TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.7, July 201 4, pp . 5420 ~ 54 2 9   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i7.527 0          5420     Re cei v ed  De cem ber 1, 20 13; Re vised  F ebruary 23,  2014; Accept ed March 1 5 , 2014   Study of Additive Dither on Restraining Signal  Truncation Error      Tao Liu*, Shulin Tian, Zhigang Wa ng, Lianping Gu o  Schoo l of Auto mation En gi ne erin g, Unives ity of  Electro n ic  Scienc e an d T e chn o lo g y  of C h in a   Xi yu a n  Ave, W e st Hi-T e ch Z one, Ch e n g du, P.R.Chin a, 86- 28-6 183 13 18   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : liutao p rivate @gmai l .com       A b st r a ct   Ow ing to th e l i m ite d  c a lcu l ati on  precis io n d u r ing  di gital  si gn al  process i n g , the  inter m e d i a te stag es ’  sign al-b it-w idth truncati on s h o u ld  be  exec ute d  to re ali z e  th e  conv ersio n  fro m   hig h  pr ecisi o n to l o w  on e. A s   meth od  of d i re ct truncatio n w ill  deg en erate t he S puri ous Fr eeDy n a m ic Ra nge (SFD R) p e rformanc e of  th e   output si gn al, this pa per pr o pose d   that a d d itio nal  dig i tal  dither sh ou ld  be a dde d b e f ore op eratio n  of  truncatio n, w h i c h cou l d  decl i ne the  har mon i c distorti on  efficiently  an d ex tend th e dyn a m ic r a n ge of t h e   truncated  sig n a l si gn ificantly . T w o simu lat i ons f o r tr unc ation  op erati o n tow a rds s i g nal w i th  ad diti ve   Gaussia n  d i th er a nd  un ifor m  dith er ar e  carried  o u t to  prov e the  va lidity  of the  p r opos ed  meth od.   Co mp arative st udi es de mo nstrate t hat the propos ed al gor ithm a p p lie d in   Gaussia n  dithe r ing a nd un ifor m  dither ing co ul d improve th e ou tput SF DR perfo rmanc e by ab out 16dB  and  1 5dB resp ective ly.     Ke y w ords : dig i tal dith er, truncation err o r, precisio n conv er sion, SF DR         Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  With the  intro ductio n  of  ad vance d  Fiel d  Pr ogramma bl e Gate  Array  (FPGA) archit ectures  whi c h provid e built-in Di gi tal Signal Proce s sing (DS P ) sup port  such a s  em be dded multipli ers,  block RAM s   DSP blocks a nd so o n , a n e w ha rd wa re alternative  is available  for DSP  desi gne rs  who  ca n get  even hig her l e vel of  pe rformance tha n  those a c hiev a b le on  gen eral pu rpo s e  DSP  proc es sors  [1]. In order to   redu ce  the  cost of  ha rd wa re  while   in cr e a sin g  t h r oug h put  r a t e s,  m o st  digital FPGA  implem entat ions of  sign a l  algo rith m s  rely solely o n   fixed-p o int   app roximati ons,  su ch  as fre q uen cy mixing , sign al d e ci mation,  a nd f iltering  and   so on.  The  in evitable p r obl em  cau s e d  by fix-point calcula t ion is the growth in  bit wi dth. Especi a ll y after multistage calculati on,  the increme n t of bit width of final output  data, co mp a r ed to that of  origin al input  data, turns  o u t  to be very consi derable.  Whe n  the lat t er stag es’  al lowa ble p r o c essing bit  wi dth tend s to be   sho r t, we  ne ed to tra n sfo r m the p r evio us  stage s’  ou tput bit width  into some  e x tent in ord e r to   accomm odat e the width re quire m ent of the latter stag e.   The strategie s  for bit-wi dth  conversio n  c an be ro ughl y categori z e d  into two gro ups [2].  