I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m b e r   201 9 ,   pp.   599 ~ 60 5   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 6 .i 2 . pp 599 - 60 5             599       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i ae s c or e . c om / j our na l s / i nde x . php/ i j e e c s   Im p r o v e d   n e w t o n - r a p h s o n   w i t h   s c h u r   c o m p l e m e n t   m e t h o d s f o r   l o a d   f l o w   a n a l y si s       Le Ti e n   Ta y 1 Wi l l i am   O n C h e w   F e n 2 ,   Li l i k   Jam i l atu l   A w al i n 3   1 ,2 S c hoo l   o f   E l e c t r i c a l   a nd   E l e c t r o ni c   E ng i ne e r i ng ,   U ni v e r s i t i   S a i ns   M a l a y s i a ,   M a l a y s i a   3 U ni v e r s i t i   K u a l a   L um pur ,   B r i t i s M a l a y s i a n   I ns t i t ut e ,   M a l a y s i a       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d   O c t   1,   2018   R e v i s e F e b   1 1 ,   201 9   A c c e pt e M a y   7 ,   201 9       T he   de t e r m i n a t i o o f   p o w e r   a nd  v o l t a g e   i t h e   po w e r   l o a f l o w   f o r   t he   pur po s e   o f   de s i g a nd  o pe r a t i o o f   t he   po w e r   s y s t e m   i s   v e r y   c r uc i a l   in   t he   a s s e s s m e nt   o f   a c t ua l   o r   pr e di c t e g e ne r a t i o a nd  l o a c o ndi t i o ns .   T he   l o a f l o w   s t ud i e s   a r e   o f   t he   ut m o s t   i m po r t a nc e   a nd  t he   a na l y s i s   ha s   b e e c a r r i e o ut   b y   c o m put e r   pr o g r a m m i ng   t o   o bt a i a c c ur a t e   r e s ul t s   w i t hi a   v e r y   s ho r t   pe r i o t h r o ug a   s i m p l e   a n c o nv e ni e nt   w a y .   I t hi s   p a pe r ,   N e w t o n - R a phs o m e t ho w hi c i s   t he   m o s t   c o m m o n,   w i de l y - us e a nd  r e l i a bl e   a l g o r i t hm   o f   l o a f l o w   a na l y s i s   i s   f ur t he r   r e v i s e a nd  m o di f i e t o   i m p r o v e   t he   s pe e a nd   t he   s i m p l i c i t y   o f   t he   a l g o r i t hm .   T he r e   a r e   N e w t o n - R a phs o a l g o r i t hm s   c a r r i e o ut ,   n a m e l y   N e w t o n - R a phs o n,   N e w t o n - R a ph s o c o ns t a n t   J a c o bi a n ,   N e w t o n - R a phs o S c hur   C o m pl e m e nt   a nd   N e w t o n - R a phs o S c hur   C o m pl e m e nt   c o ns t a nt   J a c o bi a n .   A l l   t he   m e t ho ds   a r e   i m p l e m e nt e d   o I E E E   14 - ,   30 - ,   57 -   a n 11 8 - bus   s y s t e m   f o r   c o m pa r a t i v e   a na l y s i s   us i ng   M A T L A B   pr o g r a m m i ng .   T he   s i m ul a t i o r e s u l t s   a r e   t h e c o m pa r e f o r   a s s e s s m e nt   us i ng   m e a s u r e m e nt   pa r a m e t e r   o f   c o m put a t i o t i m e   a nd  c o nv e r g e nc e   r a t e .   N e w t o n - R a phs o S c hu r   C o m pl e m e nt   c o ns t a n t   J a c o bi a n   r e qu i r e s   t h e   s ho r t e s t   c om put a t i o na l   t i m e .   Ke y w or d s :   Co m pl e m e nt   Co n s t a nt   J a c o b i a n     L o a f l ow   N e w t o n - r a p h s o n   N e w t o n - r a p h s o w i t h   s c h u   C opy r i gh t   ©   201 9   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   L e a   T i e n   T a y ,     S c h o o l   of   E l e c t ri c a l   a nd  E l e c t r o n i c   E n g i n e e ri n g   U n i v e r s i t i   S a i n s   M a l a y s i a ,   M a l a y s i a .   E m a i l :   t a y @ us m . m y       1.   I N TR O D U C TI O N     A n   e l e c t ri c   po w e r   s y s t e m   m us t   b e   a b l e   t o   pr ov i de   pow e r s   de m a n de by   l o a ds   r a n g i n f r o m   h o us e h o l e l e c t r i c a l   a p pl i a n c e s   t o   i n dus t ri a l   h e a vy   m a c h i n e s   s uff i c i e n t l y ,   e ff i c i e n t l y   a n e c o n o m i c a l l y ,   a t   a l l   t i m e   w h i l e   m a i nt a i ni n a   s t a b l e   vo l t a ge   l e v e l   a n f r e que n c y   [1].   P o w e r   s y s t e m   b e c o m e s   m o r e   i m po r t a nt   a s   t h e   l o a de m a n i n c r e a s e s   w o r l dw i de   [2].   P ow e r   f l ow   a n a l y s i s   pl a y s   a n   i m po r t a n t   r o l e   i n   p l a nni n g   e n v i r o n m e n t s   f o r   di f f e r e n t   n e t w o r c o n f i gur a t i o n s   de s i g n   t o   s uff i c i e n t l y   s e r v e   a n   e xpe c t e f ut ur e   i n c r e a s i n g   l o a d.   