Indonesi an  Journa l  of El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   13 ,  No.   1 ,  Jan uar y   201 9 ,   pp.  162 ~ 169   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v1 3 .i 1 .pp 162 - 169          162       Journ al h om e page :  http: // ia es core.c om/j ourn als/i ndex. ph p/ij eecs   Lea d ers and  fo ll owe rs al gorithm  f or const ra in ed non - lin ear   optimiz ation       Hele n Yuli ana  A n gm alisan g ,  Syaiful  A n am ,  S ob ri   Ab usi ni   Brawij a y a   Univ e rsit y ,   Jl .   Ve te r an ,   Mal ang  65145 ,   Ea st Ja v a ,   Indon esia       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   J ul   11 , 2 01 8   Re vised  N ov  18 , 2 01 8   Accepte d  Nov  30 , 201 8       Le ad ers  and  Followers  al gorit h m   was   a  novel   m et ahe urist ic s  proposed  b y   Yass er  Gonza lez - Ferna nde z  an d  Stephe n  Che n.   In  solving  u nconstra in e d   opti m iz ation,   it  per form ed  be tt er  expl or at ion   tha n  o the r  well - know n   m et ahe urist ic s,  e. g.   Gene ti c   Al gorit hm ,   Part ic l e  Sw arm  Optimiza ti on  an d   Diffe ren t ia l   Ev olut ion.  The r ef ore ,   i t  per for m ed  well   in  m ult i - m odal  proble m s.  In  thi s  pape r,   L ea de rs  and  Followers  was  m odifi ed  for  constra in ed  non - li ne ar  optim iz at ion .   Sever al   w ell - known   benc hm ark   proble m s  for  constra in ed  opt i m iz at ion   were   used  to  eva lu ate  th e  proposed   al gori thm.     The   r esult   of  the  eva lu at ion   show ed  tha t   the  pro posed  al gori thm  consiste n t l y   and  succ essfull y  found  th e  opt i m al   soluti on   of  low  dimensional  constraine d   opti m iz ation  pro ble m s  and  high   dimensional   op tim iz at ion   with  h i gh  num ber   of  li ne ar  ine qu a li t y   constr ai n t  o nl y .   Moreove r ,   t he  proposed  al g orit hm   had   diffi cu lty   in   sol ving  high  d imensional   opt imiza t i on  proble m   with   non - li ne ar   constra in ts  and  an y   proble m   wh i ch  has  m ore   th an  one  equa l ity  constra in t.    In  the   compari son  with  othe r  m et ahe urist ic s,  Le ad ers  and  Followers  had   bet t er  pe rform anc e in  ov era l l  b en chmark  probl ems .   Ke yw or d s :   Con st raint   Leader s a nd fo ll ow ers   Me ta heu risti cs   Non - li near   opti m iz at ion   Copy right  ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Syai fu l  An am ,    Brawijaya  U niv ersit y,    Jl. V et era n, M al a ng   6514 5,   E ast  Jav a,  In done sia .   Em a il :  sya iful @ub.ac .id       1.   INTROD U CTION     Nowa days,  op tim iz at ion   play s  an  i m po rtant  ro le   in  va riou s  fiel ds   of  r eal - w or ld ,  e.g.   eng inee rin g,  fina nce,  tra nsp or ta ti on  an d  operati onal   rese arch   [1 ] .  T here   are  m any  kin ds  of   optim iz ati on   pro blem s.  On e  of  them   is  con strai ned   no n - li near   opti m iz a ti on .  A n  opti m iz at ion   pr ob lem   is  c la ssif ie d  as  con str ai ned  op ti m iz ation   if  the  ob j ect ive  f un ct io n  is  m ini m iz ed  or   m axi m ized   un der   give n  co ns trai nts  [2 ] .     Con st raine d  non - li near  opti m iz at ion   is  de fine d  as  a  c on strai ned  opti m iz at ion   pr ob le m   wh ere  it s  obj ect iv e  functi on  or   at   le ast   on e  of   th e   con strai nts  is  non - li nea r  functi on   [ 3].  I n  real  li fe,  con st raine d  op ti m izati on  pro blem   m ay  b e f ound  ver y  oft en  beca us e  m a ny r e quired  r es ources a re  not  al ways unli m ited.   Me ta heu risti cs   hav e  be en  widely   i m ple m en te d  for  so l ving   m any  kin ds   of  optim iz ation  pro blem s,  includi ng  co nst rained  no n - l inear  op ti m iz a ti on .  In   so l vin g  opti m iz at i on   pro blem ,  m et aheu risti cs  searc h  so luti on  r an do m ly   and   by  tr ia l  and   er r or .   They  are  not  li ke  determ inist ic   m et ho ds   wh ic h  re quire   init ial     gu e ss  [4 ]   an d  m at he m a ti cal  req ui rem ents,  e .g .  gradie nt  or   co ntinuo us  functi on s  [5] .  They  on ly   require   obj ect ive  f unct ion   an d  the  sea rch i ng   dom ai n  in  so lvin g  pr oblem s  [6 ] .  Moreo ve r,   they   relat ively   need   che ape r   com pu ta ti on  c os t t ha n  t he dete rm inistic on es .   Since 1960s , me ta heu risti cs h ave  bee n  rap i dly dev el op e d [6 ] . Som e o f  the f am ou s  m et a heurist ic s ar e   Gen et ic   Al gori thm   (G A) ,  Par ti cl e  Sw arm   Op tim iz at ion   (PSO)  a nd  Di ff e ren ti al   Ev olu ti on   (DE).  