TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.6, Jun e  201 4, pp. 4692 ~ 4 7 0 4   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i6.545 3          4692     Re cei v ed  De cem ber 2 9 , 2013; Re vi sed  March 8, 201 4; Acce pted  March 20, 20 14   Robust Weighted Measurement Fusion Kalman  Predictors with Uncertain Noise Variances       Wen - juan Qi,  Peng Zhang , Gui-huan Nie, Zi-li Deng*  Dep a rtment of Automatio n , Heilo ng jia ng U n i v ersit y   Harbi n , Chi an, 150 08 0   *Corres p o n g d i ng auth o r, e-mail: dzl@ hlj u .ed u .cn       A b st r a ct   For the multis ensor system  with uncertain  noise  varianc es, using the  m i ni m a x r o bust estimatio n   princi pl e, the l o cal a nd w e i ght ed  me asur eme n t fusion   rob u s t  time-v aryin g   Kal m a n  pre d ict o rs are  pres ent ed  based on the  worst-case co nservative syst em  with the conservative   upper bound of no is e varianc es. The  actual  pred icti on err o r vari a n ces ar e gu ar antee d to h a v e  a  min i mal  upp er bo un d for all  ad miss i b le   uncerta inties  o f  noise  vari anc es. A Lya p u n o v  appr oac h is  prop osed  for t he ro bustn ess  ana lysis a n d  thei r   robust accur a c y  relatio n s are  proved. It is prove d   that the robust accur a cy of  w e ighte d  me asur e m e n t   robust fus e r  is  hig her t han  tha t  of e a ch  loc a l  robus t K a l m an  pred ictor. Sp ec ially,  the  corres pon din g  ste ady - state robust l o cal a nd w e ig hted meas ure m e n t fusion  K a l m a n  pred ictors are also  prop osed a n d  the   conver genc e i n  a re ali z at ion  betw een ti me- v aryin g  an d  steady-state K a l m a n  pr edictors  is prove d  by t h e   dynamic error  system   analysis  (DESA)  m e thod. A M onte-Carlo  s i m u lation exam ple  s hows the  effectiveness  o f  the robustnes s and accur a cy  relatio n s.     Ke y w ords :     mu ltise n sor inf o rmatio n  fu sio n , w e ighted  me asur e m ent  fusion, unc ertain n o ise var i ance,   mi ni max ro bust  Kalman pr edic t or       Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  Multisen so r i n formatio n fu sion i s   widely  applie d to m any filelds i n cluding  defen ce, target  tracking,  GP S po sition  a nd  so  on [1,  2]. Its aim  i s  to  co mbin e  the lo cal  e s timators o r  l o cal  measurement s to  obtain t he fu sed  esti mators of  th e sy stem  sta t e, who s e  accuracy i s   hig her  than that  of e a ch  lo cal  esti mator. Kalm a n  filter in g a p p roa c h  i s  the  ba sic tool  of  the i n form ation  fusion  with th e assu mption  that the mo d e l pa ra mete rs an d noi se  varian ce s  are  exactly kn own.  W h en  th er e  e x is t u n c e r t a i n t ie s ,  th e pe rfo r ma nc e  of t he Kalm an fil t er  can  be  ve ry po or [3], a n d   an inexact m odel may ca u s e the diverg ent filter. In  o r de r to handl e this pro b le m, various st udie s   on desi gnin g  of the robust Kalman filte r s have be en  reporte d [4-6]. The robu st Kalman filters  guarantee  to  have a  minim a l up per b oun d of th e a c tu a l  filtering  erro r varia n ces for all a d mi ssi bl e  uncertaintie s .      For the  syst ems  with the  model p a ra meters  un ce rtainties, there are t w o i m porta nt  approa che s  f o r  de signin g  t he  robu st Kal m an filter s  su ch th at the  Ri ccati eq uatio n ap pro a ch [ 4 ],  [7-8] and the  linear mat r ix inequality (L MI) app ro a c h  [5-6], [9]. The disa dvanta ge of these two   approa che s  i s  that o n ly model p a ra met e rs are  un ce rtain whil e the  noise vari an ce s a r e a s su med  to be exactly kno w n. The  robu st Kalman filter ing p r oblem s for systems  with uncertain n o i s e   varian ce s are  seldom  con s idere d  [10, 11], and t he robu st inform ation fusio n  Kalman filter  are  also  seld om rese arche d  [12, 13].  