I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m b e r   201 9 ,   pp.   6 92 ~ 700   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 6 .i 2 . pp6 92 - 700             692       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i ae s c or e . c om / j our na l s / i nde x . php/ i j e e c s   Pr o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o n   f o r   a   c l a ss o f   6 - h y p e r c h a o t i c   L o r e n z   s y st e m       A h m e d   S .   A l - O b e i d i S aad   F aw z i   A L - A z z aw i   D e pa r t m e n t   o f   M a t he m a t i c s ,   C o l l e g e   o f   C o m put e r   S c i e nc e s   a nd   M a t he m a t i c s ,   U ni v e r s i t y   o f   M o s ul ,   I r a q         A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d   J a 2,   20 19   R e v i s e M a y   3 ,   201 9   A c c e pt e M a y   25 ,   20 19       T hi s   pa p e r   i s   c o nc e r ne w i t t h e   p r o j e c t i v e   s y nc hr o ni z a t i o pr o b l e m   f o r   a   c l a s s   o f   6 - D   no nl i ne a r   dy na m i c a l   s y s t e m   w hi c i s   c a l l e d   hy pe r c ha o t i c   L o r e nz   s y s t e m   w he t he   pa r a m e t e r s   o f   t hi s   s y s t e m   a r e   unk no w n.   B a s e d   o s c a l i ng   f a c t o r         w hi c be l o ng   t o   a bo v e   s t r a t e gy ,   f o ur   c o nt r o l l e r   a r e   pr o p o s e t o   a c hi e v e   pr o j e c t i v e   s y n c hr o ni z a t i o be t w e e t w o   i de n t i c a l   s y s t e m s   v i a   us i ng   L y a punov' s   di r e c t   m e t ho a nd  no nl i n e a r   c o nt r o l   s t r a t e g y .   T he s e   s c a l i ng   f a c t o r         t a ke n   t h e   v a l ue s                   a nd   2     f o r   e a c c o nt r o l   r e s pe c t i v e l y .   num e r i c a l   s i m ul a t i o ns   a r e   us e t o   de m o ns t r a t e   t he   e f f i c i e nc y   o f   t he   pr o po s e d   c o nt r o l l e r .   Ke y w or d s :   6 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   L y a pun o v ' s   s e c o n m e t h o   N o n l i n e a c o n t r o l   s t r a t e gy     P r o j e c t i ve   s y n c hr o n i z a t i o n   C opy r i gh t   ©   201 9   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S a a d   F a w z i   A L - A z z a w i ,   D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s ,   Co l l e ge   of   Co m put e S c i e n c e s   a nd  M a t h e m a t i c s ,   U n i v e r s i t y   of   M o s ul I r a q .   E m a i l :   s a a d _f a w z i 78@ y a h o o . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N     Cha o s   s y n c h r o n i z a t i o i s   a n   i m po r t a n t   t o pi c   o f   n o n l i n e a r   dy n a m i c a l   s y s t e m s   a n d   h a v e   g r e a t   s i g n i f i c a n c e   i n   t h e   a ppl i c a t i o n   o f   c h a o s   s uc h   a s   p h y s i c s ,   s e c ur e   c o m m uni c a t i o n,   c o n t r o l   t h e o r y ,   e t c   [1 - 3].   T h e r e   a r e   m a n y   ki n ds   o f   s y n c h r o ni z a t i o n   p h e n o m e na ,   f o r   e xa m p l e ,   c o m pl e t e / f ul l   s y n c hr o ni z a t i o n   (CS ) ,   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o n   (A S ),   ge n e ra l i z e s y n c hr o ni z a t i o (G S ),   l a s y n c hr o n i z a t i o n,   p r o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o (P S ),   ge n e r a l i z e p r o j e c t i v e   s y n c hr o ni z a t i o (G P S )   [4 ,   5 ].   T h e   pr oj e c t i ve   s y n c h r o n i z a t i on   a n g e n e r a l i z e d   pr oj e c t i ve   s y n c h r o n i z a t i o n   a r e   ba s e on   n o n z e r o   c o n s t a nt       (s c a l i ng  f a c t o r a nd  c on s t a n t   s c a l i n g   m a t r i x      r e s p e c t i ve l y ,   t h e r e for e ,   pr oj e c t i ve   s y n c h r o n i z a t i on   i n c l u d e s   t h r e e   s t r a t e gi e s :   fu l l   s y n c h r o n i z a t i o n ,   a n t i - s y n c h r o n i z a t i o n   a n h y br i s y n c h r o n i z a t i on   a r e   s pe c i a l   c a s e s   w h e r e   t h e   s c a l i n fa c t o r   =     =        a n =           r e s p e c t i ve l y   [ 6 - 9 ].     Cha o t i c   s y s t e m   ha s   b e c o m e   a n   i m po r t a n t   s ub j e c t   i n   s t udy   of   be h a v i o r s   o f   d y n a m i c a l   s y s t e m , s   [10 - 13].   