I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   18 ,   N o .   1 A p r i l   20 20 ,   p p.   533 ~ 543   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 8 .i 1 . pp 533 - 543       533       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om   R o b u st   c o n t r o l   o f   a   U P FC   sy st e m   w i t h   H   c o n t r o l   t e c h n i q u e       M aam ar   B e n yam i n a 1 ,   M o h am e d   B o u h a m i d a 2 ,   Tay e b   A l l aou i 3 R a c h i d   T al e b 4 M o u l ou d   D e n ai 5   1 , 2 E l e c t r i c a l   E ng i n e e r i ng   D e pa r t m e nt ,   M o ha m e d   B o udi a f   U n i v e r s i t y   o f   S c i e nc e   a nd   T e c hno l o gy ,   A l g e r i a   3 E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   D e p a r t m e n t ,   I bn  K ha l do un   U ni v e r s i t y ,   A l g e r i a   4 E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   D e p a r t m e n t ,   H a s s i ba   B e nbo ua l i   U ni v e r s i t y ,   L G E E R   L a bo r a t o r y ,   A l g e r i a   5 S c hoo l   o f   E ng i ne e r i ng   a n T e c hno l o gy ,   U ni v e r s i t y   o f   H e r t f o r ds hi r e ,   U ni t e K i ng do m       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e J ul   1,   201 9   R e v i s e S e p   1 0 ,   201 9   A c c e pt e O c t   1 1 ,   2 01 9       F A C T S   ( F l e xi bl e   A C   T r a ns m i s s i o S y s t e m s )   t e c hno l o gy   ha s   no w   be e a c c e pt e a s   a   po t e n t i a l   s o l u t i o t o   t h e   s t a b i l i t y   pr o bl e m   a nd   l o a f l o w .     T he   U ni f i e P o w e r   F l o w   C o nt r o l l e r   ( U P F C )   i s   c o ns i d e r e t o   be   t he   m o s t   po w e r f ul   a nd  v e r s a t i l e   a m o ng   a l l   F A C T S   de v i c e s .   T h i s   pa pe r   pr e s e n t s   t he   c o nt r o l   o f   a   U P F C   s y s t e m   u s i ng   H   r o bus t   c o nt r o l   t e c hni que .   A   s i m ul a t i o s t udy   us i ng   M a t l a b / S i m ul i n i s   pr e s e nt e t o   t he   pe r f o r m a nc e   o f   t hi s   c o nt r o l   s t r a t e gy   a nd  t h e   r o bus t ne s s   w i t h   r e s pe c t   t o   v a r i a t i o ns   o f   t h e   s y s t e m   pa r a m e t e r s   s uc a s   t h e   i nd uc t a nc e   o f   t he   t r a n s m i s s i o l i n e .   Ke y w or ds :   F A CT S   H   Rob us t   Co n t r o l   T e c hni que s   P o l e - pl a c e m e n t   T e c hn i c s   o f   c o n t r o l   U P F C   C opy r i gh t   ©   2020   I n s t i t ut e   o f   A d v anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   M a a m a B e n y a m i n a ,   E l e c t r i c a l   E n gi n e e r i n g   D e pa rt e m e nt ,   M o h a m e d   B o udi a f   U n i v e r s i t y   of   S c i e n c e   a nd  T e c hn o l o g y ,     O ra n ,   A l ge r i a .   E m a i l :   m a . b e n y a m i n a @ g m a i l . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N     T h e   U n i f i e P ow e r   F l ow   Co n t r o l l e r   (U P F C),   i s   a m o n t h e   F A CT S   de v i c e s   t h a t   ha v e   a t t ra c t e t h e   a t t e n t i o n   o f   m a n y   r e s e a r c h e r s   b e c a us e   i t   i s   c a pa b l e   o f   s i m ul t a n e o us l y   a n i nde pe n de n t l y   c o n t r o l l i n t h e   f l ow   of   a c t i v e   a n r e a c t i v e   pow e r s   i a   n e t w o r k.   T h e   U P F c o m bi n e s   a   s h u nt   c o m pe n s a t i o n ,   (S t a t i c   Co m pe n s a t o r   o r   S T A T CO M ),   a nd  a   s e ri e s   c o m pe n s a t i o n   (S t a t i c   S y n c hr o n o us   S e ri e s   Co m pe n s a t o r   o r   S S S C)  a n d   h a s   t h e   a b i l i t y   t c o n t r o l   t hr e e   pa ra m e t e r s   a s s o c i a t e w i t h   t h e   t ra n s i t   o f   p ow e r s   n a m e l y   t h e   l i n e   v o l t a ge ,     t h e   i m pe da n c e   o f   t h e   l i n e   a n t h e   l o a a n g l e .   T h e   U P F C   i s   pl a c e o n   t h e   t ra n s m i s s i o n   l i n e   b e t w e e n   t h e   s o ur c e   a n t h e   l o a a s   s h o w n   i F i gu r e   [1,   2] .           F i gu r e   1 .   E l e c t r i c a l   n e t w o r w i t U P F C   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 502 - 47 52   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   18 ,   N o .   1 A p r i l   20 20  :   533   -   543   534   It   c o n s i s t s   of   t w o   v o l t a ge   s o ur c e   c o n v e r t e r s   (V S C)  c o n n e c t e t hr o ug h   a   c o m m o n   D l i n k .   