For informati on fusio n  based on the Kal m an filt ering,  there exist two methodol og ies [14,  15], the state and mea s urem ent fusi on method s,   the former  method can  give a fused  state   estimato r by combi ng o r  weighting the l o cal  state e s timators, whil e the later fu sion m e thod i s  to   weig ht all the  local  mea s u r ement to o b tain  a fu se d  measurement  equatio n, an d then to  obt ain  global o p tima l state estima tor based on  a singl e Kalm an filter.  In this  pape r, usin g the  minimax rob u st e s timatio n  pri n ci ple, t he lo cal  and  wei ghted   measurement  fusio n   rob u s t time-va r yi ng a nd  st ea dy-state  Kal m an  pre d icto rs are  pre s e n ted  based o n  th e wo rst - case  con s e r vative system   wit h  the con s ervative upper boun d of n o ise  varian ce s. Th e co nverg e n c e in a realization  between t he time-va r ying and  stea d y -state Kalm an  predi ctors i s   rigorously proved  by the  dynamic error sy stem an alysis (DESA) method  [16, 17].  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Weig hted Mea s u r e m ent Fusion  Kalm an Predi ctors with  Un certai n… (We n -jua n Qi)  4693 Furthe rmo r e, a Lyapunov e quation  ap proach is prese n ted for the  robu stne ss a n a lysis, which is  different fro m  the Ri ccati e quation  app roach an d  the  LMI app ro ach. The  con c e p t of the rob u st  accuracy  is  given a nd th e robu st a ccura cy rela tio n s  are p r ove d , it is prove d  that the  ro bust  accuracy of t he ro bu st we ighed m e a s u r eme n t fusi o n  Kalman p r edicto r  is hi g her tha n  that  o f   each local ro bust Kalma n  predi cto r .  The  remai n d e r of thi s  p aper is orga nize d a s  foll ows. Sectio n  2 give s p r oblem  formulatio n. The robu st  weig hted me asu r em ent  fusio n  time-v arying Kalm an p r edi ctors are   pre s ente d  in  Section  3.   The  rob u st  local  an d f u se d  steady-state Kalm a n  predi ctors are  pre s ente d  in  Section 4.  The robu st a c cura cy an al ysis i s  given  in Section 5 .  The simul a tion  example is gi ven in Sectio n 6. The co nclusio n  is prop ose d  in Secti on 7.      2. Problem Formulation   Con s id er m u i l tisen s or line a r di sceret time-v aryin g  system with  u n ce rtain n o ise varain ce   and ide n tical  measurement  matrix.    1 x tt x t t w t                                                                                                        (1)       ,1 , , ii yt H t x t t t i L                                                                                         (2)    Whe r e  t repres ents  the dis c rete time,  n x tR  is the state, m i y tR is the  measurement  of the th i s u bsys tem,  r wt R is the input noi se,  m tR is the co mmon  disturban ce noise,  m i tR is the  measureme n t noise of the th i sub s y s t e m , t , t an d H t are kno w n time-varyin g  m a trice s  with a ppro p ri ate di mensi o n s .  L is the numb e r of  sen s ors.   Assump tion 1 .   wt ,   t and i t are  u n co rrelated  white noi se s  wi th ze ro m ean s an d  unkno wn un certain a c tual varian ce s Qt , Rt an d  i Rt at time t , res p ec tively,   Qt , Rt and i Rt are kno w n con s e r vative uppe r bou n d s of  Qt , Rt and i Rt , s a tis f ying:      ,, ii Q t Q t Rt Rt R t R t   , 1, , iL , t                                                      (3)    Assump tion  2 . The initial state 0 x  is ind epen dent of  wt ,  t and  i vt and h a s   mean value  and un kno w n  uncertain a c t ual varian ce  0| 0 P whi c h s a t i sf ie s:      0| 0 0 | 0 PP                                                                                                                               (4)    Whe r e 0| 0 P is a kn own  con s e r vative upper b ound of  0| 0 P .  Assump tion  3 . The  system (1 ) an d  (2) i s  u n ifo r mly co mplet e ly observab l e and  compl e tely co ntrollabl e.  