B ut   t h i s   s y s t e m   ha s   c o n t a i n s   o n e   po s i t i v e   L y a pun o v   e xpo n e nt   o n l y   w h i l e   h y pe r c ha o t i c   s y s t e m   h a s   m o r e   t h a o n e   po s i t i v e   L y a pun o v   e xpo n e n t I n   s e c ur e   c o m m u ni c a t i o n ,   m e s s a ge s   w h i c h   s e nt   by   s uc h   s i m p l e   c ha o t i c   s y s t e m s   a r e   n o t   a l w a y s   s a f e   [14].   S o ,   i n   o r de r   t o   o ve r c o m e   t hi s   p r o b l e m   i t   s h o ul b e   us e   h i g h e r - di m e n s i o n a l   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m s ,   t h e   h y pe r c h a o t i c   m a y   be   m o r e   us e f u l   i s o m e   f i e l ds   s uc h   a s   s e c ur e   c o m m u n i c a t i o [15,   16] .   S o ,   i t ' s   n e e de t o   p r o po s e   h i g d i m e n s i o n a l   no n l i n e a dy n a m i c a l   s y s t e m s ,   t h e s e   s y s t e m   a r e   c h a ra c t e ri z e d   a s   a   c ha o t i c   s y s t e m   w i t m o r e   t ha o n e   po s i t i v e   L y pun o v   e xp o n e n t ,   a n d   ha v e   m o r e   c o m pl e a n ri c h e r   dy n a m i c a l   b e h a v i o r s   t h a c h a o t i c   s y s t e m .   H i s t o r i c a l ,   R ö s s l e r   s y s t e m   i s   t h e   f i r s t   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m s   w h i c d i s c ov e r   i 1979 ,   S i n c e   t h e n,   m a n y   h y pe r c ha o t i c   s y s t e m s   h a v e   b e e n   d i s c ov e r   [1 7 - 22]   s uc a s   h y pe r c h a o t i c   L i s y s t e m ,   h y pe r c h a o t i c   C h e n   s y s t e m ,   M odi f i e h y pe r c h a o t i c   P a n   s y s t e m ,   a s   w e l l   a s   t o   pr o po s e   a   5 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   s uc h   a s   A   n o v e l   5 - D   h y pe r c ha o t i c   L o r e nz   s y s t e m   (2014),   a   n o v e l   h y pe r j e r s y s t e m   w i t t w o   n o n l i n e a r i t i e s .   Cu rr e nt l y ,   a   n o v e l   6 - D   h y pe r c h a o t i c   L o r e nz   i s   di s c o ve by   Y a n g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       P r oj e c t i v e   s y nc hr oni z at i on   f or   a   c l as s   of   6 - D   hy pe r c haot i c   L or e nz   s y s t e m   ( A hm e d   S.   A l - O b e i d i )   693   w h i c c o n t a i n s   f o ur   po s i t i v e   L y a pun o v   E xpo n e nt s   [2 3,   24] .     T h e r e   a r e   m a n y   w o r ks   de a l s   w i t h   s y n c hr o ni z a t i o p h e n o m e na   f o v a ri o us   di f f e r e n t   di m e n s i o n o n l i n e a r   dy n a m i c a l   s y s t e m s   (3 - D ,   4 - D   a n d   5 - D a n d   a   f e w   r e s e a r c h e r s   c o n s i de s y s t e m   w i t s i x   d i m e n s i o n .   T h i s   r e a s o n,   m o t i v a t e us   t o   a c hi e v e   pr o j e c t i ve   s y n c hr o n i z a t i o n   b e t w e e n   t w o   i de n t i c a l   6 - D   h y pe r c h a o t i c   v i a   n o n l i n e a r   c o nt r o l   s t ra t e gy .       2.   S TS TEM   D ES C R I P TI O N   T h e   L o r e n z   s y s t e m   i s   t h e   f i r s t   3 - D   c h a o t i c   s y s t e m   w h i c h   di s c ov e r   i n   1963 .   L a t e r ,   m a n y   s y s t e m   c o n s t r uc t   f r o m   t hi s   o r i g i na l   s y s t e m   i n t o   a   4 - D   a nd  5 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m s   by   i n t r o duc i n g   a   l i n e a f e e d b a c k   c o n t r o l l e r.   I 2015 ,   Y a n g   c o n s t r uc t e a   6 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   c o n s i s t s   o f   fo ur t e e t e r m s   i n c l u di n g   o nl y   t hr e e   qua d ra t i c   t e rm s   a n ha v e   fo ur   po s i t i v e   L y a pun o v   E xpo n e nt s           =                =                 =                 =            ,   a n d   t w o   n e ga t i v e   L y a pun o v   E xpo n e n t s           =                   =               .   T h e   6 - D   s y s t e m   w h i c h   i s   de s c ri b e by   t h e   f o l l ow i n m a t h e m a t i c a l   f o r m   [ 24 ,   25] :     {                 ̇   =   (           )                             ̇   =                               ̇   =                                                         ̇   =                                                         ̇   =                                                                       ̇   =                                                             (1)     w h e r e                           a nd        a r e   c o n s t a nt .   