I n d on e s i an   Jo u r n al   o f  El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   20 ,   N o .   1 ,  O c t o be r   20 20 ,   pp .   89 ~ 99   IS S N :   25 0 2 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 20 .i 1 . pp 89 - 99             89       Jou r n al   h o m e pa ge :  ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om   T r a n si e n t   a n a l y s i s  o f   sy st e m s e x h i b i t i n g   i n v e r s e   r e sp o n s e   a n d   t h e i r   c o n t r o l   w i t h   C S T R   a s  a   c a s e   st u d y       R o h an   Lak h an i 1 ,   C .   R .   S r i n i v as an 2 ,   S r i v i d ya   R 3   1 , 2 D e pa r t m e n t   o f   I ns t r um e nt a t i o n  a nd  C o n t r o l   E ng i ne e r i ng ,   M a ni pa l   I ns t i t ut e   o f   T e c hno l o gy ,     M a n i pa l   A c a de m y   of   H i g he r   E duc a t i o n,   I ndi a   3 D e pa r t m e n t   o f   E l e t r i c a l   a nd   E l e t r o ni c s   E ng i ne e r i ng ,   M a ni p a l   I ns t i t ut e   o f   T e c hno l o gy ,     M a n i pa l   A c a de m y   of   H i g he r   E duc a t i o n,   I ndi a .         A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d  D e c   26,   2019   R e v i s e d  M a r   28 ,   20 20   A c c e pt e d   A p r   1 1 ,   2020       I n  t hi s   p a pe r   t he   ph e no m e no n  o f   i nv e r s e   r e s po ns e   f r o m   s y s t e m s   w a s   i nv e s t i g a t e d  a nd  i t s   t r a ns i e n t   r e s po ns e   t ho r o ug hl y   a na l y z e d.   I nv e r s e   r e s po ns e   i s   s ho w n  by   no n - m i ni m um   pha s e   s y s t e m s   a nd  s o m e   m i n i m um   pha s e   s y s t e m s .   T r a n s i e nt   a na l y s i s   o f   t he s e   s y s t e m s   i s   l a c ki ng   i n  l i t e r a t u r e   A   c a s e   s t udy   w a s   do ne   f o r   a   n o n - l i ne a r ,   no n - m i n i m um   pha s e   C S T R   ( C o nt i nuo us   S t i r r e d  T a nk   R e a c t o r ) ,   w h i c h  w a s   i de n t i f i e d .   D i f f e r e n t   c o nt r o l   s c he m e s   w e r e   a l s o   i m pl e m e n t e d  o n  o t he r   s y s t e m s   a s   w e l l ,   w h i c h  e xi bhi t   i nv e r s e   r e s po ns e s ,   i nc l ud i ng   m o de l   r e f e r e nc e   a da pt i v e   c o nt r o l .   T he   f i nd i ng   s ho w s   t ha t   P I D   g o e s   w i t h  t h e   i nv e r s e   r e s po ns e ,   i s   una bl e   t o   s up pr e s s   i t   a nd  r e q ui r e s   l a r g e   c o nt r o l   e f f o r t   w hi c h  c a n  ha v e   s e r i o us   h a r dw a r e   l i m i t a t i o ns .   R o bus t ne s s   i s   a no t he r   a r e a   w he r e   P I D   i s   l a c ki ng   w i t h  t he s e   s y s t e m s .   M R A C   s he m e s   w e r e   a b l e   t o  o v e r c o m e   a l l   t he s e   i s s u e s .   F o r   C S T R   a l s o ,   t he s e   f i nd i ng s   ho l d   t r ue   t hu s   po i nt s   a t   u s i ng   a dv a nc e   s t r a t i g i e s   i n  p r o c e s s   c o nt r o l   i ndu s t r i e s   f o r   m a xi m z i ng   pr o duc t   y i e l d .   Ke y w or ds :   A da pt i v e   c o n t r o l   In v e r s e   r e s p o n s e   M o de l   re f e re nc e   a d a p t i v e   c o nt ro l   N o n - m i ni m um   p ha s e   O pt i m i z a t i o n   C opy r i gh t   ©   2020   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e d  E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   C  R   S r i ni v a s a n ,     D e pa rt m e n t   o f   In s t rum e n t a t i o n  a n d   Co n t r o l   E n g i n e e r i ng,     M a n i p a l   I n s t i t u t e   o f   T e c hn o l o g y ,   M a n i p a l   A c a de m y   of   H i ghe r   E duc a t i o n,     M a n i p a l ,   K a rna t a ka ,   I ndi a .     E m a i l :   c r. s r i ni v a s a n @ m a n i p a l . e du       1.   I N TR O D U C TI O N   T h e   i n v e r s e   r e s po n s e   i s   s h o w n   by   a l l   n o n - m i ni m u m   p h a s e   s y s t e m s ,   i f  a n   i n p ut   i s   a pp l i e d  t h e n   t h e   s y s t e m   f i r s t   m o v e s   i n   t h e   o ppos i t e   di r e c t i o n   b e fo r e   m o v i n g  i n   t h e   ri g ht   di r e c t i o n.   D c - D c   boo s t   c o n ve r t e r ,   h y dr o   t u r b i n e   o f   h y dr o e l e c t r i c   po w e r   pl a n t s ,   c o upl e d  t a n k  s y s t e m   [1]  a r e   s o m e   of   t h e   m a n y   n o n - m i ni m um   pha s e   s y s t e m s   s h o w i n g  i n v e r s e   r e s po n s e s .   