I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   22 ,   N o .   1 A p r i l   2021 ,   p p.   53 ~ 61   IS S N :   25 0 2 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 22 .i 1 . pp 53 - 61             53       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om   Geo m e t r i c   c o n t r o l   o f   q u a d r o t o r   U A V s usi n g   i n t e g r a l   b a c k st e p p i n g       A l i   B o u c h ai b 1 ,   R a c h i d   T al e b 2 A h m e d   M as s ou m 3 ,   S aad   M e k h i l e f 4   1 , 3 E l e c t r i c a l   E ng i n e e r i ng   D e pa r t m e nt ,   D j i l l a l i   L i a be s   U ni v e r s i t y ,   S i di   B e l   A bbe s ,   A l g e r i a   I nt e l l i g e n t   C o nt r o l   a nd   E l e c t r i c a l   P o w e r   S y s t e m s   L a bo r a t o r y   ( I C E P S )   2 E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   D e p a r t m e n t ,   H a s s i ba   B e nbo ua l i   U ni v e r s i t y ,   C hl e f ,   A l g e r i a   L a bo r a t o i r e   G é n i e   E l e c t r i qu e   e t   E n e r g i e s   R e no uv e l a b l e s   ( L G E E R )   4 E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   D e p a r t m e n t ,   M a l a y a   U ni v e r s i t y ,   K ua l a   L um pur ,   M a l a y s i a       A r t i c l e   I n fo     A B S TR A C T     Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d   D e c   1,   202 0   R e v i s e F e b   14 ,   202 1   A c c e pt e F e b   2 6 ,   202 1       T he   t r a d i t i o na l   qua dc o pt e r   c o nt r o l   s y s t e m s   s ho ul de a l   w i t t w o   c o m m o n   pr o bl e m s .   N a m e l y ,   t he   s i ng ul a r i t i e s   r e l a t e t o   t he   i nv e r s e   k i n e m a t i c s   a nd  t he   am bi g ui t y   l i nke t o   t he   qu a t e r n i o r e pr e s e n t a t i o o f   t he   d y na m i c   m o de l .   M o r e o v e r ,   t h e   s t a b i l i t y   pr o bl e m   due   t o   t he   s y s t e m   no nl i ne a r i t y   a nd  hi g h   de g r e e   o f   c o upl i ng .   T hi s   pa p e r   p r o v i de s   a   s o l u t i o t o   t he   t w o   i s s ue s   by   e m pl o y i ng  a   g e o m e t r i c a l   i n t e g r a l - ba c ks t e p p i ng   c o nt r o l   s y s t e m .   T h e   i nt e g r a l   t e r m s   w e r e   a dde t o   i m p r o v e   s y s t e m   a bi l i t y   t o   t r a c de s i r e t r a j e c t o r i e s .   T h e   hi g h - l e v e l   c o nt r o l   l a w s   a r e   c o ns i d e r e a s   a   v i r t ua l   c o nt r o l   a nd   t r a n s m i t t e t o   t he   l o w - l e v e l   t o   t r a c t he   hi g h - l e v e l   c o m m a nds .   T h e   p r o po s e c o nt r o l   s y s t e m   a l o ng   w i t t he   q ua dc o pt e r   dy na m i c   m o de l   w e r e   e xp r e s s e i t he   s p e c i a l   E uc l i de a g r o up  S E ( 3) .   F i na l l y ,   t he   c o nt r o l   s y s t e m   r o bus t ne s s   a g a i ns t   m i s m a t c hi ng   p a r a m e t e r s   w a s   s t udi e d   w hi l e   t r a c ki ng   v a r i o us   p a t hs .   Ke y w or d s :   B a c ks t e ppi n g     G e o m e t r i c     Int e g r a l     L y a pun o v   Q ua d r o t o r     T hi s   i s   an   ope n   ac c e s s   ar t i c l e   u nde r   t he   C C   B Y - SA   l i c e ns e .     Cor r e s pon di n g   Au t h or :   A l i   B o uc h a i b   E l e c t r i c a l   E n gi n e e r i n g   D e pa rt m e n t   D j i l l a l i   L i a b e s   U n i v e r s i t y ,   S i d i   B e l   A b be s ,   A l ge ri a   Int e l l i ge nt   Co n t r o l   a nd  E l e c t r i c a l   P o w e r   S y s t e m s   L a bo r a t o r y   (ICE P S )   E m a i l :   a l i 81 . b o uc h a i b @ gm a i l . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N     F o r   t h e   l a s t   t w o   d e c a de s   t h e   f i l e of  un m a nn e a e r i a l   v e h i c l e s   ( U A V s )   w a s   un de r   ra pi g r o w t h   a nd  m a n y   a ppl i c a t i o n s   w e r e   i m p r o v e by   ut i l i z i n U A V s   (e . g. ,   m i l i t a r y   i n s pe c t i o n,   e m e r ge n c y   r e s c ue   s e r v i c e s ,   a n m a pp i n g ) .   B e c a us e   of   t h e   i n t e n s i v e   r e s e a r c h   i n   t h e   f i l e [1,   2] .   R e c e n t l y ,   a   g r o w i n i nt e r e s t   i n   t h e   m ul t i - r o t o r   U A V s   f o r   t h e   s y s t e m s   h i g h   c a p a b i l i t i e s   (i . e . ,   v e r t i c a l   t a ke - off ,   a n l a ndi n g ,   na v i ga t i o i n a rr o w   s pa c e s   a n m a n e uv e r i ng  c a p a c i t y [3 - 5].   H ow e v e r ,   t h e   a dv a n t a ge s   of   m ul t i - r o t o r   U A V s   c o m e s   w i t h   hi g hl y   c o upl e d   d y n a m i c   m o de l s   w h i c h   m a ke s   de s i g n i n g   a   de c o upl e c o n t r o l   l a w   t h a t   s t a b i l i z e s   t h e   s y s t e m s   a   c ha n g i n t a s k   [6,   7].   T h e   pr o g r e s s   i n   t h e   do m a i n   o f   m ul t i - r o t o r   U A V s   l e a ds   t o   t h e   a do pt i o n   o ge o m e t r i c   m o de l i n t o   a v o i d   s i ngul a r i t i e s   a nd  a m b i gu i t y   [8,   9] .   