They   hav e  been  widely   im ple m ented  in  var i ous  op ti m iz at ion   pro bl e m s.  H ow e ve r ,  they   ha ve  a   sam e  disadv a ntage ,     i.e.  easy   to  fa ll   into  local   optim a  [7 - 9]  or  te nd   to  pr em at ur el y  co nv e r ge  [ 9,   10 ] .  A s  the  co ns e quence,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Leaders  and f ol lo we rs a l go rit hm for c onstr ai ned   non - li ne ar o ptimizati on  ( Helen Yuli ana An gmalisa ng )   163   they   of te n  fail   to  appr oach   th e  op ti m al  so luti on .  T heref or e ,   it   is   necessary   to  find   a  m etah eu risti cs  that  can  perform  b et te r i n  s olv in g o ptim iz at ion  p r oblem s.   In   [9 ] ,  it   is  sta t ed  that  the  m ain   cause  of   pr e m at ur e  co nv e r gen ce  i n  these  well - kn own  al gorithm s  is  the  direct  com par ison   of  new ly   discov e re d  so luti on s  with  th e  cur re nt  be st - know n  sol ution.     Ther e f or e,   G onzal es - Fe r nand ez  an d  C hen  [ 9]   propose d  a   no vel  m et aheu ri sti cs  nam ed  Leaders   an d  F ollow e r s   (LaF )  w hich  avo i ds   this  ki nd   of   c om par ison.  I n  [ 9],  L aF  is  bette r  in  so l ving  unc on st raine d  no n - li nea r   op ti m iz ation   than  P SO   a nd   DE.   It  is  able  to  exp lo re  be tt er  so   that  it   can  pe rfor m   bette r  in  m uti - m od al   op ti m iz ation   pro blem s.  Mor eov e r,  LaF  is   sim ple  and   do e s  no t  nee d  a ny  pa ram e te r,   s o  it   m a y  save   com pu ta ti on   ti m e  becau se  th ere  is  no   need  to  est i m a te   a ny  par am et er.  Howev e r,   in  [9 ]   there  is  no  an y   discuss i on  a bout  bounda ry  c on st raint  ha nd l ing ,   e ven  th ough  the re   is   a  possibil it y  that  so m e  new  so l utions   create d by the   op e rato r  in  La F is outsi de  the  searc hing s pac e.   Ther e  a re  s ome   m et ho ds   to  deal  with  the  bounda ry  co nst raint  vio la ti on s.  So m e  of   th e m   are  re - init ia li zation   a nd   cl am pin g  ( br i ng   back   t he   so luti on  to  th e   peak   value ).  In   [ 11] ,  it   is  pro ven   that  cl a m pin g  m et ho d  is  m ore  eff ect ive   tha n  re - init ia li zat i on  m et ho d.   It  can  im pr ove  the  s olu ti on  m uch   bette r  tha n  the  re - init ia li zation  m et hod.   The refo re,  it  ca n be  use d  in  LaF  to ha nd le  t he bou ndary co ns trai nt  vio la ti o n.   Fo r   s olv i ng  c on st raine d  optim iz ation   pro blem ,  a  m et a heurist ic   sho ul d  be  m od ifie d  us in g  a  const raint - ha ndli ng   te c hn i que.  The re  are  var i ou s  c onstr ai nt - ha ndli ng   t echn i qu e s.  T he   m os t  widely   us ed  te chn iq ue  is  pen al ty   functi on   [12].  It  m od i fies  the  ob j ect ive  f un ct io n  by  ad ding  a  pen al ty   fun ct ion .     This  te ch nique   has  bee n  being  us e d  with  var i ou s   m et ah eur ist ic s,  both   the  old   a nd  the  new  ones.   In   [ 13 ] ,   Har m on y  Sea r ch  ( HS)  al go rithm   was  m od ifie d  us in g  death  pen al ty ,  sta ti c  pen al ty   an d  a  ne w  pen al ty   f unct ion  te chn i que,   na m ed  two  sta ge   pe nalty   functi on.  In  [ 14] ,  sta ti c  pen al ty   an d  feasibil it y  r ules  m et ho d  were  us e d  with  Fire fly   Algorithm   (FA)  f or   c onstr ai ned   optim izati on .  In  [ 15] ,  sta ti c  pen al t y  te chn iq ue  was  al s o  com bin ed  with  a   no vel  m etah eu risti c,  na m ed  Ba ct erial - insp ire d  Al gor it h m ,  for  c ons trai ned  opti m i zat ion .  Stat ic   pen al ty   and  dy nam ic   pen al ty   functi on   we re  al so  use d  with  a n  em erg i ng  m et aheu risti c,  nam ed  Cohort   In te ll igence  (C I)   f or  co ns trai ne d  opti m iz at io n  [ 16 ] .  In   [17],   Diff e ren ti al   S earch  (DS)  al gorithm   is  de velop e d  for  c onstrai ne d o pti m iz at ion  w it h  sta ti c an d dynam ic  p enalt y functi on.   In   t his  stu dy,  LaF  is  im ple mented  for  s olv i ng   c onstrai ne d  op ti m iz ation   pro blem   us ing   sta ti c  pen al ty  functi on  f or   ha nd li ng  the  c on st raints  a nd  cl a m pin g  m e thod  [ 11 ]   f or   handlin g  t he   bounda ry  co ns trai nt   vio la ti on.  Af te r  bein g  m od ifie d,   the  pro pos ed  al gorithm   was  evaluate d  us in g  seve ral  well - kn own  be nch m ark  pro blem s.  Then ,  t he  e valuati on  res ults  of  t he  propose d  a lgorit hm   are  com par ed  with  oth e r  m et aheu risti cs     [13,  14 ] ,  [ 16 - 1 8].   Sect io n  2  int rod uces  the  propose d  al gorithm .  S ect ion   3  is   the  researc h  m et ho d.    