I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   17 ,   N o .   3 M a r c 20 20 ,   pp.   11 58 ~ 11 69   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 7 .i 3 . pp 115 8 - 1169             1158       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om   D e c e n t r a l i z e d   c o n st r a i n e d   o p t i m a l   c o n t r o l   o f   t h e   m u l t i m a c h i n e   p o w e r   sy st e m   st a b i l i t y   i m p r o v e m e n t       D ji b r i n e .   A b ak ar 1 ,   A .   A .   A b o u e l s ou d 2 ,   M i c h ae l .   J.   S au l o 3 ,   S .   S i m i yu .   S i tat i 4   1 D e pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng ,   P a n   A f r i c a U n i v e r s i t y ,   I ns t i t u t e   f o r   B a s i c   S c i e nc e s ,     T e c hno l o gy   a nd  I nn o v a t i o ns   ( P A U I S T I )   N a i r o bi ,   K e ny a     1 D e pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng ,   P o l y t e c hni c   U n i v e r s i t y   of   M o ngo   ( U P M ) ,   C ha d   2 E l e c t r o ni c s   a nd   E l e c t r i c a l   C o m m uni c a t i o E ng i n e e r i n g ,   C a i r o   U ni v e r s i t y   ( C U ) ,   E gy pt   3 D e pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng ,   T e c hni c a l   U ni v e r s i t y   of   M o m ba s a   ( T U M ) ,   K e ny a   4 D e pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   &   C o m m uni c a t i o ns   E ng i ne e r i ng ,   M o i   U n i v e r s i t y   ( M U ) ,   K e ny a       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T     Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e J ul   23 ,   20 19   R e v i s e S e p   24 ,   201 9   A c c e pt e O c t   8 ,   20 1 9       T hi s   pa pe r   pr o po s e s   a   de c e nt r a l i z e c o ns t r a i n e o pt i m a l   c o nt r o l   o f   t he   m ul t i m a c hi n e   po w e r   s y s t e m   s t a b i l i t y .   T o da y s   po w e r   n e t w o r k s   o pe r a t e   c l o s e r   t o   t he i r   m a x i m um   l i m i t s .   A l t e r n a t i v e   C ur r e nt   po w e r   g r i d s   a r e   m o r e   v ul ne r a bl e   a nd   s u bj e c t   t o   i ns t a b i l i t y   t ha n   e v e r   b e f o r e .   A   t h r e e   m a c hi ne   po w e r   s y s t e m   a nd   f o ur   m a c hi ne s ,   po w e r   s y s t e m   c o nne c t e d   w i t h   a   l o s s y   t r a ns m i s s i o l i ne ,   i s   i nv e s t i g a t e d.   T h e   l i ne a r i z e d   dy na m i c a l   e qua t i o ns   o f   t he   m ul t i m a c hi ne   po w e r   s y s t e m   a r e   o bt a i ne d   ne a r   t o   a e qu i l i b r i um   po i n t ,   a nd   i t   c a be   s t a bi l i z e by   us i ng   a   de c e n t r a l i z e c o ns t r a i ne d   c o nt r o l l e r   b a s e o o p t i m a l   c ont r o l .   T he   f e e dba c c o nt r o l l e r ,   w hi c c o m pr i s e s   i n de pe nde nt   c o nt r o l   s t a t i o ns ,   r e c e i v e s   t he   m e a s u r e m e n t   da t a   a nd   i nf l ue nc e s   t he   c o nt r o l   i n put   o f   t h e   m a c hi n e   a t t a c he d   t o   i t   t he   s ub s y s t e m s .   S t a t e   f e e d ba c c o nt r o l l e r   g ua r a nt e e s   t h a t   t he   c l o s e d - l o o p   s y s t e m   i s   s t a bl e   a nd  c a g ua r a n t e e   t he   pe r f o r m a nc e   i nd e x.   T he   de s i g ne d   c o nt r o l l e s y s t e m s   a r e   ba s e o t h e   A l g e br a i c   R i c c a t i   E q ua t i o ns ,   a nd  a l l   i t s   po l e s   a r e   i n   t h e   c l o s e d   l e f t   ha l f - pl a n e .   D e c e n t r a l i z e d   c o ns t r a i n e o pt i m a l   c o nt r o l   o f   t he   m u l t i m a c h i ne   po w e r   s y s t e m   i s   a c hi e v e t h r o ug s i m ul a t i o r e s ul t s .   T he   f o l l o w i ng   r e s ul t s   a r e   p r o po s e by   i m pr o v i ng   po w e r   s y s t e m   s t a bi l i t y .   Ke y w or ds :   D e c e n t ra l i z e c o nt r o l     M ul t i m a c hi n e   po w e r   s y s t e m   O pt i m a l   c o n t r o l   c o n s t r a i n e f e e d b a c s t a t e   C opy r i gh t   ©   2020   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   D j i b r i n e   A b a ka r,   D e pa rt m e n t   o f   E l e c t ri c a l   a nd  E l e c t r o ni c   E ngi n e e ri n g ,   62000 - 002 00  P A U IS T I J K U A T   N a i r o b i ,   K e n y a .   