TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 15, No. 2, August 201 5, pp. 259 ~  269   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 15i2.809 9        259     Re cei v ed Ma y 13, 201 5; Revi sed  Jun e  28, 2015; Accepted July 1 4 ,  2015   Aircraft Control System  Using Model Predictive  Controller       Laban e  Chrif* 1 , Zemalache Meguen n i Kadd a 2   1 Laba ne chrif  Univers i t y   of said a, Dep a rtm ent of electrote c hnic,Sa ida  20 000, Alg e ri a   2 LDEE Lab orat or y  UST O, MB, Departme n t of Automatic, Oran 31 00 0, Alge ria   *Corres p o ndi n g  author, em ail :  c_laba ne@ ho tmail.fr      A b st r a ct  T h is pap er co ncerns the a p p licat i on of mode l-bas ed pr edictiv e c ontro l to the long itudi nal a n d   latera l  mo de  o f  an a i rcraft in  a terra in fo llo w i ng task. T h e  pred ictive c o n t rol ap pro a ch  w a s base d  o n   a   qua dratic c o st function  an d  a li near   state space pre d icti on mo de l  w i th  inp u t an d stat e constra i nts.  T h e   opti m a l  contro l  w a s obtain ed  as the  sol u tio n  of a qua dratic  progr a m min g  p r obl em  defi ned  over a rec edi n g   hori z o n . Cl ose d -lo op si mul a ti ons w e re c a rri ed o u t by  usin g the  lin ear  air c raft mo del. T h is pr oject th e s is   provi des a bri e f overview  of Mode l  Predicti v e Contro l (MPC).A brief his t ory of industri a l mod e l pre d i c tive   control tech nol ogy has b e e n  prese n ted first follow ed by  a s o me conc epts l i ke the rece din g  hori z o n , mov e s   etc. w h ich for m  th e  basis  of  the MPC.  It follow s  th e Opt i mi z a tio n   prob l e m w h ich  ulti mate ly l e a d s t o  the   descri p tion  of the Dyn a m ic M a trix Contro l (D MC).T he MP C prese n ted i n  th is report is b a s ed on  DMC. After  this the  app lic ation s u mmary  and  t he l i m ita t ions of th e ex isting tec h n o lo gy has  be en  d i scusse d a nd t h e   n e x t g e n e r a t ion  MPC ,  wi th   a n  em ph a s i s  o n  p o t e n t i a l  bu si ne ss a n d  re se a r ch  o p p o r tu n i ti e s  ha s been  review ed. F i nal ly in  the  last  p a rt w e  ge ner ate Matl ab c o d e   to i m pl e m e n t b a sic  mo de l pr e d ictive  contro ll e r   and i n trod uce  nois e  into the  mo de l.    Ke y w ord:  aircraft moti on , flight contro l, lateral a n d  l ong itudi na l stability, mod e l pre d ictive  control ,   opti m i z at ion     Copy right  ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion    Origin ally de veloped to  meet the  sp ecia li ze d co ntrol ne ed s  of power pl ants a nd  petrole um  ref i nerie s, MP C techn o logy  can no w b e  fo und in  a  wid e  variety of a pplication a r e a s   inclu d ing ch e m ical s,  food  pro c e ssi ng, automot ive, and aerospa ce appli c atio ns  it s  rea s on   for  su ccess i s  m any, like  it ha ndle s  multiva r iable  c ontrol  probl em s n a turally. But th e mo st imp o rt ant  rea s on fo r its su ccess is its ability to handle con s trai nt s. Model pred ictive control (MPC) refe rs  to   a class of  computer  cont rol algorithm s   that utilize an explicit  process model to  predi ct the fut u re   respon se  of a  plant. At each co ntrol i n terval an MP C algorithm  attempts  to  optimiz e  future plant   behavio ur by comp uting a  seq uen ce of future  ma nipul ated variabl e adju s tments.  The first inp u t   in the optim a l  seq uen ce i s  then  se nt i n to t he pla n t, and the  enti r e  cal c ulation  is repe ated  at  sub s e que nt control inte rval s. The  basi c   MPC cont roll er can b e  de sign ed  with p r ope r rest ricti ons  on the predi ction hori z o n  and mo del le ngth. The p r edictio n ho rizon ha s to be  kept sufficie n tly  large r  tha n   control ho ri zon. But after applying to  many othe r appli c ation s  we find  as the   compl e xity incre a ses then  we  ne ed te chni que s  oth e r th an  DM C li ke  gen eralize d  p r edi ct ive  control (GPC) which  are  better. In mo dern  proce ssing pla n ts th e MPC  cont roller i s  pa rt  of a   multi-level hi era r chy of co ntrol fun c tion s. It is o ften  difficult to tra n slate th e co ntrol requi re ments  at this level i n to an ap pro p riate  conve n tional  control stru ctu r e. In the MPC  methodol ogy  this  combi nation  of blocks i s  re plac ed by a si ngle MPC  co ntrolle r.    1.1 .  