The first on e  is basi c ally  an analytical approa ch  co ming from th ose al gorith m  desig ne rs  who  analyze the finite word len g th effects du e to m antissa  processin g  a r ithmetic. The  other app ro a c h  is b a sed  on  b i t-true  simul a tion o r igin atio n from  t he  ha rdware d e si g ners. Th e a n a lytical a ppro a ch   started   from attempts  to model  q uanti z ation erro r statistically; then it wa s  exp ande d to spe c ific  linear time in variant  (LTI)  system s  su ch a s  digital   filters, FF T, et c. In  the  pa st three  de ca d e s,  nume r ou s  pa pers  have  be en d e voted to  this  app ro ach [2-5]. The  b i t-true  sim u lat i on m e thod  h a s  been  extensi v ely used  re cently [6-8]. Its pote n ti al b enefits lie  in  its ability to  handl e no n-L T I  sy st em s  a s  well  a s  LTI  sy st em s.   W h at ev er , the a f oreme n tione d two  app ro ach e s  have  the  simila rity of handli ng a n d  analy z ing  d a ta influen ce  at the o u tpu t  port of  som e  certain  sta ge.   While thi s  pa per p r op oses a new  way,  which tend s to firstly introdu ce some  differen c e (i. e .  digital dithe r   the belo w  m entione d, co mpared to  an alog dith er i n  ADC-optimi z ing field [9]) into  the input port of some ce rtain pro c e s si ng uni t and then execute mantis sa p r o c e ssi ng at the  output p o rt.  There a r e  m a inly two  typ e s  of ma ntissa  processin g : trun catio n  and  roun d  to   nearest. Rou nd to nea re st  employs a n   extra add er  f o r the roun di ng ope ratio n , while tru n cation   dire ctly chop s the bits lowe r than req u ire d  lest  signifi cant bit, which  is the main type we co ncern  in this pap er.  Mantissa pro c e ssi ng towa rds m u lti- bit d a ta, is a tran sform a tion p r oce s s from hi gh   quanti z ed p r eci s ion to lo w one.  Due t o  the red u cti on in qu antization width, t r un cation  error is  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Study of Addi tive Dithe r  on  Rest rainin g Signal Tru n cation Erro r (T ao Liu)  5421 arou se d, which le ad s to t he noi se  pea k in th e outp u t spe c trum  cau s e d  by ha rmoni c di sto r tion,   and re du ce s the sp urio us fr ee dynami c  range (SF D R).    Sampling o p e ration  of ADC can al so b e  co ns i dered  as a tran sfo r mation  pro c ess from  high  qua ntized p r e c i s ion  to lo w  pre c isi on.  Dithe r  tech nolo g y  [10-14]  aim s  to redu ce  t h e   quanti z ation  effect of anal og-to -digital  conver to r and i m prove the S F DR  perfo rm ance drasti ca lly,  mainly by mean s of addi ng ran dom  noise into  ADC in put sig nal. Based  on the dithe r ing   prin ciple, thi s  pape r mai n ly dra w s digital  dither  i n to a nalysi s  of tru n catio n  erro r  and  con d u c t the  study of re straining tru n cation error. In  orde r to  improve the harm onic di stortio n  cau s e d  by bit- width trun cati on, we nee d to add app ro priate rando m noise into  the pre - trun cated sig nal with  long bit-width  before t r un cation ope rati on is ex e c ut ed. The p r op ose d  metho d  works in p u r e  digital domai n, which will  be easily a nd efficient ly  applied to most of the digital pro c e s sing  sy st em s.       2. Trunca t ion Error Anal y s is  Gene rally sp eaki ng, erro r  sou r ces in di gital  sy st e m s  mainly  co me  f r om t he f o llo wing t w o   asp e ct s: 1 )   Quanti z ation   error expo rte d  by A DC;  2) Tru n cation  e rro r int r od uce d  by finite  word   length effe ct. For o p tion s in whi c h the  circuit  stru ct ure is fixed, it is imp r a c tical  to redu ce A D C’s  quanti z ation  error. As a re sult, trun catio n  error be co mes the maj o r target ne edi ng re solved.   