A n  i nt e r e s t i ng  p h e n o m e n o n   w hi c h   i s   f o un d   i n  [2]  i s   t ha t   r i g h t   h a nd  s i de s   z e r o s   a r e   n o t   n e c e s s a r y   fo r   s y s t e m   t o   s h ow   i n v e r s e   re s po n s e .   A da pt i v e   c o n t r o l   o f   a i r c r a f t   w i t h   n o n - m i ni m u m   p h a s e   z e r o s   w a s   p e r f o r m e d  i n   [3] ,   r o b us t   c o n t r o l   fo r   n o n - m i n i m u m   pha s e   bo i l e r   [4]  w i t h   L Q G   c o n t r o l ,   de s i g n  o f   c o n t r o l l e r   f o r   X Y   n o n - m i ni m u m   p h a s e   t a b l e   w a s   pe r f o r m e d  [5] ,   U - m o de l   de s i g n   f o r   b o i e n g  747  a l t i t ude   c o n t r o l   [6].   A s   i t   c a n   b e   s e e n   i n   l i t e r a t u r e   p r e v i o us   w o r ks   a r e   do n e   o n   s pe c i f i c   n o n - m i ni m um   pha s e   pl a nt s ,   i n v e r s e   s y s t e m s   a r e   o n l y   a s s oc i a t e d  w i t h   n o n - m i ni m u m   s y s t e m s   w h i c h   i s   n o t   t r ue   a s   s h o w n   i n   [2].   T h e   t ra n s i e n t   a na l y s i s   of   i n v e r s e   s y s t e m s   i s   l a c ki n g  i n   l i t e r a t u r e ,   w h i c h   c a n  b e   ve r y   c r uc i a l .   I n   c o n t r o l   l i t e r a t u r e   t h e   s t a n d a r d  n o n - m i n i m u m   p h a s e   s y s t e m s   w h i c h  a r e   ge n e ra l l y   d e a l t   a s s um e   t ha t   t h e   s y s t e m   i s   c o m pos e d  of   t w o   f i r s t   o r de r   s y s t e m s ,   o n e   o f   t h e m   i s   f a s t e r   t h a n  t h e   o t h e r  a n d   t h e   s l o w e r   p r o c e s s   i s   t h e   o n e   w h i c h   r e a c h e s   i t s   s t e a dy   s t a t e   v a l ue   s oo n e r ,   t h i s   gi v e s   r i s e   t o   a n   i n v e r s e   r e s po n s e .   B ut   t hi s   i s   n o t   t h e   c a s e   i n  m o s t   p r o c e s s e s ,   s y s t e m   c a n  b e   of   h i g h e r  o r de r,   ha v e   c o m pl e x  po l e s   a n d   m o r e   t ha n  o n e   r i g h t   ha n d  s i de   z e r o .     CS T R   i s   a   b e n c hm a r k  p r o c e s s   i n   i ndus t ri e s   a n d  s h o w s   i n v e r s e   r e s po n s e ,   ge n e ra l l y   a r b i t r a r y   t e m pe ra t u r e   f e e d  i s   gi v e n   t o   t h e   s y s t e m   w h i c h  y i e l ds   l e s s   e ff i c e n t   pe r f o r m a n c e   i n  t e rm s   o f   t i m e   t a ke n  f o r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   1 ,  O c t o b e r   20 20  :     89   -   99   90   ob t a i n i ng  f i na l   p r o duc t s   i n   c h e m i c a l   r e a c t i o n s .   I t s   n o n - l i n e a r i t y   i s   a l s o   a   c h a l l e n ge ,   c o n t r o l l e r s   w e r e   de ve l o pe d  i n   [7 - 11]  i n c l udi ng  S l i di ng  m o de l   [9] ,   m o de l   p r e di c t i v e   c o n t r o l   [1 1 ]  f o r   CS T R ,   b ut   t r a c k i n g  w a s   hi n de r e d  by   t h e   i ni t i a l   i n v e r s e   r e s po n s e .   [7 - 11 ,   12]  a r b i t r a r y   t e m pe r a t u r e   t r a j e c t o r i e s   w e r e   us e d,   P ID   s t i l l   pl a y s   a n   i m po r t a n t   r o l e   i n  p r o c e s s   i n dus t ri e s   b ut   i t s   us e   f o r   t h e s e   s y s t e m s   i s   n o t   l o o ke d  a t   c a r e f ul l y .   T h us ,   t h e r e   i s   a   n e e d  t o   fo r   de v e l o pi n g  a n   o pt i m i z e d  t ra j e c t o r y   fo r   i n p ut   t e m pe ra t u r e   a n d  c o n t r o l   s c h e m e s   w h i c h   a r e   a b l e   t o  s uppr e s s   i n v e r s e   r e s po n s e   w h i l e   s h o w i n g  go o d  t r a c ki n g  b h e v a i o ur.   I n   a ddi t i o n   t o   t h e   CS T R   c a s e   s t ud y   t hr e e   o t h e r   s y s t e m s   w e r e   a l s o   l o o ke d  a t   a nd  pe r f o r m a n c e s   e va l u a t e d.   A   c o upl e d  t a n k  s y s t e m   w h i c h   i s   a   n o n - m i n i m u m   p h a s e   s t a n da r d  p l a nt ,   a n o t h e r   n o n - m i n i m u m   p ha s e   t r a n s f e r   f un c t i o n   ha v i n g  c o m pl e x  po l e s   a n d  hi g h e r   o r de r   s y s t e m   w h i c h   ha s   a l l   o f   i t s   z e r o s   i n   t h e   l e f t   h a l f  pl a n e   a n d  s t i l l   s h o w s   i n v e r s e   r e s p o n s e .   T hr e e   c o n t r o l   s c h e m e s   a r e   c o m pa r e d  f o r   t h e   c o upl e d  t a n k  s y s t e m   na m e l y   P I  i nn e r - o ut e r   f a c t o ri z a t i o n   c o n t r o l l e r,   F e e dt hr o ug h   c o m pe n s a t o r,   qu a nt i t a t i v e   c o n t r o l l e r .   