I nd o ne s ia n J o urna l o f   E lect rica l En g ineering   a nd   Co m p u t er   Science   Vo l.   21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1 ,   p p .   7 7 6 ~ 7 9 0   I SS N:  2 5 02 - 4 7 5 2 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ee cs.v 2 1 .i 2 . p p 7 7 6 - 7 9 0          776       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //ij ee cs.ia esco r e. co m   Ana ly tical so lutions  of linear a nd  n o n - linea r inco mm ensura te  fractiona l - o rder  c o upled sy ste m s       Ra m zi  B .   Alba da rne h 1 ,   I qb a l M .   B a t iha 2 ,   Neda l Ta ha t 3 ,   Abdel - K a re e m   N.   Alo m a r i 4   1 ,3 De p a rtm e n t  o f   M a th e m a ti c s,  F a c u lt y   o f   S c ien c e ,   T h e H a sh e m it e U n iv e rsity ,   Zarq a ,   Jo rd a n   2 De p a rtme n t  o f   M a th e m a ti c s,  F a c u lt y   o f   S c ien c e ,   T h e   Un iv e rsit y   o f  Jo rd a n ,   Am m a n ,   Jo rd a n   4 De p a rtme n t  o f   M a th e m a ti c s,  F a c u lt y   o f   S c ien c e ,   Ya r m o u k   Un iv e r sity ,   Irb id ,   Jo r d a n       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   Art icle  his t o ry :   R ec eiv ed   J u n   1 2 ,   2 0 2 0   R ev i s ed   A u g   1 1 ,   2 0 2 0   A cc ep ted   A u g   3 0 ,   2 0 2 0       In   t h is  p a p e r,   a   n e w   a n a l y ti c a l  m e th o d   is  d e v e lo p e d   f o r  so lv i n g   li n e a r  a n d   non - li n e a r  f ra c ti o n a l - o rd e r  c o u p l e d   s y ste m s   o f   in c o m m e n su ra te   o rd e rs.  T h e   s y ste m   c o n sists   o f   t w o   f ra c ti o n a l - o rd e r  d if fe re n ti a l  e q u a ti o n s   o f   o rd e rs                .   T h e   p r o p o se d   a p p ro a c h   is  p e rf o rm e d   b y   d e c o u p l in g   t h e   sy ste m   in to   tw o   f ra c ti o n a l - o r d e r  d if fe re n ti a l  e q u a ti o n s;  t h e   f irst  o n e   is  a   f ra c ti o n a l - o rd e r  d if fe re n ti a l  e q u a ti o n   (F o DE )  o f   o n e   v a riab le o f   o rd e r            ,   w h il e   t h e   se c o n d   o n e   d e p e n d s  o n   t h e   so lu ti o n   o f   th e   f irst   o n e .   T h e   g e n e ra l  s o lu ti o n   o f   th e   c o u p led   sy ste m   is  o b tain e d   u sin g   th e   a d o m ian   d e c o m p o siti o n   m e th o d   (A DM).   T h e   m a in   id e a s  o f   th is  w o rk   a re   v e ri f ied   v ia  se v e r a l  e x a m p les   o f  li n e a r  a n d   n o n li n e a r  s y ste m s,  a n d   th e   n u m e rica l  si m u latio n s  a re   p e rf o r m e d   u sin g   m a th e m a ti c a .   K ey wo rds :   A d o m ian   d ec o m p o s itio n   m et h o d   Fra ctio n al  ca lc u lu s   S y s te m s   o f   i n co m m e n s u r ate   f r ac tio n al - o r d er   T h is  is  a n   o p e n   a c c e ss   a rti c le u n d e r  th e   CC BY - SA   li c e n se .     Co rr esp o nd ing   A utho r:   R a m z i B .   A lb ad ar n eh   Dep ar t m en t o f   Ma th e m at ics   Facu lt y   o f   Sc ien ce ,   T h e   Has h e m ite   U n i v er s it y   Z ar q a1 3 1 3 3 ,   J o r d an   E m ail:  r b ad ar n eh @ h u . ed u . j o       1.   I NT RO D UCT I O N   Fra ctio n al - o r d er   Dif f er en tial  E q u atio n s   ( Fo DE s )   ar e  w e ll  s u ited   to   m o d el  p h y s ical  s y s te m s   w i th   m e m o r y   o r f r ac tal   attr ib u te s ,   an d   th e y   ar e  i n cr ea s i n g l y   u tili ze d   to   m o d el  m a n y   p r o b le m s   in   f l u id   d y n a m ics ,   v is co elas ticit y ,   b io lo g y ,   p h y s i cs  an d   en g i n ee r in g   [ 1 - 5 ] .   Sev er al  m et h o d s   h a v e  b ee n   s u g g e s ted   to   s o lv e  lin ea r   an d   n o n - li n ea r   Fo DE s   s u ch   a s   t h e  P r ed icto r   C o r r ec to r   Me th o d   ( P C M)   [ 6 ,   7 ] ,   th e  A d o m ain   D ec o m p o s itio n   Me th o d   ( A DM )   [ 2 ,   8 - 1 2 ] ,   th e   Ho m o to p y   P er tu r b atio n   Me t h o d   ( HP M)   [ 1 3 ] ,   th e  Var iatio n al  I ter atio n   Me th o d   ( VI M)   [ 1 4 - 1 6 ] ,   th e  Dif f er e n ti al  T r an s f o r m   Me th o d   ( DT M)   [ 1 7 ] ,   an d   th e  Fin i te  d if f er en c e  m eth o d   [ 1 8 ,   1 9 ] .   An   an al y tical  m eth o d   f o r   o b tain i n g   s o l u tio n s   o f   lin ea r   Fo DE s   w i th   J u m ar ie  t y p e  d er iv ativ e  in   ter m s   o f   th e   Mittag - L e f f ler   f u n ctio n s   an d   th e  g e n er alize d   s in e  an d   co s in e   f u n ctio n s   w a s   p r esen ted   in   s e v er al  p ap er s   s ee   [ 7 ,   20 - 2 2 ] .   