TELKOM NIKA , Vol.11, No .2, Februa ry 2013, pp. 82 7 ~ 83 8   ISSN: 2302-4 046           827     Re cei v ed Au gust 9, 201 2; Re vised Decem ber  29, 20 12; Accepted  Jan uary 13, 2 013   Network Coding-Based Communications via the  Controlled Quantum Teleportation      Da zu Hu ang * 1,2 , Shaopin g  Zhu 1 , Dan  Song 1 , Ying Guo 2   1 Departme n t of Information, H una n Univ ersit y  of  F i na nce a nd Econ omics  , Changs ha 4 1 020 5, Chi na.   2  School of Info rmation Sci enc e & Engin eer in g, Cent ral So ut h Univ ersit y , C han gsh a  410 0 83, Chi na.   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : hnmao in@ g mail.com       A b st r a ct     Inspired  by th e structure  of the n e tw ork c odi ng  over th e b u tterfly net w o rk, a frame w ork o f   qua ntu m  n e tw ork co din g  sc h e me is  i n vesti gated, w h ic h tr ans mits tw o u n know n  qu ant um states cr os sly  over the  butte rfly qua ntu m  s ystem w i th th e  multi- p hoto n   non- maxi ma lly  enta ngl ed G H Z  states. In this   sche m e,  it co n t ains c e rtain  n u mber  of  enta ngl e m ent-q ub it sourc e  n o d e s  that tel e p o rt u n know n  qu ant u m   states to other nod es on the s m a ll-sca le n e tw ork w here each inter m e d iat e  nod e can p a ss on its receiv ed   qua ntu m  state s  to others via  super dens e co din g . In order  t o  trans mit the  unkn o w n  states in a det ermin i stic   w a y, the contr o lle d q u a n tu m  telep o rtatio n is  ado pted  on th e inter m edi at e  nod e. It mak e s  leg a l  nod es  more   conve n ie nt than any  other   previo us tele portatio n  sche m es to trans mit u n know n  qua ntu m  state s  t o   unkn o w n  parti cipa nts in  ap pl icatio ns. It sho w s that  the int r insic  efficienc y of trans miss i ons a ppr oac he s   100 % in  princ i ple. T h is sch e m e  is secur e   base d  on th e  secure ly-shar e d  qu antu m  ch ann els b e tw ee n all   nod es a nd th e  qua ntu m   mec han ical  i m p o ss ibil ity of  loc a l u n itary  transfor m ati ons betw e en  n on- maxi mally   entan gl ed GHZ  states.  Moreover, the gen e r ali z e d  sc he me is propos ed  for transmittin g  tw o multipar tit e   entan gl ed states.      Ke y w ords : n e tw ork codi ng , non- maxi ma l l y ent ang le d  GHZ  st ates, control l ed  tele portatio n , butt e rfly   netw o rk, quant um i n for m ati o n      Copy right  ©  2013 Un ive r sita s Ah mad  Dah l an . All rig h t s r ese rved .       1. Introduc tion  Quantum  en tangleme n t, whi c h  ha s  become  th e  esse ntial reso urce fo r qua ntum   informatio n  and  qua ntu m  co mputin g, is th e m o st di stin ctive charac te ri stic of  qu an tum  mech ani cs. E n tanglem ent-based  comm unication h a s a ttracte d mu ch attentio n  sin c e the i n itial  work  of Bennett, Brassard and  Ekert. For  exampl e, in 1993 B ennet et  al. [1] presented the  origin al qu ant um telepo rtation whi c h  pro v ides a  the o retical ba si s fo r the con s tru c tion of quantu m   cha nnel s. Th e rea s o n  ma y be that the mode rn te chn o logy allo ws it to b e   demon strated  in  laboratory, an d thus p r acti cal appli c ation s  will be a c hi eved in the future [2-4].   The conventi onal q uantu m  comm uni cations  are  sometime s li mited to the  quantum  system i n  a  p o int to poi nt fashi on  with lo w tra n sm i s sio n  rate s. In o r der to  achiev e the multi - po int  comm uni cati ons in the  practical appli c ations,  the framework of the  qua ntum netwo rk ha s  been  introdu ce d [5 -7], however  the de clining  transmiss ion  rate cau s ed  by the bottlene ck  cha n n e ls  become s  more and mo re a pparent [8-9].   In orde r to solve the af ore - mentio ne d pr obl em, Haya shi et al. [10] prop ose d  the  quantum  net work  co ding  (QNC)  schem e whil e con c entrating  on t he tra n smi s si on of q ubits  over  the butterfly q uantum  network si milar to  the cl as sical  netwo rk [11-1 2 ]. Ho wever,  they found th at  the bottlene ck ca n not b e  re solved i n  the  quantu m  setting an d the perfe ct  quantum  state   transmissio n  is im po ssibl e. That  mean s one  ca n  not  pe rform  the  perfe ct Q N C  in the  qua ntu m   system. Fo rtunately, sin c e ent angl em ent provid es  several eleg a n t approa che s  for en han ci ng  efficien cy of quantum  com m unication s such a s  supe rden se codin g  [13], entanglement swa p p i ng  and tel epo rta t ion [1], it is ne ce ssary t o  con s id e r  it s a ppli c ation s  in  the  QNC  system. F o r  example,  Ha yashi [1 4] su gge sted  an i m prove d  but t e rfly network that allo ws the Q N C for the  transmissio n  of one  pa rticl e  or two  bit classical  com m unication. K obaya s hi et  a l . [15] pro p o s ed   Con s tru c ting  quantum n e twork codin g  schem es  from  cla ssi cal n onl inear p r oto c ol s.  