Sect ion   4 p rese nts a nd d isc us s es the  res ults.  The n,  t he  c on c lusio ns  a re  give n  in  Secti on  5.       2.   THE  PROPO SED  ALGO R ITHM   Leader s  a nd  F ollow e rs  (LaF )   al gorithm   us e s  two  di ff e ren t   popula ti ons,  i. e.  Le ad e rs   a nd  Followers .  Followers   is  assigne d  t o  e xp l or e   so m e  new  s ub - re gions  of  the   sear chin g  s pace   that  hav e   local   opti m a    (which  cal le d  at tract ion   ba sin),  w her ea s  Le ad e rs   is  assig ned   t o  sto re  prom isi ng   so l ution s  w hich  m a y  be  a   global  optim um .   In   this  al go rithm ,  there  is  no   c om par ison   of   ne w  dis cov e re d  so l ution s  a nd  a  best   curren t   so luti on.  T his   kind  of  c omparis on   is  a voide d  to  pr e ve nt  prem at ur e  conve rg e nce.   Algorithm   1  is  the   ps e udoc od e  of  Leader s a nd F ollow e rs  al gori thm .   Ther e   is  possi bili ty   that  Trial   is  form ed  ou tsi de  the   se arch i ng  s pace.   To   handle  th e  bo undary   const raint  vio l at ion ,   this  st udy  us es   cl am pi ng  m et ho d  by  br i ng i ng  the   s olu ti on  t o  th e  bounda ry  valu e  [ 11 ] .   The  al gorithm   is  m od ifie d  by   add in g  the  c onditi on al s  on   li ne  15 - 16.  If  the  p os it ion   of  Trial   is  not  in  the   searchi ng  s pac e,  the  posit ion   is  m ov e d  to  t he   boun dar y.  To   ha nd le   t he  c onstrai nts,  t his  al gorithm   us es  pe nalty   te chn iq ue.  T hi s  te ch nique  is   the  m os t  wi dely   co ns trai nt - ha nd li ng  te c hn i qu e .  It  tra ns f or m s  co ns t raine d  pro blem   into   un c onstrai ne d  prob le m .  The  obj ect ive  f unct ion   is  m odifie d  by  ad di ng   pe nalty   functi on.    The ge ner al   form  o f  pe nalty  fun ct io n  is  as  fol lows .     ( ⃗ ) = ( ⃗ ) + ∑ × ma x [ 0 , ( ⃗ ) ] × + ∑ × ( | ℎ ( ⃗ ) | − ) ×     ( ⃗ )   is  m od ifie d  ob j ect ive  f un ct io n,  ( ⃗ )   is  ori gin al   obj ect iv e  functi on  of  co ns trai ne d  optim iz ation   pro blem ,    is  pen al ty   fac tor  w hich  sho uld   be  la rg e  e nough  for  m ini m iz ation   pro bl e m s,  ( ⃗ )   is  or i gin al   ineq ualit y  const raints,   ℎ ( ⃗ )   is or i gin al  e qu al it y const raints,     and    are  bo t h  c on sta nts a nd    is err or tolera nce .             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   1 ,  Ja nu a ry 20 19   :   162   –   169   164   3.   RE SEA R CH MET HO D    The  pro posed   al gorithm   was  eval uated  usi ng   well - know n  ben c hm ark   pro blem s  fo r  const raine d  op ti m iz ation   ( 1 - 13 ).   Table   1  is  t he   su m m ary  of  the  ben c hm ark  pro blem   wh e r e  ρ  is  t he  rati o  of  t he  f easi ble  search   s pace  s iz e  an d  the   e nt ire  searc h  s pa ce,  L I  is  t he  num ber   of  li ne ar  ine qual it y  con st raint,   N I  i s  the   nu m ber   of  no n - li near   i nequal it y  con strai nt,   NE  is  t he  nu m ber   of  nonline ar  e qu al it y  co ns trai nt  a nd  a  is  the  nu m ber   of   act ive  co ns trai nt.   Table   2  pr es ents  the  detai l s  of   pro blem .   Each  opti m izati on   pr ob le m   was   evaluate d  in  t wen ty - five  i ndepende nt  r uns  with  va rio us   popula ti on  siz e,   = 10 , 25 , 50 , 100 .  The   al gorithm   was  st oppe d  if   there  was   no  be tt er  so l ution  f ound  in   5000  it erati on s   in   a  row  or  the   al gori thm   had   been  r un  i n  600  sec onds.  T he  propose d  al gorithm   us es  s ta ti c  pen al ty   fa ct or   a nd  pa ram et ers,   i.e.  = 50 , 000 , = 1 , = 1   an d  = 0 . 0001 .  If  the   pr opos e d  al gorithm   m eet s  diff ic ulty   to  reach   t he  optim al   so luti on  of  a  te st  functi on,   the alg or it hm  w il l be e valuat ed wit h  a  bigge r pop ulati on  si ze an d  lo nger  c om pu ta ti on  ti m e lim it .      Algorithm   1.   P seu do c ode  of   Leader s a nd F ollow e rs Alg or it h m         Table  1.   