H ow e v e r ,   t h e   n o n l i n e a r i t y   a n hi g hl y   c o upl e s y s t e m s   r e qui r e   a n   a dv a n c e d   c o n t r o l   s y s t e m .   T h e   b a c ks t e ppi n c o n t r o l   m e t h o i s   c o n s i de re o n e   of   t h e   a dv a n c e a pp r o a c h e s   t o   r e gul a t i ng  n o n l i n e a r   s y s t e m s ,   w h i c h   c a g i v e   r o b us t   a n d   de c o upl e c o n t r o l   l a w s   [10 ,   1 1].   R e c e n t l y ,   a   n e w   c o n t r o l   a pp r o a c f o r   dy n a m i c   s y s t e m s   w a s   de ve l o pe w h i c h   i s   b a s e o n   n o n l i n e a m a ni f o l ds   t h a t   c a nn o t   b e   gl ob a l l y   i de n t i f i e w i t h   E uc l i de a n   s pa c e s .   I n   pr e v i o us   s t udi e s   [12,   13],   a   c o n t r o l   a pp r o a c h   t ha t   w a s   de s i gn e by   c h a r a c t e r i z i n t h e   ge o m e t ri c   pr o pe r t i e s   of   n o n l i n e a r   m a ni f o l ds   i n t ri n s i c a l l y .   T h e   ge o m e t r i c   c o n t r o l   t e c hni que s   c a n   c o m pl e t e l y   a vo i t h e   s i n gul a r i t i e s   a n a m b i gui t i e s   i s s ue s ,   t h i s   a p p r o a c Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n   J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   22 ,   N o .   1 A p r i l   20 21   :     53   -   6 1   54   w a s   a ppl i e t o   f ul l y   a c t ua t e ri gi d   b o d y   ut i l i z i n g   m a t h e m a t i c a l   m e t h o o f   L i e   gr o ups   t o   a c h i e v e   a l m o s t   gl o b a l   a s y m pt o t i c   s t a b i l i t y   [14 - 16].   F u rt h e r m o r e ,   t h e   f l y i n e n v i r o n m e n t ' s   i nt e rn a l   a nd  e xt e rn a l   pe r t u r b a t i o n s   do   n o t   a f f e c t   t h e   du ra b i l i t y   of   t h e   m e nt i o n e d   c o n t r o l   [ 17 - 20] .   In   t hi s   pa pe r,   a   t w o - l e v e l   c a s c a de   c o n t r o l   s y s t e m   b a s e on   i nt e g r a l - b a c ks t e ppi n t e c hni que   w a s   de s i gn e t o   a c h i e v e   gl ob a l   s t a b i l i t y   a n r o b us t n e s s   a ga i n s t   m i s m a t c h i ng  pa ra m e t e r s .   T h e   l o w - l e ve l   i s   t h e   a t t i t u de   t o   a dj us t   t h e   U A V s '   a t t i t u de   a n g l e s   a n d   m a i nt a i a   s t a b l e   f l i g h t .   T h e   c o n t r o l   l o o i s   b a s e o n   ge o m e t r i c   c o n t r o l   t o po l o g y   w h i c m a ke s   t h e   s y s t e m   a b l e   t o   a vo i s i n gul a r i t i e s   a nd  c o m m a nds ’  a m b i gui t y ,   t h e n   w e   de f i n e t h e   a t t i t u de   a s   a   v i rt u a l   c o n t r o l   o f   t h e   a ng ul a r   dy n a m i c   a n u t i l i z e L y a pun o v ’s   t h e o r y   t e n s u r e   s y s t e m   s t a b i l i t y .   M o r e ov e r ,   t h e   hi g h - l e v e l   c o n t r o l   s y s t e m ,   w h i c h   i s   t h e   t ra n s i t i o n a l   c o n t r o l   l o o p,   w e   t oo t h e   l i n e a v e l o c i t y   t o   be   v i r t u a l   c o n t r o l   i n   t hi s   s ub s y s t e m .   F i r s t ,   t hi s   c o n t r o l   s ub s y s t e m   m a ke s   t h e   U A V s   r e a c h   t h e   de s i r e po s i t i o n.   S e c o n dl y ,   i t   t ra n s l a t e s   t h e   pa t h   i n f o rm a t i o n   t o   t h e   v i r t u a l   c o n t r o l   i n pu t s   o t h e   l ow - l e ve l   c o n t r o l   s y s t e m .   F i na l l y ,   t h e   c o m pl e t r a j e c t o r i e s   a r e   de s i gn e t o   b e   t h e   r e f e r e n c e   i n pu t   o f   t h e   s y s t e m   (I  c a nn o t   u n de r s t a nd  t h i s ) .   T h i s   p a pe r   i s   o r ga ni z e a s   f o l l ow s :   i S e c t i o n   2 ,   t h e   qua d r o t o r   dy n a m i c   m o de l   i s   i nt r o duc e d.   I n   S e c t i o n   3,   t h e   c o n t r o l   s y s t e m   de s i gn   b a s e o n   t h e   b a c ks t e ppi n ge o m e t r i c   m e t h o f o r   a t t i t ude   a nd  i nt e g r a l - b a c ks t e ppi n c o n t r o l   a n s t a b i l i t y   a n a l y s i s   i s   pr e s e n t e d.   S i m ul a t i o n   r e s ul t s   t o   pr o v e   t h e   c o n t r o l l e r s ’  e ffe c t i ve n e s s   a r e   di s p l a y e i S e c t i o 4.   F i na l l y ,   t h e   c o n c l us i o n s   a r e   p r e s e n t e i S e c t i o n   5.       2.   Q U A D R O T O R   D Y N A M I C   M O D EL     A s   i l l us t ra t e i F i gu r e   1,   a   qu a d r o t o r   v e h i c l e   m o de l   i s   a   s y s t e m   of   fo ur   i de n t i c a l   m o t o r s   a n d   pr o pe l l e r s   t h a t   a r e   l o c a t e a t   t h e   v e r t i c e s   of   a   s qua r e   a nd  ge n e r a t e t hr us t   a n t o r que   n o rm a l   t o   t h e   pl a n e   o t h i s   s qu a r e .   T h e n ,   a i n e rt i a l   r e f e r e n c e   f ra m e   { 1     , 2       , 3   }   a n d   a   b o d y - f i x e f r a m e   { 1     , 2       , 3   }   w e r e   c h o s e n .   