Indonesi an  Journa l  of El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   23 ,  No.   1 ,   Ju ly   2021 , p p.  75 ~ 89   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v 23 .i 1 . pp 75 - 89          75       Journ al h om e page :  http: // ij eecs.i aesc or e.c om   Optimi sing mont hly tilt  an gles  of  sola r pa nels usin g parti cle  swarm  op timisati on alg or i thm       Na m rut a S.  K an ia nt h ar a, S w ee Peng  Ang , A s hraf F athi  Kh alil  Su la ym an ,  Z ainidi bi n H j.   Ab d .  Ha mi d   El e ct ri ca l   and   E l ec tron ic   Engi n eering  Program m e Area ,   Univer sit i Te knologi Brune i,   Brun ei Darussala m       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   Oct  28, 202 0   Re vised Ju n   1 1 , 2021   Accepte d  J un  1 7 , 202 1       Thi s  pape r  pre s ent s  an  intell ig ent   computation al   m et hod  using  the   PSO   ( par ticle  sw arm  opti m isat ion )  algorithm  to  de te r m ine   the   op ti m um   ti lt   angle   of  solar  pan el s  in  PV   s y stems .   The   obj ec t ive   o f  the   p ape r  is  t o  assess   the   per form anc e  of  t his  m et hod  aga inst  conve nti ona l   m et hods  of   det e rm ini ng   the   opti m um   ti lt   ang le .   The   m et hod  pre sente d  h ere   c an  be  used  to  d e te rm ine   th e  opti m um   ti lt   an gle   a t  an y   lo ca t ion  aro und  th e  world.   In  thi s  p ape r,   it   was   appl i ed  to   Bru nei   Daruss alam ,   and   succ ee d e d  in  computin g  m onthly   opti m um   ti lt   angl es,   ran ging  fro m   34 . 7ᵒ  in  Dec e m ber   to  - 26. 7ᵒ  in  Septe m ber .   Result s  show ed  tha t  cha ng ing  th e  ti lt   ang le   eve r y   m onth,   as  determ ine d  b y   the   PS O  al gorithm ,   inc rea sed  annua l  y i el d  b y:  (i)  5. 94%,   co m par ed  to  kee ping  it   fix ed   at   0ᵒ,  (ii )  8. 65%,   compare d  to   Lunde ’s  m et hod  and  (ii i)  17. 31%,   compa red   to  Duffie   and  Bec km an’ s   m et hod.   Benchm ark   te st  func ti ons  were   used  to  compare   and  eva lu at e  t he  per form anc e  of  the   PS O   al gorit hm   with   the   art if ic i al  bee   col on y   (ABC)  al gorit h m ,   anot her   m et ahe urist ic   a lgori thm.  Th e   te sts  rev e al ed   tha t  th e  PS O  al gorit hm   outpe rform ed  th e  ABC  al gorit h m ,   exhi bit ing  lo wer  root  m ea n  square   err or  and  standa rd  d e via ti on ,   be tt er  c onver gence  to  t he  globa l  m inim um ,   m ore   ac cur ate  lo cation   of  th e  g loba l   m i nimum ,   and  fast er  ex ec u ti on  ti m es.   Ke yw or ds:   Be nch m ark  tes t functi ons   Com pu ta ti on al  m e tho ds   Me ta heu risti c  al gorithm s   Partic le  sw a rm  optim isa ti on   So la r  p a nels   Til t ang le   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Nam ru ta  S.   Ka niantha ra   Ele ct rical  an d  Ele ct r on ic  Eng ineerin g Pr ogr a m m e A rea   Un i ver sit i Te knol og i B runei   Jal an  T ungku  Link,  Gado ng, B E141 0,  Ba nd ar S e ri Bega wa n,  B runei  Daru ssalam   Em a il : na m ru ta .k a niantha ra @hotm ail.co m       1.   INTROD U CTION     Dw i nd li ng   res erv es   of  f os sil   f uels,  e nvir onm ental   con ce r ns   relat ing  to   the  im pact  of  our  ca r bon  footp rint  on  th e  Earth,   a nd   t he  global  incr ease  in  energy   dem and   hav e  sp urr ed  a  gr owin g  interest   in  us i ng  ren e wa ble  ene r gy  res ources  f or   el ect rici ty   ge ner at io n.   I n  pa rtic ular,   i nv e s t m ent  in  so la r  pan el   te c hnology  has   at tract ed  a  m ajo rity   of  the   at te ntion  as  a   pr om isi ng   can dida te   in  s upplyi ng  a  greene r  fu t ur e .  Natur al ly ,   with   this  com es  devel op m ents  in  the  in dustry  to  eff ic ie ntly   ha r ness  s olar  e ne r gy,  a nd   i ncr eas e   the  am ou nt  of  so la r   rad ia ti on that a  pho t ovoltai c ( PV )  syst em  ca n  yi el d.     The  ti lt   ang le   of   a  so la r  pa ne l  play s  an  im po rta nt  r ole  in  de te rm ining   t he  annual  yi el d,   a nd   t her e f or e   the  ove rall   pe r form ance,  of  a   PV  syst em .  The  am ou nt   of  so la r  ra diati on  incide n t  on  a   pa nel  is  m axim ise d   wh e n  the  pa nel   is  t il te d  in  su ch  a  way  that  the  Su n’s  rays  ar rive  pe rp e ndic ularly   to  the  pan el .  The refor e ,   there  exists  a  sign ifi cant  be nef it   in   determ ining   the  ti lt   ang le   at   wh ic h  the  so l ar  ra diati on   yi el d  is  highest;   this  is  kno wn  as  the   op ti m u m   ti l t  ang le .   T he  op ti m u m   ti l t  ang l e  de pends   on  the  la ti tud e  of  the  locat io n  a nd  it s  cl i m at e d at a;  t hu s , t he dete rm inati on   of this   value re qu ir es  so la r ra diati on   data f or that sit e.    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  75   -   89   76   Existi ng   li te ra ture  has  hithe rto  sug gested  var i ou s  non - co m pu ta ti on al   m et ho ds   to  de te rm ine  the   op ti m u m   tilt   a ng le   β opt   at   an y  la ti tud e  ϕ .  D uffie  an d  Be ck m an  [1]   rec omm end   β opt   =  ( ϕ  +  15 ᵒ )  ±  15ᵒ,  wh il e   Lu nd e  [ 2]   pro pose d  β opt   =  ϕ  ±  15 ᵒ.  Her e,  th e  plu s  sig n  is  use d  f or   locat io ns  in  the  northe r n  hem isph ere,  wh il e  the m inu s sig n i s u se d for loca ti on s i n  the  sou ther n hem isph ere.    Nu m erous  aut hors  hav e  cal c ulate d  opti m u m   tilt   ang le s  for  locat io ns   ar ound  the  w or l d  by  co nducti ng   m at he m at ic a l  proce dures  ba s ed  on  so la r  ra diati on   data.  T ang   a nd  Wu   [ 3]   est i m at ed  m on thly   op tim um   ti l t   ang le s  in  15 2  so uth - faci ng  locat ion s  ar ou nd   Chi na  by  us in g  est i m at i on s  of   m on thl y  diff us e  rad i at ion   to  cal culat e  the  annual  ra diati on   for  a  par ti cular  ti lt   ang l e,  an d  re peati ng   for  diff e re nt  ti lt   ang le s  un ti l  a   m axi m u m   was  reache d.   Ya ng   and   L u  [4]   co ns ide red   hourl y  so la r  rad ia ti on,  so l ve d  us in g  Or gill   an d  H ol la nd s  hourl y  diffuse  rati o  [5 ] ,  to  ar r ive  at   an  annua l  op tim u m   tilt   ang le   in  H ong  Kon g  of   20 ᵒ .   Mora d  et   al.   [6]   us ed   an  eq uation  s ol ver  p r ogram m e  to  find   m on thly   op ti m u m   tilt   ang le s  for  P V  m od ules  in  three  ci ti es  across  Ir a q,   wh ic h   va ried  f ro m   10 °  in  J un e  to  56°  in  Ja nuary  an d  Dece m ber .  The  an nual   optim u m   tilt   ang le   was  31°  f or   al l  ci ti es.  Ba kirci  [ 7]   us e d  c orrelat ions  betw een  s olar  rad ia ti on   a nd  ti lt   ang le   t o  est im ate  the  a ver a ge  daily  so la r  ra diati on  incide nt  on  a   ti lt ed  su r face.   The  a utho r  m anu al ly   sear ched  f or  val ue s  of  ti l t  ang le   w hich   returne d  the  hi gh e st  so la r  ra di at ion   for  a  part ic ular  m on th.  The  m on thly   tilt   ang le s  range d  from   0°   to  65 °  an d  resu lt ed  i n  13 %  to  22%  inc r eases  in  ye arly   so la r  e nergy  yi el d  in  ei gh t  prov i nces  acr os s  Turkey.  