Sev er al  n o n - lin ea r   p h o n e m e n a  ar e  m o d el ed   b y   co u p led   Fo DE s   s u ch   as   th e   f r ac ti o n al - o r d er   C h u a h ’ s ,   R ö s s ler ' s ,   Du f f i n g 's,  an d   Sti f f 's   f r ac tio n al - o r d er   s y s te m s   [ 7 ,   2 3 ] .   T h e  s in g le - ter m   Haa r   w a v elet  s er ies ( ST HW )   m et h o d   w er e  i n tr o d u ce d   to   s o lv e  s in g u lar   s ti f f   d ela y   s y s te m s   a n d   n o n - li n ea r   s i n g u la r   s y s te m s   i n   f l u i d   d y n a m ics [ 2 3 - 2 5 ] .   I n   th is   p ap er ,   lin ea r   an d   n o n l in ea r   in co m m e n s u r ate  f r ac tio n al - o r d er   s y s te m s   in   t w o   v ar i ab les,            an d           ,   o f   o r d er       an d     ,                ,   ar e  co n s id er ed .   T h e  lin ea r   s y s te m   is   f i r s t  co n s id er ed   an d   co n v er ted   in to   t w o   d if f er e n t ial  eq u atio n s ;  o n e  eq u atio n   is   o f   o r d er         ,   d e n o ted   b y             - Fo DE ,   th at  o n l y   d e p en d s   o n           ,   w h ile  th e  a n al y tical  s o lu t io n   o f   t h e  s ec o n d   v ar iab le,           ,   f o llo w s   f r o m   t h e  s o lu tio n   o f   t h e  f ir s t  p ar t.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       A n a lytica l so lu tio n s   o f lin e a r   a n d   n o n - lin e a r   in co mme n s u r a te  fr a ctio n a l - o r d er   ( R a mzi   B .   A lb a d a r n eh )   777   T h e  A d o m ia n   Dec o m p o s itio n   Me th o d   ( A DM )   is   im p le m e n ted   to   o b tain   th e  an al y tical  s o lu tio n   o f   th e            - Fo DE .   Si m ilar l y ,   t h e  s o lu t io n   o f   th e  No n - L i n ea r   S y s te m   o f   I n co m m en s u r ate  Fra ctio n al - o r d er   ( NL S - I Fo )   is   also   o b tain ed   b y   ex te n d in g   th e  s a m e  tech n iq u e  th at  u s ed   f o r   th e  ca s e  o f   th e  li n ea r   o n e.   Su c h   s o lu tio n s   ar e   o b tain ed   u s i n g   t h e  A d o m ia n   P o ly n o m ials   ( A P ' s ) ,   w h ic h   f o r m   th e  b as is   f o r   th e  A DM .   T h is   p ap er   is   o u tli n ed   as   f o ll o w s :   Ne x t  s ec t io n   i n tr o d u ce s   n ec es s ar y   d e f in itio n s   a n d   p r eli m i n ar ies.   Sectio n   3   in tr o d u ce s   a  m eth o d   to   co n v er t  a  L S - I Fo   in to   an             - Fo DE   in   o n e  v ar iab le.   Sectio n   4   in tr o d u ce s   t h e  A DM   as  a  to o l  to   s o lv e  th e            - Fo DE   o f   li n ea r   in co m m en s u r ate  o r d er   s y s te m s .   T h e   g en er al  s o lu t io n   o f   th e  n o n l in ea r   o n e  is   i n tr o d u ce d   in   Secti o n   5 .   Sectio n   6   s u m m ar izes  t h e  m ai n   id ea s   o f   th is   w o r k   v ia  n u m er ical  s i m u latio n s   f o llo w ed   b y   co n cl u s io n s   a n d   f in a l r e m ar k s .         2.   B ASI C  DE F I NI T I O N S AN D  P RE L I M I NARIE S   T h e  C ap u to 's  d ef i n itio n   o f   f r a ctio n al - o r d er   d er iv ativ es  is   ad o p ted   in   th is   w o r k .   I t  is   a  m o d if icatio n   o f   th e  R ie m a n n - L io u v i lle  d ef i n iti o n ,   w it h   t h e  ad v an ta g e  o f   o n l y   u s i n g   t h e  in i tial  co n d itio n s   o f   th e  co r r esp o n d in g   in te g er - o r d er   d er iv ativ e s   t h at  s u ites   m o s t  p h y s ica l  s y s te m   [ 2 6 - 2 8 ] .   T h e  f o llo w i n g   d ef i n itio n s   a n d   p r eli m in ar ie s   o f   f r ac tio n al  ca l cu lu s   ar e  p r esen ted   h er e  f o r   co m p leten e s s .   Def ini t io n  2 . 1   [ 1 1 ] :   L et            b e  a n in teg r a b le  p iece w is e  co n ti n u o u s   f u n c tio n   o n   an y   f i n ite  s u b in ter v a l   o f                 ,   th en   t h e  f r ac tio n al  i n te g r al   o f             o f   o r d er       is   d ef in ed   as:                                                           ∫                                                .   ( 1 )     Def ini t io n 2 . 2   [ 1 1 ] :  T h e  C ap u to   f r ac tio n al - o r d er   d er iv ativ e  i s   d ef i n ed   as:                                 ∫                                                                  .   ( 2 )     T heo re m   2 . 3   [ 1 1 ] ,   [ 2 4 ] :  T h e  C ap u to   f r ac tio n al - o r d er   d er iv ativ e  o f   t h e  p o w er   f u n ctio n   s ati s f ie s               {                                                                                                                             ( 3 )     T heo re m   2 . 