TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.5, May 2014, pp . 3366 ~ 33 8 0   DOI: http://dx.doi.org/10.11591/telkomni ka.v12i5.4926          3366     Re cei v ed O c t ober 1 8 , 201 3; Revi se d Decem b e r  2, 2013; Accepte d  De cem ber  21, 2013   Nonlinear Robust Control Approach Based on  Integrity      Chen Jinli* 1 , Xue Yali 2 , Liu Xingang 3   1 Aircraft Air w or thiness C e rtific ation D ep artme n t, Civil  Aviati o n  Mana gem ent  Institute of China (CAMIC)   No. 3 East Roa d  Hua jia di, Ch ao ya ng District ,  Beijin g, Chin a ,  10010 2, Ph./Fax: + 861 0-58 250 63 1/582 50 630   2 State Ke y  La b  of Po w e r S y st ems,  T hermal  Engi neer in g D epartme n t,  T s ingh ua U n ivers i t y   No. 30Sh u a n g q in g Roa d , Hai d ia n District, Beiji ng, Ch ina, 1 000 84, Ph./F ax: + 8610-62 79 5 736   3 T e chnica l Dep a rtment, Beiji n g  Lon g-March  Lau nch Ve hicl e Equi pme n t  T e chn o lo g y  Co. L td   No. 19Bu ild in g W ang yu an xi li, Fengtai D i strict,  Beijin g, Chin a ,  10007 6, Ph./Fax: + 861 0-88 530 54 2   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : chenj inl i @ca m ic.cn* 1 , xu e y ali@tsi n g hua. e du.cn 2 , liux g @lvet.cn 3       A b st r a ct  A kind of Non l i near R obust C ontrol (NR C ) a ppro a ch b a sed  on integr ity for multiv aria bl e systems   is prese n ted. It uses mod e l e s timatorw hic h   provi des  the  a pprox imate m o del i n for m ati o n  to compens at e the   non- mode le d d y na mics, syste m  u n certa i nti e s ,  and  externa l   disturb ances  of  a syste m . Firstly, the existe n c e  of NRC w i th i n tegrity is ex a m ine d . Then, st abl e re g i o n s o f  each N R C ’ s  para m eters ar e calc ulate d , a n d   some par a m et ers are o b tain e d  by pl acin g su itabl e clos ed-l o op po les, for meetin g  the d e si gn spec ificati o ns  of the whole c ontrol system . The proposed  m e thod is  applied to twoillustrative  examplesfrom  lit erature.  Results dem onstrate that NRC is  feasible and robust for co mplic ated m u l t ivariable  system s.     Ke y w ords :  no nlin ear ro bust control (NR C ),  m o del estim a tor, integrity        Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion    Most ind u st ri al pro c e s se s are M u lti-In put  Multi-O u tput (MIMO )   in esse nce. Due to  intera ction s  b e twee n loo p s, simply exte nding th e de sign  metho d   for si ngle - inp u t singl e-outp u t  (SISO) control system to  MIMO  syste m  gene rally  cau s e s  the  p e rform a n c ed eterio ration, and   even system  instability. No wad a ys , the method s for tuning MIMO  system a r e categori z e d  into  two main g r o ups: multivari able cont rol a nd de centrali zed  control.   Gene rally  sp eaki ng, the  p e rform a n c e  o f  a multiv ari a ble control system  i s  sup e rior  to  th e  decentrali ze d  one.  Ho wev e r, the l a tter i s ea sie r to d e sign a nd  reali z e [1]. It has l e ss p a ra mete rs  to be tune d, and i s  conve n ient to de al with  when  so me loop s b r e a k d o wn. Becau s e  of the s e,   decentrali ze d  cont rol h a s  be en  wid e ly use d  in   indu strial  p r ocesse s. E s pe cially rob u st  decentrali ze d  control h a s a  promi s ing fut u re in ind u st ri al pro c e s ses.   