A l s o ,   t h e   b o d y - f i xe f r a m e   o r i g i n   i s   l o c a t e a t   t h e   c e n t e o f   t h e   m a s s   o f   t h i s   v e h i c l e .           F i gu r e   1 .   Q u a d r o t o dy n a m i que       T h e   m o de l   i s   r e p r e s e n t e d   by   t h e   r o t a t i o n   m a t r i x    ( 3 )   [13 - 1 6] .   Co n s e qu e nt l y ,   t h e   c o n f i gu ra t i o m a ni f o l i s   t h e   s pe c i a l   e uc l i de a n   g r o up  S E (3) ,   w h i c h   i s   t h e   s e m i - di r e c t   p r o duc t   o f   3   a n t h e   s pe c i a l   o r t h o go n a l   g r o up  S O (3).   T h e   r o t a t i o n   m a t r i   i s   gi v e n   by   t he   pr o duc t   o f   t h e   t hr e e   s uc c e s s i ve   m a t r i c e s :   = (       ) (   ) (   ) ,   w h e r e   (       ) (   )   a n d   (   )   a r e   t h e   pa rt i a l   r o t a t i o m a t ri c e s   a r o un d   3     , 2       a n     1   .   w h e r e    ( 3 ) = { 3 × 3 :   = 1 d e t ( ) = 1 }   [17 - 20].   T h e   r e p r e s e nt a t i o of  t h e   r o t a t i o m a t ri x   i s   de pi c t e i ( 1)   a s   f o l l ow :     = [ +   ]     (1)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       G e om e t r i c   c o nt r ol   o f   q uadr ot or   U A V s   us i ng  i nt e gr a l   ba c k s t e ppi ng   ( A l i   B ouc h ai b )   55   W e   n o t e   t ha t      a n d      de n o t e   si n   ( )   a n d   c o s   ( )   r e s pe c t i v e l y   a n s i m i l a rl y   fo r     a n d   .   T h e   dy n a m i c a l   m o de l   o f   t h e   qu a d r o t o c a n   b e   de s c r i b e a s :     ̈ =  3  3 +   (2a )     ̇ = Ω ×   (2b )     Ω ̇ + Ω × Ω = +   (2c )     W h e r e   t h e     i s   a   m a s s   a n d     i n e rt i a   m a t r i x,     i s   t h e   qu a d r o t o po s i t i o i t h e   i n e r t i a l   f r a m e ,   Ω   i s   t h e   a n g ul a v e l o c i t y   i t h e   b o d y   f r a m e ,     a n d     a r e   e xt e rn a l   f o r c e   a n d   m o m e n t ,   r e s pe c t i v e l y .       ×   3  ( 3 )   i s   de f i n e by   t h e   c o n di t i o t ha t   × = ×   f o r   a l l   , 3     T h e   E ul e r   e qu a t i o n   de t e rm i n e s   t h e   a ngul a r   a c c e l e r a t i o n:     [  0 0 0  0 0 0  ] [ Ω 1 ̇ Ω 2 ̇ Ω 3 ̇ ] = [ 1 2 3 ] [ Ω 1 Ω 2 Ω 3 ] × [  0 0 0  0 0 0  ] [ Ω 1 Ω 2 Ω 3 ]   (3)     E a c h   r o t o r   o f   t h e   qu a d r o t o r   ha s   a n   a n gu l a r   v e l o c i t y     t o   de f i n e   t h e   t r us t   a n d   t h e   d ra f o r c e s   = 2   a n = 2   r e s pe c t i v e l y ,   w h e r e   t h e     a n     a r e   t h e   t hr us t   a n d   d ra c o e ff i c i e n t s .   T h e   e qua t i o n   fo r   m a pp i n g   o f   t h e   r o l l ,   pi t c h,   a n d   y a w   di r e c t i o c a n   b e   w r i t t e n   a s :     [ 1 2 3 ] = [ 1 1 1 1 0 0 0 0 ] [ 1 2 3 4 ]   (4)     If   w e   t a ke   i n t o   a c c o un t   t h e   s pe e ds   of   t h e   a t t a c h e p r o pe l l e r s   t o   t h e   d ri v e r s   (m o t o r s ),   t h e   l a s t   e qua t i o b e c o m e s :       [ 1 2 3 ] = [ 0  0    0   0  ] [         1 2 2 2 3 2 4 2 ]           (5)       3.   C O N TR O L   D ES I G N   A f t e de v e l o pi ng   t h e   dy na m i c   m o de l   o f   t he   v e hi c l e   i t h e   S E (3 ) ,   T h e   m o m e nt   v e c t o a nd  t he   t hru s t   m a g ni t u de   a r e   t he   c o nt r o l   i np u t s   o f   o u s y s t e m .   T h e   s t ruc t u r e   o f   t he   ge o m e t ri c   c o nt r o l   l a w   i s   s ho w i F i gu re   2.           F i gu r e   2 .   B l o c   s c h e m a t i c   o f   t h e   c o n t r o l   Q u a d c o p t e r   D y n a m i c   M o d e l T e r C a l c u l a t i n g   r d B a c ks t e pp i ng C ont r ol   L a w s H i g h - l evel   co n t r o l e R C a l c u l a t i n g   Lo w - l evel   co n t r o l C a l c u l a t i o n   R d e W M B 3d B 1d   I n t e g r a l   t e r m s I n t e g r a l   t e r m s B a c ks t e ppi ng C ont r ol   L a w s Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n   J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   22 ,   N o .   1 A p r i l   20 21   :     53   -   6 1   56   w h e r e       a s s o c i a t e d   w i t t h e   de s i r e po s i t i o o f   t h e   qua d r o t o ,   t h e   m o m e n t   c o nt r o l   i s   a s s o c i a t e d   w i t t h e   de s i r e di r e c t i o n   o f   t h e   f i r s t   b o d y - f i xe f r a m e     1   a n t h e   d e s i r e d i r e c t i o n   o f   t h e   t hi r b o d y - f i xe f r a m e     3   [21 - 23] .   T h us ,   t h e   de s i r e po s i t i o i s   ,   w h e r e i t hi s   c a s e ,   w e   c a n   o b t a i n   t h e   c o rr e s po n di n g   de s i r e a t t i t u de   :     = [   1 ,   2 ,   3 ]  ( 3 )   (6)     w h e r e     1 =   2 ×   3 ,       2 =   2 =   3 ×   1   3 ×   1   a n d   3 =   3     F r o m   t h e   a t t i t ude   ki n e m a t i c s   r e p r e s e n t e d   by   (2a )   a n d   (6) ,   w e   o b t a i a ngul a v e l o c i t y   c o m m a n d   Ω 3 .     3. 1 .       