T h e   f i r s t   c o n v e r t e r   (A i s   c o nn e c t e i n   s e ri e s   a n t h e   s e c o n (B i n   p a r a l l e l   t o   t h e   l i n e   (F i gu r e   2) .   Co n v e rt e r   A   pe r f o r m s   t h e   m a i n   t a s o f   t h e   U P F by   i n j e c t i n g   a A v ol t a ge   a dj us t a b l e   v i a   t r a n s f o r m e r   T 2.   T h e   r o l e   o c o n v e r t e r   B ,   i s   t o   s uppl y   o r   a b s o r b   t h e   a c t i v e   pow e r   r e qui r e by   Co n v e r t e r   A   t o   t h e   c o m m o n   D c i r c ui t .     It   c a a l s o   ge n e r a t e   o a b s o r b   r e a c t i v e   pow e r .           F i gu r e   2 U P F c o m po n e n t s   a nd  s t ruc t u r e       T h i s   pa pe r   p r e s e n t s   t h e   c o n t r o l   de s i gn   a pp r o a c h   b a s e o n   c o n t r o l   H ∞  a n a   r o b us t   c o n t r o l l e r   i s   fo r m u l a t e i n   t h e   s t a t e   s pa c e   do m a i n.   H ∞  r o b us t   c o n t r o l   t h e o r y   i s   pr o b a b l y   t h e   c o n t r o l   t h e m e   w h i c h a s   l e t o   t h e   l a r ge s t   n um b e r   o f   pub l i c a t i o n s   a nd  g r e a t e r   e f fo r t s   s i n c e   t h e   m i d - 80  s .   T h e   m a i n   r e a s o n   f o r   i t s   po pul a r i t y   i s   b e c a us e   i t   r e p r e s e nt s   a   v e r y   n a t u ra l   w a y   t o   fo r m ul a t e   t h e   p r o b l e m   o f   r o b us t n e s s .   It   a l l   s t a r t e w i t h   a n   a r t i c l e   by   Z a m e s   [3],   pub l i s h e i n   198 a n f o l l o w e by   o t h e r   a r t i c l e s   [4 ,   5 ].   T h e s e   a r t i c l e s   d i n o t   c o n c e rn  t h e   r o b us t n e s s   p r o b l e m ,   b ut   ra t h e r   t h e   di s t u r b a n c e   r e j e c t i o n .   I t   i s   K i m u ra   [4]   w h o ,   i n   1984 ,   f o r m u l a t e t h e   f i r s t   r o b us t   c o n t r o l   p r o b l e m   i n   t e r m s   o f   H ∞.   A l t h o ug h   hi s   po s i t i o n   o f   t h e   pr o b l e m   i s   ha r dl y   di ff e r e n t   f r o m   t ha t   p r o po s e by   D oy l e   a n d   S t e i n   [6 ,   7]  ( n o v e l t y   r e s i di ng  i t h e   e xpl i c i t   us e   of   t h e   H ∞  f r a m e w o r t ha t   a l l o w e K i m ura   t o   s o l v e   t h e   s y n t h e s i s   p r o b l e m ).   T h a nks   t o   t h e   i m po r t a n t   c o n c e pt   of   t h e   s t a nda r d   p r o b l e m   t ha t   t h e   w o r o f   F r a n c i s   D o y l e   a n d   [ 8]  w e r e   u n i f i e d.   T h e   r e s o l ut i o n   o f   t h e   s t a n d a r p r o b l e m   g r e w   ve r y   s i gn i f i c a nt l y   i n   1 988  w i t h   G l o v e r - D oy l e   a l go ri t hm   [ 9],   w h i c h   us e s   s t a t e   s p a c e   r e p r e s e n t a t i o n.   I t h e   s o l ut i o n s   o f   t h e   p r o b l e m ,   t h e y   i n t r o duc e R i c a t t i   e qua t i o n s   [6,   8].   T h i s   a p p r o a c h   i s   e m pl o y e i n   t h i s   pa pe r   f o r   s o l v i n t h e   H ∞  c o n t r o l   pr o b l e m .   R ob us t   s t a b i l i t y   i s   d e f i n e a s   t h e   a b i l i t y   of   a   s y s t e m   t o   r e m a i n   s t a b l e   w h e n   s ub j e c t e t o   pe r t u r b a t i o n   s uc h   a s   m o de l i ng  e rr o r s ,   m e a s u r e m e nt   e rr o r s   a n d   e xt e rna l   di s t u r b a n c e s .   R ob us t   pe r f o r m a n c e ,   o n   t h e   o t h e r   ha n d   r e f l e c t s   t h e   a b i l i t y   of   t h e   s y s t e m   t o   m a i nt a i t h e   s pe c i f i e pe r f o r m a n c e   c ha r a c t e r i s t i c s   (s t a b i l i t y ,   de c o u pl i n g,   t i m e   r e s po n s e . . . w h e n   s ub j e c t e t o   di s t ur b a n c e s .   I n de e d,   a   p h y s i c a l   s y s t e m   ge n e r a l l y   h a s   n o n - l i n e a c h a ra c t e ri s t i c s   t h a t   a r e   n o t   us ua l l y   i n c l ude i n   t h e   m o de l   for   s i m pl i f i c a t i o n   pu rpo s e s .   S o   a n   i n v a ri a nt   m o de l   c a nn o t   a c c u r a t e l y   r e pr e s e n t   t h e   r e a l i t y   a n f o r   t h i s   i t   i s   ne c e s s a r y   t o   c o n s i de r   t h e s e   e rr o r s   i n   a l l   c o n t r o l   t e c hn i q ue s .   T h e   H ∞  c o n t r o l   m e t h o i s   c o n s i de r e t o   b e   a   v e r y   p ow e r f ul   de s i gn   t e c hn i que   w h i c h   ha s   a t t r a c t e m a n y   r e s e a r c h e r s   f r o m   t h e   e l e c t ri c   po w e r   c o m m u ni t y .       