t o   t h e   t w o   n e w   pa ra m e t e r s   de f i n e i n   ( 13)  a n ( 16) ,   w h i c h   w e   w i l l   b e   upda t e by   a c hi e v i n g   t h e   c o n d i t i o n   o f   a   s uf f i c i e n t   de s c e n t   di r e c t i o f o r   t h e   CG - m e t h o a s   s h o w n   b e l ow :     3. 1 .     Le m m a   A s s um e   t h a t   t h e   ge n e r a t e m e t h o (13)   w i t h   l i n e   s e a r c h ,   t h e f o r   a   f e w   po s i t i v e   s c a l a r s                       s a t i s fy i n g                 ,   w e   h a v e :                           (               )             (17)     W h e n       |           |           (           )         (18)                               (         )   (                       )               ;                   i s   a   s c a l a r.   (19)     P r o of :   W e   h a v e   us e (2)   a nd  (13)   t ha t :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Show   of f   t he   e f f i c i e n c y   of   da i - l i ao   m e t h od  i n   m e r gi ng  t e c hno l ogy   f or   m o not o nous   n on…   ( R an Z .   A l - K aw az )   509                                       (           )   ( (               ) (           ) (               )         (         ) (               ) (           ) (               ) )               (         ) (               )   (           )     (20)     s i n c e               i m pl i e s   t ha t                                         (           )   ( ( (                     )           ) (           ) (               ) )                                                                                             (         ) (               )   (           )     (             (         ) )   (           )   (               ) (           ) (               )     N ow ,   us i n t h e   f o l l ow i n g   i n e qu a l i t y:                                  (21)     W h e r e   x,   y   a nd        a r e   po s i t i v e   s c a l a r s ,   w e   ha v e :                                             (           )   ( (                     )           )   (           )                                         (           )       (               )                 (           )   (         ) (               )     (           )               (         ) (               )       L e t               (         )   ,                                         (         )   ( (                     )           )     (           )               (         ) (               )       By   Ca uc h y - S c h w a r z   i n e qu a l i t y   i m p l i e s :                           *         (         )             ( (                     )           )     (           )               (         )       +                                   (               )                       i . e .                                 (         )   (                       )                                                         |           |           (           )             S i n c e   t   i s   a a pp r o xi m a t i o o f   t h e   s t e s i z e ,   w e   us e   t h e   f o l l ow i n u pda t e f o r m u l a :         {                                                                                                        |           |           (           )                   (           )                                                                                                                                   (22)     N ow   t h e   p r o o f   i s   c o m pl e t e d.     3. 