TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 12, No. 9, September  2014, pp. 67 5 0  ~ 675 7   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i9.506 1          6750     Re cei v ed  No vem ber 5, 20 13; Re vised  Apr 23, 201 4; Accept ed Ju ne 17, 201 4   Finite-Time Stabilization of Networked Control Systems  with Packet Dropout      Yanling Shang* 1 , Ye Yuan 2  1 School of Softw a r e, An ya ng  Normal U n iv ersit y ,   An yan g  45 500 0, Chin a   2 School of Mat hematics a nd  Ph y s ics, Suzh ou  Un iversit y  o f  Science an d  T e chnolog y,    Suzho u  21 500 9, Chin a   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : hnnhs yl @1 2 6 .com      A b st r a ct  The problem  of  finite-t ime stabili z a tion for ne tworked control  system s  wi th b o th  sensor-to-c ontrol l e r   and c ontrol l er-t o-actuator  pac ket drop out s is  investi gate d  in  this pa per.By  u s ing th e iterativ e ap proac h,  the   NCSs with bounded packet  dr opout is  modeled as  switc hed linear system s .  Sufficient  c o nditions for finite- tim e  stabili z ation of the  underlying  systems are derived  via linear matr ix inequalities  (LMIs). Lastly, an  illustrativ e  exa m p l e is g i ven t o  de mo nstrate  the effectiven e ss of  the propo sed resu lts.     Ke y w ords : net worked control  system s, pack e t dr opout, finite-time stability, LMIs    Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  Networked control syste m s  (NCSs)  are fee dba ck cont r o l sy st em s wit h   net wo rk   cha nnel s use d   for  the com m unication s. Comp ared wi th the traditio nal p o int-to -p oint wi ring, th e   use  of the  communi catio n  chann els can redu ce   th e cost s of  cable s  an d p o w er,  sim p lify the   installatio n  a nd mainte nan ce of the wh ole syste m , and incre a se the reli ability. The NCSs  h a ve   many indu stri al appli c ation s  in a u tomobi les, ma n u fact uring plant s,  aircrafts,  a nd HVAC syste m s  [1]. Howeve r, the insertion  of the com m unicati on n e twork in fe e dba ck  co ntrol  loop ma ke s  the   analysi s  and  desi gn of an  NCS compli cated be cau s e   it introduce s   some p r o b le ms existing in  the   net wo rk i n t o   cont r o l sy st e m s  su ch a s  li mit ed  commu nicatio n  ba nd width, net work-in d u c ed  del ay,  packet s  di so rde r  a nd  p a ckets lo ss whi c h  ofte n ha ppe n i nevitably du ring i n form ation  transmissio n see the  references [2-8]a n d  the referen c e s  cited the r ein.  Among a  nu mber  of issu es a r isi ng fro m  su ch   a fra m ewo r k, pa cket lo ss  of NCSs i s  an  importa nt issue to be add resse d  and h a s be en re ce iving great at tentions. Fo r instan ce, Xio ng  and L a m [9]  studie d  the p r oble m  of  sta b ility and st a b ilizatio n of li near sy stems over n e two r ks  with boun ded  packet loss. Bakule an d De La Sen [ 10] tackl ed the pro b lem  of dece n trali z ed  stabili zation of  netwo rked   complex co mposite  syst ems  with non linear p e rtu r b a tions. Wang  and  Yang [11] in vestigated th e probl em of  state-fe e dba ck  cont rol sy nthesi s  for n e tworke d co n t rol  system s with packet dro p o u t.  Sun  a nd Qin  [12]  studi ed NCS s with   both se nsor-to-co ntroll er a nd  controlle r-to - actuato r  pa cket dro pout s via switch ed  system ap proach. For  m o re detail s  of th e   literature rela ted to netwo rked p r obl em s with packe t  drop out, the read er i s  refe rre d to [13-1 8 ]  and the refe rences the r ein .   It is wo rth p o inting o u t m o st of exi s tin g   literatu r e  relate to  stabi lity and pe rfo r man c e   crite r ia defin ed over an i n finite-time interval. Ho wever, the main attention in many pra c tical  appli c ation s  is the beh avio r of t he dynamical sy stem s over a fixed   finite-time; for example, large  values of the  state are no t acce ptable i n  the pre s en ce of satu rati ons [19, 20]. In this sen s e  it  appe ars rea s onabl e to define as sta b le  a system  whose state, g i ven some  in itial condition s,  remai n s  withi n  pre s crib ed  boun ds in th e fixed fini te-time interval. For this p u rposes finite -time  stable (FTS)  coul d be use d   [21, 22]. Rece ntly, Amato  et al.  extends thi s  con c ept to finite-time   boun dedn ess in [23].   