Defining:       ,1 , , ii vt t t i L                                                                                                            (5)    Whe r e  i vt are  white noi se s with zero mea n s, the  con s e r vative and   actual va rian ce s  and cro s s-co varian ce s are  given as:        ii v Rt R t R t   ,  ii v Rt R t R t   , 1, , iL                                                  (6)      ij v Rt R t ,   ij v Rt R t , ij                                                                                            (7)  From (3), we have:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4692 – 4 704   4694     ii vv Rt Rt , 1, , iL , t                                                                                                       (8)      3. Robus t Weighted M e a s uremen t Fu sion Time-v a r y i ng Kalman Predictor s   Introdu ce the  centralized fu sion me asure m ent equatio n.       cc c c yt H t x t v t e H t x t v t                                                                          (9)    With the defin itions:        T TT 1 ,, cL y t yt yt   ,    T TT ,, c H tH t H t ,    T TT 1 ,, cL v t vt vt   T ,, mm eI I                                                                                                                                       (10)    And the fuse d noise  c vt  resp ectively has t he co nserva ti ve and actu al  variances a s :    i i i v c v v RR R R R RR RR R             , i i i v c v v RR R R R RR RR R                                                           (11)    Applying the   weig hted l e a s t  squa re  me thod [18 ], fro m  (9 ),  we  ha ve the  co nse r vative   weig hted fusi on mea s u r em ent equatio n.      MM y tH t x t v t                                                                                                                 (12)    Whe r e M y t is the  con s e r vative weig hted  fusion m e asu r em ent  and M vt is the   con s e r vative fused me asurement white  noise with co nse r vative varian ce M Rt , s u c h  t hat:     T1 1 T 1 ( ( ) ) () () Mc c c y t e Rt ee Rt y t                                                                                                (13)      T1 1 T 1 (( ) ) ( ) ( ) Mc c c v t e R te e R tv t                                                                                                    (14)    T1 1 () ( ( ) ) Mc Rt e R t e                                                                                                                            (15)    Based  on the  worst-ca se  conservative system (1 ) an d (12 )  with A s sumption s 1 - 3 an d   con s e r vative uppe r  b oun d s    Qt and i v Rt , the conservative o p timal weight ed me asure m ent  fused time -va r ying Kalman  predi cto r s  ˆ | M x tN t , 1 N are given as.   Whe n 1 N , the one-ste p  predi ctor is given a s :     ˆˆ 1| | 1 MM M M M x tt t x t t K t y t                                                                            (16)    = MM tt K t H t                                                                                                                (17)         1 TT =| 1 | 1 MM M M K tt P t t H t H t P t t H t R t                                     (18)      TT T 1| | 1 MM M M M M M Pt t t Pt t t t Q t t K t R t K t              (19)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Weig hted Mea s u r e m ent Fusion  Kalm an Predi ctors with  Un certai n… (We n -jua n Qi)  4695   With   ˆ 1| 0 M x ,   1| 0 0 | 0 M PP , and  1| M Pt t satisfies the  Ri ccati equatio n.           1 TT TT 1 | |1 |1 |1 |1 MM M M M M Pt t t P t t P t t H t H t Pt t H t R t Pt t t t Q t t      (20 )     Whe n 2 N , the multi-step p r e d i c tor i s  given by:     ˆˆ |, 1 1 | MM x tN t t N t x t t  , 2 N                                                                         (21)    With the defin ition   ,1 2 , , n ti t t i t t I   .        