B e s i de s ,   i t   i s   a n   o pe ra t i o n a l   t o o l   f o r   m o n i t o r i ng  t h e   r e a l - t i m e   s t a t us   o f   t h e   n e t w o r i n   t e rm s   o f   vo l t a ge   m a g ni t u de s   a n c i r c ui t   f l ow s .   P ow e r   f l ow   a na l y s i s   h a s   b e e n   us e i n   a   v e r y   l a r ge   e xt e nt   i n   s y s t e m   pl a nn i ng,   de s i gn  a nd  o pe ra t i o n   t o   r e v i e w   t h e   r e qu i r e m e nt s   fo r   s t e a dy - s t a t e   c o n di t i o n s   [3 - 7].   T h e r e f o r e ,   r e s e a r c h   w o r ks   o n   a dv a n c e po w e r   f l ow   a n a l y s i s   ha v e   b e e n   c a rri e o ut   a c t i v e l y .   E a rl y   de ve l o pm e n t s   o f   l o a f l ow   a na l y s i s   t e c h ni que s   f oc us i n o n   N e w t o n - R a ph s o m e t h o s t a rt e d   w i t h   t h e   de v e l o pm e n t   o f   t h e   f i r s t   e f f i c i e n t   s p a r s i t y - o r i e nt e i m p l e m e nt a t i o n   o f   N e w t o n - R a ph s o po w e r   f l ow   a l go ri t hm   by   T i nn e y   a n H a rt .   T h e r e   a r e   t w o   i m po r t a n t   f e a t u r e s   t o   b e   r e f e r r e a n e m p ha s i z e f o r   f ur t h e r   e vo l v e m e n t s ,   i . e .   r o b us t   c o n v e r ge n c e   a n c o m put a t i o na l   e ff i c i e n c y   [8].   T h e r e f o r e ,   N e w t o n - R a ph s o n   l o a d   f l ow   a n a l y s i s   m e t h o h a s   o b v i o us l y   b e c o m e   t h e   c e n t e r   o f   l oa f l o w   a l go r i t hm s   a s   m a n y   e n ha n c e m e nt s   ha v e   b e e n   f o r m e b a s e o n   i t   [9 - 1 5].   T h e   m a i di s a dv a n t a ge   o f   t he   N e w t o n - R a ph s o m e t h o i s   t h e   c o m put a t i o na l   c o m pl i c a t i o n   w h i c h   i s   t h e   n e c e s s i t y   fo r   f a c t o r i z i n a n up da t i n t h e   J a c ob i a n   m a t r i du ri n t h e   i t e ra t i v e   s o l ut i o n   p r o c e s s   [16].   O n e   o t h e   i s s ue s   i n   N e w t o n - R a p h s o m e t h o i s   t h e   fo r m a t i o n   a n upda t e   o J a c o b i a n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     59 9 - 60 5   600   m a t r i a n i t s   i n v e r s i o n   r e pe a t e dl y   fo r   e v e r y   i t e r a t i o n.   O n e   of   t h e   e nha n c e m e n t s   o n   N e w t o n - R a p h s o n   m e t h o i s   c o n s t a n t   J a c o b i a n   po w e r   f l ow   m e t h o ds   w h i c h   w e r e   de v e l o pe t o   i m pr o v e   a n e nha n c e   t h e   c o m put a t i o n a l   e ff i c i e n c y .   O n e   of   t h e   e xa m pl e s   i s   S t o t t   a n A l s a c ’s   F a s t - de c o upl e p ow e r   f l ow   a l go r i t h m   w hi c h   ha s   e m e r ge a s   w i d e l y - us e ge n e ra l   pu r po s e   a l go ri t hm   [17 1 8].   T h i s   pa pe p r e s e n t s   t h e   i m p r o v e N e w t o n - R a h ps o n   w i t h   S c hu r   Co m pl e m e n t   m e t h o ds   fo r   l o a f l ow   a n a l y s i s .   M o di f i c a t i o n   a n i m p r o v e m e n t   a r e   i m p l e m e nt e by   c o m b i n i n N e w t o n - R a ph s o n   m e t h o w i t h   S c h u r   Co m p l e m e n t   m e t h o ds .   M o r e o ve r ,   N e w t o n - R a ph s o n   m e t h o i s   m o di f i e by   h a v i n a   c o n s t a n t   J a c o b i a n   m a t r i x   t hr o ug h o ut   t h e   w h o l e   i t e ra t i v e   c o m put i n g   pr o c e s s   w h i c h   i s   s i m p l e r   a n h a s   f a s t e r   i n c r e a s i ng  c o m put a t i o n a l   e ff i c i e n c y   w h i l e   p r e s e r v i n t h e   a c c ur a c y   pr e c i s e l y .       2.   R ES EA R C H   M ET H O D     N e w t o n - R a ph s o a p p r o a c h   i n   l o a f l ow   a na l y s i s   i s   i m p r o v e d   t o   r e duc e   c o m put i n t i m e   a nd  m e m o r y   r e qui r e d .   I n   t h e   e nha n c e m e t h o d,   N e w t o n - R a ph s o n   us i n S c h u r   c o m pl e m e nt   m e t h o d,   di v i d i n t h e   J a c o b i a n   m a t r i i n t o   t w s e pa r a t e m a t r i c e s   w i t h   r e a s o n a b l e   c o m put a t i o n   t i m e   i s   b e l i e v e t o   h e l i n   a v o i di n g   di v e r ge n c e   o f   t h e   s o l ut i o n .   T h e   S c h u c o m pl e m e nt   t e c hni que   i s   a   p r o c e dur e   t o   e l i m i n a t e   t h e   i nt e ri o r   v a r i a b l e s   i n   e a c h   s ub do m a i n   a n de ri v e   a   gl ob a l ,   r e duc e i n   s i z e   a n l i n e a r   s y s t e m   i n v o l v i n o n l y   t h e   i nt e r f a c e   v a r i a b l e s .   