T h e   L o r e n z   s y s t e m   ha s   a   h y pe r c h a o t i c   a t t r a c t o r   w h e   =        =       =        =   ,     =       ,     =     a nd      =   .   F i g u r e   1( a a n d   1 (b s h o w   t h e   3 - D   a t t ra c t o o f   t h e   s y s t e m   (1) .         (a )     (b )   F i g u r e   1 .   B e ha v i o r   o f   s y s t e m   a t   ( a )   3 - a t t r a c t o r   i t h e     (                     )   s p a c e ;     (b 3 - a t t ra c t o r   i t h e     (                     )   s pa c e       3.   G EN ER A L   P R O JEC TI V E   S Y N C H R O N I ZA TI O N   S C H EM E   T o   be gi n   w i t h ,   t h e   de f i n i t i o n   o f   pr o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o us e i n   t hi s   pa pe r   i s   gi v e n   a s   F o r   t w n o n l i n e a r   dy n a m i c a l   s y s t e m s :         ̇ =     (   )         (2)       ̇ =     (   )     (       )      (3)     w h e r e       = (                       )       = (                       )           a r e   s t a t e   v a r i a b l e s   of   t h e   s y s t e m   (2)  a nd  s y s t e m   (3),   r e s pe c t i v e l y ,                               ,         =                 ,       (       )    i s   t h e   n o nl i n e a c o n t r o l   v e c t o r ,   s u ppo s e   t h a t   s y s t e m   (2)  i s   t h e   dr i v e   s y s t e m ,   s y s t e m   (3)  i s   t h e   r e s po n s e   s y s t e m .   T h e   r e s po n s e   s y s t e m   a n d r i v e   s y s t e m   a r e   s a i t o   b e   c h a o s   s y n c hr o n i z e o r   (p r o j e c t i v e s y n c h r o ni z e i f     t h e r e   e xi s t s   a   n o n z e r o   c o n s t a n t        w h i c h   i s   c a l l e s c a l i n g   f a c t o r   f o r   p r o j e c t i v e   s y n c h r o ni z a t i o s uc t ha t       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     69 2   -   700   694                                       =         4.   A P P LI C A TI O N S   O F   TH P R O JEC TI V E   S Y N C H R O N I ZA TI O N   S C H E M O N   6 - H Y P ER C H A O TI C   S Y S T EM   In  t hi s   s e c t i o n,   w e   s t udy   a n   e n g i n e e r i ng  a pp l i c a t i o o f   t he   6 - L o r e nz   h y pe r c ha o t i c   s y s t e m   v i a .   n o n l i n e a r   c h a o s   s y n c hr o ni z a t i o n   o f   t w o   i de n t i c a l   o f   L o r e nz   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   w i t u n k n o w n   pa ra m e t e r s .   A c c o r di n t o   t h e   a b ov e   d e f i n i t i o n ,   a s s um e   t h a t   t h e   s y s t e m   (1)  b e   t h e   dr i v e   s y s t e m   a n   r e s po n s e   s y s t e m s   a r e   gi v e n   a s   t h e   f o l l ow i n f o r m :     {                 ̇   =   (           )                                   ̇   =                                     ̇   =                                                               ̇   =                                                               ̇   =                                                                             ̇   =                                                                   (4)     w h e r e       =                                            i s   t h e   n o n l i n e a r   c o nt r o l l e t o   b e   de s i g n e d.     4. 1 .     D e s i gn   C o n tr o l l e r s   at     S c al i n F ac to r           =     T h e   pr o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o n   e rr o r   dy n a m i c s   b e t w e e n   t h e   6 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   (1)  a n s y s t e m   (4)  w h e n       =         i s   de f i n e d   a s       =                   =                           (5)     T h e   e rr o r   dy n a m i c s   i s   c a l c ul a t e a s   t h e   f o l l o w i n g:       {                 ̇   =   (           )                                                                                           ̇   =                                                         ̇   =                                                                                   ̇   =                                                                                 ̇   =                                                                                                                                   ̇   =                                                                                                                         (6)     Th e o r e m   1.   