F o r   s y s t e m   w i t h   c o m pl e x  po l e s   a n d  hi g h e r   o rde r  s y s t e m ,   a da p t i v e   c o n t ro l l e r s   na m e l y   A da pt i v e   P ID ,   1 - D o f   M R A C  a n d  2 - D o f   M R A C  a r e   us e d.   Q ua n t i fy i n g  t h e   i n v e r s e   r e s po n s e -   F i gu r e   1(a )  s h o w s   t h e   i n v e r s e   r e s po n s e s   w h i c h   ha s   a n  i ni t i a l   u nde r s h o o t .   F i gu r e   1(b )  c r o s s e s   z e r o   m o r e   t ha n  o n c e ,   t h i s   b e h a v i o r  c a n   b e   p r e di c t e d  –   T h e o r e m 1:   If   G (s )   h a s         po s i t i v e   z e r o s   i n  t h e   R O C  a n d   z e r o   a t           o f   m ul t i pl i c i t y                         ,   t h e n  o ut pu t   ha s   a t   l e a s t                       o r         n u m b e r   o f   z e r o   c r o s s i n gs .   [ 1]   T h e o r e m 2:   T h e   s y s t e m   h a s   a   r e l a t i v e   de gr e e   1  o r   h a s   a t   l e a s t   o n e   r e a l   po l e   c l o s e s t   t o   t h e   o r i g i n ,   ha v i ng  o dd  n um b e r   o f   po s i t i v e   z e r o s   [1].   T h e   m a g ni t ude   of   t h e   i ni t i a l   u n de r s h o o t   c a n   b e   gi v e n   a s             |     |   |     |   ,   i f   t h e   s y s t e m   s a t i s f i e s   T h e o r e m   2 .   W h e r e         a n d         a r e   t h e   r e a l   pa rt   o f   c o m pl e x  z e r o   a n d  r e a l   po l e   c l o s e s t   t o   t h e   o ri gi n  r e s pe c t i v e l y .             (a )   (b )     F i gu r e   1 .   I n v e r s e   r e s po n s e   o f   n o n - m i ni m um   p ha s e   s y s t e m   (a )   o n e   z e r o   c r o s s i n g   w i t h   i n i t i a l   u n de r s h o o t     (b )  m ul t i p l e   z e r o   c r o s s i n gs       2.   R ES EA R C H   M ET H O D     2. 1 .     C o n tr o l l e r   d e s i gn   2. 1 . 1 .  C o n tr o l l e r s   s p e c i fi c a l l y   fo r   n o n - m i n i mu m   p h as e   s ys te m s   T h e s e   c o n t r o l l e r s   a r e   fo r   s t a n d a r d  n o n - m i ni m um   p ha s e   s y s t e m s   s uc h   a s   s h o w n   i n   F i gu r e   2.     T h e   t u ni n g   o f   t h e   c o n t r o l l e r s   ha s   b e e n   do n e   by   t a ki n g   t h e   c o u pl e d  t a n k   s y s t e m   a s   t h e   p r o c e s s / pl a n t .             F i gu r e   2 .   S t a n d a r d   n o n - m i n i m um   p ha s e   pl a n t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       T r ans i e nt   ana l y s i s   of   s y s t e m s   e x hi b i t i ng  i nv e r s e   r e s pons e   an d  t h e i r   c o nt r ol   w i t h  CST R   as …   ( R ohan   L ak ha ni )   91   a)   Q ua n t i t a t i v e   Co nt r o l l e r   It   i s   a n  e xt e n de d  v e r s i o n  o f   s m i t h ’s   p r e d i c a t o r  b a s e d  o n       c o n t r o l   [13] .   T h e   c o n t r o l l e r   a f t e r  t u ni n g   i s   gi v e n  by - ,                                                                                       (1)     T h e   pl a nt   i s   de c o m po s e d  i n t o   t w o   f i r s t   o rde r   s y s t e m s   w h i c h   a r e   us e d  i n   t h e   f e e d b a c k  pa t h .   T h e   c o m pe n s a t o r  s c h e m e   i s   s h o w n   i n  F i gu r e   4( a ) .       b)   P I  i nn e r - o ut e r  f a c t o r i z a t i o n   T h i s   s c h e m e   i s   i m pl e m e n t e d  t o   r e m o v e   t h e   n o n - m i ni m um   pha s e   d y n a m i c s   f r o m   t h e   c o n t r o l   l o o p   [14].   It   ha s   a   P I   c o n t r o l l e r   a n d   t w o   fe e d b a c k  c o m pe n s a t o r s   gi v e n   by -                                       (2)                                                     (3)                                      (4)     W h e r e             i s   a   pi   c o n t r o l l e r ,             a nd                a r e   pa rt   o f   t h e   f e e d b a c k  c om pe n s a t i o n.   T h e   s c h e m e   c a n   b e   s e e n   i n  t h e   F i gu r e   4 (b ).       c)   F e e dt hr o ugh  c o m pe n s a t o r   In  t hi s   a   c o m pe n s a t o r  i s   c h o s e n   s uc h  t ha t   t h e   c l o s e d  l oo p  s y s t e m   b e c o m e s   m i ni m um   p h a s e   a nd  w i t h   hi g h  g a i n  t h e   s y s t e m   i s   s t a b i l i z e d .   