Indonesi an  Journa l  of El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   13 ,  No.   2 ,  Febr uar y   201 9 , pp.  6 57 ~ 6 64   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v1 3 .i 2 .pp 6 57 - 6 64       657       Journ al h om e page :  http: // ia es core.c om/j ourn als/i ndex. ph p/ij eecs   Analysis  theorem  of un ique comm on  fixe d  point f o r f our map s  based on  partial  – b –   m etric sp aces       Ban M ohamm ad   Ha s an , Ha yd er  Abdul am eer A bb as   Middle   Te chn ica l  Univer si t y ,   Tec hnic a l  Instruc tor s T rai n ing  Insti t ute ,   Baghd ad, I r aq       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   Oct   6 , 2 018   Re vised  N ov   2 1 , 2 018   Accepte d  Dec   3 , 2 018       A In   thi s   pap er,  An i m porta nt   d e fini ti ons   ar e   to   b e  used   to   prove   t he exi st ence   of  a  comm on  fixe d  point   the or em  for  four   m appi n gs  inc om ple te,  p art i al   –   b  –   m et ric   spa ce s,   a s  well   as  prov e  a  unique  comm on  fixe d  po int   b y   assum ing   anot her   point  an d  getting   that,   th ese   poin ts  ar e  f i nal l y   equ al .   W e  pre sente d   a n   exa m ple   thus e n hanc ing   us t h e  o utc om e.   Ke yw or d s :   Curtailm ent   Partia l b - m et ric sp ace   Partia l m e tric  sp ace   Weak ly  c om pa ti ble  m app in g   Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .     Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Ba n  Mo ham m ad Hasa n ,     Tech nical  Instr ucto rs  T raini ng Insti tute ,     Mi dd le  Tec hnic al  U ni ver sit y,  Ba ghda d,   Ir a q.   Em a il : haed er _a bid@y a hoo.c om       1.   INTROD U CTION   In   1989,  Ba kht in  [1 ]   ap pro ve d  the  idea  res pec ti ng   a  quasi – m et ric  sp ace  as  a  gen e rali zed  c oncept  a bout   m et ric  sp aces.  In  19 93,  Cz er wik  [ 2,   3]  ex pa nd e d  a bunda nt   upshots  c on c ern i ng  f or  b –   m et ric  sp aces.  In   19 94 ,   Ma tt hew s  [4 ]   f ound  t he  c onnota ti on  co nce r ning  par ti al   m et ric  sp ace   at   t he  sel f  -   distan ce  in   co nnect ion  with   any  point  ab ou t  sp ace  m igh t  no t  eq ual  zer o.   I n  19 96,  O' Neil l  assur e d  th at   a  conn otati on   for   par ti al   m e tric   sp ace   thr ough  gr a nti ng  neg at iv e  di sta nces.   I n  20 13,   S hukla  [ 5]  a ssu re d  to gethe r  t he  c onnota ti on  a bout  b - m e tric   &  par ti al   m e tric   sp aces  via  se nd  in  the  pa rtia l  b - m et ric  sp aces.  Fo r  e xam ple,  researc hers  ex plored  th e  co nc ept  &   it s g ene rali zat ion s  in  sev e ral  kinds  of m et ric  sp aces  [6 - 10] .    