Some re se arche r s  have p a id more atte ntion  to tune para m eters o f  decent rali ze d PI/PID   controlle r in recent years,  such a s  De tuningm etho d [2],Sequen tial-clo se met hod [3], Mono- variable  met hod [4], Effe ctive op en -lo op p r o c e s s (EOP) meth o d  [5], an d Ite rative meth o d  [6],  etc. (1)  Detu ning metho d   [2]: Each PI/PID c ontroller is desi gne d indep ende ntly base d  on SISO   method, a nd  then the  co ntrolle r pa ram e ters  ar e  detu ned to  com p ensate the  co upling s  b e tween   loop s when   all loop s  are  clo s e d . The  gre a test  ad vantage  of this m e thod  i s   simple,  but  the  perfo rman ce  and sta b ility spe c ification s  are not cl ear  during the  d e tuning, so it is som e  kin d  o f   trial and  erro r. (2 ) Sequ e n tial-cl o se m e thod [3]: Cl ose  ea ch lo o p  usi ng the  SISO metho d  in   certai n seq u ence.  The m e thod  i s  con c eptu a lly  sim p le, but the  resulted  perf o rma n ce g r e a tly  depe nd s on t he clo s in g se quen ce. Whe n  som e  loop s brea k do wn,  the stability of the re st can n o t  be g uarantee d auto m atical ly. (3)  Mon o -v ariabl e m e th o d  [4]: Each  co ntrolle r i s  d e signed  by SISO   method und er ce rtain constraints  on   stability  a n d   pe rform a n c e sp ecifi c ati ons. The en tire  perfo rman ce  may be un sa tisfied be ca u s e of n egle c ting of detaile d inform ation  of controlle rs in   other lo op s. (4) Effective  open -loo p pr oce s s (EOP ) method [5]: Reg u late th e  i -th controll ers  according to  i -th EOP wh en all the other loo p s a r e clo s ed. Th e whol e perf o rma n ce ca n  be  guarantee d since th e EO P desig n ha s con s id ere d  the informatio n of all othe r loop s, but the   cal c ulatio n of  EOP be com e s p r o g re ssively com p lic ated with  the i n crea se  of sy stem dim e n s i on  and m odel  order,  so  doe s t he a pproxima t ion mod e l e r ror. So th e me thod i s   suitabl e only fo r lo w- dimen s ion  a nd lo w-ord e r system.  (5) Iterative me thod [6]: It is si milar to  seq uential - cl ose   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Nonli nea r Ro bust Control  Appro a ch  Based o n  Integri t y (Chen  Jinli)  3367 method, b u t tuning  process i s  carried  o u t iterat ively until  all cont roller paramet ers  conve r ge.   The  effort on  tu ning i s   eno rmou s, b u t  the rela tion s between  tuning  proce s s an d  re sulted   perfo rman ce are  wea k .  The  comm o n  characte ri stics  of ab ove me tho d s are de com p osin g  o r   tra n sforming  multivariable system with  n  inputs va ria b les a nd  n  o u tputs vari abl es into  n  sing le-loo p  sy st e m s.   They all  hav e some  kin d  of co nserva tiveness  du e  to the inte raction  betwe en  chan nel s, so  overall perfo rmance coul d   be  p o ssibly optimize d  fu rther. Th e EO P method i s   con s id ere d  a n   entire   pe rformance  tool.  Ho wever, m odel re d u ctio n e rro r m a kes E O P met hod  hard to  be   extendedfo r m u ltivariable a nd high -o rde r  system.   