Heyw ood  [8]   der i ved  eq uations  to   cal culat e  opti m u m   t il t  ang le s   f or  la ti tud e s  in   S ou t h  Africa .  As ow a ta   et   al.   [ 9]   val idate d  these  eq uations  for  their  P V  s et up   in V an de r bij lpa r k,   S ou t h  Af rica ,  arr i ving  at   ti lt   ang le s  of  1 6°,  26° ,  an d  36°,   the lat te r  two o f  w hich  yi el de d  hi gh e r  s olar  r adiat ion . E kpe nyong  et   al.   [ 10]   de velo ped  a  p olyn om ia l  mo del t o  determ ine  an  optim u m   ti l t  ang le   f or   winter   seaso ns   in  A kwa,  Nige ria.  T he  m od el   ge ne rated  a  value  of  24. 7°.  Hand oyo  et   al.   [ 11 ]   der i ved   m on thly   op ti m um   tilt   ang le s   in  Sura baya,  I ndonesi a  f ro m   cal culat ion s  of  th e   ang le   of  incide nce  of  beam   ra diati on   on  a  sol ar  colle ct or .  T he  optim u m   t ilt  ang le   var ie d  from   0°   to  40 °   fr om   Ma rch   t o  Se pt e m ber   ( nort h - f aci ng),   a nd  f r om   0°   to  30°   (s ou t h - facin g)  f r om   Octob e r  to   Febr uar y.   H usse in    et   al.  [ 12 ]   un der t ook  a   the oret ic al   inv est ig at ion   i nto   t he  perform ance  of  P V  m odules   in  Ca ir o,   E gypt  by   pr e dicti ng  thei r  a nnual  perform ance  on  F ort ran  s of twa re   integ rated  wi th  the   TRNS YS   (tra ns ie nt  syst e m )  si m ulati on   to ol.  O ptim u m   tilt   ang le s   f or  each   m on th v aried  f r om   20 °  t o  30 °,  with h ori zo nt al   m od ules  yi e ldin g  95%  of  t he  m a xim u m  o utp ut   energy, c om par ed  to verti cal   m od ules yi el din g 4 1% .    Seve ral  stu dies   repo rt  incr eas es  in  the   an nua l  yi el d  of  PV  s yst e m s  wh en  m on thly   op ti m um   tilt   ang le s   are  us e d,   c ompare d  to  wh e n  annual  opti m um   t il t  ang le s  are  us e d.   M onthly   op ti m u m   ti lt   ang le s  for  a  so la r   colle ct or   i n  Br un ei   Da ru ss al am   hav e  bee n  cal culat ed  by  Yaku p  a nd  Ma li k  [ 13 ] ;  they   co nducted   a  m anu al   search   of  valu es  of  ti lt   ang le   for  wh ic h  the   annual  s olar  ra diati on   was   th e  highest.   The   m on thly   op ti m um   tilt  ang le s   va ried  f ro m   1. 6°  to   32 .3 ° .  Ch an ging  the  ti lt   ang le   e ver y  m on th  res ulted  in   a  4.46%  increa se  in  annua l   so la r   ra dia ti on,   com par ed   to   wh e n  t he  pa ne l  was  fixe d  at   0° .   It   al so  res ul te d  in  a   highe r  a nnual  yi el d  wh e n   com par ed  to  changin g  the  ti lt   ang le   four   ti m es  a  ye ar  (3 . 9%  increas e)  a nd   keep i ng   the   ti l t  ang le   fixed   at   an   annual  ti lt   angl e  of   3.3°  (4.4%  increase ).   J a m il   e t  al.   [1 4]   determ ined  optim u m   ti l t  ang le s  f or   Aliga r h  an d  New  Del hi  in  India.  In   Aliga rh,  the  gains   in   an nu al   s olar  r adiat ion   we re  12.92% ,  11. 61 %,  an d  6.5 1%,  w hen  m on thly ,  seaso nal,  an d  a nnua l  op ti m u m   ti lt  ang le s  wer e  use d  res pecti vely ,  com par ed  t o  a  horizo ntal  surface.   In   Delhi,  the  s a m e  gains  we r e  13.13%,  11. 80%,  a nd   7.5 8% .  He rr e ra - R om ero   et   al.   [15]   stud ie d  the  optim u m   ti lt   ang le   adju st m ent  fr eq ue nc y  fo r  s olar  c ollec tors  in  V eracr uz,   Me xico.   I n  te rm s  of   an nu al   e nerg y  gain,  changin g  the  ti lt   ang le   m on thly   (r an ging  f r om   41 . 24°  to  – 4.9 4°)  was  th e  be st  scenar i o  ov er  daily ,  f or tni gh tl y,  m on thly ,  season al ly ,  bi - an nual ly ,  and   ye arly   adjustm e nts.  Alt hough  daily   adjust m ents  colle ct ed  the   m axi m u m   ener gy,  the  eco no m ic al   s trai n  of  this  m et ho d  de e m ed  it   i m pr a ct ic al .  Ulla h  et  al.   [16]   fou nd  that  in   Lah or e,  Pa kist an,   cha ngin g  the  ti lt   ang le   daily ,  m on thly ,  s easo nally ,  and  b ia nnually   incr ease d  ene rg y  yi el d  by  7.41%,  7.2 5%, 6.0 9%, an d 5.90% , res pecti ve ly , co m par ed t o  kee ping it  at  an  a nnual  fixe d  a ng le   of  31.5°.    Re la ti on sh i ps   m ade  betwee n  la ti tud e  an d  op ti m u m   tilt   a ng le   a re  c omm on .  Lewis  [ 17 ]   ob ta i ne d  op ti m u m   tilt   ang le s  of  f ou r  locat io ns   in   Alabam a,  U SA ,  a nd  a pp li ed  a  li nea r  re gr essi on  anal y sis  to  reco m m end   th at   the  optim um  ti l t  ang le   shou l d  be   ϕ   ±  8°.  G op i natha n  [ 18 ]   m easur ed  t he  an nual   ra diati on   i n  Lesoth o,   S outh   Af rica, f or  dif fer e nt  m e tho ds  of   obta inin g  ti lt   ang le ,  inclu di ng   D uffie  an d  Be ckm an’ s  [1] .  The   m axi m u m   ann ual  rad ia ti on  w as  reache d  w he n  β opt   =  ϕ  fo r  azim uth   ang le s   <  150° ,  a nd  β opt   =  ϕ   –   15 °  f or   high   azim uth   an gles .  Me an w hile,  m a ny  auth ors  hav e   f ound   tha t  the  cal culat e d  an nual   opti m u m   t il t  ang le   is  si m il ar   to  the  la ti tud e  of   t he  locat io n.  Jafa rk azem i  and   Saa dab a di   [19]   f ound  th at   in   A bu   D ha bi,  U AE ,  the  ye arly  op ti m u m   tilt   a ng le   was  22°,  cl os e  to  A bu   Dh a bi’s  la ti tude   of  24. 4°.  Be ngham en  [20]   fou nd   t hat  the  ye arly   op ti m u m   tilt   a ng le   for  a  sit e   in  Ma di nah,  Saudi  A rab ia   ( ϕ   =  24.5°) ,  wa s  23. 5° .   H owe ver,  usi ng  the  ye arly  op ti m u m   ti lt  a ng le   res ulted  in  an  8%  lo ss  in  ene rg y  com par ed  wit h  us in g  m on thly   op ti m u m   t il t   ang le s.  Pou r   et   al.   [21]   com pu te d  the  ye arl y  op ti m u m   tilt  ang le   f or   a  lo cat ion   in  Is fa ha n,   I ra n  ( ϕ   =  32° )  to  be  28.84°,   as   well   as  m on thly   op tim u m   t il t   ang le s  va r yi ng   fr om   0. 15°  to  57.74° .  The  an nu al   so la r  rad i at ion   with  opti m u m   m on thly ,  seaso nal,  a nd  ye arly   ti lt   ang le s  in c reased   by  14. 1% ,  12.8 % ,  a nd  7.1% ,  re sp ect i vely ,  com par e d  to   a   flat   su r face.   Ja m il   et   al.   [14]   cal culat ed  a nnual  optim u m   ti lt   ang le s  of  27. 62°  f or  Ali ga rh   ( ϕ   =  27.89 °)   a nd   27.95°  for  Ne w  Del hi  ( ϕ   =  28. 61° ).   E nerg y  losses  wer e  5.68%  in  Alig arh   a nd   4.9 1%   in  New   Delhi   with   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Op ti misi ng mo nth ly  ti lt  ang le s o f s olar  pane ls usin g p ar ti cl e swar m…   ( Na mru t a S.  K ania nthar a)   77   annual  op ti m um   ti l t  ang le s  c om par ed  t o  m on t hly  optim um   ti l t  ang le s.  Yaku p  a nd  Ma li k  [13] ,  M orad  [ 6] ,  Herrera - Rom ero   et   al.   [ 15] ,  and   Ulla h  [ 16]   al so   re ported  a nnual  opti m u m   ti lt   an gles  wh i ch  are  sim il ar  t o  the   la ti tud es  of   the ir  resp ect ive  l oc at ion s.  