4   [ 3 ] ,   [ 2 4 ] :  T h e  R ie m an n   L io u v il le  f r ac tio n a l - o r d er   in teg r al  o f   t h e  p o w er   f u n ct io n   s atis f ie s                                                                     .   ( 4 )     T heo re m   2 . 5   [ 3 ] : I f         ,          an d                 .   T h en ,                               ,           ( 5 )     T heo re m   2 . 6   [ 3 ] : I f       is   a  co n ti n u o u s   f u n ctio n   o n             an d         .   T h en ,                                 ∑                                       .   ( 6 )       3.   CO NVER T I N G   A  L S - I F O   I NT O   AN            - F O DE   T h e  I n teg r al  T r an s f o r m   Me t h o d s   ( I T M)   s u ch   as  Fo u r ier   T r an s f o r m   ( FT ) ,   L ap lace   T r an s f o r m   ( L T ) ,   an d   Me llin   T r an s f o r m   ( MT )   ar e  u s ed   to   s o lv e  a  s i n g le  Fo DE   [ 2 9 ] .   I n   th e  ca s e  o f   co u p led   s y s te m s   o f   Fo DE s ,   it  is   n ec es s ar y   to   e m p lo y   s p ec i f ic  tech n iq u e s   th at  ar e  ap p r o p r iate  to   th e  g iv en   p r o b le m .   T h er e  ar e  s ev er al  m et h o d s   f o r   s o lv in g   s u ch   p r o b le m s ,   s ee   [ 2 9 ]   f o r   ex a m p le.   T h e  p r o p o s ed   m et h o d   in   th is   w o r k   p r esen t s   a  n e w  d ir ec t  tech n iq u e  th at  i s   co m p e titi v e  to   t h at  o f   t h e  co r r esp o n d in g   o n es  i n   w h ich   o r d er   co n v e r s io n   allo w s   o n e  to   s i m p li f y   t h e   s o l u tio n   m e th o d .   Fo r   co m p leten e s s ,   th e   f o llo w i n g   le m m a  o u tli n es  th e   co n v er s io n   r e s u l ts ,   w h ic h   allo w s   o n e  to   g e n er ate  an             - Fo DE   f r o m   t h e  co u p led   o n e.   L e mm a   3 . 1 : T h e  f o llo w i n g   n o n - h o m o g e n eo u s   L S - I Fo :                                                               ( 7 ( a) )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   7 7 6   -   7 9 0   778                                                             ( 7 ( b ) )     ca n   b e  co n v er ted   in to   t h e  f o llo w i n g   eq u i v alen t s y s te m :                      (                                        ) ,   ( 8 ( a) )                                                                                         ,   ( 8 ( b ) )     w h er e      *                     +                                                             ,         an d         ar e  th e  C ap u to ' s   f r ac tio n al - o r d er   d er iv ativ e s ;                ;  an d        ' s   ar e  co n s t an ts   f o r                   w it h            ,   an d   w h er e              a n d               ar e  co n tin u o u s   f u n ctio n s   o f       o n   s o m e  in ter v al    .   Co ro lla ry   3 . 2 : I f           in   s y s te m   ( 7 ) ,   th en   t h e  s y s te m   w ill b e  eq u i v alen t to   th e  f o llo w in g   eq u atio n s :                      (                                        ) ,   ( 9 ( a) )                                                                        ,   ( 9 ( b ) )     w h er e      *                     +   an d                                                             .     P ro o f :   T h e  p r o o f   f o llo w s   i m m ed iatel y   f r o m   L e m m a  3 . 1 .         T h u s ,   a  L S - I Fo   i n   t w o   v ar iab l es  h as  b ee n   co n v er ted   in to   t wo   p ar ts ;  th e  f ir s t  o n e  is   a n             - Fo DE   in           ,   w h ile  t h e  o th er   o n e  i s   j u s t  a  d ir ec t a n al y tical  s o lu tio n   o f             th at  o n l y   d ep en d s   o n           .       4.   T H E   G E N E RA L   SO L UT I O N  O F             - F O DE   USI N G   T H E   ADM     I n   th is   s ec tio n ,   w e  u s e  th e  AD M  to   o b tain   th e  g en er al  s o lu ti o n   o f   an             - Fo DE .   See  [ 3 0 ,   3 1 ]   f o r   an   o v er v ie w   o f   t h e  ADM   ap p r o ac h .   T h eo r em   4 . 1   in tr o d u ce s   a  n e w   ap p r o ac h   f o r   s o lv i n g   th e  n o n - h o m o g en eo u s   L S - I Fo   s y s te m ,   w h ile  t h e  ca s e  o f   h o m o g en eo u s   s y s te m s   i s   ad d r ess ed   b y   co r o llar y   4 . 2 ,   i.e . ;     T heo re m   4 . 