Indonesi an  Journa l  of El ect ri cal Engineer ing  an d  Comp ut er  Scie nce   Vo l.   1 3 ,  No.   3 ,  Ma rch   201 9 , p p.   9 74 ~ 981   IS S N: 25 02 - 4752, DO I: 10 .11 591/ijeecs .v1 3 .i 3 .pp 9 74 - 9 81          974       Journ al h om e page :  http: // ia es core.c om/j ourn als/i ndex. ph p/ij eecs   S ca l ar i zin g f un ctions in  so lving mu lti - object ive pr oblem - an  evolutio nary app roac h       D.   V as um athi ,  S.  Th ang av el u   Depa rtment  o f  C om pute r  scie n ce  and  Eng ine e ring ,   Am rit a   school   of  engi n ee r ing,  Am rit a  Vishw a Vid y ap eetha m ,   I ndia       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   J ul  6 ,  2018   Re vised Dec  5 ,  2018   Accepte d  Dec   2 2 , 201 8       Scal ar iz ing   func ti ons  had   long  bee n  observ ed  for  opti m izati on   of  m ult i - obje c ti ve   prob lem s.  Scalari z ing   func ti ons   on   m ult i - obj ective  pro ble m   a long   with  Diffe r ent i al  Evol ut ion  (DE)  al gorit hm   var ia n ts  had  be en  used   to  an aly z e   the   ef fect  of  sc al ar iz ing   func t io ns.  The   m ai n   p urpose  is  to  fin d  the   b et t er   sca la r iz ing   func ti on  which   ca n   be  applied  for  opti m iz ation.   T he  eff ec t ive  soluti on  of  th e  m ult i - obj ective   pr oble m   depe nds  o n  the   var ious  factors  li ke  th e   DE  al gor it hm   an d  the  sca la r iz ing   func ti ons  used .   Multi   ob je c ti ve   e volu ti on a r y   al gorit hm   (MO EA)  fra m ework  in  j ava  had  b e en  used  for   per form ing  the  ana l y sis.   The  Obtai n ed  resul ts  show ed  that  T che b y sheff  s ca l ariza t i on  func ti o n   per form s  bet ter   tha n   the  oth er   sca l ari z ing  fun ct ions  on   var io us  indi c at or   func ti ons used .   Ke yw or d s :   Diff e re ntial  evoluti on   Indicat or fu nctions   MOEA  fram e work   Mult i - obj ect iv e pro blem s   Scal arizi ng fu nc ti on s   Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .     Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   S.  T ha ng a velu ,   Dep a rtm ent o f C om pu te r   sci e nce a nd E ng i ne erin g ,   Am rita  V ishw a  V idya peetham , In dia .   Em a il :   s_ than ga vel@c b. am rit a.ed u       1.   INTROD U CTION   Re centl y,  Dif f eren ti al   e vo l ution  has   at trac te d  c on si der a bl e  researc h  in te rest  in  m ulti - obj ect ive   op ti m iz ation   i n  the   dom ai n  of  evo l ution a ry  al gorithm .  O n  c om par ison   with   tradit ion al   al go rithm s,  DE  is   f ound  to  be   pe rfo rm i ng  bette r   on  di ff e ren t  pro blem s.  The   m a in  researc h  iss ue  fo c us es  on  perform ance  eval uation,   fitness   assig nm ent  an d  div e r sit y  m ai ntenance   w he re  our   m ai n  goal   is   pe rfor m ance  e va luati on .   Re ce ntly   so m e   works  on an al y zi ng   pe rfor m ance ar e als o don e [ 1].    A  M ulti - ob j ec ti ve  prob le m   ( MOP)  is   de fin ed  as  a n  op ti m iz at ion   pro bl e m   with   se veral   ob j ect ive  functi ons  with  decisi on  var ia bl es in th e  f easi ble r e gion   Ω .  