Su m m ary o f  the  Benc hm ark  Pro blem s   Test Fun ctio n   Op ti m al Solu tio n   Di m en sio n   Ty p e of       (%)   LI   NI   N E   a     - 15   13   Qu ad ratic   0 .00 0 3   9   0   0   6     - 0 .80 3 6 1 9 1   20   No n lin ear   9 9 .99 6 2   0   2   0   1     - 1 .00 0 5 0 0 1   10   Po ly n o m ial   0 .00 0 2   0   0   1   1     - 3 0 6 6 5 .5 3 9   5   Qu ad ratic   2 6 .90 8 9   0   6   0   2     5 1 2 6 .4 9 6 7 1 4   4   Cu b ic   0 .00 0 0   2   0   3   3     - 6 9 6 1 .8138 7 6   2   Cu b ic   0 .00 6 5   0   2   0   2     2 4 .30 6 2 0 9 0 7   10   Qu ad ratic   0 .00 0 1   3   5   0   6     - 0 .09 5 8 2 5 0 4   2   No n lin ear   0 .84 8 4   0   2   0   0     6 8 0 .6300 5 7 4   7   Po ly n o m ial   0 .53 1 9   0   4   0   2      7 0 4 9 .2 4 8 0 2 0 5   8   Linear   0 .00 0 5   3   3   0   6      0 .74 9 9   2   Qu ad ratic   0 .00 9 9   0   0   1   1      - 1   3   Qu ad ratic   4 .74 5 2   0   1   0   0      0 .05 3 9 4 1 5 1 4   5   Exp o n en tial   0 .00 0 0   0   0   3   3                 1:     = nu m b er  o f  decis io n  variabl es     2:     = po p u latio n  size     3:    ( )   = lower  bo u n d  o f   - th  decis io n  variabl es     4:    ( )   = up p er  b o u n d  o f   - th  decis io n  variabl es   5:   = initialize  L eade r s with     u n ifor m  r an d o m  vecto rs     6:     = initialize  Follo wers with    u n if o r m   r an d o m  vecto rs       7:   repeat     8:     for     = 1:   do     9:          = r o u n d ( rand * )     10:          = r o u n d ( rand * )     11:          =  (   ,:)     12:           =  (   ,:)     13:       for     = 1:   do     14:         ( )  =    ( )  +  rand * 2 * (  ( )  –    ( ))     15:       if    ( )   <   ( )   then    ( )   =   ( )     16:         if     ( )   >    ( )   then    ( )   =    ( )     13:       end f o r     14:       if   (   )  <  (  )  then   (   ,:)  =    (:)     15:     end f o r     1 6 :          if   m ed i an ( ( ))  <   m e d ian ( ( ))  then     17:        ( 1 )   = an ele m en t of     o r    wh ich  has  the b est f itn ess     18:       for     = 2:   do     19:            = pick  an ele m en t  o f     rand o m l y     20:            = pick  an ele m en t  o f     rand o m l y     21:         if   (  )  <  (  )  then    ( )   =       22:           else    ( )   =       23:       end     24:         = r ein itial ize Foll o wers un if o r m l y     25:     end if     26:   until   th e t er m in ati o n  cr iterion  is satis f ied   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Leaders  and f ol lo we rs a l go rit hm for c onstr ai ned   non - li ne ar o ptimizati on  ( Helen Yuli ana An gmalisa ng )   165   T able  2.   Detai ls o f  the  Benc hm ark  P roblem s     Ob jectiv e Fun ctio n   Co n strain ts   Bo u n d s     ( ⃗ ) = 5 ∑ − 4 = 1 5 ∑ 2 − 4 = 1 ∑ 13 = 5   1 ( ⃗ ) = 2 1 + 2 2 + 10 + 11 − 10 ≤ 0   2 ( ⃗ ) = 2 1 + 2 3 + 10 + 12 − 10 ≤ 0   3 ( ⃗ ) = 2 2 + 2 2 + 11 + 12 − 10 ≤ 0   4 ( ⃗ ) = − 8 1 + 10 ≤ 0   5 ( ⃗ ) = − 8 2 + 11 ≤ 0   6 ( ⃗ ) = − 8 3 + 12 ≤ 0   7 ( ⃗ ) = − 2 4 − 5 + 10 ≤ 0   8 ( ⃗ ) = − 2 6 − 7 + 11 ≤ 0   9 ( ⃗ ) = − 2 8 − 9 + 12 ≤ 0     = ( 0 ,  0, … ,  0)     = ( 1 ,  1, 1,  1 ,  1 ,  1 ,  1 ,  1 ,   1 ,  1 0 0 ,  1 0 0 ,  1 0 0 ,  1 )     ( ⃗ ) = − | ∑ cos ( ) 4 − 2 ∏ cos   ( ) 2 = 1 = 1 √ ∑ 2 = 1 |     = 20   1 ( ⃗ ) = 0 . 75 − ∏ ≤ 0 = 1   2 ( ⃗ ) = ∑ = 1 − 7 . 5 ≤ 0     = 0;     = 10 ;     ( ⃗ ) = − ( √ ) ∏ = 1   =   10   ℎ 1 ( ⃗ ) = ∑ 2 − 1 = 0 = 1     = 0;     = 1;     ( ⃗ ) = 5 . 3578547 3 2 + 0 . 8356891 1 5 + 37 . 293239 1 − 40792 . 141   1 ( ⃗ ) = 85 . 334407 + 0 . 0056858 2 5 + 0 . 0006262 1 4 − 0 . 0022053 3 5 − 92 ≤ 0   2 ( ⃗ ) = − 85 . 334407 − 0 . 0056858 2 5 − 0 . 0006262 1 4 + 0 . 0022053 3 5 ≤ 0   3 ( ⃗ ) = 80 . 51249 + 0 . 0071317 2 5 + 0 . 0029955 1 2 + 0 . 0021813 3 2 − 110 ≤ 0   4 ( ⃗ ) = − 80 . 51249 − 0 . 0071317 2 5 − 0 . 0029955 1 2 − 0 . 0021813 3 2 + 90 ≤ 0   5 ( ⃗ ) = 9 . 300961 + 0 . 0047026 3 5 + 0 . 0012547 1 3 + 0 . 0019085 3 4 − 25 ≤ 0   6 ( ⃗ ) = − 9 . 300961 − 0 . 0047026 3 5 − 0 . 0012547 1 3 − 0 . 0019085 3 4 + 20 ≤ 0     = ( 7 8 ,  3 3 ,  2 7 ,  2 7 ,  2 7 )     = ( 1 0 2 ,  4 5 ,  4 5 ,  4 5 ,  4 5 )       ( ⃗ ) = 3 1 + 0 . 000001 1 3 + 2 2 + ( 0 . 000002 3 ) 2 3   1 ( ⃗ ) = − 4 + 3 − 0 . 55 ≤ 0   2 ( ⃗ ) = − 3 + 4 − 0 . 55 ≤ 0   ℎ 3 ( ⃗ ) = 1000 sin ( − 3 −   0 . 25 )   + 1000 sin ( − 4 − 0 . 25 ) + 894 . 8   − 1 = 0   ℎ 4 ( ⃗ ) = 1000 sin ( 3 −   0 . 25 )   + 1000 sin ( 3 − 4 − 0 . 25 ) + 894 . 8   − 2 = 0   ℎ 5 ( ⃗ ) = 1000 sin ( 4 −   0 . 25 )   + 1000 sin ( 4 − 3 − 0 . 25 ) + 1294 . 8 = 0     = ( 0 ,  0,  - 0 .55 ,  - 0 .55 )     = ( 1 2 0 0 ,  1 2 0 0 ,  0 .55 ,  0 .55 )     ( ⃗ ) = ( 1 − 10 ) 3 + ( 2 − 20 ) 3   1 ( ⃗ ) = − ( 1 − 5 ) 2 − ( 2 − 5 ) 2 + 100 ≤ 0   2 ( ⃗ ) = ( 1 − 6 ) 2 + ( 2 − 5 ) 2 − 82 . 81 ≤ 0     = ( 1 3 ,  0 )     = ( 1 0 0 ,  100)     ( ⃗ ) = 1 2 + 2 3 + 1 2 − 14 1 − 16 2   + ( 3   −   10 ) 2   +   4 ( 4   −   5 ) 2   +   ( 5   −   3 ) 2 + 2 ( 6   − 1 ) 2   +   5 7 2   +   7 ( 8   −   11 ) 2   +   2 ( 9   −   10 ) 2   +   ( 10   −   7 ) 2   +   45   1 ( ⃗ ) = − 105 + 4 1 + 5 2 − 3 7   +   9 8 ≤ 0   2 ( ⃗ ) =   10 1   −   8 2   −   17 7   +   2 8 ≤ 0   3 ( ⃗ ) = − 8 1 + 2 2 + 5 9 − 2 10 − 12 ≤   0   4 ( ⃗ ) =   3 ( 1 − 2 ) 2 + 4 ( 2 − 3 ) 2 + 2 3 2 −   7 4   − 120 ≤   0   5 ( ⃗ ) = 5 1 2 + 8 2 + ( 3 − 6 ) 2 − 2 4               − 40 ≤ 0   6 ( ⃗ ) =   1 2   +   2 ( 2   − 2 ) 2   −   2 1 2   +   14 5   −   6 6 ≤   0   7 ( ⃗ )   0 . 