T h e   c o m pe n s a t o r  c h o s e n  i s                                     a nd   t h e   ga i n     = 74.   T h e   s c h e m e   [15]   i s   s h o w n   i n   F i gu r e   5 (a ) .       2. 1 . 2 .     C o n tr o l l e r s   fo r   n o n - m i n i mu m   p h as e   s ys te m   w i th   c om p l e x   p o l e s   an d   m i n i m u m   p h as e   h i gh e r   o r d e r   s ys te m   s h o w i n g  i n v e r s e   r e s p o n s e   a)   A da pt i v e   P ID   T h e   a pp r o xi m a t e   v e r s i o n   o f   t h e   a d a pt i v e   P ID   i s   i m pl e m e nt e d  w h i c h   do e s   n o t   r e qui r e   a n y   pl a n t   kn o w l e dge   [16].   T h e   a d a pt i v e   l a w   i s   g i v e n   a s - ,          ̇                (5)         ̇                (6)         ̇                (7)         i s   t h e   a d a pt i v e   ga i n,   e   i s   t h e   e rr o r  s i g na l   a n d                         a r e   o ut put s   f r o m   f i r s t   t hr e e   s ub s y s t e m s .     T h e   s c h e m e   i s   s h o w n   i n   F i gu r e   5(b ).       b)   D of   m o de l   r e f e r e n c e   a d a p t i v e   c o n t r o l   T h e   a d a p t i v e   l a w   i s   gi v e n  a s - ,          ̇                    (8)                     (9)     w h e r e       t h e   a d a pt i v e   ga i n,               i s   t h e   o ut pu t   f r o m   t h e   r e f e r e n c e   m o de l   a nd       i s   t h e   e rr o r  b e t w e e n   t h e   pl a nt   a n d  r e f e r e n c e   m o de l   o ut put   [17] .   T h e   c o nt r o l l e r  i s   s h o w n   i n  F i gu r e   6( a ).       c)   D of   m o de l   r e f e r e n c e   a da p t i v e   c o n t r o l   T h i s   a   2 - D o f   i m pl e m e nt a t i o n  o f   M R A C  [18],           ̇                     (10)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   1 ,  O c t o b e r   20 20  :     89   -   99   92       ̇                   (11)     W h e r e       ,         a r e   t h e   a d a pt i v e   ga i n s .       ,     ,     ,         a r e   t h e   pl a n t   o ut pu t ,   r e fe r e n c e   i n pu t ,   e rr o r   a nd  r e f e r e n c e   m o de l   r e s pe c t i v e l y .   T h e   s c h e m e   c a n  b e   s e e n   i n  F i gu r e   6(b ).   T h e   a d a p t i v e   l a w   i s   gi v e n  by - ,                             (12)     2. 2 .     S ys te m   I d e n ti fi c ati o n   o f  n o n - l i n e a r ,   n o n - m i n i mu m   p h as e   C S TR   T h e   i n pu t   s i g n a l   us e d  f o r   t h e   i de nt i f i c a t i o n   o f   r e a l   t i m e   CS T R   i s   A P RB S ,   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   3  a n d  a   t r a n s f e r   f u n c t i o n   w a s   a pp r o xi m a t e d  us i n g   s y s t e m   i de n t i f i c a t i o n   t o o l bo x  i n   m a t l a b .             (a )   (b )     F i gu r e   3 .   ( a )   I n pu t   A P R B S   s i gna l   t o   CS T R   (b )  O ut pu t   m e a s u r e d  a n d   e s t i m a t e d  o ut put       T h e   e s t i m a t e d   t ra n s f e r   f u n c t i o n  i s   gi v e n  by ,                                                                              (13)     2. 3 .     N o v e l   o p ti m i z e d   t e m p e r atu r e   tr a je c to r y  fo r   C S TR   u s i n g  ac ad o   A n   o pt i m i z e d  t r a j e c t o r y   i s   i m po r t a n t   i n   i n dus t r i e s   a s   by   us i n g  t h i s   t h e   f i na l   p r o duc t   i n   a n y   c h e m i c a l   r e a c t i o n   c a n  b e   m a xi m i z e d  i n  a   f i xe d  t i m e   i nt e r v a l   w h i c h   i nc r e a s e s   e ff i c i e n y   a s   w e l l   a s   p r o f i t s .   T h e   c h e m i c a l   r e a c t i o n   a n d  m o de l   pa r a m e t e r s   f o r   t h e   di f fe r e n t i a l   e qua t i o n s   fo r   t h e   r e a c t o r,   w h i c h   c a n   b e   us e d  f o r   t hi s   CS T R  s y s t e m   a s   w e l l   a r e   gi v e n   i n  [19] .     T h e   di f f e r e n t i a l   e qu a t i o n   us e d  f o r   t h e   o pt i m i z a t i o n   i s   g i v e n   b y -                                       (14)                                                                (15)     T h i s   b e c o m e s   a   n o n - l i n e a r   c o n s t r a i n e d  dy n a m i c   o pt i m i z a t i o n   p r o b l e m   a n d  t h e   c o n s t r a i n t s   a r e   i ni t i a l   t e m pe ra t u r e ,   b o un ds   i n   j a c ke t   t e m pe ra t u r e .   