2.   M O D E LI N G   O F   T H E   U P F C   T h e   s i m pl i f i e pha s e   c i r c ui t   o f   t h e   U P F i s   s h o w n   i n   F i g ur e   3.   U s i ng  K i r c hh o f f ’s   l a w s ,   w e   c a w r i t e :     1 1 1 ' a s a c a r a s a a a a L ' b s b c b r b s b b b b L ' c s c c c r c s c c c c L di d V V V L i i L i d t R i d t d t C di d V V V L i i L i d t R i d t d t C di d V V V L i i L i d t R i d t d t C     (1)     L   i s   t h e   t o t a l   i n duc t a n c e   o f   t h e   l i n e   a n d   t h e   l o a d.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752         ( Maam ar   B e n y am i na )   535       F i gu r e   3 E qui v a l e nt   c i r c ui t   o f   t h e   U P F C       U s i n P a rk  t r a n s f o r m a t i o n,   t h i s   s y s t e m   b e c o m e s :     q cq d q d d s q q s rq cq sq d cd q d q q s d d s rd cd sd Ri V Li dt di L i i L i i dt d L V V V Ri V Li dt di L i i L i i dt d L V V V ' ' ' '     (2)     f o r   t h e   s h u n t   c o m pe n s a t o r:     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' q p d p q p d d s q q s pq sq d p q p d p q q s d d s pd sd i r i L dt di L i i L i i dt d L V V i r i L dt di L i i L i i dt d L V V     (3)     f o r   D C   l i n k:     e p e dc P P dt dV c 2 1     (4)     p e P V pa . i a   +   V pb .   i b   +   V pc .   i c     e P =   V ca .i a   +   V cb .   i b   +   V cc .   i c     p e P A c t i v e   pow e r   c o n s um pt i o n   o f   t h e   n e t w o r k   t hr o ug t h e   p a ra l l e l   c o m pe n s a t o r   a n d   p r o v i de t o   t h e   D c i r c ui t   a n d   s e r i e s   c o m pe n s a t o r .   e P P o w e r   i n j e c t e d   by   t h e   s e r i e s   c o m pe n s a t o r   i t h e   n e t w o r k.   U s i n P a rk  t r a n s f o r m a t i o n :     ) . . . . ( . 2 3 ' ' q cq d cd q pq d pd dc dc i V i V i V i V V C dt dV     (5)     Let     a n   b e   t h e   pha s e   s h i f t s   b e t w e e n   t h e   r e f e r e n c e   a n d   t h e   c o n v e r t e r   o ut put   v o l t a ge s   V c   a n d   V p r e s pe c t i v e l y .   T h e   d - q   c o m po n e nt s   c a b e   e xpr e s s e a s   f o l l o w s   [6]:     V cd   =   k 1 dc V . Co s ( );   V cq   =   k 2 dc V . s i n ( )   (6)     V pd   =   k 2 dc V .   Co s ( );   V pq   =   k 2   . dc V . s i n( )   (7)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 502 - 47 52   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   18 ,   N o .   1 A p r i l   20 20  :   533   -   543   536   A s s um i n g   t ha t   t h e   v o l t a ge s   a t   t h e   s o ur c e   a n d   r e c e i v i n e n d   a r e   e qua l   a n d   t h e   i n f l ue n c e   of   t h e   o ut put   s h u nt   i s   n e gl e c t e d,   t h e   p r e v i o us   e qu a t i o n s   b e c o m e :     0 0 q cq cq d d s q q s d cd cd q q s d d s i R U u i L i L dt di L dt di L i R U u i L i L dt di L dt di L   (8)     0 0 cd L cq L q cq L cd L d u C dt du C i u C dt du C i   (9)     R e a r ra n g i n g   (8)   a nd  (9 ):     cd q L cq cd L q cq L cq d L cd cq L d cd L cq cq T d q T q cd cd T q d T d u i C dt du u C i dt du C u i C dt du u C i dt du C U u L i i L R dt di U u L i i L R dt di   1   1 1   1     (10)     w i t h :   s T L L L .   T h i s   s y s t e m   c a n   b e   w r i t t e i t h e   s t a t e   s p a c e   fo r m   a s   f o l l ow s :     . DU CX Y BU AX X   0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 L L T T T T C C L L R L L R A   0 0 0 0 0 1 1 0 T T L L B       T r d o r q o r q o r d o u u u u C 0 0 0 0   0 0 0 0 D cd cq V V U   ;   Q P Y   ;     a n t h e   s y s t e m   t r a n s f e r   f u n c t i o n s   c a n   b e   e a s i l y   ob t a i n e f r o m   t h e   s t a t e   s pa c e   e qua t i o n s :     cd cq V V s G s G s G s G Q P ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 12 11     w i t h :     cq V P s G ) ( 11   cd V P s G ) ( 12     cq V Q s G ) ( 21   cd V Q s G ) ( 22   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752         ( Maam ar   B e n y am i na )   537   T h e   i n s t a nt a n e o us   a c t i v e   a nd  r e a c t i v e   pow e r s   ge n e r a t e a nd  a b s o r be a r e   de f i n e d   a s   f o l l o w s :     P s o u r ce   2 3 ( V sd   i sd   +   V sq   i sq )   Q s o u r ce   = 2 3 ( V sq   i sd     V sd   i sq )   (11)     a n t h e   a c t i v e   a n d   r e a c t i v e   po w e r s   a b s o r b e by   t h e   l o a a r e :     P r   2 3 ( V rd   i’ d   +   V rq   i’ q )   ;   Q r   = 2 3 ( V rq   i’ d     V rd   i’ q )     (12)     w i t h :       sd i   i d   ' d i   a n d     sq i   i q   ' q i       3.   