To d a te, with th e  aid of li nea r  matrix ine qua lities (LMIs) f o rmul ation, m o re   results of finite-time stabi lity and stabilization of  variou s syste m s. For mo re  details of the  literature  related to finite-time  stability, the reader  i s  referred to [24-28], and t he  references  therein.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Finite-Tim e Stabilization of Ne tworked  Control System s with  Packet  Dropout (Y anling Shang)  6751 Ho wever,  to  the  be st of  ou r  kno w le dge,  the  fini te-time  stabil i ty and  stabi lization  probl em s for  NCS s  with p a cket d r opo ut have not b e en fully investigated to dat e. Espe cially, for  the ca se  where  both  sensor to -con troller  and  controlle r-to - a c tuator pa cket dro pout s  are  con s id ere d   simultaneo usly , very few  result s re late d to NCS s   are  availabl e  in the  exist i n g   literature, whi c h motivates  the study of this pa per.   In this pa per,  the finite-tim e stabili zatio n  pro b lem s  o f  a cla ss  of NCS s with  b ound ed  packet dropo ut is studie d . Firstly, we m odel t he NCS s  with bo und ed pa cket dro pout as  swit ched  linear  system s. Then, the  con c e p ts of the finite-time  stability (FTS ) and  pro b le m formulatio n  are   given. The  main  contri b u tion of this pape r i s  to  desi gn a  st ate-feed ba ck cont rolle r which   guarantee s t he re sultin g  the re sulting  clo s ed -lo o p  discrete -tim e syste m  un iform finite-ti m e   stable.   In the sequel , the following notation wil l  be used: Th e symbol s n R  and nm R  stand for  an n-dimen s i onal Eu clidea n spa c e  and  the set of all nm  real mat r ices,  respe c tively,  T A  and 1 A  den ote the  matrix tra n s po se  an d  matrix inverse,  diag A , B  re presen ts the  blo c k- diago nal m a trix of  A  and  B ,  0 P stand s fo r a   positive-defini t e matrix,  I is the unit matri x   with app rop r i a te dimen s io ns, and {1 , 2 , } Z .      2. Problem Formulation a nd Preliminaries  The frame w o r k of  NCS s  consi dered i n  t he p ape r  i s   d epicte d  in  Fig u re  1. Th e  proce s s to  be co ntrolle d is model ed b y  a linear discrete-time  syst em.    (1 ) ( ) ( ) x kA x k B u k                                                                                  (1)    Whe r e  kZ   is th e time step, () n x kR  and () m uk R  are is syst em state and  control input,  r e spec tively.  A  and B  are kn own real con s ta nt matrice s  wi th appro p ri ate dimen s ion s .          Figure 1. Illustration of NCSs over Com m unication Network      We ma ke the  following a ssumption s abo ut the NCS:   1) Net w o r ks  exist betwe en  sen s or a nd c ontrolle r, and  betwe en cont rolle r and a c t uator;   2) The  sen s o r  is clo c k driv en; the cont ro ller and the a c tuator  are ev ent driven;   3) The d a ta a r e tran smitted  in a single p a cket at each  time step.  Let 12 {, , } ii  , whi c h a   sub s e que nce  is of {1 , 2 , } Z , denot e the  sequ en ce of  time points  of succe s sful  data transm i ssi on from  the sam p ler t o  the zero-o rde r  hold, a nd  1 max ( ) k kk i si i    be the maxi mum pa cket-l oss upp er  bo und. The n  th e followin g  concept and  mathemati c al  models a r e i n trodu ce d to c aptu r e the n a ture of pa cket losses.   