I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   14 ,   N o .   3 J u n e   20 1 9 ,   pp .   1177 ~ 1188   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 4 .i 3 . pp 117 7 - 1188             1177       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i ae s c or e . c om / j our na l s / i nde x . php/ i j e e c s   Op t i m a l   t u n i n g   p i d   c o n t r o l l e r   o f   u n st a b l e   f r a c t i o n a l   o r d e r   sy st e m   b y   d e s i r e d   t r a n si e n t   c h a r a c t e r i st i c s us i n g   R IM         P h u   Tr an   T i n 1 ,   L e   A n h   V u 2 ,   M i n h   Tr an 3 ,   N gu ye n   Q u an D u n g 4 ,   Tr an   Th an h   T r an g 5   1 F a c ul t y   of   E l e c t r o ni c s   T e c hno l o gy ,   I ndus t r i a l   U n i v e r s i t y   of   H o   C hi   M i nh   C i t y ,   V i e t n a m   2 ,3 O pt o e l e c t r o ni c s   R e s e a r c G r o up,   F a c ul t y   o f   E l e c t r i c a l   a nd   E l e c t r o ni c s   E ng i ne e r i ng ,     T o D uc   T ha ng   U n i v e r s i t y ,   V i e t na m   4 F a c ul t y   of   E l e c t r i c a l   a nd   E l e c t r o ni c s   E ng i ne e r i ng ,   T o D uc   T h a ng   U ni v e r s i t y ,   V i e t na m   5 F a c ul t y   of   E l e c t r i c a l   a n d   E l e c t r o ni c s   E ng i ne e r i ng ,   H o   C hi   M i n C i t y   U ni v e r s i t y   o f   F oo I ndus t r y ,   V i e t na m       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d   N ov   20 ,   201 8   R e v i s e J a n   21 201 9   A c c e pt e F e b   27,   201 9       I n   t hi s   p a pe r ,   w e   p r o po s e   t he   m e t ho o f   t uni ng   a   c o nv e nt i o na l   P I D   c o nt r o l l e r   f o r   uns t a bl e   t r a ns i e n t   c ha r a c t e r i s t i c s .   T he   r e s ul t s   s ho w   t ha t :   1)   T hi s   i s   t he   no v e l   pr a c t i c a l   m e t ho ba s e o t he   de s i r e s e t t l i ng   t i m e   a n o v e r s ho o t   pe r c e n t a g e ;   2)   T he   r e s u l t s   a r e   c l o s e   t o   t h e   d e s i r e p a r a m e t e r s ;   3)   T he   no v e l   m e t ho c a t une   a un s t a b l e   f r a c t i o na l   o r de r   s y s t e m   by   r e a l   i nt e r po l a t i o n   m e t ho ( R I M ) ;   4)   T h e   no v e l   m e t ho i s   s i m pl i c i t y   a nd  c o m put e r   e f f i c i e nc y ;   5)   T he   no v e l   m e t ho c a f i nd  a o pt i m a l   s o l ut i o f o r   t uni ng   t a s i bo t a c a de m i c   a nd   i n dus t r i a l   pu r po s e s .   Ke y w or ds :   A   di s t ri b ut e p a r a m e t e s y s t e m   A ppr o xi m a t i o n   P i d   R e a l   i n t e r po l a t i o m e t h o d   C opy r i gh t   ©   201 9   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   L e   A nh   V u,     O pt o e l e c t r o n i c s   R e s e a r c G r o up,     F a c ul t y   of   E l e c t r i c a l   a n d   E l e c t r o n i c s   E n gi n e e r i ng,     T o n   D uc   T ha n g   U n i v e r s i t y ,     H o   Ch i   M i nh  Ci t y ,   V i e t na m .   E m a i l :   l e a nh v u@ t dt u . e du. v n         1.   I N TR O D U C TI O N   N ow a da y s ,   P ID   c o n t r o l l e r s   ha v e   r e c e i v e c o n s i de r a b l e   a t t e n t i o n   i n   t h e   l a s t   y e a r s   bo t h   f r o m   a a c a de m i c   a n i n dus t ri a l   po i nt   o f   v i e w   [1 - 5 ].   I n   f a c t ,   i pri n c i pl e ,   t h e y   pr o v i de   m o r e   f l e xi b i l i t y   i n   t h e   c o n t r o l l e r   de s i g n,   c o n c e rn i n t h e   s t a n d a r P ID   c o n t r o l l e r s ,   b e c a us e   t h e y   h a v e   f i v e   pa r a m e t e r s   t o   s e l e c t .   H ow e ve r ,   t h i s   a l s o   i m p l i e s   t ha t   t h e   t u ni n o f   t h e   c o n t r o l l e r   c a n   b e   m uc h   m o r e   c o m pl i c a t e d.   T h e y   h a v e   be e n   s uc c e s s f ul l y   a ppl i e i n   p ra c t i c a l   a ppl i c a t i o n s   s uc h   a s   m o t i o n   c o nt r o l   o f   m a n i pu l a t o r s   a n c h a o s   c o n t r o l   o e l e c t r i c a l   c i r c ui t s .   I t h e s e   a pp l i c a t i o n s ,   i t   ha s   b e e n   v e r i f i e t ha t   P ID   c o n t r o l l e r s   c a n   i m p r o v e   t h e   pe r f o r m a n c e   of   t r a d i t i o n a l   c o n t r o l   s y s t e m   a do pt i n i n t e ge r   o r de r   P ID   c o n t r o l l e r s .   T h e   m o s t   i m po r t a nt   a dv a nt a ge   o t h e   P ID   c o n t r o l l e r s   i s   t h a t   t h e y   c a n   a f f o r m o r e   e xt e n s i v e   po s s i b i l i t i e s   o ffe r e by   t h e i r   a dd i t i o n a l   f ra c t i o na l   o r de d y n a m i c s   [4 - 7] .   H ow e ve r ,   t hi s   a l s o   i n di c a t e s   t h a t   t h e   t u n i n g   s t r a t e gi e s   o f   P ID   c o n t r o l l e r s   a r e   m uc h   m o r e   c o m pl i c a t e d.   