C O N TR O L   O F   TH U P F C   T h e   c o m b i n a t i o o f   bo t h   p a r a l l e l   a n d   s e ri a l   c o n v e r t e r s   w i t h   a   D C   l i nk  p r o v i de s   fo ur   qu a d ra n t s   c o n t r o l .   F i gu r e   4   s h o w   t h e   b l o c di a g ra m   o f   ov e r a l l   c o n t r o l   s c h e m e   o f   t h e   U P F [10 - 12].           F i gu r e   4 F u l l   c o n t r o l   o f   t h e   U P F C       3. 1 .      H∞   C o n tr o l   A p p r o ac h   3. 1 . 1.     Th e   H   O p ti m al   C o n tr o l   S yn th e s i s   O ur  s y s t e m   i s   r e p r e s e n t e d   by   a   t r a n s f e m a t ri G ( s )   w i t h   a   n u m b e r   o f   di s t u r b a n c e   e l e m e nt s   a s s o c i a t e w i t h   t h e   e n v i r o nm e nt   o f   t h e   p h y s i c a l   s y s t e m   (i n t e r f e r e n c e   s i g n a l s ,   e t c . a nd  m o de l i n g   e rr o r s   (r e duc e o r de m o de l ,   i de a l i z a t i o a c t u a t o r s ,   pa ra m e t r i c   u n c e rt a i nt i e s ,   e t c . )   a s   s h o w n   i F i gu r e   [7 ].   T h e   a i m   o f   c o m pe n s a t i o n   K ( s )   i s   t o   e n s u r e   t h e   s t a b i l i t y   o t h e   c l o s e l o o s y s t e m   a n d   a   n o m i n a l   s a t i s f a c t o r y   b e h a v i o r A l l   c o nt r o l l e r   qua l i t i e s   s h o ul b e   pre s e r v e d   a s   m uc h   a s   po s s i b l e   i n   t h e   p r e s e n c e   of   e xt e rn a l   pe rt u r b a t i o n s   ( w )   a n d   m o de l i n g   u n c e rt a i n t i e s   ( s ),   t h e   l a t t e r   b e i n g   t ra n s l a t e d   us i n g   i n t e r f e r e n c e   s i g n a l s   v' A t   t hi s   l e v e l ,   w e i gh t i n m a t r i c e s   c a n   b e   i n t r o d uc e d   on   t h e   s i g na l s   ( v' a n d   ( w t o   pe r fo r m   f r e que n c y   a n d   d i s t r i b ut i o n   of   t h e i r   s t ruc t u r a l   e f f e c t s .   A s s um e   f i r s t   t h a t   t h e s e   w e i ght s   h a v e   b e e n   a dd r e s s e i t h e   P ( s m o de l   a s   s h o w n   i F i gu r e   6 .         v   cq                     v   ra b c                                                       R e fe r e n c e   c urr e n t s   ge n e ra t i o n              v   r d                   p   r   *               q   r   *               R   S       P WM       i   ra b c                                                                                         i   r dq            v   rq                 i   rd                     i   r q                   i   rd   *                       i   rq   *                     v   c                 v   r dq       V   dc                 p   s   *             V   dc   *        v   s q          v   sd       P WM               R   P           R e fe r e n c e   c urr e n t s   ge n e ra t i o n       v   p q                        v   p q                      i   s a b c                                                                                     i   s dq       v   s a b c                                                                   -           +       q   s   *                          +           +           R   C       i   sd   *                     i   sq   *                     i   s d                   i   sq                 v   s dq       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 502 - 47 52   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   18 ,   N o .   1 A p r i l   20 20  :   533   -   543   538         F i gu r e   5 .   T h e   c a n o n i c a l   r o b us t   c o n t r o l   p r o b l e m       F i gu r e   6 .   A   s i m pl i f i e r e p r e s e nt a t i o o f   t h e   c o nt r o l   s t ruc t u r e       T h e   go a l   i s   t o   f i n a   dy n a m i c   c o m pe n s a t o r   s uc h   t ha t   t h e   s t a b i l i t y   of   t h e   s y s t e m   s t a b i l i t y   i s   e n s ur e a n t h a t   s o m e   t r a n s f e r   n o r m   f r o m   w   t o   z   de n o t e F l ( P K c ha r a c t e r i z i n g   t h e   pe r f o r m a n c e   c r i t e r i a   a n d / o r   r o b us t n e s s   w i l l   b e   m i n i m i z e d.   T h e   p r o b l e m   i s   t h e n:     m i n ) , ( K P F l   (13)     L e t   22 21 12 11 P P P P   be   a   pa rt i t i o n   o f   m a t ri P ,   t h e   di m e n s i o n s   o f   e a c h   s ub - m a t r i m a t c h e s   w i t h   t h e   n u m b e r   o f   i n pu t s   a nd  o ut pu t s .   