S c h u m e t h o c a b e   us e t o   s e pa r a t e   t h e   u n k n o w n   v a ri a b l e s   i n   i n t e r f a c e   un k n o w n   v a r i a b l e s   a n s ub - do m a i n   i nt e rna l   unk n o w n   v a r i a b l e s   m e a n i n t ha t   t h e   o ff - di a go n a l   e ff e c t s   c a n   b e   r e duc e o r   e l i m i n a t e [19].   T h i s   a l go ri t hm   ha s   b e e n   a ppl i e s uc c e s s f ul l y   t o   r e duc e   c o m put a t i o n   t i m e   o f   l o a f l ow   i t e r a t i o n s ,   m e m o r y   r e qui r e a nd  c o n v e r ge n c e   s t ra t e gy .   T h e   m a t h e m a t i c a l   de t a i l   o f   N e w t o n - R a ph s o w i t h   S c hu r   Co m pl e m e nt   M e t h o i s   p r e s e nt e i n   t h i s   s e c t i o n .   T h e   m o di f i c a t i o n s   a r e   i t h e   J a c o b i a m a t ri x .         [         ]   (1)     w h e r e   A   =   J 1 ,   B   =   J 2 ,   C   =   J 3   a nd  D   =   J 4   J 1   ha s   t h e   o r de r   o f   (n     1)  ×   (n     1)  w h i l e   J 4   h a s   t h e   o r de r   of   (n     1   m ×   ( n       m ).   B o t h   J a n J 4   ha v e   t h e   s qua r e   di m e n s i o n   w h i c h   i s   i n v e rt i b l e .     [         ] [     ]   [     ]   (2)     S o l v i n ( 2 ) ,                   (3)                   (4)     E xp r e s s i n f r o m   ( 3 ) ,                            (5)     S ub s t i t ut i ng  ( 5 )   i n t o   ( 4 ) ,       [                  ]            (6)     R e a r ra n g i n g   ( 6 ) ,                                           (7)     E xp r e s s i n y   f r o m   ( 7 ) ,                                                                                                                   (8)     E xp r e s s i n y   f r o m   ( 4 ) ,                            (9)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Im pr ov e d   n e w t on - r aphs on  w i t s c hur   c om p l e m e nt   m e t hods   f or   l oad   f l ow   anal y s i s   ( L e T i e n   T ay )   601   S ub s t i t ut i ng  ( 9 )   i n t o   ( 3 ) ,            [                  ]       (10)     R e a r ra n g i n g   ( 10 ) ,                                           (11)     E xp r e s s i n f r o m   ( 11 ) ,                                                                                                                   (12)     F r o m   ( 2 ) ,     [     ]   [         ]     [     ]   (13)     By   r e fe r ri n g   t o   ( 8 )   a n ( 12 ) ,     [     ]   [                                                                                                             ] [     ]   (14)     T h e r e f o r e   by   c o m pa ri n g   ( 13 )   a nd  ( 14 ) ,             [                                                                                                             ]   (15)     E xp r e s s i n         i t e rm s   o f   X 1 ,   X 2 , Y 1   a n d   Y 2 ,             [                             ]   (16)     w h e r e                                   (17)                                   (18)                     (19)                     (20)     By   a ppl y i n g   t o   E qua t i o n   o f   N e w t o n - R a ph s o n,     [         ]   [                             ] [         ]   (21)     w h e r e                                   (22)                                   (23)     T h e   s t e ps   t a ke n   i n   N e w t o n - R a p h s o n   w i t h   S c h u r   Co m pl e m e n t   l o a f l ow   a n a l y s i s   m e t h o a r e   s i m pl i f i e i F i gu r e   1.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     59 9 - 60 5   602       F i gu r e   1 .   F l o w c h a r t   f o r   N e w t o n - R a ph s o w i t h   S c h u Co m pl e m e n t   m e t h o d         E qua t i o n s   f o r m e i n   po w e r   s y s t e m   a n a l y s i s   a r e   ge n e ra l l y   n onl i n e a r,   t hus   l i n e a ri z e J a c o b i a n   m a t r i x   i s   e m pl oy e t o   d e t e r m i n e   t h e   f i na l   s o l ut i o n s   by   i t e r a t i v e   m e t h o d.   G e n e r a l l y ,   J a c ob i a n   m a t ri i s   a   m a t ri of  f i r s t - o r de pa rt i a l   de r i v a t i v e s   of   e a c h   v e c t o r   f un c t i o n   c o m p r i s i n a t   l e a s t   2   o m o r e   v a r i a b l e s .   