The state fee dba ck  control l er law i s :    () () uk K x k                                                                              (2)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 9, September 20 14:  67 50 – 675 7   6752 Whe r e  mn KR  is to  be de signe d. From the vie w poi nt of  the  zero-ord er ho ld, the control  input   is:    () ( ) ( ) kk ul   ui    K x i      For 1 1 kk il    i  . The i n itial inputs are  set to zeros: 1 () 0 , 0 - 1 ul l     i  . He nce th e  cl ose d - loop sy stem become s :    1 (1 ) ( ) ( ) , 1 kk k xl A x l B K x i i l    i                                                   (3)    From the  clo s ed-lo op sy ste m  (3), we ca n  obtain:    1 1 1 1 0 () ( ) , kk kk ii ii r kk k r x i A A B K x i i                                              (4)    Define the p a c ket drop out pro c e ss a s  fo llows:    1 () kk k i i i                                                                             (5)    Whi c h takes  values in the  finite state sp ace {1 , 2 , , } s  .  Let,    1 1 1 () 1 () 0 () ( ) (1 ) ( ) kk kk k k ii ik ii r ik r zk x  i zk x  i AA BA B                                                                              (6)    It is easily seen that the clo s ed -loo p system (4 ) ca n be de scrib ed by the follow in switch ed  sy st em.     () () (1 ) ( ) ( ) ik i k zk A B K z k                                                        (7)    Whe r e  1 () kk ik i i  is arbi trarily switchi ng sig nal.   For sim p licity, at any arbitra r y discrete time kZ , the switching sig nal  () ik  is denoted   by i . Then, the clo s ed -loo p system (7 ) ca n  be rewritten  as:     (1 ) ( ) ( ) ii zk A B K z k                                                                     (8)    The gen eral i dea of finite-time stability concern s   the b ound edne ss of the st ate of a system over  a finite-time interval for th e given initial  condi tio n s; t h is con c ept can be formali z ed th rou gh the  followin g  definition, whi c h i s  an exten s io n to  discrete -time system s  of  the one given in [14].  Defini tion 1:   (Finite-tim e  st ability (FTS)).  The  discrete-time swit ched system      (1 ) ( ) , i x kA x k k Z                                                                                  Is  s a id to be FTS with res p ec t to  12 (, , , ) cc N R  wh ere 12 0 cc , R  is a sy m m et ric p o sit i v e - Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Finite-Tim e Stabilization of Ne tworked  Control System s with  Packet  Dropout (Y anling Shang)  6753 definite matri x  and 0 k NZ , if:   12 ( 0 ) ( 0 ) () () , 1 , 2 , , TT x Rx c x k R x k c k N                                                      The followi ng  proble m  will  be dre s sed in  this pape r.  Problem 1.  For th e di screte-time  syst em (1),  we f i nd a  net worked  state  fe edba ck  controlle r (5 ) su ch that the clo s ed -loo p system is FTS with re spe c t to 12 (, , , ) cc N R .  We next provide a lemma  whi c h will play an important role in the late development.  Lemma 1.   The  LMI    () ( ) 0 () () T Yx W x Wx R x        Is equivale nt to:    1 () 0 , () () () 0 T Rx W x R x W x      Whe r e () () , ( ) ( ) TT Yx Y x R x R x  and  () Wx depend o n x .      3. Main Results  In this  section, we  will develop the stabi liz ation result s  for  the closed-loop NCS (8).  T h e   followin g  theorem p r e s ent s a suffici ent  conditio n   for the finite-time stability of the con s id ered   system  with a r bitra r y packe t-loss process.  Theorem  1.   The  clo s ed -l oop  NCS (8) with  arbit r ary packet-l o ss pro c e s s i s   FTS with   respec t to  12 (, , , ) cc N R   if, there exis t  pos i tive definite matrix  nn SR  a nd  sc a l a r   1  such   that the following mat r ix inequalitie s hol d:    0 * ii SA S B X S                                                                                 ( 9 )     And,    N ma x 12 mi n (Q ) c< c (Q )                                                                                   (10)    Whe r e 1/ 2 1 1 / 2 QR S R  and  ma x ()  and  mi n ()  indicate the maximum and minimum  eigenvalu e  of  the augment,  resp ectively. T hen st ate feedba ck co ntroller is give n by -1 K = XS .  