T h e F l ( P K )   i s   e xp r e s s e a s :     z   =   F l (P , K ) . w   =   (P 11   +   P 12   K (I     P 2 K ) - P 21) . w   (14)     T h e   p r o b l e m   f o r m ul a t e i n   (35)   i s   t h e r e f o r e   r e - w r i t t e n   a s :     m i n║ P 11  +   P 12  K (I     P 22   K ) - P 2 1)║   (15)     T h e   s t a b i l i z a t i o n   o f   t h e   s y s t e m   P   by   t h e   c o m pe n s a t o r   K   i s   o ne   of   t h e   o bj e c t i ve s   of   t h e   c o m pe n s a t i o n .   H ow e ve r ,   P   i s   a   m ul t i v a r i a b l e   s y s t e m   ( m ul t i p l e   i n pu t s   a nd   m ul t i p l e   o ut put s t h e n ,   t h e   c o n c e pt   o f   s t a b i l i t y   m us t   b e   s pe c i f i e d.   B a s e o n   F i gu r e   7,   t h e   s t a n d a r p r o b l e m   i s   a s   fo l l ow s :   f i n d   t h e   c o m pe n s a t o r   K ( s s t a b i l i z e s   P ( s a n d   m i ni m i z e s   T z w .   Tzw r e p r e s e n t s   t h e   t r a n s f e r   m a t ri x   b e t w e e n   w   a n z .   P ( s ):   i s   t h e   a ugm e n t e d   s y s t e m   t h a t   a l l o w s   u s   t o   g e n e ra t e   z c o r r e s po n di n t o   t h e   ob j e c t i ve s   of   t h e   c o m m a n a n d   c a b e   r e pr e s e nt e i n   s t a t e   s p a c e   f o r m   b y :     u w x D D C D D C B B A z y x 22 21 2 12 11 1 2 1   (16)     o r   by   i t s   t ra n s f e r   m a t r i x .     ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 12 11 s P s P s P s P P , ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 12 11 s P s P s P s P y z     (17)     T o   a c h i e v e   t h e s e   r e s ul t s ,   o u r   c o n t r o l   p r o b l e m   s h o ul b e   t r a n s f o r m e i nt o   t h e   s t a n d a r f o r m   a c c o r di n t o   t h e   p ri n c i p l e   i l l us t ra t e d   i F i gu r e   7.   T h e   o b j e c t i ve s   of   t h e   c o n t r o l   a r e   de f i n e a s   f o l l ow s :     a)   D i s t u r b a n c e   r e j e c t i o n   a n d   t ra c ki n g   e rr o r :   M i n i m i z e   W T ( s ). T ( s )║ .   b)   N o i s e   a t t e n ua t i o n   m ( s ),   r e t u rn   t o   m a xi m i z i ng  m a rgi n   m ul t i pl i c a t i v e   s t a b i l i t y   (m ul t i p l i c a t i v e   un c e r t a i nt y   o ut put )   M i n i m i z e   W S ( s ). T ( s )║ .   c)   M a xi m i z e   t h e   m a rgi o f   s t a b i l i t y   a ddi t i v e ,   i . e .   l i m i t i n g   t h e   a m pl i t ude   o f   t h e   c o n t r o l   s i g na l .   M i n i m i z e   Wu ( s ). K ( s ).   S ( s )║ .     ( s )   G ( s )   K ( s )   w   v   z   e   u   y     P (s)   K(s)   w   z   u   y   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752         ( Maam ar   B e n y am i na )   539   T h i s   i m pl i e s   t h e   m i ni m i z a t i o o f :     ) (   ). ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( s S s K s W s T s W s S s W u T S     (18)     T h e   s t a n da rd  p r o b l e m   c a b e   r e p r e s e n t e d   by   t h e   e qu i v a l e nt   d i a g ra m   s h o w n   i F i gu r e   8.             F i gu r e   7 C l a s s i c a l   f e e db a c c o n t r o l   s y s t e m     F i gu r e   8 C l o s e d - l oo s y s t e m   w i t h   m o de l i n g   e rr o r       w h i c gi v e s :       u w G I W G W G W W y z u T S S 0 . 0 .     (19)     r e pl a c i n g   u   b y   Ky :     S K W T W S W T u T S Zw . . . .     (20)     T h e   s o l ut i o n   o f   t hi s   p r o b l e m   i s   o b t a i n e us i n t h e   f u n c t i o H i n f   o r   H inf - o p t   f r o m   t h e   M a t l a b   Ro b us t   Co n t r o l   T o o l bo c a l l e d   M i xe S e n s i t i v i t y   P r o b l e m .   O t h e r   r e pr e s e nt a t i o n s   o f   t h e   a u gm e n t e d   s y s t e m   t o   s e v e r a l   i n put s   ( w 1 w 2 w 3 ),   a n d   o n e   o ut pu t   z   c a b e   a dd r e s s e d .   T h e   s y n t h e s i s   o f   H   c o n t r o l   may   b e   s um m a ri z e d   b y :   a)   T r a n s l a t e   t h e   o b j e c t i v e s     .   b)   S e l e c t   t h e   w e i g h t i n f u n c t i o n s   i t e rm s   o f   t h e i r   f r e que n c y   r e s po n s e .   c)   S e t   up   t h e   m a t ri x   P ( s o f   t h e   e qui v a l e n t   s t a nda r d   p r o b l e m .   d)   S o l ve   t h e   o pt i m i z a t i o n   p r o b l e m .   e)   T e s t   t h e   pe r f o r m a n c e   o f   t h e   c l o s e d - l o o s y s t e m .     3. 1 . 2.     