E m a i l :   dj i b r i n e a b a k a r@ h o t m a i l . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N     P ow e s y s t e m s   s t a b i l i t y   p r o b l e m   ha s   b e e e n um e r a t e d   a n d   c o nt i n ue s   t o   r e c e i v e   a   g r e a t   de a l   o f   a t t e n t i o ov e r   t h e   y e a r s .   S t a b i l i t y   of   a   po w e r   s y s t e m   i s   t h e   a b i l i t y   of   t he   pow e r   s y s t e m   t o   r e t u rn  t o   i t s   n o rm a l   c o n d i t i o n s   a f t e r   b e i n g   s ub j e c t e t o   a   di s t u r b a n c e ,   s uc a s   a   s y s t e m   f a ul t   s uc h   a s   a   t ra n s m i s s i o l i n e   o ut a ge   f o r   ge n e r a t o o ut a ge   [1 - 2] .   S uppo rt i ng  a   po w e r   s y s t e m   w i t s e v e r a l   m a c hi ne s   a n d   s uppl y i n g   c o n t i n uo us l y   t ha t   i s   m o t i v a t i n g   o pe r a t i ng  s y s t e m   i n   d i f f e r e n t   s c e n a ri o s   c o ul n o t   l e a d   t o   f a i l ur e   o f   t h e   p r o c e dur e s   a n b l a c ko ut s .   A   de c e n t ra l i z e c o n t r o l l e r   i s   a   f e e d b a c c o n t r o l l e r ,   w hi c h   c o n s i s t s   o f   i n de pe n de n t   c o nt r o l   s t a t i o n s ,   e a c h   o f   w h i c h   r e c e i v e s   t h e   m e a s u r e m e nt   da t a   a n d   i n f l ue n c e   t h e   c o n t r o l   i nput   o nl y   f r o m   t h e   a t t a c h e s ub s y s t e m s   [3] .   T h e   i n f o r m a t i o n   f l o w   f r o m   t h e   pl a n t   t hr o ug h   t h e   c o n t r o l l e r   i n   t he   fe e d b a c l oo t ha t   i s   di v i d e i n t o   a   s e pa ra t e d   pa r a l l e l   f l o w   t hr o ug t h e   c o n t r o l   s t a t i o n s .   D e c e n t r a l i z a t i o i s   a e f fe c t i ve   w a y   t o   de a l   w i t c o m pl e xi t y   a n c r o s s   c h a n ge s   i n   t h e   i nt e ra c t i o n s   o f   l a r ge - s c a l e   dy n a m i c   s y s t e m s .   A l t h o ug h   t h e   o pt i m a l   c o n t r o l   c o n c e pt   ha s   m a n y   a dv a n t a ge s ,   i t   i n v o l v e s   a   c o m pl i c a t e r o ut e   i s o l v i ng  t h e   p r o b l e m s   o f     n o n l i n e a s y s t e m s .   D i f fe r e n t   m e t h o ds   h a v e   b e e n   us e t o   i m p r o v e   de c e n t ra l i z a t i o n   o f   t h e   m ul t i m a c hi n e   i n   r e c e n t   de c a de s .   X i   [4]   de s i g n e d   a   n o n l i n e a de c e n t ra l i z e c o n t r o l l e us e i n   H a m i l t o n i a n   f u n c t i o n s .   T h e   m e t h o ds   o f   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       D e c e nt r al i z e d   c ons t r ai ne d   op t i m al   c ont r o l   o f   t h e   m u l t i m ac h i ne   ( D j i br i ne .   A ba k ar )   1159   s a t u ra t e s t e a m   v a l v e   a n d   e xc i t a t i o c o n t r o l l e i t h e   po w e r   s y s t e m .   O r t e g a   [ 5]   P r o po s e t r a n s i e nt   s t a b i l i z a t i o of   m ul t i m a c hi n e   po w e r   s y s t e m s   w i t h   n o n t ri v i a l   t r a n s f e r   c o n d u c t a n c e   b a s e o n   H a m i l t o ni a po rt   a nd  e s t i m a t e t h e   do m a i o f   a t t ra c t i o o f   a   b o n a   f i de   L y a pun o v   f un c t i o n .   L i   [6]   p r o po s e a   n o nl i n e a r o b us t   de c e n t ra l i z e by   us i n g   l i n e a m a t r i x   i n e qua l i t i e s   a pp r o a c t o   m u l t i m a c hi n e   c a s e s ,   b a s e o s ub o pt i m a l   gua ra nt e e s t a b i l i t y ,   c o s t   pe r f o r m a n c e   t o   b e   o pe r a t e b y   di ffe r e nt   o pe ra t i n po i nt   f a ul t   l o c a t i o n.   A b o ue l s o ud  [7]   p r o po s e a   s t a b i l i z i ng  c o n t r o l l e f o r   a   s i n gl e   m a c hi n e   po w e r   s y s t e m   w i t h   a   n o n z e ro   c o n duc t a n c e   o f   t ra n s m i s s i o l i n e ,   b a s e o t h e   ob s e r ve t o   e s t i m a t e   t h e   po w e r   a ngl e   o f   t h e   s y s t e m .   T h e   s t a b i l i t y   of   t h e   r e duc e d - o r de o b s e r v e r   a nd   c l o s e d - l oo p   of   t h e   s y s t e m   i n c o r po ra t i n g   us i n g   t h e   L y a pun o v   di r e c t   m e t h o i s   f o r   a   s i n g l e   m a c h i n e .   