Proof.   Cho o s e a Lyap un ov functional  candi dat e fo r the system  (8) a s  follo ws:    1 () () () T Vk x k S x k                                                                         (11)    Then, alon g the solutio n  of system (8 ) we have:     1 1 (1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) () () ( ) T TT ii ii Vk x k S x k x k A BK S A BK x k                                             (12)     Subs tituting  -1 K =  XS  into (11 )  a nd  pre -  an d po st -multiplying  b y -1 -1 di ag S , S ， we can ob tain   the equivale n t  condition.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 9, September 20 14:  67 50 – 675 7   6754 11 1 1 1 0 * ii SS A S B X S S                                                                   (13)                             From L e mma  1, (12) an d (13), it follows  that:     () () Vk Vk                                                                                    (14)    Applying itera t ively (14), we can o b tain:     () ( 0 ) , 1 , 2 , , k Vk V k N                                                                        Noting that   1/ 2 1 1 / 2 QR S R   and u s ing the  fact 1 we have:     1 1/ 2 1 / 2 ma x ma x (0) ( 0) (0) (0) ( 0) (Q ) ( 0 ) ( 0 ) (Q ) ( 0 ) ( 0 ) kk T kT kT NT Vx S x x RQ R x x Rx x Rx                                                                       (15)    And,    1 1/ 2 1 / 2 mi n () () () (0 ) ( 0 ) (Q ) ( ) ( ) T T T Vk x k S x k x RQ R x x kR x k                                                            (16)    Putting together (14)-(16 ), we obtain:     ma x mi n (Q ) () () ( 0 ) ( 0 ) (Q ) N TT x kR x k x R x                                               (17)    From  (17), it  follows  that  (10) implies that, for all 1, 2 , , kN   2 () () T x kR x k c . Therefore, th e   proof follo ws.   Rem a r k  2.  If  co ndition s  (9 ) an d  (10 )  in   Theo rem  1 i s  sati sfied  wit h 1 , then  system  (8) is  finite-t ime s t able  with respec t to 12 (, , , ) cc N R  for all    0 k NZ  and  it is also   asymptoticall y  stable.  Theorem 2.   The  clo s ed -l oop  NCS (8) with  arbit r ary packet-l o ss pro c e s s i s   F T S  with   respec t to  12 (, , , ) cc N R   if, there exist positive defin ite matrix  nn SR  and scala r s  0  ,  0  and  1  s u c h  that the following  matrix inequalities hold:     0 * ii SA S B X S                                                                      (18)    0 * SS R R                                                                             (19)    0 * RI S                                                                             (20)                                             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Finite-Tim e Stabilization of Ne tworked  Control System s with  Packet  Dropout (Y anling Shang)  6755 12 0 N cc                                                                              (21)                                                           Whe r e 1/ 2 1 1 / 2 QR S R  and  ma x ()  and  mi n ()  indicate the maximum and minimum  eigenvalu e  of  the augment,  resp ectively. T hen st ate feedba ck co ntroller is give n by -1 K = XS .  Proof.  According to The o rem 1, it suffices to  prove condition  (10 )  is  gua ra nteed  by (19)- (21 ) .  Us ing Lemma 1, it follows  that:    1 00 * SS R SR S S R S R        and  11 00 * RI SR S R S                                                                      From the a b o v e two equati ons, we have :     1 RS R                                                                                            Whi c h mea n s that:    1/ 2 1 1/ 2 I RS R I                                                                                      Noting that 1/ 2 1 1/ 2 QR S R  ,  we  c an obtain the following relation:                                                                                                I QI                                                                                    (22)    On the othe r hand, from  (2 1), we have:     12 N cc                                                                                  (23)    Putting (22) a nd (23 )  toget her, we h a ve:    N ma x 11 2 mi n (Q ) c< c (Q ) N c                                                             (24)    This  compl e tes the p r oof.   