I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   19 ,   N o .   1 J ul y   20 20 ,   pp .   3 80 ~ 38 7   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 9 .i 1 . pp3 80 - 38 7             3 80       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om   A n   o p t i m a l   n o n l i n e a r   c o n t r o l   f o r   a n t i - sy n c h r o n i z a t i o n   o f   R a b i n o v i c h   h y p e r c h a o t i c   sy st e m       S h aym aa  Y .   A l - h aya l i S aad   F aw z i   A L - A z z aw i   D e pa r t m e n t   o f   M a t he m a t i c s ,   C o l l e g e   o f   C o m put e r   S c i e nc e s   a nd   M a t he m a t i c s ,   U ni v e r s i t y   o f   M o s ul ,   I r a q       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e O c t   25 ,   2019   R e v i s e D e c   2,   2 019   A c c e pt e D e c   19,   2 019       T hi s   w o r k   de r i v e s   n e w   r e s u l t s   f o r   t he   a n t i - s y nc hr o ni z a t i o o f   4D   i de nt i c a l   R a bi no v i c hy pe r c ha o t i c   s y s t e m s   by   us i ng   t w o   s t r a t e g i e s :   a c t i v e   a n d   no nl i ne a r   c o nt r o l .   T he   s t a b i l i z a t i o r e s u l t s   o f   e r r o r   dy na m i c s   s y s t e m s   a r e   e s t a bl i s h e d   ba s e d   o L y a punov   s e c o nd  m e t ho d.   C o nt r o l   i s   de s i g ne d   v i a   t h e   r e l e v a n t   v a r i a b l e s   o f   dr i v e   a nd   r e s po ns e   s y s t e m s .   I c o m pa r i s o w i t h   p r e v i o us   s t r a t e g i e s ,   t he   c ur r e n t   c o nt r o l l e r   ( N o nl i ne a r   c o nt r o l )   f o c us e d   o t he   m i ni m um   po s s i b l e   l i m i t s   f o r   r e l e v a nt   v a r i a bl e s .   T he   be t t e r   pe r f o r m a nc e   i s   r e a l i z i ng     t he   a n t i - s y n c hr o ni z a t i o by   de s i g ni ng   a   c o nt r o l   w i t l o w   t e r m s .   A f t e r   o bt a i n i ng   a na l y t i c a l   r e s u l t s   o f   t h e   pr o po s e c o nt r o l l e r ,   num i r c a l   s i m ul a t i o i s   c a r r i e d   o ut   u s i ng   M a t l a b.   T he   g r a p hi c a l   r e s u l t s   p r o v e   v a l i d i t y   a nd   a p pl i c a b i l i t y   o f   pr o po s e d   c o nt r o l   w i t ho ut   k no w a ny   pa r a m e t e r .   T h e   p r o po s e c o nt r o l   ha s   c e r t a i n   s i g ni f i c a nc e   f o r   r e d uc i ng   t he   t i m e   a nd   c o m pl e x i t y   f or   s t r a t e gy   i m pl e m e n t a t i o n.   Ke y w or ds :   A nt i -   s y n c hr o n z i t i o   A c t i v e   c o n t r o l   s t ra t e gy     N o n l i n e a c o n t r o l   s t r a t e gy   L y a pun o v   s e c o n m e t h o d   Copy r i g ht   ©   20 20   Ins t i t u t e   of   A dv a nc e E ng i ne e r i ng   an S c i e nc e .     A l l   r i g ht s   r e s e r v e d.   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S a a d   F a w z i   A L - A z z a w i ,   D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s ,   Co l l e ge   of   Co m put e S c i e n c e s   a nd  M a t h e m a t i c s   U n i v e r s i t y   of   M o s ul ,   M o s ul ,   I ra q.   E m a i l :   s a a d _f a w z i 78@ y a h o o . c o m ,   s a a d_ a l a z a w i @ uo m o s ul . e du. i q       1.   I N TR O D U C TI O N     T h e   i m pe t us   f o r   a dv a n c e s   i dy n a m i c a l   s y s t e m s   ha s   c o m e   f r o m   m a n y   s o ur c e s :   m a t h e m a t i c s ,   t h e o r e t i c a l   s c i e n c e ,   c o m put e r   s i m ul a t i o n,   a n e xpe r i m e n t a l   s c i e n c e .   T h e   ke y   r e qui r e m e n t   f o r   t h e s e   s y s t e m s   i n v o l ve s   a   n o n l i n e a r i t y .   I 1990 ,   P e c o r a   a n d   C a rr o l l   b r o u ght   t o   t h e   w o r l d   t h e   i de a   o f   s y n c hr o n i z a t i o of  d y n a m i c a l   s y s t e m s   [1,   2] .   C ha o s   s y n c hr o n i z a t i o h a s   a t t r a c t e c o n s i de r a b l e   a t t e n t i o due   t o   i t s   i m po rt a nt   a ppl i c a t i o n s   i p h y s i c a l   s y s t e m s   [3],   E n c r y pt i o [4,   5] ,   a nd  s e c ur e   c o m m u ni c a t i o n s   [6] ,   e t c .   