H ua n [8]   de s i g n e a   n e w   m o de l   of   e xc i t a t i o n   de c e nt ra l i z e c o n s t r a i n e c o n t r o l l e r   o f   t h e   m ul t i m a c h i n e   po w e r   s y s t e m   b a s e o n   t h e   o pt i m a l   f e e d b a c ga i n.   L e e   a nd  L i a w   [9]   p r o po s e t h e   s o l ut i o of  i n v e r s e   l i n e a o pt i m a l   c o nt r o l   f o r   c o n s t a nt   di s t u r b a n c e   us i n g   A l ge b r a i c   R i c c a t i   E qu a t i o n s   b a s e o t h e   l i n e a r - qua d ra t i c   r e gul a t o f o r   a o pt i m a l   f e e d b a c l a w   a n d   t h e   r e l a t i o n s h i ps   b e t w e e n   t h e   o pe n - l o o po l e s   a n t h e   c l o s e d - l oo po l e s   t ha t   gua ra nt e e   a   po s i t i v e   r e gul a t o r.   A b o ue l s o ud  [10]   p r o po s e a   gl o b a l   s t a b i l i z a t i o o f   l i n e a r   time - i n v a ri a nt   s y s t e m s   s u b j e c t   t o   s t a t e   a n c o n t r o l   c o n s t ra i n t s   b a s e o n   t h e   di r e c t   f e e db a c c o n t r o l l e r   t gl o b a l l y   a s y m pt o t i c a l l y   s t a b i l i z e   a   c o nt i n uo us - t i m e   l i n e a t i m e - i n v a r i a n t   s ub j e c t e t o   s y m m e t r i c a l   po l y h e dra l   s t a t e   a n d   c o n t r o l   c o n s t ra i nt s   s e t s .     E l l o um i   [11]   c o m pa r e a   de c e nt r a l i z e c o n t r o l   l a w   t o   i m p l e m e nt   a   m u l t i m a c hi n e   po w e r   s y s t e m .     A n d   i t   p r e s e nt e t w o   a s pe c t s   w h i c h   a r e   a   l i n e a r   de c e n t r a l i z e c o n t r o l ,   a n d   t h e   g a i n s   de pe n d   o n o nl i n e a ri t y   of  t h e   s y s t e m   a nd  s uc c e s s i ve   a pp r o xi m a t i o a pp r o a c t o   de t e rm i n e   t w o - p o i n t   b o un da r y   v a l ue .   H o n gs h a a n X i a o m i n g   [12]   p r o po s e a   f a s t   e xc i t a t i o n   p r e di c t i v e   c o n t r o l   m e t h o f o r   a   m u l t i m a c h i n e   po w e r   s y s t e m   b a s e d   o n   a   dy n a m i c   m o de l   a n d   s o m e   i n e qua l i t y   c o n s t r a i nt s   o s t a t e s ,   i n pu t s ,   a nd   o ut put s   a r e   c o n s i de r e d   i r o l l i ng  o pt i m i z a t i o b y   us i ng   G r a m i a b a l a n c e d   r e duc t i o t e c hni que .   H os n i   a n d   S e l w a   [1 3]   i n v e s t i ga t e d   t h e   p r o b l e m   of   de c e n t ra l i z e r o b us t   s t a b i l i z i n g   c o n t r o l ,   b a s e o di r e c t   L y a pun o v   m e t h o ds   a n d   K r o n e c ke r   r e duc t i o pr o duc t i o n   n o t a t i o n.   T a o   [14 ]   p r o po s e a o pt i m a l   c o n t r o l   p r o b l e m   fo r   l a r ge - s c a l e   s y s t e m s   w i t u n k n o w n   pa r a m e t e r s   a n d   dy n a m i c s .   I t   us e s   a   r o b us t   a d a pt i v e   d y n a m i c   pr o g r a m m i n g   m e t h o a nd  de c e n t ra l i z e o pt i m a l   c o n t r o l   w i t h   u nm a t c h e u n c e rt a i n t i e s .   T h e   c o n v e r ge n c e s   of   t h e   r o b us t   a da p t i v e   d y n a m i c   p r o gra m m i n a l go r i t hm   a n d   a s y m pt o t i c   s t a b i l i t y   of   t h e   c l o s e d - l oo of   t h e   l a r ge - s c a l e   s y s t e m   a r e   s t udi e d   r i go r o us l y .   T h i s   pa pe p r o po s e a i m p r o v e m e n t   i n   t h e   m ul t i m a c h i n e   po w e r   s y s t e m   us i n g   de c e n t ra l i z e c o n s t ra i n e o pt i m a l   c o n t r o l .   T ra n s i e n t   s t a b i l i t y   a s s e s s e s   us i n g   pa ra m e t e r   s p a c e   h a s   b e e n   l i m i t e d   by   t h e   n u m b e r   of   m a c hi n e s   a nd  s t a b i l i t y   a r e   b o un de b e c a us e   of   s i z e   a n d   di m e n s i o n.   P o w e r   s y s t e m   s t a b i l i z e a nd  ge n e t i c   a l go ri t hm   ha v e   a ppl i e t o   a   s i n g l e   m a c hi n e   i n f i n i t e   b us ,   w h i c h   c o m pl i c a t e f o r   t h e   m ul t i m a c h i n e   s y s t e m .   