I nd o ne s ia n J o urna l o f   E lect rica l En g ineering   a nd   Co m p u t er   Science   Vo l.   11 ,   No .   3 Sep tem b er   201 8 ,   p p .   1 1 8 8 ~ 1 1 9 3   I SS N:  2502 - 4752 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ee cs . v 1 1 . i3 . p p 1 1 8 8 - 1 1 9 3          1188       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e. co m/jo u r n a ls /in d ex . p h p / ijeec s   G lo ba l Conv erge nce of a  New  Coeff icient  Nonlinea r   Co njuga te  G ra dien M ethod         Nur  Sy a ra f ina   M o ha m e d 1 M us t a f a   M a m a t 2 M o hd   Riv a ie 3 ,   Sh a zly n M illea na   Sh a h a rudd in 4   1 Un iv e rsiti   Ku a la L u m p u r,   M a lay sia n   In stit u te o f   In d u strial  T e c h n o lo g y ,   M a la y sia   2 F a k u lt In f o rm a ti k   d a n   Ko m p u tera n ,   Un iv e rsiti   S u lt a n   Zain a A b id in   (UN IS ZA ) ,   M a lay sia   3 Ja b a tan   S a in s Ko m p u ter  d a n   M a t e m a ti k ,   Un iv e rsiti   T e k n o lo g M a r a   (UiT M ) ,   M a la y sia   4 De p a rtme n o f   M a th e m a ti c s,  F a c u lt y   o f   S c ien c e   a n d   M a th e m a ti c s,  Un i v e rsiti   P e n d i d ik a n   S u lt a n   Id ris ,   M a lay sia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ma y   1 3 ,   2 0 1 8   R ev i s ed   Ju n   14 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   Ju n   28 ,   2 0 1 8       No n li n e a c o n ju g a te  g ra d ien (C G m e th o d a re   w id e l y   u se d   in   o p ti m iza ti o n   f ield   d u e   t o   it s   e ff icie n c y   f o so lv in g   a   larg e   sc a le  u n c o n st ra i n e d   o p ti m iza ti o n   p ro b lem s.  M a n y   stu d ies   a n d   m o d if ica ti o n h a v e   b e e n   d e v e lo p e d   in   o rd e to   im p ro v e   th e   m e th o d .   T h e   m e th o d   is  k n o w n   to   p o ss e ss   su ff icie n d e sc e n d   c o n d i ti o n   a n d   it g lo b a c o n v e rg e n c e   p ro p e rti e u n d e stro n g   W o lf e - P o w e ll   se a rc h   d irec ti o n .   I n   t h is  p a p e r,   th e   n e w   c o e ff i c ien o f   C G   m e th o d   is  p re se n ted .   T h e   g lo b a c o n v e rg e n c e   a n d   su ff ici e n d e sc e n d   p ro p e r ti e o f   th e   n e w   c o e ff icie n a re   e sta b li sh e d   b y   u sin g   stro n g   W o lf e - P o w e ll   l in e   se a rc h   d irec ti o n .   Re su lt sh o w   th a th e   n e w   c o e ff icie n is  a b le  t o   g lo b a ll y   c o n v e rg e   u n d e c e rtain   a ss u m p ti o n s an d   t h e o ries .   K ey w o r d s :   C o n j u g a te  g r ad ien m et h o d   Glo b al  co n v er g e n ce   Stro n g   w o l f e - p o w ell   l in s ea r ch   Co p y rig h ©   2 0 1 8   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A u tho r :   Nu r   S y ar a f i n Mo h a m ed   Un i v er s iti K u ala  L u m p u r ,     Ma la y s ia n   I n s tit u te  o f   I n d u s tr ial  T ec h n o lo g y ,   Ma la y s ia .   E m ail:  n u r s y ar a f i n a@ u n ik l.e d u . m y       1.   I NT RO D UCT I O N     C o n j u g a te  g r ad ien ( C G)   m eth o d   is   u s ed   in   f in d i n g   t h m i n i m u m   v al u f o r   u n c o n s tr ain ed   o p tim iza tio n   p r o b le m .   