TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 12, No. 11, Novembe r   2014, pp. 77 8 5  ~ 779 7   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i11.64 71          7785     Re cei v ed  Jul y  11, 201 4; Revi sed Aug u st  23, 2014; Accepted Sept em ber 6, 201 4  Time Varying Autoregressive Model Parameters  Estimation using Discrete Energy Separation Algorithm      G.Rav i  Shan kar Re dd y * 1 , Ram esh w a r  Rao 2   1  Dept.,of ECE, CVR College of  Engineer ing,  Hy derabad, India  2 JNT  Universit y , H y d e rab ad, Indi a   Corresp on din g  author, emai l:   ravigosula_ece39@y a hoo.co.in 1 , ramesh w a r _ rao@hotmail. com 2       A b st r a ct  T i me V a ryin g Autoregr essive  (T VAR) mod e l  for the Ampli t ude a nd F r eq uency  mo du lat ed (AM- F M) signa l is   prese n ted  in  this p a p e r. T VAR p a ra me ter s  of AM-F M si gna l ar e esti mated  usin g D i s c ret e   Energy S e paration (DESA) A l gorithm . The  performanc e  of  DESA method is shown to be com p arable  to  the existi ng  ba sis functio n   me thod for AM, F M , AM-F M signal  mode ls. T he pro pos ed  me thod is s i mpl e r  t o   execute  in h a r d w a re an d co n s umes co nsid e r ably l e ss  co mputatio na l reso urces co mpare d  to the  meth o d   using Adaptive and the B a sis  function  m e t h ods. .It is  dem onstrated that the prop osed  technique based on  DESA has cert ain distinct advantages  over  the conven tional  m e t hod employing basis f unctions. Another   adva n tag e  is that the prese n t meth od w o rks w e ll w i th quickl y varying si gna ls    Ke y w ords :   amplitu de  an d fre que ncy  mo dul a t ed si gna l, ti me  varyin g a u tore gressiv e   mo del , basis fu nctio n ,   discrete e nerg y  separati on a l gorith m     Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  Most tem poral sig nal s e n c ou ntere d  in  real  appli c a t ions h a ve ti me-varyin g   statistics,  whi c h m a ke  them no nstat i onary [1,  2]. The  probl e m  of time  de pend en cy in  non stationa ry is  bypasse d by assumin g  local stationa ry over a rel a tively short time  interval, in which  stationa ry  system i denti f ication a nd  analysi s  te ch nique s a r e a pplied. Ho we ver,  this assumption  i s  n o t  alway s  valid for real  life signals like  spee ch, Electro c a r dio g ra m (ECG ) and  Electro e n c ep halog ram  (EEG), be cau s e su ch  sign a l s may have  time varyin g amplitud e  and  freque ncy  [3,   4].  No nstatio nary sign als whi c h are   a compou nd of con s tituent s with  time -varying  amplitude  an d fre quen cie s   can  be  mo deled   by a m plitude  and  freque ncy m o dulated  (AM - FM)  s i gnals  [5].  The be st fre quen cy re sol u tion for stati onar y si gnal s is obtained  by using pa rametri c   method s. Th e sig nal i s  fitted in to a n   Autoreg r e ssiv e  (AR) o r  a  moving ave r age  (MA) o r   an  Autoreg r e ssiv e  Moving  Averag e  (ARM A) mo del. It i s   sho w n  that  the p a ramet r ic metho d  yi elds  very high  fre quen cy resol u tion in th e  spe c tral  e s timation fo r e v en very  sm all length  of  the  stationa ry si g nal [6]. Spect r al a nalysi s  o f  nonsta tio n a r y signal s, wit h  high f r eq ue ncy-re solutio n  is  obtaine d by using the time  varyi ng auto r egre s sive (T VAR) process.  In the modeling of nonstati onary si gnal s by a TVAR p r ocess, two  method s may be used   for estimatin g  the TVAR para m eters: the ada ptiv e algorith m  ap proa ch a nd t he ba sis fun c tion   approa ch. Ad aptive Algorit hms, such as the l east me an sq ua re (L MS) and the  recursive lea s t  squ a re  (RLS), use a dyn a m ic mo del fo r ada pting th e TVAR pa ra meters and  are  cap able  of  tracking time -varying frequ ency, provid e d  that t he va riation is sl o w . These me thods work well  with slo w ly varying si gnal s but fail to track rapi d va riation [5]. If  the coeffici en ts cha nge fa st  enou gh; co m pare d  to the  algorith m ’s  Converg e n c e ti me, the adap tive algorithm  will not be a b le   track the time  varying para m eters.  