In  c o n v e n t i o na l   N e w t o n - R a ph s o n   m e t h o d,   J a c ob i a n   m a t ri i s   c o n s t r uc t e b y   t a ki n f i r s t - o rde pa r t i a l   di f f e r e n t i a t i o n s   o r e a l   po w e r s   a n r e a c t i o n   po w e r s   w i t h   r e s pe c t   t vo l t a ge   m a g n i t ude s   a n v o l t a ge   a n gl e s   [20] .   J a c ob i a n   m a t ri i s   upd a t e f o r   e v e r y   i t e ra t i o n   us i n t h e   v a l ue s   o b t a i n e f r o m   l a s t   i t e ra t i o n.   U s i n g   t h i s   a pp r o p r i a t e   a pp r o a c h ,   t h e   s o l ut i o n s   w i t h   m i s m a t c h e s   w h i c h   a r e   e qua l   t o   o r   l e s s   t h a n   t h e   r a nge   of   t h e   pr e - de f i n e e rr o r   c a n   o b t a i n   i n   t o   i t e ra t i o n s   r e ga r d l e s s   of   t h e   n u m b e r   o f   b us e s   i n   t h e   h a ndl e s y s t e m   i m pl y i n g   e xc e l l e n t   c o n v e r gi n g   c ha r a c t e r i s t i c s .   N o n e t h e l e s s ,   i n   a n - b us   s y s t e m   w i t a   s l a c n o de   a n m   P V   n o de s ,   J a c ob i a n   m a t r i i s   w i t h   a n   o rde r   o f   (2n      m ×   (2     m )   m e a ni n t h a t   t h e   d i m e n s i o n   o f   J a c ob i a n   m a t r i x   i n c r e a s e s   w i t h   t h e   n u m b e r   o f   s y s t e m   b us e s .   O t h e   o t h e r   ha n d ,   N e w t o n - R a ph s o w i t h   S c h u C o m pl e m e nt   m e t h o h a s   a   s i m p l e r   w a y   t o   e v a l ua t e   t h e   i n v e r s e   o J a c o b i a n   m a t r i a s   t h e   m a t r i i s   s e pa ra t e i n t o   m a i n   m a t r i xe s   w i t h   s m a l l e r   di m e n s i o n s   na m e l y   (n     1)  ×   ( n     1)  A ,   ( n     1)  ×   ( n       m B   ,   ( n       m ×   ( n     1)  a nd  ( n       m ×   ( n       m D .   T h e   i n v e r s e   of   J a c ob i a n   m a t ri i n v o l v e s   o n l y   t h e   c o m put a t i o n   o f   t h e   i n v e r s e   of   m a t ri A   a n m a t ri D   w h i c h   t h e o r e t i c a l l y   n e e ds   l e s s   t i m e   c o m pa r e t o   N e w t o n - R a ph s o n   m e t h o d,   b ut   t h i s   m e t h o t a ke s   l o n t i m e   r e qu i r e fo r   re - c a l c ul a t i n g   t h e   i n v e r s e   o f   J a c o b i a n   m a t r i f o r   e v e r y   i t e ra t i o n .       T o   s o l v e   t h i s   i s s ue ,   t h e   m e t h o ds   a r e   i m p r o v e us i n c o n s t a nt   J a c ob i a n   m a t r i t hr o ug h o ut   t h e   w h o l e   c o m put i n p r o c e s s   w h i c h   m e a n s   us i ng  J a c ob i a n   m a t r i c a l c ul a t e i n   t h e   f i r s t   i t e ra t i o n   f o r   t h e   fo l l ow i n g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Im pr ov e d   n e w t on - r aphs on  w i t s c hur   c om p l e m e nt   m e t hods   f or   l oad   f l ow   anal y s i s   ( L e T i e n   T ay )   603   i t e ra t i o n s   u nt i l   t h e   r e s ul t s   c o n v e r ge   [21 - 25].   It   i s   n o t   s u r p ri s i n t ha t   t h e   num b e r   o f   i t e ra t i o n s   i n c r e a s e s   a   l o t   c o m pa r e t o   us i n i t e ra t i v e l y   upda t e J a c ob i a n   m a t r i a s   t h e   c o n v e r gi n ra t e   de c r e a s e s .   H ow e ve r ,   b y   e l i m i na t i n t h e   t i m e - c o n s um i ng  p r o c e s s   of   r e pe a t e dl y   c a l c u l a t i n J a c o b i a n   m a t r i x,   t h e   c o m put a t i o n a l   s pe e i n c r e a s e s   s i g ni f i c a n t l y .           T h e   l o a f l ow   a n a l y s i s   us i n N e w t o n - R a ph s o n   a l go r i t hm   a n o t h e r   i m p r o v e d   m e t h o ds   b a s e o n   N e w t o n - R a ph s o m e t h o a r e   de ri v e a n t h e y   a r e :   1.   T h e   c o n v e n t i o n a l   N e w t o n - R a p h s o n   m e t h o d   2.   N e w t o n - R a ph s o w i t S c h u Co m pl e m e nt   m e t h o d   3.   N e w t o n - R a ph s o m e t h o us i n g   c o n s t a n t   J a c o b i a n   4.   N e w t o n - R a ph s o w i t S c h u Co m pl e m e nt   m e t h o us i ng  c o ns t a n t   J a c o b i a n   T h e s e   fo ur   a l go r i t h m s   a r e   a pp l i e t o   di f fe r e n t   s t a n d a r b us   s y s t e m s   t o   t e s t   a n a na l y s e s   t h e   r e l i a b i l i t y ,   a c c ur a c y ,   c o n v e r ge n c e   ra t e   a n d   a l s o   t h e   c o m put i n g   t i m e   c o m pa ra t i v e l y .   T h e r e   a r e   4   b us   s y s t e m s   us e i n   t h i s   r e s e a r c h,   i . e .   