2   Le m m a   A s s um e   t h a t   t h e   n e w l y   ge n e ra t e d   m e t h o ( 16)  w i t l i n e   s e a r c h,   t h e n   f o r   a   f e w   po s i t i v e   s c a l a r s                                   s a t i s fy i n                           ,   w e   h a v e :                           (                           )             (23)     W h e n       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   21 ,   N o .   1 J a n u a r y   2021   :     505   -   5 1 5   510   |         |                 (           )                           |         |               (         )     (24)     a n                               (                           )                   &                                       (                           )               (25)                       i s   a   s c a l a r.     P r o of :   W e   s ub s t i t ut i n g   (16 i n   ( 6)  a n d   m u l t i pl y i n g   by             t h a t :                                             ( ,     (               ) (           ) (               )       (               ) (           ) (               ) -                       ,     (       ) (           ) (               )       (               ) (           ) (               ) - )                 (               )                                               ( (                         )           ) (           ) (               )         [           ] (               ) (           ) (               )         ( (                         )           ) (           ) (               )         [           ] (               ) (           ) (               )                 (               )       By   fo l l ow i n g   t h e   s a m e   s t e ps   i L e m m a   3 . 1   w e   ge t :                                             ( (                         )           )     (         )                     (               )           ( (                         )           )     (         )         (         )             (               )       By   Ca uc h y - S c h w a r z   i n e qu a l i t y   i m p l i e s :                           *                                       (         )                                                               (         )         (         )                   +               T h e n,                           (                           )                                 T h e   p r o o f   i s   c o m pl e t e d.     3. 3   A l go r i th m   (P D L - C G [ 29]   G i v e n                                 (       ) ,   s t o t e s t         ,   s e t         .   S t e p1 :     E v a l ua t e     (     )   a n d   t e s t   i f     (     )       s t o p,   e l s e   go   t o   S t e 3 .   S t e p2 :   G e n e r a t e   t h e   s e a r c d i r e c t i o       by   (6)  a n d   h e r e                                                                                                                                                      (                           )     S t o i f                 S t e p3 :   S e t                       ,   w h e r e   t h e   s t e p - s i z e                (       |                     )   i s   de t e rm i n e d   by   t h e   l i n e                             s e a r c h       (               )                       S t e p4 :   If               a n d     (     )       s t o p,   e l s e   c o m put e   t h e   n e xt   po i nt             f r o m   S t e ( 2).   S t e p5 :   L e t               a nd  go   t o   S t e 1 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Show   of f   t he   e f f i c i e n c y   of   da i - l i ao   m e t h od  i n   m e r gi ng  t e c hno l ogy   f or   m o not o nous   n on…   ( R an Z .   A l - K aw az )   511   3. 4   N e w   A l go r i th m   (N D D L - C G ).   S t e p1 G i v e n                             (       ) ,   s t o t e s t         s e t         .   S t e p2 :   E v a l ua t e     (     )   a n d   t e s t   i f     (     )       s t o p,   e l s e   go   t o   S t e p   3.   