The  ba sis fu nction  meth o d , in  whi c h  the time -vari a nt pa ramete rs a r e  expa nd ed a s  a   summ ation of  the weig hte d  time-fun ctio ns, are ca pa ble of trackin g  both the fa st (o r) the  sl ow   time-varying f r equ en cie s . In the ba si s fu nction  ex pan sion, two issu es n eed to  be  re solved. Fi rst,  a gene ral  cla ss  of basi s  fu nction s i s  ch o s en  and the n , the signifi ca nt basi s  fun c tions  need to  be   sele cted.  Sev e ral cla s se s of  functio n s have  b een  propo sed  in clu d ing  polynom ial, wavel e t a nd  prolate   sphe roidal fu nctio n s  [15,  16].  Howeve r, no  uniform  rule exists to  indi cate which  cla ss  sho u ld b e  ad opted. Mo reo v er, the app roach of c hoo sing th e si gni ficant ba si s functio n s i s  b a se d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  77 85 – 779 7   7786 on trial and e rro r [16]. The  sele ction of the ex pan sio n  dimensi on is questio nabl e  since there is  no fun dame n t al theo rem  o n  ho w to  cho o se  them.  It i s  id eally exp e c ted th at whe n  the  expan si on   dimen s ion i s  infinite, the result of the  freque nci e s  estimation f r om any ba si s fun c tion is the   same,  which will  exactly  equal to  the true frequency. But this  i s  im pract i cal,  since t he  comp utation  may requi re i n finite memory, and infinite computatio n a l time con s u m ption.   Modelin g by a TVAR pro c ess is a ge ne ral  app ro ach,  and all other  non stationa ry models  (AM, FM, AM-FM and mo re) ca n be sh own to be sp ecial cases o f  the general  approa ch [5]. A  real  AM-FM   signal  ca n b e   modele d  u s in g a  2-ord e r T VAR p r o c e s s, and  a  sig nal  co mpo s e d  of  p  real  co mpon ents  will  req u ire  a 2 p -  order  TVAR p r oce s s [14]. I n  the m odeli ng by a  TV AR  pro c e ss,  the  estimation  of  the  TVA R  p a ram e ters   re quire  the i n ve rsio n of  an  covarian ce  ma trix  of size [2p (q +1) x 2 p  (q +1)], whe r e q  is the  requi re d numb e r of  basi s  fun c tio n s to represe n t  each TVAR p a ram e ter.   In this pa per  we h a ve est a blish ed the  relation bet we en the p a ra m e ters  of the  AM-FM  sign al and th e para m eters of the TVAR pro c e ss.   We  have used th e Discrete En ergy Sepa rati o n   Algorithm (DESA-1) to est i mate  the TVAR coeffici ents and the m odulating signals of the T VAR   pro c e ss [14].  The estimati on tech nique  presented  h e re is  con c e p tually simpl e r and e a si e r  to  impleme n t than the metho d  based on b a si s functio n s.  The p ape r i s   orga nized  as  follows: In se ction 2, th e T VAR re pre s e n tation of the  AM-FM   signal is  presented. In section 3, the comple te estim a tion procedure based  DESA is provi ded.  The  revie w   of estim a tion  usi n g  ba sis functio n s i s  presented  i n  Se ction  4. In  se ction  5  experim ental  pro c e dure i s  discu s sed.  The ex p e rim ental results  for the AM,  FM, and A M -FM  signals with the  DESA ba sed  techni que and basis  fu nction technique are pr esented in section6.  Finally, in Section 7, co ncl u sio n  is provided.       2. TVAR Rep r esen ta tion of AM -FM Signal  The AM-FM  signal is given  by:       cos                                                                                                                     (1)    Whe r e      and    are the  pha se and a m plitude of the  si gnal respe c tively. The AM-FM  sign al is give n by a 2-orde r TVAR proce ss [14].       1   2                                                                               (2)    Whe r e   is the  predictio n error. The sequ ence  is assu med to be of  zero mean a nd varian ce         . Let      be the time instant  at which the tran sient  re sp onse has be come insig n ificant. For     ≫     (     →0  ), the role  of  in   is in sig n ificant  comp ared to th e role of   1  and    2 .   