Digital sig nal   processing  is  b a sed on   a  se rie s  of  algo rithm,  who s e  comp utational  accuracy d e termin es the  a c cura cy  of the final output  result. In orde r to obtain hig her p r e c isi on  in  field prog ram m able gate  a rray (FP G A), the bit-wi dth allocated in i n terme d iate stage s tend s to be   longe r tha n  t hat in  the fin a l result. For  instan ce,  mo st of  digital  si gnal  cal c ul ation in  FPGA   are  develop ed in  fixed-poi nt  arithmeti c , which  mea n s  the op era n d s  are  all i n te gers. Th e  whole   cal c ulatio n p r oce s s al way s  co ntain s  a  seri es of  st eps, such as multiplicat io n, filtering,  sig nal  comp re ssing  and  so o n , whi c h  will ab solutely in cre a se th e effici ent bit-wi dth  of interme d ia te   results. T a ke  a loo k   at the  logi c resource of  FFT  IP core  within  AL TERA seri es’  FPGA, wh ose  longe st a c cepta b le i nput bit-wi dth is  2 4 -bits. After op eration such  as  quanti z ation 、、 mixing filtering an d so o n , signal, wh ose bit- width  is mostly long er than 24 -bit s, is  sent to  the i nput p o rt of t he IP core.  Then,  red und ant bits shou ld be  cut  so   as to  satisfy  the   requi rem ent.   A ssu me  () x n  is the final outp u t signal  with  effective bit  width of A after a se rie s  of  cal c ulatio n, and  () yn  is  the trunc a ted s i gnal with effec t iv e bit width of  B. Executing fix-pointed   cal c ulatio n in  FPGA, the   most  simpl e   and  also the   easi e st  meth od fo r trun cat i on i s  di sca r d i ng   the lowest  ce rtain bit s  dire ctly. Let  () zn  re prese n ts the  di scard ed  error sign al with  b i t width of  A-B, then, we  get the following e quatio n:    () () 2 ( ) AB x ny n z n                                         (1)    Let  () j X e 、 () j Ye  and  () j Z e  represent the Di screte  Fouri e r T r an sform a tion   (DF T ) of  () x n 、 () yn  and  () zn  resp ect i vely. Accord ing to the linear  pro pert y  of Fourier  Tran sfo r m, we can g e t:    00 () 2 ( ) ( ) jA B j n j n nn X ey n e z n e                                   (2)    Whi c h mea n s ,     () 2 ( ) ( ) jA B j j X eY e Z e                             (3)    Equation  (3) i ndicates th at, in the case o f  relevant  spe c trum  pa ram e ters (e.g. SF DR) of   () x n  unde r  ce rtai n, the spe c trum qu ality of trun cated  si gnal  () yn  is affe cted  by trun cation   error  () zn .  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5420 – 54 29   5422 As mentio ne d above,  () yn  is achi eved  by disca r din g  the lo we st A-B bits of  () x n .  Signal co nstructed by the  discard ed A-B bits is call ed  () zn , then,  () x n  and  () zn  b e c ome  establi s h ed a s :    () () ( m o d 2 ) A B zn x n                               (4)    As  sho w n  in  Equatio n (4), symbol  ‘mo d ’  represents the  co ngrue nce  op erat or,  whi c h   mean s the  remaind e r  achieved by  () x n  d i viding  2 AB . As sume  1 () [ 0 , 2 ] A xn m  , then  Equation (4) i s  equival ent with the follo wing formula:     () ( m o d 2 ) A B zm m                                   (5)    Equation (5 ) means retai n ing the lowest  A B  bits of  m . Let  21 AB  , then   Equation (5)  can b e  de scri bed a s  Figu re  1.    m 1 () zm 1   Figure 1. Fun c tion of Tru n cation Erro r      Having  a  clo s e-up  view o f  Figure  1, it is not  difficu lt to find th at, the tru n cation e r ro r  function   () zm  has  the si milar p r operty  with A DC’ s  qua ntiz ation e r ror,  e s pe cially th e  perio dicity  and linea rity.  The differen c e lies in that,  () zm  is a periodi c discrete lin ea r function, wit h  a perio d   of  12 AB N  . Such p e ri odicity of the  truncation e r ror  () zm  is refle c te d in the h a rm oni c  on the output  spe c tru m , wh ich will d egen erate the  spe c trum q uality after trun catio n .      