T h e   d i f f i c ul t i e s   a r i s e   t ha t   us e   a   r a ndo m   v a r i a t i o n   a n s e l e c t i o o f   m i ni m i z i n e s t i m a t e   e rr o r   a n d   t i m e   c o n s u m e f o r   t h e   a rt i f i c i a l   i m m u n e   s y s t e m   a n d   e vo l ut i o na r y   pr o gra m m i ng   [2 3 - 25 ] .       2.   M O D E A N D   P R O B LE M   F O R M U LA TI O N     T h e   p a pe r   c o n s i de r s   t h e   m ul t i m a c h i n e   po w e r   s y s t e m s   c o n s i s t i n g   o f   ge n e r a t o r s   i nt e r c o nn e c t e t hr o ug a   t r a n s m i s s i o l i n e   w h i c i s   a s s um e a s   a   l o s s y .   T h e   dy n a m i c s   o f   t h e   i t h   ge n e ra t o r s   i s   p r e s e nt e   by   [5 15 - 16 ] .   T h e   c l a s s i c a l   t hr e e - di m e n s i o na l   f l ux  de c a y   m o de l   pr e s e nt s   t h e   dy n a m i c   o f   t h e   i th   ge n e r a t o w i t h   e xc i t a t i o n     0 1 , : 1 , ..............., ii mi m i e i i ii i qi fi i i i N N D PP MM E E E    (1)     W h e r e   t h e   s t a t e s   v a ri a b l e s   o f   t h i s   s ub s y s t e m   a r e   t h e   r o t o a n g l e   δ i     =[0 , 2 ) ,   ra d ,   t h e   s pe e de v i a t i o n   i     i a   ra d / s e c   a n d   t h e   ge n e r a t o q ua d ra t u r e   i n t e rna l   v o l t a ge   E i     +   i p . u .   D mi   i s   t h e   da m pi ng   c o n s t a nt   i pu .   M i =   2H ,   w h e r e   H   i s   t h e   i n e r t i a   c o n s t a nt s   i s e c o n ds ,   P m i   i s   t he   c o n s t a n t s   m e c ha n i c a l   i nput   po w e r   a n P ei   i s   t h e   e l e c t r o m a g n e t i c   po w e r ,   b o t i pu   (pe u ni t s ) ,   i   i s   t h e   d i r e c t   a xi s   t ra n s i e n t   s h o rt   c i r c ui t   t i m e   c o n s t a n t .   T h e   vo l t a ge s   E qi ,   E fi   a n d   i,   e xp r e s s e i n   pu   a r e   t h e   e l e c t r o m o t i v e   fo r c e   i n   t h e   qu a d r a t u r e   a xi s ,     t h e   c o n t r o l   c o n s t a nt   v o l t a ge   c o m po n e n t   a ppl i e t o   t h e   f i e l w i n d i n g   a nd   t h e   c o n t r o l   v o l t a ge   i nput ,   r e s pe c t i v e l y .     T h e   a c t i v e   P ei   a n d   r e a c t i v e   Q ei   po w e r ,   a s   w e l l   a s   t h e   v o l t a ge   E qi ,   a r e   de f i n e d   a s :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   17 ,   N o .   3 M a r c 20 20  :     1158   -   1169   1160   e i i q i i d i ei q i i d i fi d i d i a d i P E I Q EI x x x E E I I   (2)     W h e r e   I q i   a n I di   a r e   t h e   qua d r a t u r e s   a n d i r e c t   a x i s   c urr e nt s ,   x di   i s   t h e   di r e c t   a xi s   r e a c t a n c e   a nd  x’  di   t h e   di r e c t   a xi s   t ra n s i e n t   r e a c t a n c e ,   w h e r e   i t   s a y s   t h a t   x di ˃ x’   d i .   I fi   i s   t h e   f i e l d   w i n d i n g   c u rr e n t   a n d   x a d i   i s   t h e   m u t ua l   r e a c t a n c e   b e t w e e n   t h e   e xc i t a t i o a nd  s t a t o r   c o i l s .   A l l   t h e   l a t t e qu a n t i t i e s   a r e   e xp r e s s e i n   p . u .   S y s t e m .     T h e   c u rr e nt s   g i v e   t h e   i nt e r c o nn e c t i o n   b e t w e e n   m a c h i n e s.     1 1 c o s sin sin c o s N q i j m ij m ij ij ij j N d i j m ij m ij ij ij j G I E B G I E B       (3)     W h e r e   δ ij   =   δ i - δ j ,   G m i j   i s   t h e   c o n d uc t a n c e   a nd  B m i j   i s   t h e   s us c e pt a n c e   b o t i pu   r e s ul t i n g   f r o m   t h e   c o m put a t i o n   of   t h e   n e t w o r a d m i t t a n c e   m a t ri x.   D e v e l o pi n t h e   s um s   w h e j = i   a nd  r e c a l l i n g   t h e   i de n t i t i e s .   T h e   n e t w o r a dm i t t a n c e   t hr o ug c o n duc t a n c e   a n d   s us c e pt a n c e   r e a ds :     2 2 a r c t a n c os si n si n si n c os c os ij m ij m ij m ij ij m ij m ij ij m ij ij ij ij ij m ij ij m ij ij ij ij ij Y G B G B G BY G BY        (4)     Y i e l ds   t h e   c urr e nt   i n   q ua d ra t i c   a nd  di r e c t   a xi s :     1 1 sin c o s N q i i j ij m ii ij ij j N d i m ii i j ij ij ij j G I E E Y I B E E Y     (5)     F i na l l y ,   c o m b i n i ng  (1)   a nd  (4)   r e s ul t s   i n   t h e   w e l l - kn o w n   c o m pa c t   f o r m   i s   t h e   dy n a m i c   e qu a t i o n   o f   t h e   t h i r d - o r de r   m o de l   ( ̇ , ̇ , ̇ )   w h i c b e c o m e s :     2 1, 1, sin 1 c o s ii N i i i i i j i j i i i i i j i j j j i N i i i i j i j f i i j i j i j j i i E d E a E b G D P E Y E E Y E      (6)     W i t h   t h e   po s i t i v e   c o n s t a nt s :     0 , , , 11 1, mi i i i m i ii i m ii i ii i di di m ii i di di ii D D P d P G d G d MM a x x B b x x     S i m i l a rl y ,   i t   o b s e r v e s   t h a t ,   a i,   b i ˃ 0   a ij ij ,   a nd  t ha t   i f   M i =M j ,   Y ij =Y ji   It   a s s u m e s   t h a t   t h e   m o de l   w i t h   u i = ha s   s t a b l e t h e   e qu i l i b r i u m   po i n t s   , 0 , ii E  a n d   i t   f i n ds   t h e   c o nt r o l   l a w   u s uc h   t h a t   i t   o pe r a t e s   i c l o s e d - l oo p.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       D e c e nt r al i z e d   c ons t r ai ne d   op t i m al   c ont r o l   o f   t h e   m u l t i m ac h i ne   ( D j i br i ne .   A ba k ar )   1161   3.   S TA B I LI ZA TI O N   WI TH   S TA TE   C O N S TR A I N TS   Co n s i de r i n g   a   c o n t i n uo us - t i m e   L i n e a T i m e - I n v a r i a nt   s y s t e m   a s   f o l l o w s :     x t A x t B u t    (7)     , ( , )   i t   i s   a   c o n t r o l l a b l e   pa i a n d   s y m m e t ri c   c o n s t r a i n t   s t a t e   a n d   c o n t r o l   o f   s e t s .     = { : }   (8)     = { : }   (9)     1 × ,   1 ×   A r e   b o t f ul l   r o w   ra n k ,   i t   c o n s i de r s   t h e   p r o b l e m   o f   de s i g n i ng  a   s t a t e   f e e db a c k   c o n t r o l l e r   [10 ,   17 21 ,   22 ] .   By   s c a l i n g ,   l e t   us   m a ke   = 1   a n d   = 1 ̅   = { : 1 ̅ 1 ̅ }   = { : 1 ̅ 1 ̅ }   L e t     = [ 0 ] ,   = ( 0 )   =   t h e n   t h e   s t a t e   a n d   c o n t r o l   c o n s t ra i n t s   b e c o m e   1 ̅ (  ) 1 ̅   O r   1 ̅ + 1 ̅   A s s um e   t h a t   t h e   i n v a r i a nt   z e r o s   o f   t h e   s y s t e m   (A ,   B ,   G ,   a n d   E a r e   i t h e   o pe n   l e f t - ha l f   pl a n e .     u t K x t    (10)     K   Is   g a i n,   s uc t ha t   t h e   c l o s e d - l oo s y s t e m   b e c o m e s :     c x t A x t   (11)     W h e r e   =    i s   a s y m pt o t i c a l l y   s t a b l e ,   a n d   b o t h   s t a t e   c o nt r o l   c o ns t ra i nt s   ( 8),   (9)   a r e   s a t i s f i e d.   T hi s   i m p l i e s   t ha t   t h e   s t a t e   S x   i s   A c   i n v a r i a nt .     3. 1 .      S i m u l ati o n   R e s u l ts     T h e   m o t i o n   e qu a t i o n   o f   t h e   t hr e e - m a c h i n e   po w e r   s y s t e m   c a b e   de s c r i b e by :     11 2 1 1 1 1 11 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 22 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 33 2 3 3 3 3 33 3 1 3 1 3 3 3 3 3 1 sin c os sin c os sin c f f D P G E Y E E E a E b E E u D P G E Y E E E a E b E E u D P G E Y E E E a E b E    3 1 3 3 os f Eu   (12)      D uri n g   t h e   s t e a dy - s t a t e ,   a l l   t h e s e   p a r a m e t e r s   b e c o m e   a s   m e nt i o n e b e l ow   t o   de t e r m i n e   t h e   e qui l i b ri u m   po i nt s :   1 0 ; 2 0 ; 3 0 ; 1 0 u 2 0 u ; 3 0 u   0     10 , 20 , 30   a n d   10 E , 20 E , 30 E   t o   b e   kn o w n   a n d   t h e n;     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   17 ,   N o .   3 M a r c 20 20  :     1158   -   1169   1162   0 0 fx ;   a s   s h o w n   i (12)   b e c o m e s :     2 1 11 10 10 20 10 20 1 10 1 20 10 20 1 2 2 22 20 10 20 10 20 2 20 2 20 20 10 2 2 3 33 30 10 30 10 30 3 30 3 10 30 10 3 sin 0 c os 0 sin 0 c os 0 sin 0 c os 0 f f f P G E Y E E a E b E E P G E Y E E a E b E E P G E Y E E a E b E E   (13)     2 1 1 1 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 s in P G E Y E E   (14)     1 1 0 1 1 0 2 0 1 2 0 c o s f a E E bE   (15)     2 3 3 3 33 30 30 10 2 3 3 30 3 30 3 ta n f b P b G E Y a E Y E E   (16)     2 1 2 1 1 1 0 10 1 1 1 0 P P G E E GE    (17)     2 2 2 0 1 1 0 1 2 1 2 * * f f E b E a E E a b a     (18)     3 3 3 3 0 3 0 1 0 3 30 3 0 3 3 3 0 1 0 3 3 3 ta n ta n f b P Y E E E E Y a b G     (19)     2 4 4 4 4 0 1 0 4 0 4 1 0 4 0 s in P G E Y E E   (20)     4 4 0 4 4 0 1 0 4 1 0 c o s f a E E bE   (21)     2 4 4 4 0 4 4 4 0 1 0 4 4 0 4 4 0 4 ta n f G E P b Y E a E E   (22)     4 4 0 4 4 0 1 0 4 4 40 4 0 4 4 4 0 1 0 4 4 4 ta n ta n f Y E E b P E E a Y b G     (23)     Co n s i de r i n g   a   po w e r   s y s t e m   n e t w o r r e p r e s e nt e by   fo ur   m a c hi n e s   c o n n e c t e t o   a   t ra n s m i s s i o l i n e   i s   l o s s y ,   a s   s h o w n :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       D e c e nt r al i z e d   c ons t r ai ne d   op t i m al   c ont r o l   o f   t h e   m u l t i m ac h i ne   ( D j i br i ne .   