Aircraft Con t rol  and Mov e ment   There are th ree prim ary ways for an ai rcraft to cha nge its o r ient ation relative  to the   passin g  ai r.  Pitc h  (m ove m ent of the  nose up  or d o wn ),  Roll  (rotation a r ou n d  the lo ngitu dinal  axis, that is,  the axis  whi c h ru ns  alon g  the len g th o f  the aircraft) and  Ya w   (m ovement of t he  nose to left o r  right ). Tu rnin g the  aircraft  (ch ang e of  h eadin g )  req u i r es the  aircra ft firstly to roll  to   achi eve an a ngle of ban k; when the d e sired c han g e  of heading  has bee n a c compli she d  the  aircraft mu st again b e  rolle d in the oppo site dire ct ion  to redu ce the  angle of ba nk to zero [7].  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  259 –  269   260   Figure 1. Axis of aircraft movements      1.2 .  Flight Dy namics   The scien c e  of air vehicle  orientation a nd c ont rol there is three d i mensi o n s . The three   critical flight dynamics pa rame te rs  are  the angle s  of rotation in  three dime n s ion s  ab out the   vehicle' s ce nter  of  ma ss, known  a s   pit c h ,  roll  and   yaw  (quite  different from the i r u s e  as Tait - Bryan a ngle s ). Ae ro sp ace en gine ers develo p   co nt rol  sy st em s f o r a   vehi cle' s orie ntation   (attitude) a b o u t its cente r  of mass. The  control  sy ste m s incl ude a c tuators, which exert forces in   variou s dire ct ions, an d gen erate rotation al force s  o r  moment s abo ut the aerody namic  cente r   of  the aircraft, and thus rotate the aircraft in pitch, ro ll, or  yaw. For example, a pit c hi ng mom e nt is a  vertical force  applied at a distan ce [1, 6], Ro ll, p i tch and yaw refer to rot a tions ab out  the  respective axes  starting from a defined  equilibrium   st ate. The equil i brium  roll angle is  known  as   wing s l e vel o r   zero b a n k  a ngle, e quival ent to a  level  heeli n g  angl e on  a  shi p .  Yaw i s   kn own a s   "headin g ". The equilib rium  pitch an gle in  subma r in e a nd airship p a rlance is kno w n as "trim".    1.3. Longitu dinal Modes   Oscillating m o tions  can b e  descri bed by  two param et ers, the p e rio d  of time req u ired fo r  one  compl e te  oscillation, a nd the time required to  da mp to half-a m plitude, or t he time to do uble   the amplitud e  for a dyn a mi cally un stabl e  motion. Th e  l ongitudi nal m o tion con s ist s  of two di stinct  oscillation s, a long-pe riod  oscill ation called  a ph ug oid mode a n d  a sho r t-p e r iod o scill atio n   referred to a s  the sho r t-pe riod mode [7].    1.3.1. Phugoid Oscillations   The lo nge r  p e riod  mo de,  called th e "ph u goid m ode"  is the o n e i n   which  there i s   a large- amplitude va riation of  air-sp eed, pit c h  angle, a n d  altitude, bu t almost n o  angle - of-attack  variation. T h e ph ugoi d o s cillation  is re ally a  slo w  in terch a ng e of   kineti c  e nerg y  (velo c ity) a n d   potential  e n e r gy  (h eight) about some equilib rium  e ner gy level  a s  the ai rcraft  attempts to  re- establi s h  the  equilib rium l e vel-flight con d ition fr o m   which  it ha d b e en di sturbed.  The m o tion i s  so  slo w  that the  effects of ine r tia force s  a n d  dampi n g  forces a r e very lo w. Although t h e dam ping i s   very we ak, t he pe riod  is  so lo ng that  the pilot u s u a lly co rre cts  for this  motio n  witho u t bei ng  aware that the oscillation even exists. Typi cally the period is 2 0–60 seconds [3, 11].    