Then, the Eq uation (2 ) can  be written a s ,               1   2                                                                                      (3)    Or,       1 cos   1   2 cos   2                          (4)    As s u ming     d    1 ,  and d  1   1   2 ,   We obtai n:       sin  1                                               ( 5 )     Then,   can be  written a s :      cos  1  cos d  s in  1  sin d                        (6)    From Equ a tio n  (5) a nd (6 ), we w r ite:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Tim e  Varying  Autoregressi ve  Model Parameters  Es timation us ing …  (G.Ravi S han kar  Red d y )  7787           cos   1        cos   2      (7)     Comp ari ng Equation (7)  wi th (4), we g e t:                        ( 8 )                                                  ( 9 )     Once     are esti mated, the si gnal  can be reco nstructe d by Equation (3).       3. TVAR Par a meter Es timation Usin g Discre t e E n erg y  Separation Algori t hm  For both cont inuou s  a nd d i screte  tim e   signal s, Kaiser ha s defin ed  a nonli nea r e nergy   tracking o p e r ator    [7].For the discrete tim e  ca se, the e nergy op erator for  is defin ed as,      ≜   1  1                                                                       (10)    For the si gnal ,        cos  ,                                                                                                                          (11)    We have:                                                                                                                    (12)                                         And,     | |                                                                                                                (13)    Whe r e,        .                                                                                                                                              (14)    Whe n  one  of the variable s    (or)   is co nstant, we can get the ot her vari able  with a   scaling of   .  So, the energy operato r   can e s timate  the modulat ing sig nal, or more  pre c isely its  scaled  versio n, wh en  either AM (o r)FM  is  pre s e n t [7 ]. When  both  AM an d FM   are   pre s ent sim u ltaneou sly, three alg o rith ms are de scribed in [7]  to estimate   and     sep a rately. T he be st amo ng the thre e  algorithm s  according to  performan ce  is the discrete   energy separation algorithm1(DESA-1). T he DESA-1 i s  defined as f o llows:     S (n) =  (n) −   (n − 1).                                                                                                                         (15)                 ≃c o s  1                                                                                                          (16)      |   | ≃                                     ( 1 7 )     Thus,      can b e  estimated usin g the Equation (1 6) and (17), and the TVAR  coeffici ents a r e estim a ted  with the follo wing e quatio n.                                                       ( 1 8 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  77 85 – 779 7   7788                                  ( 1 9 )                  The  coefficient s  th us  estimate d   exhibit  ri pple s   a nd  th erefo r e  req u ire   sm oothing   u s ing   a   filter [8]. Rip p les  ca n be  redu ce d by  us in g the  smoothing. S m oothing  ca n be d one  u s ing  binomial filter with filter co e fficients (1,6 ,15,20,15,6,1 ) .The  si gnal   can b e  re co n s tru c ted by  equatio n(3 ) u s ing the estim a ted value s  o f      .      4. TVAR Par a meter s  Esti mation Usin g Basis Fun ctions   The coefficie n ts  (n) of TV AR mod e l in  Equation  (2)  are a s sum e d  to be sm oot h in the  sen s e that if the first deri v ative of each coeffi ci ent may be arbit r arily  large, the highe r order  derivatives n e ce ssarily v anish. So, the  coeffici ents  (n) can be ap proximate d  by a  set of basis  function s.   