W it hin  this   res earch ,  we   pr oved  a   c omm on   fixe d  point  t he or em   for   f our   m aps  in   par ti al   b  –   m et ric  sp ace  a nd  in   th is  pa per   we  ge ner al iz e  bo t h  t he  c on ce pts  of  b - m et ric  and  par ti al   m et ric  s paces  by  intr oduci ng   the  par ti al   b - m et ric  sp ace .  An  anal og  of  t he  com m on   fixe d  point  t heorem   f or  f our  m aps  in  pa rtia l  b  –   m et ric  sp aces  is   pro ve d.   So m e  exa m ples  are  include d  w hich  il l us trat e  th e  re s ults  obta ine d  i n  new  s pace.  First,  we  recall  so m e d ef init ion s  from  b - m et ric and   part ia l  m et ric sp aces.     Def ini ti on  1.1 .   [ 11 - 13 ]   Let   X   be  a   no nem pty  set   an d  le t  s   ≥   1  be  a   gi ven  re al   nu m ber .   A   f un ct ion   d:  X  × X →[ 0, ∞ )   is cal le d  a  b - m et ric if for al l x , y, z  ∈   X  the  foll ow i ng con diti on s a re s at isfi ed:   (i) d( x, y) =  0  i f  a nd only  if  x = y ;   (ii) d( x,  y)  =  d(y , x);   (iii )  d(x , y) ≤ s [d(x ; z )  +  d(z;  y)] :   The pai r ( X,   d) is   cal le d  a  b - m et ric sp ace . T he  num ber  s ≥  1 i s call ed  the  c oeffici ent  of   ( X,   d)     Def ini ti on   1.2.   [4 ]   Let   X  be  a   nonem pty  set .   A  f un ct io n  p:  X  ×X→ [ 0, ∞ )  is  cal le d  a  par ti al   m et ric  if  fo r   al l  x,   y, z  ∈   X  t he  f ol lowing c onditi on s  are  sati sfie d:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   2 ,  Fe bru ary 2 019   :   6 57   –   6 64   658   (i) x = y i f  a nd   on ly  if  p(x,  x)  = p(x , y)  =  p(y,  y);   (ii) p( x,   x) ≤  p( x,  y );   (iii )  p(x , y)  =  p(y,  x) ;   (iv) p( x,  y)  ≤ p (x, z) +  p( z , y)  -   p( z;  z ):   The pai r ( X; d)  is cal le d  a  pa rtia l  m et ric sp ace.     Rem ark  1.3   A pp a re nt  the  pa r ti al   m e tric   sp ace  no t  necessit y  be  a  m et ric  sp a ces,  ∵   i n  a  b  -   m et ric  sp ace  w heth e r   v  =  w ,  ⟹   d ( v, v) =  d ( v,   w ) =  d   (w,  w) =  0. in a  pa rtia l  m e tric  sp ace i f v  = w   ⟹ p(v ,  v)  =  p(v ,  w )  =   p( w,   w )  no t  neces sary  be   =  0.   The nce  t he  par ti al   m et ri c  sp ace   not  nec essary  be  a   ь -   m et ric   sp ace.     So  t he  el se  dire ct ion , Sh ukla  [5] p resse d  the   conn otati on of  a p a rtia l b - m etr ic  sp ace  as  pu rsu e:     Def ini ti on   1.4.  [ 5]   If V  b e   ≠ ∅   set  &  Ṥ   ≥ 1  be  a  g i ven ℝ . fu nctio n       ь :   × →   [ 0 , ∞ )   is  expressin g  a  par ti al   b  –   m et ric  if  ∀   v,   w ,  z  ∈   V  the  fo ll owin g  conditi ons  are  convinc e d:   i:  v  =  w  ⟺   P ь (v ,  v) = P ь   ( v,   w) =  P ь   (w,  w) ;   ii : P ь (v , v)  ≤ P ь (v, w);   ii i:  P ь   (v , w)  =  P ь   (w,  v) ;   iv: P ь   ( v,   w )  ≤   Ṥ [ P ь   ( v,  z )  +  P ь   (z, w) ]   -   P ь   (z ; z):   The (V;  P ь )  is  expressi ng a  pa rtia l ь - m et ric  sp ace.  