H i gh - l e v e l   p o s i ti o n   c o n tr o l     In  t hi s   pa rt ,   w e   us e   b a c ks t e ppi ng  c o n t r o l   t o   de duc e   t h e   t h r us t   m a g ni t ude       a n d   t h e   de s i r e di r e c t i o n   o f   t h e   t hi r d   b o d y - f i xe f r a m e     3 .   L e t ' s   de f i n e   t h e   po s i t i o e rr o r   a s   1 =   a nd  i t s   de r i v a t i v e   ̇ 1 = ̇ ̇ .   T h e n,   de s i g ni n t h e     t o   b e   a s   t h e   v i r t u a l   i n pu t   a nd  2 = ̇   t o   b e   t h e   v i r t u a l   c o n t r o l   e rr o r ,   w e   s e l e c t   t h e   L y a pun o v   f un c t i o 1   a n i t s   de ri v a t i v e   a s   f o l l o w :     1 = 1 2 1 1   (7)     ̇ 1 = 1 ̇ 1 = 1 ( ̇ ̇ ) = 1 ( 2 + ̇ )   (8)     T o   m a ke   1   pr o g r e s s i v e   s t a b l e ,   t h e   (8)   n e e ds   t o   c o n t e n t   ̇ 1 < 0 .   T h e n,   w e   s e l e c t   = ̇ 1 1 ,   w h e r e   1   i s   a   po s i t i v e   c o n s t a n t .     ̇ 1 = 1 ( 2 + ̇ 1 1 ̇ ) = 1 2 1 1 1     (9)     w h e r e   2 = ̇ = ̇   ̇ + 1 1 .   B e c a us e   of   2   i s   n o t   ge n e r a l l y   a   z e r o ,   s o   t h e   s e c o n s t e o f   b a c ks t e ppi n i s   gi v e by   2   a n d   i t s   de r i v a t i v e :     2 = 1 2 1 1 + 1 2 2 2   (10)     ̇ 2 = 2 ̇ 2 + 1 ̇ 1 = 2 ( ̈ ̈ + 1 ̇ 1 ) + ̇ 1 = 2 ( ̈ ̈ + 1 ̇ 1 ) 1 1 1   + 1 2 = 2 ( 3 1  3 ̈ + 1 ̇ 1 ) 1 1 1   + 1 2   (11)     T h e n,   t h e   c o nt r o l   l a w   T   i s   de s i g n e a s   f o l l ow :     = (  3 + ̈ + ( 1 2 1 ) 1 + ( 1 + 2 ) 2 ) 3   (12)     w h e r e   1   a n d   2   a r e   po s i t i v e   c o n s t a n t s .   T h e   L y a pun o v   f un c t i o n ' s   de ri v a t i v e   i s   n e g a t i v e   [2 4] ,   s o   i t hi s   t i m e ,   w e   s a y   t ha t   g l o b a l   s t a b i l i t y   i s   a c c o r di n g   a nd   i t   c a c o nt r o l   t h e   po s i t i o     t o   b e   p r o g r e s s i v e   s t a b i l i t y   by   t h e   c o n t r o l   A f t e t h e   s i m ul a t i o i s   do n e ,   i t   b e c o m e s   c l e a r   t ha t   w e   n e e t o   a dd  i n t e g ra t i o n ,   t h e   c o nt r o l     b e c a m e :     = ( 3 ̈ + 1 + ( 1 2 1 ) 1 + ( 1 + 2 ) 2 ) 3   (13)     3. 2 .       Lo w - l e v e l   a tti tu d e   c o n tr o l   T h e   b a c ks t e ppi ng  ge o m e t ri c   c o n t r o l l e r   us e s   a n   e rr o f un c t i o n   w hi l e   us i ng  t h e   b a c ks t e ppi ng  c o n t r o l   a pp r o a c t o   i m p r o v e   i t s   r o b us t n e s s .   W e   n o t i c e   t ha t   i t   i s   n o t   po s s i b l e   t o   c o m pa r e   di r e c t l y   be t w e e n     a n d     due   t o   t h e   t a nge nt   v e c t o r   o f   ̇   a n d   ̇   w h i c a r e   i d i f fe r e nt   t a n ge nt   s p a c e s .   In  (14)   de f i n e s   t h e   a t t i t u de   e rr o r ,   a nd  ( 15)   de f i n e s   t h e   A ngul a V e l o c i t y   e rr o r :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       G e om e t r i c   c o nt r ol   o f   q uadr ot or   U A V s   us i ng  i nt e gr a l   ba c k s t e ppi ng   ( A l i   B ouc h ai b )   57   = 1 2 ( )       (14)     w h e r e     i s   v e e   m a p   (  ( 3 )   3   i s   t h e   i n v e r s e   o f   ×   w h i c w a s   de f i n e b e for e .     Ω = Ω Ω       (15)     H ow e ve r ,   b e fo r e   o b t a i ni n t h e   a t t i t ude   c o nt r o l l e dy n a m i c s ,   w e   n e e t o   k n o w   ̇   a nd  ̇ Ω ,   w h i c a r e   de f i n e by   (16)  a nd  (1 7):     ̇ = 1 2 (  ( ) ] ) Ω = Ω       (16)       ̇ Ω =   ̇ + ( Ω Ω ̇ )       (17)     T h e   m a t r i de f i n e i n   (17)  i s   i n v e r t i b l e   w h e n   t h e   r o t a t i o n   a n gl e   b e t w e e n   a n R i s   l e s s   t h a 180° .   T o   c o n t r o l   t h e   po s i t i o o f   o ur   qua d r o t o a nd  t h e   a t t i t ude   i m p l i c i t l y ,   w e   us e   t h e   f o l l ow i n g   po s i t i v e   L y a pun o v   f un c t i o n :     3 = 1 2 + 1 2 Ω Ω       (18)     T h e   de r i v a t i v e   of   t h e   L y a pun o v   f un c t i o i s   gi v e a s :     ̇ 3 = Ω ( ̇ + ( Ω Ω ̇ ) ) + ̇       (19)     ̇ 3 = Ω ( ( Ω × Ω ) + ( Ω Ω ̇ ) ) + ̇       (20)     T h e   c o n t r o l   l a w   b e c o m e s :     = 3 5 Ω + Ω × Ω J ( Ω × Ω Ω ̇ )       (21)     Co n c e rn i ng  t h e   a t t i t ude   e rr o r ,   w e   a dd   a n   i nt e gra t o r   c o n t r o l l e t o   t h e   c o nt r o l   l a w :     = 3 4  5 Ω + Ω × Ω J ( Ω × Ω Ω ̇ )   (22)     w h e r e   3 ,   4   a n 5   a r e   po s i t i v e   c o n s t a nt s ,   w hi c c a n   b e   c a l c ul a t e a pp r o xi m a t e l y   a s   de m o n s t ra t e i n   t h e   s t a b i l i t y   a na l y s i s   s e c t i o n   a s   f o l l ow :       -   A m o n t h e   p r o pe rt i e s   o f   t h e s e   e rr o r s ,   w e   quo t e:     ̇ 2 ( , ) 1 1 2       (23)     -   T h e   t i m e   de r i v e   o f   ( , )   i s   gi v e by :     ̇ ( , ) = Ω       (24)     -   W e   h a v e   [25,   26 ]:     ̇ < Ω       (25)     A c c o r di n g   t o   t h e   r e l a t i o o f   ( 25 ),   w e   c a n   w ri t e :     1 11 1 + 4  . R + 1 2  1 12 1 +     (26)   4  . R + 1 2      W h e r e ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n   J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   22 ,   N o .   