The maxim a l entangl e m ent betwe en two  se nders e nabl es pe rfe c t quantum  transmissio n though it is i m possibl e wit hout prio r ent anglem ent even in the mo dification of the  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 23 02-4 046   TELKOM NIKA   Vol. 11, No. 2,  Februa ry 2013 :  827 – 838   828 previou s   Q N C  schem e [1 0]. In 20 09, u nder the  a s sumption  that  there  is no  p r ior  entangl em ent  sha r ed  amo n g  any of the  partie s , Koba yashi et  al. [ 16] put forwa r d a p e rfe c t  QNC which can   perfe ctly tran sfer a n  un kn own q uantu m  state fr om  sou r ce su b s ystem to ta rget sub s yst e m,  whe r e  both  source  and  target a r e fo rme d  by the  o r de red  set s   of n ode s. In 2 0 1 0 , Ma  et al. [ 17]  prop osed an  improved Q NC via prob abilisti c te lep o rtation ba se d on the maximally entangled   photon s shared beforeha n d .   Re cently, teleportatio n  h a s bee n active ly investigated in b o th theoreti c s and  experim ents.  With telepo rtation Alice  can tr an smit an unkno wn quantum  state to a remote   reci pient B o b  [18-2 0 ]. In g eneral, a  pair of maxi mally  entan gled  Bell state s   se rved a s  a  secure   quantum cha nnel  should be  pre par ed  in advance, and the se nd er ca n not al ways tele port  a   singl e-q ubit t o  the  re ceive r  with  unit fid e lity  and u n it  prob ability. Consequ ently, there i s   anot her  kind  of tele p o rtation  call e d  a s  p r ob abil i stic te l epo rta t ion [21], fro m  whi c h  on e  ca n a c hi eve the   fidelity with a proba bility less tha n  unit. In any ca se, teleportatio n  has offe red a  much p o we rful  method while  transmitting  an un kno w n  quantum  state.  Unfortun ately, the universal processor  based on tel e portation  ca n  not wo rk fo r  many pa rt icip ants tra n smitting differe nt unkno wn st ates  simultan eou sl y, and thus  we a r e fa ced  with  a  ne w chall enge  i n  quantum co mmuni cation that  extends to  gl obal q uantum  comm uni cati on net workin g. This  wo rk  has  bee n dev oted to qu ant um  netwo rki ng t hat pla c e s   e m pha sis on   basi c   qua ntu m  effect s a n d  on  em ergi ng te chn o log i cal  solutio n s le ad ing to pra c tical appli c ation s  in qua ntum comm uni cati ons.   In order to  enha nce the  tran smi ssi o n  ra te of  q uantum  net work  system,  a novel   teleportatio n -based QNC  scheme i s  propo sed to tr a n smit two un kno w n state s  cro ssly over  the   butterfly network  wh ere t w o sen d e r s p r epares t w o G r een be rge r -Horne -Zeili nge r (G HZ ) state s  in  advan ce.  Wh ile pe rformin g  the  controll ed q uantu m  t e lepo rtation [ 19-2 1 ] at i n te rmedi ate n o d e ,  two re ceivers can re store the or igi nal qu antum state s  with pro babilit y 100%. Comparin g with the  previou s   QNC [17], the  pe rforme d o peration at the  in termedi ate  n ode over  th e butterfly  network  is fo r q uantu m  ope ratio n , i n stea d of th e  cla ssi cal  op eration. At the  receive r s,  with  the h e lp  of th e   transmitted u n itary ope rati ons, the initial   quantum stat es can be restored compl e tely.  The pap er i s  orga nized a s  follows. In se ction 2, for th e descri p tion  of QNC, som e  basi c   prop ertie s  of  the co ntrolle d  quantu m  tele portation  ar e  pre s ente d  wit h  sim p licity. In se ction  3, the  QNC i s  p r op ose d  expli c itly to tran smit  unkno wn  stat es  on th e ba sis of tele port a tion in te rm s of   sup e rd en se coding at the i n terme d iate n ode cro ssly o v er the butterfly network. T hen the prese n t  QNC is g e n e rali zed to transmit two  multipartite  e n tangle d  stat es in  se ction  4. The se curity  analysi s  is ill ustrate d  on t he ba sis of  cha nnel  d e te ction sch e m e  in se ction  5. Finally, th e   discu ssi on an d summ ary are pre s ente d  in se ction 6.       