T h is   m eth o d   ca n   b ex p r ess ed   in   g en er al  f o r m   s u ch ;       ) ( m i n n x x f R                                ( 1 )     w h er R R f n : is   co n ti n u o u s l y   d i f f e r en tiab le  n o n li n ea r   f u n ctio n .   ) ( x g   is   d en o ted   as  g r ad ien t   o f   t h e   f u n cti o n .   E q u atio n   ( 1 )   ca n   b e   s o lv ed   b y   u s in g   s ev er al   m et h o d s   s u ch   Steep est   Desce n a n d   Ne w to n   m e th o d   b u t C m eth o d   i s   t h m o s t p r ef er r ed   d u to   it s   s i m p lici t y   [ 1 ] .   T h n o n li n ea r   C G   m e th o d   g en er ates a   s eq u e n ce   o f   k x b y   u s in g   t h r ec u r r en ce ;       , . . . 2 , 1 , 0 , 1 k d x x k k k k                             ( 2 )     w h er k x is   th c u r r en iter ati v e   p o in an d   n R x 0 is   s et  to   b s tar tin g   p o in o f   th s eq u en ce .   F r o m   ( 2 ) ,   0 k is   k n o w n   a s   s tep   s ize  an d   k d is   th s ea r c h   d ir ec tio n   d e f in ed   b y   th r u le :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752     Glo b a l Co n ve r g en ce   o f a   N ew C o efficien t No n lin ier C o n ju g a te  Gra d ien t M eth o d   ( N u r   S ya r a fin a   Mo h a med )   1189     1 if 0 if 1 k d g k g d k k k k k                             ( 3 )     T h m o s co m m o n   tec h n iq u in   in e x ac li n s ea r c h   u s e d   w id el y   i s   s tr o n g   W o lf e - P o w ell  li n s ea r c h ,     w h er 0 k s ati s f ie s       k T k k k k k k d g x f d x f  ) ( ) ( k T k T k k k d g d x g ) (                       ( 4 )     w it h   1 0   ar b o th   co n s ta n t s .   Dis ti n ct  c h o ice  o f   t h p ar am eter k y ield s   d i f f er e n n u m er ical   p er f o r m a n ce .   P ast s t u d y   h as s h o w n   at  lea s t si x   f o r m u lae  f o r   k ,   w h ich   ar g iv e n   as  f o llo w s ;     1 1 1 ) ( ) ( k T k k k k T k HS k d g g g g g                   ( 5 )     2 1 k k T k FR k g g g                                       ( 6 )     2 1 1 k k k T k PRP k g g g g                                 ( 7 )     1 1 k T k k T k CD k g d g g                        ( 8 )     1 1 k T k k k T k DY k d g g g g                   ( 9 )     2 1 1 k k k T k R M I L k d g g g                                   ( 1 0 )     Fro m   ( 5 ) - ( 1 0 ) ,   k g an d   1 k g   ar th ab b r ev iatio n s   o f   ) ( k x g an d   ) ( 1 k x g w h ich   ar th g r ad ien t s   o f   ) ( x f at  p o in ts   k x an d   1 k x   r esp ec tiv el y .   d en o tes  th E u clid ea n   n o r m   o f   th v ec to r s .   Fro m   ( 5 ) - ( 1 0 ) ,   t h ab o v co r r esp o n d in g   m et h o d s   ar r esp ec tiv el y   ca lled   as  HS   [ 2 ] ,   FR   [ 3 ] ,   P R [ 4 ] ,   C [ 5 ] ,   DY  [ 6 ] ,   an d   last l y   R MI L   d en o tes  f o r   R i v aie,   Mu s taf a,   I s m ail  an d   L eo n g   [ 7 ] .   Z o u ten d ij k   [ 8 ]   h as  p r o v ed   th F R   m et h o d   in   ( 6 )   to   b g lo b all y   co n v er g ed   u n d er   ex ac l in e   s ea r c h   o n   g e n er al   f u n ctio n   [ 9 ] .   