S t e p 3:   W h e n                           c o m put e           f r o m   (1 9)  a n d   i f             t h e n                 f r o m   (13a e l s e   f r o m   (13b ).   S t e p4 :   W h e n                           c o m put e           f r o m   (2 5)  a n d   i f             t h e n                 f r o m   (16a e l s e   f r o m   (16b ).   S t e p5 :   Co m pu t e         by   (6)  a n d   s t o i f                 S t e p6 S e t                       ,   w h e r e               w i t h       b e i n g   t h e   s m a l l e s t   po s i t i v e   i n t e ge r   m   s uc h   t h a t :       .                 /                           S t e p7 :   If               a n d     (     )       s t o p,   e l s e   c o m put e   t h e   n e xt   po i nt             f r o m   (2) .   S t e p8 :   L e t               a nd  go   t o   S t e p1.       4.   G LO BA C O N V ER G EN C E   In  t h e   p r e v i o us   s e c t i o n ,   w e   ga v e   a   pr e f a c e   t o   t h e   p r o o f   of   c on v e r ge n c e   c o n di t i o n   by   e s t a b l i s h i ng  t h e   pr o pe rt y   of   s uff i c i e n t   de s c e n t   t hr o ug h   L e m m a s   3 . a n 3 . 2 .   N ow   w e   n e e s o m e   a s s um pt i o n ,   t o   b e gi n   w i t h,   t h e   p r o of   of   c o n ve r ge n c e   c o n di t i o n ,   w h i c i s   i l l us t ra t e t h us :     4 . 1 .     A s s u m p ti o n   S uppo s e       f ul f i l l s   t h e   f o l l ow i n g   a s s u m pt i o n s :   a)   T h e   s o l ut i o n   g r o up   o f   (2)  i s   n o n - e m p t y .   b)   T h e   f un c t i o     i s   L i ps c h i t z   c o n t i nuo us ,   i . e . ,   t h e r e   e x i s t s   a   po s i t i v e   c o n s t a nt   L   s uc t ha t :       (   )     (   )                                 (26)     c)       i s   u n i f o r m l y   m o n o t o n e ,   t ha t   i s ,       (   )     (   )                                             c > 0   (27)     4 . 2 .     Le m m [13]   a s s u m e     (   ̅       )   s a t i s f y     (   ̅ )       a nd   *   +   i s   ge ne ra t e d   b y   t h e   ne w   a l go ri t hm   (N D D L - CG )   t ha t   c he c k   L e m m as   3 . 1   a nd   3 . 2 ,   t he             ̅             ̅                       .   S pe c i f i c a l l y ,   i t   i s   *   +   b o u nde d   a nd                                   (28)     4 . 3 .     Le m m a   S uppo s e   *   +   i s   ge n e ra t e b y   t h e   n e w   a l go r i t h m   (N D D L - CG )   t h e n                               (29)     P r oo f:   T h e   s e que n c e   *         ̅ +   n o t   i n c r e a s i ng,   c o n v e r gi ng,   a n d   t hus   c o n s t ra i n e d.   A s   w e l l ,   *     +   i s   b o un de d   a n                               .   F r o m   (2)   a nd  us e a   l i n e   s e a r c h,   w e   h a v e :                       |   (     )   (         ) |   (     )     (     )   |       (     )       |   (     )                     T h e t h e   p r o of   i s   c o m pl e t e d.     4. 4 .     Th e o r e m .     L e t   *     +   a nd  *     +   b e   t h e   s e que n c e s   ge n e r a t e by   t h e   n e w   a l go ri t hm   ( N D D L - CG )   t h e n                             (     )         (30)     P r o of :     Ca s e   I :   If                                 ,   w e   h a v e                           (     )     .   W e   us e   t h e   c o n t i nui t y   of     ,   t h e   s e que n c e   *     +   ha s   s o m e   a c c um ul a t i o n   po i nt     ̅   s uc t ha t     (   ̅ )         S i n c e   *         ̅ +   c o n v e r ge s   a n   ̅   i s   a n   a c c um ul a t i o n   po i nt   o f   *     +     i t   f o l l ow s   t ha t   c o n v e r ge s   t o     ̅       Ca s e   II :   If                                 ,   w e   ha v e                           (     )     .   