In orde r to improve robu stne ss p e rfo r manc e for system uncert a inties, a s  well as to  guarantee th e high integ r ity of controlsystem,  this  pape r propo ses a ki nd ofNonli earRo bu st  Control (NRC) app roa c h. B a se d on inte g r ity theor em a nd pa ramete r tuning metho d s, the contro l  para m eters  a r e o b tained  di rectly a nd e a s ily.No m odel  red u ctio n is  need ed, so n o  mod e l erro r is  introdu ce d.  This pa per is orga nized as follo ws . Sectio n  2 outlines the probl em and   requi rem ents. Section 3 i n trodu ces NRC approach and stabl e regi on calculation method for 1 - orde r and 2-orde r  SISO system.  In  Se ction 4,the  int egrity theo re m and  refere nce  sta b le  re gion   for MIMO  co upling  sy ste m  are p r e s e n ted.The  enti r e  d e si gn proce dure  of NRC app roa c h  i s   prop osed in  section 5 .Some  simul a tion re sults  are  give n in  se ction 6 ,  following  wit h  analy s is  an d  summ ary. Th e con c lu sio n  is dra w n in th e last se ction.       2. Problem  Des c ription   In this pa pe r, we a s sume  that the pr o c e ss matrix has diag onal   domina n ce and  the  input-o utput variable s  are  paired in the  diagonal  wa y. If not, a n e w input/outp u t pairing  sh ould   be con s ide r e d  [6], or a  compen sato r  sho u ld b e  int r odu ce d [7] to minimi ze i n tera ction of  the   sy st em.   We con s ide r  a  stabl e  n  by  n co ntrolle d proce s s, whi c h  is de scrib ed  by a nomin al transfe r  function mat r i x () p Gs as:    11 12 1 21 2 2 2 12 () () ( ) () () ( ) () () ( ) () n n p nn n n g sg s g s g sg s g s Gs g sg s g s                (1)     Whe r e () ij g s rep r e s ents the tra n sfer function from the  j -th in put to the  i -th output.  If we i gno re  the  cou p lin g am ong  th e sub s ystem s , the  probl em of  de sig n ing  a  decentrali ze d  controller t u rn s into  n   indep ende nt controllers.  Then the  pro c e ss i s  t o  be  controlled in  a negative fe edba ck co nfigur atio n by the decentrali zed co ntrolle r () c Gs :    1 2 () 0 0 0( ) () 0 00 ( ) c c c cn Gs Gs Gs Gs                 (2)     Then, the fina l dece n trali z e d  PI/PID  control syst em is  as follo ws:     () () () ()  ( ) ( ( ) ( ) ) p c Ys G s Us Us G s R s Y s           (3)     Whe r e 12 () [ ( ) , ( ) , , () ] T n Ys y s y s y s is a n   output vecto r , 12 () [ ( ) , () , , () ] T n Us u s u s u s is an input   vector, a nd    12 ( ) [ ( ) , () , , () ] T n Rs r s r s r s is a  set-poi nt  vector. M a trix indicates the  loop failu re  of  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 5, May 2014:  3366 – 33 80   3368 s e ns or s or   a c tu a t or s , 1 {, , } , { 0 , 1 } , 1 , , ni di ag i n    . If the  i -th su bsyste m  i s  workin g  prop erly, then 1 i , els e 0 i .  The co ntrol di agra m  is sho w n in Figu re  1.      1 r 2 r n r 1 y 2 y n y 1 u 2 u n u     Figure 1. MIMO Co ntrol S y stem Con s id ering Integ r ity      3.  Nonlinear Robust Con t r o l  (NRC)  Ap proach Desi gn  3.1. SISO NRC  The r-order S I SO NRC usi ng a kin d  of model e s tima tor is de sign e d  as [8]:    -1 1 0 -- r ii i uh z d            (4)     Whe r e the m odel e s timato r is:     2 -- - r r dk z kk z k u             (5)     Whe r e  d denot es mo del inf o rmatio n eve n incl uding  u n -mo dele d  d y namics, un certai nties in  system  pa ra meters, an d  disturban ce s; ,0 , , 1 i hi r  are  suitabl e  po sitive  con s tants,  whi c h   ensure  polyn omial  1 01 1 () rr r hs h h s h s s   is  Hu rwi w z an d satisfy desi r e d  dynami c s  of  clo s ed -loo p system;  k  is a key  controller  param eter,  whi c h determi ne stability  directly;  ,0 , i zi r are sy stem st ates, and  (1 ) ,1 , i i zy i r  .  