Nev e rt heless,  the  m eth od  of  set ti ng   t he  ti lt   ang le   eq ual  to  the  la ti tud e  is  no t  s uitable   for  al l  locat ion s,   as  so m e  exp erience  weat her  that  is  cl ou di er  in  wi nter  th an  in  su m m er,  or   th e   Sun’ s  po sit io n  in  the  sk y  throu ghout  the  ye ar  sp an s  a  wide r  path  tha n  oth e r  locat ion s .  The refo re ,  ther e   warrants  a  nee d for m on thly   op ti m u m  ti l t ang le s  to be c om pu te d.   The  em plo yme nt  of   m et ahe ur ist ic   op ti m izati on   al gorith m s   to  deter m i ne  the  op ti m um  t il t   an gle  of  so la r  pan el s  se rv e  t o  sp ee d  up  the  sea rch   proces s  of  fin di ng   a  s olu ti on   and   t o  im pr ove  the  accu racy  of   th e   so luti on.  T he  ha rm on y  search  (H S )  m et aheu r ist ic   al go rithm   has  bee n  a pp li ed  by  Mi an  et  a l.   [ 22 ]   to o bta in  the  op ti m u m   tilt   a ng le   of  so la r  pa nels  in  si x  sta ti on s  ac ro s s  China.   Di xit  et   al .   [23]   com pared  the  pe rfor m ance  of  the  par ti cl e  swar m   op tim izati on   (P S O )  al gorithm   with   the  arti fici al   neural  netw ork  (AN N)   est im at or   in   determ ining   th e  annual  op ti m u m   ti l t  ang le s  for  ci ti es  ar ound  India,  c oncl ud in g  t hat  f or  ap plica ti on s  wh e re   accurate  so la r   ra d ia ti on  data   m ay   no t  be   avail able,  PS O  ca n  be   m or e  ef fecti ve  t ha n  ANN.  T he  gen et ic   al gorithm   (G A )  a nd  the   sim ul at ed - a nn eal in g  (SA)   m et ho d  hav e   been  use d  by  Che n  et   al .   [ 24 ]   t o  op ti m ise   th e   ti lt   ang le   of  fi xed  so la r  pan e ls  for  dif fe re nt  areas  i n  Tai w an.   Wh il e  e xp erim ental   resu lt s  ind ic at ed   th at   the   m easur ed  m onthly   tilt   ang le s  wer e  ver y  cl os e  to  si m ulate d  res ults,  othe r  app li cat io ns  hav e  re vealed  the  lim it at ion s  of   G A  a nd  S A   in  te rm s  of  conve rg e nce  s peed  an d  acc ur acy   of  the   so luti o n.  Cha ng  [25 ]   inco rpor at e d  the  or t hogo nal  arr ay s  (OA)  te chn iq ue  into  the  ant  dire ct ion   hybri d  diff e re ntial   evo luti on   (ADHDE )  te chn i qu e  t o  f or m   a  new   he ur ist ic   ADH DEOA  m et ho d  to  dete rm ine  the  annual  ti lt   ang le   f or   P V   m od ules  acros s  seve n  areas  in  Tai wa n.   T he   m et ho d  r e du ced  the  sea rch  sp ace  of  the  pro blem   and   r esults  ind ic at ed  t hat  the  m easur ed  annual  ti lt   angl es  wer e   sim i l ar  to  t he  sim ulati on   resu lt s.   F or   t he  sam e  ar eas  in   Tai wan,  Cha ng  [ 26 ] ,  [ 27]   optim ise d  the  ti lt   ang le s  us in g  the  P SO   m et hod  with  no nlinear  ti m e - var yi ng  evo l ution   (P S O - NT VE)   to  m axi m ise   the  el ect rical   ener gy   fr om   the  m o du le s .  The  re s ults  confirm ed  that  a  ti l t   ang le   of  23. 5°   is  no t  s uitable   for  al l  re gions  of   Tai wa n,   a nd  s houl d  va ry  w it h  locat ion.  Ta bet  et   al.   [28]   found  the  op ti m u m   t i lt   ang le   of   a  phot ovoltai c - the rm al   so la r  colle ct or   in   Al ger i a  by  cal culat in g  the  so la r  ra di at ion  on   a  ti lt ed  su r f ace  and   a pp ly ing   the  PS O  m et hod.   T he  res ults  ind ic at ed  t hat  the  ti lt   ang le   sh ould  be  c hange d  thr oughout  the   ye ar  to  yi el d  m axi m u m   eff ic ie ncy.  The  a nnual  s olar  rad i at ion   inc rease d  wh e n  the  opti m ise d  ti lt  an gles w e re  u se d.    Wh il e  t he  non - com pu ta ti on al   m e tho ds  desc ribe d  a bove  pr ov i de  ver y  go od  est im a ti on s   of  op ti m u m   ti lt   ang le s  in  t heir  res pecti ve   locat io ns ,  t he ir  accu racy  c ould  pe rh a ps   be   i m pr ove d.   No t  al l  c onsid er  the   po te ntial   ben e f it   of   var yi ng  t he  ti lt   ang le   thr ough ou t  the   ye ar  to  at ta in  the  highest  possible  a nnual   yi el d .   Th os e  that  do ,   e m plo y  m anual   m eans  of   se arch i ng   for  ti lt   ang le s  w hich  yi el d  the  high est   rad ia ti on,  wh ic h  m ay   ov erlo ok   the  true  opti m u m   tilt   ang le .  The  determ inati on   of   the   op ti m u m   ti lt  ang le   can  al so   be   const ru ct e d  as   an  op ti m iz ation   pro blem ,  whic h  can   be  s olv ed   by  m et a - he ur ist ic   al gorit hm s.  Var io us  s tud ie s  hav e   il lustrate d  the b e nef it  o f   em plo yi ng   su c h  al gorithm s  to   obt ai n  the opti m u m   ti l t  ang le ,   as  they   are ca pab le   of   qu ic kly  finding   the  best  sol ution   am on g  a ll   so luti on s .  The  stu dies  ha ve   repor te d  incr eases  in  an nu a l  yi el d  wh e n  m et a - heu risti c  al gorith m s   are  us ed .  St il l,  a  con sen su s   has  not  ye t  ap pear e d  to  have  been   reac hed   a m on g  existi ng  li te ratur e  on  how  be st  to  acc ur at el y  determ ine   the  op ti m u m   ti lt   ang le   f or  a  pa rtic ular  l ocati on   thr oughout t he   ye ar.    This  pa per   pr e sents  the  us e  of  par ti cl e  swa r m   op tim iz ation   (PSO )  to  opt i m ise   the  ti lt  a ng le   of  s olar   pan el s  f or  each  m o nth   of   t he   ye ar.  The  m eth od  ai m s  to  be   po te ntial ly   m or e  acc ur at e  a nd   yi el d  hi gh e r  values   of   so la r  ra diati on  tha n  e xisti ng  m et ho ds.  T he   m e tho d  is  a ppli ed  to   a  la ti tu de  of   4.9 7ᵒ  in   Brunei   Da r us s al a m   t o   com par e  the  annual  yi el d  ob t ai ned   us in g  thi s  m et ho d  wit h   that  ob ta ine d  t hro ugh  m anu al   m eans  by  a  previo us  stud y  in  Brun ei   Dar us sal am ;  ho we ver,  the   m et ho d  is  exp ect ed  to  be  s uitable   for  an y  la t it ud e.  Or i gin al ly   dev el op e d  by  Kenne dy  and   Eberha rt  [29 ] ,  [ 30] ,  the  PS O  al gorithm   h as  seen  var i ous  dev el opm ents  and  i m pr ovem ents  in  pe rfo rm ance  since  it s  ince pt ion ,  t he  prom i nen t  ones o f   w hich  a re  im plem ented  in  t his p ape r.  The  pa per   is   orga nised   as  fo l lows :  t he  nex t   sect ion  des cri bes  t he  m et ho do l og y  a nd  im plem entat ion   of  th e   PSO   al gorithm   to  dete rm ine  t he  o ptim u m   til t  ang le .   The   re la ti on sh i p  between  ti lt   ang le   an d  s olar  rad i at ion   i s   est ablished   a nd  the   PS O  al gorithm   is  ex plained.  F ollow i ng  a re  discuss i ons  of  pa ram et e rs  us e d,   c ouple d  with  a  br ie f  re vie w   of   the  dev el opm ents  in  the  al gorithm .  The  i m pr ov e d  al gor it hm   is  then  i m ple m ented  for  a  la ti tud e  of   4.9 7ᵒ  in  Brunei   Darussalam .  F inall y,  the  perform ance  of   the  PS O  al gorithm   is  evaluated  by   cond ucting  a  c om par at ive  an al ysi s  between  the  P SO  al gor it h m   and   t he  A BC   al gorithm   us in g  be nch m ark   te s t   functi ons.  T he   resu l ts  are   pr esented  t o  il lustrate   the  be ne fits  of   de plo yi ng   t he  al gorit hm   fo r  this  purpose ,   com par ed  t o  c onve ntion al  m et hods   of obtai ning  op ti m u m  ti lt  an gle.    