By   (29),   i t   h o l ds   t ha t                       U s i n t h e   l i n e   s e a r c h:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   21 ,   N o .   1 J a n u a r y   2021   :     505   -   5 1 5   512       (                 )                           a n d   t h e   b o un de d n e s s   o f   *     +   *     +     w e   c a n   c h o o s e   a   s ub s e que n c e   s uc t ha t   a l l o w i n g   k   t o   go   t o   i n f i ni t y   i t h e   a b ov e   i n e qua l i t y   r e s ul t s         (   ̅ )     ̌       (31)     O t h e   o t h e r   ha n d ,   f r o m   (1 7)  a n d   (23)   w e   ge t           (   ̅ )     ̌           (   ̅ )         (32)     F o r   i = 1   a nd   2.   I t   i s   t hr o ug (31)   a n d   (32)   i n di c a t e s   a   c o n t ra di c t i o n.   S o ,   i t   i s                           (     )       do e s   n o t   h o l a n d   t h e   p r o o f   i s   c o m pl e t e .         4.   R ES U LTS   A ND  EX P LA N A TI O N S   In   t h i s   s e c t i o n,   w e   pr e s e n t   s e v e r a l   r e s ul t s   t h a t   e xpl a i n   t h e   i m po r t a n c e   o f   t h e   n e w   a l g o r i t hm   ( NDDL - CG c o m pa r e t o   t h e   s t a n d a r d   D a i - L i a o   ( PDL - CG a l go ri t hm   [20 us i ng  M a t l a b   R 2018b   pr o g r a m   i n   a   l a p t o c a l c ul a t o r   w i t h   i t s   Co r e TM i s pe c i f i c a t i o n s .   T h e   p r o gra m   f i nds   t h e   r e s ul t s   o s e v e r a l   n o n - de ri v a t i v e   f un c t i o n s   t hr o ugh  s e v e r a l   p r i m a r y   po i nt s   i ndi c a t e a s s h o w n   i T a b l e   1 .       T a b l e   1 .   N u m b e r   o f   i n i t i a l   po i nt s   N a m e   o f   V a ri a b l e   N u m b e r           (                     )           (                         )           (                             )           (                             )           (                                 )         T h e s e   a l go ri t hm s   a r e   i m pl e m e nt e f o r   di m e n s i o n s   (100 0,   2000,   5000 ,   7000 ,   12 000) .   T h e   s t o ppi n g   s c a l e   i s     (     )          .   T h e s e   a l go r i t h m s   a r e   di s t i n gu i s h e b y   t h e i pe r f o r m a n c e   i n   ( It e r ):   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n s ,   (E v a l - F ):   num b e r   o f   f un c t i o n   e v a l ua t i o n s ,   ( T i m e ):   CP U   t i m e   i n   s e c o n a n (N o r m ) :   t h e   n o r m   o a pp r o xi m a t i o n   s o l ut i o n.   T h e   t e s t   p r o b l e m s   a r e     (   )   (                           )     w h e r e       (                           )   ,                                                        In f o r m a t i o o f   t e s t   f un c t i o n s   a s   s h o w n   i T a b l e   2.   W i nn e r   w . r . t .   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n s ,   F V A L ,   T I M E   a n N O R M   a s   s h o w n   i n   T a b l e   3 ,   a c c o r di ng  t o   a l l   t h e   i ni t i a l   po i n t s   t ha t   w e   c h o s e ,   s h o w s   t h e   num b e r   o f   t i m e s   t h e   n e w   a l go ri t hm   h a s   s uc c e e de (N D D L - CG )   v e r s us   e a c h   o t h e r   a g a i n s t   (P D L - CG by   r e l y i n o n   t h e   n u m b e r   of  i t e r a t i o n s   a n o n   t h e   n u m b e r   o t i m e s   t h e   go a l   f un c t i o n   i s   c a l c ul a t e a n d   o n   t h e   t i m e   t a ke f o r   e a c i m pl e m e n t a t i o I n   a ddi t i o n   t o   t h e   b a s e   v a l ue .   