I t h e   r e s e a r c h e s   o n   t h e   P ID   c o nt r o l l e r s ,   t uni n o f   c o n t r o l l e r   p a r a m e t e r s   ha s   b e c o m e   a   s i g n i f i c a n t   i s s ue .   In   ge n e ra l ,   t h e   t u n i ng  m e t h o ds   fo r   F ID   c o n t r o l l e r s   a r e   c l a s s i f i e i nt o   a na l y t i c a l ,   n u m e ri c a l ,   a n r u l e - b a s e o n e s .   In  [6 - 7]   t h e   c o n t r o l l e r   pa ra m e t e r s   ha v e   be e n   a na l y t i c a l l y   de r i v e by   s o l v i n n o n l i n e a r   e qua t i o n s   f ul f i l l i n t h e   ga i n/ p ha s e   c r o s s ov e r   f r e que n c y   a n p h a s e / g a i n   m a r g i n   s pe c i f i c a t i o n s .   T h e   r o b us t n e s s   t l oo p   ga i n   v a r i a t i o n s   s pe c i f i c a t i o n   pr o po s e i n   [8]  h a s   a l s o   b e e w i de l y   us e t o   de s i gn   F ID   a n p r o po r t i o n a l i n t e g r a l   (P I)  c o n t r o l l e r s .   T h e   m e ri t s   o f   t h e   a na l y t i c a l   m e t h o d   a r e   o bv i o us ;   h ow e v e r ,   i t   i s   a v a i l a b l e   o n l y   w h e n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   14 ,   N o .   3 J u n e   20 1 9   :     1177     1188   1178   t h e   e qua t i o n s   a r e   f e w   i n   n u m b e r   a n d   s i m pl e .   T h e r e fo r e ,   i t   i s   v e r y   di ff i c ul t   t o   ob t a i n   a   c o m pl e t e   F ID   c o n t r o l l e fo r   t h e   M B   s y s t e m   by   s o l v i n f i v e   c o m pl i c a t e n o nl i n e a e qua t i o n s .   A s   f o r   t h e   r ul e - b a s e m e t h o d,   i t   c a n   e a s i l y   c a l c ul a t e   t h e   c o n t r o l l e r   pa r a m e t e r s   b a s e o n   e m pi ri c a l   t u n i n r u l e s ,   w h i c h   c a n   b e   ob s e r ve i n   [9 - 12] .     In  t hi s   pa pe r,   w e   pr o po s e   a n d   i n v e s t i ga t e   o pt i m a l   t u ni n P ID   c o n t r o l l e o f   un s t a b l e   f ra c t i o na l   o r de r   s y s t e m   b y   de s i r e t ra n s i e n t   c ha r a c t e r i s t i c s   us i n r e a l   i nt e r po l a t i o n   m e t h o (R IM ).   T h e   m a i n   a dv a nt a ge s   o f   t h i s   m e t h o a r e   d ra w n   a s   t h e   f o l l ow i n gs :   a)   Th i s   i s   t h e   n o v e l   pra c t i c a l   m e t h o b a s e o t h e   de s i r e s e t t l i n g   t i m e   a n d   o v e r s h o o t   pe r c e nt a ge .     b)   T h e   r e s ul t s   a r e   c l o s e   t o   t h e   de s i r e d   pa ra m e t e r s .   c)   T h e   n o v e l   m e t h o c a n   t u n e   a n   u n s t a b l e   f ra c t i o n a l   o rde s y s t e m   b y   r e a l   i n t e r po l a t i o m e t h o (R IM ).   d)   T h e   n o v e l   m e t h o i s   s i m p l i c i t y   a n d   c o m put e e f f i c i e n c y .   e)   T h e   n o v e l   m e t h o c a n   f i n d   a o pt i m a l   s o l ut i o f o r   t u ni n g   t a s i b o t h   a c a de m i c   a nd  i n dus t ri a l   pu r po s e s .   T h e   pa pe r   i s   o r ga ni s e a s   f o l l ow s .   In   S e c t i o t h e   p r o b l e m   i s   f o r m u l a t e d.   T h e   t u ni n rul e s   a r e   de s c r i b e i n   S e c t i o n   3.   S i m u l a t i o n   r e s ul t s   a r e   pr e s e nt e i n   S e c t i o n   4,   w h e r e   a   c o m pa r i s o n   w i t h   o t h e r   t u n i ng  r u l e s   i s   pe r f o r m e d.   Co n c l us i o n s   a r e   d r a w i S e c t i o 5.       2.   R ES EA R C H   M ET H O D   2. 1 .       R e al   I n te r p o l ati o n   M e th o d   (R I M )   T h e   r e a l   i n t e r po l a t i o n   m e t h o i s   o n e   of   t h e   m e t h o ds ,   w h i c w o r ks   o n   m a t h e m a t i c a l   de s c r i pt i o n s   o t h e   i m a g i n a r y   a r e a .   T h e   m e t h o i s   b a s e o n   r e a l   i n t e g ra l   t ra ns fo r m   a s   f o l l o w   [13]:       (1)     w h i c a s s i g n s   t o   t h e   o ri gi na l             t h e   i m a ge             a s   a   f un c t i o o f   t h e   r e a l   v a ri a b l e .   F o rm ul a   o f   di r e c t   t r a n s f o r m   ( 12)  c a b e   c o n s i de r e a s   a   s pe c i a l   c a s e   o f   t h e   di re c t   L a pl a c e   t r a n s f o r m   by   r e pl a c i n g   t h e   c o m pl e v a r i a b l e                        f o r   r e a l       v a r i a b l e .   A n o t h e s t e p   t o w a r ds   t h e   de v e l o pm e n t   o f   t h e   i n s t rum e n t a t i o m e t h o i s   t h e   t ra n s i t i o f r o m   c o n t i n uo us   f un c t i o n s             t o   t h e i d i s c r e t e   f o r m ,   us i n g   t h e   c o m put i n g   r e s o ur c e s   a n n u m e r i c a l   m e t h o ds .   