1.3.2. Phugoid Short peri od oscillation  With no  spe c i a l name, the  sho r ter  peri o d mode  i s  cal l ed sim p ly the "sho rt-pe r iod  mode".  The sho r t-pe riod m ode i s  a usually h eavily dam pe d oscillation  with a p e rio d  of only a fe w  se con d s. Th e  motion is  a rapid pit c hing  of the ai rcraft about the  ce nter of g r avity. The peri o d  is  so short that  the spe ed do es not have ti me to ch a nge , so the oscill ation is e s se ntially an ang le - of-attack vari ation. The time to damp the amplit ud e to one-h alf of its value  is usually on  the  orde r of  1  se con d . Ability to qui ckly  self  damp  when  the sti ck i s   briefly displa ce d is  one  of th e  many crite r ia  for gene ral ai rcraft ce rtifica t ion [4].              Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Aircraft Control System  Usi ng Model Pre d ictive Co ntro ller (L aba ne  Chrif )   261 2.  Aircra ft Lo n g itudinal D y namics         Figure 2. Aerodynami c  ref e ren c e       2.1. Equatio n s of Mov e ments   Equation s  of the moveme nt are gove r ne d by the equa tions of me ch anics        ∑   ∑                                                                                                                                   (1)     Φ 0                                                                                                                            (2)                                                                                                                                                            Longitu dinal  equatio ns  ca n be re written  as:       Θ  ∆ X                  Θ   ∆  Γ    Γ    Γ       Θ  Γ   ∆                                                                                             (3)                                                 With:    ∆     ∆   ∆   Γ    Γ                                                    (4)                                                                                                                                                                                                                 Re write in sta t e spa c e form  as:  Since   0  in this mode, then  0  and ca n elimin ate the X force equatio n:         Θ   Γ   Γ   Θ  01 0   ∆ ∆ M 0                                                     (5)                                                   Θ        Θ  01 0  ∆ ∆ M 0                                              (6)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  259 –  269   262 The tran sfer  function can  be rep r e s ent ed in stat e-space form an d output  equ ation as stat e b y   equatio n:     0.3149 235.89280 0.0034 0.42820 0     1      0   5.5079 0.0021 0                                                (7)  001 + 0                                                                                              Figure 3. Ope n  loop Impul se Re spo n se (Pitch angle )        , , ,  and    rep r e s e n t flight path angle, with  ,       The input (el e vator defle ction angl e,  ) wi ll be 0.2 rad  (11 de gree s),  and the outp u t is   the pitch an gl e (theta).      , , ,  and    rep r e s e n t flight path angle, with  ,       The input (el e vator defle ction angl e,  ) wi ll be 0.2 rad  (11 de gree s),  and the outp u t is   the pitch an gl e (theta).   There are th ree type s of  possibl e lateral-di re ctional dynamic motion:  roll sub s i den ce  mode, Dut c h  roll mod e , an d spiral mod e .       Figure 4. Defi nition of force s , moment s a nd angl es         3.  Aircra ft La te ral D y namic s   There are th ree type s of  possibl e lateral-di re ctional dynamic motion:  roll sub s i den ce  mode, Dut c h  roll mod e , an d spiral mod e .     I m pul s e  R e s pons e Ti m e  ( s e c ) pi t c h ang l e   ( r ad ) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9     open l o o p Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Aircraft Control System  Usi ng Model Pre d ictive Co ntro ller (L aba ne  Chrif )   263 3.1, Roll Subsidence Mo d e   Roll sub s ide n ce m ode i s  simply the  dampin g  of rolling motion . There i s  n o  dire ct  aero d ynami c   moment cre a t ed tending t o  dire ctly re store wi ng s-le vel, i.e. there is no retu rni ng  "spri ng fo rce / moment" p r oportio nal to  roll  angle.  