At  pr ese nt,  the re  is  no   sin gle  m et ho d,   val ue ,  or   al gorithm   to  accuratel y  de te rm ine  the  op tim u m   t il t   ang le   t hat  is  widely   acce pte d  by  researc he rs.   T her e f or e ,  it   is  i m po rtant  to  note   that  wh il e  this  paper  doe s   exp l or e , to  the  auth or s ’  c urrent  b est  knowled ge,  a c on te m porar y m eans to  fi nd  the  optim um t i lt  an gle f or  each   m on th,  it  d oes  no t p rovide  a de finiti v e ans we r; r at her , it  m a y spar k  s om e  i nterest in the  im po rtance o f  s uch  a n  ang le   i n  P V  a ppli cat ion s,   an d  the  be ne fit  of  us in g  par ti cl e  swar m   op ti m izati on   to   cha ng e  it   ever y  m onth.  A t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  75   -   89   78   the  ve ry  le ast ,  it   is  hope d  that   this  pap e r  c on tribu te s  t o  t he  increasin g  po ol   of  kn ow le dg e   an d  unde rstan ding   su r rou nd i ng  optim u m   ti lt   ang le s,  a nd  perh aps  i ns pi re  f el low  resea rc her s   to  furthe r  e xplore  a nd  dev el op  the   m et ho d disc us s ed here  for t hei r own a ppli cat i on s .       2.   METHO DOL OGY  A N D  I MPLEME NT ATIO N  O F  PAR TI CLE  SWAR M  O P TIMIS ATIO N   (PSO)  ALGO RITH M   2.1.     Ca lc ul at i on   of d aily s ol ar  r ad ia tio n  on a  t il ted  sur f ace   Fo r  the  P SO   al gorithm   to  det erm ine  the  op ti m u m   t il t   ang le ,  β opt ,  of   a  so la r  panel ,  the  dai ly   rad ia ti on   incident  on  a  t il te d  su r face  f or   t he  a ver a ge   day  of   eac h  m on th,  H ( β ) ,  m us t  be  cal culat ed.   T he  goal   of  th e   al gorithm   is  to  searc h  for  t he  values   of  ti lt   ang le   β   w hich   y ie ld  the  highes t  H ( β ).   The   cal culat ion  of  H ( β )  will   form  the o bject ive fu nction o f t he  PS O  al gori thm .   An   est im at ion   for  the  da il y  rad ia ti on   on   a  t il te d  su rf ace  f or   the  a ve rag e   day  of   eac h  m on th,  H ( β ),  hav e b een p r op os e d  by  num ero us   a uthor s.  I n  par ti cular ,  the  relat ion s hip s  a nd   e qu at i on s develo ped  b y  Liu  an d  Jo r da n  [31 ] ,  [ 32]   are  wi dely   r epu te d  a nd   ha ve  bee n  rev ie wed   by  Klei n  [33] .  T he  m eth od  is  descr i be d  he re .   Liu  a nd  Jor dan  [ 31 ]   pro po se d  that   the   ave ra ge  daily   rad ia ti on  on  a   ho rizo ntal  surface ,  H ,  f or  eac h  m on th,  ca n  be  ex pr ess ed  by  def i ning  K T ,  the  cl earn es s  ind ex ,  or  th e  fr act ion   of   the  aver a ge  da il y  extra - te rrest rial  rad ia ti on,  H 0h , fo r  eac h  m on th ,     =   0ℎ   (1)     H  is  obta ined   from   NA S A’ s   powe r  data  a ccess  vie wer  too l  f or  the  pe r iod   01/0 1/20 15  to   30 / 09 / 2019,  a nd   la ti tud e 4.9 7ᵒ f or Br un ei   Daru ssalam   [34] .  H 0h   is characte rized  by the  f ollow i ng equati on:     0ℎ =   24  [ 1 + 0 . 034  ( 2 365 . 24 ) ]   × (    +   )   (2)     Her e ,  I sc   is  the   so la r  c onsta nt   (e qu al   to  1367  W m - 2 ),  n  is   the  day  num ber   of  the   ye ar  ( aver a ge  day  of  eac h  m on th),   ϕ  is t he  lat it ud e,  δ  is t he  s olar decl in at ion , w hich ca n be e xpresse d as ,     =   180 23 . 45  [ 360 ( 28 4 + 365 ) ] ,   (3)     and  ω s   is t he  s un s et  ho ur   a ng le , which  ca n b e ex pr es sed  as ,      =   −     (4)     All an gles are  i n radia ns . T he   aver a ge dail y r adiat ion   on a  ti lt ed  surface ,  H ( β ), can  th us   be  expres sed  as:     ( )  =     (5)     R  is  the  rati o  of   daily   aver a ge   rad ia ti on   on   a  ti lt ed  su rf ace  to  that  on   a  ho r iz on ta l  su r face   fo r  eac h  m on th.  It  is  est i m at ed  by  ind i viduall y  co ns ide rin g  the   be a m ,  diffuse ,  a nd  re flect ed  c om po nen ts  of  the  rad ia ti on  in ci dent   on  a til te d  s urf ace. As s um ing  the  dif fuse an d  re flect ed  ra di at ion  to be isot ropic, Liu  a nd  Jo r da n  [ 32 ]   est i m at ed   that  R   ca n be c al culat ed  as     = ( 1 − ) + ( 1 +  2 ) + ( 1 −  ) 2   (6)     wh e re  D   is  the   m on thly   ave ra ge  daily   dif fus e  rad ia ti on  on  a  horizo ntal  surface,  R B   is  the   rati o  of  the  a ve rag e  daily   bea m   rad ia ti on   on   a  ti lted  surface,  B( β ) ,   to  that  on   a  horizo ntal  su r f ace,  B ,  for  each  m on th.  β   is  t he  ti lt  ang le   f r om   the   horizo ntal,  an d  ρ   is  th e  al be do,  eq ual  to  0. 2  on  Eart h.   In   (6) ,  the  fi rst  te rm   is  the  m on thly   aver a ge  daily   beam   rad ia ti on  incident  on   a   ti lt ed  su rf ace ,   the  seco nd   is   the  m on thly   aver a ge  daily   diffuse  rad ia ti on  on a t il te d  su r face,  a nd the t hir d  is t he  m on thly  a ve rag e  d ai ly  r e fl ect ed  ra diati on on a  ti lt ed  s urf ace.   As  s ur m ise d  by   Klei n  [33] ,  Liu  a nd  Jor da n  s uggeste d  t ha t  R B   is  eq uiv a le nt  to  t he  r at io  of  ave ra ge   daily  ex tra - te rrest rial  r adiat io n on a ti lt ed  s urface,   H 0 ( β) , to  that on a  ho rizon ta l s urface,   H 0h , fo r  eac h m on th,     =   ( ) =   0 ( ) 0ℎ     They rec omm e nd that  for  s urf aces facin g  t he  equato r,   R B   ca n be esti m at ed  as ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Op ti misi ng mo nth ly  ti lt  ang le s o f s olar  pane ls usin g p ar ti cl e swar m…   ( Na mru t a S.  K ania nthar a)   79   =   c os ( − ) c os sin ′ + ′ sin ( − ) sin ( c o s c os sin + sin sin ) ,   (7)     wh e re  ω s’   is t he  sunset  hour a ng le   f or  a  ti lt ed  surface , give n by ”     ′ = min {   , a rccos [ − tan ( − ) tan ] }   (8)     Me asur em ents  of  D  ar e  sel dom   avail able,  so   it   m us t  be  est i m at ed  fr om   values  of  H .  Se ver al   a uthors  ha ve   fou nd that the  ra ti o  D/H   ( dif fuse ra diati on   fra ct ion )  is a  func ti on   of  K T . Liu  and J ordan  [31]   propose d  t hat :     = 1 . 390 − 4 . 027 +   5 . 531 2 − 3 . 108 3   (9)     Page  [ 35 ]   al te r nativel y p rop ose d  t hat :     = 1 . 00 − 1 . 13   (10)     Accor ding  to   Klei n  [33] ,  Pa ge’ s   relat io ns hi p  res ults  in   a   m or e  accu rate  est i m at ion   of  D/ H   whe n  com par ed  with   m easur em ents  repor te d  by  Chou dhury   [36] ,   Stanh il l  [ 37 ] ,  and   N orris  [38] .  Howe ver ,   K le in  ob s er ved   that  values  of  R  est i m a te d  fr om   (6)   te nd  to  agree   m or e  cl os el y  with  exp eri m ental   m easurem ents  wh e n  t he  Li u  a nd Jor dan relat ion s hip i s used . T her e fore,  i n t his p a per,   (9)   i s chose n.     Th us ,  t he  t otal  ave rag e   daily   so la r   ra diati on  in ci de nt  on  a  ti lt ed  pa nel,  H ( β ),   ca n  be   c al culat ed  f or   each  m on th  by   su bst it uting   (7)   an d   ( 9)   i nto   ( 6) ,  an d  the n  substi tuti ng   (6)   into   (5) .  