3. Dither Pri n ciple  Dither i s  a ki nd of rando m jitter signa l, wh ich is completely ind epen dent wit h  ADC’ s  analo g  inp u t sign al, [15]. Harmoni c ma y come  from ADC’ s cohe rent  sa mpling,   quanti z ed n o ise   and p e rio d icit y of differential nonlin ea r  error, w ho a r e created  by the existed  certain  releva nce   among  sam p ling, quanti z a t ion and in pu t waveform, [ 16]. Dither i s  just empl oyed in orde r to  damag e the  relative fixed relation ship. A dding  dit her i n to ADC’s i n put sig nal a n d  wipi ng off t h e   noise at the  output port  with digital  methods, th e SF DR  will be im proved.  The operation princi ple   is as  sho w n i n  Figure 2. From the view of amp litude , the additive dither can b e  cla ssifie d  into   dither with hi gh amplitud e  and low am plitude. Wh il e from the view of freque ncy, the addi tive   dither  can b e  classified int o  wide ban d d i ther  and  narrowb and dith e r . Applicatio n  occasi on s var y   with different  kind s of dithe r .        Figure 2. Prin ciple of Dith er    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Study of Addi tive Dithe r  on  Rest rainin g Signal Tru n cation Erro r (T ao Liu)  5423 The p r in ciple  of dithe r   sho w n i n  Fig u re   2 involve s  A D C an d its  relevant a nalo g  ci rcuit  desi gn, which  is not that e a s y to implem ent in a  fixed digital  sy stem .  That’s why we  n eed a  ki nd   of pure digital  method to re strain trun cati on er ror, i.e. this pa per  refe rre d digital dit her.       4. Dither -ba s e d Res t rain ts of Trunc ati on Error   Similar  with  ADC’ s q uanti z ation  pri n ci p l e, tr un cation  towa rd s lo n g  data  bit-wi dth is a   transfo rmatio n pro c e s s fro m  high q uant ization  pre c i s ion to lo w p r eci s ion.  Duri ng the p r o c e ss,   detailed info rmation bet ween two  adj ace n t sam p l e  point de crease with th e red u ctio n of  quanti z ation  step s, whi c h  leads to the  fact t hat co ntinuou sly variable d e tails among  seve ral  sampl e  poi nt  of the high  preci s ion  sig nal  turn in to  a flat step  witho u t any variati on. Mea n whil e,  harm oni c dist ortion is int r o duced an d SFDR i s  de cre a se d, [17, 18].  Among  th e rang e of  () [ 0 , 2 1 ] A xn m  , t r unc a tion error  () zm  is a di screte  sa wtooth wa ve  functio n  with  peri od of N.  When   [0 , 1 ] mN ,  () zm m . Thus the  N-p o in t  Fouri e r Seri e s  of  () zm  is listed  as:     0 11 (2 / ) 00 () NN jk m j kN m kk kk zm a e a e                               (6)    Coeffici ent  k a  in the Fourie r Serie s  expression Equation  (6) i s :    0 1 0 1 (2 / ) 0 / 1 () 1 c o s( 2 / ) 1 sin( 2 / ) 2[ 1 c o s ( 2 / ) ] 2s i n ( / ) N jk m k m N jk m N m jk N am ze N m e N kN j k N kN je kN                               (7)    Fouri e r transf o rmatio n exp r es sio n  of pe riodi cal  sign a l   () zm  within on e perio d can b e   obtaine d from  Equation (7 ).    / 1 0 2 () ( ) si n ( / ) jk N N j k ek Ze j kN N                            (8)    Whe n   k  value is small,  the amplitud e-fre que ncy  cha r a c teri stic function ca n be   descri bed a s :     2 () ( ) j k Nk Ze kN                               (9)    What  can  be  dedu ce d fro m  Equation  (9) is th at, variation of ha rmonic  amplit ude h a s a  inverse ratio t o  the valu e of   k , and atten u a tes  slo w ly. In order to rap i dly attenuate  the ha rmo n ic  amplitude   in the  tru n catio n   e rro r, we p l an  to add   ra ndom   noi se  with width of  A B  bits into  sign al  () x n  before trun catio n   operation i s   execute d .  Th e ad ded  ra nd om noi se  is the  so-call e d   dither di scussed in thi s  pa per. Wi dth of dither  i s  ba se d on the follo wing  con s id e r ation: 1)  Over- high amplitude will int r o duce floor-noi se-ri sing  of  () yn ; 2) Und e rsi z e a m plitude i s  in adeq uate  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5420 – 54 29   5424 for ch angin g   the step -characteri stic of  () yn . The additive  dither with  A B  bits sh ould n o t  affect the floor-noise, but will well  change the step-cha racteri s tic of   () yn .  