F o r   t h e s e   pu r po s e s ,   r e a l   i n t e rpo l a t i o m e t h o i s   r e p r e s e nt e by   n um e ri c a l   c h a ra c t e ri s t i c s   {               }   .   T h e y   a r e   o b t a i n e d   a s   a   s e t   o f   v a l u e s   o f   t h e   f un c t i o           i t h e   n o de s                 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ w h e r e       i s   t h e   n u m b e r   o f   e l e m e n t s   n u m e ri c a l   c ha r a c t e r i s t i c s ,   c a l l e d   i t s   di m e n s i o n.     S e l e c t i n g   o f   i nt e rpo l a t i o n s         i s   a   p ri m a r y   s t e i t h e   t ra n s i t i o t o   a   di s c r e t e   f o r m ,   w h i c h a s   a   s i g n i f i c a n t   i m p a c t   o n   t h e   num e r i c a l   c o m put i ng  a n a c c ura c y   of   pr o b l e m   s o l ut i o n s .   D i s t ri b ut i o n   o f   n o de s   i t h e   s i m p l e s t   v a ri a nt   i s   u n i f o r m .   A n o t h e r   i m po rt a nt   a dv a n t a ge   o f   r e a l   i nt e r po l a t i o n   m e t h o i s   c r o s s - c o n v e r s i o n   pr o pe rt i e s   [ 11].   I t   due s   t o   t h e   f a c t   t ha t   t h e   b e ha v i o r   o f   t h e   f u n c t i o           f o r   l a r ge   v a l ue s   o f   t h e   a rgum e nt       i s   de t e r m i n e m a i nl y   by   t h e   b e h a v i o r   o f   t h e   o r i g i n a l             fo r   s m a l l   v a l ue s   o f   t h e   v a r i a b l e     .   I n   t h e   o ppo s i t e   c a s e ,   t h e   r e s ul t   i s   t h e   s a m e :   t h e   b e h a v i o o f   t h e   f u n c t i o           f o r   s m a l l   v a l ue s   o f   t h e   a r gu m e n t       i s   de t e r m i n e m a i n l y   by   t h e   b e h a v i o o f   t h e   o ri gi na l             f o r   l a r ge   v a l ue s   of   t h e   v a r i a b l e       [13] .   W h e n   c o n s i de r i n g   t h e   o ri gi na l             of   d y n a m i c   c ha r a c t e r i s t i c s   o f   d y n a m i c   s y s t e m s ,   f o r m ul a   (1)   l e a ds   t o   a o pe r a t o r   m o de l ,   w hi c u n de r   c e rt a i n   c o n d i t i o n s   c a b e   c o n s i de r e d   a s   s pe c i a l   c a s e s   o f   t h e   m o de l s   b a s e o t h e   L a pl a c e   t r a n s f o r m .   T hus ,   i (1)   r e p l a c i n g   o f   t h e   f un c t i o           by             -   t h e   i m pu l s e   t r a n s i e nt   f un c t i o o f   t h e   dy n a m i c   s y s t e m ,   w e   ob t a i n   i t s   t r a n s f e f unc t i o n .   F r o m   h e r e   w e   c a n   f i n t h e   e l e m e n t s   o f   a   di s c r e t e   m o de l   o f   t h e   s y s t e m ,   a n d   i t s   t ra n s f e r   f u n c t i o by   pe r f o r m i n t h e   d i s c r e t i z a t i o n   p r o c e dur e s   f o r   n o de s                   ̅ ̅ ̅ ̅ ̅       0 ,   1 , i t i W k t e dt i       (2)     F un c t i o n               i s   a   r e a l   t ra n s f e r   f un c t i o o f   c o n t r o l   a u t o m a t i c   s y s t e m s ,   h a v i n g   a i m pu l s e   t r a n s i e n t   r e s po n s e           .   F u n c t i o n               c o ul be   r e c e i ve b a s e o n   de t e r m i na t i o n   o f   t r a n s f e r   f u n c t i o n   s uc h   a s   a   r e l a t i o n s h i p   o f   t h e   i m a g i n a r y   of   o ut put             a nd            i nput   s i g na l s         / W Y X   (3)     In   w h i c h   t h e   i m a g i n a r y   of   t h e   o ut put   s i gna l   a nd  t h e   i n put   s i gna l   i s   c a l c ul a t e f r o m   t h e   o r i g i na l   f un c t i o n s   o f   t h e   i n put             a n d   o ut pu t             s i g na l s :     0 0 t F f t e d t C C  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m p   S c i     IS S N :   2502 - 4752       O pt i m al   t uni n p i c on t r ol l e r   of   uns t a bl e   f r a c t i ona l   or d e r   s y s t e m   b y   de s i r e t r ans i e nt …  ( P hu  T r an  T i n )   1179   0   t Y y t e dt   (4)     0   t X x t e dt   (5)     w h e r e             i nput   s i g na l ,   a n d             o ut put   s i g na l   o f   t h e   s y s t e m .   T h e   i nput - o ut pu t   r e l a t i o n s hi o f   t h e   s y s t e m   h a s   a   f o r m   l i ke   b e l ow :       Y W X   (6)     2. 2 .       P r o b l e m   fo r m u l ati o n   In  t hi s   s e c t i o n,   t h e   c o n t r o l   s y s t e m   w i t h   n e ga t i v e   u n i t y   fe e d b a c i s   d ra w i F i g u r e   1.           F i gu r e   1 .   Co n t r o l   s y s t e m   w i t n e ga t i v e   u n i t y   f e e db a c k       T r a n s f e r   f u n c t i o n   o f   P ID   c o n t r o l l e r   c a b e   f o r m ul a t e a s .     