It  m us t  be  note d  t hat  sinc e   this  pap e r  aim s   to  dev el op  an  al gorithm   t o  fin d  a  value  f or  β  wh ic h  is  the  op ti m u m   value  β opt ,   a   kn ow n  value   of  β  is  no t  act ua ll y  placed  int o   (6) ;  rat her ,   β  form s  the  unkn own  decisi on  va riable  to   be   optim ise d  in  the   PS O   al gorithm , as  exp la ine d  la te r  in 2. 2.     2.2.     P art ic le   sw arm  op timi sa ti on   (PS O)   algorithm   Now  that  H ( β )   can  be  cal cula te d,   the  e quat ion s   ab ove  ca n  be  put  int o  the   PSO   al gorith m   (5 )  i s  th e   obj ect ive  funct ion   t o  be  opti m ise d.   Ba ck groun d  a nd   a n  e xp la nation  of  t he  al gorithm   fo ll ow,  prov i din g  a n  unde rstan ding  of   how  it   a rr iv es  at   an  op t im um   ang le   β opt   f or   eac h  m on th .   Partic le   swa r m   op tim iz at ion   (P S O)  is  a  popu la ti on - base d  stoc ha sti c  op ti m iz at i on   te c hn i qu e  dev el op e d  by  Eberha rt  an d  Kenne dy  [ 29 ] ,  [ 30] .  In s pire d  by  s w arm   intel l igenc e  obser ve d  i n  natu re,  s uc h  as   bir ds   floc kin g,  fis h  sc hoolin g,   a nd  bee  s wa rm ing ,   the  al gorithm   was  int rod uced  as  an   ev olu ti onary  c om pu ta ti on  m et ho d  to   s i m ulate   so ci al   beh a viou r  in   s war m s.  Mem ber s  of   a   swar m   coope ra te   to  fi nd  f ood  by  le ar ning  f r om   their  previ ous  e xperience   and  the  e xperie nce  of   oth e r   m e m ber s.  It  is  this  be hav i our  wh ic h  PS O  em ulate s.  A kin   t o  ot her   popula ti on - base d  op ti m i zat ion   te chn iq ues ,  P S O  op ti m ise s  a   pro blem   by  i te rati vely   i m pr ovin g  t he  cu r ren t  best  s olu t ion   acc ordi ng  to  a   m easur e  of  ‘ fitness’ ,  unti l  the  op ti m u m   of   the  f un ct i on   is  reache d.   T he  t ru e  stre ngth  of  the  al gorithm   stem s  from   the  intera ct ion   of  the   pa rtic le s  as  they   colla borati vely   ex plore  t he  se arch  spa ce.  Th e  ste ps  in  t he  P S O   al gorithm  are  outl ined  i n  a  f lo wch a rt, as  in  F igure  1 .   PSO   em br aces   a  si m ple  con c ept  w hich  ca n  be  exec uted  i n  j ust   a  few   li nes   of   c od e .  The  m at he m at ic s  involve d  is  bas ic ,  and   t he  c om pu ta ti on al   prow es s  it   cal ls  fo r  is  m ini m al ,  as  m e m or y  and   spe ed  requ ir e m ents  are  low;  thus,   it   is  inexp en sive  to  i m ple m ent.   Wh il e  the  or i gin al   m at hem atical   mo del  of  the  m otion   of  par ti cl es in  PS O dev el op e d b y Eber ha rt and  Kenne dy  [ 29 ], [ 30]   m ade g rea t st rides  in  the  fiel d of  e voluti on a ry   com pu ta ti on   in  swa r m   intelli gen ce,  at te m pts  to  i m pr ov e  it s  per form a nce  ha ve  sinc e  app ea red.  Sh i  and  Eberha rt  [ 39]   intr oduce d  ine r ti a  weigh t ,   ω ,  in  the   ra ng e   [ 0.9,  1.2]  i nto   t he   m od el   to  at ta in  bala nce  be tween   local   exp loit at ion   a nd   global  exp l or at io n.   P erfor m ance  wa s  fu rt her   e nh a nced   by  Cl erc  and   Ke nnedy   [40] ,  who  rem ov ed   the  need  f or  ω   to   be   sp ec ifie d  a nd  inste ad  int rod uced  a  co ns tric ti on   facto r,   χ ,   to  ens ure   conve rg e nce  of p a rtic le s,  le adi ng to  t he  e quat ion .      ( + 1 ) =   [  ( ) +   1 1 (  ( ) −    ( ) )   +     2 2 ( ( ) −    ( ) ) ]   x ij ( t + 1 ) =   x ij ( t ) +   v ij ( t + 1 )   (11)     The  c onstric ti on  factor  χ  is  de fine d  as ,     χ =   2κ | 2 −   φ −   √ φ 2 − 4φ | ,   (12)     wh e re  φ  =  φ 1   +   φ 2   an d  φ  ≥   4.  φ  is  c omm on ly   set   to  4.1,  a nd  φ 1   a nd  φ 2   a re  ty pical ly   eq ual,  s o  t hat  φ 1   =   φ 2   =  2.05.  κ  is  def i ned   as  κ  ϵ  [ 0,   1],  an d  is  com m on ly   set   to  1.  Th us   χ  =  0.7 298.   T hus,  acc ordin g  to  Cl er c  and  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  75   -   89   80   Kenne dy,  the  ideal   set ti ng   f or   a  PS O  al go rithm   with  ine rtia   is  ω   =  χ   =  0. 72 98.  Usi ng   thei r  co ns tr ic ti on   coeffic ie nts all ow a  fixe d value  of  ω  t o be  use d, inst ead  of  choosi ng a  value  in  the  ra ng e  [0. 9,   1.2].            Figure  1 .  Flo w char t i ll us trat in g ou tl ine  of P S O  al go rithm       To  im ple m ent  the  PSO   al gori thm   fo r  this  ap plica ti on ,  the  obj ect iv e  functi on   of   the  pr ob l e m   m us t  be   sp eci fied .  T his   is  the  m on thly   aver a ge  daily   so la r  rad ia ti on  incident  on  a  ti lt ed  pa nel,  H ( β ) ,   as  def i ne d  by   (5) .   The  pur pose  of   the  al go rithm   is  to  find   the   optim u m   t il t   ang le   β opt   fo r  eac h  m on th,  w hich  occ ur s w he n   H ( β )  is  the  highest  i.e.,  the  m axi m um  of   the  fu nct ion .  T her e f or e,   this  is  a   ma xi mizin g  PSO   al gorithm .  The  pr oble m   can  no w  be  de fine d.   T he  deci sion   var ia ble  is  the  ti lt   ang le   β ;  thu s,  the  num ber   of   decisi on   var ia bles  is  1.  The   search  s pace  is  bound  by  a  set   of   lim it s ;  the  l ow e r  an d  uppe r  bounds  of   the   decisi on   var ia ble.  These  a re  set   to   – 45°   a nd  45°   r especti vely ;  thi s  am ply  cov er s   the  ra ng e   of  possible   an gles  that  β   c ou l d  be .  T he  par am et ers  of  the  PS O  al gori thm   can  no w  be  de fine d.   T he   con st rict ion   coeffic ie nts  ar e  sel ect ed  as  above.  T he  m a xim u m   nu m ber   of   it er at ion s  is  set   to   100,   a nd  the  popula ti on   (swarm )  siz e  is  20 ;  over  tria l  a nd   e rror,  these   values   hav e  been   de e m ed  su ff ic ie nt  to  ru n  the  al gorithm   su ccessfu ll y.  The  pa rtic le s’  veloci ti es  are  cl a m p ed  to  a  m axi m u m   velocit y  v max   to  cont ro l  their  sea rc h  abili ty   so   tha t  they   do   not  a ccel erate  beyo nd   t he  searc h  s pace.  If  v max   is  to o  s m al l,  par ti cl es  m ay   no t  ha ve  enou gh  acce le r at ion   to  suffici ently   exp l or e  a nd   m ov e  far  e nough  beyo nd   l ocal  m ini m a;  they   m ay   fail   to  reach  bette r  s olu ti on s .  I f  v max   is  t oo   high,  par ti c le s  m ay   accele rate  to o  qu ic kly  an d  m i ss  go od  so l utio ns .   It  is  e qual   to  the   ra nge  of  the  decisi on  va riable,  a nd  is  t ypic al ly   set   to  10  t o  20%  of   thi s  r ang e  [41] .  Th e  par am et ers  sel ect ed  for  the  PS O  al gor it h m   us ing   Cl erc  an d  Ke nnedy’ s   const rict ion co eff ic ie nts a re li ste d  in   Table   1 .   Ap t  sel ect io n  of  φ 1   and   φ 2 ,  χ   ( or   ω) ,  an d  v max   can  pro vid e  a  balance  betwe en  local   searc h  and   globa l   search ,  bette r  c onve rg e nce,   a  few e r  nu m ber   of   it erati ons ,  a nd  le ss  ti m e.  No w   that  the  pro b le m   is  def ine d,   t he  const rict ion co eff ic ie nts set , a nd the  pa ram eter s c hosen , th e  algorit hm  is read y t o pe rfor m  the  op ti m iz ati on.        Table  1 .  