TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.4, April 201 4, pp. 2543 ~ 2 5 4 7   DOI: http://dx.doi.org/10.11591/telkomni ka.v12i4.4740          2543     Re cei v ed Se ptem ber 2, 2013; Re vi sed  Octob e r 11, 2 013; Accepte d  No vem ber  18, 2013   Algorithms for Lorenz System Manifold Computation       Jia Meng*, Wu Bing   Dep a rtment of Electrical E ngi neer ing,  Xi n Xi ang U n ivers i t y ,   East Jin Sui street, Xi n X ia ng c i t y , HeN an pr o v ince, Ch ina   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : tianshi _cd@ 163.com       A b st r a ct  A new  a l g o rith m  is  prese n ted  to co mpute  b o t h on e  di me nsi ona l sta b le  a n d  u n stab le  ma nifol d s of   pla nar  maps. It is pr oved  that  the gr adi ent of  the gl ob al  man i fold c an  be  pr edicte d  by  the  know n p o ints  o n   the man i fold w i t h a gra d ie nt p r edicti on sch e m e  an d it  can  be us ed to  loc a te the i m ag e  or prei mag e  of  the   new point quic kly. The perfor m ance  of the algorit hm  is  demonstrated  with hyper chaotic Loren z   system .     Ke y w ords :   dis c rete dynamical system , stabl e m a nifold, uns table  m a nifold,  hyper bolic fixed point, gradient  pred iction     Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  2D ma nifold i s  a colle ction  of 1D sub-m ani fold s. So the first  step i s  to co mpute  enoug h   1D sub - mani folds to cove r the 2D m a nifold. Du ring  the comp utation, the co rre sp ondi ng for  messag es of  mesh p o ints  on the 1D  su b-ma nifold  is recorded  [1-2 ].    As me ntione d ab ove, 2D  manifold i s   a  colle ct ion of 1D su b-ma nifolds.  So   the  f i rst step  is to  co mpute  eno ugh  1 D   sub - ma nifold s to  cover th e 2 D  m anifol d . Du ring  the  co mputatio n, the   Foliation a r c-l ength of mesh points o n  the 1D sub-ma nifold is lab e led [3-5].       2. The Proce dure of 2 D  M a nifold Com puta t ion   Take a roun d  circl e  cente r ed at hyperb o lic fixed poin t   0 x  on the 2D local ma nifold , the n   sele ct   N  mesh  points o n  the  circle u n iform l y. The Fo liation arc-length  of the 1D  su b-ma nifold is  A RC . Label the  1 D  sub-manifo ld as  1 L  and ta ke it a s  a ref e ren c e li ne.  Then  com put e anoth e r  1D su b-m anif o ld  2 L  through  the next point on the circl e  up to Foliation arc-len g th  A RC  and  che c k the  di stan ce  between  2 L  an d th e refere nce l i ne. Th e di st ance i s  m e a s ured  by the  greate s t di st ance bet wee n  two  me sh  points  of the  sam e  Foli ation a r c-len g th  with o ne p o i nt  taken from  1 L   and the othe r take n from   2 L . If the distance is g r ea ter than  max SI ZE  (the   maximum  size of the  me sh), a  ne w 1 D  su b-m anifold  nee d to b e  i n se rted  between th em. Th e  new 1 D   sub - manifold i s  t h roug h the  mi dpoint  of the  two m e sh p o i n ts  co rre sp o nding  to  1 L  and  2 L  on t he  circl e . The n  eval uate the  di stance b e twe e n  the  ne w  1 D   sub - ma nifold a nd th e  reference line, if  the distance is  still greater than max SI ZE , go on to inse rt new 1 D  sub - m anifold  with the meth od mention e d  above. Oth e rwi s e, ta ke  the ne w 1D  sub-m anifold  as the refere nce  line and  com pute the next 1D sub-manif o ld th rou gh th e next point on the circle [4 -9].  After the mentioned p r o c ess is co mpl e ted,  we nee d to check the distan ce  betwe en  neigh bori ng  1D  sub - ma nifolds  agai n to  remove th ose wh o lie to  clo s e to e a ch  other. F o r th ree   adja c ent 1 D   sub - ma nifold s  i L ,  1 i L  and  2 i L , if the di stan ce  betwe en  i L  an d  1 i L  is  small e r  than  mi n SI ZE  (the mi nimum  size o f  the mesh )a n d  the di stan ce between  i L  and  2 i L  is less than   max SI ZE ,  1 i L  is delete d .  