1 A p r i l   20 21   :     53   -   6 1   58     1 = [ R         Ω ] 11 = 1 2 [ 3 + 4 ( ) ( ) ( ) ] 12 = 1 2 [ 2 ( 3 + 4 ) 2 ( ) ( ) ( ) ] ( )   a nd  ( )   r e p r e s e n t   t h e   m i ni m u m   a n d   m a x i m u m   e i ge n v a l ue s   o f   t h e   m a t r i x   ,   r e s pe c t i ve l y .       E v e n   t o   b e   t h e   de r i v e   o f   L y a pun o v   f un c t i o i s   a   n e ga t i v e   de f i n e   s h o ul d   c h e c t h a t   r e l a t i o n :     ̇ < 1 1 1   (27)     w h e r e :     1 = [ ( 3 4 0 0 3 ( ) ]   (28)     T h e   m a t ri c e s 11 11 a n 1   m us t   b e   de f i n e po s i t i v e   w i t t h e   f o l l ow i n g   c o n di t i o n s :     {         4 < 3 3 < mi n   { 2 ( ) ( ) , ( ) 2 ( 2 ) } 5 >   { 2 ( ) ( ) 3 , ( ) 2 ( 2 ) 3 , ( )   }   (29)     T h e   f o r m ul a   o f     3   b e c a m e       3 = (  3 ̈ + 1 + ( 1 2 1 ) 1 + ( 1 + 2 ) 2 )  3 ̈ 1 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 + 2 ) 2   (30)     w h e r e   w e   a s s um e   t ha t      3 ̈ 1 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 + 2 ) 2 0   (31)     T h e   c o n t r o l l e r s   a r e   b a s e o n   a   B a c ks t e ppi n ge o m e t r i c   m e t h o d.   T hi s   c o n t r o l   i s   a   c a s c a de   w h e r e   w e   us e c o n t r o l   b a c ks t e ppi n g   f o r   t h e   po s i t i o n ,   a n d   a t t i t ude   t r a c ki n g   w i t t h e   n e e f o t h e   t o w   de s i r e d   v a l ue s     a n 1 .       4.   S I M U LA TI O N   R ES U LTS   In  t hi s   s e c t i o n ,   w e   de f i n e   t h e   qua d r o t o r' s   p a r a m e t e r   v a l ue s ,   a s   s h o w n   i n   T a b l e   1 .   T h e n,   w e   s pe c i f t h e   de s i r e i nput .       T a b l e   1 .   T h e   p a r a m e t e r s   o f   qua d r o t o r   U A V   P o i n t   S i z e   P u rp o s e   i n   P a p e r   S p e c i a l   A p p e a ra n c e   M a s s     4 . 3 4   k g   t h ru s t   c o e ffi c i e n t     3 . 3 . 1 0 - 5   N / ra d / s   d ra g   c o e ff i c i e n t     0 . 0 2 2 6   m   l o n g e r     0 . 3 1 4   m   In e rt i a   x      0 . 0 8 2   k g m 2   In e rt i a   y      0 . 0 8 2   k g m 2   In e rt i a   z      0 . 1 3 7 7   k g m 2   M a x i m u m   s p e e d   M a x . r p m   1 3 0 0   rp m       T h e   i ni t i a l   h o v e r i n g   c o n di t i o n s   a r e :     ( 0 ) = Ω ( 0 ) = [ 0 , 0 , 0 ]   ( 0 ) = 3 × 3   T h e   de s i r e t r a j e c t o r y   = [ 1 , 2 , 3 ]    v a r i e s   a s   f o l l ow s :   F i r s t ,   t h e   qua d r o t o r   t a ke s   o ff   v e r t i c a l l y   t o   15  m .   T h e n ,   t h e   de s i r e di r e c t i o n   o f   t h e   f i r s t   b o d y - f i xe d   f r a m e     1   t a ke s   5   m   a t   t   =   2s ,   w h i l e   a t   t i m e   e qua l   4s   t h e   qu a d r o t o r ' s   c o o r di n a t e   b e c o m e s   [5,   10,   - 15].   A t     t   =   8s ,   t h e   de s i r e di r e c t i o n   o f   t h e   s e c o n b o d y - f i xe f r a m e     2   de c r e a s e s   t o   3m   a nd  t h e     1   de c r e a s e s   t o   m   a t   t   =   10s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       G e om e t r i c   c o nt r ol   o f   q uadr ot or   U A V s   us i ng  i nt e gr a l   ba c k s t e ppi ng   ( A l i   B ouc h ai b )   59   In  t h e   s e c o n c a s e ,   w e   de s i gn  r o b us t   c o n t r o l   by   c h a n g i n g   t h e   i n e r t i a   by   100%  i n   t h e   i ni t i a l   = 1 . 5   [  ,  ,    ]   a n d   = 2 .   I n   t h e   t hi r d   s e c t i o n ,   w e   a ppl y   a n   e xt e rna l   f o r c e   t h a t   w e   c o n s i de r ,   s uc a s   w i n d   gus t    = [ 20 , 30 , 0 ] N .   T h e   f i r s t   f o r c e   (20)  a t   t i m e     2   a n d   t h e   s e c o n f o r c e   (30)  a t     6 .   S i m ul a t i o r e s ul t s   o f   F i gu r e   3( a )   o n   t h e   r i g ht   s i de   s h o w   t h e   po s i t i o n   o f   t h e   c o m po n e nt s   i t hr e e   di r e c t i o n s ,   w hi c h   a r e   a l m o s t   t h e   s a m e   a s   t h e   de s i r e v a l ue s ,   a n o n   t h e   l e f t   s i de   s h ow   i t s   e r r o r ,   w h i c h   i s   de f i n e a s   1 = .   T h e   c o m po n e nt s   i n   t h e   t hr e e   di r e c t i o n s   c o n v e r ge   t o   t h e   de s i r e s t a t e s   o s t a b l e   s t a t e s .   W e   ob s e r ve t h e   po s i t i o n   o f   x,   w h e r e   i t   c o n v e r ge s   t o   t h e   de s i r e t ra j e c t o r y   a t   t   =   1. 5s ,   y   c o n v e r ge s   a t   t   =   1s ,   w h i l e   z   c o n ve r ge s   i n   a l m o s t   2. 5s .   F i gu r e   3( b )   c l e a r l y   s h ow s   t h e   i n p ut   c o n t r o l   T   a n M ,   w h e r e   t h e   t hr us t   w a s   b e t w e e n 200   .   A f t e 12s ,   M2  a n d   M3   b e c o m e   z e r o .   