Th e  am ount s  ≥1 the  param et er is called   (V, P ь  ).     Rem ark  1.5 .  The   ki nd  of  pa rtia l  b - m et ric  sp ace   ( V,  P ь )   is   the   m os t  ef fec ti ve  w ay   the   ki nd  of   pa rtia l  m et ri c   sp ace   ∵   a  par ti al   m et ric  sp ace  is  a  co nd it io n  s ha pe  from   a  par ti al   b - m et ric  sp a ce.  ( V,  P ь   )   w hi le   s  =  1.   Like w ise ,  the  kind   of   pa rtia l  b - m et ric  spa ce  ( V,  P ь )   is   ef fecti ve  way  bi gger   tha n  the   kind  from   ь - m et ri c  s pace,   ∵   a  ь - m et ric   sp ace i s a  priva te  co ndit io n  f r om  a p arti al  ь - m et ric sp ace ( V,   P ь ) wh il e th e sam e  –   area  p (v ;  v) =  0.     The   ne xt  e xa.  a rtic ulate   this   one  a   par ti al   ь - m et ric  on  V  re qu i rem ent  no t   be  a   par ti al   m e tric ,  neither   a   b - m et ric o n V,   look as  w el l [ 14] , [5].     Exa m ple 1 .6.  [ 5]   Allo we d V  = [ 0,1) .  Real iz e a fu nction  ь :   × → [ 0 , ∞ )   S. T.      P ь   (v ;  w )  =  [m ax.   { v,   w}] 2 +  |v  –   w| 2   ,  ∀   v,   w  ∈   V  there f or   ( V,   P ь )  is  a  par ti al   b - m et ric  m e tric   &  al so   not  a  pa rtia l  m et ric to V .     Def ini ti on   1.7. [ 14]   An y  pa rtia l b - m et ric P ь   is k now n  a  b  –   m et ric  ь   whoses oev e r   ь   ( v,   w) =  2 P ь   ( v;  w )   – P ь   ( v,   v)  –   P ь   (w,  w),  ∀   v,   w  ∈   V.      Def ini ti on   1.8. [ 14]  A  se quen ce {v n } i n  a  pa rtia l b - m et ric  sp ace  (V, P ь   )  is  call ed:   1 -   P ь – c onve rg e nt for v   ∈   V  if   li m → ∞ P ь   ( v , )   = P ь   ( v , v )   2 -   P ь –   Ca uc hy  seq uen ce  if  li m , → ∞ P ь   (   , v )   subsist  &is  finite ;   3 -   par ti al   b - m et ric  spa ce  (V,   P ь )  becam e  P ь – com plete   wh et he r  ∀   P ь – Ca uc hy   s equ e nce   { v n }  i n  V   is  P ь   c onve rg es  for v  ∈   V, S. T.     li m , → ∞ P ь   (   , v ) =   li m → ∞ P ь   (   , v ) =   P ь   (   v , v )     Le mma  1.9.  [ 14]   A  seq ue nce {x n }  is  a P b - Ca uch y  s eq ue nce in   a p arti al   b - m et ric  sp ace  ( X,  P b )  if   an d  only   if   it  is a b - Ca uc hy s equ e nce i n  t he b - m et ric sp ace  (X ,     ).     Le mma  1.10.   [ 14]   A   par ti al   b - m et ric sp ace  ( X, P b )  is  P b - c om ple te  if a nd  only  if  the   b - m et ric s pace  ( X,  )  is  b - c om plete . Mo re over,   li m , → ∞   (   , x )   = 0  i f  and  on ly  if     li m , → ∞ P   ( , x ) =   li m → ∞ P   (   , x ) =   P   (   x , x )     Def ini ti on  1.1 1   [ 15] :  A  &   S   two  sel f - m aps  f ro m   a  m et ric  sp ace  ( V ,   d )   are   desig natio n  we akly   com patible   if,   a t   coincide nce  po ints th os e c omm ute .   Wh ic h,   in case  A v  =  S v  ⇒   ASv =S A v  f or v i n V.   Pr ese ntly  w e  dem on strat e  our  essen ti al  outc om e.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       An alysis t he ore m of uniq ue  c omm on fi xed  point f or f our  m ap s  base d o n p ar ti al …   ( Ba n Mo hamma d H a san )   659   2.   MA I N RES U LT S   Theorem :  2.1 :   aLet   ( , ь )   be  a   pa rt ia l  ь  –   m et ric  s pace  f or  the  c oe ff ic ie nt  Ṥ ≥ 1 ,  co nsi gn   ₳  ,Ƀ ,Ҫ  ,Ɖ :  V→ V be  m app in gs  a ppr opriat e the  ne xt   (2.1. 1)  Ṥ . ь ( ₳ , Ƀ ) ≤   m ax.   { ь ( Ҫ , Ɖ ) , ь ( Ҫ , ₳ ) , ь ( Ɖ , Ƀ ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ , Ƀ ) + ь ( Ɖ , ₳ ) ] }   Wh e re  K ∈ [ 0 , 1 Ṥ   )   , ∀   , ∈       (2.1.2 )  ₳ ( ) ⊆ Ɖ ( ) , Ƀ ( ) ⊆ Ҫ ( )     (2.1.3 )   with  reg a rd to  Ҫ(V) or  Ɖ( V )  i s co m plete  su bspace  of V.     (2.1.4 )   the (₳; Ҫ )  &( Ƀ , Ɖ)  a re  weak l y com patible .     So   ₳, Ƀ, Ҫ  &  Ɖ  incl ud e  uniq ue  c omm on  f ix ed po i nt in V     Pro of   :  Sele ct   0 , 0   ∈ . F r om  ( 2.1.2 )   ∃ , s eq uen ces   { }   &  { }   in  V  s .t.      ₳ 2 = Ɖ 2 + 1 = 2     Ƀ 2 + 1 = Ҫ 2 + 2 = 2 + 1   ∀   n= 0,1,2, 3, … …….     St atus : (i): - As sume   2 =   2 + 1   for  s om e n .     Clam :     2 + 1 = 2 + 2   Supp.  2 + 1 ≠ 2 + 2   Fr om  ( 2.1 .1)  , t hen       Ṥ .   ь ( 2 + 1 , 2 + 2 )   =  Ṥ . ь   ( ₳ 2 + 2 , Ƀ 2 + 1 )       ≤   k  m ax.   { ь ( Ҫ 2 + 2 , Ɖ 2 + 1 ) , ь ( Ҫ 2 + 2 , ₳ 2 + 1 ) , ь ( Ɖ 2 + 1 , Ƀ 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ 2 + 1 , Ƀ 2 + 1 ) + ь ( Ɖ 2 + 1 , ₳ 2 + 1 ) ] }       =k  m ax.   { ь ( 2 + 1 , 2 ) , ь ( 2 + 1 , 2 + 2 ) , ь ( 2 , 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( 2 + 1 , 2 + 1 ) + ь ( 2 + 1 , 2 + 2 ) ] }     =k  m ax  { ь ( 2 + 1 , 2 + 1 ) , ь ( 2 + 1 , 2 + 2 ) , ь ( 2 + 1 , 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( 2 + 1 , 2 + 1 ) + ь ( 2 , 2 + 2 ) ] }       =k ь ( 2 + 1 , 2 + 2 ) ,     that i s a  discre pan cy .       ∴ 2 + 1 = 2 + 2       Stay  in  sam e d irect ion we  ab il it y rati ocinate that         2 = 2 +       ∴ { 2 }   a Cauc hy se quence in  V     St atus  ( ii ) : -   ≠ + 1   ∀   n .   