K ( s ) K K i pd Cs s   (7)     T r a n s f e r   f u n c t i o n   o f   pl a nt   (i f r a c t i o na l   f o r m i s     10 1 10 1 1 1 0 1 1 0 B ( s ) G ( s ) () nn mm G n n G m m b s b s b s b s A s a s a s a s a s    (8)     w h e r e                                                                                                                                  a r e   a r b i t ra r y   r e a l   n u m b e r s                         T r a n s f e r   f u n c t i o n   o f   P ID   c o n t r o l l e r   ( 7)  c a b e   r e w r i t t e n   i t he   ra t i o n a l   f o r m   a s   t h e   f o l l ow i n g     2 K K K () ( s ) () d p i C C ss Bs C A s s     (9)     Cha ra c t e ri s t i c   e qu a t i o n   i s     W ( ) 1 ( s ) G ( s ) sC    (10)     Cha ra c t e ri s t i c   po l y n o m i a l   i s     P ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) C G C G s A s A s B s s    (11)     A   ga i n - p ha s e   m a rgi t e s t e r   (G P M T )   c a n   b e   t h o ug h t   o a s   a   v i rt ua l   c o m pe n s a t o r” ,   p r o v i de s   i n f o r m a t i o n   f o r   p l o t t i n g   t h e   b o un da ri e s   o f   c o n s t a nt   g a i n   m a r g i n   a n p ha s e   m a r gi i n   a   p a r a m e t e r   pl a n e .     T h e   f r e que n c y   i nde pe n de n t   G P M T   i s   gi v e i t h e   f o r m   [15 ]:     ( M, ) Me . j t G   (12)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   14 ,   N o .   3 J u n e   20 1 9   :     1177     1188   1180   F o r   a   gi v e n   IO P ID   c o n t r o l l e r   pa ra m e t e r s   K , K , K p i d   t h e   c l o s e d - l oo s y s t e m   i s   s a i t b e   bo un de d - i n put   b o un de d - o ut put   (B IB O s t a b l e   i f   t h e   q ua s i - po l y n o m i a l P( s, K , K , K ) p i d   h a s   n o   r o o t s   i n   t h e   c l o s e r i g ht - ha l f   o f   t h e   s - pl a n e   (R H P ).   T h e   s t a b i l i t y   d o m a i n   S   i t h e   pa ra m e t e r   s p a c e   P   w i t K , K , K p i d   b e i n c o o r di n a t e s   i s   t h e   r e gi o n   t ha t   f o r   K , K , K p i d S   t h e   r o o t s   of  qua s i - po l y n o m i a l   P( s, K , K , K ) p i d a l l   l i e   i n   o pe n   l e f t - ha l f   o t h e   s - pl a n e   (L H P ).   T h e   b o un da ri e s   of   t h e   s t a b i l i t y   do m a i S   w h i c h   a r e   de s c r i b e by   r e a l   r o o t   b o un da r y   (R RB ),   i n f i ni t e   r o o t   bo un da r y   (I R B )   a n c o m pl e r o o t   bo un da r y   (CRB )   c a n   b e   de t e r m i n e by   t h e   D - de c o m po s i t i o n   m e t h o [14] .   T h e s e   bo un da ri e s   a r e   de f i n e by   t h e   e qua t i o n s P ( 0 , K ) 0 P( , K ) 0    a n P ( j , K ) 0    for ( 0 , )  ,   r e s pe c t i v e l y ,   w h e r e   P (s , K )   i s   t h e   c h a ra c t e ri s t i c   f u n c t i o o f   t h e   c l o s e d - l oop   s y s t e m   a n K   t h e   v e c t o r   o f   c o n t r o l l e pa ra m e t e r s .   a)   D e t e r m i n i n g   RRB   In   a ppl y i n t h e   de s c r i pt i o n s   o s t a b i l i t y   bo un da ri e s   of  t h e   s t a b i l i t y   do m a i n   S   t o   t h e   F O CE   i n   (6),     t h e   R RB   t u rn s   o ut   t o   b e   s i m pl y   a   s t ra i g h t   l i n e   g i v e n   by     P ( 0 , K , K , K ) 0 0 , p i d i K   (13)     fo r   0 1 s   i t h e   t ra n s f e r   f un c t i o o f   t h e   p l a nt   i (8) .   b)   D e t e r m i n i n g   IR B     T h e r e   i s   m o r e   t h e o r e t i c a l   di f f i c ul t i e s   fo r   t h e   c a l c ul a t i ng  o t h e   IR B   du e   t f r a c t i o n a l   c o m po n e n t .   F O CE   po s s e s s e s   a n   i n f i n i t e   n u m b e r   of   r oo t s ,   w h i c h   c a nn o t   b e   c a l c ul a t e a n a l y t i c a l l y   i n   t h e   ge n e r a l   c a s e .   H ow e ve r ,   t h e   a s y m pt o t i c   l o c a t i o n   of   r o o t s   f a r   f r o m   t h e   o r i g i n   i s   w e l l   kn o w n   [21],   [22] ,   w h i c h   m a y   l e a t IR B .   T h e   o b j e c t i ve   of   t h i s   s e c t i o n   i s   t o   de t e rm i n e   t h e   s t a b i l i z i n r e g i o n   i n   (K p,   K i pl a n e   w i t gi v e K d,     a n v a l ue s   f o r   w h i c h   t h e   f o l l ow i n g   c o m pl e po l y n o m i a l   i s     2 D ( ) ( ) ( ) K K K M ( s ) B ( ) G d p i G s s L s A s s s s   (14)     w h e r e   L (s a n M (s a r e   gi v e n   c o m pl e f r a c t i o na l   o r de r   po l y n o m i a l s .   W h e n   L (s =   M ( s =   1,   t h e   s t a b i l i z a t i o of   ( 14 )   r e duc e s   t o   t h e   s t a n d a r d   IO P ID   s t a b i l i z a t i o n .   D ( ) 0  .   S uppo s e   w h e n s  / . GG L s A s M s s s B c   w h e r e   t   a n c   a r e   r e a l   a nd  c o m pl e n u m b e r s   r e s pe c t i v e l y .   