Af ter   th at,   [ 1 0 ]   ex ten d ed   t h e   r esu lt  u n d er   s tr o n g   W o lf e - P o w ell   l i n s ea r c h .   A   n e w   m o d if ica tio n   o f   a   co n j u g ate  g r ad ien m et h o d   is   p r ese n ted   b u t   it  d id   n o p r o v th g lo b al  co n v er g en ce   u n d er   in ex ac l in s ea r ch   th o u g h   it  h as  p o s s e s s   g lo b al  co n v er g en ce   p r o p er ties   u n d er   ex ac l in s ea r ch   [ 7 & 1 1 ] .   T h s tr o n g   W o lf e - P o w ell   li n s ea r ch   i s   co n s id er ed   d u to   t h h ig h er   co s t o f   e x ac t li n s ea r c h   [ 1 2 ] .     I n   t h is   p ap er ,   n e w   co ef f ici en w i th   m o r s i m p le   k is   p r o p o s ed .   Sectio n   t w o   w ill  elab o r ate  th e   m o tiv a tio n   o f   t h co ef f icie n t o g eth er   w i th   t h al g o r ith m .   S ec tio n   t h r ee   w ill  d is c u s s   a n d   p r o v th s u f f icien d escen d   co n d itio n   an d   g lo b al   co n v er g e n ce   p r o p er ties .   Fin all y ,   co n cl u s io n   a n d   r ec o m m en d atio n   f o r   f u t u r s tu d y   ar w r ap p ed   u p   at  s ec tio n   f o u r .       2.   NE C G   CO E F F I CI E N T   T h n e w   C co ef f icie n in tr o d u ce d   is   k n o w n   as S M R k S M R k is   m o ti v at ed   m ai n l y   f r o m   [ 7 ]   w h er e   th d e n o m i n ato r   is   r etai n ed   as   s a m a s   i n   ( 1 0 ) .   W h ils t,  t h n o m in ato r   i n   ( 1 0 )   is   g iv e n   a s   1 k k T k g g g   w h ic h   is   as  s a m as  u s ed   in   ( 5 )   an d   ( 7 ) .   Du r in g   ex p a n s io n ,   t h n o m in ato r   b ec o m es  1 k T k k T k g g g g w h ic h   i m p lies Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  11 ,   No .   3 Sep tem b er   2 0 1 8   :   1 1 8 8     1 1 9 3   1190   1 2 k T k k g g g C h o o s i n g   t h r ig h n o m i n at o r   is   i m p o r tan d u to   its   r o le   as  r estar p r o p e r ty   i n   av o id in g   p r o b lem s   ass o ciate d   w it h   j am m in g ,   [ 1 3 - 1 4 ] .   P r ev en ti n g   an y   n e g ati v v al u e,   m o d if ica tio n s   h a s   b ee n   m ad e   [ 1 5 ] ; h en ce   th n e w   C co ef f i cien t a n d   t h s i m p li f ied   v er s io n   ar as f o llo w s ;     2 1 1 2 k g 0, m a x k k T k S M R k d g g                      ( 1 1 )     B ef o r p r o ce e d s   w it h   m o r d etails s tep s ,   S M R k n ee d s   to   b s i m p li f i ed ;       2 2 1 k 2 1 2 1 k 1 1 k 2 1 1 g g   g f o r                           0 k k k T k k T k S M R k d d g g g g 2 2 1 k 1 g 0 k S M R k d              ( 1 2 )     A lg o r ith m   2 . 1 :   C o nju g a te  Gra d ient M etho d   A   co m p lete   al g o r it h m   o f   C m et h o d   co u ld   b g en er ated   as f o llo w s :     Step   1 :   I n itializatio n .   Set  0 k   an d   s elec t n x 0 0 0 g d ,   if   0 0 g ,   s to p .     Step   2 : B ased   o n   ( 1 1 ) ,   co m p u t e S M R k   .   Step   3 :   C o m p u te  s ea r ch   d ir ec tio n s   k d b ased   o n   ( 3 ) .     I f k g ,   th en   s to p .   Oth er w i s e,   g o   th n e x t step .   