Rem a r k  4 . We ca n see th at the co nditi ons i n  The o rem 2 a r e not  LMIs. Ho we ver, once  we fix  an , they can be tu rned i n to LMIs ba sed fea s ibility proble m  whi c h can  be solved vi a  existing software (fo r  exam ple the LM I Control To olbo x of MATLAB).       5. An Illustrativ e   Example     To illu strate  the  effectivene ss of th e  p r op osed  method,  we  present a   nume r ical   example. Co nsid er the sta t e-sp ace plan t model:    23 1 (1 ) ( ) ( ) 12 1 x kx k u k          Since  pa cket-loss p r o c e s s i s  a r bitrary, we  can o b tain t he p a cket-l oss u ppe r b oun d 2 s , for given 1 1 c ,  2 10 c  ,  2 RI  ,  100 N , if let 1.11 ,  b y  solving LMI s  (2 0)-(2 3) b y   Theo rem 2, we can o b tain  state feedb ack co ntrolle r:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 9, September 20 14:  67 50 – 675 7   6756 ( )  - 3 . 5 843 - 4 . 2463 ( ) uk x k     Whi c h en su re  the closed-l o op NCS is F T S  with respe c t to 12 (, , , ) cc N R .      5. Conclusio n   In this pa per,  the finite-tim e stabili zatio n  pro b lem s  o f  a cla ss  of NCS s with  b ound ed  packet d r o p o u t is inve stig ated. The  m a in contri buti on of thi s  p aper is t hat  both  sen s o r-t o - controlle r an d co ntrolle r-t o-a c tuato r  p a cket  dropo uts have b e en taken int o  acco unt. The  sufficie n t co n d itions fo r fini te-time sta b ili zati on of  the unde rlying system s are de rived via LMI s   formulatio n. Lastly, an ill ustrative  example is  give n to dem on strate the effe ctivene ss  of the  prop osed results.      Ackn o w l e dg ements   This  wo rk i s   sup porte d by  Nation al Nature S c ien c e  Found ation o f  China  und e r  Grant   6107 3065 and  and the Key Progra m  ofScien c e Te ch n o logy Re sea r ch of Education De partme n t  of Hena nProv i nce u nde r Grant 13A120 0 16.  The a u tho r   woul d li ke to  than k the  e d itor a nd th e an onymou s   reviewers  for thei r  con s tru c tive comment s and  sugg estio n s  for improvin g the quality of the pape r.      Referen ces   [1]  GC W a lsh, H  Ye. Sche dul in g of n e t w orke d contro l s y stems.  IEEE Control Syst. Mag.,  200 1; 21 :   57 − 65.   [2]  GC Walsh,  H  Ye, LG B u shn e ll. Sta b il it y a n a l y sis  of  net w o rked c ontrol  s ystems.  IEEE Trans. Contr o l  Syst. T e chnol.,  2002; 1 0 ; 438- 446.   [3]  W  Zhang, MS Branick y, SM Phill ips.  Stab ilit y of n e t w o r k e d  control s y stem s.  IEEE Trans.  Control Syst.    Mag ., 2001; 2 1 :  84-99.   [4]  D Yu e, QL H a n, J L a m. Net w o r k-bas ed  ro bust H ∞  c ontr o l of  s y st ems  w i t h  u n certa i nt y.  Aut o m a tica .  200 5; 41: 999- 100 7.  [5]  X J i an g, QL  H an, SR  Li u, A  Xu e. A  ne w   H ∞  stabil i zati on  criterion  for  ne t w ork ed c ontro l s y stems,”   IEEE Trans. A u tomat. Control . 2008; 5 3 : 10 25-1 032.   [6]  H Gao, T  Chen, J Lam. A ne w   de la y s y st e m  appro a ch to  net w o rk-b ase d  control.  Autom a tica . 2 0 08;  44; 39-5 2 .  [7]  J Jameel. Perf ormanc e enh a n ceme nt of  w i r e le ss comm uni cation s y stems  using transm i t and rece iv e   diversit y .   IJACT . 2010; 2(3): 163- 171.   [8]  J  H u , GY L i , Y  Son g . Si gn al f r aming  meth od s of a u tomotiv e  em bed de d  n e t w o r ke d co ntr o l s y stem  for   ban d w i d th con s umptio n optim izatio n.  JDCTA . 4(4): 15-27, 2 010.   [9]  J Xi on g, J La m. Stabiliz atio n of li ne ar  s y stems  over net w o rks  w i th bou n ded pack e t  los s .  Automatica .  200 7; 43(1): 80 -87.  [10]  L Baku le, M  D e  La  Se n.  