T h e   j a c ke t   t e m p e r a t u r e   w h i c h   i s   t h e   m a n i p ul a t e d  v a ri a b l e   i n   t hi s   c a s e .   B ut   fo r   c o de   ge n e r a t i o n   i s   t a ke n   a s   c o n t r o l   v a ri b a bl e ,   h a v i n g  a   d i f fe r e nt   c o n t e xt   i n   o pt i m i z a t i o n .     A n  o v e r v i e w   o f   a c a do   a n d   o pt i m i z a t i o n  c a n  b e   fo un d  i n  [20]   w h i c h  i s   l e f t   t o   t h e   i nt e r e s t e d  r e a de r.                                       (16)         ̇             (17)                                 (18)               (19)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       T r ans i e nt   ana l y s i s   of   s y s t e m s   e x hi b i t i ng  i nv e r s e   r e s pons e   an d  t h e i r   c o nt r ol   w i t h  CST R   as …   ( R ohan   L ak ha ni )   93   In   (16 ) - (19)  r e p r e s e n t s   t h e   l a g r a nge   c os t   f un c t i o n ,   w h i c h   i s   t o   m i ni m i z e   t h e   r e a c t a n t   A   i n   a   f i xe d  t i m e   i n t e r v a l   w i t h   c o n s t ra i nt s   o n   i n i t i a l   t e m pe ra t u r e   a n d  a l l o w a b l e   j a c ke t   t e m pe r a t u r e .   T h e   a c a do   m a t l a b   c o d e   i s   gi v e n  a s ,     B E G IN _A CA D O ;   a c a do S e t (' p r o b l e m n a m e ' ,   ' CS T R ' );     D i f fe r e n t i a l S t a t e   c a   T   %   de f i n i ng  di f f e r e n t i a l   s t a t e s   Co n t r o l   T j   %   c o n t r o l   v a ri a b l e   c 2= 0. 028 81;   c 1=   - 5 . 79;   %   c o n s t a nt s   E = 13 550;   ko = 4. 7*10 ^ 19;   f   =   a c a do . D i f fe r e nt i a l E qua t i o n ();     f . a dd(do t (c a )  = =   - ko *e xp( - E / T )*c a *c a );   %   di f f e r e n t i a l   e qu a t i o n s     f . a dd(do t (T )   = =   - c 1*ko *e xp( - E / T )*c a *c a -   c 2*(T - T j ));   o c p  =   a c a do . O CP (0 , 100 , 100 );   %  num b e r  o f   s t e ps   a n d  f i na l   t i m e     o c p. m i n i m i z e L a gra n ge T e rm (c a );   %   m i n i m i z i ng  t h e   L a g ra n g e   t e rm ,   f i n a l   c o n c e nt r a t i o n  o f   r e a c t a n t   A   o c p. s ubj e c t T o (  f   );     o c p. s ubj e c t T o (  ' A T _S T A R T ' ,   c a   = =   0 . 9  );   %  i n i t i a l   c o n c e n t ra t i o n  o f   A   o c p. s ubj e c t T o (  ' A T _S T A R T ' ,   T   = =   298 . 16);   %   i ni t i a l   t e m pe ra t u r e     o c p. s ubj e c t T o (  293. 15   < =   T j   < =   323 . 15   );   %   j a c ke t   t e m pe ra t ur e   c o n s t ra i n t     a l go   =   a c a do . O pt i m i z a t i o n A l go ri t hm (o c p);   a l go . s e t (' IN T E G R A T O R _T O L E R A N CE ' ,   1e - 1   );   %   t o l e r a n c e   fo r   c o n v e r ge n c e     - E N D _A CA D O ;     o ut   =   CS T R _R U N ();   %   r u n  c o m m a n d   pl o t (o ut . S T A T E S (: , 1) ,   o ut . S T A T E S ( : , 3 ))     2. 4 .     C o n tr o l   al go r i th m     A l l   c o n t r o l   s c h e m e s   a r e   i m pl e m e n t e d  us i n g  M a t l a b   S i m ul i n k   e n v i r o nm e n t .   T h e   f o l l ow i n g  s h o w s   t h e   c o n t r o l   s c h e m e s   w i t h  t h e i r  r e s pe c t i v e   pl a n t   t ra n s f e r   f u n c t i o n s ,           (a )       (b )         F i gu r e   4 .   ( a )   Q ua nt i t a t i v e   c o n t r o l l e r  (b )  P I  i nn e r - o ut e r  f a c t o r i z a t i o n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   1 ,  O c t o b e r   20 20  :     89   -   99   94       ( a )       ( b )     F i gu r e   5 .   ( a )   F e e dt hr o ug h  c o m pe n s a t o r   (b )  A d a pt i v e   P ID         (a )       (b )     F i gu r e   6 .   ( a )   1 - D o f   M R A C  (b )  2 - D of   M R A C   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       T r ans i e nt   ana l y s i s   of   s y s t e m s   e x hi b i t i ng  i nv e r s e   r e s pons e   an d  t h e i r   c o nt r ol   w i t h  CST R   as …   ( R ohan   L ak ha ni )   95   3.   R ES U LTS   A ND  D IS C U S S I O N     3. 1 .     S tan d ar d   n o n - m i n i mu m   p h as e   s ys te m   T h e   c o upl e d  t a n k  s y s t e m               [1]   w h i c h  i s   a   n o n - m i ni m um   pha s e   s y s t e m   w i t h   r e a l   r o o t s   i s   c o n s i de r e d.   T h e   T ra n s f e r   f un c t i o n  i s   gi v e n  a s - ,                                                                    (20)     T h e   c o n t r o l l e r s   w e r e   t u n e d  us i n g   t h e   p l a nt   p a r a m e t e r s   a n d   t he   P ID   w a s   t un e d  us i n g  Z i e gl e r – N i c h o l s ,   t h e   P ID   p a r a m e t e r s   a r e   P = 14 . 