The no n stat ionary di scre te-time sto c h a stic  pro c e ss   is  r e pr es en te d  b y  p th  orde r  TVAR model  as:        ∑ ,                         ( 2 0 )     Her e   ,  are tim e -varyin g  coe fficients a nd    is a  stationa ry white n o ise pro c e s s an d  who s e mea n  is zero an d varian ce is  .   Acco rdi ng to the time-varyi ng coeffici ent s evolution,  TVAR is likel y to be cate gori z ed i n  to two  gro up’ s i.e. adaptive method an d  basi s  fun c tion  approa ch.   TVAR mod e l  based  on t he ba si s fun c tion te chni q ue is able  to  trace a  stro ng no n- stationa ry si g nal. In this te chni que, e a ch of  its time -varying  coeffi cient s a r e m odele d  a s  lin ear  combi nation  of a set of basis fun c tion s [15].  The pu rpo s e  of the basi s  i s  to pe rmit fast  and  smoot h time variati on of the coe fficients.  If we denote  , as the ba si s functio n  and  consi der a  set   of (q + 1) fu nction for a g i ven model,  we can state  the TVAR co efficients in g eneral as:        , ∑  ,                   ( 2 1 )     From (2 1) we examine that, we have to calculat e the set of paramete r s    for   {k= 1 ,2,....... ., p; m= 0,1,2,....... .... .,q;    =1} i n  order to co mpute the  T VAR co effici ents  , ,and   the TVAR model is  abs o lutely s p ec ified  by this  s e t.  The TVAR  coefficient s are de sign ed a s  follo ws ,  we  con s id er  sin g le re alizatio n of the  p r oc es s   .For a given reali z ation of   we can analy z e (2 0) as a time -varying linea r predi ction   error filter an d con s id er   to  be the predi ction error.     = -                                                                                                                                        (22)                     Whe r e,        ≜ ∑ ,                    ( 2 3 )     The total squ a red  predi ction error,  whi c h  is a s  well as the error i n   modelin g   , is now  specified  by:        ∑| |        Substitute (2 1) in (2 3) an d  the predi ctio n error    can be written a s :        ∑∑  ,                       ( 2 4 )     The total squ a red p r e d ictio n  error  can b e  formulate d  as:       ∑  ∑∑  ,                 ( 2 5 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Tim e  Varying  Autoregressi ve  Model Parameters  Es timation us ing …  (G.Ravi S han kar  Red d y )  7789 For m odelin g  the non  stati onary  sto c ha stic p r o c e s s     ,  covari an ce te chni que,  we  make  no a s sumption s on t he data out si de [0, N-1]. In equatio n (2 5)   is the interval over whi c h  the summatio n  is perform e d  and set   , 1 .  By minimizing the mean sq u a red p r edi ctio n   error in (2 5)  we ca n estim a te the time-varying para m eters     [16].  We can mini mize the mea n   squ a re d predi ction erro r in (25 )  by  mean s of setting th e gradi ent of     with respec t  to   ∗   ze ro.        ∗ ∑  ∗   ∗ ∑  ∗   ∗ 0                                                                                                                                     (26 )     1,2 , ⋯ , ; 0,1, ⋯ ,     Whe r e,                       ∗  ∗ ∑∑  ∗ , ∗  ∗               And the deriv ative of   ∗  with res p ec t to   ∗          ∗   ∗  , ∗  ∗                         Con s e quently  (26) b e come s,      ∑ , ∗  ∗ 0                    ( 2 7 )     The a bove  mentione d  condition i s   si milar to th e orthog onality   law en cou n tered   in statio nary  sign al modeli ng. Substitute   24  in (27) we have:      ∑  ∑∑  ,    , ∗  ∗ 0             ( 2 8 )     No w we d e fin e  a function   ,   as sh own belo w ,     , ≜ ∑ ,  , ∗  ∗                                                                                                                               (29 )     Usi ng the ab ove definition  in (28)  we ha ve,      ∑∑    ,     , 0                  ( 3 0 )     The above e quation rep r e s ent s a syste m  of p( q+1) li near e quatio ns. The a bov e system   of linear eq ua tions can be  efficiently re p r esented in m a trix form as f o llows.   