Fr om  ( 2.1 .1),  c on si der     Ṥ . ь   ( ₳ 2 , Ƀ 2 + 1 )   ≤  { ь ( Ҫ 2 , Ɖ 2 + 1 ) , ь ( Ҫ 2 , ₳ 2 ) , ь ( Ɖ 2 + 1 , Ƀ 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ 2 , Ƀ 2 + 1 ) + ь ( Ɖ 2 + 1 , ₳ 2 ) ] }       =k  m ax  { ь ( 2 − 1 , 2 ) , ь ( 2 − 1 , 2 ) , ь ( 2 , 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( 2 − 1 , 2 + 1 ) + ь ( 2 , 2 ) ] }     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   2 ,  Fe bru ary 2 019   :   6 57   –   6 64   660       =k  m ax  { ь ( 2 − 1 , 2 ) , ь ( 2 , 2 ) , ь ( 2 , 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ Ṥ [ ь ( 2 − 1 , 2 ) + ь ( 2 , 2 + 1 ) ] ] }       =k  m ax  { ь ( 2 − 1 , 2 )   , ь ( 2 , 2 + 1 ) }     if  ь ( 2 , 2 + 1 )   is  m axi m u m , th e n     Ṥ . ь ( 2 , 2 + 1 ) ≤ ь ( 2 , 2 + 1 )       wh ic h  im plies      ь ( 2 , 2 + 1 ) ≤ Ṥ ь ( 2 , 2 + 1 ) < ь ( 2 , 2 + 1 )       wh ic h  is a  cont rad ic ti on.     Hen ce   ь ( 2 − 1 , 2 ) is  m axim u m .  So  that     Ṥ . ь ( 2 , 2 + 1 ) ≤ ь ( 2 − 1 , 2 )       i m plies t hat     ь ( 2 , 2 + 1 ) ≤ ь ( 2 − 1 , 2 )   (1)      Pu t  2 = ь ( 2 , 2 + 1 )     The n  2 n P   is dec rea sing seq ue nce  of no n - neg at iv e  ℝ & m us t co nverg es  to som e   ℝ       0 l . ( say )     Assum e  l   > 0     Let ti ng   n    in  (1),   we ob ta in       k l e l l s     Is  the  an ti nom y.     ⇒   l   = 0 .  S o     n lim ь ( w 2n , w 2n + 1 )   =0    (2)     Hen ce  for de f.1. 4     n lim ь ( 2 , 2 ) = 0   (3)     Fr om  ( 2) a nd (3) an d by  def in it ion  o f  b P d , we  ge t     n lim ь ( 2 , 2 + 1 ) = 0 .     Fo r  m  ,n ∈   with  m  > n , w e  ha ve   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       An alysis t he ore m of uniq ue  c omm on fi xed  point f or f our  m ap s  base d o n p ar ti al …   ( Ba n Mo hamma d H a san )   661   ь ( 2 , 2 ) ≤ Ṥ [ ь ( 2 , 2 + 1 ) + ь ( 2 + 1 , 2 ) ] − ь ( 2 + 1 , 2 + 1 )       ≤ Ṥ . ь ( 2 , 2 + 1 ) + Ṥ 2 ь ( 2 + 1 , 2 + 2 ) + ⋯ + Ṥ 2 − 2 ь ( 2 − 1 , 2 )       ≤ Ṥ . 2 + 1 Ṥ 2 + 1 ь ( 0 , 1 ) + Ṥ 2 2 + 2 Ṥ 2 + 2 ь ( 0 , 1 ) + ⋯ + Ṥ 2 − 2 2 Ṥ 2   ь   ( 0 , 1 )       = 2 Ṥ 2 [ + 2 + 3 + ⋯ + 2 − 2 ] . ь ( 0 , 1 )     As  1 0, k s     &  Ṥ ≥ 1 ,   it  foll ow s  fro m  the a bove  t hen     m n , l i m ь ( 2 , 2 ) = 0   (4)     The n  { 2 }   is a Ca uc hy se qu e nce i n V   Sam e that we c om p et ence li ke wise e vin ce t ha t { 2 + 1 }   is a Ca uc hy  seq uen ce  in V.   Subseque ntly   { 2 }   is a Ca uc hy se qu e nce i n V.   Accor ding to  L e m m a (1 .9) , w e n am e it { 2 }   is a  Ca uch y se quen ce in  (v,   ь ) .   Suppose Ҫ ( v)  i s a c om plete  su bs pa ce  of   V.     ∵   { 2 + 1 }   is a Ca uch y  s equ e nce i n  c om ple te  b - m et ri c sp ace  ( Ҫ( v), ь ) .      This is a  foll ow - up  { 2 + 1 }   co nv e rges to  w  i n Ɖ(V ).  S o        , lim n ь ( 2 + 1 , ) = 0   So m e o f w ∈ Ҫ ( ) .   ∃   ∈   suc h  that  Ҫ ∈   .       ∵   { 2 + 1 }   i s Cauc hy se quence   &   2 + 1 → .     