Takin g  th e L apla c e t r an sformatio n  of  (4)  and   (5 ), it  is  straightforward to  calculate th e   trans fer func tion of NRC:     0 1 () r i ci i Gs K s s          (6)     Whe r e  00 K kh , 1 ,1 , 1 ii i K kh h i r  ,  1 rr K kh .     It can be cle a r ly seen that t he stru ctu r e o f   (6) is si milar to common  PID controller.    3.2. Stable Region   For 1 - o r de r a nd 2 - order SISO system, t he sta b le  reg i ons  of NRCa ppro a ch a r e  easy to   cal c ulate.     3.2.1. 1-orde r Plant  We con s ide r  a gene ral 1 - o r de r plant:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Nonli nea r Ro bust Control  Appro a ch  Based o n  Integri t y (Chen  Jinli)  3369 y ay bu             (7)     Whe r e  y  is the system outp u t,  u is the cont rol sig nal, an d con s tant s  a a nd  b are b o th u n kn own.   The equ ation  can b e  re writt en as follo ws:    y du             (8)     Whe r e  (1 ) da y b u  .  The 1-ord e r  NRC is d e si g ned a s  follows [8]:    0 2 ˆ ˆ dk y kk k u uh y d y               (9)     The tran sfe r  functio n  of (9)  is  s i milar to PI c ontroller as:      0 0 () ( ) c kh Gs k h s            (10 )     Substituting (9) into (8 ), we  obtain:    0 yh y d             (11 )     Whe r e  ˆ dd d  .  Let us no w compute r  the time derivative  of ˆ d ,    2 ˆ () () dk y kd u kk y kd ku ky kd               (12 )     And the expression of  d  is :      0 00 ˆˆ (1 ) ( ) ˆ ) ˆ ( ay b dd d hy d d hb h a y b d                 (13 )     Takin g  into  a c count  (11 )  a nd (12), the  d y namics of  d can be  obtain e d  by co mputi ng the   time derivative of (13).     00 00 0 22 00 0 0 0 ˆ () () ( ) () ( ) hb h a y b d hb h a h y d b k d ah bh h y h b h a b d kd               (14 )     D e fin i ng  ne w s t a t e va r i ab le  ve c t or ~ 12 [, ] [ , ] TT yd   , th e  c l os e- loo p   sys te m  c a n be  descri bed a s   follows:    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 5, May 2014:  3366 – 33 80   3370 10 1 2 22 00 0 21 0 2 0 () ( ) ah bh h h bh k h ab             (15 )     That is:     z A             (16 )     Whe r e  22 00 0 0 00 1 z ah b h h h bh a b h k A     .  System (16 )  is asym ptotica lly stable only  if  Z A  is Hu rwi z e .  Then we ha ve:    0 0 0 0 ab h b k bkh             (17 )     Bec a us e  0 0 h  and   0 b , the stable condition b e co mes:     0 0 ab h b             (18 )     Whe r e  /s g n ( ) kb .  The re sults  a r e sho w n   in Figure  2. wit h   pla n t  pa ra meters  a  locating [-1 00  100]  and   b   being e qual t o  -5,-1, 1,5,re spe c tively. Thestabl e regi o n  is the are a  offold line up per-rig h t side.       Figure 2. Stable Re gion of  1-order SIS O  NRC    3.2.2. 2-orde r Plant  We con s ide r  a gene ral 2 - o r de r plant:     10 ay a y yb u             (19 )     Whe r e con s tants  1 a ,  0 a  and  b  are all unkno wn .    