2. Contr o lled Quantum Te leporta tion  w i th Enta nglement Analy s is   The thre e-p h o ton-e n tangl e d  Gree nbe rg er-Ho r ne Z e il inger  states  (G HZ state s ) have   formed the  b a si s of a very stri ng ent test of local reali s tic the o r ies. Th ey can be u s ed  for  cryptog r a phi c scena rio o r  for multi-p h o ton gen erations of  sup e r-den se  co ding to redu ce  comm uni cati on  compl e xity. It is kn own  that G H Z  st a t es a r e  no  lo ng a  theo reti cal im age ry  since   they can be e x perime n tally implemente d  by single  ph otons in the h y brid entan gl ement state s .   In the  controll ed q uantum  telepo rtation [ 19-2 1 ], a third pa rticip ant  who  may ta ke pa rt in  the  p r ocess of  qua ntum  t e lepo rtation as a sup e rvi s or i s  in clud ed in  orde r  to achieve t he  transpo rtation .  Without  the   assist a n ce of  the  co ntrol  o peratio ns,  the  re ceive r   ca n not recover the   origin al state  from the se nd er.   Assu ming th at three pa rt icipa n ts, Alice,  Bob and  Cha r lie, prep are a n o n - m a ximal  entangl ement  GHZ state b e foreh and, i.e . ,  1 ( 000 1 1 1 ) . 2 AB C A B C GHZ                                                                                                                             (1)   An arbitra r y u n kn own state D on photo n   D  i s  given by   01 . m                                                                                                                                                              (2)    To accom p lish the tran sformation,Alice  perfo rms the  Bell state ana ly sis on the p a rticle s  D  an d  A    , AB C m GHZ                                                                                                                                                  (3)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046         Network Co di ng-Ba se d Co mm unication s Via  the Con t rolled qu antu m ... (Dazu  Huang )  829 whi c h can be  rewritten a s     1 ( ( 0 0 11 ) ( 00 11 ) 2 ( 0 01 1 ) ( 0 01 1 ) ) , B CB C mA m A BC BC mA mA                                                           (4)     whe r e  and denote the Bell-states give n by  1 (0 0 1 1 ) , 2     1 (0 1 1 0 ) 2                                                                               (5)    After perfo rm ing the Bell-stat e measure m ent on p a rti c le s  D  a nd  A , the origin al  entangle m e n t  state can b e  transfo rme d  i n to t he state  on the pai r of  particl es  B  a nd  C .  With th e help of  so me  unitary ope rat i ons, the re su lting stat e ca n be tran sformed in the form    (0 0 1 1 ) , B C BC                                                                                                                                               (6)  from whi c h  the re ceiver Bob can  recove r the  origin al pa rticle with the  assista n ce o f   Cha r lie’ s control operation  perfo rmed o n  photon  C.   If Charlie wo uld like to h e lp Bob for the   r e cover y  of  ,  he mea s u r e t he pa rticle  C   on the ba se s  of   1 (0 1) 2  .The entan glement  state of parti cles  B  and  C   can be re presented a s   1 (( 0 1 ) ( 0 1 ) ) . 2 BB BC C C                                                                        (7 )     Whe n  Bob  receive s   Cha r lie’s me asure m ent re su lt s via a cl assi cal  cha nnel,  he pe rforms  an   approp riate u n itary tran sfo r mation to re cover the  o r i g inal state  convenie n tly.  This controll ed   teleportatio n  over the butte rfly quant um netwo rk crossly  is  implem ented.       3. QNC v i a Controlled Tel e portation s of T w o  Unkn o w n S t a t es    In this  se ctio n, we  elab orate on  our Q NC  sche me i n  whi c h  two  unkno wn  states a r e   transmitted from the sen d e rs  i A  to the receivers   (1 , 2 ) i Bi crossly over the butterfly quantum  netwo rk.  N a mely  re ceiv e r s  1 B   and   2 B   ca n obtain  t w o u n kn own state s   1 m   and   2 m   with t h e  certai nty. The topology o f  this quantu m  netwo rk i s  similar to that of the classical butte rfly  network, as illustrated in Fi gure 1.   Two un kn own states ,{ 1 , 2 } i mi  ,  whi c h will be transmitted from i A to i B ,  are d enote d  by    01 , ii i m                                                                                                                                                            (8)    whe r e 22 1 ii   .  T w o sende rs   1 A  and   2 A   prep are jointly two GHZ st ates given by   11 21 1 1 1 2 1 1 ,, ,, 1 ( 000 11 1 ) , 2 AA G A A G GHZ                                                                                                           (9 )   22 1 2 2 , , 22 12 2 ,, 1 ( 0 00 11 1 ) , 2 AA G AA G GHZ                                                                                                           (10 )   whe r e on e sende r 1 A posse sse s  photo n s 11 A , 12 A and 1 G ,  while an other 2 A kee p s p hoton s 21 A , 22 A and 2 G .  