As dithe r  i s   a  statisti c  sign al, we  ne ed t o   re present t r un cation  e r ror  with m a th ematical  expectatio n . Let  si gnal   d  indicates the   additive dith e r , an d  [0 , 2 1 ] AB dZ  , wh ere  Z   rep r e s ent s the set of integers, which mean s  d  is a discrete  ran dom  variable. Assume the ne w  truncation e r ror is  () zm , then:     1 0 () [ ( ) ] () ( ) N l zm E z m d zm l p l                           (10)    In Equatio n (10),  2 AB N , and   () pl  is  the di strib u tion fun c tion  of  rand om va ria b le  d ,  and:     () { } pl P d l                                      (11)    Equation (10 )  ca n be reckon ed a s  the   cro s s-co rrel a tion functio n  of signal  () zm  and   distrib u tion fu nction  () pl . The freque ncy-dom ain expre s sio n  can b e  writt en as:     () ( ) () jj j Z eZ e P e                                  (12)    In the followi ng analy s is,  dither  with G aussi a n  dist ri bution an d u n iform di strib u tion are  introdu ce d to demon strate the re strai n t on truncation e rro r.     4.1. Gaussia n  Dither  Res t rains Tru n c a tion Error   Whe n  dithe r  i s  a di screte signal  with Ga ussian  distri b u tion [19], we  need to  wo rk out the  distrib u tion fu nction of Equ a tion (11 ) , i.e.  () pl .  Assu me the  continu o u s  rando m variable  () dt  obeys Gaussia n  d i stributio n, with   averag e valu e of   and variance of  2 , i.e.   2 () ( , ) dt N . Suppose  () dt  an d  d abide by  the relation sh ip as:     () dd t                                    (13)    () dt    mean s th e b i gge st intege r not g r eate r  t han  () dt , then  () pl  can b e  a c hiev ed  from the follo wing e quatio n:    2 1 2 1( ) ( ) e xp[ ] 2 2 l l t pl d t                          (14)    The Fou r ie r transfo rmatio n of () pl  is  () j Pe , and:    1 0 2 1 1 2 0 () ( ) 1( ) ex p [ ] 2 2 N jj l l N l j l l l Pe p l e t dt e                             (15)    The amplitu d e -fre que ncy chara c te risti c  is:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Study of Addi tive Dithe r  on  Rest rainin g Signal Tru n cation Erro r (T ao Liu)  5425 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 2 0 1( ) () e x p [ ] 2 2 1( ) e xp[ ] 2 2 1( ) e xp[ ] 2 2 1( ) ex p [ ] 2 2 N l j jl l l N l j l l l N l l l N t Pe d t e t dt e t dt t dt                            (16)    Let  2 2 0 1( ) e xp[ ] 1 2 2 N t Qd t   , whe r e v a lue  of  Q  indicates th e a r e a  amo n g   the ran ge of  [0 , ] N  below the probability density plot of  () dt . Value of  Q  will diminish, as  var i anc e   2  increa se s.  B e ca use  () 1 j Pe Q ,  () j Pe  will diminish  with the increase  of  2 . Thus, wh at can b e  inferre d  from Equati on (12 )  is:     () ( ) () () () ( ) jj j j jj Ze Z e P e Ze Q Z eZ e                                       (17)    Equation  (17 )  tells u s  that, becau se of t he influe nce   of Gau ssi an  dither, the h a rmoni c   amplitude  in t r un cation  e r ror  spe c trum i s   smalle r th a n  that  without  Gau s sian  dit her. M ean whi l e,  the harm oni c amplitude will decrea s e  si gnifi cantly with the increase of  2 , whic h effic i ently   illustrates dither’s  restraint on  truncation error.     4.2. Uniform  Dither  Res t r a ins Trunc ation Error  Whe n  the  ad ditive dithe r  i s  a  u n iform   distrib u ted  si gnal  and   [0 , 1 ] dN Z , the  distrib u tion fu nction  () pl  ca n b e  achieved  a c cordi ng to t he  definitio n of  uniform di stributio n ,   [20].    