Ho wever, th ere i s   a da mping m o m ent  (propo rtional to  roll  rate ) created  by the slewi n g - abo ut of l ong wi ngs. Thi s  p r e v ents large roll   rates from bu ilding up whe n  roll-co ntro l i nputs a r e ma de or it damp s  the roll  rate  (not the angl e)  to zero wh en  there a r e no  roll-cont rol i nputs.  Roll m ode can b e  improve d  by addin g  dihe d r al  effects to the aircraft de sig n , such as hi gh win g s, dih edral a ngle s   or swee p ang les.       Figure 5. Roll  sub s ide n ce mode        Usi ng  a p r o c edure  simila r to the l ongit udinal  mod e , we  can  dev elop th e eq u a tion of  motion for the lateral dynamic s .        ,  ,                                                                                              (8)     : state vector    : control ve ctor   , : aileron an d rudde r defle ction   , : sidesli p and  roll angl e   , : roll and yaw rate           0    0 01 t a n 0  ,    0 0   ,         1 0 0 0 0 0 0 1  ,        0 0 0 0                                                                                                       (9)    If we assume  that the measurable o u tpu t s are the  sid e slip a ngle   and roll an gle   , the  matrixes  ,   and     are:       0.0558 0.9968 0.0802 0. 0415 0. 5980 0.1150 0.0318 0 3.0500 0.3880 0.4650 0 0 0 .0805 1.000 0 ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  259 –  269   264  0 . 0729 4.7500 0 . 15300 0 0.000 0.00775 0.1430 0   ,  1 0 0 0 0 0 0 1                                                               (10)      Figure 6. Ope n  loop Impul se Re spo n se (Sideslip a ngl e)                                      Figure 7. Ope n  loop Impul se Re spo n se (Roll an gle)      3.2. Spiral Mode   If a spirally unstabl e aircraft,  through the acti on of a gust or other  disturbance, gets a  small initial roll angle to the right, for example,  a gentle side slip  to the right is pro d u c ed. The   side slip  cau s es  a ya wing   moment to  th e ri ght. If the  dihed ral  stabi lity is lo w, a n d  yaw d a mpi ng i s   small, the di rectional  stability keeps  turning  the aircraft while  the  continui ng bank angle  maintain s the  side slip  and  the yaw a ngl e. This  sp i r al gets contin uo usly  ste epe r and  tighte r   u n til  finally, if the  motion i s   not  che c ked  a  st eep, hi gh-s p e ed, spiral div e  results. T h e  motion  devel ops  so g r ad ually, however tha t  it is usu a lly co rre cted  un con s ciou sly b y  the pilot, who may not  be   aware that  spiral instabilit y exis ts. If th e pilot cannot see the hori zon, for i n stance  because of  clou ds, he mi ght not notice that he is slowly goin g  into the spi r al  dive, which  can le ad into  the   graveya r d  spi r al. To  be  spi r ally sta b le, a n  airc raft mu st have  some  co mbinatio n  of a  sufficie n tly  large di hed ra l, which in creases roll st ability,  and a sufficiently long vertical tail arm, whi c h  increases yaw dam ping. I n creasing the vertical tail area th en magnifies the  degree of  stabilit y or   instability. The spiral dive should n o t be confu s e d  with  a spin.     0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5     I m p u l s e R e s pons e Ti m e  ( s e c ) s i de s l i p  angl e ( r a d ) o pen l o op 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0. 05 0.1 0. 15 0.2 0. 