I E E E   14 - b us   s y s t e m ,   IE E E   30 - b us   s y s t e m ,   IE E E   57 - b us   s y s t e m   a n I E E E   118 - b us   s y s t e m .   T h e   pe r f o r m a n c e   a n e ff e c t i v e n e s s   of   t h e   a l go r i t hm s   b a s e o n   c r i t e r i a   s uc h   a s   c o n v e r gi n r a t e   de n o t e by   t h e   num b e o f   i t e ra t i o n s   a n d   c o m put i n g   t i m e   a r e   m e a s u r e a nd  a na l y z e d.       3.   R ES U LTS   A ND  A N A L Y S I S   T h e   f o ur   a l go ri t hm s   de s c r i b e i p r e v i o us   s e c t i o n   a r e   i m p l e m e nt e o f o ur   d i f fe r e nt   b us   s y s t e m s   t o   c o m pa r e   t h e   e f fe c t i ve n e s s   of   t h e s e   a pp r o a c h e s .   T h e   f o ur   di ff e r e n t   b us   s y s t e m s   a r e :   1.   IE E E   14 - b us   s y s t e m   c o n s i s t i n g   o f   ge n e ra t o r s   a nd  2 l i n e s   a n d   t ra n s f o r m e r s   2.   IE E E   30 - b us   s y s t e m   c o n s i s t i n g   o f   ge n e ra t o r s   a nd  4 l i n e s   a n d   t ra n s f o r m e r s   3.   IE E E   57 - b us   s y s t e m   c o n s i s t i n g   o f   ge n e ra t o r s   a nd  8 l i n e s   a n d   t ra n s f o r m e r s   4.   IE E E   118 - b us   s y s t e m   c o n s i s t i ng  o f   54  ge n e ra t o r   a n d   186   l i n e s   a n d   t ra n s f o r m e r s   T h e   l o a d   f l ow   a l go ri t hm s   a r e   r e p r e s e n t e d   by   us i n g   a b b r e v i a t i o n s   a s   f o l l ow s :   1.   N R   -   T h e   c o n v e n t i o na l   N e w t o n - R a ph s o m e t h o d   2.   N R S C   -   N e w t o n - R a p h s o n   w i t S c h u r   Co m pl e m e n t   m e t h o d   3.   N R c j   -   T h e   c o n v e n t i o na l   N e w t o n - R a ph s o m e t h o us i n g   c o n s t a n t   J a c o b i a n   4.   N R S Cc j   -   N e w t o n - R a p h s o n   w i t S c hu r   Co m pl e m e n t   m e t h o d   us i n g   c o n s t a nt   J a c o b i a n   T h e s e   a l go r i t h m s   a r e   i m pl e m e n t e o n   64 - b i t   l a pt o p,   O pe r a t i n S y s t e m   of   W i n do w s   8,   pr o c e s s o r   of  Int e l (R Co r e (T M i 5 - 3 337U   CP U   @   1. 80G H z ,   R a m   o f   4. 00  G B   (3. 89   G B   us a b l e ),   us i n M a t l a b   v e r s i o R 2011a .   E a c a l go r i t hm   i s   t e s t e o e a c b us   f o r   a t   l e a s t   5   t i m e s   t o   r e c o r t h e   c o m put i n t i m e .   T h i s   i s   t e n s u r e   t h e   r e s ul t a n t   c o m put i n t i m e   i s   a s   a c c ura t e   a s   po s s i b l e   by   t a ki n t h e   a v e r a ge   o f   t h e s e   s a m pl e s ,   T a v g.   T h e   r e s ul t s   a r e   t h e n   gra p hi c a l l y   a n a l y s e i n   di f f e r e n t   pe r s pe c t i v e s   t o   i de n t i fy   t h e   e xt e n t   o i m p r o ve m e n t s .   T h e   r e c o r de r e s ul t s   f o r   14 - ,   30 - ,   57 -   a n 11 8 - b us   s y s t e m s   a r e   p re s e n t a t i o n   i n   F i gu r e   f o r   t h e   c o m put a t i o n a l   t i m e   a n F i gu r e   3   f o r   t h e   i t e ra t i o n   num b e r,   r e s pe c t i v e l y .           F i gu r e   2 .   Co m pu t a t i o n a l   t i m e   f o r   a l go r i t hm s       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     59 9 - 60 5   604       F i gu r e   3 .   I t e ra t i o n u m b e r s   f o r   a l go ri t hm s       O n e   o f   t h e   i s s ue s   i n   N e w t o n - R a ph s o n   m e t h o i s   t h e   f o r m a t i o n   a n upda t e   o f   J a c ob i a n   m a t r i a n d   i t s   i n v e r s i o n   r e pe a t e dl y   fo r   e v e r y   i t e r a t i o n .   T h i s   i s s ue   c a us e s   l o n c o m put a t i o na l   t i m e   r e qui r e t o   ob t a i n   t h e   f i na l   s o l ut i o n .   B e s i de s   t a ki n m uc h   c o m put a t i o na l   t i m e ,   t h i s   a l s o   i n c r e a s e s   t h e   c o m pl e xi t y   a n b ur de n e t h e   c a l c ul a t i n g   p r o c e s s   pa r t i c u l a rl y   fo r   po w e r   s y s t e m s   w i t h   l a rg e   n u m b e r   o f   b us e s   a s   t h e   m e m o r y   r e qui r e m e n t s   a n c o m put i ng  t i m e   i n c r e a s e   w i t h   t h e   s i z e   o f   t h e   pow e r   s y s t e m .   