T hi s   g r e a t e s t   s uc c e s s   o p e n e t h e   w a y   t o   di s c ov e r   a n o t h e r   p h e n o m e n o n .     U n t i l   n o w ,   s c i e nt i s t s   r e a l i z e   t ha t   c h a o s   s y n c hr o ni z a t i o c a n   b e   o b s e r ve i e xpe ri m e n t s   a nd   i c o m put e m o de l s   o f   b e h a v i o r   f r o m   a l l   f i e l ds   o f   s c i e n c e   a n d   e n gi n e e r i n g   [ 7].   I a ddi t i o n ,   e n o rm o us   s y n c hr o ni z a t i o n   p h e n o m e n a   ha v e   be e n   a pp l i e i n   v a ri o us   dy n a m i c a l   s y s t e m s   s uc h   a s   c o m pl e t e   s y n c hr o n i z a t i o n   (CS )   [8 - 11 ],   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o n (A S [12] ,   H y b r i S y n c hro n i z a t i o n   (H S )   [13] ,   p r o j e c t i v e   s y n c h r o ni z a t i o (P S )   [14] ,   m o di f i e p r o j e c t i ve   s y n c hr o ni z a t i o (M P S )   [ 15]   a n d   ge n e r a l i z e d   p r o j e c t i ve   s y n c hr o ni z a t i o (G P S [16].   F ul l   s y n c hr o ni z a t i o n   a n d   a nt i - s y n c hr o n i z a t i o a r e   t h e   m o s t   c o m m o n l y   us e [17]  a n pl a y   a n   i m po r t a n t   r o l e   i e n gi n e e r i n g   a ppl i c a t i o n s   [ 18,   19] .   T h e s e   p h e n o m e na   a r e   a c h i e v e v i a   di f f e r e n t   v a ri o us   t y pe s   of   a n t i - s y n c hr o n i z a t i o s c h e m e s   i n c l ud i n g   a c t i v e   c o n t r o l   [17] ,   a da pt i v e   c o n t r o l ,   n o n l i n e a r   c o n t r o l   [1 8 - 21]  a n d   l i n e a r   f e e d b a c c o n t r o l   [22 - 24] .   A m o n   t h e   a f o r e m e nt i o n e s c h e m e s ,   a c t i v e   c o n t r o l   a n d   n o nl i n e a c o n t r o l   ha v e   b e e n   w i de l y   us e a s   t w o   pow e r f ul   s t ra t e gi e s   f o r   t h e   a n t i - s y n c hr o n i z a t i o n   o f   di ff e r e n t   c l a s s e s   of   n o n l i n e a r   dy n a m i c a l   s y s t e m s   [16 - 20] .     T h e   n o n l i n e a r   c o nt r o l   s t r a t e gy   i s   c o n s i de r e a s   o n e   o f   t h e   po w e r f ul   t o o l s   fo r   c o n t r o l l i ng  t h e   dy n a m i c a l   s y s t e m s .   H ow e ve r ,   t h e   a c t i v e   c o n t r o l   s uf fe r s   f r o m   m a n y   t e rm s   c o rr e s p o n di n g   t o   r e l e v a n t   v a r i a b l e s   o f   dr i v e   a nd  r e s po n s e   s y s t e m s .   T o   o ve r c o m e   t hi s   p r o b l e m ,   t h e   n o n l i n e a r   c o nt r o l   s t ra t e gy   i s   us e w i t h   t h e   m i n i m u m   o f   t e rm s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       A o pt i m al   non l i n e ar   c ont r o l   f or   ant i - s y n c hr oni z a t i o o f   R ab i nov i c h …  ( Shay m aa   Y .   A l - ha y al i )   381   a n t i - s y n c hr o n i z a t i o n   w h e r e a s   n o nl i n e a c o nt r o l   s t ra t e gy   ha s   de m o n s t ra t e d   e xc e l l e n t   pe r f o r m a n c e   i   a n t i - s y n c hr o n i z a t i o n   s c h e m e s .   In  t h i s   p a pe r,   w e   i m pl e m e n t   a n t i - s y n c hr o n i z a t i o b e t w e e n   t w o   4D   i de nt i c a l   R a b i n o v i c h   h y pe r c ha o t i c   s y s t e m s   b a s e o n   a c t i v e   a n d   n o n l i n e a r   c o nt r o l   s t r a t e gi e s   vi a   L y a pun o v   s e c o n m e t h o a nd  o b s e r v e t ha t     t h e   n u m b e o f   t e rm s   l e s s   t ha t h e   f i r s t   s t ra t e gy .   T h e   p r o po s e c o n t r o l   w i t l o w   t e r m s   i s   m o r e   i n t e r e s t i ng   a n d   e a s i l y   a ppl i e a n d   i m pl e m e nt e d.     M a j o r   c o n t ri b ut i o n s   o f   t h i s   w o r k   a r e   a s   f o l l ow s :   (i a c t i v e   a n d   n o nl i n e a c o nt r o l   s t ra t e gy   b a s e d   L y a pun o v   s e c o n m e t h o i s   ut i l i z e f o r   a n t i - s y n c hr o ni z a t i o n.   ( i i )   P r o po s e c o n t r o l l e r s   a r e   e xp l o i t e w i t h o ut   kn o w n   a n y   pa r a m e t e r.   ( i i i A   n e c e s s a r y   a n d   s uf f i c i e n t   c o n di t i o n   i s   p r o po s e t o   s h ow   h ow   m a n y   r e l e v a n t   v a r i a b l e s   o f   dr i v e   a n d   r e s po n s e   s y s t e m s   c a a c h i e v e   a a n t i - s y n c hr o n i z a t i o n   u nde ra c t i v e   a nd  n o n l i n e a r   c o n t r o l l e r.   (i v A f t e r   de ri v i ng  a na l y t i c a l   r e s ul t s ,   num e ri c a l   s i m u l a t i o i s   c a rri e o ut   us i ng  M a t l a b .     (v T h e   v a l i di t y   a n d   a pp l i c a b i l i t y   of   t h e   p r o po s e c o n t r o l l e r s   a r e   p r o v e n   w i t h   g ra p hi c a l   r e s ul t s .   T h e   r e s t   o f   t h i s   p a pe r   i s   o r g a ni z e a s   f o l l ow s .   S e c t i o n   2   i s   t h e   de s c r i pt i o n   o f   t h e   h y pe r c h a o t i c   R a b i n o v i c h   S y s t e m .   S e c t i o n   3   p r e s e n t s   t h e   p r o b l e m   o f   a n t i - s y n c h r o ni z a t i o f o r   t h e   h y pe r c h a o t i c   R a b i n o v i c h .   S e c t i o n   i s   t h e   c o n c l us i o n s   o f   t hi s   p a pe r .       2.   D EC R I P TI O N   O F H Y P ER C H A O TI C   R A B I N O V I C H   S Y S TE M   R a b i n o v i c h   s y s t e m   i s   a   f o ur - di m e n s i o n a l   h y pe r c h a o t i c   w hi c i n c l ude   t e t e rm s ,   t hr e e   o f   t h e m   a r e   n o n l i n e a r i t y   w i t t hr e e   p a r a m e t e r s   a nd  de s c r i p t   by   t h e   f o l l ow i n f o r m   [25 ,   26]:     {     ̇ 1 = 1 + 2 + 2 3       ̇ 2 = 1 2 1 3 + 4 ̇ 3 = 3 + 1 2                                     ̇ 4 = 2                                                             (1)     w h e r e   1 , 2 , 3 , 4   a r e   t h e   s t a t e   v a r i a b l e s   a n d   = 4 , = 6 . 75 , = 2   a r e   po s i t i v e   c o n s t a n t s .   F i gu r e s   1 - s h o w   t h e   a t t ra c t o o f   s y s t e m   (1):             F i gu r e   1 .   T h e   a t t ra c t o o f   s y s t e m   (1)   i 2 4   pl a n e       F i gu r e   2 .   T h e   a t t ra c t o o f   s y s t e m   (1)   i 1 , 2 , 4   s pa c e       3.   A N TI - S Y N C H R O N I ZA TI O N   BET WE EN   TW O   I D EN TI C A H Y P ER C H A O TI C   R A B I N O V I C H   S Y S TE M   In  o r de r   t o   a c hi e v e   a n t i - s y n c hr o ni z a t i o n   f o r   t h e   R a b i n o v i c h   s y s t e m ,   t w o   s y s t e m s   a r e   n e e de d,   t h e   f i r s t   s y s t e m   (1)  i s   c a l l e t h e   d ri v e   s y s t e m ,   a n d   t h e   s e c o n s y s t e m   i s   c a l l e t h e   r e s po n s e   s y s t e m .   T h e   r e s po n s e   s y s t e m   fo r   t h e   R a b i n o v i c h   s y s t e m   de pi c t s   i ( 2 ) .     { ̇ 1 = 1 + 2 + 2 3 + 1         ̇ 2 = 1 2 1 3 + 4 + 2 ̇ 3 = 3 + 1 2 + 3                                         ̇ 4 = 2 + 4                                                                 (2)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   19 ,   N o .   1 J ul y   202 0   :     3 80   -   38 7   382   w h e r e   = [ 1 , 2 , 3 , 4 ]     i s   t h e   c o nt r o l l e r   t o   b e   de s i g n e d,   t h e   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o e rr o 4   i s   de f i n e a s   :   1 = 1 1       , 2 = 2 2     ,   3 = 3 3   , 4 = 4 4   , = 1     ,       = 1     ,       = 1 , 2 , 3 , 4   S o ,   t h e   e rr o dy n a m i c a l   s y s t e m   i s   g i v e n   b y :     { ̇ 1 = 1 + 2 + 2 3 3 2 2 3 + 2 2 3 + 1   ̇ 2 = 1 2 + 4 1 3 3 1 + 2 1 3 + 2                         ̇ 3 = 3 + 1 2 2 1 1 2 + 2 1 2 + 3                                   ̇ 4 = 2 + 4                                                                                                                                                     (3)     3. 