A ba k ar )   1163   11 2 1 1 1 1 11 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 22 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 33 2 3 3 3 3 33 3 1 3 1 3 3 3 3 3 1 sin c os sin c os sin c f f D P G E Y E E E a E b E E u D P G E Y E E E a E b E E u D P G E Y E E E a E b E    3 1 3 3 44 2 4 4 4 4 44 4 1 4 1 4 4 4 4 4 1 4 1 4 4 os sin c os f f Eu D P G E Y E E E a E b E E u    (24)     It   de t e rm i n e s   t h e   e qui l i b r i u m   po i nt s   b y   a s s um i n g :   1 0 ;   2 0 ; 3 0   4 0   1 0 u 2 0 u   3 0 u ; 4 0 u ;   T h e   c a l c ul a t i o n   o f   t h e   pa ra m e t e r s   i s :   10 ; 20   30 40   ; 10 E ; 20 E   30 E 40 E           F i gu r e   1 .   T hr e e   m a c hi n e s   po w e r   s y s t e m s   [1]           F i gu r e   2 .   F o ur  m a c h i n e s   po w e r   s y s t e m s   [18 - 20 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   17 ,   N o .   3 M a r c 20 20  :     1158   -   1169   1164   4.   R ES U LTS   A N D   D I S C U S S I O N   T h e s e   r e s ul t s   a r e   c o m pa r e a n d i s c us s e i t h e   num e r i c a l   p r o c e dur e   fo r   t h e   m u l t i m a c hi n e   po w e r   s y s t e m .   D e c e n t ra l i z e c o n s t ra i n e c o nt r o l l e r   n o t   o nl y   s t a b i l i z e s   t h e   po w e r   s y s t e m   b ut   a l s o   a c hi e v e s   a n   o pt i m a s o l ut i o n   f o o ve r a l l   s ub s y s t e m s .   T h e   n u m e ri c a l   s i m ul a t i o o f   t h e   t hr e e - m a c hi n e   po w e r   s y s t e m   a n d   t h e   f o ur - m a c h i n e   po w e r   s y s t e m   i ndi c a t e d   t h e   r e s ul t s .     4. 1 .      Th r e e   M a c h i n e   S ys te m   T h e   s i m ul a t i o n s   c a rr i e d   o ut   o n   t h e   t hr e e   m a c h i n e s ,   a   po w e r   s y s t e m   w i t a   l o s s y   t r a n s m i s s i o n   l i n e   a nd  de c e n t ra l i z e d   c o n s t ra i n e d   c o n t r o l l e i s   s o l v e d.   A   t hr e e - p h a s e   f a ul t   o c c ur s   a t   1 . 5   s e c o n ds   o t h e   t r a n s m i s s i o n   l i n e   b e t w e e n   b us   a n n e a r e s t   t o   b us   i n   F i gu r e   1 .   T h e   f a ul t   i s   c l e a r e d   by   o p e n i n g   t h e   c i r c ui t   b r e a ke r s   b o t h   a t   t h e   e n ds   o f   t h e   l i n e .   It   m a ke s   o v e r   2   s e c o n ds .   D u r i ng  t h e   s t e a d y - s t a t e ,   t h e   c o n v e n t i o na l   c o n t r o l   s y s t e m   w i t h :   1 0 u ; 2 0 u ; 3 0 u ,   w h i c c a nn o t   m a i nt a i t h e   s t a b i l i t y   o f   t h e   f a ul t   i s   c l e a r e i 2. 2   s e c o n ds   a f t e f a ul t   o c c urr e n c e s .   T h e   o pt i m a l   c o n t r o l   de c e n t ra l i z e d   c o n s t ra i n e d ,   a nd   t h e y   gi v e   t h e   f e e db a c s t a t e   ga i m a t ri x   K   t i m e   r e s po n s e   o f   t h e   r o t o a ngl e ;   t h e   r o t o s pe e a n d   t h e   e xc i t a t i o s y s t e m   of   t h e   m a c hi n e s   1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1 E ; 2 E ; 3 E a r e   i l l us t ra t e d   i t h e   Fi gu r e s   3   i F i g u r e   11   w hi c s h o w   t h e   r e s po n s e s   o f   t h e   m ul t i m a c hi n e   s y s t e m .   T h o s e   f i gur e s   s h o w   t h e   a dv a nt a ge   o f   t h e   p r o po s e c o n t r o l   s c h e m e .   T h e   s i m ul a t i o o f   t h e   p r o po s e c o n t r o l   s t ruc t u r e   o f   t h e   s y s t e m   u nde i de n t i c a l   c o n di t i o n s   l e a ds   t o   t he   f o l l ow i n g   o b s e r v a t i o n s .   It   p l o t s   t h e   r e s ul t s   t ha t   s h o w   t h e   r o t o a n gl e   v e r s us   t i m e ,   t h e   r o t o s pe e v e r s us   t i m e ,   a nd   t h e   e xc i t a t i o s y s t e m   v e r s us   t i m e   a r e   s h o w n   i n   F i gu r e   3   t o   F i g u r e   11   f o r   e a c m a c h i n e   s y s t e m s .     