W e   h a v e :   (a )   If   1 ,   t h e t h e   b o un da r y   do e s   n o t   e xi s t .   (b )   If   1   a n d   c   i s   n o t   r e a l ,   t h e t h e   b o un d a r y   doe s   n o t   e xi s t .   (c )   If   1   a n d   c   i s   r e a l ,   t h e n                                                                                                                               (15)                   (16)     c)   D e t e r m i n i n g   CR B   T o   c o n s t ruc t   t h e   CR B ,   w e   s ub s t i t ut e   sj   i n t o   (11 t o   o b t a i n ,     P ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) B ( j ) 0 C G C G A A B   (17)     U s i n D - de c o m po s i t i o n   t o   f i n d   s t a b i l i t y   [21],   t o   c o n s t r uc t   t h e   CR B ,   w e   s ubs t i t ut e   sj   i nt o   (11)   t o   o b t a i n       P ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) B ( j ) 0 C G C G A A B   (15)     U s i n D - de c o m po s i t i o n   t o   f i n d   s t a b i l i t y   [1]  R e fe r e n c e   - A   g ra p h i c a l   t u ni n g]   In  s   p l a n e   () 2 c os ( ) j sin( ) 22 j je   ,   w h e r e   i s   a   r e a l   n u m b e r .   T h e   f o r m u l a   (12)   c a n   b e   e xpr e s s e i n t o   a   f o r m u l a   w i t h   t h e   s e pa ra t e   r e a l   a n d   i m a gi na ry   c o m po n e nt s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m p   S c i     IS S N :   2502 - 4752       O pt i m al   t uni n p i c on t r ol l e r   of   uns t a bl e   f r a c t i ona l   or d e r   s y s t e m   b y   de s i r e t r ans i e nt …  ( P hu  T r an  T i n )   11 81   2 P ( j ) ( K K ) R ( ) I ( ) K R ( ) R ( ) 0 i d B G A G p B G A G j   (16)     w h e r e   R BG ,   R AG , I AG   a r e   t h e   r e a l   c o m po n e nt   o f   B ( j ) G ,   t h e   r e a l   a n d   i m a g i na r y   c o m po n e n t s   o f   ( j ) G A r e s pe c t i v e l y .   F i n a l l y ,   by   s e t t i n t h e   r e a l   a n i m a gi na r y   pa rt s   e qua l i z e d   z e r o   t h e   f o r m ul a   (15)  l e a ds   t o   t h e   de t a i l   f o r m :     2 R ( ) K R ( ) 0 ( K K ) R ( ) I ( ) 0 A G p B G i d B G A G     (17)     T h e   CR B   i s   de t e r m i n e by   fo r m u l a   (17) .     2. 3 .       A l go r i th m   2. 3 .   D e s i gn   o th e   d e s i r e d   t r an s i e n t   c h a r a c te r i s t i c s   P e r f o r m a n c e   qua l i t i e s   o f   t h e   c o n t r o l   s y s t e m   c a n   b e   e v a l ua t e by   s e t t l i n t i m e ,   o v e r s h o t   pe r c e nt a ge ,   da m p i n g   r a t i o ,   na t u r a l   f r e que n c y ,   r i s e   t i m e .   T h e r e   a r e   s o m e   m e t h o ds   t o   de s i g n   t h e   de s i r e t ra n s f e r   c h a ra c t e ri s t i c s   [1 8 - 20] .   I t hi s   pa pe r,   t h e   de s i r e t r a n s i e nt   c ha ra c t e ri s t i c s   c o ul b e   us e a   s e c o n o r de r   s y s t e m .   A   s e c o n o r de s y s t e m   c a n   b e   de s c r i b e by   t h e   f o l l ow i n f o r m   w i t h o ut   z e r o s     2 22 () 2 n nn Hs ss    (18)     W i t h   z e r o s ,     2 22 / ( ) () 2 nn nn s Hs ss    (19)     W h e r e   n n a t u ra l   f r e que n c y ,   da m pi ng  r a t i o ,   c o e ff i c i e n t   r e l a t e t o   o ve r s h o o t   pe r c e n t a ge .   A n t h e r e   i s   a   r e l a t i o n s h i p   b e t w e e n   s e t t l i n g   t i m e   a n d   n a t u ra l   f r e que n c y   a n d   da m p i n g   r a t i o     4 set n t    (20)     A n o t h e r   o pt i o n   i s   t ha t   w e   c a n   us e   t h e   m a t   l a b   o r   a n o t h e s o f t w a r e   pr o gra m   t o   de s i gn   a   de s i r e t r a n s i e nt   c h a ra c t e r i s t i c s .       2. 3 .   R e a l   i n te r p o l ati o n   m e th o d   T h e   de s i r e t r a n s i e nt   c ha r a c t e r i s t i c s   c o ul be   gi ve n   by   m a s s i v e   da t a ,   t a b l e   a n t ra n s i e n t   f un c t i o n .   L e t   s e e   t h e   t r a n s i e nt   c h a ra c t e r i s t i c s   gi v e by   fo r m :   f un c t i o n   ( ) ( ) D h t f t   o r   m a s s i v e   () D i i h f t   F r o m   F i g u r e   1 ,   t h e   e qui v a l e nt   t r a n s f e f un c t i o n   o f   t h e   f e e d b a c s y s t e m   ha s   a   f o r m     ( ) ( ) () 1 ( ) ( ) C s G s Ws C s G s   (21)     O i t   c o ul b e   r e w r i t t e by   i n pu t   a n d   o ut put   t ra n s f e r   f u n c t i o     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Y s C s G s X s C s G s   (22)     If   t h e   i n pu t   o f   t h e   t u n i ng  s y s t e m   i s   a   s t e f u n c t i o n ,   w h e () Xs   i s   d e t e r m i n e d     ( ) 1 / s Xs   (23)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   14 ,   N o .   