F i gu r e   3( c )   s h o w s   t h e   t hi r d   b o d y - f i xe f r a m e     3   w i t h o ut   c ha n gi ng  t h e   pa ra m e t e r s .   F i gu r e   3( d )   s h o w s   t h e   p h a s e   pl a n   o f   E ul e r   a ngl e s ,   w h i c h   p r e s e nt s   t h e   c l e a s t a b i l i t y   of   t h e   s y s t e m .   F i gu r e   4( a )   s h o w s   t h e   r e s ul t s   o f   t h e   po s i t i o n   o f   t h e   t h i rd  b o d y - f i xe f r a m e     3   a f t e r   c h a ngi n g   t h e   m a s s   a n d   t h e   i n e rt i a ,   a n d   F i g u r e   4( b )   t h e a e xt e rn a l   f o r c e      w a s   a ppl i e d.   W e   o b s e r v e t h e   su gge s t e c o n t r o l   r o b us t n e s s .   F i gu r e   ( 5 )   s h o w s   t h e   t r a j e c t o r y   of   t h e   qua dr o t o r   i n   3D   f o r   t w o   c a s e s   be fo r e   a n a f t e r   c h a ngi ng  t h e   m a s s   a n d   t h e   i n e rt i a   b y   a ppl y i n a n   e x t e rna l   f o r c e    .             (a P o s i t i o n   a n d   i t s   e rr o r     (b T hr us t   a nd  d i f f e r e n t   m o m e nt s             (c T h e   de s i r e di r e c t i o o f   t h e   t hi r b o d y - f i xe f r a m e     3     (d)  P ha s e   pl a n   o f   E ul e a n g l e r s     F i gu r e   3 .   F l i pp i n g   us i n g   b a c ks t e ppi n g   c o n t r o l   w i t h o ut   c ha n gi n g   t h e   pa ra m e t e r s       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n   J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   22 ,   N o .   1 A p r i l   20 21   :     53   -   6 1   60       (a T ra j e c t o r y   w i t c h a ngi n g   t h e   pa ra m e t e r s   (b T r a j e c t o r y   w i t a e xt e rn a l   f o r c e     F i gu r e   4 .   F l i pp i n g   u s i n g   b a c ks t e ppi n g   c o n t r o l   w i t di s t u r b a nc e           (a T ra j e c t o r y   w i t h o ut   a e xt e rn a l   f o r c e   (b T r a j e c t o r y   w i t a e xt e rn a l   f o r c e     F i gu r e   5 .   G l o b a l   t r a j e c t o r y   of   t h e   qu a d r o t o i di m e n s i o n s       5.   C O N C LU S I O N   In   t hi s   w o r k,   a   dy n a m i c   gl o b a l   m o de l   fo r   a   qua d r o t o r   U A V   w a s   pr e s e n t e d.   F urt h e r m o r e ,   a   n e w   t r a c ki ng  c o n t r o l l e r' s   de v e l o pm e n t   w a s   de s i gn e b a s e o n   a   b a c ks t e ppi ng  ge o m e t r i c   m e t h o de v e l o p e d   di r e c t l y   o n   t h e   S E (3)  t o   a v o i s i n gul a r i t i e s   a n a m b i gui t i e s   i nh e r e n t   t o   o t h e r   a t t i t ude   r e pr e s e nt a t i o n s .   T h e   m a i n   c o n c l us i o n s   a r e   s um m a r i z e a s   fo l l ow s ,   (a T h e   s t a t e   v a r i a b l e s   c a n   c o n v e r ge   f a s t   t o   t h e   de s i r e v a l ue .   (b T h e   e rr o r s   o f   p o s i t i o n   a n a t t i t ude   a n g l e s   c a n   qui c kl y   c on v e r ge   t o   o r   s t a y   i n   a   s m a l l   pe r c e n t a ge .   (c T h e   n e w   c o n t r o l   s t r a t e g y   w h i c h   s u i t s   c o m pl e f l i g ht   m i s s i o n s   c a n   m a ke   t h e   qua d r o t o r   t r a c d i f fe r e nt   t r a j e c t o r i e s .   T h us ,   s i m u l a t i o n s   h a v e   v a l i da t e t h e   d i f fe r e nt   p r e s c ri b e t ra j e c t o r i e s   t r a c ke by   a c t ua l   t r a j e c t o r i e s   v e r y   w e l l   w i t h   t hi s   pa pe r' s   p r o po s e m e t h o d.   F ut u r e   w o r s h o ul b e   fo c us e o n   de s i g n i ng  a   r o b us t   t r a j e c t o r y   t r a c k i n m e t h o t ha t   c a b e   a ppl i e d   t o   c o m pl e m o de l s   a n d   i m p r o v e   t h e   c o nt r o l l e r' s   s t a b i l i z a t i o n .       R E F E R E N C E S   [ 1]   N ur   A c hm a S ul i s t y o   P ut r o ,   A ndi   D ha r m a w a n,   T r i   K unt o r o   P r i y a m bo do ,   " Q ua dr o t o r   C o nt r o l   S y s t e m   w i t H a nd   M o v e m e nt   S i g a s   a A l t e r n a t i v e   R e m o t e   C o nt r o l , "   I n t e r nat i o nal   J our na l   of   R ob ot i c s   and  A ut om at i on  ( I J R A ) ,   v o l .   6,   no .   2,   pp .   131 - 14 0,   20 17,   do i :   10 . 115 91/ i j r a . v 6i 2 . pp 131 - 14 0 .   [ 2]   J .   Y u,   C .   Y a a nd   M .   H ua ng ,   " R e s e a r c o f   c o ns i s t e nc y   pr o bl e m   f o r   qua d r o t o r   U A V   s y s t e m   w i t h   l e a d e r - f o l l o w e r , "   2019   C hi ne s e   A ut om at i o C o ngr e s s   ( C A C ) ,   H a n g z ho u,   C hi na ,   2019 ,   pp.   6 16 - 621 ,   do i :   10. 1 109 / C A C 48633 . 201 9. 8 9964 73 .   [ 3]   L a s m a di   L a s m a d i ,   A dha   I m a m   C a h y a di ,   S a m i a d j i   H e r dj u na n t o ,   R i s a nur i   H i da y a t ,   " I ne r t i a l   N a v i g a t i o f o r   Q ua dr o t o r   U s i ng   K a l m a F i l t e r   w i t D r i f t   C o m pe ns a t i o n, "   I n t e r nat i o nal   J our nal   o f   E l e c t r i c a l   and  C om p ut e r   E ngi ne e r i n ( I J E C E ) ,   v o l .   7 ,   no .   5 ,   pp .   