M o r e o v e r ,   a l m o s t   i m m e di a t e   r e s ul t s   f r o s i m ul a t i o n s   a r e   r e qu i r e f o r   o n - l i n e   a pp l i c a t i o n s   t o   i de nt i fy   t h e   e xa c t   p r o b l e m s   du r i ng  f a u l t s   o c c urr e n c e .   N e w t o n - R a ph s o w i t h   S c h u Co m pl e m e nt   i n v o l v e s   t h e   i n v e rs i o n   o f   m a t r i xe s   w i t h   f e w e r   di m e n s i o n s   r e l a t i v e l y   a n t h e   i n v e r s e   o f   J a c ob i a n   c a b e   ob t a i n e di r e c t l y   us i n t h e   de ri v e fo r m u l a .   B e s i de s ,   c o n s t a n t   J a c ob i a m a t ri ha s   b e e n   a ppl i e i N R c j   a n d   N R S Cc j   m e t ho ds   w i t h o ut   m o di fy i n g   a n y   of   t h e   c o m put a t i o n a l   pr o c e dur e s   b ut   o n l y   r e pl a c i n t h e   i t e ra t i v e l y   upda t e J a c ob i a n   m a t r i w i t h   t h e   f i r s t   i t e ra t i o n   J a c o b i a n   m a t r i t hr o ugh o ut   t h e   w h o l e   a n a l y s i s .   T h e s e   t e c hni que s   h e l i s a v i n g   c o m put i n g   t i m e   w h i c h   i s   a   v e r y   c r uc i a l   i s s ue   e s pe c i a l l y   fo r   o n - l i n e   a pp l i c a t i o n s   by   e l i m i na t i n g   t h e   n e e o f   upd a t i ng  J a c o b i a n   m a t r i x .   N R S r e qui r e s   s l i g h t l y   l o n ge r   t i m e   a s   c o m pa r e t o   N R .   N e w t o n - R a ph s o n   a nd  i m p r o v e N e w t o n - R a ph s o n   m e t h o ds   w i t h   c o n s t a nt   J a c ob i a n   m a t r i x ,   N R c j   a n N R S Cc j   s h o w   v e r y   s a t i s fy i n r e s ul t s   w i t h   g r e a t   i m p r o v e m e n t s   i n   c o m put a t i o n a l   t i m e   w h i c h   i s   l e s s   t h a ha l f   of   t h e   t i m e   o f   N R   a nd  N R S r e s pe c t i v e l y   i n   m o s t   o f   t h e   b us   s y s t e m s .   N R S Cc j   h a s   s l i g h t l y   s h o r t e r   t i m e   t ha n   N R c j   fo r   b i gge b us   s y s t e m s .     N R   a n N R S t a ke   4 - n u m b e r s   of   i t e r a t i o n   t o   c o n ve r ge   a l t h o ug h   t h e   n u m b e r   o b u s e s   h a s   i n c r e a s e d.   N R   a n d   N R S h a v e   l e s s e r   n um b e r   o f   i t e ra t i o n s   m e a n i ng  t ha t   t h e   c o n v e r ge n c e   ra t e   i s   hi g h e r .   By   us i n c o n s t a n t   J a c o b i a n   m a t r i m o di f i c a t i o n s ,   i t   i s   e xpe c t e t o   h a v e   h i g h e r   num b e o f   i t e r a t i o n s .   B a s e o t h e   r e s ul t s   o b t a i n e d,   N R c j   a n d   N R S Cc j   n e e a dd i t i o n a l   3 - i t e r a t i o n s   t o   c o n v e r ge   f o r   t h e   f o ur   b us   s y s t e m s .       4.   C O N C LU S I O N     P ow e r   f l o w   a n a l y s i s   i s   c a rri e o ut   b y   i m pl e m e nt i ng  t h e   i m p r o v e N e w t o n - R a ph s o a l go ri t hm s   us i n f o ur   t y p e s   of   b us   s y s t e m s   v i a   M A T L A B .   T h e   a c c ura t e   v a l ue s   of   p ow e r   s y s t e m   pa r a m e t e r s   s uc h   a s   b us   vo l t a ge s   m a g n i t ude s   a n a n g l e s ,   a c t i v e   a n r e a c t i v e   pow e r ,   l i n e   f l ow s   a n l i n e   l o s s e s   h a v e   b e e n   s uc c e s s f ul l y   ob t a i n e d.   O n e   o f   t h e   i m p r o v i n g   a p p r o a c h e s   i s   c a rri e o ut   us i n g   c o n s t a nt   J a c o b i a n   m o di f i c a t i o n s   i n   t h e   c o n v e n t i o n a l   N e w t o n - R a p h s o n   m e t h o (N R a s   w e l l   a s   N e w t o n - R a ph s o n   w i t h   S c h u r   Co m pl e m e n t   m e t h o d.   By   r e pl a c i ng  o f   c o n s t a n t   J a c o b i a n   m a t ri x ,   t h e   f i r s t   i t e r a t i o o f   J a c ob i a n   m a t ri f o r m e us i ng  f l a t   s t a rt s   i s   us e t hr o ugh o ut   t h e   w h o l e   c o m put i n p r o c e s s   i n s t e a o f   upda t i ng  i t   f o r   e v e r y   i t e ra t i o n .   T hi s   h a s   s a v e up  m uc h   c o m put a t i o n a l   t i m e   a t   t h e   s a m e   t i m e   s i m pl i fy i n a n r e duc i ng  t h e   c o m put i n s t e ps .   W hi l e   fo r   N R S w h i c h   i s   e xpe c t e t h a v e   s h o r t e r   c o m put a t i o n a l   t i m e   h a s   a   di s a ppo i nt i n r e s ul t   o f   l o n ge r   t i m e   t a ke n   t h a n   N R   b ut   i t   ha s   t h e   s h o rt e s t   c o m put a t i o n a l   t i m e   w h e n   b e i n g   i m pl e m e nt e w i t h   c o n s t a n t   J a c o b i a n .   