F o t h e   e rr o dy n a m i c s   s y s t e m   (6)  w i t h   n o n l i n e a c o n t r o l       =                                            s uc h   t h a t       {                   =   (       )                                                                                       =                                                                                       =                                                                                                                   =                                                     =                                                                                                         =                                                                                                                (7)     T h e t h e   s y s t e m   (6)   c a n   b e   c o n t r o l l e i . e . ,   s y s t e m     (4)   f o l l ow e t o   s y s t e m   (1).         P r oof.   E rr o dy n a m i c s   s y s t e m   (6)  w i t c o n t r o l l e (7)   b e c o m e     {                 ̇   =                                                                                                                         ̇   =               (       )                                   ̇   =                                                                                                                         ̇   =                                                                                                                                         ̇   =   (       )                                                                                                               ̇   =                                                                                                                                               (8)     T h e   L y a pun o v   f un c t i o n   i s   de f i n e a s         (   ) =                                                   =                                                  (9)   D i f fe r e n t i a t i n g   (   )   a l o n g   t h e   e rr o dy n a m i c s   (6) ,   w e   ob t a i     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       P r oj e c t i v e   s y nc hr oni z at i on   f or   a   c l as s   of   6 - D   hy pe r c haot i c   L or e nz   s y s t e m   ( A hm e d   S.   A l - O b e i d i )   695     ̇ (   ) =       ̇           ̇           ̇           ̇           ̇           ̇     (10)   ̇ (   ) =                                                        =              ,             =       (                       )     (11)     So           T h e r e f o r e ,   ̇ (   )     A c c o r di n g   t o   t h e   L y a pun o v ' s   di r e c t   m e t ho d,   t h e   n o n l i n e a r   c o nt r o l l e r   i s   a c hi e v e d.       4. 2 .     D e s i gn   C o n tr o l l e r s   at     S c al i n F ac to r             =       T h e   pr o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o n   e rr o r   dy n a m i c s   b e t w e e n   t h e   6 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   (1)  a n s y s t e m   (4)  w h e n         =        i s   de f i n e d   a s       =                                         =                               (12)     T h e   e rr o r   dy n a m i c s   i s   c a l c ul a t e a s   t h e   f o l l o w i n g:       {                 ̇   =   (           )                                                                                               ̇   =                                                           ̇   =                                                                   ̇   =                                                                                   ̇   =                                                                                                                                     ̇   =                                                                                                                                         (13)     Th e o r e m   2.   T h e   a b o ve   e rr o dy n a m i c s   s y s t e m   w i t c o n t r o l l e r          s uc t ha t       {                   =                                                 =                                               =                                                 =                                                               =       (       )                                                         =                                                                                                           (14)     T h e t h e   s y s t e m   (13)   c a n   b e   c o n t r o l l e d .     