Param et ers  sel ect ed f or PS O  al gorithm   us ing cl erc  and k e nnedy ’s  const rict ion co eff ic ie nts   Para m eters     φ 1   = φ 2   2 .05   χ  ( =  ω)   0 .72 9 8   v ma x   0 .2* (Var Max  -   V a rM in )   Maxi m u m  nu m b er  of  iter atio n s (M ax It)   100   Po p u latio n  ( swar m )  size   20   Lower bo u n d  of  de cisio n  variabl e ( Va rM in )   – 45°   Up p er  b o u n d  o f  de cisio n  variabl e ( Va rM ax )   45°     Ev a l u a t e   f i t n e ss o f   e a c h   p a r t i c l e   C a l c u l a t e   p e r so n a l   b e st   C a l c u l a t e   g l o b a l   b e st   U p d a t e   p a r t i c l e   v e l o c i t y   U p d a t e   p a r t i c l e   p o si t i o n   I n i t i a l i se   p o p u l a t i o n .   G e n e r a t e   r a n d o m  p a r t i c l e   v e l o c i t y   a n d   p o si t i o n   P a r t i c l e   b e st   >   g l o b a l   b e st ?   EN D   No   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Op ti misi ng mo nth ly  ti lt  ang le s o f s olar  pane ls usin g p ar ti cl e swar m…   ( Na mru t a S.  K ania nthar a)   81   3.   RESU LT S  AND  DI SCUS S ION   3.1.     O btaini n g opt im um  tilt  a n gles  from t he PS O  algorithm   The  PS O  al gor it h m   is  ru n  f or  each  m on th  to   gen e rate  twel ve  val ues  of  optim u m   tilt   ang le   β opt .  The   obj ect ive  f unct ion   ( 5)   ha s  thr ee  inp uts:  the  m on thly   aver age  daily   irrad i at ion   for  each  m on th  H ,  the  aver a ge   day  num ber   of  the  m on th   n ,  a nd  the   la ti tud e  ϕ .  O nce  a   r un  com plete s,  the  best  c os t  of   t he   swa rm   and   t he   best   po sit io n  at   t he  best  c os t  are   re corde d.   T hese   two  s ol ution s   a re  the   m on thly   ave rag e   daily   rad ia ti on  on  a  t il te d   su r face   H ( β )  a nd the c orres pondin g o pti m um   ti l t ang le   β opt , r es pecti vely . T he res ults are  sh ow n  in   Ta ble  2 .       Table  2 .  A ver a ge dail y radiat ion o n  a  ti lt ed  s urface  H ( β )  a nd  op ti m u m  ti l t ang le   β opt ,  as  s olv e d by PS O  al gorithm     Av erage day   n u m b er ,  n   Av erage daily  r ad i atio n ,  h o rizon tal su rf ace,   H  ( NASA )   Av erage daily  r ad i atio n ,  tilted  su rf ace,   H ( β )   Op ti m u m  t ilt ang le ,  β opt       W h m - 2 d a y - 1   W h m - 2 d a y - 1   rad   ᵒ   Jan u ary   17   4 8 1 6 .6 9   5 4 4 4 .2 5   0 .56 1 7   3 2 .18 3 0   Feb ruary   47   5 1 0 9 .5 0   5 3 9 9 .5 7   0 .38 5 5   2 2 .08 7 5   Mar ch   75   5 5 4 1 .6 3   5 5 8 0 .6 0   0 .13 7 8   7 .89 5 4   Ap ril   105   5 6 5 5 .4 0   5 7 0 4 .9 2   - 0 .15 4 6   - 8 .85 7 9   May   135   5 3 8 2 .6 2   5 6 7 6 .4 0   - 0 .37 5 3   - 2 1 .50 3 1   Ju n e   162   5 0 5 4 .4 8   5 4 8 8 .6 5   - 0 .46 5 9   - 2 6 .69 4 1   Ju ly   198   5 2 6 4 .9 7   5 6 4 6 .3 6   - 0 .42 8 8   - 2 4 .56 8 4   Au g u st   228   5 3 7 6 .0 1   5 5 0 0 .9 7   - 0 .24 9 8   - 1 4 .31 2 5   Sep te m b er   258   5 2 5 3 .3 2   5 2 5 4 .0 0   0 .02 3 1   1 .32 3 5   Octo b er   288   5 0 1 9 .3 1   5 1 9 2 .3 5   0 .30 5 1   1 7 .48 0 9   No v e m b e r   318   4 9 5 8 .8 6   5 5 0 7 .3 5   0 .52 1 5   2 9 .87 9 7   Dece m b e r   344   4 6 8 8 .1 6   5 4 1 5 .0 8   0 .60 5 9   3 4 .71 5 5           Av erag e   4 .13 5 8       The  highest  a ve rag e   daily   ra diati on   on  a  ti lt ed  surface   oc cur s   in  A pr il   a t  5705  Wh m - 2 day - 1 ,  w hile   Octo ber   receiv es  the  lo west  at   5192  Wh m - 2 day - 1 .  This  c orrelat es  with   the  cl im a te   in  Brunei   Da russ al a m ;   April   an d  Ma y   are  ty pical ly   the  war m est   m on t hs   a nd  e xp e rience  t he  m os t  hours  of  suns hin e  pe r  day,  a nd  th e   m os t  rainf al l  i s  seen  from   Octo ber   to  De ce m ber .  Fig ur e  2   il lustrate s  m or e  cl early   the  var ia ti on  in  β opt   thr oughout  the   ye ar.   β opt   va ri es  from   34 . 7ᵒ  i n  De cem ber   to   1.3°  i n  Se pte m ber ,  and  f rom   – 26 . 7ᵒ  in  J une  to  – 8.9ᵒ  in  A pr il .  F ro m   Ap ril  to  A ugus t,  β opt  is  ne gative;   this  indi cat es  that  the  so la r  pa nel  sho uld   be  or ie ntate d  to   face  nort h.   T his  is  becau se  at   this  sit e  (an d  tho se  on   sim il ar  la ti tud es) ,  the  an nual   sun  path  area  c ove rs  both   the  northe rn   a nd   s outher n  he m isph eres ,  crossi ng   the  E qua tor  f ro m   Ap ril  to  August  so   that  for  a  pa nel  to  be   perpe nd ic ular  t o  the  S un’s ray s dur i ng these   m on ths,  it  sho ul d  face  nor t h  t o ca pture t he  m os t ra d ia ti on.            Figure  2 .  V a riat ion  in  opti m um   ti l t ang le   β opt   thr ough ou t t he  yea r,  as  s olv e d by the  PS O  a lgorit hm       T h e   v a l u e s   o f   β opt   a r e   i n   a g r e e m e n t   w i t h   t h o s e   o b t a i n e d   b y   Y a k u p   a n d   M a l i k   [ 1 3 ]   f o r   a   s o l a r   c o l l e c t o r   i n   B r u n e i  D a r u s s a l a m .   T h e   m o n t h l y   β  v a l u e s   a r e  a v e r a g e d   t o  f i n d  a  v a l u e  f o r   a n n u a l   β o p t .   T h e  r e s u l t   i s  4 . 1 4 ᵒ ,  w h i c h   i s   c o m p a r a b l e   t o   Y a k u p   a n d   M a l i k ’ s   v a l u e   o f   3 . 3 9 ° .   T h i s   a g r e e s   w i t h   f i n d i n g s   m a d e   b y   n u m e r o u s   a u t h o r s   [6 ] ,  [ 14 ] - [ 16 ] ,  [ 19 ] - [ 2 1 ]   t h a t   t h e   a n n u a l   β opt   i s   s i m i l a r   t o   t h e   l a t i t u d e   ( ϕ   =   4 . 9 7 °   i n   B r u n e i   D a r u s s a l a m ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  75   -   89   82   3.2.    C ompari so n   of  annu al   so lar   ra dia tio n  usin g  tilt   an gles  s olv ed   b y  PSO  w it h  t h os e  s olv e d  b y  ot h er   means   To  assess  t he  PSO   al gorithm ’s  pe rfor m ance   in  pro vid in g  va lues  of  β opt   w hich  yi el d  the  highest  so la r  rad ia ti on  on  a  ti lt ed  su r face  e ach  m on th,   the   value s  of   β opt   are  c om par ed  with  th os e   so l ved  by  oth e r  m eans .   The  a nnual  H ( β )  val ues  obta i ned   us i ng   eac h  m et ho d  a re  co m par ed.   First,  the  an nual   H ( β )  is  com par ed  wit h  the  an nual   H ( β )  obta ine d  wh e n  us in g  the   an nual   β opt   of 4 . 14°.  T he  cal c ulati on s   in 2 . 1  w hich  c om pu te   m o nt hly   H ( β )  are  pe rform ed  with  β   =  4.1 4ᵒ  f or all  m o nth s . A  c om pari so n of an nual   H ( β )  is al so  m ade w it h  w he n  β opt   is   fixe d  at   0°   i.e.,   wh e n  the  pa ne l  is  flat .  The  l at te r  is  equ ival ent  to  the  ave r age  daily   rad ia ti on   on  a  horiz on ta l   su r face i.e .,  H ,   as in  Ta ble  2 .   The res ults are  pr ese nted  in  T able  3 .       Table  3 .  