Six EPR pairs   are   sha r ed  bet ween  t he inte rme d ia te nod e   C  an d send er i A ,  as  w e ll  as re ceive r 1 i B .  In ad dition, fo ur EP R p a irs sh ared  by   C   and   1 i B are  de n o ted by 1 , 2 ,  3 , and 4 ,  respec tively, w her e re pre s ent s ope ration of plus  mod 2.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 23 02-4 046   TELKOM NIKA   Vol. 11, No. 2,  Februa ry 2013 :  827 – 838   830   Encodi ng ci rcuit               Decodi ng ci rcuit   Figure 1. The  protocol for tran smit two q uantum  states.  i m  is the particle  whi c h ought to be  sent.  The coding operation will  be performed  on the relay  node  C.    Figure 2. The  enco d ing  circuit and the  decodin g  circuit at the relay node C      Table 1. The  result of the Operation  1 1 () i Mi UM   1 1 () i Mi UM   Oper ation result   01 (0 1 ) U   1, (0 0 1 1 ) ii i ii A G    00 (0 0 ) U   1, (0 1 1 0 ) ii i ii A G     10 ( 10) U   1, (0 0 1 1 ) ii i ii A G    11 (1 1) U   1, (0 1 1 0 ) ii i ii A G      Table 2.Th e result of the o peratio n  11 1 () ii GM i HU M  .   11 1 () ii GM i HU M    Operation  res u l t   1 00 ( 00) i G HU   ,1 1 11 11 1 [( 0 1 ) 0 2 (0 1 ) 1 ] ii i ii ii A G        1 01 (0 1 ) i G HU   ,1 1 11 11 1 [( 0 1 ) 0 2 (0 1 ) 1 ] ii i ii ii A G         1 10 ( 10) i G HU   ,1 1 11 11 1 [( 0 1 ) 0 2 ( 0 1) 1] ii i ii ii A G        1 11 (1 1 ) i G HU   ,1 1 11 11 1 [( 0 1 ) 0 2 ( 0 1) 1] ii i ii ii A G           Table 3. The  Unitary Op eration Whi c h b e  perfo rmed  on the parti cl e  ,1 ii A   here  ( 0 0, 0 1 , 1 0, 1 1 ) i M     00  01   10  11   i M V   10 01      01 10      01 10      10 01      i M W   10 01      01 10      01 10      10 01      Then the p r e s ent Q NC g o e s a s  follows.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046         Network Co di ng-Ba se d Co mm unication s Via  the Con t rolled qu antu m ... (Dazu  Huang )  831 Step 1   T w o sende rs   i A   prep are  un kno w n   states   i m   and  G H Z  state s   11 , ,, ii i i AA G GHZ   in  Eq.(9). The n  the com b ine d   quantum sy stems can be  denote d  as         ,1 , , 1 , ,, , , , , ii ii i i i i i i i i mA A G A A G mG H Z                                                                                                                   (11 )   whi c h can be  rewritten a s   1, 1, ,1 , , , 1, 1, , , 11 1 1 11 11 1 ( ( 00 1 1 ) ( 00 11 ) 2 ( 0 0 1 1) ( 0 0 1 1) ) . ii i i i i ii ii i i ii i i i i ii i i i i ii i i i i AG AG mA A G mA m A AG AG mA mA                    (12 )   Step 2  Each  send e   i A   perfo rms   the   Bell - st at e   m easurement on pa rticles   i m   and , ii A with   four   r e sp ect i v e  B e ll st at e s   {, }     corre s po nd ing to re sults given  by  00 01 10 11 {, , , } M  .  The  entan gl ed  state of th e re mainin g p a rticle s   1, ii A ,  and   i G can  be  den oted   as  {( ) : ii M M { 0 0 , 01 , 1 0 , 11 } } .  Sub s eq u ently, the inverse unita ry o peratio n 1 i M U will be applie d   on parti cle  ,1 ii A   of the resulting state   1 () i M ,  where unitary ope rat i ons  i M U are give n as    00 01 10 01 00 1 1 , 1 0 0 1 , 00 1 1 , 0 1 1 0 UU UU                                                                                                                  (1 3)   It is easy to prove that   11 ii i i MM M M UU U                                                                                                                                                         (14 )     Then the pa rticle ,1 ii A is sent to receiver  1 i B via the edge 1 ii A B .  At the same tim e ,   i A   perfo rms t h e  same  unita ry ope ration   i M U on one  particle of the  EPR pair    share d   before han d betwe en i A and   C .  As soon  as the  op era t ion bein g  a c compli she d , the resultin g   particl e is al so delivere d  to   C .  Step 3  At no de   C ,  a s  soo n  a s  it receiv es th e pa rticl e s from i A ,  the  Bell-state  an alysis will   be pe rformed  on e a ch p a ir of the p a rti c les  with  re sult s  corre s p ondi ng to { 0 0, 0 1 , 1 0, 1 1 } ii i Aa b .  After that, an  encodin g  ope ration is e m pl oyed on   11 ab   an d   22 ab   in successi on, as is illustrated in  Figure 2(1).  