Usi ng mod e l estimato r, the 2-order   NRC is desi gne d as follo ws [8]:    1 2 0 ˆ ˆ dk y uh y h k d kk y yu                (20 )   -1 00 -80 -6 0 -40 -2 0 0 20 40 60 80 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a my f u n 1 ( a ,5 ,1 0 )     b= - 5 b= - 1 b= 1 b= 5 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Nonli nea r Ro bust Control  Appro a ch  Based o n  Integri t y (Chen  Jinli)  3371 The tran sfe r  functio n  of this 2- or de r  NRC  is  co mp u t ed  a s  fo llow s :    0 10 1 () ( ) ( ) c hk Gs h k h h k s s           (21 )     Who s e  stru ct ure is  simila r to PID control l er.  The a nalysi s   method i s   si milar to th e 1 - order  pla n t. Becau s e  of t he limited  arti cle l ength,   we o m it man y  analysi s   steps. By defin ing ne w  stat e varia b le ve ctor  12 3 [, , ] [ , , ] TT yy d   ,  the clo s e-l o o p  system  can  be descri bed  as follows:     z A             (22 )     Whe r e  01 22 10 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 01 0 1 z Ah h ah b h h h h b h h ah h b h a h b h a b k        .  Hen c e, Syste m  (22) i s  a s ymptotically st able only if:     11 00 1 0 00 1 1 1 0 0 0 0 () ( ) ab h b k ab h b h k bh k ab h b h k a b h b k b h k            (23 )     Bec a us e  0 0 h ,  1 0 h  and  0 b , the stable con d ition be comes:      11 00 1 00 1 1 1 0 () ( ) ab h b ab h bh ab h b h a b h b b h             (24 )     Whe r e  /s g n ( ) kb .  In order to  simplify the   tuning  pro c e ss, th e p a ra meters, which dete r min e  de sire d  dynamics a r e  sele cted a s   1 2 c h and 2 0 c h . In other words, the  cl ose d -lo op ro ots are pla c e d   at c .  The results a r e sho w n in  Figure 3. wit h  plant pa ra meters  0 a  locating [-20 00 1 0 00],  1 a   loc a ting [-100 100],  1 b and 10 c , where th e are a  to the upp er si de of the  mesh  su rface is  the stable reg i on.    Figure 3. Stable Re gion of  2-order SIS O  NRC  -2 00 0 - 150 0 -1 00 0 -5 00 0 500 100 0 -1 00 -5 0 0 50 10 0 0 20 40 60 80 10 0 12 0 a 0 a 1 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 5, May 2014:  3366 – 33 80   3372 4.  Integrity  Theorem and Stable Region  of MIMO Sy s t em   4.1. Integrit y  Theorem   The MIMO system has  more  sen s o r s and a c tuat ors tha n  SISO one. Because of  intera ction, e a ch el ement  failure will  ch ange t he p e rforman c e of  rest  sub s yste m, even cau s e  instability. The closed-loop system should exhi bit stability with  accepted dy namic properties  even if some  elements o r  chann els b r eak do wn. T h is prope rty is calle d integ r ity. The system  has hig h -inte g rity prope rty if it  is sta b le  und er any  p o ssible  loo p  f a ilure s.  We  d enote th e  sta t ic   gain matrix of  process  () p Gs  as :    11 0 1 2 0 1 0 21 0 2 20 2 0 0 10 2 0 0 n n p nn n n gg g gg g G gg g                 (25 )     Then th e foll owin g lemm a  on the i n teg r ity of  decent ralized PI form co ntrol  sy stem i s   given.  Lemma1   [9]:  Con s id er a stable  li nea r system (3 ), a nd a s sume t hat static gai n matrix 0 0 , 1 , ..., ii g in  . Then a ne cessary an d sufficient co ndi tion for the existen c e of de centralized PI  controllers that ensure  closed -loop stability for all possible   is given  by the requi rement that all   prin cipal min o rs of  0 p G  are po sitive.   