3 J u n e   20 1 9   :     1177     1188   1182   T o   de t e r m i n e   c o e ff i c i e n t   K p ,   K i ,   K d   i n   P ID   c o n t r o l l e r   f o r   f r a c t i o n a l   o r de r   t r a n s f e r   f u n c t i o n   us i ng  t h e   r e a l   i n t e r po l a t i o m e t h o d.   By   s ub s t i t ut i ng  s fo r m u l a   (22)   c a b e   r e w r i t t e n   i n   t h e   r e a l   t r a n s f e f o r m .     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Y C G X C G   (24)     F r o m   ( 24)  w e   o b t a i t h e   f o r m ul a   de t e rm i n e d   P ID   c o n t r o l l e r.       1 () ( ) X ( ) / Y ( ) 1 C G   (25)     w h e r e   () G X ( ) Y ( )   r e a l   t ra n s f e r   f un c t i o n   o f   t h e   p l a nt ,   t h e   i m a gi na ry   of   o ut put   a nd  i nput   s i g na l s   r e s pe c t i v e l y .   T h e   f un c t i o n s   X ( ) , ( ) Y  c o ul be   de t e r m i n e d   by   fo r m u l a   (4)  a n d   (5)  i t h e   r e a l   f o r m   o r   b y   fo l l ow i n f o r m ul a .   If   t h e   t r a n s i e nt   c ha ra c t e ri s t i c s   a r e   gi v e by   a   m a s s i v e   t h e   f un c t i o n s   X ( ) , ( ) Y    c a n   be   ob t a i n e by   t h e   f o l l ow i n f o r m ul a :       1 Δ ii N t ii i X x t e t   (26)     1 Δ ii N t ii i Y h t e t   (27)     w h e r e   i xt   a n i ht   a r e   t h e   i n pu t   v a l ue   a n d   t h e   o ut pu t   v a l ue   a t   t i m e   i t ,   r e s pe c t i v e l y ; Δ t - t h e   s a m pl e   t i m e   a n d   N   -   t h e   num b e o f   s a m pl i n gs .   If   t h e   i n pu t   o f   t h e   t u n i ng  s y s t e m   i s   a   s i m pl e   s t e f un c t i o n,   w he n   () X   i s   de t e rm i n e d   i r e a l   f o r m .     ( ) 1 / X    (28)     T h e   n u m b e r   of   t h e   un k n o w n   c oe f f i c i e n t s   o t h e   P ID   c o n t r o l l e r   ( ,, p i d K K K i s   t hr e e ;   i t   m e a n s   t ha t   t h e   di m e n s i o n   o f   t h e   e l e m e n t s   num e r i c a l   c ha r a c t e r i s t i c s   i s   t hr e e   ( 3 ). S e l e c t i ng  v a l ue   of   n o de s   i s   a   pr i m a r y   s t e p.   It   e ffe c t s   o n   t h e   a c c ura c y   of   t h e   t uni n t a s k.   T h e   m e a ni n gf ul   r e gi o n   i s   f r o m   0 to () ts s e t .   It   m e a n s   t ha t   t h e   m a xi m um   v a l ue   o f   f i r s t   n o de   1   c a b e   de f i n e by   t h e   f o l l ow i n c o n di t i o n :   t h e   v a l ue   o f   t h e   i nt e g r a l   i (4)   by   t h e   s e t t l i n t i m e   t y   r e duc e s   t o   a   n e gl i g i b l e   v a l ue       0 . 0 0 1 0 . 0 5 ,   w h i c h   s a t i s fy   t h e   c o n di t i o n 1 s e t t s e t h t e  .   H e n c e   c a l c ul a t e e xp r e s s i o f o r   t h e   n o de   1 c a b e   s h o w n   b e l ow .     1 l n( / ( ) ) se t se t ht t    (29)     w h e r e   - c a l c ul a t i o e rr o r , () s e t ht -   s e t t l i n g   v a l ue ,   s e t t -   s e t t l i n g   t i m e .     O t h e n o de   i t h e   s i m p l e s t   c a s e ,   c a b e   de t e rm i n e d   by   t h e   n o m i na l   di s t r i b ut i o n .     1 ,   2 , i ii    (30)     In  c a s e ,   t h e   r e s ul t   a c c o r di n g   t o   t h e   m a x i m um   v a l ue   o f   t h e   f i r s t   n o de   do   n o t   m e e t   t h e   de s i r e o ut pu t   pe r f o r m a n c e s ,   t h e   v a l ue   of   t h e   f i r s t   n o de   s h o ul b e   de c r e a s e d.   I n   t hi s   pa pe r ,   by   v a r y i n t h e   v a l ue   of   t h e   f i r s t   n o de   f r o m   t h e   m a xi m u m ,   de t e rm i n e d   by   (29)  a pp r o a c h   t o   0,   w e   c a rr y   o ut   t h e   o pt i m i z a t i o o f   t h e   ra n ge   o n o de s   f o r   t h e   o ut pu t   r e qu i r e m e n t s   o f   t h e   de s i r e s y s t e m .     T h e   n u m e ri c a l   c h a ra c t e ri s t i c s   o f   t h e   P ID   c o n t r o l l e r ‟s   r e a l   t ra n s f e r   f u n c t i o n.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m p   S c i     IS S N :   2502 - 4752       O pt i m al   t uni n p i c on t r ol l e r   of   uns t a bl e   f r a c t i ona l   or d e r   s y s t e m   b y   de s i r e t r ans i e nt …  ( P hu  T r an  T i n )   1183   K ( ) K K , 1 , i i p d i i Ci   (31)     1 F ( ) , 1 , ( ) X ( ) / Y ( ) 1 i i i i i G     (32)     W e   h a v e   a   s y s t e m   o f   e qua t i o n s   w i t u nk n o w n   c o e ff i c i e n t   ,, p i d K K K     1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 C           p i d K KK K      1 2 3 F ( ) F ( ) F ( ) F        (33)     T h e   u n k n o w n   c o e ff i c i e n t s   ,, p i d K K K   c a b e   o b t a i n e i m a t ri f o r m     1 K C F   (34)     A l go r i t h m :     a)   D e t e r m i n a t i o o f   s t a b i l i t y   r e gi o n   ( 13) ,   (1 6)  a n d   (17) .   