S o l u ti o n   o th e   S tan d ar d   P r o b l e m   a nd  S e l e c ti o n   o th e   W e i gh t i n F u n c ti o n s   D oy l e   a n o t h e r s   [7,   13 - 17 ha v e   s o l v e t h i s   p r o b l e m   by   p e r f o r m i n s t a n d a r p r o g r a m s   t o   gi v e   t h e   c o n t r o l l e r   s t a t us   o f   s t a t e   s pa c e   f r o m   t h e   s y s t e m   a n w e i ght i ng  f un c t i o n s .   T h e   a s s um p t i o n s   us e i n   t h e   r e s o l ut i o o f   t hi s   p r o b l e m   a r e :   1)     ( A B 2 s t a b i l i z a b l e   a n ( A C 2 )   de t e c t a b l e .   2)   R a n k   ( D 12 =   m 2   =   di m   ( u a n d   r a nk  ( D 21 )   =   P 2   =   di m ( y ).     m ( s )     +   +   +   r ( s )     y (s )   Con tro l   Plan t   d ( s )   u ( s )   +         G ( s )   K ( s )     K ( s )   w   G ( s )   z 2   u   +   +   W u   W T   W S   z 3   z 1   y   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 502 - 47 52   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   18 ,   N o .   1 A p r i l   20 20  :   533   -   543   540   3)   I D 0 12 D 21   =   [0 ,   I ]   4)   R a n k   22 1 2 D C B j ωω A   n   m 2 ,     ω [0,   [   5)   R a n k   21 1 2 D C B j ωω A   n   P 2,     ω   [0,   [     a)   A s s um pt i o n   (I i s   n e c e s s a r y   a n d   s uf f i c i e n t   f o r   t h e   e xi s t e n c e   o f   a   s o l ut i o n .   b)   A s s um pt i o n s   (II),   (IV a n (V e n s u r e   t ha t   t h e   p r o b l e m   i s   w e l l   pos e d,   i n   o t h e r   w o r ds ,   t h e   c o m pe n s a t o i s   a pp r o p r i a t e .   c)   Ass um pt i o n s   (IV a n (V i ndi c a t e   t ha t   P 12   (s a n P 21 (s ha v e   n o   z e r o e s   o n   t h e   i m a g i n a r y   a xi s ,   t h e y   c a b e   a v o i de [7].   d)   A s s um pt i o n   (I II)  s i m p l i f i e s   t h e   s o l ut i o n.   e)   If   a s s um pt i o n   (II)  i s   s a t i s f i e d,   i t   c a us e t o   c h e c s y s t e m   (III).   T hi s   o pe r a t i o n   i s   pe r f o r m e by   t h e   H i n f   pr o gra m   M a t l a b .   f)   T h e   o nl y   pr o b l e m   t h a t   m a y   a r i s e   i s   t ha t   o f   t h e   v a l i d a t i o n   o f   a s s um pt i o n   ( II).     3. 2 .      V a l i d at i o n   o th e   A s s u m p ti o n   (I I )   If ,   by   e xe c ut i n t h e   i n s t ruc t i o n   H i n f   (R ob us t   Co n t r o l   T o o l bo of   M a t l a b ),   t h e   e rr o r   s i g na l   «m a t ri D 12   i s   n o t   i n   f ul l   c o l um n   ra n ,   t hi s   m e a n s   t ha t   t h e   h y p o t h e s i s   (II)  i s   n o t   v e r i f i e d,   a n t h e r e f o r e   t h e   t ra n s f e r   f un c t i o n s   P 12 (s )   a nd  P 21 (s )   h a v e   z e r o s   a t   i n f i ni t y   [9].   In   o r de r   t o   e n s u r e   t h e   c l o s e l o o s t a b i l i t y   a n s i m u l t a n e o us l y   a c h i e v e   t h e   de s i r e c o nt r o l   pe r f o r m a n c e   u n de r   p r o c e s s   v a r i a t i o n s   o i t h e   p r e s e n c e   o f   ot h e di s t u r b a n c e s   w e i gh t i n g   f un c t i o n s   de pe nde nt   of   t h e   f r e que n c y   i t h e   p r o c e s s   a r e   i nt r o duc e a s   s h o w n   i F i gur e   9.           F i gu r e   9 Co n t r o l   sy s t e m   w i t m o de l i n g   e rr o r       T h e   c o n t r o l l e r   o pt i m i z a t i o n   i s   de f i n e by   t h e   f o l l ow i n e qua t i o n :     W T ( s ). T ( s )║   γ     ω [0   ,   ]     (21)     T h e s e   w e i ght i n g   f un c t i o n s   de f i n e   t h e   f r e que n c y   c h a r a c t e r i s t i c s   of   t h e   s i g n a l s   o f   t h e   s y s t e m   a s   w e l l   a s   t h e i r   a m p l i t ude s .   P ut t i n W T (j ω )     fo r   a   c e r t a i f r e que n c y   r a n ge ,   t h e   ga i n   r e duc t i o n   o f   t h e   c o m pl e m e n t a r y   s e n s i t i v i t y   f un c t i o T (j ω )   c a b e   a c hi e v e be y o n t h i s   r a nge .   It   i s   n o w   a s s um e t ha t   a l s o   s e e ks   a   go o pe r fo r m a n c e   (c ha r a c t e r i z e by   S (j ω ))  r e s i di ng  i t h e   di s t u r b a n c e   r e j e c t i o n .   T hi s   pe r f o r m a n c e   c a n   b e   a c h i e v e by   f i n di n g   t h e   c o nt r o l l e K (s by   s o l v i n g   t h e   fo l l ow i n g   e qua t i o n:     W S ( ). S ( )║   ω   [0   ,   ]   (22)     T h i s   e qua t i o i s   e qu i v a l e n t   t o :     W S (j ω ). S (j ω )║   <   γ c o n s t     ω [0  ,     (23)     γ co n s t   i s   a a r b i t r a r y   c o n s t a n t   w hi c i s   n o t   n e c e s s a r i l y   e qua l   t o   γ   (22) .       