If the control  system i s  pre s ente d  as tra n sfer  func tion form (of c o ur se in cludi ng  PI form),  we have the f o llowin g  lem m a.  Lemma 2  [9 ]: Con s ide r   a sta b le  line a r  system   (3 ), and assu me that decentrali zed   controlle rs en sure th e  stabi lity of the  clo s ed-lo op  sy st e m .  Wh en i n t e ract io n  de cre a se s  or  b r ea k s   down, or so me loo p s are  discon ne cte d  from th e  sy stem, if the f o llowing  condition is satisfied,  the overall cl ose d -lo op sy stem will be  stable and  still remai n  stabl e :     1 p2 () [ d i a g | ( ( ) ( ) ) ( ) | ] 1 ci i i ci d s V I Gs g s Gs         (26 )     Whe r e:     12 1 21 2 1, 1, 1 0| ( ) | | ( ) | |( ) | 0 |( ) | |( ) | | ( ) | 0 n nn nn n gs g s gs V g s gs g s                 (27 )     () p denote s Pe rro n-F r obe niu s  eigenvalu e  of  matrix () ; denot es ab sol u te matrix, in whi c h  all element s are the ab sol u te value of primary mat r ix () .  Becau s e the  1-ord e r  NRC has  simila r PI fo rm, we can exami ne the integrity of a  desi gne d NRC usi ng this two lemma s. Also, le mma 1 is u s ed  to ensu r e t he existen c e  of  decentrali ze d  1-o r de r  NRC with  hig h -i ntegrity.  If condition i n  l e mma 1  is  not sati sfied,  the   pairin g s  sh ou ld be re-o rg a n ize d , or mu ch attention sh ould be  paid  on when a nd  how to  swit ch  to   other controll ers in  ca se some loop s di sconn ect fro m  the system .  If the design e d  NRC h a s 2 - order  or hi gh er  o r de r, lem m a 1 cannot  be used di re ctly. We   adopt eq uival ent tran sform a tion, whi c h repla c e s () ii g s with ' () ii g s in the calculatio n.    , 0 ,0 , 1 , 0 0, 1 , ' 0, 1 , 11 ( ) () ( ) ( ) () 1 () ( ) i i j ji j j ji i i i i i i j ii ii i i Ks K sgs K K s gs ss K K s KK s g s s          (28 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Nonli nea r Ro bust Control  Appro a ch  Based o n  Integri t y (Chen  Jinli)  3373 4.2. Stable Region   As mention e d  above, the stable re gio n s of  1-o r de r and 2-o r de r controll er fo r SISO   system  can  be figured in  two-di men s i onal an d th ree-di men s ion a l sp ace, re spectively. Fo r a   MIMO sy ste m , the sta b l e  re gion i s   quite compli cated.  From system (3 ) ,  th e  ch ar ac te r i s t ic   equatio n of the decentrali z ed co ntrol sy stem is:     11 1 1 2 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 2 11 1 2 2 2 det { ( ) ( ) } 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) de t { } ( ) () () () 1 ( ) ( ) 0 pc cc n n c n cc n n c n nc n c n n n c n IG s G s gs G s g s G s g s G s gs G s g s Gs g s G s g s G s g sG s g sG s                 (29 )     It can be  se e n  that the sta b le re gion s a r e  co rrelative,  and the va ri ety of each  controlle r  cha nge s th e  stable  region s of  all  other  controlle rs.  S o  it i s  difficult to exp r e s s a nd  cal c ulate  th e   stable regio n s  of MIMO NRCs.   In fact, the m a in rea s on  for cal c ulatin g  stable  regi on s  of NRCs i s  to  provid e a r ea son abl e   sea r ch sp ace  for paramete r  tuning. Since integrit y is one of our ob jectives, and  at the existence   of integ r ity property, it impl ies th at ea ch   contro lle r  can  stabili ze  the  corre s p ondin g  lo cal fe edb a ck  loop i nde pen dently. For t he p u rpose  of sim p licity,  the  union   sets of  sta b le  re gion  of e a ch   diago nal ele m ent are u s e d  as NRC parameter sreferencesta ble re gi on for MIM O  system.   