1 :   T h e  f o llo w in g   L S - I Fo :                                                           ,   ( 1 0 ( a) )                                                           ,   ( 1 0 ( b ) )     s u b j ec t to   th e  in itia l c o n d itio n s                                       ( 1 0 ( c) )     h as a   s o l u tio n   o f   th e  f o r m                                           s u c h   th at :                       ∑ (                                                 )             ∑ ∑ (                   )                                                                                                   ( 1 1 )     a n d ,                                (                                                        ) ,   ( 1 2 )                                                                                                                                                   ,   ( 1 3 )                                                     ,   ( 1 4 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       A n a lytica l so lu tio n s   o f lin e a r   a n d   n o n - lin e a r   in co mme n s u r a te  fr a ctio n a l - o r d er   ( R a mzi   B .   A lb a d a r n eh )   779   an d   w h er e                  in   w h ic h       *                     +   s u ch   t h at            .     P ro o f :   B ased   o n   L e m m a  3 . 1 ,   s y s te m   ( 1 0 )   is   eq u i v ale n t  to   ( 8 ) ,   an d   s o   ( 1 2 )   is   co m p letel y   id en ti f ied .   L e t  u s ,   n o w ,   e m p lo y   t h e  A DM   to   s o l v e  ( 8 . b ) .   B y   ap p ly in g       o n   b o th   s i d es o f   s u c h   eq u atio n ,   o n e  o b tain s :                                                                                                                                                            .   ( 1 5 )     T h at  is ;                                                                                                                                                        .   ( 1 6 )     A p p l y in g         o n   ( 1 6 )   y ield s ;                         (                          )                                                                                                               ,   ( 1 7 )     w h ic h   ca n   b e  w r itte n   as                                                                                                                                                           (                                 ) .   ( 1 8 )     C o n s id er in g   t h e  A DM ,   w e  as s u m e  t h at  t h e  g e n er al  s o l u tio n   o f   ( 1 8 )   tak es th e  f o llo w i n g   g e n er al  f o r m :                       ∑                           ,   ( 1 9 )     in   w h ich                                                                                                                                                   ,   ( 2 0 )     a nd ,                                                                                                            .   ( 2 1 )     No w ,   w e  h a v e  t h e  f o llo w i n g   clai m   t h at  w e  w i s h   to   p r o v e:                         (                                                 )     ∑ (                   )                                                                                       ,   ( 2 2 )     w h er e                               .   B y   u s i n g   in d u ct io n   o n     ,   o n e  o b s er v e s   th a t  ( 2 2 )   is   o b v io u s   f o r   th e  b ase  o f   in d u ctio n .   T h at  is ;  w h e n         ,   it’s  clea r   t h at  t h e  s tate m e n t  i s   tr u e.   No w ,   ass u m e  t h at  th e  s tate m e n t  f o r       is   tr u e,   a n d   t h e  r elatio n   ( 2 2 )   is   co r r ec t.  I t is su f f icie n t to   s h o w   t h at  ( 2 2 )   is   also   co r r ec t f o r         ;        .   I t  f o llo w s   f r o m   ( 2 1 )   th at:                                                                                           ,   ( 2 3 )                             ∑ (                   )                                                                                                     ∑ (                   )                                                                                                     ∑ (                   )                                                                                                   ,   ( 2 4 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   7 7 6   -   7 9 0   780   o r ,                               ∑ * (                   )                                                                   (                                                                 ) +   (                                                 )   (                                                 )   (                                                 )       ,   ( 2 5 )     w h ic h   i m p lies   th a t  ( 2 2 )   is   als o   tr u e  f o r         .   No w ,   s i n ce   ( 1 9 )   an d   ( 2 5 )   y ie ld s   t h e  g en er al   s o l u tio n   d escr ib ed   b y   ( 1 1 ) ,   o n e  h as  to   v er if y   ( 1 4 ) .   