A s   fo r   T a b l e   4,   i t   r e p r e s e n t s   t h e   t o t a l   i m p l e m e n t a t i o n   r e s ul t s   o f   t h e   ( n e w   (N D D L - CG a n o l (P D L - CG ))   a l go ri t hm s )   f o r   e a c s t a r t i n po i nt   o f   t h e   i ni t i a l   f i v e   po i nt s .       T a b l e   2 I n f o r m a t i o o f   t e s t   f un c t i o n s   [31 - 36]   N a m e   o f   F u n c t i o n s   D e t a i l s   Re fe r e n c e               (   )                 |     |   [3 1 ]             (   )               (     )   [3 1 ]             (   )                 [3 2 ]             (   )      ( |     |     )           [3 3 ]             (   )         (       ( |     |         )         ( |     |         ) )   [3 4 ]             (   )                 (           )             (   )                 (                         )                                             (   )                 (               )         [3 4 ]             (   )                     [3 1 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Show   of f   t he   e f f i c i e n c y   of   da i - l i ao   m e t h od  i n   m e r gi ng  t e c hno l ogy   f or   m o not o nous   n on…   ( R an Z .   A l - K aw az )   513   N a m e   o f   F u n c t i o n s   D e t a i l s   Re fe r e n c e                 (   )                   (   )                           [3 3 ]             (   )   |     |             [3 5 ]              (   )   |     |                     (       )         [3 5 ]              (   )   |         (     )           (     ) |           [3 6 ]              (   )   |     |                 [3 6 ]       T a b l e 3.   W i nn e r   w . r . t .   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n s ,   F V A L ,   T IM E   a nd  N O R M   N a m e   o f   V a ri a b l e   P D L - CG   IT E /   F V A L   /   T IM E   /   N O RM   NDDL - CG   IT E /   F V A L   /   T IM E   /   N O RM         3 5   /   3 5   /   2 4   /   2 6   2 5   /   2 5   /   3 6   /   3 4         2 1   /   2 1   /   1 9   /   2 5   3 9   /   3 9   /   4 1   /   3 5         1 5   /   1 5   /   1 1   /   1 8   2 5   /   2 5   /   3 7   /   2 2         1 5   /   1 5   /   1 1   /   1 6   1 0   /   1 0   /   1 4   /   9         1 5   /   1 1   /   3   /   2 0   2 5   /   2 9   /   3 7   /   2 0   T o t a l   1 0 1   /   9 7   /   6 8   /   1 0 5   1 2 4   /   1 2 8   /   1 6 5   / 1 2 0       T a b l e 4.   T o t a l   o f   f un c t i o n s   f o r   e a c i ni t i a l   po i nt s   N a m e   o f   V a ri a b l e   P D L - CG   IT E /   F V A L   /   T IM E   /   N O RM   NDDL - CG   IT E /   F V A L   /   T IM E   /   N O RM         1 6 5 8   /   3 6 1 2   /   1 4 3 1 . 8 6 5   /   2 . 9 6 E - 07   4 3 1   /   1 1 3 6   /   9 3 1 . 6 9 8   /   1 . 2 6 E - 07         1 7 5 8   /   3 6 1 1   /   2 4 4 1 . 8 6 6   /   2 . 9 6 E - 07   3 8 2   /   9 9 0   /   8 3 5 . 6 4 8 6   /   1 . 1 1 E - 07         1 2 0 1   /   2 6 0 7   /   1 5 8 3 . 8 5 3   /   1 . 5 2 E - 07   3 0 7   /   9 4 5   /   6 8 1 . 3 4 6   /   9 . 7 E - 08         1 3 5   /   6 8 0   /   1 1 9 6 . 5 1 3   /   2 . 6 3 E - 08   7 4   /   1 7 3   /   3 4 7 . 9 7 6 8   /   1 . 6 5 E - 08         1 6 7 8   /   4 9 8 7   /   2 6 7 8 . 2 8 8   /   1 . 8 9 E - 07   2 2 6   /   6 5 2   /   4 5 8 . 5 4 8 5   /   7 . 1 3 E - 08   T o t a l   6 4 3 0   /   1 5 4 9 7   /   9 3 3 2 . 3 8 5   /   9 . 5 9 E - 07   1 4 2 0   /   3 8 9 6   /   3 2 5 5 . 2 1 7 9   /   4 . 