The co nserva tive  N -step pre d iction e r ror varian ce  | M Pt N t is given by:        T TT 2 |, 1 1 | , 1 ,1 1 1 , MM N j Pt N t t N t P t t t N t tN t j t j Q t j t j t N t j                     (22)    Substituting t he actu al me asu r em ent  i y t into the co nserv a tive weighte d  mea s ureme n t  fusion  Kalam n  predi ctors  (16)  and  (2 1),  we  obtain th e  actu al on e-st ep a nd  N -ste p time-varying  Kalman predi ctors.   The act ual predictio n errors are give n a s :       ˆ 1| 1 1 | 1 | MM M x tt x t x t t t x t t t w t                                                 (23)      ˆ || | 1 MM n M M M M x t t x t xt t I K t H t xt t K t v t                                 (24)    Substituting (24) into (23)  yields:      1| | 1 MM M M M x t t tx tt t w t K t v t                                                         (25)    The actu al weighted me asurem ent fuse d one-st ep p r edictio n error  varian ce satisfies the   Lyapun ov eq uation.        TT T 1| | 1 MM M M M M M Pt t t Pt t t t Q t t K t R t K t                   (26)    With the initial value   1| 0 0 | 0 M PP , and from (4),  we ha ve:    1| 0 1 | 0 MM PP                                                                                                                                (27)    Whe r e M Rt is the actual vari an ce of  M vt , and fro m  (14)  and (1 5) we h a ve:     T1 1 T 1 1 T1 1 ( ( ) ) () () () ( ( ) ) Mc c c c c R t e R te e R t R t R te e R te                                                                   (28)      MM Rt Rt                                                                                                                                         (29)    Iterating (1 ), we have the  non-re cu rsive  formula:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4692 – 4 704   4696   2 ,1 1 , 1 1 tN it xt N t N t x t t N i i w i    , 2 N                                (30)    The act ual predictio n errors are give n a s :        2 ˆ || ,1 1 | , 1 1 MM tN M it xt N t x t N x t N t t N tx tt t N i i w i     , 2 N                    (31)    So we have the actu al  N ste p  weig hted m easure m ent fuse d pre d icti on error va ria n ce s.         T TT 2 |, 1 1 | , 1 ,1 1 1 , MM N j Pt N t t N t P t t t N t tN t j t j Q t j t j t N t j                     (32)    Theorem 1 .  For multi s en sor un ce rtain  system   (1) a nd  (1 2) with Assu mption s 1-3,  the   actual weight ed mea s ure m ent fusion t i me-varyin g  Kalman predi ctors are  rob u st in the se nse  that for all  admissibl e a c tual va rian ces  , i v Qt R t and  1| 0 M P satis f y i ng (3)  an d (4 ), for   arbitrary time t , we have:       || MM P tN t P tN t  ,   1 N                                                                                                      (33)    And | M P tN t is the mi nimal upp er  boun d of | M P tN t for  all admissibl e uncertainti es of   noise varia n c e s . We cal l  the a c tual  fused  Kal m an p r edi ct ors a s  the  robu st  weig hted   measurement  fusion Kalma n  predi cto r s.   Proof . When 1 N , defining 1 | 1| 1| MM M P tt P t t P tt  , s u btr a c t in g (2 6)  fr o m   (19 )  yields th e Lyapun ov equation.      T 1| | 1 MM M M M P tt t P t t t t                                                                            (34)       TT MM M M M t t Q t Q t t K tR t R tK t                                            (35)    Applying (3 ), (29 )  and (35 )  yields that 0 M t , a nd from (4) we have:       1| 0 1 | 0 1| 0 0 | 0 0 | 0 0 MM M PP P P P                                                     (36)    H e nc e  fr om ( 3 4) , w e  h a v e 2| 1 0 M P . Applying the mathem atical ind u ctio n  method yiel ds  1| 0 M Pt t  , for all time t , i.e. the inequality (33) holds for  1 N . When 2 N , Defining   || | MM M Pt N t P t N t Pt N t  , subtra cting (32) fro m  (22 )   yields:           T TT 2 |, 1 1 | 1 | , 1 ,1 1 1 1 , MM