Fo r   th is   p u r p o s e,   co n s id er   ( 1 2 )   ag ain ,   an d   let                ,   th en   o b s er v e  th at  all  ter m s   o f   ( 1 2 )   w il l b e  ze r o   ex ce p t th r ee   ter m s ;           ,                      an d                   ,   i.e . ;                                                         ,   ( 26 )     w h ic h   y ield s   ( 1 4 ) .         Co ro lla ry   4 . 2 :   I f           in   s y s te m   ( 1 0 ) ,   th en   th e  s o lu tio n                                   o f   t h is   s y s te m   w ill  b e  o f   th e  f o llo w in g   f o r m :                   ∑ ∑ (     )                                                 ,   ( 2 7 )     a n d ,                            (                                                ) ,   ( 2 8 )     w h er e,                                                                                                                     ,   ( 2 9 )                                                     ,   ( 3 0 )     an d   w h er e                 an d                    in   w h ic h       *                     +   s u c h   th at           .   P ro o f :   T h e  p r o o f   is   s i m ilar   to   T h eo r em   4 . 1 .         Co ro lla ry   4 . 3 :   T h e  f o llo w i n g   h o m o g en eo u s   L S - I Fo :                                               ,   ( 3 1 ( a) )                                               ,   ( 3 1 ( b ) )     s u b j ec t to   th e  in itia l c o n d itio n s                                   ,   ( 3 1 ( c) )     h as a   s o l u tio n   o f   th e  f o r m                                           s u c h   th at :                       ∑ ∑ (                   )                                                                                               ,   ( 3 2 )     a n d ,                                (                                            ) ,   ( 3 3 )     w h er e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       A n a lytica l so lu tio n s   o f lin e a r   a n d   n o n - lin e a r   in co mme n s u r a te  fr a ctio n a l - o r d er   ( R a mzi   B .   A lb a d a r n eh )   781                                                                       ,   ( 3 4 )                                           ( 3 5 )     an d   w h er e                  in   w h ic h       *                     +   s u ch   t h at            .   P ro o f :   T h e  p r o o f   ca n   b e  d ir ec tl y   d ed u ce d   f r o m   T h eo r e m   4 . 1   b y   as s u m in g                             .       Co ro lla ry   4 . 4 :   T h e  f o llo w i n g   h o m o g en eo u s   s y s te m :                                                   ( 3 6 ( a) )                                                   ( 3 6 ( b ) )     s u b j ec t to   th e  in itia l c o n d itio n s                                   ,   ( 3 6 ( c) )     h as a   s o l u tio n   o f   th e  f o r m                           s u c h   th at                   ∑ ∑ (     )                                                 ,   ( 3 7 )     a n d ,                            (                                    ) ,   ( 3 8 )     w h er e,                                                 ( 3 9 )                                         ,   ( 4 0 )     an d   w h er e                 an d                   in   w h ic h       *                     +   s u c h   th at           .   P ro o f :   T h e  p r o o f   f o llo w s   d ir e ctl y   f r o m   C o r o llar y   4 . 2   w h en                                       5.   T H E   G E N E RA L   SO L UT I O N  O F   NL S - I F O   USI NG   A D M     T h is   s ec tio n   i n tr o d u ce s   th e  g en er al  s o l u tio n   o f   th e   N L S - I Fo   u s i n g   A DM .   T h is   ca n   b e   m ad e  b y   ex ten d i n g   th e  s a m e  tech n iq u e   u s ed   f o r   h an d li n g   t h e  li n ea r   o n e.   Su ch   s o lu tio n   d ep en d s   o n   th e  A P 's,  w h ic h   f o r m   t h e  b as is   f o r   t h e  A DM   a p p r o ac h .   I n   p ar ticu lar ,   th e   n o n - li n ea r   ter m ,   in   th is   m et h o d ,   i s   u s u a ll y   i d en t if ied   u s i n g   th e  A P 's  [ 1 9 ,   3 2 ] ,   i.e . ,   w h e n ev er   th e  n o n li n ea r   ter m                     ;  w h er e      is   an   u n k n o w n   f u n cti o n   th at   ap p ea r s   in   t h e  s y s te m ,   th e   A P   (       )   y ield s   a n   a n al y tical   f u n ctio n   t h at  i s   u s ed   to   g e n er ate  t h e  g en er al   s o lu tio n   o f   th e  s y s te m   [ 1 8 ] .   T h ese       ' s   a r e   g en er ated   to   b e  an al y tical   f u n ctio n s   [ 1 8 ] ,   an d   ca n   b e  o b tain ed   b y   t h e   f o llo w in g   f o r m u la  [ 1 9 ,   3 3 ] :                                   ∑                     |       ,   ( 4 1 )     w h er e      is   a  p ar a m eter   i n tr o d u ce d   f o r   co n v e n ie n ce .   