18 ,   I= 3 . 672 ,   D = 13 . 69 .       3. 1 . 1.     S t e p   r e s p o n s e   It   c a n   b e   s e e n   i n   F i gu r e   7,   t ha t   t h e   f e e dt hr o ug h   c o m pe n s a t o r   g i v e s   t h e   l e a s t   i n i t i a l   u nde r s h o o t ,   b ut   due   t o   i t s   o s c i l l a t o r y   b e h a v i o r   a nd  o v e r s h o o t ,   P I  i n p ut - o ut pu t   f a c t o r i z a t i o n   c o nt r o l l e r  i s   c h o s e n   f o r   t hi s   pl a n t   a s   a   c o m p r o m i s e   i s   a c h i e v e d  b e t w e e n   i n i t i a l   u nde r s h o o t   a nd  s y s t e m   pe r f o r m a n c e .   P ID   s h o w s   a   l a r ge   i ni t i a l   unde r s h o o t   i n  F i gu r e   7,   t h e   pe r f o r m a n c e s   a r e   c o m pa r e d  i n  T a b l e s   1  a n d   2.             F i gu r e   7 .   S t e p   r e s po n s e   o f   a l l   c o nt r o l   s c h e m e s   w i t h  P ID - Z N   a s   a   b e n c h m a r k       T a b l e   1 .   Co m p a r i s o n  o f   s y s t e m   pe r f o r m a n c e   i nde x  w i t h   di f f e r e n t   c o n t r o l   s c h e m e s     P ID   F e e d t h ro u g h   c o m p e n s a t o r   Q u a n t i t a t i v e   C o n t r o l l e r   P I  i n n e r - o u t e r  f a c t o ri z a t i o n   S e t t l i n g   t i m e ( s e c )   Ri s e   t i m e ( s e c )   1 6 . 2   1 1 . 6   6 . 8   1 5 . 8   2 . 8 5   1 . 2 4   4 . 8   5 . 6   O v e r s h o o t ( % )   36   77   0   13       T a b l e   2 .   Co m p a r i s o n  o f   i n v e r s e   r e s po n s e   f o r m   di f f e r e n t   c o n t r o l l e r s     In i t i a l   u n d e r s h o o t   N u m b e r   o f  z e r o   c r o s s i n g   P ID   - 1 . 3 4   1   F e e d t h ro u g h   C o m p e n s a t o r   - 0 . 0 7 5   1   Q u a n t i t a t i v e   C o n t r o l l e r   - 0 . 4   1   P I  i n n e r - ou t e r  f a c t o ri z a t i o n   - 0 . 1 7 4   1       3. 1 . 2.     R o b u s tn e s s   an al ys i s   F i gu r e   8  s h o w s   r e s po n s e   of   t h e   s y s t e m   t o  i n pu t   di s t u r b a n c e s   fo r   a   t ra i n   o f   pul s e s ,   P ID   gi v e s   t h e   m a x i m u m   de v i a t i o n   o f   0. 25  a n d  t h e   o t h e r   c o n t r o l l e r s   h a v e   ne gl i gi b l e   de v i a t i o n.   T h e   po o r   r o b us t n e s s   o f   P ID   c a n   b e   e xpl a i n e d  due   t o   t h e   s y s t e m s   l ow   ga i n   m a r gi n,   a   pr o b l e m   w i t h   n o n - m i n i m u m   p h a s e   s y s t e m   [21].     A s   t h e   c l o s e d  l o o p  ga i n  i n c r e a s e s   s y s t e m   po l e s   m o ve   t ow a r d s   t h e   ri g h t ha n d   s i de   z e r o s .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   1 ,  O c t o b e r   20 20  :     89   -   99   96       F i gu r e   8 .   I nput   di s t u r b a n c e   r e s po n s e   w hi l e   t r a c ki ng       3. 2 .     N o n - m i n i mu m   p h as e   s ys te m   w i th   c o m p l e x   r o o ts   T h e   c o n t r o l l e r s   i m p l e m e nt e d  b e fo r e ,   w o r k  o n   t h e   a s s um pt i o n   t ha t   t h e   s y s t e m   i s   a   s t a n da rd  s y s t e m   ha v i ng  t w o   r e a l   po l e s ,   w h i c h   i s   po pul a r  i n  c o n t r o l   l i t e ra t u r e .   B ut   s y s t e m   c a n   b e   of   h i g h e r   o rde r   w i t h   c o m pl e x  po l e s   t h u s   a da p t i v e   s c h e m e s   h a v e   b e e n   us e d  f o r   c o n t r o l l i n g   t hi s   s y s t e m .   T h e   s y s t e m               i s   gi v e n  a s   i n  [22]   ha v i ng  c o m pl e x  r o o t s - ,                                                    (21)     T h e   P ID - Z N   t u ni n g   r u l e s   f o r   t hi s   s y s t e m   w e r e   P = 0 . 6749 ,   I= 0 . 539 ,   D = 0. 2113 .       3. 2 . 1.    S t e p   r e s p o n s e   A da pt i v e   c o n t r o l l e r   p a ra m e t e r s   i . e .   a d a pt i v e   ga i n s   a r e   g i v e n   i n   T a b l e   3,   t h e   r e f e r e n c e   m o de l   c h o s e n   fo r   1 - D o f   a n d   2 - D o f   M R A C  i s                 .        T a b l e   3 .   A d a pt a t i o n  ga i n   v a l ue s   o f   c o n t r o l l e r s                 A d a p t i v e   P ID   0 . 0 3   NA   1 - D o f  M R A C   0 . 6   NA   2 - D o f  M R A C   0 . 6 2   0 . 