M at hem a ti call y i t i s g ive n  in   equ at io n ( 1)     min ( ) = ( 1 ( ) , 2 ( ) … . ( ) )   (1)     wh e re  ∈   Ω   A  pro blem   wh i ch  has  o ne  o r  m or e  obj ect ive   is  cal le d  m ulti - ob j ect ive prob lem .  Scal arizi ng fun ct io ns,   in  gen e ral,  a re   us e d  f or  dec om po sin g  a   m ulti - obj ect ive   pro blem   into  sever al   sin gle   ob j ect ive  pro blem s.   Objecti ve   f unc ti on s   are   denot ed  by ( ) .  Eac h  m ulti - obj ect ive   pro blem   will   ha ve  seve ral  obj e ct ive  f unct ions  and se ver al   de ci sion   var ia ble s.      Diff e re ntial   Evo l ution   ( DE)   is  an  ev olu ti onary  al gorithm   for  opti m iz ing   a  pro blem   iterati vely   for  i m pr ovin g  t he   qu al it y  of  the   cand i date  s ol ution .   Dif fer e ntial   ev olu t io n  ha s  been  fou nd  t o  pe rfor m   bett er  on  sta bili ty   [2 ]   th us , d if fer e ntial   evo l ution  is us ed  f or p er form i ng  ex pe rim ent s  f or  so l ving MOP  us in g  sca la rizi ng  functi ons.   A   num ber   of  scal a rizi ng  functi on s  e xist  in   li te ra ture   w hich   a re  us e d  for   pe rfo r m ing   e xperim e n ts  on  diff e re nt  m ulti - obj ect ive   opti m iz at ion   al gori thm s.  Penalty   boun d  i ntersecti on  ( PBI ),  Tch e bysh e ff  a nd  we igh te d  su m   are  com m on ly   us ed   scal arizi ng   f un ct io ns   for  a ny  ex pe rim ents.  Hen c e,  these  a re  us e d  on   t he  e xp e ri m ents   perform ed  in t his a naly sis.      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Sca l ar izi ng fu nc ti on s i n  s olvin g mu lt i - ob je ct iv e p r oble m - an  evoluti onary   appro ac h   ( D.Va su m ath i )   975   DE  s te ps  inclu des  i niti al iz at i on,  m utati on ,   reco m bin at ion  an d  sel ect ion .   I niti al iz at ion   par t  a ssig ns  lowe r  an d  uppe r  bo und  to  e ach  of  the  ta r get  va riable    in  can dida te s  of  the  popula ti on   a nd  gen e ra te   the  cand i dates  wit hin   that  bounda ry.  Muta ti on   gen e rates  do nor  vecto r    based   on  weig hted  dif fe ren ce  of  t w o  diff e re nt  ca nd i dates  a nd  a dding  with  a nothe r  ca ndidate   ,  in   wh ic h  t he  m et ho d  of  sel ect ion  of  ca nd i date  de ci des   the  ty pe  of   DE   var ia nt  as  DE /rand   or  DE/ be st .  A  T rial   ve ct or   is  pro du ce d,   w hich  is  de no te d  by    pr oduce d  from   do no r  ve ct or   a nd  ta r get   vecto r.  Sele ct ion   m echan is m   sel ec ts  bette r  s olu ti on  ei th er  f r om   tria l  vector   or  ta rg et   vecto r.   Af te r   DE  is  a pp li ed   an d  fin al   popula ti on   i s  fou nd,  they   are  ap plied  wi th  in dicat or   functi ons  f or  analy zi ng   th e  perform anc e  of  scal arizi ng  f unct ions.  Z DT1   ben c hm ark   pro blem   has  been   us e d  in  this  a na ly sis   with  four  di fferent  DE   al gorithm ic   var ia nts  s uch  as  DE/ran d/1 /bi n,  DE/r and/2 / bin ,  DE/ best/1/b in  a nd   DE/best/2/ bin   with  t he  scal a rizi ng  f un ct i on s   li ke  PBI ,  Weig hted   su m ,  Tc he b yshe ff,  M od if ie d  Tc he bysh e f f  [3 ] .   