Step   4 :   B ased   o n   ( 4 ) ,   s o lv f o r k   .     Step   5 :   Up d atin g   n e w   i n i tial  p o i n u s i n g   ( 2 ) .   I f   ) ( ) ( 1 k k x f x f   an d   k g   th e n ,   s to p .   Ot h er w is g o   to   Step   3   w it h 1 k k .       3.   T H E O R E T I CA L   ANA L YS I   T h is   s ec tio n   d is c u s s ed   an d   an al y s ed   th s u f f icie n d escen t   p r o p e r ty   f o r   th n e w   co e f f ic ien u n d er   s tr o n g   W o l f e - P o w ell   li n s ea r ch   d ir ec tio n .   B ef o r p r o ce ed ,   let  ass u m t h at  0 k g   f o r   all  k   o r   else,  th e   s tatio n ar y   p o in h as   b ee n   f o u n d .   Fo r   an y   iter ati v m et h o d   to   b g lo b all y   co n v er g en t,  it  i s   i m p o r ta n to   s u f f ic its   d escen t p r o p er t y ,   th at  i s ;     0 k T k d g .     3 . 1 .   Su f f icient   Descent   P ro pert y   B ef o r p r o ce e d ,   let  ass u m t h at  0 k g f o r   all  k o r   else,  th s tatio n ar y   p o in t h as b ee n   f o u n d .   Fo r   an y   iter ativ m eth o d   to   b g lo b all y   co n v er g e n t,  it is   i m p o r tan t to   s u f f ice  its   d esce n t p r o p er ty ,   t h at  is ;       2 k k T k g c d g                         ( 1 3 )     w h er c is   p o s iti v co n s ta n t,   is   cr u cial  to   en s u r t h g lo b al  co n v er g e n ce s   o f   t h n o n lin ea r   co n j u g ate   g r ad ien m et h o d   u n d er   s tr o n g   W o lf e - P o w ell   li n s ea r c h   d ir ec tio n   [ 1 6 ] .   Su f f ic ien d escen p r o p er ty   is   i m p o r tan to   s h o w   t h at  t h f u n ctio n   ) ( x f ca n   b r ed u ce s   alo n g   t h e   s ea r ch   d ir ec ti o n .   T h p r o v in g   s tep s   b elo w   ar m o d i f ied   f r o m   [ 1 1 - 1 2 ] .     Th eo r em  3 . 1   I f   k g an d   k d ar g en er ated   b y   al g o r it h m   2 . 1   w it h 25 6 ,   th en ,   f o r   all 0 k ,   it b e co m e s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752     Glo b a l Co n ve r g en ce   o f a   N ew C o efficien t No n lin ier C o n ju g a te  Gra d ien t M eth o d   ( N u r   S ya r a fin a   Mo h a med )   1191     3 5 k k d g                         ( 1 4 )   P r o o f   T h p r o v in g   s tep s   ar p er f o r m ed   b y   in d u ctio n s .   Fo r 0 k an d 3 5 1 0 0 d g ,   h en ce   ( 1 4 )   h o ld s   f o r 0 k Su p p o s f o r   s o m e 0 k ,   ( 1 4 )   h o ld s   t r u e.   R ea r r an g ( 3 )   an d   m u ltip l y in g   it  w i th T k g 1 ,   th en       k T k k k k T k d g g d g 1 1 2 1 1 1                  ( 1 5 )     Fr o m   s tr o n g   W o lf e - P o w ell  co n d itio n   a n d   ab s o lu te  v a lu e s   p r o p er ties   in   ( 4 ) ,   ex p r ess io n   ( 1 5 )   b ec o m es;     k T k k k T k k d g d g g 1 1 1 1 2 1 k T k k k T k k d g d g g 1 1 1 2 1       ( 1 6 )     Sin ce   , 0 1 S MR k th en       k T k k k T k k d g d g g 1 1 1 2 1                   ( 1 7 )     B y   u s i n g   C a u ch y   i n eq u ali ties   an d   s u b s tit u tin g   ( 1 2 )   in   ( 1 7 ) ,         k k k k k k k d g d g d g g 2 2 1 1 1 2 1                ( 1 8 )     I m p lies ;       k k k k k k d g g d g g 2 1 1 1 2 1                ( 1 9 )     A p p l y in g   t h in d u c tio n   h y p o t h esi s   in   ( 1 4 ) ,       2 1 1 1 2 1 3 5 k k k k g d g g   1 1 2 1 ) 3 5 1 ( k k k d g g ) 5 3 ( 3 1 1 k k d g   ( 20)     T h er ef o r e,   if 25 6 ,   th en   . 