1 () { } pl P d l N                             (18)    Execute Fou r ier tran sform a tion towa rd s Equation (1 8 ) :     1 0 1 0 () ( ) 1 1 (1 ) N j jl l N j l l jN j Pe p l e e N e Ne                               (19)    Then, the am plitudefre que ncy ch ara c te ri stic of the tru n catio n  error i s :  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5420 – 54 29   5426 2/ 2/ 2 2/ () ( ) () 21 () (1 ) 12 () (1 ) 12 () (1 ) 12 () (1 ) 0 jj j jN j k jN j k jk N N jk N k jk jk N k Ze Z e P e Nk e kN N e ek ke N ek ke N ek ke N                                (20)    In actu al  ca ses, b e cau s e  of the finite l ength  effect  of uniform di stribute d  dith er, the   occurre n ce p r oba bility of e a ch  point i n   Equation  (18 )  turn s n o t out  to be  always the same  an d   exists  a  cert ain differen c e from  the i deal valu e o f   1/ N . As a  re sult, the a c tu al value  of  () j Z e  will not equal to zero, but  only be close to  zero. Any how, what can be inferred from   the above an alysis is that  uniform distributed dith e r  also ha s the ability to restrain trun catio n   error effe ctively.      5. Simulation and Verific a tion   A ssu me  () x n  is a sine sig nal with bit-width o f   14 A  bits. The sample -rate i s  1MSPS  and f r eq uen cy stand s at  170 kHz.  Widt h of  sig nal  () yn   obtaine d afte r truncation  i s   10 B .  Then the wi dth of truncation error  () zm  is 4 A B .  Firstly, add a  Gau ssi an dit her  with wi dth of 4 bits int o  sig nal  () x n . C o mp a r is on  c har t in   time-dom ain  and fre quen cy-domai n of the trun catio n  erro r  () zm  of signal witho u t dither an d  () zm  of signal with  dither ca n be  sho w n in Fig u re 3 an d Fig u re 4.           Figure 3. The  Time-do m ain  Compa r i s on  of  Trun catio n  Error  without an d with Gau s si an  Dither  Figure 4. The  Frequ en cy-d omain Comp arison  of Trun cation  Erro r witho u t  and with G a u ssi an Dith er      Figure 3 tell s  the fact that  waveform of t r un cation   error without Ga ussian dithe r  in  time- domain appe ars obviou s  perio dicity,  which  le ad s  to  the harm oni c disto r tion in  the spe c tru m  in  Figure 4. The influence  caused by  harm onic  distortion of truncation  error is that, it will introduce  a redu ndant   pea k  sign al i n  the  spe c tru m  of trun cate d si gnal   () yn . Performan c e  of  SFDR go es  0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 T r unc at i o n   er r o r  w i t h out  G aus s i an di t her 0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 T r unc at i on er r o r  w i t h  G aus s i an di t her 0 50 100 150 200 250 300 350 400 45 0 500 - 150 - 100 -5 0 0 F r equenc y / k H z A m p l i t ude / d B Er r o r  s pec t r um   w i t hout  G aus s i an di t her 0 50 100 150 200 250 300 350 400 45 0 500 -8 0 -6 0 -4 0 -2 0 0 F r equenc y / k H z A m pl i t u de/ d B Er r o r   s pec t r um  w i t h  G aus s i an di t her Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Study of Addi tive Dithe r  on  Rest rainin g Signal Tru n cation Erro r (T ao Liu)  5427 worse  owi ng  to the mentio ned influe nce .  With addi tive dither, the  perio dicity is  damag ed, wh ich   help s  de cre a s e the ha rm onic di stortio n  and incre a s e SFDR of  signal  () yn , as sho w n in     Figure 5.        Figure 5. The  Frequ en cy-d omain Comp arison of  Tru n cate d Signal  without and  with Gau s sia n   Dither      It can be infe rre d from Fi g u re 5 th at, SFDR  of trun cated si gnal  with additive G aussia n   dither in crea ses ab out 16d B.  