1   A n ti - s yn c h r o n i z at i o n   b as e d   o n   ac t i v e   c o n tr o l   T o   r e a l i z e   t h e   a nt i - s y n c hr o n i z a t i o n,   w e   n e e t o   de s i gn  s ui t a b l e   n o nl i n e a c o n t r o l .   T h e r e f o r e ,     t h e   c o n t r o l   f u n c t i o n s   a r e   c h o s e n   a s   t h e   f o l l ow i n g:       {   1 = 2 3 + 3 2 + 2 3 2 2 3 + 1   2 = 1 3 + 3 1 2 1 3 + 2                                       3 = 1 2 + 2 1 + 1 2 2 1 2 + 3     4 = 4                                                                                                                                 (4)     i n s e r t i n g   t h e   c o nt r o l   (4)   i n   ( 3)  w e   ge t :     { ̇ 1 = 1 + 2 + 1       ̇ 2 = 1 2 + 4 + 2 ̇ 3 = 3 + 3                                       ̇ 4 = 2 + 4                                 ,     = [ 1 2 3 4 ] = [ 1 2 3 4 ]   (5)     w h e r e     i s   l i n e a c o n t r o l ,     i s   a   c o n s t a nt   m a t ri x.   T o   m a ke   t h e   s y s t e m   ( 5)   s t a b l e ,   t h e   m a t ri x     s h o ul d   b e   s e l e c t e d   by   t h e   f o l l ow i n g:     = [ ( 1 ) 0       0 ( 1 2 )   0 1       0 0       0 2       0     0 ]   (6)     h e n c e ,   t h e   e rr o r   dy n a m i c a l   s y s t e m   (3)  w i t a b o ve     m a t ri b e c o m e s :     { ̇ 1 = 1           ̇ 2 = 2  2 ̇ 3 = 3 3       ̇ 4 =  4         (7)     t h e r e f o r e ,   t h e   a b o ve   s y s t e m   ha s   a l l   e i ge n v a l ue s   w i t h   n e ga t i v e   r e a l   p a r t s .   T h e s e   e i ge n v a l ue s   gua ra nt e e     t h e   s t a b i l i t y   of   t h e   s y s t e m   (7).   S o ,   t h e   r e s po n s e   s y s t e m   (2)  i s   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o n   w i t t h e   d r i v e   s y s t e m .   H e n c e ,   w e   r e a c h   t h e   f o l l ow i n g   r e s ul t s .   T h e o r e m   1 If   t h e   m a t r i x   (6 i s   c o m b i n e d   w i t t h e   s y s t e m   (5) ,   t h e n,   t h e   r e s po n s e   s y s t e m   (2)   u n f o l l o w s   t h e   d ri v e   s y s t e m   (1)  v i a   t h e   f o l l ow i n g   n o nl i n e a a c t i v e   c o n t r o l   w h i c c o n s i s t s   o f   (21)  t e rm s .     { 1 = ( a 1 ) 1 2 2 3 + 3 2 + 2 3 2 2 3       2 = 1 + ( 1 2a ) 2 4 + 1 3 + 3 1 2 1 3     3 = 2 3 1 2 + 2 1 + 1 2 2 1 2                                               4 = 2 4                                                                                                                                                   (8)     P r o of :   B a s e o n   t h e   L y a pun o v   s e c o n m e t h o d,   w e   c o n s t ruc t   a   po s i t i v e   de f i n i t e   L y a pun o v   c a n di d a t e   f un c t i o a s :     V ( e ) =  = 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 1 2 3 2 + 1 2 4 2     (9)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       A o pt i m al   non l i n e ar   c ont r o l   f or   ant i - s y n c hr oni z a t i o o f   R ab i nov i c h …  ( Shay m aa   Y .   A l - ha y al i )   383   w h e r e   = [ 1 2   , 1 2 , 1 2 , 1 2 ]   ,   t h e   de ri v a t i v e   o f   t h e   L y a pun o v   f un c t i o n   V ( e )   w i t h   r e s pe c t   t o   t i m e   i s :   ̇ ( ) = 1 ̇ 1 + 2 ̇ 2 + 3 ̇ 3 + 4 ̇ 4       ̇ ( ) = 1 ( 1 ) + 2 ( 2  2 ) + 3 ( 3 3 ) + 4 (  4 )         ̇ ( ) = 1 2 2  2 2 3 3 2 4 2 =    ,     = [   1 , 2 , 3 , ]   (10)     E v e r y   di a go na l   m a t r i x   w i t po s i t i v e   di a go n a l   e l e m e n t s   i s   po s i t i v e   de f i n i t e .   S o   > 0 .   T h e r e f o r e ,   ̇ ( )   i s   n e ga t i v e   de f i n i t e .   A nd  a c c o r di n g   t o   t h e   L y a pun o v   a s y m pt o t i c a l   s t a b i l i t y   t h e o r y ,   t h e   n o n l i n e a a c t i v e   c o n t r o l l e i s   i m p l e m e nt e a n d   t h e   a nt i - s y n c h r o n i z a t i o o f   t he   h y p e r c ha o t i c   s y s t e m   i s   a c hi e v e d.   T h e   p r o of   i s   n o w   c o m pl e t e .   T h e   t h e o r e m   s h o w s   t ha t   p r o p o s e c ont r o l   w h i c h   c o n s i s t s   o f   (21)  t e r m s   a c h i e v e d     a n t i - s y n c hr o n i z a t i o n   i n   F i gu r e   3.                 