In the next step, the re su lt is visuali z e d . For  every  1D  sub - ma nifold that h a s b e e n   comp uted, pi ck o u t the poi nts wh ose Fo liation arc-l e n g th is  *( 1 , 2 , ) ks t e p k  to repres ent the   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 4, April 2014:  2543 – 2 547   2544 origin al 1 D  sub-m anifold.  Mesh  si ze i s   defined  by the value of s te p . Beca use the F o liation a r c- length of  me sh point s of th e ori g inal  1D  sub - ma nifold  is n o t exactly  an inte ge r m u ltiple of  s te p ,  linear i n terp ol ation is requi red to get th e expec te d p o ints. Co nne ct the me sh  points  who  h a ve   the sa me F o l i ation a r c-len g th on  all the  re con s tr u c te d 1D sub-ma nifolds  su cce ssively  with li ne  segm ents  to visuali z e  the 2D  ma nifold as circle s,  that is to say, the fo liation arc-length of the  mesh   p o int s  on  t h e  same  cir c le   is  ide n tical.  We  can  a l so  re pre s e n t  the 2 D  m anif o ld a s  a  su rfa c e   by cove ring  it with tri ang ular g r id s. Th e  tr iangul ation betwe en  two neigh bori ng circle s  i s  depi cted  in Figure 1.      1 ki  ki     Figure 1. The  Triang ulation  betwee n  Two Neig hbo rin g  Circle s      If all the sub-manifolds are  computed from  the initial circle, it will be seemingly   unne ce ssary  to use the “i ntricate ” procedures p r e s e n ted in the previou s  su bsection. But the  potential  risk  is that too  m any su b-m ani folds a r e  accumulated  in t he wea k  di re ction of th e 2 D   manifold, a n d  if the  dist ance b e twe e n  adj acent p o ints  on th e  initial  circle  app roa c h e s the  comp utationa l preci s io n limits, no more sub - manifo l d s could be i n se rted even  if  the distan ce is  still too  great. An alte rnativ e is to  com p ute the   2D  m anifold with h i gher comp utation  p r e c isi o n,  but the com p utation expen se will b e  too  great. In  this paper,  we a pply an integrated method:  i f   the di stan ce  betwe en th e  co unterpa rts on th e init ia l circle  of two adj acent  sub-m anifold s is  greate r  than  threshold p r eci s i o n , then add a  ne w point on th e initial circle  betwee n  the m  and   comp ute the inse rted sub - manifold thro ugh it; ot herwise, the re cu rsive pro c e d u r e is employe d .      (1) (2 ) (3 ) 1 A 1 B 1 Or b i t 2 Orb i t 12 Or bi t 1 C     Figure 2. Visualization of 2D Manifol d       In the n e xt step, the  re sult i s  visual ized  by tria n gulation. An d this ste p   can  be   inco rpo r ate d  with the afore m entione d re cursive alg o ri thm.      3. Simulation   In this  pape r  Lore n z sy ste m  is  used  as an  ex ample   for si mulatio n .  Lore n z sy stem is a  model de scri bing the dyn a mics of atmosp heri c  co n v ection, and i t  is well kn o w n for its b u tterfly  sha ped  cha o tic attra c tor [1 0-11]. The m odel is  written  as:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Algorithm s for Loren z Syst em  Manifold Com putation  (Jia M eng )  2545 () x yx yx y x z zx y z                                                                         (1)    Whe n 10 ,  28  and 8/ 3 , the attracto r is ch aotic, a s  shown in F i gure  2(a ) .  The mod e l is  contin uou s a nd in the form  of an or dina ry differential equatio n. By  usin g differen c e,  the system i s  discre dited.     