Define a  colu mn vector    as  follows :                ⋯      ,               ( 3 1 )        0,1, ⋯ ,     We can us e the func tion (10) to find the following matrix for    0 ,          1, 1     1,2  ⋯  1,    2,1  2, 2 …  2, ⋮⋱ ⋮  , 1      , 2    ⋯  ,               ( 3 2 )     The ab ove matrix is of size pxp a nd  all the differe nt values for m and g re sulting in   (q+1)x(q+1) such  matri c e s ,  by mea n s of  these  ma tri c e s ,  we can no w  d e scri be a block  m a trix as  s h ow n  be lo w ,      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  77 85 – 779 7   7790        ⋯    ⋱  :: : : .. . .   ⋯                            ( 3 3 )     The ab ove Block matrix  C has  (q +1 )x(q+1 ) el e m ent s an d ea ch e l ement is  a  matrix of  size pxp, whi c h implie s the  Block mat r ix C of size p(q + 1)x p ( q + 1).   N o w  w e  descr ibe a column vec t or    as sh own b e lo w:         1,0         2,0     ⋯  , 0               ( 3 4 )        0,1, ⋯ ,     By using the  definition s  fro m  (31 ) -(34 ) we  ca n re pre s ent the sy ste m  of linear  e quation s   in (30) in a c o mpac t mat r ix form as  follows :      ⋯  ⋮⋱ ⋮  ⋯    ⋮  ⋮                                             (35)             By solving th e above matrix equation,  we  can obtai n the set of  TVAR param eters     (elem ents of   ), the predi cto r  co efficient s  ,  can n o w b e  cal c ulate d  usi ng (2 1).Th e  matrix C is  of size p(q+1)xp(q+1),to  solve the a b o ve  system  of linear e q u a tions  we re quire s O (    13 computat ions.   In the  ba sis functio n  exp a n sio n , two  issues ne ed to  b e  resolved. Fi rst  a g ene ral   cla s s of  basi s  fun c tio n s is to b e  chosen, whi c h  can su itably  captu r e the  time variation ,  and then, the   signifi cant n u m ber  of ba si s fun c tion s n eed to b e  se lected. Seve ral cla s se s of  function s h a ve   been p r o p o s ed in the literature  su ch a s  time bas i s  fu nction s, Leg e ndre  polynom ial, Cheby she v   polynomial, Dis c rete prolat e  sphe roidal  (DPSS) s e quence, Fourier ba s i s ,   disc rete c o s i ne basis ,   Wal s h  basi s ,  Multi wavele t basi s  fun c ti ons.  Ho weve r, no  uniform  rule  exist s  to indi cate  wh ich  cla ss  sho u ld  be ado pted. The ap pro a ch of choo si n g  the signifi cant numbe r o f  basis fun c ti ons  (order  sele cti on) is  based  on trial an d erro r [15]:  Moreove r , the expan sio n  of the TVAR   para m eters i n to the basi s  sequ en ce s substa ntia lly increa se s the  numbe r of model pa ram e ters  that is to be estimated. T o  compare the perfo rmance of DESA with Basis function method  we   use di screte  co sine b a si s functio n .    4.1. Discre t e  Cosine Basi s Functio n      , = α  (m)  co s   π         Whe r e,      α (m )=            0            0 ,1,2 … … .                                                                                      (36)  n= 1,2.....N      For all the a bove mentio ned p r oble m s, the  TVAR model pa ra meter e s tima tion usin g  basi s  fun c tio n  app roa c h  requi re s hig h  com putatio nal complexi ty. In this paper  we  ha ve  establi s h ed t he rel a tion b e t ween th e pa rameters of th e AM-FM  sig nal an d the p a ram e ters of  the   TVAR pro c e s s. We h a ve u s ed the  Di screte Ener gy S eparation Alg o rithm1 (DES A-1) to e s tim a te   the TVAR c o effic i ents and the modulating  s i gnal s of  the TVAR proc es s [11]. The DESA-1 bas ed  TVAR pa ram e ter e s timatio n  is con c eptu a lly simpl e r a nd e a si er to  i m pleme n t th an the  metho d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Tim e  Varying  Autoregressi ve  Model Parameters  Es timation us ing …  (G.Ravi S han kar  Red d y )  7791 based on basis functions.  T VAR parameter estimation usi ng DESA requires O  (p (q+1) 2 )  comp utation s  wherea s Basis functio n  method re qui re s O(    1  comput ations.       5. Experimental Proced u r e  Step 1: Cal c ulate the TV AR pa ramete rs     usin g Equ a tions  (18 ) , (19) a nd fo rm  the  coeffici ents   ,  usin g  (21 ) .   