M N j Pt N t t N t P t t Pt t t N t t N tj tj Q t j Q tj tj t N tj           (37 )     Applying the  robu stne ss of the one-st ep predi cto r  (33) a nd (3 ), we get  |0 M Pt N t  ,  therefo r e  (33 )  hol ds fo r  2 N . Tak i ng , ii vv Q t Q t Rt Rt  and 1| 0 1 | 0 MM PP , then   comp ari ng (1 9) with (26 )   and   (22)  wi th  (3 7), we have || MM P tN t P tN t  , 1 N . For  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Weig hted Mea s u r e m ent Fusion  Kalm an Predi ctors with  Un certai n… (We n -jua n Qi)  4697 arbitrary othe r upp er  bou n d * | M P tN t , we have  * || | MM M P tN t P tN t P tN t   whic h   yields that | M P tN t is the minimal u pper b oun d o f   | M P tN t . The pro o f is co mpleted.   Corollar y  1 .  For un ce rtain   multisen sor system   (1 ) a nd (2) with  A s sumption s  1 - 3 and  con s e r vative uppe r  b ound s   Qt and i v Rt , similar to the robu st  weig hted m e asu r em ent fu sion  time-varying  Kalman pre d i c tors,  the ro b u st  lo ca l tim e -varying  Kal m an o n e - ste p  an d multi-ste p   predi cto r s a r e  given by:     ˆˆ 1| | 1 ii i i i x tt t x t t K t y t  , 1, , iL                                                             (38)      = ii tt K t H t  , T1 =| 1 ii i Kt t P t t H t Q t                                         (39)      T |1 ii i Qt H t P t t H t R t                                                                                           (40)    With the initial value   ˆ 1| 0 , 1| 0 0 | 0 ii xP P  , and we have the Ri ccati equatio n.           1 TT TT 1 | |1 |1 |1 |1 ii i M M i Pt t t Pt t P t t H t Ht P t t H t R t HtPt t t t Q t t             (41)    The  con s e r vative and th e actu al on e-ste p  p r edi ction e r ror v a rian ce s  sati sfy the  Lyapun ov eq uation s .     TT T 1| | 1 ii i i i i i Pt t t Pt t t t Q t t K t R t K t                              (42)      TT T 1| | 1 ii i i i i i Pt t t Pt t t t Q t t K t R t K t                           (43)    With the initial values  1| 0 0 | 0 i PP , 1| 0 0 | 0 i PP .  The co nserva tive local opti m al time-vary i ng Kalman m u lti-step p r e d i c tors are give n by:      ˆˆ |, 1 1 | ii x tN t t N t x t t  , 1, , iL , 2 N                                                             (44)    The co nserva tive optimal  N step pre d ictio n  error vari an ces  | i Pt N t are given  by:       T TT 2 |, 1 1 | , 1 ,1 1 1 , ii N s P t N t tN t P t t tN t tN t s t s Q t s t s t N t s                        (45)    The act ual N step predi ction e rro r varia n ces are give by:        T TT 2 |, 1 1 | , 1 ,1 1 1 , ii N s Pt N t t N t P t t t N t t N ts ts Q t s t s t N t s                        (46)    Similarly, the  local time -varying K a lma n  on e-step  a nd multi - ste p  pre d icto rs a r e al so  robus t, i.e.,    1| 1| ii Pt t P t t  ,  1, , iL                                                                                                        (47)  || ii P t Nt P t Nt  , 2 N , 1, , iL                                                                                     (48)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4692 – 4 704   4698 And  | i P tN t is the mi nimal upp er b ound of  | i P tN t , 1 N .      4. Robus t Lo cal and Fuse d  Stead y - sta t e Kalman Pr edictor s   Theorem 2 .  For multisensor un ce rtain time-inv ariant sy ste m  (1) an d (12 )  with  Assu mption s 1-3,  wh ere    t  , t , H tH ,  ,, ii Qt Q R t R R t R   , and   Qt Q ,  Rt R  ,  ii Rt R  are all  con s tant matrice s .  