The   in dicat or  f un ct io ns  s uch  as  hyper  volu m e  an d  Inve rted  ge ner at io nal   distance   ( IGD)  are   us e d  for   an al yz ing  the  pe rfo rm ance  of  scal arizi ng   functi ons  on  s olv in g  M OP s  a nd  Tch ebys heff  scal arizat io n  functi on  is  f ou nd  to  perfo rm  b et te r t han   oth e r  scal arizi ng fun ct i ons.   The  div isi on  of  the   rem ai nin g  pap e r  is   as  fol lows   sect io n  2  inclu des  li te ra ture  s urvey  w hi ch  incl ud e s   basic  c oncepts   of   m ulti - ob j e ct ive  pr ob le m ,  scal arizi ng   f unct ions  s uc h  a s  Tc heb ys heff   (TS),   W ei gh te d  Su m   ( WS) ,   Pe nalty   Bo und  In te r s ect ion  (P B I),  Mod ifie d  Tch ebyshe ff  (MT S) ,   var ia nts  of  D E  al gorith m s  an d  ind ic at or  f or  perform ance  e valuati on.   Sec ti on   3  incl udes  e xp e rim ent al   proce dure ,   Sect io n  4  in cl ud es   exp e rim ental  r esults an d disc us sio n  a nd sect ion   5  c onta in t he  c o ncl us io n.       2.   LIT ERATUR E SU RV E Y   2.1.   DE vari an t s   a)   DE/r and/ p   It  is  a   gen e ral  s chem e  wh e re  s olu ti ons   are   pi cked  rand om l y.   F or  eac h  so l ut ion       ( ) ,  w he re    var ie s   from  1  to N  ve ct or  y is  obta in ed by eq uatio n (3)     = ( 1 ) + ( ∑ ( ( 2 , ) − ( 3 , ) ) = 1 )   (3)     In   t he  a bove  e qu at io n,  1 , 2 , , 3 ,   li es  in  1  to   N   an d  th ey   are  uniq ue  and  m utu al ly   e xclusi ve.   F   is  a   const ant  facto r   within  [ 0,   2].  Nu m ber   of  w ei gh te d  dif fe ren c e  is  giv en  by  .  Wh e n    is  1,   it   i s  DE/ra nd / 1  w here    1   is ra ndom ly  c ho s en .     is t he  d onor  vector o bt ai ned  i n  m utatio n.      b)   DE/best/p   This  DE   sc hem e  w orks   sim il ar ly   to  rand/p   sc hem e  excep t   th at   val ue  of  1 is  th e  m ini m u m   value  of  t he   var ia bles  in  s ol ution   for  m ini m iz at ion   prob l e m s.  If   val ue  of    is  cha ng e d  t o  2  t hen   it   is  DE/best/2 .  F or  each   so luti on     ( ) , whe re  k varies  fro m  1  to  N vect or y i s  ob ta ine d by the e quat io n (4)     = (  ) + ( ∑ ( ( 2 , ) − ( 3 , ) ) = 1 )   (4)     In  t he  ab ove e qu at io n,   1 , 2 , , 3 ,   li es in 1  to N a nd  t he y are uniq ue  a nd  m utu al ly  exc lusive.  C onsta nt   factor F,   is  within t he ran ge o f 0 to  2.    is n um ber  o f wei ght ed diffe re nce.     2.2.   Scala ri z ing  functio n   Scal arizi ng   f un ct ion s  pe rfor m   op e rati ons  on  i nd i vidual  obj e ct ives  with   eac h  ca ndidate   of  a  po pu la ti on  and  pro duces  a   sing le   fitness  va lue.  Fit ne ss  is  com par ed  am on g  the  par e nt  a nd  child re n  a nd  bette r  s olu ti on  go es   to the ne xt  generati on and  ref i ning  happe ns   f or each   ge nerat ion   pro duci ng  a b et te r Paret o fron t.     a)   Wei ghted s um   This  is   the   ba sic   scal arizi ng   f un ct io n  use d  on  al m os t  ev ery  scal arizi ng   ex per im ents  on  diff e ren t     pap e rs  [1 ] ,  [ 7]  and  [ 8].  W ei gh te d  su m   m ulti plies  weigh t  al ong  with  obj e ct ive.  Eac h  weig ht  sho uld   be  c ho s en   in  a  way  that  s um   of   wei gh ts   sh oul d  be   eq ua l  to  1  an d  a ny  weig ht  sho uld   li e  between  0  a nd  1.  