P r oof.   E rr o s y s t e m   (13)   w i t h   c o n t r o l l e (14)   b e c o m e     {                 ̇   =   (       )                                                     ̇   =                                                                         ̇   =                                                                                           ̇   =                                                                                                           ̇   =                                                                                                                                                 ̇   =                                                                                                                                               (15)     D i f fe r e n t i a t i n g   (   )   a l o n g   t h e   e rr o dy n a m i c s   (13 ),   w e   ob t a i n         ̇ (   ) =                                                        =                      s o ,   ̇ (   )       ,   b a s e o t h e   L y a pun o v ' s   di r e c t   m e t h o d,   t h e   c o nt r o l l e i s   pe r f o r m e d.          4. 3 .   D e s i gn   C o n tr o l l e r s   at     S c a l i n g   F ac to r         =       T h e   pr o j e c t i ve   s y n c h r o ni z a t i o n   e rr o r   dy n a m i c s   be t w e e n   t h e   6 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   (1)  a nd  s y s t e m   (4)  w h e n   =       i s   de f i n e a s       =                       =                             (16)     T h e   e rr o r   dy n a m i c s   i s   c a l c ul a t e a s   t h e   f o l l o w i n g:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     69 2   -   700   696   {                 ̇   =   (           )                                                                                                                 ̇   =                                                                            ̇   =                                                                                                                       ̇   =                                                                                                                                       ̇   =                                                                                                                                                                       ̇   =                                                                                                                                                                               (17)     Th e o r e m   3.   F o t h e   e rr o dy n a m i c s   s y s t e m   (17)  w i t h   n o n l i n e a r   c o n t r o l       =            s uc t ha t     {                   =                                                                                     =                                                                    =                                                                                                                           =                                                                                                                                         =                                                                                                                                                 =                                                                                                                                                                     ( 18)     T h e t h e   s y s t e m   (17)   c a n   b e   c o n t r o l l e i . e . ,   s y s t e m   (18)   f o l l ow e t o   s y s t e m   (1).     P r oof.   T h e   e rr o r   dy n a m i c s   s y s t e m   (19)  w i t c o n t r o l l e (20)   b e c o m e     {                 ̇   =           (       )                                                                                 ̇   = (       )             (       )                                             ̇   =                                   (           )                                                                                       ̇   =                                                                                                                                                           ̇   =   (       )                                                                                                                                                             ̇   =                                                                                                                                                                                           (19)     D i f fe r e n t i a t i n g   (   )   a l o n g   t h e   e rr o dy n a m i c s   (17 ),   w e   ob t a i n     ̇ (   ) =                                                            T h e r e f o r e ,   ̇ (   )     ,   t h e   c o nt r o l l e i s   pe r f o rm e d.       4. 