F i gu r e   3 .   A nt i - s y n c hr o ni z a t i o b e t w e e n   s y s t e m s   (1)  a n d   (2)   w i t c o n t r o l   (8 )       3. 2 .   A n ti - S yn c h r o n i z at i o n   b as e d   o n   n o n l i n e ar   c o n tr o l   s t r ate g y   In  t hi s   s e c t i o n ,   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o n   b e t w e e n   s y s t e m   (1)  a n s y s t e m   (2)  i s   c o n s i de r e by   us i n a n o t h e s t ra t e gy   w h i c h   i s   c a l l e n o n l i n e a c o n t r o l .   T h e o r e m   2 :   T h e   s y s t e m   (3)  i s   s t a b l e ,   i f   de s i g a   c o n t r o l l e c on s i s t s   o f   (12)   t e rm s   a s   f o l l ow s :       {     1 = 2 ( 2 3 2 3 )                                                             2 = 2 ( ( 3 ) 1 + 1 3 ) + 1 3   3 = 2 ( 1 2 + 1 2   ) + 1 2                         4 = ( 1 ) 2 4                                                                 (11)     P r o of :   W i t t hi s   c h o i c e ,   t h e   e rr o dy n a m i c a l   s y s t e m   (3)   b e c om e s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   19 ,   N o .   1 J ul y   202 0   :     3 80   -   38 7   384   [ ̇ 1 ̇ 2 ̇ 3 ̇ 4 ] = [       + 3 2 2 0       3       1 1 + 1 1       2 + 2   1 + 1   1 0       0 1 0 1     ] [ 1 2 3 4 ]     i . e .   { ̇ 1 = 1 + 2 + 2 3 3 2 + 2 3               ̇ 2 = 1 2 + 4 1 3 + 3 1 + 1 3 ̇ 3 = 3 1 2 2 1 1 2 + 1 2                 ̇ 4 = 2 4                                                                                                             (12)     T h e   L y a pun o v   f u n c t i o n   a n d   i t   i s   de r i v a t i v e   a s   (13)   a nd  (14)   re s pe c t i v e l y :     V ( e ) =    (13)     ̇ ( ) = 1 2 2 2 3 2 4 2 =    (14)     S o   > 0 .   T h e r e f o r e ,   ̇ ( )   i s   n e g a t i v e   de f i n i t e .   T h e   t h e o r e m   s h o w e t ha t   p r o po s e c o n t r o l   w hi c h   c o n s i s t s   o f   (12)   t e rm s   a c hi e v e a nt i - s y n c hr o n i z a t i o i F i gu r e   4.                 F i gu r e   4 .   A nt i - s y n c hr o ni z a t i o b e t w e e n   s y s t e m s   (1)  a n d   (2)   w i t c o n t r o l   (1 1)       T h e o r e m   3 :   If   t h e   c o n t r o l l e i s   de s i g n e w i t h   (12)   t e r m s   a s   f o l l o w s :     {     1 = 2 ( 2 + 2 3 3 2 + 2 3 )     2 = 1 3 4 2 1 3                                                     3 = 2 ( 1 1 ) 2   + 1 2                                           4 = 2 4                                                                                           (15)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       A o pt i m al   non l i n e ar   c ont r o l   f or   ant i - s y n c hr oni z a t i o o f   R ab i nov i c h …  ( Shay m aa   Y .   A l - ha y al i )   385     t h e n,   t h e   r e s po n s e   s y s t e m   (2)  u n f o l l ow   t h e   d r i v e   s y s t e m   (1)   v i a   t h e   f o l l ow i n g   n o nl i n e a c o n t r o l .   P r o of :   W h e s ub s t i t ut i n g   t h e   c o nt r o l l e r s   (15)   i t h e   s y s t e m   (3),   w e   ge t :     { ̇ 1 = 1 + ( + 3 ) 2 ( 2 + 2 ) 3   ̇ 2 = ( 3 ) 1 2 + ( 1 + 1 ) 3               ̇ 3 = ( 2 + 2 ) 1 + ( 1 + 1 ) 2 3           ̇ 4 = 4                                                                                                                         (16)     Co n s t r uc t   L y a pun o v   f un c t i o a s :     V ( e ) =  = 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 1 2 3 2 + 1 2 4 2     T h e     ̇ ( ) = 1 2 2 2 3 2 4 2 =      S o ,   V ( e ) > 0   a n d   ̇ ( ) < 0 ,   t h e   n o nl i n e a c o nt r o l l e i s   i m pl e m e n t e d .   T h e   t h e o r e m   s h o w e t h a t   p r o po s e d   c o n t r o l   w h i c h   c o n s i s t s   o f   (12)   t e rm s   a c hi e v e a nt i - s y n c hr o n i z a t i o i F i g u r e   5.                     F i gu r e   5 .   A nt i -   s y n c hr o ni z a t i o n   b e t w e e n   s y s t e m s   (1)  a nd  (2 w i t c o n t r o l   (1 5)       T h e o r e m   4 :   T h e   s y s t e m   (3)  i s   a c h i e v e d.   