1 1 1 () () nn nn nn nn n nn nn n xx yx T yy x zy T zz xy z T                                                       (2)    The previous is simplified as:    1 1 1 () () () nn n n nn n n n nn n n n xT y x x yT x z T y y zT x y z z                                              (3)    In ord e r to m a intain th e p r operty of th e  contin uou s  L o ren z   syste m , the value  of  T  nee d   to be ap pro p riate. If  T  is too  great, the  a pproxim ation  is to coa r se   and the  discrete syste m  is  not ch aotic  a n ymore; o n  the othe r ha n d , if  T  is too small, the evol uti on spee d o f  the system i s   too  sl ow. We  find  that whe n   0.01 T , the discret e Lo ren z   syst em ha s  a  cha o tic attracto r  simila r  to that of the continu o u s   Lore n z  syste m , at t he sa me time, the system evolv e s at a mo de rate  spe ed.   The o r igi n  is  a hype rboli c   fixed point  of  the di screte   Lore n z sy ste m , and th e  Jaco bian  matrix at it is:    0. 9 0 .1 0 0.28 0 . 99 0 0 0 0 . 97 33 A                                                   (4)    Ja cobi an m a trix  A  has 3  rea l  eige nvalue s:  1 0.7717 ,  2 1 . 11 83  an d  3 0 . 97 33 .  It is inte re stin g to n o tice  th at the di screte Lo ren z   ha s  2D  stabl e ma nifold, which i s  al so  si milar  to   that of the continuou s Lo re nz sy stem.   In Figure 3 ( a) a nd Fi gure 3(b), the  2D  st able  m anifold i s  re pre s ente d  by  1D  su b- manifold s. Figure 3 ( a )  and  Figure  3(b) showed the sa me manifold  se e n  from different dire ctio n.    In orde r to  sho w  mo re  details, the  uppe r pa rt a nd lower  part of the man i fold are  plot ted   sep a rately. T he minimum  distan ce be tween a d ja cent 1D  sub - manifold is 0.0 0 1 pre c i sion .  Ho wever, if a ll the sub-ma nifolds  are co mputed  with   starting  poi nts on  the i n itial ci rcl e , the  2D  manifold  ca n  only b e   co mputed  up t o  arc-len g th  80  with th e  sa me a c cu racy p a ra met e rs   becau se the  minimum di st ance is a pproximately  24 10  an d is ap proaching the a c cu racy limit s.  Totally 1263  sub - ma nifold s are comput ed with  starti ng point s on t he initial ci rcl e  to cove r the  2D  manifold. In c o ntras t, when 80 ARC , only 1 020  su b-m a nifolds are  comp uted  wi th the  prop osed alg o rithm an d on ly 25 of these  sub - m anifol d s are com put ed with sta r ti ng point s on the   initial circle.  The minim u m distance is 0.0 0 1 pre c i sion . We can  see that the prop osed  algorith m  n o t only redu ce s the  total n u mbe r  of  su b-ma nifold s  but al so  avoi ds  gen eratin g too   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 4, April 2014:  2543 – 2 547   2546 many points  near the initi a l circle. So our al g o rithm  has obviou s  advantage s esp e ci ally wh en  comp uting a l a rge pi ece of 2D manifol d .         Figure 3(a).  Part of the Stable Mani fol d , Repre s e n te d by 1D Sub-manifold s          Figure 3(b ) . Part of the Stable Manifold s, Repre s e n te d by 1D Sub-manifold s            Figure 4. Part of the Stable Manifold,  Rep r e s ente d  by 1D Sub-m anifold s  Figure 5. The  2D Stable M anifold of Di screte  Lore n z Syste m , using both  Foliation Arc- length an d Euclid Arc-l eng th      In Figu re  4, p a rt of the  sta b le ma nifold i s  pl otted a nd  rep r e s ente d   by a g r ou p of  1D sub- manifold s. Th e green  one s are  startin g  f r om the i n itial   circle, while the  re d  on es are com pute d   with the al gorithm. Th e minimum  distan ce  betwe en adj ace n t 1D  sub - ma nifold s is  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Algorithm s for Loren z Syst em  Manifold Com putation  (Jia M eng )  2547 0.0 0 1 pre c i sion , and there  a r e totally 369  sub - manifol d s in the 2 D   manifold of F i gure  4 and   246 of them  are  comp uted with  starti ng point s on   the initial ci rcle.  