4 .     D e s i gn   C o n tr o l l e r s   at     S c al i n F ac to r             =     T h e   pr o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o n   e rr o r   dy n a m i c s   b e t w e e n   t h e   6 - D   h y pe r c h a o t i c   s y s t e m   (1)  a n s y s t e m   (4)  w h e n       =     i s   de f i n e a s       =                                           =                                   (20)     T h e   e rr o r   dy n a m i c s   i s   c a l c ul a t e a s   t h e   f o l l o w i n g:       {                 ̇   =   (           )                                                                                                                                                             ̇   =                                                                                                   ̇   =                                                                                                                             ̇   =                                                                                                                             ̇   =                                                                                                                                                                                                       ̇   =                                                                                                                                                                                                                   (21)     Th e o r e m   4.   F o t h e   e rr o dy n a m i c s   s y s t e m   (21)  w i t h   n o n l i n e a r   c o n t r o l     =                                            s uc h   t h a t     {                   =                                                                             =                                                                 =                                                                                 =                                                                                                       =                                                                                                                                   =                                                                                                                                          (22)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       P r oj e c t i v e   s y nc hr oni z at i on   f or   a   c l as s   of   6 - D   hy pe r c haot i c   L or e nz   s y s t e m   ( A hm e d   S.   A l - O b e i d i )   697   T h e t h s y s t e m   (21)   c a n   b e   c o n t r o l l e d .       P r oof .   T h e   e rr o dy n a m i c s   s y s t e m   (21)   w i t h   c o n t r o l l e (22)   b e c o m e     {                 ̇   =           (       )                                                                                     ̇   = (       )                       (       )                                         ̇   =                                                                                                                               ̇   =                                                                                                                                           ̇   =   (       )                                                                                                                                                                           ̇   =                                                                                                                                                                                                                           (23)                                                                                                                                                         D i f fe r e n t i a t i n g   (   )   a l o n g   t h e   e rr o dy n a m i c s   (21 ),   w e   ob t a i n     o f   t h e   L y a pun o v   f un c t i o n   (   )   a s       ̇ (   ) =                                                              T h e r e f o r e ,   ̇ (   )   i s   n e ga t i v e   de f i n i t e .   