M on t hly ave rag e  d ai ly  r adiat ion o n a t il te d  su r face  H ( β ) usin g: m on thly   β opt   so l ve d by PS O, fix e d  β opt   =  4.1 4 ᵒ ,  an d fixe d  β opt   =  0°     Av erage daily  r ad i atio n  on  a  tilted  su rf ace,   H ( β )   ( W h m - 2 d ay - 1 )   β opt   PSO ( ch an g ed  eve ry   m o n th )   4 .14 ᵒ   0ᵒ   Jan u ary   5 4 4 4 .2 5   4 9 6 4 .4 9   4 8 1 6 .6 9   Feb ruary   5 3 9 9 .5 7   5 2 0 7 .3 3   5 1 0 9 .5 0   Mar ch   5 5 8 0 .6 0   5 5 7 1 .4 6   5 5 4 1 .6 3   Ap ril   5 7 0 4 .9 2   5 5 9 8 .3 8   5 6 5 5 .4 0   May   5 6 7 6 .4 0   5 2 6 2 .0 3   5 3 8 2 .6 2   Ju n e   5 4 8 8 .6 5   4 9 1 4 .3 2   5 0 5 4 .4 8   Ju ly   5 6 4 6 .3 6   5 1 2 9 .9 7   5 2 6 4 .9 7   Au g u st   5 5 0 0 .9 7   5 2 9 4 .5 9   5 3 7 6 .0 1   Sep te m b er   5 2 5 4 .0 0   5 2 4 9 .7 8   5 2 5 3 .3 2   Octo b er   5 1 9 2 .3 5   5 0 9 1 .3 0   5 0 1 9 .3 1   No v e m b e r   5 5 0 7 .3 5   5 0 9 7 .7 5   4 9 5 8 .8 6   Dece m b e r   5 4 1 5 .0 8   4 8 4 7 .1 8   4 6 8 8 .1 6   Annua l   6 5 8 1 0 .50   6 2 2 2 8 .57   6 2 1 2 0 .95   % Dif fere n ce     5 .76 %   5 .94 %       Table  3   s hows   that  changin g  β opt   ever y  m on th  as  s olv e d  by  the  PSO   al gorithm   yields  65 , 811Whm - 2 day - 1   an nu al   H ( β )   w hile  ke epin g  it   fixe d  at   4.14°  yi el ds  62, 229Whm - 2 day - 1 .  T his  is  an  inc rease  of  5.76%.   Fixin g  β opt   at   0°   yi el ds   62,121Wh m - 2 day - 1 ;  the  increase  in  an nu al   H ( β )   on   this  is  5.94%.  Fr om   these  resu lt s  al on e,  it   app ea rs  it   is  m or e  be nef ic ia l  to  cha ng e  β opt   ever y  m on th;  this  is  encou rag i ng,  as  it   pr ov i des  evide nce   tha t t he  al gorithm  h as su ccee ded in  determ i ning m on thly  optim u m  ti lt  an gles.    N e x t ,   t w o   c o n v e n t i o n a l   m e t h o d s   a r e   c o n s i d e r e d .   D u f f i e   a n d   B e c k m a n   [ 1 ]   s u g g e s t   t h a t   β opt   =   ( ϕ   +   1 5 ᵒ )   ±   1 5 ᵒ ,   w h i l e   L u n d e   [ 2 ]   p r o p o s e d   t h a t   β opt   =  ϕ   ±   1 5 ᵒ .   T h e   p l u s   a n d   m i n u s   s i g n s   a r e   f o r   l o c a t i o n s   i n   t h e   n o r t h e r n   a n d   s o u t h e r n   h e m i s p h e r e s ,   r e s p e c t i v e l y .   T a b l e   4   s h o w s   t h e   v a l u e s   o f   H ( β )   w h e n   β opt   =  ϕ   +   1 5 ᵒ   =   1 9 . 9 8 ᵒ   a n d   w h e n   β opt   =  ( ϕ   +   1 5 ᵒ )  +   1 5 ᵒ   =   3 4 . 9 7 ᵒ .  B o t h   m e t h o d s  y i e l d  l o w e r  a n n u a l   H ( β )  t h a n   w h e n  t h e  P S O  a l g o r i t h m  i s  u s e d  t o   d e t e r m i n e   β opt .   T h e   a l g o r i t h m   r e s u l t s   i n   8 . 6 5 %   h i g h e r   a n n u a l   H ( β )   t h a n   L u n d e ’ s   m e t h o d ,   a n d   1 7 . 3 1 %   h i g h e r   a n n u a l   H ( β )   t h a n   D u f f i e   a n d   B e c k m a n ’ s   m e t h o d ,   e v i d e n c i n g   t h a t   t h e   a l g o r i t h m   f i n d s  b e t t e r   v a l u e s  o f   β opt   t h a n  t h e   t w o   m e t h o d s .   T h e   r e s u l t s   i n   T a b l e   3   a n d   T a b l e   4   f u r t h e r   s u b s t a n t i a t e   t h e   P S O   a l g o r i t h m ’ s   s u c c e s s   i n   d e t e r m i n i n g   β o p t   f o r   e a c h   m o n t h   t h a t   y i e l d   m a x i m u m   p o t e n t i a l   H ( β ) .   I t   c a n ,   t h e r e f o r e ,   b e   p o s i t e d   w i t h   r e a s o n a b l e   c o n f i d e n c e   t h a t   t h e   P S O   a l g o r i t h m   d e v e l o p e d   i n   t h i s   p a p e r   h a s   t h e   c a p a b i l i t y   t o   i n c r e a s e   t h e   a n n u a l   y i e l d   o f   a   P V   s y s t e m   s e t - u p   i n   B r u n e i   D a r u s s a l a m ,   a n d   p o t e n t i a l l y   i n   o t h e r   l o c a t i o n s   a r o u n d   t h e   w o r l d .     F i g u r e   3   d e p i c t s   h o w   H ( β )   i s   a f f e c t e d   t h r o u g h o u t   t h e   y e a r   u s i n g   t h e   d i f f e r e n t   m e t h o d s   o f  o b t a i n i n g   β o p t .  I t   i l l u s t r a t e s   m o r e   c l e a r l y   t h e   a d v a n t a g e   o f   c h a n g i n g   β opt   e ve r y   m o n t h   a s   di c t a t e d   b y   t h e   P S O   a l g o r i t hm .   T h e   o t h e r   m e t h o d s   y i e l d   g e n e r a l l y   l o w e r   H ( β )   o v e r   t h e   y e a r .   T h i s   m a y   b e   b e c a u s e   s i n c e   t h e s e   m e t h o d s   d o   n o t   s u g g e s t   c h a n g i n g   β   e v e r y   m on t h ,   n o t   a l l   o f   t h e   S u n ’ s   r a y s   a r e   i n c i d e n t   o n  t h e   p a n e l   e v e r y   m o nt h .   T h e   l a r g e s t   d i s c r e p a n c i e s   i n   H ( β )   a m o n g   t h e   m e t h o d s   a r e   s e e n   f r o m   A p r i l   t o   A u g u s t   -   t h i s   i s   b e c a u s e   t h e   o t h e r   m e t h o d s   d o   n o t   g e n e r a t e   n e g a t i v e   v a l u e s   o f   β opt   f o r   t h e s e   m o n t h s .   T h e y   o v e r l o o k   t h e   f a c t   t h a t   s i n c e   B r u n e i   D a r u s s a l a m   i s   l o c a t e d   n e a r   t he   e q u a t o r ,   i t s   s u n   p a t h   l i e s   i n   t h e   n o r t h e r n   h e m i s p h e r e   f r om   A p r i l   t o   A u g u s t .   T h i s   n e c e s s i t a t e s   t he   n e e d   f o r   β opt   t o   b e   n e g a t i v e ,   a l l o w i n g   t h e   p a n e l   t o   b e   t i l t e d   o p t i m a l l y   t o   r e c e i v e   t h e   m a x i m um   s o l a r   r a d i a t i o n .     The  e ff ect   of   ti lt   ang le   β   on   s olar  rad ia ti on  on   a   ti lt ed  surf ace  H ( β )  th r oughout  the  ye ar  is  sh ow n  i n  Figure  4 .  β   is  m anu al ly   changed   from   – 45 ᵒ  to  45 ᵒ  i n  incre m ents  of   5°,  put  into  the  eq ua ti on s  in  2.1 ,  a nd   the   resu lt in g  H ( β )  recorde d  f or   e ach  m on th.  S m al le r  incre m e nts  of   β   from   0ᵒ  to  5ᵒ  are  in pu t  to  h one  in   on   the  reg i on  w he re   t he  op ti m u m   annual  β   of  4.1 4ᵒ  li es.  The   H ( β )  f or  e ver y  m on t h  at   eac h  β   is  s umm ed  to   get  a  corres pondin g annual  H ( β ).   T hu s , t he  ef fect  of ti lt  an gle  on  annual s olar ra diati on  is  il lustrate d  i n  Fi gure  5 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Op ti misi ng mo nth ly  ti lt  ang le s o f s olar  pane ls usin g p ar ti cl e swar m…   ( Na mru t a S.  K ania nthar a)   83   Table  4 .  M on t hly ave rag e  r a diati on   on a  ti lted  s urface  H ( β )   us in g  m on thl y  β opt   so lve d b y PSO , a nd u si ng  β opt   so lve d by c onve ntion al  m et hods     Av erage daily  r ad i atio n  on  a  tilted  su rf ace,   H ( β )   ( W h m - 2 d ay - 1 )   β opt   Ch an g ed  every   m o n th  ( PSO)   ϕ   ± 15 ᵒ  = 19 .98 ᵒ   ( ϕ   + 15 ᵒ)  ±  1 5 ᵒ  = 34 .97 ᵒ   Jan u ary   5 4 4 4 .2 4 7 6   5 3 5 1 .5 9 8 3   5 4 3 9 .0 0 5 1   Feb ruary   5 3 9 9 .5 6 7 7   5 3 9 7 .4 3 9 2   5 3 0 0 .3 6 4 3   Mar ch   5 5 8 0 .5 9 5 5   5 4 9 0 .1 3 0 2   5 1 3 4 .2 0 9 2   Ap ril   5 7 0 4 .9 2 3 5   5 1 9 2 .2 0 8 7   4 5 5 7 .5 9 5 2   May   5 6 7 6 .3 9 6 2   4 6 4 2 .7 6 2 3   3 8 6 4 .0 2 4 1   Ju n e   5 4 8 8 .6 5 4 1   4 2 4 3 .2 7 4 4   3 4 5 3 .2 6 6 8   Ju ly   5 6 4 6 .3 6 3 8   4 4 6 6 .0 6 5 2   3 6 6 3 .5 5 3 9   Au g u st   5 5 0 0 .9 6 7 2   4 8 1 3 .1 1 0 0   4 1 3 8 .2 0 4 0   Sep te m b er   5 2 5 4 .0 0 2 4   5 0 5 6 .4 4 3 2   4 6 2 3 .1 2 2 1   Octo b er   5 1 9 2 .3 5 0 9   5 1 8 9 .0 9 8 2   5 0 1 8 .9 9 1 9   No v e m b e r   5 5 0 7 .3 4 7 4   5 4 4 5 .7 0 9 2   5 4 9 0 .8 0 7 3   Dece m b e r   5 4 1 5 .0 8 2 5   5 2 8 0 .8 8 1 6   5 4 1 5 .2 1 7 4   Annua l   6 5 8 1 0 .49 8 8   6 0 5 6 8 .72 0 4   5 6 0 9 8 .36 1 4   % Dif fere n ce     8 .65 %   1 7 .31 %           Figure  3 .  