A s   a   c o n c l us i o n,   t h e   t r a d i t i o n a l   N e w t o n - R a ph s o n   l o a f l o w   a na l y s i s   m e t h o ha s   be e n   e f fe c t i ve l y   i m pr o v e a n r e v i s e t o   be   s i m pl e r   a n f a s t e r.   T h e s e   i m p r o v e m e n t s   ha v e   s o m e   p o s i t i v e   i n f l ue n c e s   o n   l o a f l ow   a n a l y s i s   e s pe c i a l l y   f o r   on - l i n e   a pp l i c a t i o n s .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Im pr ov e d   n e w t on - r aphs on  w i t s c hur   c om p l e m e nt   m e t hods   f or   l oad   f l ow   anal y s i s   ( L e T i e n   T ay )   605   A C K N O WL ED G E M EN TS     T h e   a ut h o r   w o ul l i ke   t o   t ha n U n i v e r s i t i   S a i n s   M a l a y s i a   (U S M fo r   p r o v i di n t h e   t e c hn i c a l   s uppo rt   a n f i na n c i a l   s up po r t   (B ri dg i n g - I n c e n t i v e   R e s e a r c G r a nt   3 0 4/ P E L E C T / 6 316442 i n   t h i s   p r o j e c t .       R EF ER EN C ES     [ 1]   T .   W i l d i ,   E l e c t r i c a l   M a c hi ne s ,   D r i v e s ,   a nd   P o w e r   S y s t e m s   S i x t h   E di t i o n ,”   P e a r s o P r e n t i c e   H a l l ,   pp .   706 ,   2006 .   [ 2]   N a v i G . ,   e t   a l . ,   I m pr ov e m e nt   v o l t a g e   S t a b i l i t y   a nd  L o a A bi l i t y   E nha nc e m e n t   by   C o nt i nua t i o P o w e r   F l o w   a n d   B i f ur c a t i o T h e o r y ,”   I ndo ne s i a J our na l   o f   E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   and  I n f or m at i c s   ( I J E E I ) ,   v ol .   1,   20 13 .     [ 3]   J .   W o o d   a nd  B .   F .   W o l l e nb e r g ,   P o w e r   G e ne r a t i o n ,   O pe r a t i o a nd  C o nt r o l ,”   2nd  e d. ,   N e w   Y o r k,   J o hn  W i l e y   &   S o ns ,   1996 .     [ 4]   D i e g o   I .   a nd   J o r g e   C . ,   E v a l ua t i o o f   t he   F o r w a r d - B a c kw a r S w e e L o a F l o w   M e t ho us i ng   t h e   C o nt r a c t i o M a p pi ng   P r i nc i p l e ,”   I n t e r na t i ona l   J ou r na l   o f   E l e c t r i c a l   and   C om p u t e r   E n gi ne e r i n g ,   v o l .   6 ,   pp .   322 9 - 3237 2016   [ 5]   W .   H ubb i ,   T he   m i s m a t c t he o r e m   a nd  s e c o nd - o r de r   l o a d - f l o w   a l g o r i t hm s ,”   G e ne r at i on ,   T r a ns m i s s i o and   D i s t r i bu t i o n,   I E E   P r oc e e di ng s   C v o l .   1 32 ,   p p.   18 9 - 194 ,   1 985 .   [ 6]   J .   D .   G l o v e r ,   e t   a l . ,   P o w e r   S y s t e m   A na l y s i s   &   D e s i g n,   S I   V e r s i o n ,   C e ng a g e   L e a r n i ng 201 1 .   [ 7]   L .   R oy   a nd  T .   A .   M o ha m m e d,   C o m pa r a t i v e   s t udy   o f   t w o   i t e r a t i v e   s c he m e s   a pp l i e d   t o   de c o upl e l o a f l o w   m e t ho ds ,”   E ne r g y   M ana ge m e nt   and  P ow e r   D e l i v e r y ,   1 995 .   P r oc e e di ngs   o f   E M P D   ' 95. ,   1 995  I n t e r na t i o nal   C onf e r e nc e   on v o l .   1 ,   pp .   2 77 - 282 ,   1995 .   [ 8]   W .   F .   T i nne y   a nd  C .   E .   H a r t ,   P o w e r   F l o w   S o l ut i o b y   N e w t o n ' s   M e t ho d ,”   I E E E   T r ans ac t i o ns   on  P ow e r   A ppar at u s   and   Sy s t e m s v o l .   P A S - 86,   p p.   14 49 - 1467 ,   196 7.   [ 9]   F .   M i l a no ,   C o nt i nuo us   N e w t o n ' s   M e t ho f o r   P o w e r   F l o w   A na l y s i s ,”   P ow e r   Sy s t e m s ,   I E E E   T r a ns a c t i on s   on v o l .   24 ,   pp .   50 - 57 2009 .   [ 10]   R .   S .   S a l g a do   a nd  L .   V .   B a r bo z a ,   C o r r e c t i v e   L o a A dj us t m e nt s   f or   U ns o l v a bl e   P o w e r   F l o w s ,”   P ow e r   and  E ne r gy   E ngi ne e r i n C onf e r e nc e   ( A P P E E C ) ,   2012  A s i a - P ac i f i c ,   pp .   1 - 4 M a r   201 2 .   [ 11]   P .   J .   L a g a c e ,   e t   a l . ,   I m pr ov i ng   po w e r   f l o w   c o nv e r g e nc e   b y   N e w t o R a phs o w i t a   L e v e nbe r g - M a r qu a r d t   m e t ho d ,”   P ow e r   and  E ne r gy   So c i e t y   G e ne r al   M e e t i ng  -   C on v e r s i o and  D e l i v e r y   of   E l e c t r i c a l   E ne r gy   i t he   21s C e nt ur y ,   2008   I E E E ,   p p.   1 - 6 ,   J ul   2 008 .   [ 12]   Y .   