Assum e  that  the measure m ents i yt , 1, , iL are b ound e d , then the  actual  wei ght ed me asu r e m ent fusi on  steady-state  Kalman  predi cto r s a r e  given by:     ˆˆ 1| | 1 ss MM M M M x tt x t t K y t  , 1 N                                                                            (49)     1 ˆˆ |1 | sN s MM x tN t x t t  , 2 N                                                                                             (50)    = Mn M IK H ,  1 TT = MM M M KH H H R                                                                (51)    TT T M MM M M M M QK R K                                                                                                (52)    TT T M MM M M M M QK R K                                                                                               (53)    Whe r e the su perscript s de notes “s teady-state”, the initial value  ˆ 0| 0 s M x ca n arbitra r ily  be sel e ct e d ,   i y t are the a c tual  measu r em en ts, and:    T1 1 T 1 () ( ) Mc c c y te R e e R y t                                                                                                                    (54)    T1 1 () Mc Re R e  ,   T1 1 T 1 1 T1 1 () () Mc c c c c Re R e e R R R e e R e                                                                (55)    The  con s e r vative and a c tual  steady -state  pre d iction erro r varian ce s  sati sfy the   Lyapun ov eq uation s .      2 TT 11 T 0 N NN s s MM s PN Q     ,  2 N                                                            (56)       2 TT 11 T 0 N NN s s MM s PN Q     , 2 N                                                              (57)    The act ual st eady-state Kalman p r edi ct ors a r e  robu st, in the sense that:     M M   ,  MM PN PN                                                                                                                   (58)    And M and M PN are the minimal up per bo und s of   M and M PN , res p ec tively.   Proof.  As t  , takin g  the li mit operation s  for  (14 ) -(3 3 ) with  ,, , H Q  and i R ar e   con s tant mat r ice s  yield s  (49)-(5 8). Ta ki ng  QQ and ii vv RR , from (55), we hav e M M RR , s o   that from  (5 2 )  a nd  (53 )  yi elds M M  , hen ce  from  (5 6)  and  (5 7),  we  hav e MM PN PN . If   * M or  * M PN is the a r bitra r y othe r bou nd of   M or M PN , we have * M MM    or  * MM M PN PN PN  , which yield s  that M and M PN are minimal. The  proof is  com p leted.  Similarly, the actual lo cal  steady-state Kalman p r edi ct ors a r e give n by:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Weig hted Mea s u r e m ent Fusion  Kalm an Predi ctors with  Un certai n… (We n -jua n Qi)  4699  ˆˆ 1| | 1 ss ii i i i x tt x t t K y t  , 1, , iL                                                                             (59)    = in i IK H ,  1 TT = i ii i v KH H H R                                                                             (60)    The co nserva tive and actu al predi ction  er ror vari an ces satisfy Lyapunov eq uati on.     TT T ii i i i i i QK R K   , 1, , iL                                                                                      (61)    TT T ii i i i i i QK R K   , 1, , iL                                                                                     (62)    The act ual st eady-state fused Kalm an  multi-ste p  pre d ictor i s  given  as:      1 ˆˆ |1 | sN s ii x tN t x t t  , 1, , iL , 1 N                                                                             (63)    The con s e r vative and a c tual local ste ady-state  N s t ep  p r ed ic tion   e r ro r  var i a n ce s  ar e  given as:        2 TT 11 T 0 N NN s s ii s PN Q    , 2 N , 1, , iL                                           (64)       2 TT 11 T 0 N NN s s ii s PN Q    , 2 N 1, , iL                                               (65)    The  actu al lo cal  stea dy-st a te Kalma n  p r edi ct ors  (59 )  and  (63) a r e  ro bust  in th e  se nse  that for all admissi ble un ce rtainties of  Q and i v R sat i sf y i ng , ii vv QQ R R  , we have:    ii  ,     ii PN P N ,  1, , iL                                                                                                   (66)    And i and i PN are the minimal up per bo und s of   i and i PN , respe c tively. Hence t hey are  calle d the rob u st stea dy-state Kalman p r edi ctors.   