If   t h e   c o n t r o l l e r   i s   de s i g n e a s :     { 1 = 2 ( 2 2 ) 3                                                                 2 = 2ℎ 1 + 1 3 2 1 3                                   3 = 2 ( 2 2 ) 1 + 1 ( 2 2 2 )     4 = ( 1 ) 2 4                                                                     (17)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   19 ,   N o .   1 J ul y   202 0   :     3 80   -   38 7   386   t h e n,   t h e   r e s po n s e   s y s t e m   (2)  u n f o l l ow s   t h e   d r i v e   s y s t e m   (1)  v i a   t h e   f o l l o w i n n o nl i n e a r   c o n t r o l .   P r o of :   U s i n s y s t e m   (3)  w i t t h e   c o n t r o l l e r   ( 17)  i s   g i v e n   b y :   { ̇ 1 = 1 + ( + 3 ) 2 + ( 2 2 ) 3       ̇ 2 = ( + 3 ) 1 2 + 4                                                 ̇ 3 = ( 2 2 ) 1 3                                                                       ̇ 4 = 2 4                                                                                                     (18)     T h e   s a m e   r e s ul t s   w e r e   f o un i t h e o r e m   (3) .   T h e   t h e o r e m   s h o w e t ha t   p r o po s e c o n t r o l   w h i c c o n s i s t s   o f   (12)   t e r m s   a c h i e v e a n t i - s y n c hr o ni z a t i o n   i n   F i gu re   6.                 F i gu r e   6 .   A nt i - s y n c hr o ni z a t i o b e t w e e n   s y s t e m s   (1)  a n d   (2)   w i t c o n t r o l   (1 7)         4.   C O N C LU S I O N   In  t h e   p a pe r,   t h e   a nt i - s y n c hr o n i z a t i o n   p r o b l e m   fo r   4 - D   R a b i nov i c h   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   i s   c o n s i de r e d,   b a s e o n   t w o   s t r a t e g i e s :   a c t i v e   a n d   n o n - l i n e a r   c o n t r o l l e r.   T h e   s t a b i l i t y   of   e rr o r   dy n a m i c a l   s y s t e m s   a r e   e s t a b l i s h e b a s e o t h e   L y a pun o v   t h e o r y   a n d   c o m pa r e b e t w e e n   t h e s e   s t ra t e gi e s   It   w a s   f o un t ha t   b o t o t h e m   l e a d   t o   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o n,   b ut   t h e   pe r f o r m a n c e   o f   t he   n u m b e r   o f   t e r m s   o f   t h e   n o n l i n e a r   c o nt r o l l e i s   l e s s   t h a t h e   a c t i v e   c o n t r o l .       A C K N O WL ED G E M EN TS   T h e   a ut h o r s   a r e   v e r y   gr a t e f ul   t o   t h e   U n i v e r s i t y   of   M os u l /   Co l l e ge   o f   C o m put e r   S c i e n c e s   a nd   M a t h e m a t i c s   f o r   t h e i p r o v i de f a c i l i t i e s ,   w h i c h e l pe t o   i m pr o v e   t h e   qua l i t y   o f   t h i s   w o r k.       R EF ER EN C ES   [ 1]     S .   F .   A L - A z z a w i ,   " S t a bi l i t y   a nd   B i f ur c a t i o n   o f   P a n   C ha o t i c   S y s t e m   by   U s i ng   R o ut h - H ur w i t z   a nd   G a r da n   M e t ho d, "   A ppl i e M a t he m at i c s   an C om pu t at i o n,   v o l .   2 19 ,   no .   3 ,   pp .   1 144 - 1 152,   O c t o be r   20 12 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       A o pt i m al   non l i n e ar   c ont r o l   f or   ant i - s y n c hr oni z a t i o o f   R ab i nov i c h …  ( Shay m aa   Y .   A l - ha y al i )   387   [ 2]     A .   S a m ba s ,   e t   a l . ,   " A   N e w   C ha o t i c   S y s t e m   w i t L i ne   o f   E qui l i br i a :   D y na m i c s ,   P a s s i v e   C o nt r o l   a nd  C i r c u i t   D e s i g n, "   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   E l e c t r i c al   a nd  C om pu t e r   E n gi ne e r i n g   ( I J E C E ) ,   v o l .   9 ,   no .   4,   pp .   236 5 - 2376 ,   A ug us t   20 19.   [ 3]     A . F . ,   Q a s i m ,   B . J .   S a l i m ,   " A ppl i c a t i o ne w   i t e r a t i v e   m e t ho f o r   s o l v i ng   m o di f i e ko r t e w e g - de   v r i e s   ( M K d V )   s y s t e m   f r o m   t hr e e   e qua t i o ns , "   J ou r na l   o f   A dv a nc e R e s e ar c i D y nam i c al   and   C on t r o l   Sy s t e m s ,   v o l . 