It  is  ge ne rall y  represe nted by  the equat io n (5)        ( ) = ∑ ( ) = 1   (5)     Wh e re  w  is  we igh t a nd f(x) is  obj ect iv e f unc ti on .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   1 3 , N o.   3 ,  Ma rc h   201 9   :   9 74   –   9 81   976   b)   Tc heby s hef f   It  is   sli ghtl y  di ff e ren t   f ro m   w ei gh te d  s um   m et hod  in   w hich   fitne ss   is  cal c ulate d  with   ea ch   ob j ect ive   getti ng  s ub t rac te d  from   the  m ini m u m   value   of  the   obj ect iv e  in   the   w ho le   popula ti on  wh i ch   will   be   m ult ipli ed  al ong  with  wei gh t  w her e   any   ra ndom   weig ht  wil l  be   with in  ra nge  0  to   1[3].  Tc he bysh ef f  deco m po s it ion   is  m at he m at ic a lly give n by the  equ at io n ( 6)            ma x = 1 , … [ ( ( ) − ∗ ) ]   (6)     wh e re    represe nt  w ei ght,  ( )   is o bject ive  functi on a nd  ∗   is m inim u m  v al ue  of the  obj ect iv e  fu nction.     c)   P enalt y  B oun d Intersec ti on (PBI )   This  m et ho d  c al culat es  fitnes s  base d  on  s um   of   d1  a nd   d2  wh ic h  c orres ponds  t o  pro j e ct ion   vecto r  le ng th  ( ( ) − ∗ )   on  weigh t  vecto r  w  an d pe r pendicula r dist anc e  f ro m   ( )   to  w.   is  pen al ty   factor   w hich  i s   m ul t ipli ed  with   2   an d  a dded  alo ng w it h d 1. E quat ion ( 7) d e no te s the m easurem ent o f  f it nes s u si ng PBI .      min  ( | , ∗ ) = 1 + 2   s . t   ∈ Ω   1 = | | ( ( ) − ∗ ) | | | | | |   2 = | | ( ) − ( ∗ + 1 | | | | ) | |   (7)     ∗   represe nts   m i nim u m   value  of  the  obj e ct ive  functi on.  1   m ea su res   co nver ge nce  a nd  2 rep res ents  di versi ty .  Fr om   [7 ]   we  c om e  to  kn ow  that  PBI  is  able   to  co nv e rg e  c onve x  Paret o  f ront  la rg e  div e rsity   cor res ponds  t o  la rg e  values  a nd less  value  corres ponds t o  c onve r gen c e.     d)   Modifie d Tch ebys he ff:   Accor ding  to  [ 3]  m od ifie d  T cheb ys heff  is  sam e  as  weight ed  Tche bys he ff   e xcep t  t hat  weig hts  are  div ide d  i ns te ad  of  bein g  m ultip li ed.   It is  giv e n  m at he m at ic a l ly  in  eq uatio n  ( 8)     min ∈ Ω ℎ ( ( ) | , ∗ ) = ma x 1 ≤ ≤ { ( ) − ∗ }   8 )     it  is easy  to  ha nd le   nonlin ear  relat ion s hip s  by   m aking  t his  m od ific at ion  to  conv e ntio nal  Tche bysh e ff   [ 3] .       3.   RESEA R CH   METHO D   In  this  pa per,   f our  scal a rizi ng  f unct ions  nam ely  PBI,  Tche bysh e ff ,   Mod ifie d  Tc he bysh e ff   an d  Weig hted   su m   are  us e d  f or  e xp e rim ents  with  dif fer e nt  DE   va riants.   All  t he  e xperim ents  are   pe rfo rm e d  on   ZDT 1,   a   co nv ex  Pa reto   f ron t  pro blem   with  unif or m   weig ht    0.5  a nd  0.5 .  Cr os s ov e r  rate,  CR   an d  s cal ing  factor,  F  of   the  cro ss over  a nd  m uta ti on   oper a ti on s  of  D E  al gorithm   hav e  be en  set   with  0.1  and   0.5  res pect ively .  Popu la ti on size  is set as 100  a nd  eac h  ca ndid at e is def ine d wit h  30  decisi on v a riables.  