Dec entrali z ed stabili z a tion  of networ ked complex com p osite  system s wit h   non lin ear p e rturbati ons . Proceedings of the 2009 IEEE Inter national Conference  on Control and  Automatio n . 20 09; 1-3: 22 72-2 277.   [11]  YL W ang, GH Yang.  State feed back contr o l s y nthes is for net w o rke d  control s y stems   w i th p a cke t   drop out.  Asian  Journ a l of Co ntrol . 200 9; 11(1) : 49-58.   [12]  YG Sun, SY Qin. Stabil i t y   and sta b il izati on of n e t w ork ed co nt rol s y s t ems  w i t h  b o u nde d pack e t   drop out.  Acta Autom a tica Sinica . 201 1; 37: 113- 118.   [13]  K  T s umura, H Ishii, H Hosh in a.  T r adeoffs bet w e e n  qu antiz ation a nd p a ck et loss in net w o rked co ntro l   of linear s y stems.  Autom a tica . 2009; 4 5 (12) : 2963-2 9 7 0 .  [14]  Y Niu, T  Jia,  X W ang, F  Ya n g . Output-feed back co ntrol  d e sig n  for N C S s  subj ect to q u antizati on  an d  drop out.  Information Sci enc es.  2009; 1 79(2 1 ): 3804- 38 13.   [15]  Y Ishido, K T a kaba, DE Que v edo. Stab ilit y  ana l y sis of n e tw o r ke d contro l  s y stems su bje c t to packet- drop outs an d finite-l evel q u a n tizatio n .  Systems & Control Let ters . 2011; 60( 5): 325-3 32.   [16]  OC Imer, S Yuksel, T  Basar.  Optimal c ontr o l  of LT I s y ste m s over  unr eli abl e comm uni cation  li nks, ”   Autom a tica . 2 0 06; 42(9): 1 429 -143 9.  [17]  Y Z hao, H Gao,  T  Chen. F u zz y  co nstrain e d  pred ictive c ontrol of n on-l i near s y stems  w i t h  pack e t  drop outs.  IET   Contro l T heory  & Applicati ons . 2010; 4(9): 16 65-1 677.   [18]  J Z hang, Y Xi a, Desig n  of H ∞  fuzz y  contro llers for non lin ear s y stems  w i th rand om dat a drop outs,”   Optima l Co ntro l Appl icatio ns a nd Metho d s . 2 011; 32( 3): 328 -349.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Finite-Tim e Stabilization of Ne tworked  Control System s with  Packet  Dropout (Y anling Shang)  6757 [19]  EI-Gohar y .  Opt i mal contr o l of an an gul ar motion of a rig i d b o d y   dur ing i n fi nite an d finite-t ime interv als.   Appl. Math. Com p ut.,  2003; 1 41: 541- 55 1.  [20]  EI-Gohar y ,  AS  AI-Ruzaiza. O p timal co ntrol  of non- homo g e nous  pre y – p re dator mo dels  d u rin g  infi nit e   and fin i te-time i n tervals.  Appl. Math. Comput . ,  2003;1 46: 49 5-50 8.  [21] P  Dorato.  Shor t tim e  stability in linear time-v arying system s .  Proc. IRE internatio nal co nve n tion rec o r d   196 1; part 4: 83-87.   [22] L W e iss, EF  Infante. Fini te time stabilit y un der pertur b in g forces and o n  prod uct space s .  IEEE Trans.   on Auto mat. C ontrol . 19 67; 1 2 : 54-59.   [23]  F  Amato, M Ariola, P D o rate.  F i nite-time co n t rol  of lin ear s ystems subj ect to  par ametric u n certai ntie s   and d i sturb anc es.  Automatica.  2001;   37; 14 5 9 -14 63.   [24]  E Moulay , W  Perruquetti . Fi nite tim e  sta b il it y   an d sta b il iz atio n  of  a cl as s of co ntin uou s s y st ems. J.   Math. Anal. Appl.,  2006; 3 23; 143 0-14 43.   [25]  E Moula y , M Dambri ne, N  Yega nefar, W Perruq uetti . Finite-time stab il it y  a nd stab iliz ation of time- del a y  s y stems.   Systems & Co ntrol Letters.  2 008;   57: 5 61-5 66.   [26] Q Ming, Y Shen. F i nite-time H ∞  control for linear continuous s y st em  w i th norm-bounded disturbanc e.   Co mmun. N onl ine a r Sci. Nu mer. Simu lat.  20 09; 14: 10 43-1 049.   [27]  F  Amato, M Ariola, C C o se n t i no. F i nite-tim e control  of di screte- time li n ear s y stems: ana l y sis a n d   desi gn co nditi o n s.  Automatica.  2009; 46: 91 9 - 924.   [28]  X L i n, H D u  S  Li. Unif orm finite-time sta b il it y  a nd fe ed ba ck stabiliz atio n  for discrete-ti me s w itche d   line a r s y stems  and  its ap plic ation to  net w o rk ed co ntrol s y st ems . Contro l a nd D e cisi on . 2 011; 6:  841- 846.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.