5 ( 1 − 8 ) 2 + 2 ( 2 − 4 ) 2 +   3 5 2   −   6   −   30 ≤   0   8 ( ⃗ ) = − 3 1 + 6 2 + 12 ( 9 − 8 ) 2       − 7 10 ≤ 0     =  - 10     = 10     ( ⃗ ) = − ( sin ( 2 1 ) ) 3 sin   ( 2 2 )   1 3 ( 1 + 2 )   1 ( ⃗ ) = − 1 2 − 2 + 1 ≤ 0   2 ( ⃗ ) = 1 − 1 + ( 2 − 4 ) 2 ≤ 0     = 0     = 10     ( ⃗ ) = ( 1 − 10 ) 2 + 5 ( 2 − 12 ) 2 + 3 4 + 3 ( 4 − 11 ) 2 + 10 5 6 + 7 6 2 + 7 4 − 4 6 7 − 10 6 − 8 7   1 ( ⃗ ) = − 127 + 2 1 2 + 3 2 4 + 3 + 4 4 2 + 5 5 ≤   0   2 ( ⃗ ) = − 282 + 7 1 + 3 2 + 10 3 2 + 4 − 5 ≤   0   3 ( ⃗ ) = − 196 + 23 1 + 2 2 + 6 6 2 − 8 7 ≤   0   4 ( ⃗ ) = 4 1 2 + 2 2 − 3 1 2 + 2 3 2 + 5 6 − 11 7 ≤   0     =  - 10     = 10      ( ⃗ ) = 1 + 2 + 3   1 ( ⃗ ) = − 1 + 0 . 0025 ( 4 + 6 ) ≤   0   2 ( ⃗ ) = − 1 + 0 . 0025 ( 5 + 7 − 4 ) ≤   0   3 ( ⃗ ) = − 1 + 0 . 01 ( 8 − 5 ) ≤   0   4 ( ⃗ ) = − 1 6 + 833 . 33252 4 + 100 1 − 83333 . 333 ≤   0   5 ( ⃗ ) = − 2 7 + 1250 5 + 2 4 − 1250 4 ≤   0     = ( 1 0 0 ,  1 0 0 0 ,  1 0 0 0 ,  1 0 ,  1 0 ,  1 0 ,  1 0 ,  1 0 )     = ( 1 0 0 0 0 ,  1 0 0 0 0 ,  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   1 ,  Ja nu a ry 20 19   :   162   –   169   166     Ob jectiv e Fun ctio n   Co n strain ts   Bo u n d s   6 ( ⃗ ) = − 3 8 + 1250000 + 3 5 − 2500 5 ≤   0   1 0 0 0 0 ,  1 0 0 0 ,  1 0 0 0 ,  1 0 0 0 ,  1 0 0 0 ,  1 0 0 0 )      ( ⃗ ) = 1 2 + ( 2 − 1 ) 2   ℎ ( ⃗ ) = 2 − 1 2 = 0     =  - 1     = 1      ( ⃗ ) = − ( 100 − ( 1 − 5 ) 2 − ( 2 − 5 ) 2 − ( 3 − 5 ) 2 ) / 100   ( ⃗ ) = ( 1 − ) 2 + ( 2 − ) 2 + ( 3 − ) 2 − 0 . 0625 ≤ 0     = 0     = 10      ( ⃗ ) = 1 2 3 4 5   ℎ 1 ( ⃗ ) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 − 10 = 0   ℎ 2 ( ⃗ ) = 2 3 − 5 4 5 = 0   ℎ 3 ( ⃗ ) = 1 3 + 2 3 + 1 = 0     =  - 2 .3     = 2.3       4.   RESU LT S  A ND D I SCUS S ION   Table  3  a nd  4  pr ese nts  t he   evalu at ion  re su lt s  with   popula ti on  siz e  ( )   =  10 ,  25,  50  an d  100.    The  al gorithm   obta ins  the   optim al   so luti on  f or  1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9 , 11   and   12 .  T he   sta nd a r d  devi at ion   of  al l   ob ta ine d  s olu t ion s   f or  4 , 6 , 8   a nd  12   ap proac hes   zer o.  T his  m eans  that   in   al l  r uns,   the   al gorithm   consi ste ntly   obta ins  optim al  so l ution s   f or   these  pro ble m s.  Table  1  sh ows   that  al l  of  these   pr ob le m s   ( 4 , 6 , 8   and   12 )  a re   lo w dim ension al  ( ≤ 5 ) a nd h a ve n o  e qual it y con st raints.       Table  3.  T he  Result s Obtai ne d by the  Pro posed Alg or it hm  f or  1 − 7       Prob le m   1   2   3   4   5   6   7   Op ti m al Solu tio n   - 15   - 0 .80 3 6   - 1 .00 0 5   - 30666   5 1 2 6 .5   - 6 9 6 1 .8   2 4 .3 0 6 2   Ob tain ed  Solu tio n   n  =  1 0   Bes t   - 15   - 0 .80 3 6   - 1 .00 0 2   - 30666   5 1 2 6 .8   - 6 9 6 1 .8   2 4 .35 5 8   Mean   - 1 2 .98 4 3   - 0 .68 4 9   - 1 .00 0 2   - 30666   5 2 6 4 .9   - 6 9 6 1 .8   2 5 .41 9 9   W o rst   - 1 0 .10 9 4   - 0 .57 0 2   - 1 .00 0 2   - 30666   5 6 9 3 .3   - 6 9 6 1 .8   2 7 .43 5 9   Std   1 .49 2 3   0 .06 8 5   2E - 06   4E - 06   2 0 9 .63   4 .5E - 11   0 .74 8 5   n  =  2 5   Bes t   - 15   - 0 .78 8 1   - 1 .00 0 2   - 30666   5 1 3 4 .0   - 6 9 6 1 .8   2 4 .31 8 8   Mean   - 1 4 .08 4 4   - 0 .73 1 9   - 0 .98 3 5   - 30666   5 2 3 9 .4   - 6 9 6 1 .8   2 4 .72 0 2   W o rst   - 1 1 .82 8 1   - 0 .60 5 7   - 0 .83 2 6   - 30666   5 7 9 0 .5   - 6 9 6 1 .8   2 6 .04 0 5   Std   0 .94 8 3   0 .04 5 2   0 .05 3 0   7E - 10   1 9 8 .89   2 .3E - 12   0 .39 3 3   n  =  5 0   Bes t   - 15   - 0 .80 3 6   - 1 .00 0 3   - 30666   5 1 2 8 .6   - 6 9 6 1 .8   2 4 .31 5 6   Mean   - 1 4 .47 3 7   - 0 .76 4 5   - 0 .95 3 8   - 30666   5 2 5 3 .1   - 6 9 6 1 .8   2 4 .65 0 4   W o rst   - 1 1 .28 1 2   - 0 .57 4 4   - 0 .71 9 1   - 30666   5 6 7 3 .6   - 6 9 6 1 .8   2 5 .07 7   Std   1 .05 3 3   0 .04 9 7   0 .10 0 6   1E - 11   1 6 4 .81   0   0 .25 4 5   n  =  1 0 0   Bes t   - 15   - 0 .80 3 6   - 1 .00 0 2   - 30666   5 1 2 6 .7   - 6 9 6 1 .8   2 4 .30 8 4   Mean   - 15   - 0 .78 9 7   - 0 .95 2 1   - 30666   5 3 2 7 .2   - 6 9 6 1 .8   2 4 .45 4 9   W o rst   - 15   - 0 .76 9 2   - 0 .80 7 4   - 30666   5 7 1 4 .9   - 6 9 6 1 .8   2 4 .82 4 2   Std   7 .25 E - 16   0 .00 9   0 .06 1 1   6E - 12   2 2 4 .09   0   0 .13 0 3   Std  =  Stan d ard De v iatio n       Table  4.   