Mo nth ly  av e rag e  d ai ly  r adiat ion o n a t il te d  su r face  H ( β ) usin g dif f eren t m et ho ds  of obtai ning  op ti m u m  ti l t ang le   β opt .           Figure  4 .  Effec t of ti lt  an gle  β   on m on thly   aver a ge dail y r adiat ion   on a  ti lt ed  surface   H ( β )               Figure  5 .  Effec t of ti lt  an gle  β   on ann ual r a di at ion   on a  ti lt ed  su r face  H ( β )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   23 , N o.   1 ,  Ju ly   2021 :  75   -   89   84   It  sh ows  that  if   β   wer e  to  be  f ixed  th rou ghou t  the  ye ar,  the  highest  an nu al   H ( β )  occ ur s  w hen   it   is  4° .   This  is  si m i la r  to  the  annual  β opt   of   4. 14° .   Although  fixi ng   β   at   4°   give s  rise  to  the  highest  an nu al   H ( β )  com par ed  to  a ny  oth e r  fixe d  value,  Fig ur e   4   s hows  th at   keep i ng   it   fi xe d  at   4ᵒ  does  not  al ways  yi el d  th e   highest  H ( β )  f or   al l  m on ths.  In   fact,  kee ping  it   fixed   at   a ny   ang le   thr oughout  the  ye ar  i s  detrim ental ,  as  there   are  m on ths  (Apr il   to  A ugus t) ,  w hich   suffe r  gr eat ly   w he n  t he  β   is  not  cha ng e d.  T he  gra ph  dem on strat es  th e   eff ect   an d  benefit   of   c hangin g   β   eve ry  m on th.  It  is  al so   e nc oura ging  to  le arn   t hat  t he  hi gh e st  values  of   H ( β )  for  eac h  m on t h  c orres pond  t o  values   of  β  wh ic h  a re  very   si m il ar  to  th os e  obta ined   by   the  P SO  al gorithm .  Additi on al ly ,  t he  highest  an nual   H ( β )  ac r oss  al l  ti lt   ang le s  from   - 45 ᵒ   to   45ᵒ  is  62, 229   Whm - 2 day - 1 ,  wh ic h   corres ponds to   a v al ue  of  β   =  4ᵒ; this is  ve ry  cl os e to  4.14ᵒ a s d et erm ined b y t he  PS O  al gorithm .      3.3.   Ev alu at i ng   PSO  a l go ri th m’ s per f or man ce  ag ainst data  f r om  a p ri or  st ud y  in  Br unei D arussalam   To  validat e  the   eff ect ive ness  of   the  P SO   al gorithm   against  the  sam e  data  set ,  the  perf orm ance  of   the   al gorithm   in  ob ta inin g  values   of   β opt   is  e valu at ed  agai ns t  va lues  of  β opt   obt ai ned   by  Ya ku p  an d  Ma li k  [13]   for   Brunei   Da ru s s al a m   in  2000.   Yaku p  a nd   Ma li k  cal culat ed  the  m on thl y  aver a ge  da il y  rad ia ti on  on   a  ti lt ed   su r face,   H ( β ),  us in g  sim il ar  c orrelat ion s   des cribe d  in  2.1,  bu t  us in g  a ve r age  daily   rad ia ti on   on  a  horizon ta l   su r face  ( H )  dat a  and   a ver a ge  da il y  diffuse  r adiat ion   on   a  horiz on ta l  surfa ce  ( D )  data  f or   the  ye ar  1992   from   the  Me te orol ogic al   De par tm ent  in   Br un ei   Darussalam .  β opt   was  f ound  by   insertin g  dif f eren t  value s  of  β   int o   an  e qu at io n  li ke   ( 5)   a nd m anual ly  search in g for the  v al ues of  β   f or whi c h  H ( β ) was a m axim u m .   To  co nduct  the   evaluati on,  th e  values  of  H   f ro m   the  19 92  data  are  entere d  into   ( 5)   ( n   a nd   ϕ   rem ai n   the  sam e),  and   the  al gorithm   ru n.  As  be fore,  the  al gorithm   gen erates  H ( β )   and   t he  co rr e spondin g  β opt   f or   each   m on th.  The  va lues  of   H ( β )   ar e  su m m ed  to  ge t  the  annual  H ( β ).   T he  res ul ts  are  ta bu la te d  in  Ta ble  5 .  It  sh ow s   that  the  values  of   m on thly   β opt   are  ver y  si m ilar  to  tho se  obt ai ned   u si ng   the   H   data  fr om   NASA;  it   var ie s  fr om   35.3 ᵒ  i n  Dece m ber   to  1. 4°  in  Septem ber ,  and   from   - 26 . 1ᵒ  in  June  to  – 8.8ᵒ  in  A pr il .  The  ave ra ge  a nnual  ti lt  ang le   is  4.38 ᵒ .  Ag ai n,   β opt   is  ne gative  f r om   April   to  A ugus t,  ind ic at in g  th at   the  so la r  pa nel  sho uld   fac e  n ort h  durin g  these  m on t hs .   T he  an nual   so la r  rad ia t ion   H ( β )  is  65, 622Whm - 2 day - 1   wh e n  the  PS O  al gorithm   is   us ed   to opti m ise  ti lt   ang le s , a nd 61,986 Wh m - 2 day - 1   on a  horizo nt al  su r face i.e ., no ti lt . Th is i s  a 5 . 87%  gain . T his is   gr eat er  th an  w hat  Yaku p  an d  Ma li k  had   ob serv e d  in  their   stud y;   they   rep ort ed  a  4.4 6%   gain  in  an nual   H ( β )   com par ed  to  annual  H .  T he  su pe rio rity   of   the  PS O  al gorithm   in  op ti m iz i ng   ti lt   ang le s  is  thu s  dem on st rated   her e .       Table  5 . A ver a ge dail y radiat ion o n  a  ti lt ed  s urface  H ( β )  a nd  op ti m u m  ti l t ang le   β opt   f or  e ach m on th,  as  so lve d  by the  PS O  al gorithm  f or  1992 Br unei  D a r ussa lam  d at a, and a ver a ge dail y ra diati on   on a  ti lt ed  su r face  H ( β )  for  eac h  m on th  as  determ ined by Ya kup an d M a lik     Av erage day     n u m b er ,  n   Av erage daily  r ad i atio n ,  h o rizon tal su rf ace,   H   (19 9 2  Brun ei data)   Av erage daily  r ad i atio n ,    tilted  su rf ace,   H ( β )   Op ti m u m  t ilt ang le ,  β opt       W h m - 2 d ay - 1   W h m - 2 d ay - 1   rad   ᵒ   Jan u ary   17   5 3 4 5 .2 8   6 1 1 2 .0 0   0 .57 8 2   3 3 .12 8 4   Feb ruary   47   5 4 1 4 .7 2   5 7 4 0 .4 7   0 .39 2 7   2 2 .50 0 1   Mar ch   75   6 1 1 7 .2 2   6 1 6 4 .0 8   0 .14 2 5   8 .16 4 6   Ap ril   105   5 5 1 7 .7 8   5 5 6 5 .3 4   - 0 .15 3 3   - 8 .78 3 4   May   135   5 2 8 0 .5 6   5 5 6 3 .1 0   - 0 .37 3 1   - 2 1 .37 7 1   Ju n e   162   4 7 0 6 .6 7   5 0 8 3 .8 4   - 0 .45 5 4   - 2 6 .09 2 5   Ju ly   198   4 4 6 4 .4 4   4 7 3 7 .9 8   - 0 .40 5 7   - 2 3 .24 4 9   Au g u st   228   5 3 0 4 .7 2   5 4 2 6 .4 3   - 0 .24 8 7   - 1 4 .24 9 5   Sep te m b er   258   5 7 2 4 .7 2   5 7 2 5 .9 1   0 .02 3 8   1 .36 3 6   Octo b er   288   4 7 7 7 .2 2   4 9 3 3 .9 9   0 .29 9 8   1 7 .17 7 3   No v e m b e r   318   4 3 7 5 .5 6   4 8 0 2 .1 2   0 .50 1 2   2 8 .71 6 6   Dece m b e r   344   4 9 5 6 .9 4   5 7 6 6 .9 0   0 .61 5 3   3 5 .25 4 1   Annua l     6 1 9 8 5 .83   6 5 6 2 2 .17   Av erag e   4 .37 9 8       % Dif fere n ce   5 .87 %           Figure  6   s how s  a  com par iso n  of   H ( β )  (using  H   data  fro m   19 92)  betw een  the   di ff e re nt  m eans  of   ob ta ini ng  β opt :  the  PS O  al gori thm ,  Yak up  a nd  Ma li k’ s  res ul ts,  and   no  ti lt .  The  gr a ph  il lu strat es  m or e  cl early   the  hi gh e r  gain  in  a nnua l  H ( β )   com par e d  t o  a nnual   H   w hen  the  P SO  a lgorit hm   is  us ed,   dem on strat ing   t he  al gorithm ’s  ad van ta ge ov e r  t he  m anu al  m eth od  of  ob ta ini ng   β opt .        Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.