Ho weve r, if all the sub- manifold s a r e co mpute d   with sta r ting  points on  t he initial  circle, the mini mum di stan ce is  approximatel y  5 10  an d the  nu mber of  1D sub-m anifold s  is 4 52. T he  n u mbe r  of  sub - manifol d s  and th e de n s ity of point s nea r the  ini t ial circle  are  both  red u ce d by ap plyin g  the  pro p o s e d   algorith m .  In Figu re 5,  we use b o th F o liation a r c-le ngth an d Eu cl id arc-l ength  to co ntrol t he  gro w th.  Comp ared to  Figu re  5, the  gro w th  of lo wer pa rt  of th e manifol d  i s   getting a  little wo rse, but t h e   gro w th of th e uppe r p a rt  (whi ch  ha s  a com p licat e d  stru ctu r e) i s  imp r oving.  So, the overall  perfo rman ce i s  improved.       4. Conclusio n   Comp ared to  the algo rith m in refe ren c e [3], it is cle a r that ou r al gorithm  doe s better in   controlling the growth of  the 2D  manifold. What’s  more, the al gorithm  in  reference [3]  only  comp utes 2 D  un stable  ma nifold of  a m ap  while  ou r algorith m   i s  capabl e  of co mputing both   2D  stable a nd un stable ma nifo ld.  The wea k  poi nt of our al go rithm is to o m u ch  m e sh poi nts are ge nerated at the in ner p a rt   of the 2 D  ma nifold, and it  is a  promi s in g key  point  whe r e th e al gorithm  ca n  be revised  in  the  future.       Ackn o w l e dg ements   The  wo rk i s   suppo rted  by  Tackle K e y Proble m s in S c ien c e  and  T e ch nolo g y of  He  Nan  provin ce in  China (Gra nt No. 11210 221 0 014), Ta ckle  Key Problem s in Scie nce  and Te ch nolo g y  of Xinxiang ci ty in China (G rant No. ZG 1 1009 ).       Referen ces   [1]  Z  You, EJ K o s t elich, JA Y o rk e.  Calc ul ating  stable   an d uns table   man i folds .  Int. J. Bifurc. Chaos Appl.   Sci. Eng.  199 1; 1: 605-62 3.   [2]  T S  Parker, LO  Chu a . Practical  Numerica l Alg o ri thms for Ch aotic S y stems. Sprin ger, Berli n , 1989.   [3]  D Hobson. An effici ent metho d  for computin g invar i ant ma nifol d s.  J. Comput. Phys . 199 1; 104: 14- 22.   [4]  B Krausko pf, HM Osin g a . Gro w in g  unstab l e m a n i folds  of pl a nar ma ps,  151 7, 19 97,   http:// w w w . im a . umn.edu/pr epr ints/OCT 97/1517.ps.gz.   [5]  B Krausk opf,  HM Osin ga. G r o w in g  1D  an d  qu asi-2 D   unst abl e ma nifo lds  of ma ps.  J. Comput. Phys.   199 8; 146: 40 4 - 419.   [6]  JP Engla nd, B  Krausko pf, HM Osinga, Com p uti ng On e-Dim ensi ona l Stabl e Manifo lds a n d Stabl e Sets   of Planar Ma ps   w i th out the Inv e rse.  SIAM J.  Appl. Dyn. Sys t .  2004; 3: 161- 190.   [7]  M Del l n i tz, A H ohma nn. A  su bdivis i o n   alg o ri thm for the  co mputatio n  of u n stabl e ma nifo l d s a n d  gl ob a l   attractors. Numer. Math. 199 7; 75: 293- 299.   [8]  J Palis, W D  Melo. Geometric  T heor y  of D y n a mi cal S y stem s. Springer-V er lag, Ne w  Y o rk, 198 2.  [9]  W  Govaerts, Khoshs iar  R  Ghazia ni, Yu   A Kuzn etsov,  HGE Meij er.  Cl MatC ontM: A tool bo x for   contin uati on an d bifurcati on of  c y cles  of ma p s , 2006,http:// w w w . m a tcont.U Gent.be.  [10]  Khair udi n. RBF NN Control  o f   A   T w o- Li nk F l exibl e  Mani pu l a tor Incorpor ating Pa yl oa d.  TELKO M NI K A   T e leco mmunic a tion C o mputi n g Electron ics a nd Co ntrol.  20 10; 08: 57- 164.    [11]  P  Srikanth,  Ash w a n i Kumar  Cha nde l. Inver s e S-T r ansform Based Dec i sion  T r ee for Po w e r S y stem   F aults Identific ation.  T E LKO M NIKA  T e lec o mmu n icati on C o mputi ng El ectronics a nd C o n t rol.  201 1; 0 9 :   99-1 06.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.