T he  Result s Obtai ne d by the  Pro posed Alg or it hm  f or  8 − 13   Prob le m     8   9   10   11   12   13   Op ti m al Solu tio n   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6301   7 0 4 9 .2   0 .74 9 9   - 1   0 .05 3 9   Ob tain ed  Solu tio n   n  =  1 0   Bes t   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6333   7 0 9 5 .9   0 .74 9 9   - 1   0 .17 8 9   M ean   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6518   7 8 9 7 .8   0 .74 9 9   - 1   1 .07 8 5   W o rst   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6736   1 0 9 1 1   0 .74 9 9   - 1   4 .95 1 1   Std   4 .01 E - 18   1 .03 E - 02   8 6 8 .6   9 .3E - 8   0   1 .51 9 4   n  =  2 5   Bes t   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6324   7 0 4 9 .5   0 .74 9 9   - 1   0 .08 6 5   Mean   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6360   7 4 6 8 .2   0 .74 9 9   - 1   1 .03 2 3   W o rst   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6423   8 0 7 6 .3   0 .74 9 9   - 1   5 .05 5 1   Std   4 .91 E - 18   2 .80 E - 03   2 9 8 .6   6 .5E - 8   0   1 .47 7 1   n  =  5 0   Bes t   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6305   7 1 1 4 .1   0 .74 9 9   - 1   0 .07 3 0   Mean   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6319   7 2 9 8 .3   0 .75 0 2   - 1   1 .64 2 6   W o rst   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6339   7 5 4 7 .2   0 .75 2 9   - 1   1 1 .09 9 6   Std   8 .96 E - 18   1 .00 E - 03   1 1 8 .2   9 .6E - 4   0   2 .31 4 1   n  =  1 0 0   Bes t   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6301   7 0 8 1 .5   0 .74 9 9   - 1   0 .61 4 8   Mean   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6307   7 2 3 9 .8   0 .75 0 0   - 1   0 .96 2 5   W o rst   - 0 .09 5 8   6 8 0 .6321   7469   0 .75 0 5   - 1   3 .18 4 3   Std   8 .96 E - 18   4 .59 E - 04   1 1 1 .7   2 .0E - 4   0   0 .78 7 7       Fo r   1   wh ic h  is  a   high  dim ensi on al   pro blem   ( = 13 ),   the  obta ine d  error s   is  quit e  high  wh e n  th e   popula ti on  siz e  ( )  =  10,  25  and  50,   but  w hen  the   po pu l at ion   siz e  ( )  =   100,  the   er r ors  ap proac hes  z ero.    The  al gorit hm  su ccess fu ll y  ob ta in s  the  optim a l  resu lt   in   each  r un  w he n   the  popula ti on   siz e  ( )  =  100,  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Leaders  and f ol lo we rs a l go rit hm for c onstr ai ned   non - li ne ar o ptimizati on  ( Helen Yuli ana An gmalisa ng )   167   al tho ug h  t he  num ber   of   dim e ns io n  a nd  i nequali ty   const raint  in   1   is  higher   tha n  7 , 9   a nd  10 .  Ta ble  1  s ho w s   that  the  diff e re nce  of   1   an d  7 , 9 ,  10   excep t  t he  dim ensio nalit y  is  the  ty pe  o f  ine qu al it y  co ns tra ints  in  t he   pro blem .  1   has  on ly   li near   c on strai nts,  unli ke   7 , 9   and   10   wh ic h  ha ve  no nlinear  const raints.  T he   al gorithm   te nd s   to   hav e   diff ic ulty   in   s olv in g  the   op t i m iz ation   pro bl e m s  with  e qu al it y  con strai nt (s)  ( 3 , 5   and  13 ),  excep t  11 .  I n  11 ,  th e  pro po se d  al gorithm   con sist ently   appro ac he s  the  opti m al   so luti on  wh e n    =  10  an d  25.  Table  1  s hows   that   the   di ff e r ence   of  11   a nd  t he  ot her s   is   it   is  lo w  dim ension al   a nd  has   only   one   e qu al i ty  const raint.  Mo reover ,  the  al gorithm   te nd s  to  fin d  di ff ic ul ty   in  so lving   t he  high  dim en sion al   opti m izati on   pro blem s w it h  nonlinea r  ine qual it y con st raints  on ly  ( 2 , 7 , 9   an d  10 ).   Wh e n  t he  pro pose d  al gorithm   is  evaluate d  on  2 , 7 , 9   and   10   with  a  big   popula ti on  siz e,  e.g.    =  2000,  a nd  the   sam e  te r m inatio n  crit erio n,  th e  obta ined   s olu ti ons  are   m uch   bette r  a nd  th e  sta ndar d  devi at ion s   are  m uch   sm aller  eve n  th ough  the  c om pu ta ti on al   ti m e  l i m i t  is  sa m e,  e.g .   600  sec onds  ( Table  5).   Wh e n  th e   tim e  lim it   is  lon ge r,   i.e.  1200  seco nd s ,  Table   5  sho ws  that  LaF  does  not  obta in  bette r  s ol utions,  exc ept  on   2 .   Th us ,  in  s olv i ng   t he  opti m i zat ion   pro ble m s   with  high  dim ension al   optim iz at ion   prob le m s  with  nonlinea r   ineq ualit y con s trai nts only ,  La F r e quires a  b i g pop ulati on   siz e ( ≥   2000) .       Table  5.  T he  Result s Obtai ne d by the  Pro posed Alg or it hm   for Hig h Dim e ns io nal  Op ti m i zat ion  P r ob le m s   with   ineq ualit y con s trai nts only  ( 2 , 7 , 9   an d   10 )  w he n    = 2,0 00   Ti m e  L i m it   600s   1200s   Prob le m   2   7   9   10   2   7   9   10   Bes t   - 0 .80 3 5   2 4 .31 1 4   6 8 0 .6303   7 .14 E+03   - 0 .80 3 6   2 4 .30 8 5   6 8 0 .6303   7 .09 E+03   Mean   - 0 .80 3 5   2 4 .31 6 8   6 8 0 .6305   7 .19 E+03   - 0 .80 3 6   2 4 .31 9 9   6 8 0 .6305   7 .17 E+03   W o rst   - 0 .80 3 4   2 4 .33 4 9   6 8 0 .6308   7 .24 E+03   - 0 .80 3 6   2 4 .35 9 7   6 8 0 .6311   7 .29 E+03   Std   2 .8E - 05   0 .00 6 7   1 .88 E - 04   3 3 .79 3 9   5 .5E - 06   0 .01 5 4   2 .34 E - 04   6 9 .33 7 8       Table  6  prese nts  the  com par iso n  of   s olut ion s  obta ine d  by  the  pr op os e d  al gorith m   and   oth er  m et aheu risti cs,   i.e.  