6 2       S t e p  r e s po n s e   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   9  a nd  pe r f o r m a n c e s   a r e   c om pa r e d  i n   T a b l e   4  a nd  T a b l e   5,   i t   c a n   b e   s e e n   t ha t   t h e r e   a r e   m u l t i pl e   z e r o   c r o s s i ngs   fo r   P ID   a n d  A d a pt i v e   P ID   c o n t r o l l e r .   P ID   a l s o   gi v e s   t h e   l a r ge s t   i n i t i a l   u n de r s h o o t .   T h e   b e s t   pe r f o r m a n c e   i s   o b t a i n e d   by   2 - D of   M R A C  c o n t r o l l e r .           F i gu r e   9 .   S t e p   r e s po n s e   o f   a l l   a d a pt i v e   c o n t r o l   s c h e m e s   w i t h   P ID - Z N   a s   a   b e n c h m a r k       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       T r ans i e nt   ana l y s i s   of   s y s t e m s   e x hi b i t i ng  i nv e r s e   r e s pons e   an d  t h e i r   c o nt r ol   w i t h  CST R   as …   ( R ohan   L ak ha ni )   97   T a b l e   4 .   Co m p a r i s o n  o f   i n v e r s e   r e s po n s e   f o r m   di f f e r e n t   c o n t r o l l e r s     M a x i m u m   i n i t i a l   u n d e r s h o o t   N u m b e r   o f  z e r o   c r o s s i n g   P ID   - 0 . 7 5   3   1 - D o f  M R A C   - 0 . 0 2   1   A d a p t i v e   P ID   - 0 . 0 2 8   3   2 - Do f  M R A C   - 0 . 0 2   1       T a b l e   5 .   Co m p a r i s o n  o f   s y s t e m   pe r f o r m a n c e   i nde x  w i t h   di f f e r e n t   c o n t r o l   s c h e m e s     P ID   1 - D o f  M R A C   2 - D o f  M R A C   A d a p t i v e   P ID   S e t t l i n g   t i m e ( s e c )   35   1 5 . 4   7   11   Ri s e   t i m e ( s e c )   1 . 6 4   1 0 . 5   6 . 4   8 . 8   O v e r s h o o t ( % )   5   0   1   0       3. 2 . 2.     C o n tr o l l e r   e ffo r t   T h e   c o n t r o l l e r   e ffo r t   i s   s h o w n   i n   F i gu r e   10,   c o n v e n t i o n a l   P ID   r e qui r e s   hi g h   c o n t r o l   e ffo r t   w h i c h   c a n  b e   a   s e r i o us   l i m i t a t i o n   i n   h a rdw a r e .   T h e   i ni t i a l   hi g h   c o n t ro l   o ut put   o f  P ID   c a n   b e   a t t ri b ut e d  fo r   t r y i n g  t o   s uppr e s s   t h e   s y s t e m   i n v e r s e   r e s po n s e .             F i g u r e   10 .   Co n t r o l   e ff o r t       3. 2 . 3 .    H i gh e r   o r d e r   s ys t e m   w i th   z e r o s   o n   th e   l e ft   h al f   p l a n e   In  F i gu r e   11( a )  i t   c a n  b e   s e e n   t ha t   t h e   s y s t e m               s h o w s   a n   i n v e rs e   r e s po n s e   e ve n   t h o ug h   i t   ha s   a l l   z e r o s   o n   t h e   l e f t   h a l f   pl a n e .   F o r  a n   i n v e r s e   r e s po n s e   t h e   s y s t e m   do e s   n o t   n e c e s s a r i l y   h a v e   t o   be   n o n - m i ni m u m   pha s e .   T h e   s y s t e m   t ra n s f e r   f un c t i o n               i s   gi v e n   a s   i n  [2] .   P e r f o r m a n c e   o f   t h e   a da p t i v e   c o n t r o l l e r s   i s   s h o w n   i n   F i g u r e   11(b ),   a l l   a da pt i v e   c o n t r o l l e r s   w e r e   a b l e   t o   e l i m i na t e   t h e   i n v e r s e   r e s po n s e   a n d   h a v e   z e r o   i ni t i a l   unde r s h o o t s . 1 - D o f   M RA C  gi v e s   t h e   o pt i m a l   pe r f o r m a n c e .                     (                                                                               )                                                                                                    (22)           (a )   (b )     F i gu r e   11 .   ( a )   O pe n  l o o p  s t e p  r e s po n s e   o f   h i g h e r  o r de r  s y s t e m   (b )  S t e p   r e s po n s e   o f   h i g h e r  o r de r   s y s t e m   w i t h  a da p t i v e   c o n t r o l l e r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   1 ,  O c t o b e r   20 20  :     89   -   99   98   3. 3 .     A  c o n ti n i ou s   s ti r e d   tan k   r e a c to r   c as e   s tu d y,   w i th   n o ve l   o p ti m i z e d   t r aj e c to r y   fo r   t e m p e r atu r e   H e r e   a   n o n - m i ni m um   p h a s e   CS T R   s y s t e m   i s   i de n t i f i e d  a nd  t h e   o pt i m i z e d  t ra j e c t o r y   i s   us e d  fo r   r e f e r e n c e   t r a c ki ng.   