T h i s   c o n t r o l   t e c hni que   i n v o l ve s   s e ve r a l   i nde pe n de n t   l o c a l   c o nt r o l l e r s   de c e n t ra l i z e d   t hr o ug s ub s y s t e m   c oo r di n a t i o n.   I t   c o n s i de r s   a   l o c a l   f e e d b a c c o n t r o l l e c om m u ni c a t i n g   a m o n g   s ub s y s t e m   w i t c o n s t ra i nt   bo un de d.   T hi s   a dv a n t a ge   o f   t h e   de c e n t ra l i z e c o nt r o l l e i s   r e l i a b l e   a n d   e nl a r ge a b l e   f o r   e a c s ub s y s t e m   s e e m s   t o   a c h i e v e   i t s   o b j e c t i ve .   T h e   de c i s i o i s   t a ke l o c a l l y ,   a n d   n e go t i a t i o c a t a ke   pl a c e   i d i f fe r e nt   a c t u a t o r s .   T h e y   us ua l l y   ha v e   di f f e r e n t   go a l s   t ha t   a r e   a ppl i e f o r   t hr e e   m a c hi n e   s y s t e m   a nd  f o ur   m a c hi n e   s y s t e m .           F i gu r e   3 .   R o t o r   a ngl e   o f   m a c h i n e   #1           F i gu r e   4 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c h i n e   #1           F i gu r e   5 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c h i n e   #1       F i gu r e   6 .   R o t o r   a ngl e   o f   m a c h i n e   #2   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       D e c e nt r al i z e d   c ons t r ai ne d   op t i m al   c ont r o l   o f   t h e   m u l t i m ac h i ne   ( D j i br i ne .   A ba k ar )   1165       F i gu r e   7 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c h i n e   #2           F i gu r e   8 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c h i n e   #2           F i gu r e   9.   R o t o r   a ngl e   o f   m a c h i n e   #3           F i gu r e   10 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c hi n e   #3           F i gu r e   11 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c hi n e   #3       T h e   a na l y s i s   a s s um e s   t h a t   w h e t h e r e   a r e   n o   l o s s e s ,   t h e   c o n d uc t a n c e   i s   n u l l .   T h e   e qui l i b ri um   po i n t s   a t   t h e   s t e a dy - s t a t e   a f t e t h e   f a ul t   i s :   1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , , , , , , , E E E =   0 . 0 3 9 6 5 , 0 ,1 . 0 5 6 6 , 0 . 3 4 4 , 0 ,1 . 0 5 0 2 , 0 . 2 2 9 9 , 0 ,1 . 0 1 7 0   w h i c v e r i f i e s   t h e   c o n di t i o n s   o f   t h e   t hr e e   m a c hi n e   po w e r   s y s t e m   i n   t h e   dy n a m i c a l   m o de l .   T h e   r o t o a ngl e   o a l l   t h e   m a c h i n e s   s h o w n   i t h e   F i g u r e s   3 ,   a n d   9 ,   a r e   i n c r e a s i ng  du r i ng  t h e   f a u l t   o c c ur r e n c e   a n d   i t   r e g a i n s   t o   t h e   n o rm a l   s t a t e   a f t e r   c l e a ri n t h e   f a ul t   b e t w e e n   0. 7   s e c o n ds   t o   0. 9   s e c o n ds ,   a n d   i t   c o n v e r ge s   t o   t h e   n o r m a l   s t a t e .   T h e   r o t o s pe e o f   t h e   s y s t e m   i n   t h e   F i gu r e s   4 ,   7   a nd   11 ,   i s   i t h e   s t e a dy - s t a t e   a n d   t h e   i n c r e a s e   a f t e r   i n t r o duc i n g   f a ul t s   a t   0 . 7   s e c o n ds   t o   1   s e c o n a n d   i t   r e ga i n s   t o   t h e   n o r m a l   s t a t e   a f t e t h e   f a ul t   o c c urr e d.   V o l t a ge   i n c r e a s e d   t i l l   1   s e c o n a n d   r e s t o r e   t o   t h e   m a xi m um   l e v e l   a f t e r   t h e   f a u l t   i s   c l e a r e a t   1   s e c o n t o   t h e   n o r m a l   s t a t e .       4. 2 .      F o u r   M ac h i n e s   S ys t e m     T h i s   s ub s e c t i o n   p r e s e n t s   s i m ul a t i o n s   o f   t h e   f o ur - m a c hi ne   s y s t e m   i n   F i gu r e   2 .   I t hi s   c a s e ,     t h e   di s t u r b a n c e   i s   a   t hr e e - p h a s e   b o l t e f a ul t   a r e   a ppl i e i 0 . s e c o n ds   i n   t h e   b us   9 .   T hi s   f a ul t   i s   c l e a r e d   by   t r i pp i n g   l i n e   1 .   T h e   e v o l ut i o n   o f   t h e   r o t o a n gl e ,   t h e   r o t o s pe e d,   a n d   t h e   e xc i t a t i o s y s t e m   o f   t h e   ge n e r a t o a r e   ob s e r ve a n d   de t a i l e d.   