T h e   n o nl i n e a r   c o nt r o l l e i s   pe r f o r m e d.       4. 5 .     N u m e r i c al   S i m u l ati o n     F o r   s i m ul a t i o n,   t h e   M A T L A B   i s   us e t o   s o l v e   t h e   di f fe r e nt i a l   e qua t i o n   o f     c o n t r o l l e e rr o r   d y n a m i c a l   s y s t e m   (6),   s y s t e m   (15)  a n d   s y s t e m   (19)  b a s e o fo ur t h - o r de R u n ge - K ut t a   s c h e m e   w i t t i m e   s t e           a n d   t h e   a n d   t h e   i ni t i a l   v a l ue s   o f   t h e   d ri v e   s y s t e m   a n d   t h e   r e s po n s e   s y s t e m   a r e   f o l l ow i n (                                  )   a n d   (                                    )   r e s pe c t i v e l y .     W e   c h o o s e   t h e   p a ra m e t e r s     =        =       =        =   ,     =       ,     =     a nd      =       F o r   s c al i n g   fa c to r       =   .   F i gu r e   2   s h o w   t h e   c o m pl e t e / f ul l   s y n c hr o ni z a t i o n   o f   t h e   h y pe r c h a o t i c   L o r e n z   s y s t e m   (1)  a nd  s y s t e m   (4)  w i t c o n t r o l   ( 7).       F o r   s c al i n g   fa c to r         =     .   F i gu r e   s h o w   t h e   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o of   t h e   h y pe r c h a o t i c   L o r e n z   s y s t e m   (1)  a n s y s t e m   (4)  w i t c o n t r o l   (14) .       F o r   s c al i n g   fa c to r         =     .   F i gu r e   s h o w   t h e   h y b r i s y n c hr o n i z a t i o n   o f   t h e   h y pe r c ha o t i c   L o r e nz   s y s t e m   (1)  a nd  s y s t e m   (4)  w i t c o n t r o l   ( 18).       F o r   s c al i n g   fa c to r         =   .   F i gu r e   s h o w   t h e   p r o j e c t i v e   s y n c hr o n i z a t i o o f   t h e   h y pe r c ha o t i c   L o r e nz   s y s t e m   (1)  a nd  s y s t e m   (4)  w i t c o n t r o l   ( 22).             F i gu r e   2 .   T h e   s t a t e   v a r i a b l e s   w i t c o n t r o l   (7)   a t   s c a l i n g   f a c t o rs     =         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     69 2   -   700   698       F i gu r e   3 .   T h e   s t a t e   v a r i a b l e s   w i t c o n t r o l   (14)   a t   s c a l i n g   f a c t o r s     =               F i gu r e   4 .   T h e   s t a t e   v a r i a b l e s   w i t c o n t r o l   (18)   a t   s c a l i n g   f a c t o r s     =           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       P r oj e c t i v e   s y nc hr oni z at i on   f or   a   c l as s   of   6 - D   hy pe r c haot i c   L or e nz   s y s t e m   ( A hm e d   S.   A l - O b e i d i )   699       F i gu r e   5 .   T h e   s t a t e   v a r i a b l e s   w i t c o n t r o l   (24)   a t   s c a l i n g   f a c t o r s     =         5.   C O N C LU S I O N   B a s e o n   s c a l i n g   f a c t o   ,    a   f o ur  p r o j e c t i ve   s y n c hr o ni z a t i o e rr o h a v e   b e e n   c o n s t r uc t e d ,   a n d   a   fo ur   c o n t r o l l e r   ha v e   b e e n   p r o po s e fo r   a c h i e v i n g   p r o j e c t i v e   s y n c h r o ni z a t i o n   b e t w e e n   t w o   i de n t i c a l   6 - h y be r c h a o t i c   L o r e nz   s y s t e m s   w i t h   u nk n o w n   pa ra m e t e r s   b a s e o n   t h e   n o nl i n e a r   c o n t r o l   s t ra t e gy   a n d   L y a pun o v ' s   di r e c t   m e t h o d.   O b v i o us l y   f r o m   t h i s   p r o j e c t i v e   s y n c h r o n i z a t i o n ,   we   a c h i e v e c o m pl e t e   s y n c hr o ni z a t i o n ,   a nt i - s y n c hr o ni z a t i o n   a nd  h y b r i s y n c hr o n i z a t i o n   t hr o ug h   t hi s   p h e n o m e n o n .   T h e   e ffe c t i ve n e s s   of   t h e s e   pr o po s e d   c o n t r o l   s t r a t e gi e s   w a s   v a l i d a t e d   by   n um e r i c a l   s i m u l a t i o n   r e s ul t s .       A C K N O WL ED G E M EN TS     T h e   a ut h o r s   t h a nk  t h e   U n i v e r s i t y   of   M o s ul   fo r   s uppo r t   t h i s   re s e a r c h   u n de r   t h e   Co l l e ge   of   C o m put e S c i e n c e s   a n M a t h e m a t i c s .       