2 2 E - 07       U s i n D o l a n   a nd  M o r ´ e   [37]  s t y l e ,   t h e   f o l l ow i n t hr e e   f i gure s   a r e   a l s o   fo r   c o m pa ri s o n   b e t w e e n   t h e   t w a l go r i t h m s   c o n c e rni n t h e   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n s ,   t h e   n u m b e r   o t i m e s   t h e   f un c t i o n   i s   c a l c ul a t e a n t h e   t i m e   i s   t a ke n,   w hi c w e   c a l c ul a t e d   f o r   t h e   po i n t       F i gu r e   1   s h o w s   t h e   e f fe c t   of   t h e   num b e o f   i t e ra t i o n s   o t h e   t w o   a l go r i t hm s   w h e n   s w i t c hi n a n i n c r e a s i n d i m e n s i o n s .   A s   f o r   F i gu r e   2,   i t   i s   c l e a r   t ha t   t h e   n e w   a l go ri t hm   i s   b a s e o n   c a l c ul a t i n g   t h e   num b e r   o f   t i m e s   t h e   t a rge t   f un c t i o n   i s   b e t t e r .   F i gu r e   s h o w s   t h e   a m o unt   of   t i m e   s pe n t   o n   t h e   a l go ri t hm s   us e i n   t hi s   w o r k.   A s   a   c o n c l us i o n,   t h e   f i gur e   s h o w s   us   t h a t   t h e   n e w   a l go ri t hm   i s   m o r e   e f f i c i e n t   w h e c o m pa r e t o   t h e   o l a l go r i t hm .           F i gu r e   1 .   P e r f o r m a n c e   o f   t h e   t w o   a l go r i t hm s     w . r . t .   (It e r )           F i gu r e   2 P e r f o r m a n c e   o f   t h e   t w o   a l go r i t hm s     w . r . t .   (E v a l - F)       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   21 ,   N o .   1 J a n u a r y   2021   :     505   -   5 1 5   514       F i gu r e   3 P e r f o r m i n g   t h e   t w o   a l go ri t hm s   w . r . t .   ( T IM E )       5.   C O N C LU S I O N   F r o m   t h e   r e s ul t s   w e   c o n c l ude   t ha t   t h e   n e w   a l go r i t h m   (N D D L - CG i s   m o r e   e ff i c i e n t   t ha n   t h e   o l a l go ri t hm   (P D L - CG us i n m o s t   of   t h e   i n i t i a l   v a l ue s   w h e n   c o m pa r i n i t s   pe r f o r m a n c e   i n   c ha n g i n g   di m e n s i o n s .   W e   a l s o   n o t i c e   t hr o ug h   t h e   t hr e e   d ra w i n gs   p r e s e nt e i t h e   e v a l ua t i o n   o f   pr e v i o us   r e s ul t s   t ha t   t h e   e ff i c i e n c y   of   t h e   n e w   a l go r i t h m   i n c r e a s e s   w i t h   t h e   i n c r e a s e   i n   t h e   num b e r   o f   di m e n s i o n s   a n s t a b i l i t y   a ppe a r s   i n   s o m e   o f   t h e   r e l e v a n t   r e s ul t s   by   c a l c ul a t i n t h e   go a l   f un c t i o n,   a nd  t h e r e f o r e   t h e   a dd i t i o n   t o   t h e   n e w   a l go ri t hm   (w h i c h   c o n t a i n s   t h e   pa ra m e t e r   o f   t h e   pe n a l t y   f un c t i o n m a ke s   t h e   n e w   a l go r i t hm   m o r e   a pp r o p r i a t e   t h a t h e   a l go r i t hm s   O t h e r s   a r e   i n   t h e   s a m e   f i e l o f   w o r k.       A c k n o w l e d gm e n ts     T h e   r e s e a r c h   i s   s uppo r t e by   t h e   Co l l e ge   of   Co m put e r   S c i e n c e s   a n M a t h e m a t i c s ,   U n i v e r s i t y   of  M o s ul ,   a n Co l l e ge   o f   B a s i c   E duc a t i o n,   T e l a f e r   U n i v e r s i t y ,   R e pu b l i c   of   Ir a q.   T h e   a u t h o r s   de c l a r e   t ha t   t h e r e   a r e   n o   c o n f l i c t s   o f   i nt e r e s t   r e ga r d i n g   t hi s   w o r k.       R EF ER EN C ES   [ 1]   J .   B a r z i l a i   a nd  J .   M .   B o r w e i n ,   T w o - po i nt   s t e s i z e   g r a d i e n t   m e t ho ds ,   I M A   J o ur n al   o f   num e r i c a l   an al y s i s v o l .   8 no .   1,   pp.   1 41 - 148 1988 .   [ 2]   J .   E .   D e n ni s   J r   a n R .   B .   