11 ,   no .   3 ,   p p.   201 9 - 2026 A ug us t   201 9 .   [ 4]     Z .   N .   A l - ka t e e a nd   M .   R .   A l - B a z a z ,   " S t e g a no g r a phy   i C o l o r e d   I m a g e s   B a s e o n   B i o m e t r i c s , "   T i k r i t   J ou r na l   of   P ur e   Sc i e nc e ,   v o l .   24 ,   no .   3,   pp .   111 - 11 7,   20 19 .   [ 5]     S .   M o ba y e n,   e t   a l . ,   " A   N o v e l   C ha o t i c   S y s t e m   w i t h   B o o m e r a ng - S ha pe d   E q ui l i br i um ,   I t s   C i r c ui t   I m pl e m e n t a t i o n   a n A ppl i c a t i o t o   S o und  E nc r y pt i o n, "   I r a ni an  J our n al   of   Sc i e nc e   and  T e c hn ol o gy ,   T r ans ac t i o ns   o f   E l e c t r i c al   E ngi ne e r i n g ,   v o l .   43,   p p.   1 - 12 ,   2019 .   [ 6]     A .   S a m ba s ,   e t   a l . ,   " A   N e w   C h a o t i c   S y s t e m   w i t h   a   P e a r - S ha p e d   E qu i l i br i um   a nd   I t s   C i r c ui t   S i m ul a t i o n, "   I n t e r na t i ona l   J our nal   o f   E l e c t r i c a l   a nd   C om pu t e r   E ngi ne e r i ng   ( I J E C E ) ,   v o l .   8 ,   n o .   6,   p p.   49 51 - 4958 ,   D e c e m be r   2 018 .   [ 7]     S .   V a i dy a na t h a n ,   e t   a l . ,   " A   N e w   C ha o t i c   S y s t e m   w i t h   A xe - S ha p e E q ui l i br i um ,   I t s   C i r c ui t   I m pl e m e nt a t i o a n A da pt i v e   S y nc hr o ni z a t i o n, "   A r c hi v e s   o f   C ont r o l   Sc i e nc e s ,   v o l .   28 ,   n o .   3,   p p.   44 3 -   462 ,   J a nua r y   2018.   [ 8]     A .   S .   A l - O be i d i   a nd  S .   F .   AL - A z z a w i ,   " C o m pl e t e   S y nc hr o ni z a t i o o f   a   N ov e l   6 - D   hy pe r c ha o t i c   L o r e nz   S y s t e m   w i t h   K no w P a r a m e t e r s , "   I n t e r na t i ona l   J ou r na l   of   E ng i ne e r i ng   &   T e c hn ol og y ,   v o l .   7,   no .   4,   p p.   53 45 - 5349 ,   201 8.   [ 9]     A .   S .   A l - O be i d i   a nd  S .   F .   AL - A z z a w i ,   " C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o o f   a   C l a s s   6 - D   H y pe r c ha o t i c   L o r e nz   S y s t e m , "   M ode l l i ng ,   M e as u r e m e nt   and   C o nt r ol   B ,   v o l .   88 no .   1 ,   pp . 17 - 22 ,   M a r c 2 019 .   [ 10]     H .   K .   C he n ,   " G l o ba l   C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o o f   N e w   C ha o t i c   S y s t e m s   v i a   N o nl i ne a r   C o nt r o l , "   C ha os ,   So l i t o ns   a nd   F r ac t a l s ,   v o l .   23 ,   no .   4 ,   pp .   1245 - 12 51,   F e br ua r y   2005.   [ 11]     S .   F .   A L - A z z a w i   a n M .   M .   A z i z ,   " C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o o f   N o nl i ne a r   D y na m i c a l   S y s t e m s   v i a   a   N o v e l   A na l y t i c a l   A ppr o a c h,   A l e x a ndr i a   E ng i ne e r i ng   J our nal ,   v o l .   5 7,   no .   4,   p p.   34 9 3 - 3500,   D e c e m be r   201 8.   [ 12]     M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i , "   A nt i - S y n c hr o ni z a t i o o f   N o n l i n e a r   D y na m i c a l   S y s t e m s   B a s e o C a r da no s   M e t ho d, "   O p t ik ,   v o l .   134 ,   pp .   109 120 ,   J a n ua r y   2017.   [ 13]     M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i , "   H y br i C h a o s   S y nc hr o ni z a t i o B e t w e e n   T w o   D i f f e r e n t   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m s   v i a   T w o   A ppr o a c he s , "   O pt i k ,   v o l .   13 8,   pp .   328 340 ,   J u ne   201 7.   [ 14]     A .   S .   A l - O be i di   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   " P r o j e c t i v e   S y nc hr o ni z a t i o f o r   a   C l a s s   o f   6 - D   H y pe r c ha o t i c   L o r e nz   S y s t e m , "   I ndo ne s i an   J our n al   o f   E l e c t r i c al   E n gi ne e r i ng  and   C om pu t e r   S c i e nc e   ( I J E E C S) ,   v o l .   