R eel  S y s te m     K ( s )   +   +        r ( s )     G ( s )   y ( s )   Co n tr o ller   Mo d e l   u (s )   o ( s )   +   +   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752         ( Maam ar   B e n y am i na )   541   P e r f o r m a n c e   ob j e c t i ve s   a n t h e   r o b us t   s t a b i l i t y   c a n   b e   s i m u l t a n e o us l y   a c h i e v e by   s e e ki n a   c o n t r o l l e K (s s a t i s fy i n g   t h e   f o l l o w i n i n e qu a l i t y :     ) ) . T ( j (j W ) ) . S ( j (j W T S   γ     (24)     T h e   c h o i c e   of  t h e   w e i gh t i ng  f un c t i o n s   i s   a s   f o l l ow s :   D e pe n di ng  o n   t h e   r e qui r e pe r f o r m a n c e ,   W S (j ω i s   l a r ge   a t   l o w   f r e que n c y   a n d   s m a l l e a t   hi g f r e que nc y ,   r e p r e s e n t i n g   a   l o w   pa s s   f i l t e r .   In  o ur  c a s e ,   i t   i s   a   di a go na l   m a t ri W S (j ω =   w S . I,   w h e r e   w S   r e pr e s e nt s   t h e   w e i g h t i n f u n c t i o s e l e c t e d   s uc h   t ha t :     ) ( w 1 ) ( s j j S   or   ) ( 1 )) ( ( j W j S s       fo r   m ul t i v a r i a b l e   s y s t e m s .   G e n e ra l l y ,   t h e   un c e r t a i nt i e s   a n dy n a m i c s   a r e   n e gl e c t e hi g h   f r e que n c i e s ,   W T (j ω m us t   b e   r e p r e s e n t e by   a   h i g h   pa s s   f i l t e r   t o   e n s ur e   r o b us t n e s s   fo r   hi g h   f r e que n c i e s     >   ω 0)  a n a c c e pt a b l e   pe r f o r m a n c e   f o r   l o w   f r e que n c i e s   ( ω   <   ω 0) .   O ur   c h o i c e   of   w e i gh t i n g   c o e ff i c i e n t s   i s   c o m pl e t e l y   c o nn e c t e t o   t h e   pa r a m e t e r     a s   e xpl a i n e a b ove   (fo l l ow i n t h e   o bj e c t i v e s   s e t   s uc h   t ha t   t h e   b a n dw i dt h   i n   t hi s   c a s e   e qua l   70 r d/ s   [6]) ,   a f t e r   t r i a l   a nd  e rr o r,     a   v a l ue   o f     =   1 . 92   w a s   s e l e c t e a nd  t h e   t ra n s f e r s   f u n c t i o n s   o f   t h e   w e i g h t i ng  c o e ff i c i e n t s   a r e :     W S   = ) 1 70 / 1 ( 10 1 10 s s   a n d   W T   01 . 0 01 . 0 2 7 8 s     T h e s e   w e i gh t i n c o e ff i c i e n t s   W S   a n W T   de f i n e   t h e   c o n t r o l l e r   K (s ).   T h e   r e s po n s e s   o f   t h e   a c t i v e   a n d   r e a c t i v e   pow e r s   a r e   i l l us t ra t e i n   F i g u r e   10.   F r o m   t h e s e   r e s ul t s ,   i t   c a n   b e   n o t e t ha t   t h e   po w e r s   t r a c t h e i r e s pe c t i v e   r e fe r e n c e s   pe r f e c t l y ,   r e f l e c t i n t h e   ri g h t   c h o i c e   of  pa r a m e t e r s   o f   o ur   K (s ).   I n   a ddi t i o n,   t hr o ug h   t h e   w e i ght s   W T   a n W S   de f i n e d,   t h e   i n t e r a c t i o n   b e t w e e n   t h e   pow e r s   i s   c o m pl e t e l y   e l i m i na t e a nd  h e n c e   t h e   c o n t r o l l e r   w a s   a b l e   t o   d e c o upl e   t h e   s y s t e m   a n e n s u r e   go od  pe r f o r m a n c e   a n a c h i e v e   t h e   c o n t r o l   ob j e c t i ve   [18 - 26] .           (a )     (b )       F i gu r e   1 0 R e s po n s e   o f   t h e   a c t i v e   pow e r   (a )   a nd  r e a c t i v e   pow e r   (b w i t K (s c o n t r o l       3. 3 .       R o b u s tn e s s   Te s t   3. 3 . 1.     I n c r e as e   o th e   I n d u c tan c e   o th e   L i n e   b 2 0 % :     W e   h a v e   i nt r o duc e c h a n ge s   t o   o n e   of   t h e   l i n e   p a r a m e t e r s   (i n d uc t a n c e t o   a n a l y z e   t h e   r o b us t n e s s   of  o ur   c o n t r o l l e r .   N o t e   t h a t   t h e   i n c r e a s e   o f   20%  of   t h i s   pa ra m e t e r ,   do e s   n o t   a f f e c t   t h e   c h a ra c t e ri s t i c   a s   s h o w n   i F i gu r e   11  (a ) ,   b e c a us e   t h e   a c t i v e   pow e r   f o l l o w s   pe r fe c t l y   t h e   s e t   po i n t   w hi c h   e xpl a i n s   t h e   qua l i t i e s   of   o ur   c o n t r o l l e K   (s )   H .     0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 T e m p s   ( s e c o n d e ) P u i s s a n c e   a c t i v e   ( p u ) A c t i v e  p o we r     ( pu )   A c t i v e p o w er  ( p u )   T i m e  ( se c o nd )     0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 T e m p s   ( s e c o n d e ) P u i s s a n c e   r é a c t i v e   ( p u ) Rea c t i v e   po we r     ( pu )   T i m e  ( se c o nd )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 502 - 47 52   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   18 ,   N o .   