b)   D e s i gn  a   de s i r e t ra n s i e n t   c h a ra c t e ri s t i c   (18)   o (19)   c)   Ca l c ul a t i o v a l ue   o f   n o de s   (29)  a n d   n u m e ri c a l   c ha ra c t e ri s t i c s   (22)   o (28) ,   (27) ,   (3 1)  a n d   (32) .   d)   S o l v i n t h e   e qua t i o t o   f i n t h e   p a r a m e t e r s   o f   P ID   c o n t r o l l e (33)   a nd  (3 4).   e)   E s t i m a t i o o f   t h e   t u n e d   P ID   c o n t r o l l e r   i t h e   t i m e   a n d   f r e que n c y   do m a i n s .   f)   In v e s t i ga t i o o f   t h e   o pt i m a l   ra n ge   o f   t h e   v a l ue s   o f   n o de   by   va r y i n t h e   v a l ue   o f   t h e   n o de s .       3.   N U M ER I C A R ES U LTS   A N D   D I S C U S S I O N   G i v e n   f ra c t i o na l   o r de r   t ra n s f e r   f un c t i o o f   a   u n s t a b l e   b e a r i n g   s y s t e m   [z h o n g16] ,     2 . 7 6 1 . 8 1 0 . 8 2 6438. G ( s ) 3 3 0 . 0 4 8 4 2 6 8 . 8 5 1 5 8 6 9 1 5 4 . 1 4 s s s   (35)     In v e s t i ga t i o n   o f   S T A B I L IT Y   R E G IO N   of   t h e   un s t a b l e   f ra c t i o na l   o r de r   t ra n s f e r   f un c t i o n   o f   t h e   b e a r i n g   s y s t e m   (11) .   a)   D e t e r m i n e   R RB   It   i s   i m po rt a nt   t o   de t e r m i n e   t h e   s t a b i l i t y   r e gi o n   of   t h e   P ID   c o n t r o l l e r ,   t u n e f o r   t h e   s y s t e m   (35).     T h e   R R B   c a b e   de t e r m i n e b y   (13)  a s   t h e   b e l l o w       0. i K   (37)     b)   D e t e r m i n e   IR B   T h e   IR B   c a b e   de t e r m i n e a c c o r di n g   t o   (16)     2 6 4 3 .8   l im l im 1 ) 1 p i d ss K s K K s s s D s s      N o t   e xi s t   t h e   IR B .   c)   D e t e r m i n e   CR B   T h e   CR c a n   b e   de t e r m i n e by   t h r e e   c o n di t i o n s   (18),   (19 )   a n (20).   T h e   r e s ul t s   a r e   s h o w n   i n   t h e   fo l l ow i n f i gu r e s .   T h e   f o l l ow i n f i gu r e   s h o w s   t h e   s t a b i l i t y   r e gi o n   o f   t h e   t ra n s f e r   f un c t i o n   (11) .   T h e   CR B   i (K p,   K i pl a n e   w h e n   K d= 10  i s   s h o w n   i n   t h e   F i g u r e   2.   T h e   c r o s s - l i n e   a r e a   i s   a   f e a s i b l e   r e gi o n   fo r   t h e   c oe ff i c i e n t s   o f   t h e   P ID   c o nt r o l l e r.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   14 ,   N o .   3 J u n e   20 1 9   :     1177     1188   1184       F i g u r e   2 .   T h e   f e a s i b l e   r e gi o n   o f   c oe f f i c i e n t s   K p ,   K i ,   K d       T h e   c r o s s - l i n e   r e gi o n   de m o n s t r a t e s   s t a b i l i t y   r e gi o n   o f   K p,   K i   w h e r e   K d= 10 .   O v i o us l y ,   t h e   s t a b i l i t y   r e gi o n   of   P ID   c o n t r o l l e r‟s   c oe ff i c i e n t s   l i e   i n   t h e   f i r s t   qua rt e r.   I n   t h e   F i g ur e   t h e r e   a r e   s h o w n   m o r e   f e a s i b l e   a r e a   w i t f i v e   v a l ue s   of   K d.           F i g u r e   3 .   S t a b i l i t y   r e gi o o f   P ID   c o n t r o l l e de pe n d i n g   o i t s   c oe ff i c i e n t s       A l l   b o un d a r i e s   (R R B ,   IR B   a n d   CR B a r e   s h o w n   i f o l l ow i n g   f i gu r e .   K p ,   K i ,   K d   s t a b i l i t y   r e gi o n   T h e   r e s ul t s   s i m pl y   l e a t o   t h e   c o n c l us i o     2465 0 p i K K    (39)     T hr e e   pa ra m e t e r s   o f   ,, p i d K K K   a r e   l o c a t e i t h e   f i r s t   qu a rt e o f   c o o r di na t e   a xi s   s y s t e m .   S T U D Y   CA S E   1   D e s i gn  o f   t h e   de s i r e t r a n s i e n t   c ha r a c t e r i s t i c s .   U s i n (22 a n ( 23)  w i t t h e   de s i r e d   t ra n s i e n t   t i m e   0 . 0 3   s e t Ts   a n d   o ve r s h o o t     5 0 % P O T   w e   fo r m e a   t ra n s f e r   f un c t i o n   w i t h   t h e   s t e r e s po n s e   s h o w n   i n   t h e   F i g u r e   4 .   A c c o r di n t o   F i g u r e   4 ,   t h e   t ra n s i e n t   t i m e   o f   t h e   de s i r e s y s t e m   a c c o un t s   f o r   0 . 0 3 6 6   s e t Ts   a n t h e   o v e r s h o o t   i s   gi v e n   a   de s i r e v a l ue   a t   5 0 . 1 % P O T .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m p   S c i     IS S N :   2502 - 4752       O pt i m al   t uni n p i c on t r ol l e r   of   uns t a bl e   f r a c t i ona l   or d e r   s y s t e m   b y   de s i r e t r ans i e nt …  ( P hu  T r an  T i n )   1185       F i g u r e   4 .   T h e   de s i r e t r a n s i e nt   c ha r a c t e r i s t i c s   w i t h   o v e r s h o o t   pe r c e n t a ge   5 0 . 