Put another  two si gnal  wi th freque ncy  of 110kHz  and 27 0kHz  in  () x n , and ad d   a   uniform dithe r  with 4-bit s , then, the time -do m ain an d freque ncy - domain  comp arison s of  () zm   and  ' () zm  are described in Fi gure 6 and Figu re 7 respe c tively.            Figure 6. The  time-domai n Comp ari s o n  of  Trun catio n  Error  without an d with Unifo r m  Dither  Figure 7. The  Frequ en cy-d omain Comp arison  of Trun cation  Erro r witho u t and with  Unif orm  Dither      Same as wha t  demonstrate s  in Figure 3, Figur e 6 sho w s that the a dditive uniform dither   damag es  sig nal’s p e ri odi ci ty, which hel p s  in cre a se SF DR  of trun cat ed si gnal  () yn , as sho w n in   Figure 8.  0 50 100 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0 - 150 - 100 -50 0 X :  230 Y :  - 76.56 F r eq uen c y / k H z A m pl i t ude/ d B Sp ec t r u m   w i t h ou t  G a u s s i an  dit h e r 0 50 100 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0 - 150 - 100 -50 0 F r eq uen c y / k H z A m pl i t u d e/ dB S p e c tr u m  w i th   G a u ssi a n  d i th e r 0 100 200 30 0 400 500 600 0 5 10 15 T r un c a t i on er r o r   w i t hout  uni f o r m  di t h er 0 100 200 30 0 400 500 600 0 5 10 15 T r unc at i o n   e r r o r  w i t h  uni f o r m  di t her 0 50 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0 -1 50 -1 00 -5 0 0 F r equ en c y / k H z A m pl i t ud e/ dB E r r o r  sp e c tr u m  w i th o u t u n i f o r m  d i th e r 0 50 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0 -1 00 -5 0 0 F r equ en c y / k H z A m p l i t u de/ dB E r r o r  sp e c tr u m  w i th  u n i f o r m  d i th e r Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5420 – 54 29   5428     Figure 8. The  Frequ en cy-d omain Comp arison of  Tru n cate d Signal  without and  with Unifo r m  Dither      It can  be i n ferred from Fi gure  8 th at, SFDR of trun cated  si gnal   with a dditive  uniform   Dither in crea se s abo ut 15 dB.      6. Conclusio n   In this paper,  we have pre s ente d  a ne w way to an alyze the tru n catio n  error in digital  system s, e s p e cially in  FPGA t hat refe rred  above.  Compa r ing to t he an alog  dither te ch nolog y in  ADC-optimi z i ng field, digit a l dither is i m porte d  into  the analy z in g pro c e s s of  trun cation  e rro r,  whi c h hel ps restrai n  it and improve the  system perfo rmance.  The  pro p o s e d  ap proa ch t heoretically  a nalyz e s  th e p eak noi se  introdu ced  by truncation   harm oni c di stortion, a nd  d edu ce s the  mathemati c   expre ssi on  of trun cation  error with  addit i ve  dither ba sed  on statistical approa ch.  In addition,  MA TLAB  sim u lat i on  of situatio ns with additi ve   Gau ssi an dit her  and  unif o rm  dither is pre s e n ted.   The  simulati on result rev eals t hat, sig nals’   SFDR  pe rformance will be  in crea sed  sig n ificantly  if we  add   anothe r dith er  sign al b e fore   operation of  signal s’ preci s i on c onversio n . The theo re tically ded uc e d  expre s sion  kee p s i denti c al  with s i mulation result.      Referen ces   [1]  Sang hamitra  Ro y ,  Prith Ba nerj ee. An Alg o rithm  for  T r adin g  off Quantizatio n Error w i t h  Hard w a re   Resources for  MAT L AB-Based FPGA Design.  IEEE Transactions  on Com p uters.  20 05;  54(7): 8 86- 895.   [2]  C Shi. Statistical Method for F l oati ng-Po int to F i xed Po int C onvers i on. MS T hesis, Electrical Eng. An d   Computer Science Dept., Univ. of  California, Berkeley . 2002.  [3]  KH Ch an g, W G  Bliss. F i nite  W o rd-Le ngth  E ffects of Pipe line d  R e curs iv e Di gital  Filters .   IEEE Trans.   Sign al Process i ng.  19 94; 42( 8 ) : 1983-1 9 9 5 .  [4]  LBJackson, K H  Chang, WG Bliss.  Co mmen t s on  ‘ F inite  W o rd-L engt h Effects of Pi pel in ed  Recurs i v e   Digita l  Filters .  