Th e stoppin g  crit eria of  the  al gorithm   has bee n set   as  10000  functi on   evaluati ons. T he t otal  num ber   of  r uns  us e d i s  5 f or   al l  va ria nts  of  diff e re nt scala r iz ing   functi ons , A s  s how n  in   Figure  1 .           Figure  1 .   Proce dure  for per f orm ing  the e xper i m ent   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Sca l ar izi ng fu nc ti on s i n  s olvin g mu lt i - ob je ct iv e p r oble m - an  evoluti onary   appro ac h   ( D.Va su m ath i )   977   The  f ollo wing  F igure  1   repre sents  the  pr oce dure  use d  for  perform ing   the   analy sis .  To  c om par e  the   perform ance  in ver te d  generati on al   distan ce  a nd  hyper  vo l um e  has  bee n  use d  i n  order  to   m easur e  t he  qu al it y  of   non - dom inate d  so l ution o btained  in dif fer e nt  v aria nts b e ca us e  of d i ff e ren t  scala rizat ion f un ct io n.       4.   RESU LT S   A ND  DI SCUS S ION   The   pe rfor m an ce  res ults  of  t he   va rio us  D E  a lgorit hm s  on  t he  m et rics  I G D  a nd  H V  a re   gro up e d  f or   each scala rizi ng  functi ons.     4.1.   Analysis w ith   va ri at i on   of in dicat or func ti on s   a)   IGD   f or  w ei ghted  sum   F igure   2   s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on I GD m et rics u sing t he sc al arizi ng fu nction we igh te d s um .           Figure  2 .   Com par is on of  DE varia nts w it h I GD m et rics and   weig hted su m  scala riza t ion f un ct io n       DE/best/1   sta r ts  pe rfor m ing   bette r  on  init ia l  par t   of  fun ct ion   e valuati on  but  D E/best /2/bin   sta rt s   perform ing   bet te r  f ro m   functi on  eval uation  500.  DE/ rand/ 2  a nd  DE/ rand /1  init ia ll y  do e s  not  pe rfo rm   well   but  at   the  en d  of  m id  of  78 00  e valuat io ns   DE/ rand/1   an d  rand/2  sta rts  perf or m ing   well   and  at   the  en d  of  10 000  evaluati ons  DE /ran d/1  c onve r ging to wa rd s  the s olu ti on t ha n othe r DE  vari ants.     b)   IGD   M od ifie d  Tcheb ys he ff   F igure  3  s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on I GD m et rics u sing t he sc al arizi ng fu nction M od i fied  Tc he by sh ef f           Figure  3 .   Com par is on of  DE varia nts w it h I GD m et rics and  m od ifie d Tc heb ys heff scal arizat ion   f un ct i on   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   1 3 , N o.   3 ,  Ma rc h   201 9   :   9 74   –   9 81   978   Applyi ng  I GD  on  m od ifie d  tc heb ys heff  DE/ best/2  sta rts  t o  perf or m   bette r  than  al l  oth e r  var ia nts.  I n  500  f un ct i on  e valuati on  DE/r and / 2  sta rts  to   perform   bette r  than   best/ 1  a nd  ra nd / 1.  At   40 00  e valuati ons   be st/ 1  and ra nd / 2  cl as hes  a nd b est / 1 st arts p e rfor m i ng b et te r  t her e   after. DE/ra nd/1  perform s b et te r  ti ll  1 000 f un ct ion   evaluati on   an d  after   t hat  DE/ best/1   an d  ra nd/2   sta rts   pe rfor m ing   bette r.  At  the   e nd  ov erall   be st/ 2  pe rfor m s   bette r.     c)   IGD   Pen alt y B ou nd  In terse ction   F igure   4   s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on I GD m et rics u sing t he sc al arizi ng fu nction M od i fied  Tc he by sh ef f .           Figure  4 .   