Ho w e v er ,   T h eo r em   5 . 1   e m p lo y s   t h e  A DM   ap p r o ac h   to   s o lv e  N LS - I Fo ' s .     T heo re m   5 . 1 :   T h e  f o llo w in g   NL S - I Fo :                                                      (                   ) ,   ( 4 2 ( a) )                                                     (                   ) ,   ( 4 2 ( b ) )     s u b j ec t to   th e  in itia l c o n d itio n s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   7 7 6   -   7 9 0   782                                 ,   ( 4 2 ( c) )     h as a   s o l u tio n   o f   th e  f o r m                                           s u c h   th at                       ∑                   ,   ( 4 3 )     a n d ,                                (                                                  (                   ) ) ,   ( 4 4 )     w h er e,                           (                   )                                                       ,   ( 4 5 ( a) )                                                                                                                                                           ,   ( 4 5 ( b ) )     a n d ,                                     (                   )             ,   ( 4 6 )     an d   w h er e               ,                               ∑             an d                               ∑               s u ch   th at         an d         ar e  th e   A P ' s   co r r esp o n d in g   to               an d               r esp ec tiv el y ,   a n d                    in   w h ic h       *                     +   s u c h   th a t            .   P ro o f :   Fr o m   L e m m a  3 . 1 ,   s y s te m   ( 4 2 )   is   eq u iv a len t  to   ( 8 ) ,   an d   s o   ( 4 4 )   is   co m p letel y   id en ti f ied .   No w ,   ap p ly i n g         an d       o n   b o th   s id es o f   s y s te m   ( 8 . b )   r esp ec tiv el y ,   y iel d s :                             (                   )                                                                                                                           (                   )           (          (                   )            (                   ) ) .   ( 4 7 )     C o n s id er in g   t h e  A DM ,   t h e  g e n er al  s o lu t io n   o f   ( 4 7 )   is   ass u m ed   as in   ( 1 9 )   in   w h ich :                         (                   )                                                       ,   ( 4 8 ( a) )     a n d ,                                                                                                                                                                 ( 4 8 ( b ) )     w h ic h   y ield s   ( 4 3 ) .   N o w ,   co n s i d er   ( 4 4 )   an d   let   th e  in itial  co n d itio n   b e                th en   it  f o llo w s   f r o m   T h eo r em   4 . 1   th at  ( 4 6 )   is   v er if ied .       Co ro lla ry   5 . 2 :   I f           in   s y s te m   ( 4 2 ) ,   th en   th e  s o l u tio n                                   w il l b e  o f   th e  f o llo w in g   f o r m :                    ∑                   ,   ( 4 9 )     a n d ,                                                                                                 ,   ( 5 0 )     w h er e,                                   (                   )                 ,   ( 5 1 ( a) )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       A n a lytica l so lu tio n s   o f lin e a r   a n d   n o n - lin e a r   in co mme n s u r a te  fr a ctio n a l - o r d er   ( R a mzi   B .   A lb a d a r n eh )   783                                                                                                                         ,   ( 5 1 ( b ) )     a nd ,                                    (                   )             ,   ( 5 2 )     an d   w h er e             ,                              ∑             an d                               ∑               s u c h   th a t        an d         ar e  th e   A P ' s   co r r esp o n d in g   to         an d         r esp ec tiv el y ,                  an d                   in   w h ic h       *                     +   s u c h   th at           .   P ro o f :   T h e  p r o o f   is   s i m ilar   to   th at  o f   T h eo r e m   5 . 1 .         Re m a r k   5 . 3 :  Ob s er v e  th at  in   th e  ca s e  w h e n            ,   o n e  ca n   r ev er s e  th e  o r d er   o f   s o lu tio n   b y   s o l v in g                     in   ter m s   o f                   ,   an d   p r o ce e d   as d is cu s s ed   in   T h eo r e m   4 . 