3 5 1 1 k k d g Hen ce ,   ( 1 4 )   is   tr u f o r 1 k .   T h p r o o f   is   co m p l eted .     3 . 2 .   G lo ba l C o nv er g ence   P ro pert ies   T h f o llo w in g   ass u m p tio n   is   n ee d ed   i n   o r d er   to   p r o ce ed   w it h   t h p r o o f   o f   g lo b al  co n v er g en ce   p r o p er ties .   T h p r o o f   m o d i f ica tio n s   ar f r o m   [ 1 1 - 1 2 , 1 7 - 19]   A s s u mp tio n   4 . 1   1) f is   b o u n d ed   b elo w   o n   t h le v el  s e n R an d   is   co n ti n u o u s   a n d   d if f er en tiab le  i n   a   n ei g h b o r h o o d   N o f   t h lev el  s et ) ( ) ( | 0 x f x f R x n at  t h i n itial p o in 0 x .   2 )   T h g r ad ien ) ( x g is   L ip s c h itz  co n ti n u o u s   i n N ,   s o   th er ex is t s   co n s ta n 0 L s u ch   t h at;     y x L y g x g ) ( ) (   N y x a n y f o r ,                      ( 2 1 )     Fro m   ( 1 1 )   an d   ( 1 3 ) ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  11 ,   No .   3 Sep tem b er   2 0 1 8   :   1 1 8 8     1 1 9 3   1192   0    if             0    if         1 2 1 2 k T k k k k T k k k S M R k d g d g d g d g                  ( 2 2 )   Th eo r em  4 . 2   Su p p o s th at  Ass u m p tio n   4 . 1   h o ld s .   C o n s id er   an y   C m et h o d   in   th f o r m   o f   ( 2 )   an d   ( 3 )   w h er k is   o b tain ed   f r o m   ( 4 ) .   I f   th d esce n d   co n d itio n   h o ld s ,   t h e n ;     0 i n f l i m k k g                     ( 2 3 )     P r o o f   T o   p r o v T h eo r em   4 . 2 ,   co n tr ad ictio n   m e th o d   is   u s ed .   T h at  is ,   if   T h eo r e m   4 . 2   is   n o tr u e,   t h en   th er e   ex is t s   co n s ta n t 0 ,   s u c h   th at ;     k g                       ( 2 4 )     R e w r iti n g   ( 3 )   as  k k k k d g d 1 1 1 an d   s q u ar i n g   b o th   s id es th eq u a tio n ;     2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 k k k T k k k d d g g d             ( 2 5 )     Fro m   ( 2 2 ) ,   if 0 k T k d g ,   th en ;       2 4 1 1 1 2 1 2 1 2 k k k T k k k d g d g g d               ( 2 6 )     Div id ( 2 6 )   b y   4 1 k g an d   f r o m   ( 1 3 ) ,     2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 k k k k g c g g d                 ( 2 7 )     Su p p o s th at  ( 2 3 )   d o es n o t h o ld ,   th en   th er e x is t s   0 s u ch   t h at  ( 2 4 )   h o ld s   f o r   all 0 k     2 2 2 4 1 2 1 1 2 2 1 c c g d k k , 1 2 2 2 1 4 1 c d g k k , 0 2 1 4 1 k k k d g         ( 2 8 )     A l s o ,   f r o m   ( 2 2 ) ,   if   0 k T k d g ,   th en ,         2 1 2 1 4 1 2 1 1 k k k k g c g g d , 2 2 2 4 1 2 1 1 1 c c g d k k ,     1 2 2 1 4 1 c d g k k , 0 2 1 4 1 k k k d g                 ( 2 9 )     Fro m   ( 2 8 )   an d   ( 2 9 ) ,   th is   s h o ws th at  ( 2 3 )   h o ld s .   T h p r o o f   is   co m p leted .           