Here, the CNOT -gate i s  deployed  to  accompli sh  the encodin g  operation, i.e., 12 1, 2 , aa pC a   12 2, 2 bb pC b and   12 2, 2 ba pC a .  After that the u n i tary ope rati ons 11 bp U and 23 pp U are   respe c tively applie d on  th e pa rticle s of  four EP R pa irs  whi c h  are  sh are d  bet ween   C  and 1 i B ,  i.e.,  11 1 bp C U ,  23 1 1 23 , Pp b p CC UU  ,  an d   23 4 Pp C U . Finally, the re sulti ng pa rticle s   corre s p ondin g  to  11 1 bp C U   and   23 2 Pp C U   are  delivere d  to   B 2 ,  while  the particl es of   11 3 bp C U   and   23 4 Pp C U   will be  sent to   B 1 .  Step 4  Whe n   1 i B   r e c e ives  th e p a r tic l e s  fr om   C ,  the Bell-state an alysi s  are a pplie d  on the   particl es  of the re sulting E P R pairs. Co nse que ntly,  1 i B recove rs th e classical bit string 11 2 3 bp p p .  After the o p e r ation,   1 i B obtain s   11 ab and   22 ab with th e de co ding  ci rcuit i n  Fi gure 2(2). T hen   the  unitary op eration 1 ii MM U is   p e rform e d  o n  the yi elded  stat e   1 1 () , i Mi UM i.e.,  1 1 1 () , ii i MM M i UU M    According to  Eq. (14), obtaining state 1 1 () , i Mi UM   the re sult is shown  in Table 1.   Step 5  The  sende r 1 i A perform s Had a mard operation on the  pa rticle 1 i G to re store the   initial state 1 i m ,  i.e.,  11 1 () ii GM i HU M  .  T he re sul t  is sho w n in  Table 2.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 23 02-4 046   TELKOM NIKA   Vol. 11, No. 2,  Februa ry 2013 :  827 – 838   832 As soon  as t he ab ove-m e ntioned t r an sformation i s   accompli sh ed , the parti cle 1 i G will  be mea s u r ed  by the send er 1 i A .Then the initial state of  1 i m can b e  re cov e red by the receive r 1 i B after performing a s u iTable unita ry operation, as  s h own in Table III.  For example, if  i G   is  measured wit h 0 ,  the resultin g state of   1, ii A can  be expre s se d as on e of the four state s     01 , 0 1 , 0 1 , 1 0 . ii i i i i i i                                                                               (15 )     Otherwise, the state of  1, ii A can  be obtaine d as  01 , 0 1 , 0 1 , 0 1 . i i ii ii ii                                                                                 (16 )   To accom p lish the tran sfo r mation, fou r  re covery un itary operatio n are introdu ced in  Table  3.  Here , if  i G is  me as ure d  w i th 0 ,  the o peratio n i M V will be applied on  1, ii A .  Otherwi se, t h e   operation  i M W  is applied. After the unita ry operation,  no matter what result is obtaine d, the   rec e iv er 1 i B ca n r e sum e   i m from () ii GM i HU M .                    Figure 3. The  protocol for tran smi ssi on two  multipa r tite entangl ed states. The pa rticle s  , ik x   are  the multipartit e  entangl ed states whi c h o ught to be se nt to the   recei v er i B .       4. QNC  w i th  multipartite enta ngled states    In this se ction ,  with the assi stan ce of t he  d-dim e n s iona l controlled q uantum tele p o rtation  scheme  [22],  we  ge nerali z e th e p r oto c ol i n   se ctio n 3 to  on e  proto c ol fo r t r an smitting t w o   multipartite n-qudit entan gl ed state s   ,1 , ,, ii n x x m cro ssly over the  butterfly network,  whe r e   ,1 , ,1 , ,1 , 1 ,, , 1 , ,, ,, 0 ,, . ii n ii n ii n d xx i i n xx xx mx x                                                                                      (17)  The co mplex  coeffici ents  ,1 , ,, ii n x x   satisfy the following  con s trai nts  ,1 , ,1 , 2 1 ,, ,, 1. ii n ii n d xx xx                                                                                                                                                         (18 )   Assu ming tha t  two send ers 1 A and 2 A sha r e   n +1  gen erali z e d  GHZ  states b e foreh and   11 , 2 1 , 1 , 11 , 2 1 , 1 , 1 ,, 0 ,, 1 , kk k kk k d AA G l AA G GH Z lll d                                                                                                                 (1 9)   1 2 , 2 2, 2, 1 2 , 2 2, 2, 1 ,, 0 ,, 1 , kk k kk k d AA G l AA G GHZ l l l d                                                                                                               (20 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046         Network Co di ng-Ba se d Co mm unication s Via  the Con t rolled qu antu m ... (Dazu  Huang )  833 w h er e  pa r t ic le s 11 , k A , 12 , k A and   1, k G   are h e ld in  1 A ’s  hands while parti cles  21 , k A , 22 , k A and 2, k G , are   kept by   2 A ,  {1 , 2 , , } kn  ,  illustrated in Fi g u re 3. In addit i on  6 n   ge nera lized   EPR   st a t es   () 1 1 d d k t tt d                                                          (21)  are p r ep are d  by   C   and i A as well  as   i B .  