Lemma 1 . [16, 17] Con s id er a dynami c   error sy stem.        1 tF t t u t                                                                                                                          (67)    Whe r e 0 t , n tR ,  n ut R , and F t is u n iformly a s ymptotically  stable,   i.e., there   exist con s tant s  01  and 0 c s u c h  that:     ,, 0 ti Ft i c t i                                                                                                                           (68)    Whe r e  the  notation denot es th e n o rm  of matrix,   ,2 1 , Ft i F t F t F i   , n F ii I . If    ut is bo und e d , then t is bo u nded. If 0 ut , then 0 t , as t  .  Theorem 3 .  Und e r th e  co ndition s of T heorem  2,  th e ro bu st time -varying  and   steady- state Kalma n  local  and  fused o n e - step a nd m u lti-step  pre d ictors h a ve  each othe r the   conve r ge nce in a reali z atio n, such that:    ˆˆ 1| 1| 0 s ii xt t x t t    , as t  , i.a.r                                                                                (69)      ˆˆ || 0 s ii xt N t x t N t    , as t  , i.a.r , 2 N                                                            (70)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4692 – 4 704   4700 ˆˆ 1| 1| 0 s MM xt t x t t    , as t  , i.a.r                                                                          (71)      ˆˆ || 0 s MM xt N t xt N t    , as t  , i.a.r , 2 N                                                        (72)    Whe r e the  n o tation “i.a.r”  denote s  the  conve r ge nce  in a re alizatio n [17], and  we have   the conve r ge nce of varia n c e s .     1| ii Pt t  ,   1| M M Pt t  , as t  , 1, , iL                                                         (73)     | ii P tN t P N  ,   | MM P tN t P N  , as t  , 1, , iL                                    (74)    Proof .  Acco rding to Assu mption 3, we  have [18]:    1| ii Pt t  , as t  , 1, , iL                                                                                                (75)    Then fro m  (1 9) and  (39 ) , we have:     ii t ,  ii Kt K ,  1| M M Pt t   as t  , 1, , iL                                           (76)    Similarly, we  can prove (74) hol ds, Setting  ii i tt   , ii i K tK K t  in  (38 ) , applyin g  (76 )  yields 0 i t  0 i Kt , as t  . Subtracting (59 )  fro m  (38), an d  defining  ˆˆ || s ii i tx t N t x t N t  , we have:      1 ii i i tt u t                                                                                                                          (77)    With   ˆ |1 ii i i i ut t x t t K t yt   . Noting  that i t is u n iformly asymptot ically  stable [19], a n d  ii K ty t is boun ded , applying Le mma 1 to (3 8) yield s  the  boun dedn ess of  ˆ 1| i x tt . Hence we  have 0 i ut . Applying Lemm a  1 to (77), not ing that i is a stable   matrix, so it i s  also unifor mly asymptotically stable,  hen ce 0 i t , i.e. th e conve r ge nce (69)  hold s . The co nverge nce of (70 ) -(72 ) ca n be pr ove d  si milarly. The p r oof is  compl e ted.      5. The Accurac y  Anal y s is   Defini tion 1 . The t r ace tr | P tN t of the u ppe r b ound | P tN t of t he a c tual   predi ction  e r ror va rian ce s  | P tN t for  all a d missi b le u n certaint ies i s   call ed t he  robu st  accura cy  or glo bal a c curacy of a  robu st Kalm an predi ctor,  and  tr | P tN t is call ed as its actual  accuracy. T h e smalle r  tr | P tN t or  tr | P tN t mean s the  hi gher robu st a c cura cy o r   a c tual  ac cur a cy .  Th e ro bu st  ac cu racy   giv e s t h e low e st  b o u nd of all  po ssible a c tual a c curaci es yield e d   from the un ce rtainties of no ise varia n ces.   Theorem 4.  