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752     Glo b a l Co n ve r g en ce   o f a   N ew C o efficien t No n lin ier C o n ju g a te  Gra d ien t M eth o d   ( N u r   S ya r a fin a   Mo h a med )   1193   4.   CO NCLU SI O N   B y   tak i n g   litt le  m o d i f icatio n   at R M I L k in   ( 1 0 ) ,   n e w   co ef f icie n t   S M R k o f   th e   co n j u g a te  g r ad ie n m et h o d   h as  b ee n   p r o p o s ed .   R esu lt s   s h o w ed   th at  th n e w   co ef f icien s ati s f y   t h s u f f icie n d escen co n d itio n s   an d   co n v er g g lo b all y   u n d er   s tr o n g   W o lf e - P o w el li n s ea r c h .   I is   p r o v ed   th at  th a lg o r it h m   is   p r ac tical  an d   ef f ec tiv e   to   b u s ed .   Fo llo w i n g   w it h   t h p r o v i n g   p r o v id e d ,   th co ef f ic ien t   w ill   b tes ted   o n   ce r tai n   t e s t   f u n ctio n   f o r   f u t u r s t u d y .       RE F E R E NC E S   [1 ]   Ha m iza h ,   N.,   Riv a ie,  M ,   M a m a t,   M .   (2 0 1 6 ).   M o d if ied   Fo rm   o f   Co n j u g a te  Gr a d ien M e th o d   fo Un c o n st ra i n e d   Op ti miza ti o n   Pro b lem s AIP   C o n f e re n c e   P ro c e e d i n g s ,   1 7 3 9 ,   0 2 0 0 7 6 .   [2 ]   He ste n e s,  M .   R,   S t ief e l,   E.   (1 9 6 2 ).   M e th o d   o f   Co n j u g a te  G ra d ien f o S o lv in g   L in e a Eq u a ti o n s.  J .   Res .   Na t.   Bu r .   S ta n d ,   4 9 :4 0 9 - 4 3 6 .   [3 ]   F letc h e r,   R,   Re e v e s,  C.   (1 9 6 4 ).   F u n c ti o n   m in im iza ti o n   b y   c o n ju g a t e   g ra d ien ts.   Co mp u ta ti o n a l   J o u r n a l ,   7 :1 4 9 - 1 5 4 .   [4 ]   P o lak ,   E,   Rib iere ,   G .   (1 9 6 9 ).   No te  o n   T h e   Co n v e rg e n c e   o Co n j u g a te  Dire c ti o n s.  Rev .   Fra n c a ise   In fo rm a t   Rec h e rc h e   Op e ra ti o n e ll e ,   3 E   An n e e ,   1 6 3 5 - 4 3 .   [5 ]   F letc h e r,   R.   ( 1 9 8 7 ) .   Pra c ti c a M e th o d s   o U n c o n str a in e d   Op t imiza ti o n .   Ne w   Yo rk J.  W il e y   a n d   S o n s .   [6 ]   Da i,   Y.  H,   Yu a n ,   Y.  (2 0 0 0 ).   A   No n li n e a Co n j u g a te  G ra d ien w i th   S tr o n g   G lo b a C o n v e rg e n c e   P ro p e rti e s.  S IAM   J o u rn a Op t imiza ti o n ,   1 0 1 7 7 - 1 8 2 .   [7 ]   Riv a ie,  M . ,   M a m a t,   M . ,   J u n e ,   L .   W ,   M o h d ,   I .   (2 0 1 2 ).   A   Ne w   Clas o f   No n li n e a Co n ju g a te  G ra d ien C o e ff icie n ts  W it h   G lo b a Co n v e rg e n c e   P r o p e r ti e s.  Ap p li e d   M a t h e ma ti c a n d   Co mp u ta ti o n a l ,   2 1 8 1 1 3 2 3 - 1 1 3 3 2 .   [8 ]   Zo u te n d ij k ,   G .   (1 9 7 0 ).   No n li n e a p r o g ra m m in g   c o m p u tatio n a m e th o d s.   J .   Ab a d ie  ( Ed . ) ,   I n teg e a n d   No n li n e a r   Pro g ra mm i ng ,   No rt h - Ho ll a n d ,   Am ste rd a m ,   3 7 86.   [9 ]   P o w e ll ,   M .   J.  D.  (1 9 8 4 ).   N o n - c o n v e x   min imiza ti o n   c a lc u la t i o n a n d   t h e   c o n j u g a te  g r a d ie n me th o d L e c tu re   n o tes   in   ma t h e ma ti c s ,   1 0 6 6 : 1 2 2 - 1 4 1 .   B e rli n S p rin g e r.   [1 0 ]   Al - Ba a li ,   M .   (1 9 8 5 ).   De sc e n p r o p e rty   a n d   g lo b a c o n v e rg e n c e   o f   F letc h e r Re e v e m e th o d   w it h   in e x a c li n e   se a rc h   IM A .   J o u rn a l   Nu me ric a A n a lys is 5: 1 2 1 - 1 2 4 .   [1 1 ]   A b d e ra h m a n ,   A .   A . ,   M a m a t,   M . ,   RIv a ie,  M ,   Om e r.   O.  (2 0 1 4 ).   G lo b a C o n v e rg e n c e   A n a l y si o f   a   Ne w   No n li n e a r   Co n j u g a te  G ra d ien Co e f f icie n w it h   S tro n g   W o lf e   L in e   S e a rc h .   J o u rn a o Q u a l it y   M e a su re me n a n d   An a lys is ,     1 0 ( 1 ):  7 5 - 8 5 .   [1 2 ]   A b d e ra h m a n ,   A .   A . ,   M a m a t,   M . ,   RIv a ie,  M ,   O m e r.   O.   ( 2 0 1 4 ).   T h e   P r o o f   o f   S u ff icie n De s c e n Co n d it io n   f o a   Ne w   Ty p e   o f   Co n ju g a te G r a d ien M e th o d s A IP  Co n fer e n c e   Pro c e e d in g s ,   1 6 0 2 ,   2 9 6 .   [1 3 ]   Ha ja r,   N.,   M a m a t,   M . ,   Riv a ie,  M ,   S a ll e h ,   Z.   ( 2 0 1 5 ) .   A   Co m b in a ti o n   o f   P o lak - Rib iere   a n d   He ste n e s - S ti e fe Co e ff icie n in   Co n ju g a te  G ra d ien M e th o d   f o Un c o n stra in e d   Op ti m iza ti o n .   Ap p li e d   M a th e ma ti c a S c ien c e s,   9 (6 3 ):3 1 3 1 - 3 1 4 2 .   [1 4 ]   Riv a ie,  M . ,   A b d e ra h m a n ,   A . ,   M a m a t,   M . ,   I .   M o h d .   (2 0 1 4 ).   T h e   Co n v e rg e n c e   P ro p e rti e o f   a   Ne w   Ty p e   o f   Co n j u g a te G ra d ien M e th o d s .   Ap p li e d   M a t h e ma ti c a S c ien c e s,   8 (1 ):3 3 - 34.   [1 5 ]   S y a ra f in a ,   N.  M . ,   M a m a t,   M ,   Riv a ie,  M .   (2 0 1 6 ) .   A   N e w   Co e ff icie n o f   Co n ju g a te  G ra d i e n M e th o d   f o r   Un c o n stra in e d   Op t im iza ti o n .   J u r n a T e k n o l o g i .   7 8 : 6 - 4 , 1 3 1 - 1 3 6 .   [1 6 ]   H a m o d a ,   M . ,   M a m a t,   M . ,   Riv a ie,  M ,   S a ll e h ,   Z.   ( 2 0 1 6 ) .   A   Co n j u g a te  G r a d ien M e th o d   w it h   S tr o n g   W o lf e - P o w e ll   L in e   S e a rc h   f o Un c o n stra in e d   Op ti m iza ti o n .   A p p li e d   M a th e m a ti c a S c ien c e ,   1 0 ( 1 5 ) 7 2 1 - 7 3 4 .   [1 7 ]   Do n g ,   X . L . ,   L iu ,   H. ,   X u ,   Y.  L . ,   Ya n g ,   X .   M .   (2 0 1 5 ).   S o m e   L in e a Co n ju g a te  G ra d ien M e th o d w it h   S u f f i c ien De sc e n Co n d it io n   a n d   G lo b a Co n v e rg e n c e .   Op ti miza ti o n   L e tt e rs ,   9 1 4 2 1 - 1 4 3 2 .   [1 8 ]   Ca n ,   L . ,   L in g   F ,   X ian g li a n ,   C.   ( 2 0 1 3 ).   G lo b a C o n v e rg e n c e   o f   a   k in d   o f   Co n ju g a te  G ra d ien M e th o d .   T e lk o mn ika   In d o n e sia n   J o u rn a o El e c trica En g i n e e rin g ,   1 1 (1 ):   5 4 4 - 5 4 9 .   [1 9 ]   Ca n ,   L .   (2 0 1 3 ).   A   M o d if ied   Co n ju g a te  G ra d ien M e th o d   f o Un c o n stra in e d   Op ti m iza ti o n .   T e lko m n ika   In d o n e sia n   J o u rn a o El e c trica En g in e e rin g ,   1 1 (1 1 ):  6 3 7 3 - 6 3 8 0 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.