In order to facilitate descri p tion,  4 n   gen eral ized EPR  pairs betwee n   C   and   i B are d enoted by 1, , k 2, 3 , , kk    an d   4, k ,  re spe c tiv e l y .  The process  of our protocol is as follo ws:  Step 1  Send er  i A   prepa re s  n - qu dit unknown state   ,1 , ,, ii n x x m and   n  ge ne rali zed G H Z   states. Th e whole qu antum  system is d e s cribe d  as    ,1 , , , 1 , , , 1 ,, , , . ii n i i k i i k i k n k xx A A G m GHZ                   (22 )   Then the   n   ge nerali z e d  Bell-state me asurement  (GBS M) with the bas i s  of    , ,, 2 1 ,, 0 1 ik ik i k i d la d ab i k d l Ue l l b d                                                                                                                    (23 )     is pe rformed  on the  pa rticle s , ik x and   , ,{ 1 , 2 , , } ik Ak n , w h ere  , ik a , , {0 , 1 , , 1 } ik bd .  Then  state of the re maining p a rti c le s   1, , ii k A and , ik G c a n  be   written as:        , 1 12 12 2 1 ,, , ,, 0 ,, , 1 , , 1 1 () ,, . n ki k k n n i d la d ik l l l n ll l n ki k k i k i k i i k dd k Me a d lb l b G A                                                                                                              (2 4)   After that,  the corre s po nd ing unitary o peratio n   , 1 M ik U is perform ed on  particl e  ,1 , ii k A  in state 1, () ik M .  After that t he resulting  particl es is d e livered  to  re ceiver  1 i B   via the ed ge 1 ii A B .  Mean while, t he unita ry op eration  , ik M U is ap plied on  parti cle s  of gen eralize d  EPR p a irs  () d of   i A   for supe rde n s e codin g . After that, the n particl es a r e  sent to   C .  Step 2  At  C ,  after it obtain s  the pa rticle s from i A ,  the G BSM is jointly performed o n  the  particl es th at have bee n re ceived from  i A   and the pa rti c le s in it’s ha nds. After tha t ,   k   cla s sic a l  bit string  pairs   , ik a , , ik b   and 1, ik a ,  1, ik b   are  both create d . Then a n  en coding o p e r ati on simil a r to   that of opera t ion in sectio n 3 is applie d on   , ik a ,  , ik b   and 1, ik a , 1, ik b .  After that, t he unitary   operation s 1, 1, , kk bp U   and 2, 3 , , kk pp U will be performed on the particl es of   4 k  gene rali zed EPR pairs  sha r ed  bet we en  C   and 1 i B ,  i.e.,   1, 1, ,1 , , kk bp k U   2, 3 , ,2 , kk pp k U   1, 1, ,3 , , kk bp k U and 2, 3 , ,4 , kk pp k U .  The  resulting parti c les will be delivered to 1 i B  res p ec tively.  Step 3  At   1 i B ,  after applying  the GBSM o n  the pairs of  corre s po ndi ng EPR pa rti c le s,  t he st rin g s  1, 1, 2 , 3 , ,, , kk k k bp p p   are resto r e d , sub s eq uentl y . Then the unitary op era t ion   1, 2 , , kk pp U is  perfo rmed  o n  the re ceiv ed pa rticle s f r om i A , i.e.,  1, 2 , , 1 ,1 , () kk i k pp M i k UU M .On  the ba sis of  the   followin g  pro perty    ,1 , , 1 , ik i k ik i k MM M M UU U                                                                                                                                                    (25 )     in the  d - di me nsio nal Hilb ert space, one  obtain s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 23 02-4 046   TELKOM NIKA   Vol. 11, No. 2,  Februa ry 2013 :  827 – 838   834 1, 1, 1 1, 1 1 1, , 1 , 22 11 1, 1, , , 0, , 0 1, 1 , 1 , 1 () , n ki k ik k ik n n ik i i k ii dd la la dd M ik i k l l n d ll l n ki k k i k dd k GA UM e l b l e a d lb lb                                       (2 6)     Then th e de coding  ope rati on is appli e d  on the  stri n g s   1, 1, 2 , 3 , ,, , kk k k bp p p .  After that, , ik a , , ik b   and   1, ik a ,  1, ik b can be a c hi eved by 1 i B .  Step 4  In  orde r to re cover the init ial states i n   1, 1 1 , ,, ii n xx m  ， 1 i A   perfo rm s th e   gene rali zed   d - dime nsi on Hadama r d g a te operation o n  particl es   ,1 , ii k G     1, 1 2/ ,0 1 ik d ijl d G lj H ej l d                                                                                                                                         (27 )     i.e.,  1, 1, 1, () ik ik GM i k HU M  ,  whi c h ca n be re written  as    1, 1, 1 1 1 1, , 1 , 2 2 1 1 ( 1, , , 21 ,0 , , 0 2 1, 1 , 1 , 1 , n ik ki k k n n ik i i k il i d d ja la d d d ik l l n d lj l l n ki k k i k dd k GA ej l l b l e a d lb lb                                                   (2 8)   After the me a s ureme n t of p a rticle s  1, ik G at   1 i A on the  ba se of   {0 , 1 , , 1 } d , the initial  state  ,1 , ,, ii n x x m       5. Securit y  a n aly s is    So  far  we  h a v e  co nsi d e r   t he  d e si gn of the QNC b a sed on the multi-photo n  e n tangle d   s t ates  via teleportation. In this  sec t ion, we in vestigate  the se curity o f  the present QNC schem e .     