It foll ows that  2 →     Accor ding to  L e m m a (1 .10 )  & (4),  we poss ess that       ь ( , ) =   , lim n ь ( 2 ,w) =   , lim n ь 2 + 1 ,w )  =  0    (5)     Her e  w e  ev i nc e it   , lim n ь ( ₳ , 2 ) =   ь ( ₳ , )     ∵   that de f.   of  b P d ,       ь ( ₳ , 2 ) = 2 ь ( ₳ , 2 ) − ь ( ₳ , ₳ ) − ь ( 2 , 2 )         Acc ordin g  t o def . of  b P d ( 4)   &  (5),   we p os sess t hat       ь   ( ₳ , ) = n lim   2   . ( ₳ , 2 )       i m plies t hat     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   2 ,  Fe bru ary 2 019   :   6 57   –   6 64   662   , lim n ь ( ₳ , 2 ) = ь ( ₳ , )   (6)     Fr om , d e f.   ( 1.4 )  w e  hav e     ь ( ₳ , ) ≤ Ṥ [ ь ( ₳ , 2 + 1 ) + ь ( 2 + 1 , ) ] − ь ( 2 + 1 , 2 + 1 )       =  Ṥ [ ь ( ₳ , 2 + 1 ) + ь ( 2 + 1 , ) ]     Allowi ng  n  ,          ∴   ь ( ₳ , ) ≤ Ṥ . n lim   ь ( ₳ , 2 + 1 )       = n lim   Ṥ . ь ( ₳ , Ƀ 2 + 1 )   ≤ n lim .  { ь ( Ҫ , Ɖ 2 + 1 ) , ь ( Ҫ , ₳ ) , ь ( Ɖ 2 + 1 , Ƀ 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ , Ƀ 2 + 1 ) + ь ( Ɖ 2 + 1 , ₳ ) ] }       =  n lim k.  m ax  { ь ( , 2 ) , ь ( , ₳ ) , ь ( 2 , 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( , 2 + 1 ) + ь ( 2 , ₳ ) ] }     =k. ь ( ₳ , )     It is cle ar t hat  ₳ = = Ҫ   .     ∵   the p ai r  ( ₳, Ҫ)  is a wea kly co m pat ible pair,   we ho l d      ₳ w  =Ҫ w     Her e  w e  d em on strat e that  .₳ w=w.   Co ns i der        ь ( ₳ , ) ≤ Ṥ [ ь ( ₳ , 2 + 1 ) + ь ( 2 + 1 , ) ] − ь ( 2 + 1 , 2 + 1 )     ≤ Ṥ [ ь ( ₳ , 2 + 1 ) + ь ( 2 + 1 , ) ]       Allowi ng  n  ,         ∴   ь ( ₳ , ) ≤ Ṥ . n lim   ь ( ₳ , Ƀ 2 + 1 )     ≤ n lim .  { ь ( Ҫ , Ɖ 2 + 1 ) , ь ( , ₳ ) , ь ( Ɖ 2 + 1 , Ƀ 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ , Ƀ 2 + 1 ) + ь ( Ɖ 2 + 1 , ₳ ) ] } q         =  n lim k.  m ax  { ь ( ₳ , 2 ) , ь ( ₳ , ₳ ) , ь ( 2 , 2 + 1 ) , 1 2 Ṥ [ ь ( ₳ , 2 + 1 ) + ь ( ₳ , 2 ) ] }     = ь ( ₳ , ) .       It is cle ar t hat  ₳w = w .       w  is  com m on   fixe d po i nt of  ₳  &  Ҫ.   Since, ₳ ( ) ⊆ Ɖ ( )   we ha ve  that w  =  ₳w =  Ɖ   ,   ∀   ∈ .   Fr om  ( 2.1 . 1),  ⟹   Ṥ . ь ( ₳ , Ƀ ) ≤ k.  m ax  { ь ( Ҫ , Ɖ ) , ь ( Ҫ , ₳ ) , ь ( Ɖ , Ƀ ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ , Ƀ ) + ь ( Ɖ , ₳ ) ] }     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       An alysis t he ore m of uniq ue  c omm on fi xed  point f or f our  m ap s  base d o n p ar ti al …   ( Ba n Mo hamma d H a san )   663   = k .  m ax  { ь ( , ) , ь ( , ) , ь ( , Ƀ ) , 1 2 Ṥ [ ь ( , Ƀ ) + ь ( , ) ] }     = ь ( , Ƀ )       It appare nt t his  Ƀ = = Ɖ   .     ∵   (Ƀ, Ɖ)  is  w ea kl y com patible  , so  t hat  Ƀ = Ɖ .     Ag ai n (2.1 .1) ,  ⟹     Ṥ . ь ( ₳ , Ƀ ) ≤ k.  m ax.   { ь ( Ҫ , Ɖ ) , ь ( Ҫ , ₳ ) , ь ( Ɖ , Ƀ ) , 1 2 Ṥ [ ь ( , Ƀ ) + ь ( Ɖ , ₳ ) ] }       = k. m ax  { ь ( , Ƀ ) , ь ( , ) , ь ( Ƀ , Ƀ ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ , Ƀ ) + ь ( , Ƀ ) ] }     = ь ( , Ƀ )       It is cle ar  t hat   = Ƀ =   Ɖ .       w   is com m on   fixe d po i nt of  ₳,  Ƀ,  Ҫ &  Ɖ.     Now   we   dem on strat e  t hat  w  is  uni qu e   c omm on   fixe d  poi nt  in   V.   Let   us  ass um e  z   is  oth er   c omm on   fixe d po i nt of  ₳, Ƀ,Ҫ   &  Ɖ.     Cl aim  :   =   .     Fr om  ( 2.1 .1),   ⟹       Ṥ . ь ( , ) ≤ Ṥ . ь ( ₳ , Ƀ )       ≤ .  { ь ( Ҫ , Ɖ ) , ь ( Ҫ , ₳ ) , ь ( Ɖ , Ƀ ) , 1 2 Ṥ [ ь ( Ҫ , Ƀ ) + ь ( Ɖ , ₳ ) ] }       =k.  m ax  { ь ( , ) , ь ( , ) , ь ( , ) , 1 2 Ṥ [ ь ( , ) + ь ( , ) ] }     ≤ . ь   (   , ) .         It is cl ear t hat  = .     Hen ce   w   is  the  un i qu e   com m on   fi xed   point  of  ₳,   Ƀ,  Ҫ &  Ɖ .   T he  ne xt  e xam pl e  Cl ear  up  ou r  su bst antia l  The or em  2 .1.     Exa m ple  2.2 :   Au t horize  = [ 0 , 1 )   be p arti al  b - m et ric sp ace  with.   ь :   × → [ 0   , ∞ )   reali ze b   ь ( , ) = [  . { , } ] 2   , ∀   , ∈   .   Cl early   ( , ь )   is pa rtia l b - m et ric sp ace wit h  Ṥ =2 .   Re al iz e the m a pp i ng  ₳ , Ƀ , Ҫ , Ɖ :   →   by     a.   ₳ ( ) = 2 2   √ 1 +   ,   Ƀ ( ) = 2 4   √ 1 +     b.   Ҫ ( ) = 2 ,     Ɖ ( ) = 2   .       So  ₳ , Ƀ , Ҫ &   Ɖ   co ntent   with  e ver y   sti pu la ti on  of  t heorem   ( 2.1)  &   0 i s   the   un i qu e   fixe d  point  of  ₳   ,   Ƀ ,   Ҫ &  Ɖ       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   13 , N o.   2 ,  Fe bru ary 2 019   :   6 57   –   6 64   664   3.   CONCL US I O N   In  this   pap e r,  w e  gav e   a   new ly   fixe d  point   the or em s  f or  Pa rtia l  b - m et ric  sp a ce.  We   ho pe   th at   our   st ud y   con t rib utes to  the  dev el op m en t of these  res ults by  oth e r rese arch e rs.       REFERE NCE S   [1]   I.   A.  B akht in ,   Th e cont r ac t ion   principle i n   qua si met ric spaces,   It. Funct.  Ana l.,   30  (1989) ,   26 - 3 7.     [2]   S.  Cz erwik ,   Nonline ar   set - v a lue d   cont r action   m appi ngs  in  b - m et ric  spac es,   Atti   Sem .   Mat .   Fis .   Univ.   Mode na.  46   (1998),   263   -   27 6.   [3]   C.   Vetr o a,  F.   Vetr ob ,   Com m on  fixe d   poin ts  of   m appi ngs  sat isfy ing   impli ci t   re l at ions  in  p art i al  m et ric   sp ac es ,   J ournal   of  Nonli n ear  Sc i enc es  and   App licati ons ,   6  (2013) ,   152 - 161 .   [4]   S.  G.  Ma tt he ws ,   Partal  m et r i c  topo log y   Proc .   8th   Sum m er  Confer ence  on   Gen era l   Topo log y   a nd  Ap pli c at ions ,   Ann.  N.Y.  Aca d .   Sc i.,   728  (1994) ,   183 - 197.   [5]   S.  