1 .       6.   NUM E RICAL   E XAM P L E S   T o   h ig h l ig h t   th e   m ain   r es u lt s   o f   t h is   w o r k   an d   to   s h o w   t h e  ef f ec ti v e n e s s   o f   s o lv i n g   b o th   lin ea r   a n d   n o n li n ea r   f r ac tio n al - o r d er   s y s te m s   o f   i n co m m e n s u r ate  o r d er s   u s i n g   th e  p r o p o s ed   m et h o d ,   th r ee   n u m er ical  ex a m p le s   in   E lectr ical  a n d   B io m ed ical  E n g i n ee r in g   ar e  in v es tig ated .     E x a m p le  6 . 1 :   T h e  h u m a n   m alad y   o f   v e n tr icu lar   ar r h y t h m ia  o r   ir r eg u lar   h ea r tb ea t  is   tr ea ted   clin icall y   u s i n g   t h e  d r u g   lid o ca in e.   T h e  m o d el  f o r   th e  d y n a m ics  o f   t h e  d r u g   th er ap y   t h at  i s   v alid   f o r   a  s p ec ial  b o d y   w ei g h t c a n   b e  d escr ib ed   b y   t h e  f o llo w in g   h o m o g e n eo u s   L S - I Fo   [ 3 4 ] :                                                      ,   ( 5 3 ( a) )                                                     ,   ( 5 3 ( b ) )     s u b j ec t to   th e  f o llo w i n g   p h y s i ca ll y   s i g n i f ican t in i tial d ata:     T h e  d r u g   in   th e  b lo o d     s tr ea m                                                                                   ( 5 3 ( c) )     w h er e            is   th e  a m o u n t  o f   lid o ca in e  in   th e  b lo o d   s tr ea m ,   an d             is   th e  a m o u n t  o f   lid o ca in e  in   b o d y   tis s u e.   T h e  ex ac t so lu tio n s   o f   ( 5 3 )   f o r             ,   an d             is :                                                                  ,   ( 5 4 ( a) )                                                                       .   ( 5 4 ( b ) )     I n   o r d er   to   o b tain   t h e  s o lu tio n s   o f   ( 5 3 )   u s i n g   t h e  p r o p o s ed   tech n iq u e;   w e  m a y   r e w r ite   th i s   s y s te m   i n   th e   f o llo w in g   f o r m :     [                         ]     [                 ] ,   ( 5 5 )     w h er e      *                                    + ,   an d   co n s eq u e n tl y                              an d                              .   Ob v io u s l y ,   u s i n g   ( 3 5 )   y ield s                             ,   an d   b y   u s in g   ( 3 4 ) ,   o n e  o b tain s         in   th e  f o llo w in g   f o r m :                                      ,   ( 5 6 )     an d                     ca n   b e  o b tain ed   u s i n g   ( 3 2 )   as f o llo w s :                     ∑ ∑ (                   )                                                                                         *                            +                                 ( 5 7 )     i.e . ;   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   7 7 6   -   7 9 0   784                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        +…  ,   ( 5 8 )     an d   f r o m   ( 3 3 ) ,                     ca n   b e  ex p r ess ed   as:                                 (                                               ) ,   ( 59 )     i.e . ;                                                                                                                                                                                                                                                                                                              … .     ( 60 )     I n   o r d er   to   d e m o n s tr ate  t h e  e f f icien c y   o f   t h e  ab o v e   r es u lts ,   T ab le  1   s h o w s   t h e  er r o r   b etw ee n   t h e   ex ac t  s o lu tio n   an d   o u r   an al y t ical  s o lu tio n   u s i n g   th e  p r o p o s ed   m et h o d   o v er   th e  ti m e    ,   w h er e                 ,            ,   an d          .   T h e  b eh av io r   o f   th e  s o lu tio n   f o r   s y s te m   ( 5 3 )   f o r   d if f er en t  v al u es  o f       an d       u s i n g   o u r   p r o p o s ed   m eth o d   is   s h o w n   in   Fi g u r es  1   an d   2 .   A ctu all y ,   t h is   s o l u tio n   ca n   b e  u s ed   to   esti m ate  th e   m ax i m u m   p o s s ib le  s a f e  d o s ag e        an d   th e  d u r atio n   o f   t i m e  t h a t th e  d r u g   l id o ca in e  is   e f f ec tiv e  [ 3 4 ] .               Fig u r e  1 .   T h e  b eh av io r   o f   th e  s o lu tio n                        u s i n g   o u r   p r o p o s ed   m eth o d   f o r   s y s te m   ( 5 3 )   f o r   d if f er e n t v a lu e s   o f       an d         Fig u r e  2 .   