Har m on y   Searc h  with  two  sta ge  pe na lt y  f un ct io n  ( HS )   [ 13] ,  Fire fly   Algorithm   with  com bin at ion   of  sta ti c  pen al ty   and   feasi bili ty   ru le s  (F A )  [14],  Co hort  I ntell igence  (C I )  with  sta ti c  pe nalty  (S CI )  an d  dynam ic   pen al ty   (D CI)   [ 16 ] ,  Dif fer e ntial   Searc h  with  sta ti c  pen al ty   (S D S)   a nd   dynam ic   pen al ty   (D DS)  [ 17]   an d  Musica l  Co m po sit ion   Me thod  (MCM )  [ 18 ] .  T he  pro pose d  al gorithm   ob ta i ns   the  s m al le st   values   of  best,   m ean,  w or st  and  sta nda rd  dev ia ti on  valu es  in  t his  c omparis on  on   1 , 3 , 4 , 6 , 9   and  12 .    It  m eans  that  LaF  is  bette r  and   m or e  co nsi ste nt  or  sta bl e  than   the  ot her  m et aheu risti cs  in  s olv in g  these   pro blem s.  In   t he  oth e r  pro bl e m s  ( 2 , 5 , 7 , 10   and   13 ),  e xcep t   8   an d  11 ,  LaF  is  sti ll   not  c om petitive   com par ed  to  the  oth e r  m e tah eu risti cs,  sin ce  it   has   diff ic ulti es  in  so lv ing   hi gh   dim ensio nal  op ti m i zat ion   pro blem   with  non - li near  c onstrai nts  a nd  a ny   pro blem   wh i ch  has   m or e  t ha n  one  e qual it y  co ns trai nt.   In  8   an d  11 ,  LaF  obta ins  t he  kn own  op ti m al   so luti on s,  bu t  S DS   on   8 ,  FA   a nd   MC M  on   11   ap par e ntly   ob ta in  bette r  so luti ons  t han  the  op ti m al   so luti ons  t hat  ha ve  been  know n  s o  far .   Howe ver,  in  ov e rall ,  LaF   is  m ore   com petit ive than  the  o t her m et aheurist ic s.       5.   CONCL US I O N   Ba sed  on  t he  r esult  an d  analy sis,  it   is  con cl uded  t hat  Lea de rs  an d  F ollo we r s  (La F)   al gori thm   can  be   i m ple m ented  to  so l ve  co ns tra ined  non - li nea r  opti m iz at ion   pro blem s.  W it h  sm al l   popu la ti on   siz e,  i.e.  ≤ 10,   LaF  co ns ist en tl y  and   su cce ssfu ll y  fin d  t he  opti m a l  so luti on   of   lo w   dim ension al   (   ≤ 5 )  op ti m iz a tio n  pro blem s  with  ine qu al it y   co nst raints  on ly   a nd  the   lo w  di m ension al   (   ≤ 2 )  pro blem   with  on ly   one  e qu al it y  const raint.  W it h  popula ti on  siz e,  i.e.   ≥ 100,   La F  can   opti m all y  so lve   any h ig h  dim ension al  co nst raine d  no n - li near   op ti m izati on   pro blem   that  ha s  high  nu m ber   of  li near   i nequa li ty   con strai nt s  an d  no  non - li near  const raint.  La F  has   di ff ic ult y  in  so l ving  hig h  dim ension a l  op ti m iz a ti on   pro blem   with  non - li near   c on strai nts  and any  pro ble m  w hich  ha s m or e  tha n on e  equali ty  co ns t raint.    In   the  c om par ison   with  oth e r  m e ta heu risti cs,  LaF  has  be tt er  per f orm a nce  in  overall   ben c hm ark  pro blem s.  It  shou l d  al so  be   note d  t hat  the  c on st raint - ha nd l ing   m et ho d  use d  in   the  pro posed  al go rithm   i s  only   the  cl assic al   sta ti c  pen al ty   f unct ion  a nd  the  LaF  al gorit hm   us e d  in   this  st udy  is  the   ori gi na l  on e .  It  m ean s  that   there  is  a  big  possibil it y  to  us e  s om e  bette r  co ns trai nt - handlin g  m et ho d  or  to  m od i fy  the  ori gi nal  LaF  al gorithm  in  order t o o btain m uch b et te r  p e rfor m ance in  t he  fur the r  st ud ie s .             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   1 ,  Ja nu a ry 20 19   :   162   –   169   168   Table  6.  C om par iso n of S olu t ion s  Obtai ne d by the  Pro po se d Alg or it hm   an d othe r  Me ta he ur ist ic s     LaF   HS [ 1 3 ]   FA [ 1 4 ]   SCI [ 1 6 ]   DCI [ 1 6 ]   SDS [ 1 7 ]   DDS [ 1 7 ]   MCM  [ 1 8 ]   1   Bes t   - 15   - 1 4 .99 9   NA   - 1 4 .99 7   - 15   - 15   - 15   - 15   Mean   - 15   - 1 4 .95 9   NA   NA   - 1 4 .9   - 1 4 .8   - 1 2 .3   NA   W o rst   - 15   - 1 4 .89 3   NA   NA   - 13   - 6   - 13   NA   Std   7 .25 E - 16   0 .02 2 9   NA   0 .19 8 2   4 .5E - 01   2 .55 6 7   0 .01 8 1   0 .14 7 3   2   Bes t   - 0 .80 3 6   - 0 .72 5 5   NA   - 0 .80 3 6   - 0 .80 3 6   - 0 .80 3 6   - 0 .80 3 5   - 0 .80 3 6   Mean   - 0 .78 9 7   - 0 .70 0 9   NA   NA   - 0 .78 6 4   - 0 .79 2 0   - 0 .78 8 0   NA   W o rst   - 0 .76 9 2   - 0 .65 4 3   NA   NA   - 0 .73 9 5   - 0 .77 2 9   - 0 .77 4 3   NA   Std   0 .00 9   0 .03 9 7   NA   0 .03 6 1   0 .02   0. 