16 ,   no . 2,   pp .   692 - 700 ,   N o v e m be r   2019 .   [ 15]     G .   H .   L i ,   " M o di f i e d   P r o j e c t i v e   S y nc hr o ni z a t i o o f   C ha o t i c   S y s t e m , "   C hao s ,   S ol i t ons   &   F r ac t al s ,   v o l .   32 no .   5,   pp.   1786 1790 ,   J un e   2007 .   [ 16]     C .   L i   a nd   J .   Y a n ,   " G e n e r a l i z e P r o j e c t i v e   S y nc hr o ni z a t i o o f   C h a o s :   T he   C a s c a de   S y nc hr o ni z a t i o A ppr o a c h, "   C haos ,   So l i t on s   &   F r ac t al s ,   v o l .   30 no .   1 ,   p p.   14 0 1 64,   O c t o be r   20 06.   [ 17]     M.   T.   Y a s s e n ,   " C h a o s   S y n c hr o ni z a t i o n   B e t w e e n   T w o   D i f f e r e n t   C ha o t i c   S y s t e m s   U s i ng   A c t i v e   C o nt r o l ,"   C ha os ,   Sol i t ons   &   F r ac t a l s ,   v o l .   23 no . 1 ,   p p.   13 1 14 0,   J a nu a r y   2005 .   [ 18]     A .   S .   Al - O be i d i   a nd   S .   F .   A L - A z z a w i ,   " C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o i n   a   6 - D   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m   w i t h   S e l f - E xc i t e d   A t t r a c t o r , "   T e l k om n i k a ,   v o l .   18,   2 020 .   [ 19]     J .   H .   P a r k ,   " C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o o f   a   C ha o t i c   S y s t e m   v i a   N o nl i ne a r   c o nt r o l , "   C ha os   S ol i t ons   F r a c t a l s ,   v o l .   2 5,   no . 3,   pp .   579 - 584 ,   A ug us t   20 05 .   [ 20]     G .   C a i   a nd   Z .   T a n,   " C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o o f   a   N e w   C ha o t i c   S y s t e m   v i a   N o nl i ne a r   c o nt r o l , "   J ou r na l   o f   U n c e r t a i n   Sy s t e m s ,   v o l .   1 ,   pp .   2 35 2 40 ,   2 007 .   [ 21]     A .   S .   A l - O be i di   a nd   S .   F .   A L - A z z a w i ,   " A   N o v e l   S i x - D i m e n s i o na l   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m   w i t h   a   S e l f - Ex c i t e d   A t t r a c t o r s   a n I t s   C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o n, "   I n t e r na t i o na l   J our na l   o f   C om pu t i ng   Sc i e nc e   an M a t he m at i c s .   [ 22]     M.   T.   Y a s s e n ,   " C o nt r o l l i ng   C ha o s   a n d   S y nc hr o ni z a t i o f o r   N e w   C ha o t i c   S y s t e m   U s i ng   L i ne a r   F e e d ba c C o nt r o l , "   C haos   So l i t o ns   F r ac t al s ,   v o l .   2 6,   no .   3 ,   p p.   91 3 - 920 ,   N o v e m be r   200 5.   [ 23]     S .   F .   A L - A z z a w i   a n M .   M .   A z i z ,   " S t r a t e g i e s   o f   L i ne a r   F e e db a c C o nt r o l   a nd   I t s   C l a s s i f i c a t i o n, "   T E L K O M N I K A v o l .   17,   no .   4 ,   pp.   1 931 - 194 0,   A ug us t   2 019 .   [ 24]     M .   M .   A z i z . ,   S .   F .   A L - A z z a w i ,   " S o m e   P r o bl e m s   o f   F e e d ba c k   C o nt r o l   S t r a t e g i e s   a nd   i t s   T r e a t m e nt , "   J ou r na l   o f   M a t he m at i c s   R e s e ar c h ,   v o l .   9 ,   no . 1 ,   p p.   39 - 49 ,   F e b r u a r y   2017 .   [ 25]     A .   O ua nn a s e t   a l .,   " S y n c hr o ni z a t i o o f   F r a c t i o na l   H y pe r c ha o t i c   R a bi no v i c S y s t e m s   v i a   L i ne a r   a nd  N o nl i n e a r   C o nt r o l   w i t a A ppl i c a t i o t o   S e c u r e   C o m m uni c a t i o ns , "   I nt e r na t i o nal     J o ur n al   of   C on t r o l ,   A u t om a t i on  and  Sy s t e m s v o l .   17,   p p.   22 11 2 219 ,   2019 .   [ 26]     J .   M .   H e   a nd   F .   Q .   C he n , "   A   ne w   F r a c t i o na l   O r d e r   H y pe r c ha o t i c   R a bi no v i c h   S y s t e m   a nd   I t s   D y na m i c a l   B e ha v i o r s , "   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   N o n - L i ne ar   M e c han i c s ,   v o l .   9 7,   pp .   73 81,   O c t o be r   201 7.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.