F i na l l y ,   gra p h s   a r e   s ha pe a n d   p r e s e n t e d.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   17 ,   N o .   3 M a r c 20 20  :     1158   -   1169   1166   T h a t   m o di f i e s   t h e   t o po l o g y   of   t h e   n e t w o r a n d   c o n s e que nt l y   i n duc e s   c h a n ge s   i t h e   e q u i l i b r i u m   po i n t s ,   a s   i de n t i f i e d: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 , , , , , , , , , , , E E E E = 0 . 6 1 0 5 , 0 ,1 . 0 3 9 7 , 0 . 8 0 3 9 , 0 ,1 . 1 6 , 0 . 6 1 0 5 , 0 ,1 . 0 3 9 7 , 0 . 8 0 3 9 , 0 ,1 . 1 6   a n i t   v e r i f i e s   t h e   c o n d i t i o n s   o f   t h e   f o ur   m a c h i n e s   po w e r   s y s t e m s   a s   c o nn e c t e d.     T h e   r o t o a n gl e   o f   t h e   m a c h i n e s   i s   p r e s e n t e d   i F i gu r e s   12 ,   15 ,   18   a nd  21,   a r e   s t a b l e   du r i n g   t h e   s t e a dy - s t a t e   a n d   i n c r e a s e   d u r i n g   t h e   f a ul t   a n d   s t a b i l i z e a t   o n e   s e c on d .   T h e   r o t o r   s pe e o f   t h e   m a c h i n e s   i s   s h o w n   i F i gu r e s   13,   16 19   a nd  22 ,   a r e   i n c r e a s i ng  up   t o   0 . s e c o n ds ,   a n d   i t   s us t a i n e a t   o n e   s e c o n du ri n t h e   f a ul t .   T h e   e xc i t a t i o s y s t e m   o f   t h e   m a c hi n e s   i s   de pi c t e i t h e   F i g u r e s   14 ,   17 ,   20   a n d   23 ,   a r e   de c r e a s e du ri n g   f r o m   0   s e c o n ds   t o   - 0. 5   s e c o n ds   a n d   t o   s t a b i l i z e   du ri n g   10   m i l l i s e c o n ds   a t   o v e r a l l   a nd   s o   f a r,   t o   r e g a i a t   o n e   s e c o n t t h e   n o rm a l   s t a t e .             F i gu r e   12 .   R o t o r   a n gl e   o f   m a c h i n e   #1           F i gu r e   13 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c hi n e   #1           F i gu r e   14 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c hi n e   #1           F i gu r e   15 .   R o t o r   a n gl e   o f   m a c h i n e   #2           F i gu r e   16 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c hi n e   #2           F i gu r e   17 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c hi n e   #2   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       D e c e nt r al i z e d   c ons t r ai ne d   op t i m al   c ont r o l   o f   t h e   m u l t i m ac h i ne   ( D j i br i ne .   A ba k ar )   1167       F i gu r e   18 .   R o t o r   a n gl e   o f   m a c h i n e   #3           F i gu r e   19 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c hi n e   #3           F i gu r e   20 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c hi n e   #3           F i gu r e   21 .   R o t o r   a n gl e   o f   m a c h i n e   #4           F i gu r e   22 .   T h e   r o t o s pe e o f   m a c hi n e   #4           F i gu r e   23 .   E xc i t a t i o s y s t e m   o f   m a c hi n e   #4           4. 3 .      A n a l ys i s   o th e   R e s u l ts   T h i s   s e c t i o a na l y z e s   t h e   pe r f o r m a n c e   o f   t h e   c l o s e d - l oo s y s t e m .   W hi c h   a r e   s ub j e c t s ,   b o t t o   a   t hr e e - pha s e   f a ul t   o c c ur s   a t   t h e   t ra n s m i s s i o n   l i n e   b e t w e e n   b us e s .   S i m ul a t i o n   o f   t h e   p r o po s e c o n t r o l   s t r uc t u r e   o f   t h e   m ul t i m a c h i n e   po w e r   s y s t e m ,   unde r   t h i s   c o n d i t i o n,   l e a ds   t o   t he   fo l l ow i n o b s e r v a t i o n s .   I t   p r e s e n t s   t h e   r e s ul t i ng  r o t o r   a n g l e s   v e r s us   t i m e s ;   r o t o r   s pe e ds   v e r s us   t i m e s   a n t h e   e xc i t a t i o n   s y s t e m   ve r s us   t i m e s   a r e   s h o w n   i t h e   f i gur e s   w i t h   c o rr e s po n d i n g .   T h e   c o n t r o l   t e c hni que   r e qui r e s   f e e d b a c f r o m   e a c h   s ub s y s t e m .   D e c e n t ra l i z e t hr o ug h   s ub s y s t e m   c oo r di n a t i n g   a   l o c a l   f e e d b a c c o n t r o l l e i s   c o n s i de r a t e   t o   c o m m u n i c a t e   a m o ng   s ub s y s t e m   w i t c o n s t ra i nt s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.