1 A p r i l   20 20  :   533   -   543   542     (a )     (b )       F i gu r e   1 1 A c t i v e   pow e r   (a )   a nd  r e a c t i v e   pow e r   (b c o r r e c t e by   t h e   r e gu l a t o r   H   f o r   t h e   i nduc t o o f   t h e   l i n e   i n c r e a s e b y   20%       F i gu r e   11  (b )   s h o w s   t h e   c u r v e   of   t h e   c o r r e c t e r e a c t i v e   pow e r   a f t e r   r e duc t i o n   o f   t h e   i n d uc t a n c e   of  t h e   l i n e   by   20%,   i t   i s   fo un t h a t   o ur   c h a ra c t e ri s t i c   i s   s i m i l a r   t o   t h a t   o F i gur e   10  (b ),   t h a t   i s   t o   s a y   t h a t   i t   ha s   n o t   u n de rgo n e   a n y   v a r i a t i o n,   w h i c h   e xp l a i n s   t h e   r o b us t n e s s   o f   o ur   c o rr e c t o r   K (s ) .     3. 3 . 2.     R e d u c ti o n   o th e   I n d u c tan c e   o th e   Li n e   b y   20 %:   F i gu r e s   12  (a a n (b r e p r e s e n t   r e s pe c t i v e l y   t h e   c ur v e s   of   t h e   a c t i v e   a n r e a c t i v e   pow e r s   c o r r e c t e a f t e r   t h e   r e duc t i o n   o f   t h e   i nduc t a n c e   o t h e   l i n e   o f   20%,   t h e s e   c h a r a c t e r i s t i c s   pr o v e   o n c e   m o r e   t h a t   o ur   r e gul a t o r   r e t a i n s   i t s   qu a l i t i e s ,   i p a r t i c ul a i t s   r o b us t n e s s .         (a )     (b )       F i gu r e   1 2 A c t i v e   pow e r   (a )   a nd  r e a c t i v e   pow e r   (b c o r r e c t e by   t h e   r e gu l a t o r   H   f o r   t h e   i nduc t a n c e   o f   t h e   r e duc e l i n e   by   20%       W e   c a n   t h e n   c o n c l ude   t ha t   t h e   v a r i o us   c h a nge s   m a de   di no t   a ffe c t   t h e   qua l i t i e s   of   t h e   c o n t r o l l e r ,   w h i c i m pl i e s   t ha t   t h e   c o n t r o l l e r   K (s )   de f i n e b y   t h e   H   a p p r o a c i s   pe r f e c t   fo r   o ur  s y s t e m .       4.   C O N C LU S I O N   In   t hi s   w o r k,   w e   fo c us e t s h ow   t h e   c o n t r o l   of   t h e   U P F by   t h e   H   c o n t r o l .   T h e   c o n t r o l   H   c o ul e n s u r e   t h e   de s i r e pe r f o r m a n c e ,   t hi s   i m pl i e s   t h a t   t h e   c o n t r o l   H   i s   r o b us t   a nd  a l s o   i m pl i e s   a   go o s y n t h e s i s   of   c oe f f i c i e n t s   a n w e i ght i ng  f un c t i o n s   t h e r e o f .   W e   c a n   t h e r e f o r e   pr o b a b l y   s a y   t h a t   t h e   H   a ppr o a c h   i s ,     i n   t h e   f i e l o f   r o b us t   c o n t r o l ,   t h e   t h e m e   t ha t   c o n t i n ue s   t o   gi v e   ri s e   t o   a   l a r ge   num b e r   o f   pub l i c a t i o n s   f o l l ow i n v e r y   gr e a t   e ff o r t s .   A l l   t h i s   i s   n o t   d ue   t o   c ha n c e ,   b e c a us e   i t   re pr e s e n t s   a   v e r y   na t u ra l   w a y   of   fo r m ul a t i ng  t h e   pr o b l e m   o f   r o b us t n e s s .       R EF ER EN C ES   [ 1]   J i a ng ,   Y . ,   A c t i v e   a nd  R e a c t i v e   P o w e r   C o nt r o l   f o r   T r a n s m i s s i o S y s t e m s   w i t V o l t a g e   S o ur c e   C o nv e r t e r s .   P hD   T he s i s ,   D e pa r t m e nt   o f   E l e c t r i c   P ow e r   E nge ne e r i ng .   S t o c kho l m ,   S w e de n ,   1997 .   E .   S .     0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 T e m p s   ( s e c o n d e ) P u i s s a n c e   a c t i v e   ( p u ) T i me   ( se c o n d )   Ac ti v e   p o we r   ( pu )     0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 7 - 0 . 6 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 T e m p s   ( s ) P u i s s a n c e   r é a c t i v e   ( p u ) Re a c ti v e   p o we r   ( pu )   T i me   ( se c o n d )     0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 T e m p s   ( s e c o n d e ) P u i s s a n c e   a c t i v e   ( p u ) T i me   ( se c o n d )   Ac ti v e   p o we r   ( pu )     0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 7 - 0 . 6 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 T e m p s   ( s e c o n d e ) P u i s s a n c e   r é a c t i v e   ( p u ) T i me   ( se c o n d )   Re a c ti v e   p o we r   ( pu )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.