0009   0 .00 0 7   0 .02 5 3   3   Bes t   - 1 .00 0 2   - 1 .00 0 0   NA   - 1 .00 1 3   - 0 .99 9 9   NA   NA   - 0 .99 9 7   Mean   - 1 .00 0 2   - 0 .98 8   NA   NA   - 0 .98 3 9   NA   NA   NA   W o rst   - 1 .00 0 2   - 0 .95 1   NA   NA   - 0 .73 9 5   NA   NA   NA   Std   2 .00 E - 06   0 .01 3 7   NA   0 .00 1 1   5 .0E - 02   NA   NA   0 .00 0 8   4   Bes t   - 30666   - 30665   - 306 65   - 30666   - 30665   - 30666   - 30666   - 30666   Mean   - 30666   - 30582   - 30665   NA   - 30665   - 30662   - 30666   NA   W o rst   - 30666   - 30405   - 30664   NA   - 30665   - 30599   - 30666   NA   Std   6 .00 E - 12   2 4 .25 6 7   0 .47 5 5   0 .04 5   4 .9E - 03   1 .49 6 8   0 .12 0 4   1 6 .17 5   5   Bes t   5 1 2 8 .6   5 1 1 2 .3   NA   5 1 1 9 .1   4232. 6   5 1 3 1 .3   5 1 3 1 .3   5 1 2 1 .2   Mean   5 2 5 3 .1   5 1 1 5 .2   NA   NA   4 8 9 6 .6   5 5 5 7 .3   5 7 4 5 .1   NA   W o rst   5 6 7 3 .6   5 1 2 5 .3   NA   NA   5 6 1 2 .5   6 1 1 2 .2   6 1 1 2 .2   NA   Std   1 6 4 .81   1 .25   NA   4 0 .42   3 .9E+0 2   4 3 .56   4 0 .64   4 2 .19   6   Bes t   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 1 .6   - 6 9 6 0 .5   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 1 .8   Mean   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 1 .3   - 6 9 5 6 .6   NA   - 6 9 6 1 .8   5 .9E+1 3   1 .8E+6   NA   W o rst   - 6 9 6 1 .8   - 6 9 6 0 .9   - 6 9 5 3 .5   NA   - 6 9 6 1 .8   2 .4E+1 5   3 .6E+7   NA   Std   0   0 .24 4 3   2 .19 2 8   1 .5E - 05   0   1 .1E+1 4   8 .1E+6   3 .8E - 07   7   Bes t   2 4 .30 8 4   2 4 .55 2   2 4 .38 0 5   2 4 .30 4 4   2 4 .32 8 1   2 4 .33 0 2   2 4 .31 5   2 4 .35 0 6   Mea n   2 4 .45 4 9   2 7 .61 2   2 4 .47 0 5   NA   2 4 .46 7 7   2 4 .34 1   2 4 .71 5 3   NA   W o rst   2 4 .82 4 2   3 1 .23 1   2 4 .60 2 4   NA   2 4 .98 7   2 5 .51 6 9   2 5 .53 3 6   NA   Std   0 .13 0 3   1 .65 4 5   0 .05 9 7   0 .22 1 6   0 .18   0 .03 8 2   0 .03 0 6   0 .21 3 5   8   Bes t   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 9   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 8   Mea n   - 0 .09 5 8   - 0 .08 0 7   - 0 .09 5 8   NA   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 9   - 0 .09 5 8   NA   W o rst   - 0 .09 5 8   - 0 .07 6 1   - 0 .09 5 8   NA   - 0 .09 5 8   - 0 .09 5 9   - 0 .09 5 8   NA   Std   4 .01 E - 18   0 .01 3 6   2 .88 E - 06   - 1 .1E - 12   2 .1E−1 2   0   0   6 .2E - 08   9   Bes t   6 8 0 .6301   6 8 0 .656   6 8 0 .8463   6 8 0 .6726   6 8 4 .1806   6 8 0 .63   6 8 0 .63   6 8 0 .673 8   Mean   6 8 0 .6307   6 8 0 .742   6 8 1 .0415   NA   6 8 4 .1996   6 8 0 .7093   6 8 0 .7132   NA   W o rst   6 8 0 .6321   6 8 0 .779   6 8 1 .2603   NA   6 8 4 .2519   6 8 0 .9682   6 8 1 .1324   NA   Std   4 .59 E - 04   0 .07 2 5   0 .15 3 3 6   0 .25 9 8   1 .66 E - 02   0 .00 8 2   0 .00 1 1   0 .28 8 2   10   Bes t   7 0 8 1 .5   7 0 8 2 .6   NA   7 0 5 1 .8   8 6 4 8 .2   7 0 5 8 .1 9   7 0 5 6 .7 6   7 0 5 1 .9   Mean   7 2 3 9 .8   7 1 1 0 .2   NA   NA   9 2 8 6 .5   7 2 9 7 .5 9 5   7 3 5 0 .3 5   NA   W o rst   7469   7 1 1 0 .3   NA   NA   1 1 7 4 5 .2   7 6 2 1 .0 0 5   7 8 4 6 .7 9   NA   Std   1 1 1 .7   2 .08 5 4   NA   1 1 .55 8 6   8 .6E+0 2   1 6 .58 1   2 0 .04 2   1 5 .38 8 1   11   Bes t   0 .74 9 9   0 .74 9   0 .74 9 0   0 .74 9 7   0 .75 0 1   - 0 .74 9 9   - 0 .74 9 9   0 .74 8 9   M ean   0 .74 9 9   0 .74 9   0 .74 9 0   NA   0 .77 9 8   - 0 .84 5 7   - 0 .77 3 1   NA   W o rst   0 .74 9 9   0 .74 9   0 .74 9 0   NA   0 .88 0 1   - 1   - 1   NA   Std   6 .50 E - 08   3 .0E - 06   3 .42 E - 06   0 .00 1 3   3 .5E - 02   0 .01 1 6   0 .00 6   0 .00 1 1   12   Bes t   - 1   - 0 .99 0 9   - 0 .99 9 9 5   - 1   - 1   - 1   - 1   - 1   Mean   - 1   - 0 .95 2 5   - 0 .99 9 9 5   NA   - 1   - 1   - 1   N A   W o rst   - 1   - 0 .89 1 3   - 0 .99 9 9 5   NA   - 1   - 1   - 1   NA   Std   0   0 .08 8 8   7 .78 E - 07   1 .6E - 12   1 .4E−0 9   0   0   0 .00 2 5   13   Bes t   0 .17 8 9   0 .05 7 1   NA   NA   NA   NA   NA   NA   Mean   1 .07 8 5   0 .05 9 5   NA   NA   NA   NA   NA   NA   W o rst   4 .95 1 1   0 .07 0 3   NA   NA   NA   NA   NA   NA   Std   1 .51 9 4   0 .07 2 6   NA   NA   NA   NA   NA   NA   NA =  No t Availab le   Std  =  Stan d ard De v iatio n       REFERE NCE S    [ 1 ]    Bashat h  S,  Ismai l  AR.  Com par ison  of  Sw ar m  Inte ll ig ence  Algorit hm s  for  High  Dim ensio nal   Optimizati o n   Problems .   Indone sian J ournal   of   El e ct rica l  Eng in ee ring a nd   Computer  Sc ie nc e .   2 018;  11(1):   300 - 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