5.1. The sec urit y  anal y s is of the c h a nnel  1 ii AB   In order to  de tect the  chan nel’s security, an  EPR  pair     whi c h  is shared by i A and 1 i B is introdu ce d  as the  det ection  chan n e l. Before  p a rticle ,1 ii A is deliv ered,  th e CNOT -gate   operation   al C   will  be perfo rme d  on the dete c tion pa rticle     cos 0 s i n 1 . i e                                                                                                                                                (29 )     Her e  sub s cri p t   a   den otes the p a rticl e   of the EPR  pair i n i A ’s ha n d s. And  the  result can  be   expre s sed a s   ,0 , 1 , 0, 1 (cos si n ) (0 0 0 0 ( 1 ) ) , 2 i ll C aa b a b i Ci i                                                      (30)  here   , ij   is  the Kroneck e r  s y mbol. After the  op eration, the  dete c tion  pa rticle     will  be  entangl ed  wi th the dete c t i on chan nel ,  and the  thre e-pa rticl e  ent anglem ent p a rticle s  are   gene rated co rre sp ondi ngly.  Assu ming tha t  Eve’s strate gy is attack o n  the cha nnel  C with a pro be parti cle   ,, , ab                                                                                                                                                                (31)  after the unita ry operation   U ,  th e entan g l ement state  can b e  den oted as  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046         Network Co di ng-Ba se d Co mm unication s Via  the Con t rolled qu antu m ... (Dazu  Huang )  835 ,, 1 2 1 2 00 0 1 1 0 1 1 . a b a b ab a b ab UE E E E                                                        (32 )   Her e 12 1 2 , EE E E   and 12 2 1 EE E E  0 .  Eq. (30 )  ca n be rewritten a s   ' ,, , 2 1 12 1 () [ c o s 0 0 0 s i n 0 0 1 ] 2 11 [co s 0 0 0 s i n 0 1 1 ] [cos 1 0 1 22 1 sin 1 0 1 ] [ c o s 1 1 1 sin 1 1 0 ] . 2 Ci aa b a b l a b l i ab l a b l ab l ii a b l abl a b l CU e E eE eE eE                                                            (33 )   At   1 i B ,  as  s o on  a s   it r e c e ives  th e   pa r t ic le   ,  the   CNOT -g ate op eratio n   , bl C   will be performed  on the  pa rticl e  of the  EPR  pair  whi c h  al ready in  it’s  h and s a nd th e  particl e  .  T h e r e su lt c a n  b e   expre s sed a s :    ' , 12 12 11 [cos 0 0 0 s i n 0 0 1 ] [cos 0 1 1 s i n 0 1 1 ] 22 11 [ c o s 10 1 s i n 10 0 ] [ c o s 1 1 0 s i n 1 1 1 ] . 22 Ci i ba b a b a b a b ii ab ab a b a b Ce E e E eE e E               (34 )     Obviou sly ,  ' , C b C   .  Therefore ,    can not be  extracte d from ' C , the eave s d r o pper  Eve ca n b e  d e tected.  With   the a ssi stan ce of  the  d e tection op eratio n ,  the qu antum  ch ann el 1 ii A B ’s se cu rity is guarantee d.    5.2. The sec urit y  anal y s is of the c r os s-ch annel ii AB   To en su re  th e security of  the cro s s-cha nnel , the  seconda ry dete c t i on  will be  int r odu ce d.  For  cla r it y ,  we f o cu s o n  t h e ch ann el  1 A C  to illustrate the  details  of  the  detection. The rest of the  cro s s-ch ann e l’s se cu rity analysis i s  simil a r to it.   The d e tails o f  the dete c tio n  on  the  ch a nnel 1 A C can be il lustrated as f o llows:   At   1 A ,  in  addition to th e EPR pair  whi c h en co d ed the inform ation with a l o cal o p e r atio n on a si ngle  particl e,  1 A   prep are s  an  ord e red   N -1  pai r in  state   . After that, the   N   ordered EP R pai rs  will be  divided into  two  part s , na mely,  () i PL   and   () i PM .  1 A send s the   L   se quen ce  to th e rel a y no de   C ,  and the eave s dropp er Eve  will be che c ked by t he followin g  pro c e d u re: Firstly, at the node   C , a   numbe r of the particl es fro m  the  L   se qu ence will be chosen ra ndo ml y and it will be perceived  by 1 A . Af ter that, t w o s e t s  of MBs ,  s a ys , z and x will be chosen to measure the particles. When   the ope ration  is a c compli she d ,  C   tells 1 A whi c h MB it  has  ch osen  for ea ch p a rt icle a nd the   outcom e s of i t ’s mea s u r em ent. After 1 A use s  the  sam e  m easurin g ba si s a s  which b e  used at th e  relay nod e   C  to measure the corre s po nding ph oton s in the   M   seque nce and  che c ks with  the   res u lts of  C , if there is no e a vesd rop p ing  exists, their result s sh ould  be com p letel y  opposite.   