IEEE Trans. Signal Processing . 1995; 4 3 (12) : 3030-3 0 3 2 .  [5]  RM Gray , DL  Neuhoff.  Quanti z at io n .  IEEE Tans. Informatio n  Theory . 19 98 ; 44(6): 232 5-2 383.   [6]  W  Sung, KI K u m. Simul a tio n - Based W o r d -L ength  Optimiza tion Meth od f o r F i xe d-Po int  Digita l  Si gn al   Processing S ystems.  IEEE  Tr ans. Signal Processing.  199 5; 43(1 2 ): 220 9-2 212.   [7]  S Kim, WSung.  F i xed-Po int  Error An alysis   and  W o rdl e n g th Opti mi z a t i on  of a  Distri but ed Arit h m etic   Based 8× 8  2D- I DCT  Architecture . Proc. W o rkshop VLSI Si gna l Processi n g . 1996: 3 98-4 07.   [8]  H Ked i n g , M  Willems, M C o ors, H Me yr. F R IDGE:  A F i xed-Poi n t Desi gn  and  Si mu lati o n  Envir o n m ent .  Proc. Desig n , Automatio n , an d T e st in Europ e . 1998: 4 29-4 35.   [9]  Dias P, Silva  G, Cruz S.  Ditheri ng p e rfor mance of ov er sampl ed  ADC s ystem s affected by hysteres is .  Journ a l of the Internati o n a l Measur em ent C onfed erati on. 2 002; 32( 1): 51- 59.   [10]  Wagd y Z, Fa w z y  M. Effect of  add itive dit her  on the res o luti on of ADC’s   w i th singl e-bit or  mulib it errors.   IEEE Transactions on Instrum entation and  Measur em ent.  1 996; 45( 2): 610 -615.   [11]  Suresh  B, W o ll man H B . T e sting  an  A DC li n eariz ed  w i th ps eud oran dom   di ther.  IEEE Transactions on  Instrume ntatio n and Me asur e m e n t.  1998; 4 7 ( 4): 839-8 48.   [12]  Z hang Yu n, Li Guang jun.  A  pipel in ed AD C structure adapta b l e  to dither introd ucti on . Moder n   Electron ics T e chni que. 2 011;  34(10): 16 0-1 62.   0 50 10 0 15 0 20 0 250 300 35 0 400 45 0 500 -150 -100 -50 0 X :  89.97 Y :  - 73.8 F r equ enc y / k H z A m pl i t ude / d B Sp ec t r um  w i t hout  un if o r m   d i t her 0 50 10 0 15 0 20 0 250 300 35 0 400 45 0 500 -150 -100 -50 0 F r equ enc y / k H z A m pl i t ude / d B S p e c tr u m  w i th   u n i f o r m  d i th e r Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Study of Addi tive Dithe r  on  Rest rainin g Signal Tru n cation Erro r (T ao Liu)  5429 [13]  Blesser B, Lo cantii B.  T he app licati on  of narrow b a nd  D i t her  oper atin g  at the Nyquis tfrequcney i n   digit a l system s  to provide im proved signal to  nois e   ratio over  conventional Dithering . Au di o Eng. 1 987 ;   35(6): 44 6-4 5 4 .   [14]  Anna  D. A-D c onvers i on  w i th  Dither si gn al-p ossibi liti e s an d  limitatio ns.  Me asure m ent Sci ence  Revi ew .   200 1; 1(1): 75- 78.   [15]  Shu YS, So n g  BS. A 15  bit li near  20M Sampl e /spip e li ned A DC  dig i tall y ca libr a ted   w i t h si gna l- dep en dentD i th erin g.  IEEE Journal Soli d-State Circuits.  200 8; 43(2): 34 2-3 50.   [16]  Yu CH  H, LI J L . A W h ite N o i s e F ilteri ng Me t hod  for  DOA Estimation of Con here n t  Sig nals un der  L o w   SNR. Sign al  Pr ocessi ng.  20 12 ; 28(7): 957-9 6 2 .  [17]  W ang LB,  Cui  CH, Sh a Z H   H. Sparse  De compos ition  Method  of Smo o th Sig n a l  U n der T r uncatio n   Effect.  Signal Processi ng.  20 11; 27(6): 9 56- 960.    [18]  Che n  T Q , Xu J, Z hu K. Error Anal ys is and  S y stem  Desig n  of Hi g h–Accur a c y  P i peli n e d  A/D   Conv erters.  Microel ectronics.   200 8; 38(1): 12 6-12 8.   [19]  Che ng M Z H , Jing W P . Design a nd Ana l ysis of a Nov e l Pipe li ned A DC.  Journa l of University of   Electron ic Scie nce an d T e chn o lo gy of Chi n a .  2008; 3 7 (6): 9 30-9 33.   [20]  W agd y MF , Ng  W .  Validit y   of uniform q u a n ti zation  error m ode l of sin u soi dal si gn als  w i t hout a nd  w i t h   Dither.  IEEE Transacti ons o n  Instrumentati o n  and Meas ure m e n t . 1989; 3 8 ( 3): 718-7 22.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.