For m u ltise n s or un ce rtain  system  (1 ) and (2)  with Assu mption s  1-3,  the   accuracy co mpari s o n  of the local and f u se d rob u st  Kalman predi ctors is given  by:      || , ii P tN t P tN t  1, , iL  ,  1 N                                                                                (78)      || | , MM i P tN t P tN t P tN t   1, , iL , 1 N                                                     (79)    tr | t r | ii P tN t P tN t  , 1, , iL  ,  1 N                                                                            (80)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Weig hted Mea s u r e m ent Fusion  Kalm an Predi ctors with  Un certai n… (We n -jua n Qi)  4701   tr | t r | t r | MM i P tN t P tN t P tN t   , 1, , iL , 1 N                                         (81)      , ii M M i PN PN P N P N PN  ,  1, , iL , 1 N                                                  (82)    With the defin itions   1, 1, 1 , 1 ii ii M M M M PPP P   .    tr t r ii PN PN , tr t r tr MM i PN PN P N  , 1, , , iL 1 N                                    (83)    Proof . A c c o rding to the   robu stne ss (3 3), (47 )  a nd  (48 ) , we h a ve (78) an d t he first  inequ ality of (79 ) . Since t he co nservat i ve weighte d  measure m e n t fuser i s  e quivalent to the   con s e r vative  centralized f u se r [20], th e second  in equality of  (79)  ha s b e e n  proven i n   [21].  Takin g  the  trace  op eratio ns fo r  (78 )  a nd (79 )  yield s  the  ineq uali t ies (80 )  an d  (81 ) . As  t  ,  taking the limi t  operation s  for (7 8)-(8 1) yi elds (82 )  and  (83 ) . The pro o f is com p leted.      6. Similation Example  Con s id er a th ree - sen s or ti me-inva r iant trac kin g  syste m  with uncert a in noi se vari ances.       1 x tx t w t   ,  ,1 , 2 , 3 ii yt H x t t t i                                               (84)    2 0 0 0 1 0. 5 , 01 T T         , 2 H I                                                                                                   (85)    Whe r e 0 0.35 T is the sampl ed pe ri od,     T 12 , x tx t x t is the sta t e,  1 x t and  2 x t are th e po siti on an d velo ci ty of target at  time 0 tT . wt ,  t and i t are inde pen den t Gau ssio n   white noi se s with ze ro me an and un kn o w n un ce rtain  actual vari an ce s Q , R and  i R r e spec tively.    In the s i mulation, we tak e 1 Q , 0. 8 Q , d i a g ( 1 .5 , 2 .5 ) R ,  di a g ( 1 , 2 ) R , 1 di a g ( 3 .6 , 2 . 5 ) R ,  1 d i a g ( 3 ,1 . 8 ) R , 2 dia g ( 8 , 0 .36) R , 2 d i a g ( 6 , 0 .2 5) R , 3 diag ( 0 .5 , 2 .8 ) R , 3 di a g (0. 3 8 , 2) R ,  1, N   2 N . The initial values    T 00 0 x , 0 , 2 0 | 0 d iag ( 1. 1 , 1.2 ) , 0 | 0 P PI .  The  comp ari s ons  of the  predictio n e rro r varian ce  mat r ice s   and th ei r tra c e s  of th e ro bu st  steady-state l o cal an d wei ghted mea s u r eme n t fusion  Kalman pred ictors are  sh own in Tabl e  1- Table 3. The s e matrices a n d  their tra c e s  verify the accura cy relatio n s  (82 )  an d (8 3).   The tra c e s  of  the co nserva tive and a c tu al ro b u st  one -step  an d two - step  predi ction e rro r  varian ce s are  compa r ed in  Figure 1 and  Figure 2. We  see that the trace s  of the local an d fuse d   robu st time -v arying  Kalma n  on e-step  a nd two-st ep   predi cto r s qui ckly  co nverg e  to th ese of  the   corre s p ondin g  stea dy-stat e  Kalman p r edicto r s,  wh i c h  sho w  the  robu st a c curacy rel a tion s  (80 ) ,  (81 )  and (83 )  hold.       Table 1. The  Con s e r vative and Actual A c cura cy Co m pari s on of On e-ste p  Predi ction Erro r  V a rian ce s Ma t r ice s   i and  i , 1, 2 , 3 , iM   1   2   3   M   1.4 931 0 . 653 8 0 . 653 8 0 .631 4      1.799 5 0.6200 0.6200 0.5833      0.85 58 0.4877 0.4877 0.5592   0 . 73 15 0. 409 8 0 . 40 98 0. 499 5   1   2   3   M   1.1 667 0.5 123 0 . 51 23 0.4 989      1.36 98 0 . 48 36 0 . 48 36 0.4 617    0 . 620 2 0 .367 2 0 . 367 2 0 .434 6 0 . 536 5 0 .3 134 0 . 31 34 0.3 922     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.