Mean while, combi n ing d e sired  dyn a m ics  an d  si mulation, the  paramete r s set of  NRC 0 , 1, 1, {, , , , } ( 1 , , ) ii i r i kh h h i n  are dete r min ed finally.      5. Design  Pro c edure   To  sum  up, t he d e si gn  proce dure of  M I MO de ce ntralize d   NRCs  can  be  carrie d out  as  f o llowin g  st ep s:   1) Co nfirm a ppro p ri ate struct ure of co ntrol syste m  with  n  SISO suitable o r d e r NRC  according to  pro c e ss info rmation.  2) Examin e t he integ r ity o f  the de sign e d  c ontrol  sy stem u s ing  lem m a 1, oth e rwise, re- analysi s  the system or de compo s e it, and desi gn ne w control  syste m .  3) Calculate  the stable  re gion of ea ch  di ago nal ele m ent as the  para m eters referen c e   tuning spa c e.   4) Determi n e  controller  p a ram e ters co mbining  abo ve regio n , desired dyn a m ics  and  s i mulation.   5) Ch eck the  integrity of the result ed cl o s ed -loo p syst em with lem m a 2.  6) If s a tis f ies ,  des ign is  finis h ed. Other wise, ch eck the  integrity by simulation.   Rem a r k  1 : In many conditi ons, the exact relative  deg ree s  of controller process  are not  easy to obt ain be cau s e  of the co mplexity and unce r taintie s  of model.  We ca n d e sig n   approp riate  decentrali ze d  control sy stem, who s e diago nal  ele m ents  a r e 1 - order or 2-o r de r  N RCs .  Rem a r k  2 : T he p r op osed  method i s  b a s ed  on  nomin al mod e l. Un der  plant u n certaintie s  or  ope rating  point  variati on, robu stne ss ca n  al so  be  en su red  be cau s e  NRC with   suitabl e   para m eters h a s st rong di st urba nce rej e ction.  Rem a r k  3 :  We ca n al so  op timize the  co ntrolle r pa ra meters by d e fining  spe c ific  obje c tive  function.  The   para m eter o p t imization  can  always  be  ca rrie d  o u t a s  l o ng a s  the  obj ective fun c tion   is qua ntitatively valuable. It  will be di scussed in o u r foll owin g pape r.       6. Illustrativ e   E xamples  In this  se ctio n, we  demo n s trate th e su perio r  cont rol  ability and  robu st pe rformance to   great gai n pe rturb a tion s in cro s s-cou p lings of  NRC  approa ch through  six typical multivaria bl e   p r oc es se s  [5 ].      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 5, May 2014:  3366 – 33 80   3374 6.1. 2×2 Mod e ls  W o od  an d  Be r r y   (W B)   c o n t r o lle d pr oce s s  is   c o n s id ered  firstly. The tran sfer  function   matrixis  given as  follows :     3 1 73 12.8 18.9 16.7 1 21 1 () 6.6 19.4 10. 9 1 14.4 1 s s s s ee ss Gs ee ss                    (30 )     The metho d   in Section 5  is ca rri ed o u t to  tune the decentralized NRC. In  orde r to   simplify an al ysisp r o c e ss,  the time -d elay is not  co nsi dered  wh en  we   desi gn  su bsystem  controlle r. First, two 2 - o r der  sub s yste m cont rolle rs are d e si gne d acco rdin g  to the relativ e   degree s of co rre sp ondi ng d i agon al tran sfer functio n ,    0, 0, 1 () ( ( )) , 1 , 2 ci i i i i Gs k h k h s i s             ( 3 1 )     Whe r e  sgn( ( ) ) ii i i kg s .  