Step 2: Solve the roots of t he time-va r ying aut o regre ssive p o lyno mial forme d  b y  TVAR   linear p r edi ct ion filter A(z; n) 1 ∑ ,   1  at each  instant n to find the time-varyin g       pole s :   , , i= 1, 2.....p.   Step 3: The instantan eo us freq uen cy  of t he non stationa ry sig nal for ea ch  sample  instant n can  be estimate d from the inst antane ou s an gles of the p o les u s in g the formula       , =  arg  , 2   for   ,  1.    Step 4: From time varying paramete r s  , we  can p r e d ict non  stationary si gnal  usin g  (23) with initi a l    Conditions   ; n = 0,1,...p  where p is the TV AR model order  Step 5 :  The ti me varying p o we r sp ect r al  density ca n be estimate d from time varying  para m eter    ,  as  follows :     P (f; n) =   2       1   ∑ ,  2   1 2                                 (36)                                   Whe r e  , are T VAR coeffici e n ts and       is:               ∑  ∑ ,                        ( 3 7 )       6. Simulation Resul t s   For  simulatio n , we have  con s id ere d  three  modul a t ed sig nal m odel s, the Discrete   Amplitude M odulate d  (A M) sig nal, Di screte F r eq u ency Mo dula t ed (FM )  sig nal and  Discrete  Amplitude an d Freq uen cy modulate d  (A M-FM ) sig nal s.     6.1. Discre t e  AM Signal  Con s id er the  discrete Ampl itude modul ated (AM)  sign al,    1  cos  cos                                                                                           (38)     For n=1,2…. . N, whe r e k=0.8,  =   128    ,      =  6   a nd  N = 51 2.  The IF law of the above si g nal is given b y :     2                                                                                                               (39)    The  coeffici e n ts of the  TVAR process  1  and  2  of the  discrete  AM  Signal a r e   estimated  u s ing (18),  (19 )  an d Equati on ( 21)  and  sho w n i n   Figure 1.  When the  TV AR   coeffici ents a r e estim a ted usin g basi s  functio n s,  p = 2  and q=8 di screte  co sine   basi s  functio n s  are fo und  to  give be st results. Figu re  1  sh ows  the  T VAR  pa ram e ters  estim a te d by the  DES A -1   and u s in g ba sis  metho d . T VAR pa ramet e r e s timation   usin g ba si s f unctio n  ap pro a ch  re quires O   (p 3  (q +1 ) 3 ) co mputation s , whe r e a s  DE SA based a p p roa c h  req u ires O (p (q +1 ) 2 ) comp utatio ns.   Usi ng  step  2  in expe rime ntal procedu re we  can  co mpute time v a rying  pole s ,  the time  varying pole s  are plotted in Figure  (2).  From Fig u re  (2)  we ob se rve that the p o les a r e clo s e to   the unit ci rcl e . For every  sample in stant  n, we no w  come a c ross t he an gles  of the pole s  an d   divide by 2  to find the IF e s timate of the AM compon ent. The true  IF & estimated IF of the AM  comp one nt a r e  sho w n  in  Figu re  (3 ). Fro m  Fi g u re (3 )  we  ob serve  that t he TVA R  b a s ed   techni que  ha s resulted in  really ni ce IF  estimatio n . The me an  sq uare  erro r (M SE) amon g t h e   true IF   , and e s timated IF  ,  fo r n=2, 3 …  51 2 is cal c ul ate d  to be -86.4 847dB.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  77 85 – 779 7   7792 The TVAR  co efficients  ,  can  also b e  used  to predi ct the  non statio nary process   by  mean s of Eq uation (23 ) . The di screte  AM Signal   in additio n  to the TVAR  predi ction  are   sho w n in Figure (4 ), and we observe that  the TVAR model has  effectively predi cted   .The  averag e sq ua red p r edi ction  erro r is  calcu l ated to be 0.1753.   The time-va r ying power  spectral de nsit y of di screte  AM is co mpu t ed usin g (36 ) , A plot  of  the  time -freque ncy distribution (TF D ) of  discret e A M  for th e TV AR mo del i s   obtaine d in  Fi gure   (5). At  every  sampl e  in sta n t, the TF D i s  p r oj ecte d  to  co mpri se  pe aks at  the IF   estimate s  at that   instant. To d e mon s trate t h is, we al so  illustrate  the  analo gou s flat time-freque ncy view of the   TFD in Fig u re  (6).             