T h e   s i g ni f i c a c e   of   a n   o pt i m i u m   t ra j e c t o r y   c a n   b e   s e e n   i n   [2 3],   t h us   i t   b e c o m e s   i n t e r e s t i ng  t o   s e e   h ow   a   po pul a r   s y s t e m   i n   p r o c e s s   i n dus t ri e s   s h o w i n g   i n v e r s e   r e s po n s e   b e h a v e s   w i t h   a n   o pt i m um   f e e d,   s h o w n   i n   F i gu r e   12  a s   i t   ha s   i m p i c a t i o n s   i n  t e r m s   o f   t h e   t i m e ,   p r o f i t s   a nd  p r o duc t   qu a l i t y .   A   de s i r e d  t r a j e c t o r y   w a s   us e d  i n   [2 4]  a n d   a n  o pt i m i z e d  t ra j e c t o r y   w a s   fo r m e d  i n   [ 25].     T h e   v a l ue s   o f   t e m pe r a t u r e   i n   t h e   f i gu r e   h a s   b e e n   s c a l e d  do w n   f o r   r e p r e s e n t a t i o n.   T h e   pe r f o r m a n c e   c a n   b e   s e e n   i n   F i gu r e   13 ,   P ID   i s   una b l e   t o   s uppr e s s   t h e   i n v e r s e   r e s po n s e   a n d  t r a c ks   t h e   r e f e r e n c e   w i t h  o s c i l l a t i o n s   b ut   o t h e r   a dv a n c e d  s c h e m e s   a r e   gi v i n g  a   go o d  re s po n s e .   F i gur e   14  a n d  15  s h o w s   t h e   c o n v e r s i o n   pr o f i l e   o f   r e a c t a nt   A   t o   p r o duc t   B ,   i t   c a n  b e   s e e n   t ha t   w h e n   o pt i m u m   f e e d  i s   us e d  t h e   c o n v e r s i o n   i s   m uc h   f a s t e r   w h e n   c o m pa r e d  t o   t h e   fe e d  w h i c h   us e s   s t e p  i n put .   T h e   r e s ul t s   w e r e   ob t a i n e d  fo r   F i gu r e s   14  a n d  15   us i n g  o de 45  s o l v e r   i n  m a t l a b .                   F i gu r e   12 .   O p t i m i z e d   T r a j e c t o r y   fo r   n o n - m i ni m u m   p h a s e ,   n o n - l i n e a r   CS T R       F i gu r e   13 .   CS T R   pe r f o r m a n c e   w i t h   i n pu t   o p r i m i z e d  t r a j e c t o r y   fo r   t ra c ki n g   w i t h  di f f e r e n t   c o n t r o l   s c h e m e s           F i gu r e   14 .   Co n v e r s i o n  o f   A   du r i n g   t h e   r e a c t i o n   w i t h  s t e p  i nput         F i gu r e   15 .   Co n v e r s i o n  o f   A   du r i n g   t h e   r e a c t i o n   w i t h  o pt i m i z e d  t ra j e c t o r y       4.   C O N C LU S I O N   A na l y s i s   of   t hr e e   s y s t e m s   w e r e   d o n e   a nd  pe r f o r m a n c e   c o m pa r e d,   P I  i nn e r - o ut e r   f a c t o r i z a t i o n   c o n t r o l l e r   g i v e s   t h e   b e s t   pe r f o r m a n c e   i n  t e r m s   o f   m i ni m u m   i n i t i a l   u nde r s h o o t   a n d   t ra c ki n g  pe r f o r m a n c e   fo r   s t a n d a r d  n o n - m i n i m u m   p h a s e   c o upl e d  t a n k  s y s t e m .   In   a da pt i v e   c o n t r o l ,   2 - D o f   M R A C  gi ve s   s upe r i o r   pe r f o r m a n c e   f o r   ge n e r a l   n o n - m i n i m u m   p ha s e   s y s t e m s .   T h e   n o v e l   o pt i m u m   t r a j e c t o r y   fo r   CS T R   w a s   fo r m e d  by   s ol v i n g  a   n o n - l i n e a r   dy n a m i c   c o n s t ra i n e d   o pt i m i z a t i o n   p r o b l e m   us i n g  a c a do   a n d  i t   w a s   s h o w n   t h a t ,   f o r   a   pa rt i c ul a r   c h e m i c a l   r e a c t i o n   t h e   r e a c t a n t   i s   c o n v e r t e d  t o   t h e   pr o duc t   i n   a   m uc h   s h o r t e r   t i m e ,   a da pt i v e   c o n t r o l   w a s   us e d  fo r   CS T R   w h i c h   s upp r e s s e d  t h e   i n v e r s e   r e s po n s e   a n d  ga v e   go o d  t r a c ki n g  pe r f o r m a n c e   fo r   t h e   t r a j e c t o r y .   P ID   w h i c h   i s   t h e   w o r kh o r s e   i n  pr o c e s s   i n dus t r i e s   ha s   l i m i t a t i o n s   w h e n  s y s t e m s   e xh i b i t i n g   i nv e r s e   r e s po n s e   i s   c o n c e rn e d  a s   s h o w n   f o r   CS T R .   Ro b us t n e s s ,   h i g h   c o n t r o l   e f fo r t   a n d  l a r ge   i n i t i a l   u n de r s hoo t   a r e   p r o b l e m s   fo un d  w i t h   t h e   c o n v e n t i o n a l   c o n t r o l l e r s   a n d  o t h e r   p r e v i o us   s c h e m e s   i n   l a t e ra t u r e   w h i c h   w e r e   ov e r c o m e   us i n g  A da p t i v e   c o n t r o l   s c h e m e s .   T r a c ki ng  w a s   n o t   hi n de r e d  by   us i n g  M R A C  t e c hni que s ,   i n v e r s e   r e s po n s e   w a s   s uppr e s s e d,   m a xi m u m   p r o duc t   w a s   a c h i e v e d  i n  m i n i m u m   a m o u n t   o f   t i m e   w i t h  l o w   c o n t r o l   e ffo r t .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.