Com par is on of  DE varia nts w it h I GD m et rics and  PB I       Accor din g  to  PBI,  DE/ra nd / 2  sta rts  perfor m ing   bette r  i ni ti al l y  bu t  DE/ best/2  ov e rtak es  it   at   15 00   functi on  e valu at ion . D E/ra nd /1  trie s  to   pe rfor m   bette r  tha n  best/2   at   ar ound  en d  of 7 00 ev al uatio ns .   D E/best/ 2  sta rts  perf or m i ng   bette r  tha n  best/1  at   7800  evaluati on s  a nd  at   the  en d  D E/best/ 2  pe rfo r m s   bette r  accor ding  to  IGD  on p e nalt y fact or of t heta 1 . 0.     d)   IGD  Tc heb ysheff   F i gure   5   s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on I GD m et rics u sing t he sc al arizi n g f unct ion Tc heb ys heff .           Figure  5 .   Com par is on of  DE varia nts w it h I GD m et rics and  Tc he bysh e ff     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Sca l ar izi ng fu nc ti on s i n  s olvin g mu lt i - ob je ct iv e p r oble m - an  evoluti onary   appro ac h   ( D.Va su m ath i )   979   Applyi ng   I GD   m et rics  on   Tc he bysh e ff   scal a r iz at ion   f un ct io n,   DE/best/1  sta rts  to  pe rfo rm   bette r  f ro m   the  first  an d  at   the  m id  of   2300   functi on  ev al uation  DE/be st/ 1  and   DE/ be st/ 2  ov e rlap s  and   i n  the  m idd le   of   3500  f un ct io n  evaluati on  D E/best/ 2  sta rts  to   perform   bette r  and   at   the  e nd  DE/best/1  perform s  bett er  than  al l   oth e r variants .     4.2.   Analysis w ith   Va ri at i on  in  s calariz ing fun ctions   4.2.1   Wei ghted s um   F igure  6  s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on  HV an d IGD  m et rics u sin g  t he  scal arizi ng fun ct io n  weig ht ed  s um           Figure  6 .   Com par is on of  DE varia nts w it h  weig hted sum       Accor ding  to  hy per   vo l um e  th e  higher  one  pe rfor m s  bette r a nd   acc ordi ng   t o I GD  lo wer   one  pe rfo rm s  bette r.   Th us ,   ba sed  on  the   res ult  obta ine d  a bove   D E/ran d/2  pe rfor m s  bette r  in   wei gh te d  s um   and   acc ord ing   t o  IGD  rand/2  p e r form s b et te r.     4.2.2   Tc heby s hef f  s calariz at io n  f unct i on  c ompari son   F igure  7  s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on  HV an d IGD  m et rics u sin g  t he  scal arizi ng   f un ct io n Tche by sh ef f.           Figure  7 .   Com par is on of  DE varia nts w it h T cheb ys heff   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2502 - 4752   Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci,   Vo l.   1 3 , N o.   3 ,  Ma rc h   201 9   :   9 74   –   9 81   980   Accor ding  to  I GD   a nd  hype r  vo l um e,  DE/be st/ 1  gets  great er  value  on  hy pe r  volum e  and  low e r  valu e  on IGD  th us   producin g bett er  resu lt s.       4.2.3   Modifie d Tch ebys he ff   F igure  8  s ho ws  the   res ults   of  di ff e ren t  DE  var ia nts  vi z.  DE/ra nd/1,   DE/ra nd/2,   D E/best/ 1  a nd   DE/best/2 , on  HV an d IGD  m et rics u sin g  t he  scal arizi ng fun ct io n  M odifie d  Tc he bysh e f f.           Figure  8 .   