S c hna be l ,   N um e r i c a l   m e t ho ds   f o r   unc o ns t r a i ne o pt i m i z a t i o a nd  no nl i ne a r   e qu a t i o ns ,   SI A M ,   v o l .   1 6,   19 96 .   [ 3]   R .   Z .   A l - K a w a z ,   A v e r a g e   C o nj ug a t e   G r a di e nt   M e t ho W i t O p t i m um   R e s t a r t   P o w e l l   F o r   N o nl i ne a r   F unc t i o n,   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   C om put e r   Sc i e nc e   a nd  I n f or m at i on   Se c u r i t y   ( I J C SI S) ,   v o l .   16 ,   no .   8 ,   201 8 .   [ 4]   A .   Y .   A L - B a y a t i   a nd  R .   Z .   A L - K a w a z ,   T w N e w   E xt e nde P R   C o nj ug a t e   G r a d i e n t   M e t ho ds   f o r   S o l v i ng  N o nl i ne a r   M i n i m i z a t i o P r o bl e m s ,   J our na l   o f   E du c at i o a nd   Sc i e nc e v o l .   27 ,   no .   3,   pp .   71 - 96 2 018 .   [ 5]   E .   T .   H a m e d,   H .   I .   A hm e d,   a nd  A .   Y .   A l - B a y a t i ,   A   N e w   H y br i A l go r i t hm   f o r   C o n v e N o nl i ne a r   U nc o ns t r a i n e d   O pt i m i z a t i o n,   J o ur n al   o f   A ppl i e M a t he m at i c s ,   20 19.   [ 6]   H .   I .   A hm e d,   R .   Z .   A l - K a w a z   a nd  A .   Y .   A l - B a y a t i ,   S pe c t r a l   T hr e e - T e r m   C o ns t r a i n e C o nj ug a t e   G r a d i e n t   A l go r i t hm   f o r   F unc t i o n   M i n i m i z a t i o ns ,   J ou r na l   of   A p pl i e M a t he m at i c s ,   2019 .   [ 7]   E .   T .   H a m e d ,   R .   Z .   A l - K a w a z   a nd   A .   Y .   A l - B a y a t i ,   N e w   I nve s t i g a t i o f o r   t he   L i u - S t o r y   S c a l e C o nj ug a t e   G r a d i e n t   M e t ho f o r   N o nl i n e a r   O p t i m i z a t i o n,   J o ur n al   o f   M a t he m a t i c s ,   2 020 .   [ 8]   A .   Y .   A l - B a y a t i   a nd  M .   M .   M .   A l i ,   N e w   m u l t i - s t e t hr e e - t e r m   c o nj ug a t e   g r a di e nt   a l g o r i t hm s   w i t i ne x a c t   l i ne   s e a r c he s ,   I n done s i an  J ou r na l   of   E l e c t r i c al   E ng i ne e r i n and  C o m put e r   Sc i e nc e v o l .   19 ,   no .   3,   pp .   1564 - 15 73 2020 .   [ 9]   A.   A .   A l - A r bo a nd  R .   Z .   A l - K a w a z ,   I m pl e m e n t a t i o o f   c o m bi ne ne w   o pt i m a l   c uc koo   a l g o r i t hm   w i t a   g r a y   w o l f   a l g o r i t hm   t o   s o l v e   unc o ns t r a i ne o p t i m i z a t i o no nl i n e a r   pr o bl e m s ,   I n done s i an  J our na l   of   E l e c t r i c a l   E ngi ne e r i n and   C om pu t e r   Sc i e nc e v o l .   19 ,   no .   3,   pp .   1 582 - 158 9 2020 .   [ 10]   R .   Z .   A l - K a w a z ,   A .   Y .   A l - B a y a t i ,   M .   S .   J a m e e l ,   I nt e r a c t i o be t w e e u pda t e F R - C G   a l g o r i t hm s   w i t o pt i m a l   C uc koo   a l g o r i t hm ,   I ndone s i an   J o ur n al   o f   E l e c t r i c al   E n gi ne e r i ng  a nd  C om put e r   Sc i e nc e ,   v o l .   19 ,   no .   3,   20 20 .   [ 11]   R .   Z .   A l - K a w a z ,   H .   I .   A hm e d,   a nd  A .   Y .   A l - B a y a t i ,   A e f f i c i e nt   m o di f i e C uc koo   s e a r c o pt i m i z a t i o w i t t he   r a t i o na l   ba r r i e r   f unc t i o n . ",   I nt e r n at i on al   J ou r na l   o f   M at he m at i c s   a nd  C om pu t e r   A pp l i c a t i ons   R e s e ar c ( I J M C A R ) v o l .   8 ,   no .   5,   p p.   13 - 24 201 8.   [ 12]   J .   M .   O r t e g a   a nd  W .   C .   R h e i nbo l d t ,   I t e r a t i v e   s o l ut i o o f   no nl i ne a r   e qu a t i o ns   i s e v e r a l   v a r i a b l e s ,   SI A M ,   v o l .   30,   1970 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.