259 6 - 2604 ,   2017 ,   do i :   10. 11 591/ i j e c e . v 7i 5. p p259 6 - 2604   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       G e om e t r i c   c o nt r ol   o f   q uadr ot or   U A V s   us i ng  i nt e gr a l   ba c k s t e ppi ng   ( A l i   B ouc h ai b )   61   [ 4]   S .   L i ,   N .   D ua n ,   Z .   X a n X .   L i u,   " T r a c k i ng   C o nt r o l   o f   Q ua dr o t o r   U A V   w i t I nput   D e l a y , "   39t C hi ne s e   C ont r ol   C onf e r e nc e   ( C C C ) ,   S h e ny a ng ,   C hi na ,   2 020 ,   pp .   6 46 - 649 ,   do i :   10. 23 919/ C C C 5006 8. 2 020 . 91 8844 9   [ 5]   A l   A l ,   A r f i t a   Y u a na   D e w i ,   A nt o nov   B a c ht i a r ,   D w i   H a r i n i t a ,   " A a ng l e   s p e e a nd  t h r us t   r e l a t i o ns h i o f   t he   r o t o r   s y s t e m   i t h e   qu a dc o pt e r   a i r c r a f t , "   I ndo ne s i an  J ou r na l   o f   E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng  a nd  C om pu t e r   Sc i e nc e   ( I J E E C S) ,   vo l .   12,   no .   2 ,   pp.   4 69 - 474 ,   2019 ,   do i :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 13 . i 2 . p p469 - 474 .   [ 6]   L .   J i ny o n g ,   Z .   J un ,   D .   W e n j i e ,   G .   X i a oy i ng   a nd  Q .   C hun t a ng ,   " F l y i ng   C o nt r o l   S y s t e m   A r c hi t e c t u r e   o f   I n f o r m a t i o ni z a t i o f o r   P e r v a s i v e   C o m put i ng , "   F i r s t   I n t e r na t i ona l   C onf e r e nc e   on   P e r v as i v e   C om p ut i ng ,   S i g na l   P r o c e s s i ng   a nd   A ppl i c a t i o ns ,   H a r b i n ,   2010 ,   pp .   348 - 351 ,   do i :   10. 1 1 09/ P C S P A . 2010 . 91   [ 7]   F .   A .   G oo da r z i   a nd  T .   L e e ,   " E x t e n de K a l m a f i l t e r   o S E ( 3 )   f o r   g e om e t r i c   c o nt r o l   o f   a   qua dr o t o r   U A V , "   I nt e r n at i on al   C on f e r e nc e   on  U nm a nne A i r c r a f t   Sy s t e m s   ( I C U A S) ,   A r l i ng t o n,   V A ,   20 16 ,   p p.   137 1 - 1380 ,   do i :   10. 1 109 / I C U A S . 2016. 750 2682   [ 8]   T .   T a n,   J .   Y i a nd  H .   Z ho u,   " H i g P r e c i s i o A t t i t u de   C o nt r o l   o f   S pa c e   M a ne uv e r i ng   P l a t f o r m   B a s e o M o de l   P r e d i c t i v e   a nd  I nv e r s i v e   M e t ho d * , "   I nt e r nat i on al   C on f e r e nc e   on  U nm anne Sy s t e m s   ( I C U S) ,   Be i j i ng ,   C h i na ,   2 019 ,   pp.   34 0 - 347 ,   do i :   10. 1109 / I C U S 48101 . 201 9. 8 9959 99   [ 9]   F .   G o o da r z i ,   D .   L e e   a nd  T .   L e e ,   " G e o m e t r i c   no nl i ne a r   P I D   c o nt r o l   o f   a   qua dr o t o r   U A V   o S E ( 3) , "   201 E ur ope an   C ont r ol   C on f e r e nc e   ( E C C ) ,   Z u r i c h,   2013 ,   pp .   3845 - 38 50 ,   do i :   10 . 2 3919 / E C C . 2013 . 66 6964 4   [ 10]   S .   Z ha ng   a nd  C .   C he n ,   " B a c ks t e pp i ng   B a s e N o nl i n e a r   I nt e g r a l   S l i d i ng   M o de   C o nt r o l   f o r   Q ua dr o t o r s   U nde r   E xt e r na l   D i s t ur b a nc e s , "   C hi ne s e   C on t r o l   C on f e r e nc e   ( C C C ) ,   G ua ng z ho u,   C hi na ,   201 9,   p p.   8355 - 83 59 ,   do i :   10. 2 3919 / C h i C C . 2019 . 8 8652 15 .   [ 11]   L .   Z ho a nd  B .   Z ha ng ,   " Q ua dr o t o r   U A V   F l i g ht   C o nt r o l   U s i ng   B a c ks t e pp i ng   A da pt i v e   C o nt r o l l e r , "   6t I nt e r n at i on al   C onf e r e nc e   on  C on t r o l   S c i e nc e   and   Sy s t e m s   E ngi ne e r i ng  ( I C C S SE ) ,   Be i j i ng ,   C hi na ,   20 20,   pp .   16 3 - 166 ,   do i :   10. 1109 / I C C S S E 50399 . 20 20. 9171 967   [ 12]   O .   Y .   V o r o nko v ,   " S y ne r g e t i c   S y nt he s i s   o f   t he   H i e r a r c hi c a l   C o nt r o l   S y s t e m   o f   t he   F l y i ng   P l a t f o r m , "   I nt e r na t i ona l   C onf e r e nc e   on   C on t r o l   i n   T e c hn i c a l   Sy s t e m s   ( C T S) ,   S t .   P e t e r s bu r g ,   R u s s i a ,   2 019 ,   pp.   23 - 26 ,   do i :   10. 18 522 / 231 1 - 3103 - 202 0 - 3 - 29 - 39   [ 13]   Y .   Z o u,   Y .   Y i n   a nd   J .   S o ng ,   " F l i g ht   c o nt r o l   o f   a   f l y i ng - w i ng   U A V   ba s e o a c t i v e   d i s t u r ba nc e   r e j e c t i o c o nt r o l , "   3r I n t e r na t i ona l   C on f e r e nc e   on  C ont r ol   S c i e nc e   and  Sy s t e m s   E n gi ne e r i ng  ( I C C S SE ) ,   B e i j i ng ,   201 7,   p p.   50 - 55 do i :   10. 1109 / C C S S E . 2 017 . 808 7893 .   [ 14]   M .   H u ,   J .   S o ng   a nd  M .   Y a ng ,   " S l i d i ng   m o de   c o nt r o l   a nd  c o nt r o l   a l l o c a t i o f o r   E l e c t r o m a g ne t i c   F o r m a t i o F l y i ng , "   35t h   C h i ne s e   C on t r ol   C on f e r e nc e   ( C C C ) ,   C he ng du,   201 6,   pp .   581 0 - 5813 ,   d o i :   10. 1 109 / C h i C C . 2 016 . 