25     I m p u l s e R e s p on s e Ti m e  ( s e c ) r o l l  angl e ( r ad) op en l o o p Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Aircraft Control System  Usi ng Model Pre d ictive Co ntro ller (L aba ne  Chrif )   265   Figure 8. Spiral mode       3.3. Dutc h Roll  The se co nd l a teral motio n  is an oscillat o ry com b ine d  roll and yaw motion calle d Dutch   roll, perhap s  becau se of its simila rity to an ic e - skatin g motion of the sam e  name  made by Dut c h   skaters; the o r igin of the n a me  is u n cl e a r. The  Dutch  roll may be  descri bed a s   a yaw and  rol l  to   the right, follo wed  by a recovery toward s the e qu ilib ri um condition,  then an  oversho o ting of th is  condition  and a yaw  and roll to  the left, then  back past the equ ili brium  attitude, and  so on.  The  perio d is  usu a lly on the o r de r of 3–1 5  se con d s,  b u t it can vary f r om a fe w seco nd s for li ght  aircraft to a minute or m o re for ai rline r s. Dam p i ng i s  increa se d b y  large directi onal sta b ility and   small  dihe dra l  and  de crea sed  by  small  dire cti onal  st ability and  large di hed ral.  Although  usu a lly  stable in  a  norm a l ai rcraft, the motion may be  so  sli ghtly damped that  the effect i s  v e ry  unpleasant and undesi rabl e. In swept-bac k wi ng ai rcraft, the Dut c h roll i s   solved by installi ng  a   yaw d a mpe r ,  in effe ct a  speci a l-p u rp ose autom atic   pilot that da mps  out a n y  yawing  oscill ation  by applying rudde r corre c tions. Some  swept-win g  aircraft have  an  unstabl e Du tch roll. If the  Dutch roll i s  very lightly damped  or un stable,  the y a w da mpe r  b e com e s  a sa fety require m ent,  rathe r  than a  pilot and pa sseng er  conv enien ce. Dua l  yaw damp e r s a r e  req u ired and  a fail ed  yaw damp e r  is cau s e fo r limiting flight to low altitudes, and p o ssibly lowe r match num b e rs,  where the Dutch roll  stability is improved.    Figure 8. Dut c h roll m ode       From exa m in ing Figu re 6,  it can b e  se en t hat dyna mical b ehavi o r of an  aircraft is not  accepta b le  consi deri ng ov ershoot, ri se   time, settling  time and  st eady-state e r ror val u e s , a n d   must be mo di fied usin g fee dba ck  control           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  259 –  269   266 4.  Model Predictiv e  Controller  4.1. The Rec e ding Hori zo n Idea   The figu re sh ows the ba si c idea  of pre d ictive  contro l. In this pre s entation of th e ba sics,  we co nfine o u rselves  to discussin g   the  control  of   a si ngle-i nput, si ngle-output (SISO)  pla n t.  We  assume  a di screte -time  set t ing, and that  the cu rrent  time is la bele d  as time  step  k.at the curre n t  time the pla n t output i s  , and th at the figure sho w s th e p r evi ous histo r y of  the  outp u t  trajec tory. Als o   s h own is   a s e t point trajec tory,  whi c h i s  the traj ectory th at the output  sho u ld   follow, ideally . The value of the set-p o in t trajecto ry at any time t is denoted by  .  Distin ct from  the set-point t r aje c tory is th e  referen c e trajecto ry  .T his starts  at the curre n t  output   , and  define s  an ideal trajecto ry along whi c h  the plant shou ld return to the set-poi nt  trajecto ry, for instan ce afte r a di sturb a n c e o c cu rs. Th e refe ren c e trajecto ry there f ore defin es  an  importa nt asp e ct of the clo s ed -loo p beh aviour of  the  controlled  pla n t. It is not nece s sary to insist   that the pl ant  sh ould  be  dri v en ba ck to t he  set-p o in t t r aje c tory  as fast a s   po ssi bl e, althou gh th at  choi ce  rem a i n s o pen. It is frequ ently assume d that  t he refere nce  trajecto ry a s  fast a s  po ssib le,  althoug h that  ch oice  rem a ins op en. It  is freq uentl y  assum ed t hat the  refe rence traje c to ry  approa che s  the set poi nt expone ntially, which we shall denote  Tref  , definin g the spe ed  of  respon se. Th at is the cu rre nt erro r is                                                                                                                                 (11)    Then the referen c e traje c tory is  ch ose n  su ch that the error   ste p s later, if the output  followe d it exactly, would b e :     1   / ∗                                                                                        (12)                                                                                   ∗       Whe r e    is the  sam p ling i n terval a n d  (no t e that 0< < 1 ).That is , the reference  trajecto ry is d e fined to be:                                                                                                                       (13)                                               The notation   indicates that  the  refe ren c e traj ecto ry d epen ds on  th e conditio n s  at time  , in g eneral. Altern ative definitio ns of the  re fe ren c e traje c tory are po ssi b le-F or e.g.,  a   straig ht line from the cu rre nt out put whi c h meet s the  set point traje c tory after a specifie d time.  Summari zin g  the main steps involved  in impleme n ting DM C o n  a pro c e s s are as  follows :  1. Develop a  discrete  step  respon se m o del with len g th N ba sed o n  sample time  t  2. Specify the predi ction (P ) and control (M) ho ri zon s . N ≥ P ≥ M  3. Spe c ify the weightin g o n  the  control   action   (w=0 if  no  wei ghting  on  the  co ntrol a c tion   (w=0 if no we ighting).   4. All calculat ions  assum e   deviation vari able  form, s o     remember to c o nvert t o /from   physi cal unit s .  The effect of all these tuni ng paramete r s is no w di scussed for SIS O  system s.   Model -length  and sam p le-tim e  selectio n are ind epe ndent. The m odel length  should be   approximatel y the ‘settling time’ of the  pro c e ss, t hat  is, the time re quire d to rea c h a ne w ste ady  state after a  step inp u t ch ange. Fo r mo st system s, the model le n g th is rou ghly  50 coeffici en ts .  The  sam p le ti me i s  u s u a lly on th e  ord e r of on e te nth  the do minant  time  con s tan t, so th e mo d e l  length is roug hly the settling time of the pro c e ss.   Predi ction a nd co ntrol h o rizon s   differ in length.  Usually, the predi ction h o rizon i s   sele cted to b e  much long er than the  control ho riz on. This i s  p a rticul arly tru e  if the cont rol  weig hting fact or is sele cted  to be zero. Usually,  if the  predi ction h o rizon i s  much longe r than th e  control ho rizon, the co ntrol syst em i s   less sensitive  to model e r ror. Often P=20 or  so, wh ile    M=1-3.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Aircraft Control System  Usi ng Model Pre d ictive Co ntro ller (L aba ne  Chrif )   267 Control weig hting  i s  ofte n  step  to  ze ro if the  p r ed iction  ho rizo n  is mu ch  lon ger the  control  hori z on. As the  control  ho rizo n is in cr ea se d, the  co ntrol  move s ten d  to b e come   more  aggressive so large r  weig ht is need ed to penali z e th e control mov e s.     4.2. Objectiv e Functio n s   Here, there  are  seve ral  different  choi ce s for obje c tives functio n s . The  first  one that   come s to mi nd is a  stan dard  le as t-s q u a r es   o r  “qu adrati c  “obje c tive functio n .  The obje c ti ve   function i s  a  “su m  of squ a r es  “of the predicte d   errors (differen c e s  betwee n  the  set points  a n d   model -predi cted outp u ts)  a nd the  control  moves  (chan ges i n  control  action f r om  step to step ).  A  quad ratic o b j e ctive functio n  for a pre d i c tion ho rizon  of 3 and a control ho rizon of 2 can  be  written.     Φ 1  1 ^ 2 2  2 ^ 2 3  3 ^ 2 ∆ ^ 2 ∆ 1^2                                                                                                                                     (14)    Whe r e   repre s ent s the mo del pre d icte d  output, r is the set poi nt,  ∆  is  th e  c h an ge  in   manipul ated i nput from on e sampl e  to the next,   is a  weig ht for the chan ge s in the manip u lat e d   input, and th e su bscri p ts indicate the  sampl e  tim e  (k i s  the  curre n t sam p le time). Fo r a   predi ction ho rizo n  of   and a co ntrol  hori z on  of  , the lea s t Squ a re s obj ectiv e  function i s   written.     