1%   a nd  s e t t l i ng  t i m e   0. 0366   s       O bv i o us l y ,   t h e   n u m b e r   o f   t h e   n u m e ri c a l   c ha r a c t e r i s t i c s   i s   t hr e e   ( 3 b e c a us e   of   t hr e e   u n k n o w n   c oe ff i c i e n t s   o f   t h e   P ID   c o nt r o l l e r.   Ca l c ul a t i o o f   t h e   n o de s   of  n u m e ri c a l   c ha r a c t e r i s t i c s :   U s i n t h e   fo r m u l a   (3 0)  w i t h   t h e   i n put   p a ra m e t e r s 0 . 0 3 6 , s e t ts 0 . 0 0 1 , ts    0 .0 0 1 ,  1 s e t h   t h e   f i r s t   n o de   c a n   b e   de t e r m i n e d 1 1 8 8 . 7 3 6 .   O t h e r   n o de s   a r e   de t e rm i n e by   t h e   c o n di t i o n   o f   un i f o r m   d i s t r i b ut i o n : 1     ,     2 , i ii  .   F i na l l y ,   t h e   v a l ue   o f   n o de s   c a n   s h o w   t h e   f o l l ow i n m a s s i v e     1 8 8 . 7 3 6   3 7 7 . 4 7 3   5 6 6 . 2 0 9 i   B a s e o n   t h e   f i ndi n n o de s   t h e   v a l ue   of   m a s s i ve   F   c a n   c a l c ul a t e a n m a ke   up - 2 5 2 3 0 4 0 2 . 2 1 9   6006 i F a n m a s s i v e   a c c o un t s   f o r       3 3 3 1 5.2 98 10 188 .73 6 1 2.6 49 10 377 .47 3 1 1.7 660 10 566 .20 9 C         a n d   t h e   c o e ff i c i e n t s   o f   t h e   P ID   c o n t r o l l e a r e   7 39271.902 - 1.1 34 10 - 23. 375 K     .     A c c o r di n t o   t h e   f e a s i b l e   a r e a   (39)  o f   P ID   c o n t r o l l e r   t h e   v a l ue s   of   t h e   t u n e p a r a m e t e r s   o f   t h e   c o n t r o l l e a r e   n o t   s a t i s f i e d.   W h e n   d 1= { 2 . 5 ,   5 ,   5,   7 . 5,   10   t h e   re s ul t s   a r e   s h o w n   i n   t h e   F i gu r e   5 .             F i g u r e   5 .   T i m e   r e s po n s e   o f   t h e   t u n i ng  s y s t e m s         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   14 ,   N o .   3 J u n e   20 1 9   :     1177     1188   1186   In   t e rm s   o f   t h e   pe r c e n t a ge   ov e r s h o t ,   t h e   t u ni n s y s t e m s   a r e   c l o s e   t o   t h e   de s i r e s y s t e m .   W i t h   δ 1 = 2 . t h e   pe r c e n t a ge   o ve r s h o t   o f   t h e   t uni n s y s t e m   i s   s l i gh t l y   h i g he r   t ha n   t h e   e xpe c t e v a l u e .   W i t h   o t h e r   v a l ue s   of  δ t h e   f i gur e   i s   l o w e r   t ha n   t ha t   o f   t h e   e xpe c t e v a l ue   w i t h   t he   h i g h e r   v a l ue   o f   t h e   f i r s t   n o de .   A c c o r di n t o   t h e   s e t t l i n g   t i m e ,   t h e   v a l ue s   o f   t h e   t u ni n g   s y s t e m s   a r e   g r e a t e t ha t ha t   o f   t h e   de s i r e d   s y s t e m .     O n   t h e   o t h e r   ha n d ,   t h e   s h a pe   of   t h e   t i m e   r e s po n s e   f i gur e s   do  n o t   fo l l ow i n t h e   de s i r e t r a n s i e nt   r e s po n s e .   T h e   b o de   gr a p h   s h o w   i n   t h e   f o l l ow i n f i gur e .   It   i s   c l e a r   t h a t   t h e   b o de   gr a p h s   o f   t h e   t u ni n s y s t e m s   a r e   c l o s e   t o   e a c h   o t h e r .   T h e   m a g ni t ude   a n p ha s e   m a r g i of   t h e   t u n i n s y s t e m   a r e   c l o s e   t o   e a c h   o t h e r.     T h e   b o de   di a g r a m   o f   t h e   o pe l o o s y s t e m   i s   s h o w n   i F i g ure   6 .           F i g u r e   6 .   B o de   of   t h e   o pe l o o s y s t e m       T h e   de t a i l   v a l ue s   o f   t h e   t u ni n g   s y s t e m   a r e   p r e s e n t e i n   t h e   f ol l o w i n t a b l e .   S T U D Y   CA S E   2   W e   c a rr y   o ut   t h e   i n v e s t i ga t i o f o r   t h e   hi g h e v a l ue   o f   t h e   de s i r e o v e r s h o o t   pe r c e n t a ge   a nd  s e t t l i n g   t i m e .   T h e   de s i r e ov e r s h o o t   pe r c e n t a ge   a n s e t t l i n t i m e   a c c o un t   f o r   100%  a n 0. 042 s   r e s pe c t i v e l y .   T h e   de s i r e t ra n s i e n t   p r o c e s s   i s   s h ow n   i t h e   F i g u r e   8 .   T h e   de s i r e t ra n s i e n t   c ha r a c t e ri s t i c s   w i t h   o v e r s h o o t   pe r c e n t a ge   9 9. 1 a n d   s e t t l i n g   t i m e   0 . 042 s .   T h e   r e s ul t s   of   t h e   t u n i ng  p r o c e s s   w i l l   i l l u s t ra t e   i n   t h e   F i gu r e   7 .   W h e n   δ 1 = 5,   10 ,   20 ,   50  t h e   t i m e   r e s po n s e s   a r e   s h o w n   i n   t h e   f o l l ow i n g   F i gu r e   7 .           F i g u r e   7 .   T h e   de s i r e t r a n s i e nt   c ha r a c t e r i s t i c s   w i t h   o v e r s h o o t   pe r c e n t a ge   9 9 . 1%   a nd  s e t t l i ng  t i m e   0. 0429   s       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.