Suppo sing th at an attacke r  Eve may access to the  quantum  cha nnel to acqui re some  informatio n,  owin g to th e  pa rticle s  are  entan gl ement s t ates , the mos t  poss ible attack is the  attac k   n   the e n tangle d  stat e   , namely,  ,, , ,0 , 1 , ab ab ab ab                                                                                                                                             (3 5)   whe r e   , ab de scri bes Eve’s p r obe state,  a an d   b are singl e-photon state s  of  1 A   and   C   in   each EPR pai r re spe c tively. We describ e  Eve’s effect on the syste m  as    00 01 0, 0 0 , 1 , , C EE E E                                                                                                            (36 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          ISSN: 23 02-4 046   TELKOM NIKA   Vol. 11, No. 2,  Februa ry 2013 :  827 – 838   836 10 11 1, 1 ' 0 , ' 1 , . C EE E E                                                                                                             (37)    Here Eve’s probe can be m odele d  by  ' , ' E                                                                                                                                                                           (38)   the compl e x numbe rs must satisfy  22 1,                                                                                                                                                                        (39)    *' * ' * 0.                                                                                                                                                                     (40 )     The Eve’s ea vesdroppi ng  will introd uce an error  rate   22 2 2 '1 1 ' . e                                                                                                                               (41)    Here the probability of the information whi c h  Eve  can maximall y gain  will be calculated  as  follows. Assu ming that at 1 A ,  the mea s u r em ent re sult of the EPR pa rti c le is 1 , then th e state of  the system  compo s ed of the relay no de   C ’ s pa rticle a nd Eve’s prob e can b e  de scrib ed by   00 01 ˆ '0 , 0 , 1 , . EE                                                                                                                              (42)    After that, the  state of the system rea d s  22 ** 0 0 00 01 01 00 01 01 0 0 ' 0 ,0 , 1 , 1 , 0 ,0 , 1 , 0 , .                           ( 43)    After encodin g  of four diffe rent u n itary o peratio ns  U 00 ,  U 01 ,  U 10 ,  U 11   whi c h h a ve b een el abo rate  in  section 3 with  the probabilities  p 0 ,  p 1 ,  p 2 ,  p 3 ,here   p 0 +  p 1 +  p 2 +  p 3 = 1 , the  state ca n be  denote d  as  22 * 0 3 00 00 01 01 0 3 00 22 * 01 01 00 1 2 00 0 0 01 01 ** 1 2 00 01 01 00 '' ( ) ( 0 , 0 , 1 , 1 , ) ( ) ( 0 , 1, 1, 0 , ) ( ) ( 1, 1, 0 , 0 , ) () ( 1 , 0 , 0 , 1 , ) , pp p p pp pp                                          (44)    whi c h can be  rewritten in th e orthog onal  basi s   00 01 00 01 {0 , , 1 , , 1 , , 0 , }    * 2 03 03 2 * 03 03 * 2 12 12 2 * 12 12 '' 0 0 () () 0 0 () () () () 0 0 () () 0 0 pp pp pp pp pp pp pp pp     .                                                                          (4 5)      The maximal  information   I 0   that can  be  extracted fro m   this state i s  given by th e   Vo n Neuman n   entropy ,  nam e l y,  3 02 0 lo g . ii i I                                                                                                                                                              (46)  whe r e   (0 , 1 , 2 , 3 ) i i   a r e th e eigen valu e s  of  '' , which  can be expressed a s   22 0, 1 0 3 0 3 0 3 11 () ( ) 1 6 ( ) , 22 pp p p p p e e                                                                                            (4 7)     22 2, 3 1 2 1 2 1 2 11 () () 1 6 ( ) . 22 pp p p p p e e                                                                                              (48)    Assu ming  tha t  the p r oba bili ty of the fou r   operation s  i s   equal  to e a ch  other,  nam el y, 14 i p ,  the   expre ssi on can be sim p lified to  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.