Φ ∑  1  1 ^ 2 ∑ ∆  1 ^ 2                                                                     (15)                                               Another po ssi b le o b je ctive  function  is to  simp ly tak e  a s u m o f  th e   ab s o lu te  va lues  o f  th e   predi cted  errors an d  control move s. Fo r a p r edi ct ion  hori z on  of 3  and a  control hori z o n  of 2,  the   absolute valu e obje c tive function i s :     Φ |  1  1 | |  2  2 | |  3  3 |  | ∆ | | ∆ 1 |                                                                                                                                             (16)        Figure 9. Sideslip a ngle af ter applying  MPC to the aircraft       The controll e r  is able to t r ack the  side slip  an gle ref e ren c e a s  lo ng as it is feasi b le  referen c e. At 10 second s the MPC  stabl e the sid e sli p  angle to track a reference, and remain t h e   rudd er d e flect i on in the init ial conditions, the result is shown in Figure 9.      The p r edi ctive controll er  h a s  alre ady in clud ed  it into   the linea r m o del which di d  help th e   system to  provide the n e c e s sary  stabi lity to per form the rudde r and  with red u ce d variatio ns in   the side slip a ngle.     0 5 10 15 20 25 0 0. 5 1 1. 5 S i des l i p an gl e  ( r a d ) ti m e P l ant  o u t put  ( s ol i d )  an d  s e t - po i n t   ( d as h ed)     0 5 10 15 20 25 -2 0 2 4 x 1 0 -3 u ti m e I n put     re f e r MP C Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  259 –  269   268   Figure 10. Ro ll angle after  applying MP C to the aircraft        The controlle r is a b le to track the roll a ngle re fere nce as lo ng a s  i t  is feasibl e  referen c e.  At 10 second s the  MPC st able th e  side slip  angle  to  track a  refere nce,  and  re m a in the  aile ro n  deflection in the initial  co nd itions, the re sult is sho w n i n  Figure 10.   The p r edi ctive controll er  h a s  alre ady in clud ed  it into   the linea r m o del which di d  help th e   system  to provide the necessary  stability to perfo rm  the ail e ron  and  with  reduced variations  in  the roll angl e.       Figure 11. Pitch an gle after applying MP C to the aircraft      Con s e quently , by tuning the value of  500 , the followin g  values of m a trix  K  are  obtaine d. If      is increa sed  even highe r, improvem ent  to the respo n s e sh ould be  obtaine d even   more. But for this  case, the values  of  500   is cho s en  beca u se it satisfie d the  desig n   requi rem ents while kee p    as sm all as po ssi ble.   The  controlle r is  able to   track the  pitch a ngle  ref e ren c e  a s  lo ng a s  it is f easi b le  referen c e. At 20 second s the MPC  stabl e the sid e sli p  angle to track a reference, and remain t h e   elevator defle ction in the ini t ial conditio n s,  the result is  sho w n in Fig u re 12.     The p r edi ctive controll er  h a s  alre ady in clud ed  it into   the linea r m o del which di d  help th e   system to  provide the ne cessary  stability to perform  the elevator  and with  reduced variations i n   the pitch an gl e.   We can see that the reference  tracking i s  good, but  the controller is st ill not suff iciently  robu st  i n  cert ain segm ents.  The main   a d vantage   of  model  predi ctive co ntrolle r  is d epi cted i n  a   clo s e up  of bird pe rspe ctive of the aircraft trajec to ry in Figure 11,  whe r e  we ca n clea rly ob serve  a p r elimin ary  actio n   of the  co ntroll er,  a  dire ct con s e q uen ce of the long predictiv e hori z on an d   the look a hea d function.    0 5 10 15 20 25 0 0. 5 1 1. 5 R o l l  a ngl e  (rad ) ti me P l an t  out p u t  ( s ol i d )   and s e t - po i n t  ( d as he d)     0 5 10 15 20 25 -2 0 2 4 x 1 0 -3 u ti me I n put re f e r MPC 0 5 10 15 20 25 0 0. 5 1 p i t c h a ngl e (rad) ti m e M o de l  P r ed i c t i v e  C o nt r o l     0 5 10 15 20 25 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 u ti m e I npu t ref e r MP C Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.