Shukla,   Pa rti al  b - m et ri c  spa ce s  and   fix ed  poi nt  th eor ems ,   Me dit err ane an   Jour nal   of   Mathe m a tics,  doi :101007/ s 00009 - 013 - 0327 - 4,   (20 13).   [6]   A.  Kae wch a roe n,   T.  Yu y ing ,   Uniqu e  common  fixe d   poin t  t he ore m s  on  p artial  m et ri c  spa ces ,   Journal   of   No nli near  Sci en ce s and   Ap pli cations ,   7   (20 14),   90 -   101.   [7]   Krant i  Vith al   Ghag ,   Keta n   Shah"Conce p tu al   Sen ti m ent  Anal y s is  Mod "   I nte rnational   Jo urnal  of  Elec tri cal   a n d   Computer  Engi n ee ring ( IJE C E)   Vol. 8  ,   No.4   Augus t,   2018.   ,   pp.   2358~2366   [8]   T.   Abdeljawad,   J.  Al za bu t,   A.  Mukheimer,   Y.  Za id an,  Banach  cont r action  p rinc iple  for  C y c l ic a l  m appi ngs  o n  par tia l   m et ric   spa ce s,   F i xe d  Poi nt   Theor y  and  Appl i catio ns,   2012,   2012:1 54,   7   pp.   [9]   Abhishek  Sharm a  ,   Ta run   Gulat   Ch ang e   Dete c ti on   from   Remotely   S ense d  Im age s  B ase d   on  St at ion ar y   W ave le t  Tra nsform   Inte r nati onal   Journal   of  Elec tri cal  an d  Computer  Eng ine ering   ( IJE CE ) ,   Vol. 7,   No.6,  Dec ember2017,  pp.   3395~3401   [10]   H.  Nashine a,  M.  Im dadb ,   M.  Hasanc ,   Co m m on  fixe d  poi nt  th eor ems   und er  r at ion al  contr ac t ions  in   compl ex  v al ued   m et ric   spa ce s,   J ournal  of  Non li n ear  Scienc es  and   Applications ,   7   (2014),   42 - 50 .   [11]   W .   Shata nawia ,   H.  Nashin e b,   A ge ner al i za t i on  of  Bana ch ' s c ontra c ti on  prin ciple  for  nonl ine a r   cont ra ct ion in  a part i al  m et ric   spa ce,  Jo urnal  of  Non li ne ar Sc ie n ce s and   Appl ic a ti ons,   5  ( 2012),   37 - 43 .   [12]   H.  A y di ,   Som e  fix ed   point r esult s  in   orde r ed   par tial   m et ri c   spac es,   Journal   of   Nonli near   Scien ce s and   Appl i cations ,   3   (2011),   210   -   21 7.   [13]   H.  A y di,  M.  Bota,  E .   Kar api nar ,   S.  M i tro vic ,   A  fixe d   poi nt  the or em  for  s et   va lue d   quasi - cont ra ct ions  in  b - m et ric   spac es,   Fixe d   Po int   Theory   and  its   Appl i cat ions,   2 012,   2012:88 ,   8   pp.     [14]   Z.   Mus ta f a,  J.  R .   Roshan ,   V.  Parv ane h ,   Z.  Kade lburg ,   Som e  comm on  fixe d  p oint   r esult  in   or der ed   par t ia l   b - m et ri c   spac es,   Journal of  Ine qua li t ie s a nd  Applications,   (2013),   2013:56 2.   [15]   K. J ha,   R. P.   Pant and   S.L .   Si ngh,   On  th e ex ist enc e   of com m on  fixe d   point s  for   compati bl e m ap pings,  Pun jab U niv .   J .   Math . ,   37  (2005 ) ,   39   –   48 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.