Figure 1. The  estimate of the TVAR  coeffici ents  , ,   ,  for the AM sig nal   Figure 2. Traj ectory of Tim e -Varyin g  pol es  use d  for discrete AM Signal        Figure 3. Tru e  and Estimat ed IF of Discrete  AM Signal  Figure 4. Orig inal AM Signal and Pre d ict ed  AM Signal          Figure 5. Time Varying Po wer Sp ectru m  of the  Discrete AM Signal   Figure 6. Time-F requ en cy View of the TFD of  Discrete AM Signal     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Tim e  Varying  Autoregressi ve  Model Parameters  Es timation us ing …  (G.Ravi S han kar  Red d y )  7793 6.2. Discre t e   FM  Signal   Con s id er the  discrete F M  signal:       cos    ∑      1 cos            ( 4 0 )     For n = 1, 2…. . N, whe r e    =0. 2 ,  =   128 ,     =   6  and N=51 2.  The IF law of the above si g nal is given b y :      ∗   cos    2                                                 (41)    The coeffici e n ts of the TVAR pro c e ss  1  and  2   of the  discrete FM sign al are   estimated  u s ing (18),  (19 )  an d Equati on ( 21)  and  sho w n i n   Figure 7.  When the  TV AR   coeffici ents a r e e s timated  usin g ba sis f unctio n s,  p = 2  and q=14 di screte  co sine   basis fun c ti ons  are  foun d to   give be st  re sults. Fig u re  7  sh ow s the  T VAR   param eters e s timat ed by  the  DE SA- 1and u s ing b a si s method. TVAR param eter estim a ti o n  usin g basi s  function app roach req u ire s  O   (p 3  (q +1 ) 3 ) co mputation s , whe r e a s  DE SA based a p p roa c h  req u ires O (p (q +1 ) 2 ) comp utatio ns.   Usi ng  step 2  in experim ent al pro c e dure  we  can  com p ute time varyi ng pole s , T r a j ectory  of Time-varyi ng Poles u s e d  for discrete  FM Signal  are plotted in Figure  (8). Fro m  Figure  (8)  we  observe th at the p o le s a r e  clo s e to  the  u n it circle  a s  a n ticipate d . Fo r eve r y sampl e  in stant n,  we  now  come  a c ro ss the an gles of the p o les a nd divi de by 2  to find the IF est i mate of the F M   comp one nt.  The true  IF  & estimate d I F  of the   FM  comp one nt  a r e sh own  in  Figure (9).   From  Figure (9 )  we  observe that  the TVAR b a se d techni q ue ha s resulted in really ni ce IF e s timati on.  The mean sq uare erro r (M SE) among the true IF   , and estimated IF  ,  for n=2, 3… 512 is  cal c ulate d  to be -96. 87 dB.   The TVAR  co efficients  ,  can  also b e  used  to predi ct the  non statio nary process   by  mean s of equation (23 ) . The discrete  FM Signal     in addition to the TVAR  predi ction are  sho w n  in Fi gure  (10 ) , an d we o b serve  that  the TVAR mod e l ha s effectively predicte d   . The   averag e sq ua red p r edi ction  erro r is  calcu l ated to be 0.1065.   The time -varying po wer  spectral de nsit y of  discrete  FM Signal i s   comp uted u s i ng (36),   A plot of the  time-fre que n c y di stributio n (T FD)  of d i screte FM si gnal  fo r  the  TVAR  mo del   is  obtaine d in Figure (11 ) . At  every sampl e  instant,  the TFD is p r oje c ted to compri se pea ks at the   IF estimates  at that instant. To demonstrate th is, we also illu strate the anal ogou s flat ti me- freque ncy vie w  of the TFD  in Figure (12 ) .          Figure 7. The  Estimate of the TVAR Co efficients  1 , ,   2 ,  for the FM Signal      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  77 85 – 779 7   7794       Figure 8. Traj ectory of Tim e -varyin g  Poles  use d  for discrete FM Signa l  Figure 9. Tru e  and Estimat ed IF of discrete  FM Signal           Figure 10. Ori g inal FM si gn al, and pre d icted  FM sign al   Figure 11. Time Varying P o we r Spe c tru m  of  the discrete F M  Signal           Figure 12. Time-F req uen cy View of the TFD of Di screte FM Signa l      6.3. Discre t e   AM-FM  Signal   Con s id er the  discrete AM -FM sign al,      1  cos  cos    ∑      1 cos             ( 4 2 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.