Then the  cont rol for overall system i s :    1 2 () 0 () 0( ) c c c Gs Gs Gs                ( 3 2 )     By checking the pro c e s s with lemma 1, it can  be foun d that all principal min o rs of static  gain matrixe s  are positive,  so it satisfie s the  sufficie n t and necessary conditio n s of existing  2- orde r de ce ntralize d  NRC  with integrity.        Figure 4. Dyn a mic Respon se of  Dif f eren t Step Inputs (WB mo del)      The  stabl e re gion  of ea ch   2-o r de r  cont roller i s  calcul ated u s in g th e meth od  pre s ente d  in   se ction 3.2. We get  1 0 and  20 , 2 0.0 515 h  . In the s e t w o  loop s, the  d e sired  pole s   are  all  placed at -0.1 , that is, 0, 1 0 , 2 0.1 hh  .  A l so ,  we sele ct 1 0. 35 ,  2 0. 2 .  0 20 40 60 80 10 0 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 y 1 Ti m e  ( s ) 0 20 40 60 80 10 0 -0 . 4 -0 . 2 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 y 2 Ti m e  ( s ) 0 20 40 60 80 10 0 0 0. 05 0. 1 0. 15 0. 2 0. 25 0. 3 0. 35 0. 4 Ti m e  ( s ) y 1 0 20 40 60 80 10 0 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 Ti m e  ( s ) y 2 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Nonli nea r Ro bust Control  Appro a ch  Based o n  Integri t y (Chen  Jinli)  3375 Whe n  the  set-point  sig nal  of two  ch ann els  ha s u n it step di sturb a n c e s  respe c tively, the   dynamic  responses are illu strated in Fi gure 4.   If there are +20% gain pe rturbation s  in  cr o s s-co uplin gs, ne w cross-co uplin gs b e c ome:     ' 12 1 1 2 () ( ) g sg s            (33 )     ' 21 2 2 1 () () g sg s            (34 )     Whe r e 1  and  2  both vary ra n domly in the  area  of [1, 1.2]. The bla c k lines  rep r e s e n t dynamic  respon se s i n   norm a l condit i on, and  gray  lines  re pre s e n t dynami c  re spo n ses  wh e n  pe rturb a tio n s   exis t.  The 2-order d e ce ntrali zed  NRC for th re e mo re  2×2  p r ocesse s d e m onst r ated a s  Tabl e 1,  usin g the sa me config uration.       Table 1. Tran sfer Fu nctio n  Matrices of 2 × 2 System s  Model T r ansfer  Functio n   V i nante-Lu y b e n   model (VL)   1 2 . 9 3 . 4 1 5 . 9 8 . 2 1 7 3 . 1 1 7 2 . 2 ) ( 35 . 0 8 . 1 3 . 0 2 s e s e s e s e s G s s s s   W a rdle-W ood  model (WW)   1 35 12 . 0 ) 1 38 ( 094 . 0 ) 1 48 )( 1 45 ( 101 . 0 1 60 126 . 0 ) ( 8 8 12 6 3 s e s e s s e s e s G s s s s Ogunnaike- R a y   model (OR2)   1 801 . 1 8 . 5 1 174 . 2 689 . 4 1 807 . 1 64 . 11 1 572 . 4 89 . 22 ) ( 4 . 0 2 . 0 4 . 0 2 . 0 4 s e s e s e s e s G s s s s       The dynami c  respon se s in both norm a l con d it ion and  existing +20 %  gain perturbatio n s   in cross-couplings  condition  for the three processes  are illu strated in Figure 5-F i gure 7.       Figure 5. Dyn a mic Respon se of  Dif f eren t Step Inputs (VL  Mod e l)  0 20 40 60 80 10 0 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 Ti m e  ( s ) y 1 0 20 40 60 80 10 0 -0 .1 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Tim e  (s ) y 2 0 20 40 60 80 10 0 -0 . 1 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Ti m e  ( s ) y 1 0 20 40 60 80 10 0 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 Tim e  (s ) y 2 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.