T h e  b eh av io r   o f   th e  s o lu tio n                        u s i n g   o u r   p r o p o s ed   m eth o d   f o r   s y s te m   ( 5 3 )   f o r   d if f er e n t v a lu e s   o f       an d           T ab le  1 .   T h e  er r o r   b etw ee n   th e  ex ac t a n d   o u r   an al y tical  s o lu tio n s   f o r   s y s te m   ( 5 3 )   o v er                  ,   w h er e            ,   an d                                                                                                                                            1   1 . 9 2 7 7 9 9 5 4 8 0   1 . 9 2 7 7 9 9 5 4 8 0   2 . 2 2 0 4 0 × 1 0 - 16   0 . 0 7 1 3 2 6 2 1 6 4   0 . 0 7 1 3 2 6 2 1 6 4   1 . 2 4 9 0 0 × 1 0 - 16   5   1 . 7 0 1 7 9 7 4 4 0 0   1 . 7 0 1 7 9 7 4 4 0 0   2 . 2 2 0 4 0 × 1 0 - 16   0 . 2 7 9 6 1 1 9 9 0 9   0 . 2 7 9 6 1 1 9 9 0 9   5 . 5 5 1 1 0 × 1 0 - 17   10   1 . 5 1 5 9 5 2 9 1 0 0   1 . 5 1 5 9 5 2 9 1 0 0   2 . 2 2 0 4 0 × 1 0 - 16   0 . 4 2 2 3 4 9 4 3 0 8   0 . 4 2 2 3 4 9 4 3 0 8   1 . 6 6 5 3 0 × 1 0 - 16   15   1 . 3 9 2 4 7 7 6 7 6 0   1 . 3 9 2 4 7 7 6 7 6 0   3 . 8 1 9 2 0 × 1 0 - 14   0 . 4 9 0 5 1 4 7 6 1 6   0 . 4 9 0 5 1 4 7 6 1 6   8 . 2 2 9 5 0 × 1 0 - 13       E x a m p le  6 . 2 :   C o n s id er   th e  f o llo w i n g   n o n - h o m o g en eo u s   L S - I Fo :                                             ,   (6 1 ( a) )                                                   ,   (6 1 ( b ) )     s u b j ec t to   th e  in itia l c o n d itio n s ,                                            .   ( 6 1 ( c) )     Her e,   th e  ex ac t so l u tio n s   o f   ( 6 3 )   f o r               ar e  o f   th e  f o r m :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       A n a lytica l so lu tio n s   o f lin e a r   a n d   n o n - lin e a r   in co mme n s u r a te  fr a ctio n a l - o r d er   ( R a mzi   B .   A lb a d a r n eh )   785                               ⁄       √                            √                                  √                     √             ⁄        √                                  √                                   √                            (6 2 ( a) )                             (             ⁄      * √           +             * √           +                 * √           +         √             ⁄     * √           +            * √           +                * √           +   ) ,   (6 2 ( b ) )     On e  m ig h t r e w r ite  s y s te m   ( 6 1 )   in   th e  f o llo w i n g   m atr i x   f o r m :     [                         ]     [                 ]   [                     ] ,   (6 3 )     w h er e       *               +   an d   [                     ]   *         + .  T h en                          an d                         .   Usi n g   ( 1 4 )   y ie ld s               ,   an d   th en   b y   u s in g   ( 1 3 ) ,   o n e  m ig h t o b tain         in   th e  f o llo w in g   f o r m :                                                                       ( 6 6 )     T h u s ,                     ca n   b e  o b tain ed   u s i n g   ( 1 1 )   to   b e  as f o llo w s :                       ∑ ∑ (                   )                                                               *                                                                                     +   (6 5 )                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       …  .   (6 6 )     Usi n g   ( 1 2 )   y ie ld s                     w h ic h   w il l b e  as:                           (                                                 ) ,   ( 67 )     i.e . ;                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               ( 68 )     Fo r             ,  ( 66 )   an d   ( 68 )   w il l b e,   r esp ec tiv el y ,   a s :                                                                                                                                                                                                                    ( 69 )     a n d ,                                                                                                                                                                                 .   ( 70 )     Fig u r e  3 ,   h o w e v er ,   s h o w s   a  g r ap h ical  co m p ar is o n   b et w ee n   th e  ex ac t  s o lu t io n   an d   o u r   an al y tica l  s o lu tio n   u s i n g   th e  p r o p o s ed   m e th o d ,   w h en               an d          .   Fu r t h er m o r e,   th e  b eh av io r   o f   th e  s o lu tio n s   f o r   s y s te m   ( 61 )   f o r   d if f er e n t  v al u es  o f       an d       u s in g   o u r   p r o p o s ed   m et h o d   is   s h o w n   in   Fi g u r es  4   an d   5 .     E x a m p le  6 . 3 :   C o n s id er   th e  f o llo w i n g   N L S - I Fo :      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.