75 5426 5   [ 15]   A l m i do   H   G i n t i ng ,   O y a s   W a hy un g go r o ,   A dha   I m a m   C a hy a di ,   " A t t i t ude   C o nt r o l   o f   Q ua d r o t o r   U s i ng   P D   P l u s   F e e df o r w a r c o nt r o l l e r   o S O ( 3) , "   I n t e r na t i o nal   J our nal   o f   E l e c t r i c al   an C om put e r   E ng i ne e r i ng  ( I J E C E ) ,   v o l .   8,   no .   1 ,   pp.   5 66 - 577 ,   2018 ,   do i :   10. 1 1591 / i j e c e . v 8i 1 . pp5 66 - 575 .   [ 16]   X .   J i ,   J .   L i   a nd  Y .   N i u ,   " O pt i m a l   a t t i t ude   c o nt r o l   o f   a   r i g i bo dy   on  s pe c i a l   o r t ho g o na l   g r o up  us i ng   L G V I   a nd  F D - G M R E S , "   20 t I n t e r nat i o nal   C on f e r e nc e   on  M e t h ods   and   M ode l s   i A ut om at i o an R o bo t i c s   ( M M A R ) M i e dz y z dr o j e ,   2 015 ,   pp.   9 3 - 98 ,   do i :   10. 1109 / M M A R . 201 5. 7283 85 3 .   [ 17]   T .   - y .   C he a nd  J .   - t .   Y u,   " Q ua dr o t o r   A t t i t ud e   C o nt r o l   U s i ng   S pe c i a l   O r t ho g o na l   M a t r i x, "   I nt e r na t i ona l   A u t om a t i c   C ont r ol   C on f e r e nc e   ( C A C S) ,   H s i nc h u,   202 0,   pp .   1 - 5 ,   do i :   10. 1109 / C A C S 50047. 20 2 0 . 928 9762 .   [ 18]   W .   C he n l u ,   C .   Z e ng q i a ng ,   S .   Q i ng l i a n Z .   Q i ng ,   " D e s i g o f   P I D   a nd  A D R C   ba s e qu a d r o t o r   he l i c o pt e r   c o nt r o l   s y s t e m , "   C hi ne s e   C ont r ol   and  D e c i s i on  C on f e r e nc e   ( C C D C ) ,   Y i nc hua n,   201 6,   pp .   58 60 - 5865 ,   do i :   10. 1 109 / C C D C . 2016 . 75 3204 6 .   [ 19]   L .   J i a j i n,   L .   R ui ,   S .   Y i ng j i ng   a n Z .   J i a nx i a o ,   " D e s i g o f   a t t i t ud e   c o nt r o l l e r   u s i ng   e xpl i c i t   m o de l   p r e d i c t i v e   c o nt r o l   f o r   a unm a n ne qua dr o t o r   h e l i c o pt e r , "   C h i ne s e   A ut om at i on  C on gr e s s   ( C A C ) ,   J i n a n ,   20 17,   pp .   2 853 - 285 7 ,   do i :   10. 1 109 / C A C . 2017 . 82 4326 2   [ 20]   Q .   J i a o ,   J .   L i u ,   Y .   Z ha ng   a n W .   L i a n ,   " A na l y s i s   a nd   de s i g t he   c o nt r o l l e r   f o r   qua dr o t o r s   ba s e d   o P I D   c o nt r o l   m e t ho d, "   33 r Y ou t A c ade m i c   A nnua l   C on f e r e nc e   of   C hi ne s e   A s s oc i at i o of   A u t om a t i on  ( Y A C ) ,   N a n j i ng ,   2018 ,   pp.   88 - 92 ,   do i :   10. 11 09 / Y A C . 2018 . 840 6352   [ 21]   X .   Z h a ng ,   Y .   F a n g ,   X .   Z h a ng ,   J .   J i a ng   a n X .   C he n,   " A   N ov e l   G e o m e t r i c   H i e r a r c h i c a l   A ppr o a c f o r   D y na m i c   V i s u a l   S e r v o i ng   o f   Q ua dr o t o r s , "   i I E E E   T r ans ac t i ons   on  I ndu s t r i a l   E l e c t r on i c s ,   v o l .   67 ,   no .   5,   pp .   384 0 - 3849 ,   M a y   2020 ,   do i :   10 . 110 9/ T I E . 201 9. 2 9174 20   [ 22]   J .   L i a nd  G .   L e e ,   " A   C a r r o t   i P r o ba b i l i s t i c   G r i d   A ppr o a c f o r   Q ua dr o t o r   L i ne   F o l l o w i ng   o V e r t i c a l   S u r f a c e s , "   I nt e r n at i on al   C on f e r e nc e   on  U nm anne A i r c r af t   Sy s t e m s   ( I C U A S) ,   A t l a nt a ,   G A ,   U S A ,   2019,   pp.   12 34 - 124 1 ,   do i :   10. 1 109 / I C U A S . 2019. 879 7792   [ 23]   T .   L e e ,   K .   S r e e n a t h   a nd   V .   K um a r ,   " G e o m e t r i c   c o nt r o l   o f   c o o pe r a t i ng   m ul t i p l e   qu a dr o t o r   U A V s   w i t a   s us pe n de d   pa y l o a d, "   52nd   I E E E   C onf e r e nc e   o D e c i s i on   and   C on t r ol ,   F l o r e nc e ,   201 3,   pp .   551 0 - 5515 ,   do i :   10. 1 109 / C D C . 2013 . 67 6075 7 .   [ 24]   D a nh  H uy   N g u y e n,   T ung   L a m   N g u y e n,   M a n L i nh   N g uy e n,   H uy   P huo ng   N g u y e n,   " N o nl i ne a r   C o n t r o l   o f   a n   A c t i v e   M a g ne t i c   B e a r i ng   w i t O u t pu t   C o ns t r a i n t , "   I nt e r na t i ona l   J ou r nal   of   E l e c t r i c al   an C om put e r   E ng i ne e r i ng   ( I J E C E ) ,   v o l .   8 ,   no .   5 ,   pp .   3 666 - 367 7,   2 018 ,   do i :   10. 115 91 / i j e c e . v 8i 5. pp 3666 - 36 77 .   [ 25]   T .   L e e ,   M .   L e o a nd   N .   H .   M c C l a m r o c h,   "   G e om e t r i c   t r a c ki ng   c o nt r o l   of   a   qua dr o t o r   U A V   f o r   e xt r e m e   m a ne uv e r a bi l i t y , I F A C   P r oc e e di ngs ,   v o l .   44 ,   no .   1,   20 11,   p p.   63 37 - 6342 .   [ 26]   F .   A .   G oo da r z i ,   D .   L e e   a nd  T .   L e e ,   " G e o m e t r i c   s t a bi l i z a t i o o f   a   qua dr o t o r   U A V   w i t a   pa y l o a c o nne c t e by   f l e xi bl e   c a b l e , "   2014  A m e r i c a C ont r o l   C onf e r e nc e ,   P o r t l a n d,   O R ,   20 14 ,   pp.   49 25 - 4930 ,   do i :   10. 1 109 / A C C . 2014 . 68 5941 9 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.