Com par is on of  DE varia nts w it h  Mod ifie d  Tc he bysh e ff       Fr om   above  r esult  it   is  ob s erv e d  that  on  hype r  volum e  DE/best/1  pe rfor m s  bette r  and   on  I GD  DE/best/2  pe rfor m s  bette r  thus  on e  sin gle  D E  var ia nt  can not  be  sai d  a s  be tt er  thu s  m od ifi ed  Tc heb ys heff   cannot  be  sai d  to  p e rfor m  b et te r  on  a  sin gle D E  v a ri ant.     4.2.4   PB I   Fo ll owin g  F i gure   9   s hows   th e  res ults  of  dif fer e nt  DE  var i ants  viz.  DE/ra nd / 1,  DE/ rand/ 2,   DE/ best/1   and DE /best/ 2, on  HV an d IGD m et rics u sin g  the  scala rizi ng  functi on PB I.   Accor ding  to   the  ob ta i ned  re su lt   on  PBI,   by   us in g  IGD   best/2  pe rfor m s  well   a nd  hy per   volum e  pro du ces   value   in   ne gative   th us   a nythi ng  ca nnot  be   pre dicte d.   T hu s   c orre sp on ding  t o  t he   f ound  e xperi m ental  resu lt s,  Tc he by sh ef f   pro duce s  a  bette r  res ul t  as  bo th  hype r  volum e  and  IGD  sho ws  s a m e  DE  var ia nt  i.e.  DE/best/1 a nd  plo t o n  f unct io n  eval uation f or Tche byshe f f  pro du ces  bette r  r esults o n DE/best/ 1.   We con cl ud e   that Tche bys he ff  s cal arizat ion f un ct io n per f orm s b et te r  on  MOP.           Figure  9 .   Com par is on of  DE varia nts w it h P BI   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Ind on esi a n  J  E le c Eng &  Co m p  Sci     IS S N:  25 02 - 4752       Sca l ar izi ng fu nc ti on s i n  s olvin g mu lt i - ob je ct iv e p r oble m - an  evoluti onary   appro ac h   ( D.Va su m ath i )   981   5.   CONCL US I O N   The  way  t he  te chnolo gy  has   s how n  gro wth  in  t he  past  deca de  is   trem end ous  a nd  unbelie vab le [12].    The   gro wth  in   Com pu ti ng  te chnolo gies,     I oT ,    A rtific ia l  I ntell igence,    AR/VR  et c.   is  am azi ng  [ 13,  14 ] .  I f  it   is   po s sible  to  m a p  the  giv e n  pr oble m   as  op tim i zat ion   ki nd  pro blem ,  then  it   is  ver y  well   that  diff e re ntial   evol utio n  al gorithm   can  be  us e d  to   s olve   that.   S o  al on gs ide   thes e,   Ev olu ti onary   al go rithm s  are  al s o  gr ow i ng    in   pa rall el  to s olv e m ulti - disci plinary  pr ob le m s.   This  paper  e xam ines  the  pe rfor m ance  of  four  di ff e ren t  scal arizi ng  f unct ion s  by  us in g  four  D E   al gorithm   var ia nts  su c h  as  D E/ran d/1 ,  DE/ r and / 2,   DE/best /1  an d  D E/best /2  f or   s olv i ng   MOP.  E xperi m ental  resu lt s   sho ws  t he  bette r   pe rfo rm ance  of  Tc he bysh e ff  scal ar iz ing   f un ct io n  as  it   produces   consi ste nt  resul t  on   diff e re nt  in dica tors  s uch  as   I G D  a nd  H V   f or  t he  DE   al go rith m ,  DE/best/1.   More ov e r,  oth e r  scal a rizi ng  functi ons  do e s  not  produ ce  co ns ist ent   r esults  on  diff e r ent  in dicat ors.   In - de pth  a naly sis   can   be  pe rfor m ed  by  incl ud i ng   m or e MOPs,  m or e  in dicat or fun ct io ns an d  m or e  evoluti ona r y al gorithm s in  f utu re  wo rk.       REFERE NCE S   [1]     W .   Huang  H.   L i.  “ On  the   diff ere n t ia l   evol u ti on   sch emes  in  MO EA/ D ,”   Proc.  6th   Int .   Conf .   Na t.  Comput  ( ICNC)   2010 ;  6 ,   2010 .   [2]     David  hadk a.  “ MO EA  Fram ew ork:  A  Fre e  and   Open  Sourc e  J ava   Fr amework  for  Multi ob jective  Optimiz ation ” .   ;   2011 - 2016.   ht tp://m oea fra m ewor k. org/downloa ds . html .     [3]     Ma  E t   Al.   “ On  T che b y ch eff   Dec o m positi on  Appro ac hes   for   MO EA , ”   IE EE  transact ions  on   e vol ut ion ary  com puta ti on   2018;  22(2):   [4]     S.  Tha ng ave lu   &  C.   Shunm uga  Vel a y utha m .   “ An  inve stiga t i on  on  m ixi ng  h et ero g ene ous  di ffe ren t ia l   evo lution  var ia n ts i n   a  d ist ribut ed   fra m ewo rk   Inte rn at ion al ” .  Journal   of   Bi o - Inspired  Comput ati on.   2015;   7 .     [5]     As wani  V,   Prav ee n   V,   Th anga v e lu  S .  “ Perform an ce  an aly sis   of   va ria nts   of   Diffe r e nti al  Evol ut ion   o n  Mult i - objecti v e  opti m iz ation  pro ble m s ” .   Ind ian  J ournal  of  S ci en c e  and  Te chnol og y   2015;   8(17):   [6]     David  h ad ka.   B egi n ner's  Guide  to   th e   MOEA   Framewo rk. .   2016.   htt ps:// books.go o gle . co.i n/books? i d=okUfjwE A CAA J.   [7]     S.  Ji ang,   S.   Ya ng,   Y.  W ang,  X.  Li u .   “ Scal ar i zi ng  func ti ons  i n  dec om positi on - base d  m ult iobjective  evol ut ion ar y   al gorit hm s ”. I EEE  transact ions o n  ev o lut ionary   c omputati on .   201 7.   [8]     Lot fi ,   S. & Ka ri m i,   F.  “ A h y br id   MO EA/DTS  for  Solving  Mu lti - Objec t ive   Probl e m s ” .   Journal  of   AI  &   Data  Mini ng.   Proc.   6th   Int .   Co nf .   Nat .   Com put   (ICNC) 2017;   5( 2).   [9]     David  hadka.  M OEA  Framework:  A  Fr ee   and  O pen  Source   Jav a   Framework  for  Mult iobjec ti v e  O pti mization .   201 1 - 2016   [10]     K.  V.   Pri ce.  An   in troduc t ion   to   diffe ren ti a l   evolution.  In   D.W.   Corne,  M.   Dori go,   F .   Glov er   (e ds),  “ New  Id ea s   i n   Optimiza ti o n ”.  Mc Gr aw  Hill ,   1 999.     [11]     (2018)  Test  fun ct ions  for  op ti m izati on,   Av ai l able  at:  ht tps:// en . wik ipe d ia. org/w i ki /Test_f un ct ion s_for_optim izati on   (Acc essed:   19  A pril   2018)   [12]     Vasudeva n,   S.K. ,   Vi v ek,  C .   and   Srivat hsan,   S.   “ An  intelligent  b oxing  appl i catio n  through   augmente d   r ea l ity   for   two  users – hum an  computer   intera ct i on  attempt ”.   Indi an  Journal  o f  S c ie nc e  and   Techn ology . ,   8(34) ,   20 15   [13]     Abhishek,   S.N. ,   Vasudeva n,   S. K.,   Nair ,   P.R . ,   Tha n gav el u,   S.  and  Sundara m ,   R. M.D.   “ A  Propos al   for  Mit igating   Fis her m en  Killin g  In   India n   Se a   Border s  through   Te chno log y – Ma rit ime   Boundar y   Ide nti f ic a ti on   De vic e ”.  Indone sia n   Journal  of   Elec t rical   Engi ne erin g  and  Compute r   Sci en ce   6(3), pp.704 - 710,   2017 .   [14]     Datt a ,   B. S. ,   Gan apa th y ,   R. ,   Vasudeva n,   S.K .   and   Abhishek,   “ An  I nvent iv e  and   Inn ovat iv e  Al te rn ate  for   Le g acy   Ch ai n  Pulli ng  S y st em  t hrough  Inte rn et   of  Thi ngs ” .   S. N .   Indone sian  Jour nal  of  El e ct rica l  Engi ne ering  and   Computer  Scien ce ,  6(3),   pp . 688 - 694 ,   2017 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.