H ui ,   e t   a l . ,   N e w t o n - R a phs o o po w e r   f l o w   a l go r i t hm   a n B r o y de M e t ho i t he   d i s t r i bu t i o s y s t e m ,”   P ow e r   and  E ne r gy   C on f e r e nc e ,   2 008 .   P E C on   20 08.   I E E E   2nd   I nt e r na t i on al p p.   16 13 - 1618 D e c   20 08 .   [ 13]   Y .   Y ub i n ,   e t   a l . ,   T he   e f f e c t   o f   s m a l l   i m pe d a nc e   b r a nc he s   o t he   c onv e r g e nc e   o f   t he   N e w t o R a p hs o po w e r   f l o w ,”   E l e c t r i c   U t i l i t y   D e r e gul at i on  a nd  R e s t r uc t ur i ng  and  P ow e r   T e c hnol og i e s ,   2 008 .   D R P T   2008.   T hi r I n t e r na t i ona l   C onf e r e nc e   on pp .   1141 - 11 46 A pr   2008   [ 14]   D .   J J i a o ,   e t   a l . ,   C o nv e r g e nc e   r e g i o ns   o f   N e w t o m e t ho i po w e r   f l o w   s t ud i e s :   N um e r i c a l   s t ud i e s ,”   C i r c u i t s   and   Sy s t e m s   ( I SC A S) ,   2013   I E E E   I n t e r na t i o na l   S y m po s i um   on pp .   1532 - 1535 M a y   2013 .   [ 15]   Y .   Y ub i n ,   e t   a l . ,   A   i m pr o v e N e w t o po w e r   f l o w   i r e c t a ng ul a r   f o r m   f o r   s y s t e m s   w i t s m a l l   i m pe da nc e   br a nc he s ,”   P ow e r   E l e c t r o ni c s   and   I n t e l l i ge nt   T r ans por t a t i o S y s t e m   ( P E I T S) ,   200 2n I nt e r nat i on al   C on f e r e nc e   on pp .   10 - 14 D e c   20 09 .   [ 16]   S .   K a m e l ,   e t   a l . ,   I m pr ov e N R   C ur r e n t   I nj e c t i o L o a F l o w   U s i n g   P o w e r   M i s m a t c R e pr e s e n t a t i o o f   P V   B us ,”   E l e c t r i c al   P ow e r   and   E ne r g y   Sy s t e m s v o l .   5 3,   pp .   64 - 68 2013   [ 17]   B .   S t o t t   a nd  O .   A l s a c ,   F a s t   D e c o upl e L o a F l o w .   P o w e r   A ppa r a t u s   a nd  S y s t e m s ,   I E E E   T r ans a c t i on s   on ,   v o l .   P A S - 93 ,   pp .   859 - 869 197 4 .   [ 18]   P .   R .   B i j w e   a nd   M .   S .   K e l a pu r e N o ndi v e r g e n t   F a s t   P o w e r   F l o w   M e t ho ds ,”   I E E E   T r ans ac t i o ns   o P ow e r   Sy s t e m s v o l .   18,   p p.   63 3 - 638 2 003   [ 19]   A .   A .   A hm e d   a nd  N .   C r i s t i a n,   S i m u l a t i o A ppr o a c t o   I m pr ov e   P o w e r   A na l y s i s   N e t w o r f o r   I nt e g r a t i o o f   D i s t r i bu t e G e n e r a t i o n ,”   20 14  I n t e r na t i o na l   C o nf e r e nc e   and  E x po s i t i o on  E l e c t r i c al   an P ow e r   E ngi ne e r i ng pp .   019 - 024 2014 .   [ 20]   P o o j a   S .   a nd   N a v de e B . ,   C o m pu t a t i o na l   A na l y s i s   o f   I E E E   57  B us   S y s t e m   u s i ng   N - R   M e t ho d ,”   I n t e r na t i ona l   J our nal   o f   A dv a nc e R e s e ar c i n   E l e c t r i c a l ,   E l e c t r on i c s   a nd   I n s t r u m e nt at i on   E ng i ne e r i ng ,   pp .   8859 - 88 69 2 015 .   [ 21]   L.   T .   T a y ,   e t   a l . ,   S o m e   N e w   F i nd i ng s   o G a us s - S e i d e l   T e c hni q ue   f o r   L o a F l o w   A na l y s i s ,”   L e c t u r e   N ot e s   i n   E l e c t r i c al   E ng i ne e r i ng ,   v o l .   2 91,   2 014 .     [ 22]   C .   K .   S e ng ,   e t   a l . ,   L o a F l o w   A na l y s i s   U s i ng   I m pr ov e N e w t o n - R a phs o M e t ho d ,”   A pp l i e M e c han i c s   and   M a t e r i a l s ,   v o l .   79 3,   pp .   494 - 49 9 20 15 .   [ 23]   C .   K .   S e ng ,   e t   a l . ,   L o a F l o w   A na l y s i s   U s i ng   S e c o nd - o r de r   L oa F l o w   M e t ho ds   a nd  I t s   V a r i a t i o ns ,   A pp l i e M e c han i c s   a nd   M at e r i al s ,   v o l .   785 ,   pp .   73 - 77 20 15 .   [ 24]   L T .   T a y   a nd   K .   S .   C hi e ng ,   P e r f o r m a nc e   S t udy   o f   L o a F l o w   A l g o r i t hm s   i W e l l   a nd  I l l - C o ndi t i o ne S y s t e m s ,”   I ndo ne s i an   J our nal   o f   E l e c t r i c a l   E ngi ne e r i ng   and   C om p ut e r   Sc i e nc e ,   v o l .   8 ,   pp .   4 14 - 419 N o v   2017 .     [ 25]   T a y   L .   T . e t   a l . ,   I m pr ov e N e w t o n - R a phs o w i t L e v e nbe r g - M a r qua r d t   M e t ho ds   f o r   L o a F l o w   A na l y s i s ,   J our nal   o f   F und am e nt a l   A p pl i e S c i e nc e s v o l .   10 ,   pp .   4 60 - 471 20 18 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.