R EF ER EN C ES     [ 1]   H K .   C he n ,   G l o ba l   C h a o s   s y nc hr o ni z a t i o o f   ne w   c ha o t i c   s y s t e m s   v i a   no nl i ne a r   c o nt r o l ,   C hao s ,   So l i t on s   a nd   F r ac t a l s v o l .   23 ,   pp.   1 245 - 125 1,   20 05 .   [ 2]   J .   H .   P a r k ,   C h a o s   s y n c hr o ni z a t i o o f   a   c ha o t i c   s y s t e m   v i a   no nl i ne a r   c o nt r o l ,   C haos   So l i t on s   F r ac t al s ,   v o l .   2 5,   p p.   579 - 584 ,   2005 .   [ 3]   A.   F .   Q a s i m   a nd   A.   A.   H a m e d,   T r e a t i ng   T r a n s c e nde n t a l   F unc t i o ns   i P a r t i a l   D i f f e r e nt i a l   E qua t i o ns   U s i ng   t he   V a r i a t i o na l   I t e r a t i o M e t ho w i t B e r n s t e i P o l y no m i a l s ,   I nt e r n at i ona l   J ou r na l   of   M at he m at i c s   and  M a t he m at i c a l   Sc i e nc e s v o l .   201 9,   pp .   1 - 8,   20 19.   [ 4]   S .   F .   A L - A z z a w i ,   S t a bi l i t y   a nd  bi f ur c a t i o o f   pa c ha o t i c   s y s t e m   b y   us i ng   R o ut h - H ur w i t z   a nd  G a r da m e t ho d,   A ppl .   M a t h .   C om pu t ,   v o l .   219 ,   pp .   1 144 - 115 2 ,   20 12 .     [ 5]   Y .   D .   C hu,   e t   a l . ,   F u l l   s t a t e   hy br i pr o j e c t i v e   s y nc hr o ni z a t i o i hy pe r c ha o t i c   s y s t e m s ,   C ha os   So l i t on s   F r ac t a l s ,       v o l .   42,   p p.   15 02 - 1510 ,   200 9.   [ 6]   S .   F .   AL - A z z a w i   a nd   M .   M .   A z i z ,   C ha o s   s y nc hr o ni z a t i o o f   no n l i n e a r   dy na m i c a l   s y s t e m s   v i a   a   no v e l   a na l y t i c a l   a ppr o a c h,   A l e x and r i E ngi ne e r i ng   J ou r na l ,   v o l .   57 ,   p p.   34 93 - 350 0 ,   2018 .   [ 7]   K .   S .   S ud he e r   a nd  M .   S a bi r ,   H y br i s y nc hr o ni z a t i o o f   h y pe r c ha o t i c   L ü  s y s t e m ,   P r am ana  J .   P hy s .,   v o l .   7 3,   pp .   78 1 - 786 ,   2009   [ 8]   M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   A nt i - s y nc hr o ni z a t i o o f   n onl i ne a r   dy na m i c a l   s y s t e m s   ba s e o C a r da no s       m e t ho d ,   O p t i k ,   v o l .   134 ,   pp .   1 09 - 120 ,   201 7.     [ 9]   M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   H y br i c ha o s   s y nc hr o ni z a t i o be t w e e t w o   di f f e r e nt   hy pe r c ha o t i c   s y s t e m s   v i a       t w o   a pp r o a c he s ,   O pt i k ,   v o l .   138 ,   pp .   328 - 340 ,   201 7.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   2 N o v e m be r   2 019   :     69 2   -   700   700   [ 10]   H a o   R ,   et   a l . ,   R e s e a r c o 4 - di m e ns i o na l   S y s t e m s   w i t ho ut   E qui l i br i a   w i t A p pl i c a t i o n ,”   T E L K O M N I K A   T e l e c om m uni c at i on   C om p ut i ng   E l e c t r oni c s   an C o nt r ol v o l .   1 6,   pp .   811 - 826 ,   201 8.   [ 11]   W.   Y u,   e t   a l . ,   T he   C ha o s   a n S t a bi l i t y   o f   F i r e f l y   A l go r i t hm   A dj a c e nt   I ndi v i dua l ,”   T E L K O M N I K A   T e l e c om m uni c at i on   C om p ut i ng   E l e c t r oni c s   an C o nt r ol ,   v o l .   1 5,   pp .   1733 - 17 40,   2 017 .   [ 12]   M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   C o nt r o l   a nd  s y nc hr o ni z a t i o w i t k no w a nd  unk no w pa r a m e t e r s ,   A ppl .   M a t h,   v o l .   7,   pp .   292 - 30 3 ,   2 016 .   [ 13]   M.   T .   Y o uni s ,   T he   A ppl i c a t i o of   S o m e   L i ne a r   F e e d ba c C o nt r o l   S t r a t e g i e s   o 3D   C ha o t i c   S y s t e m ,”   AL - R a f i dai n   J our nal   o f   C om pu t e r   S c i e nc e s   and   M a t h ,   v o l .   12 ,   pp.   4 3 - 51,   20 18.   [ 14]   M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   L i ne a r   a nd  no n - l i ne a r   f e e d ba c c o nt r o l   s t r a t e g i e s   f o r   a   4D   H y pe r c ha o t i c   s y s t e m , ”  P ur e   a nd   A pp l i e d   M at he m a t i c s   J ou r na l ,   v o l .   6,   p p.   5 - 13 ,   2 017.   [ 15]   S .   F .   A L - A z z a w i   a nd  A .   I .   G hi t he e t h A na l y s i s   a n c o m pa r i s o t he   dy na m i c a l   pr o pe r t i e s   f o r   t w o   h y pe r c ha o t i c   s y s t e m s ,   J o ur n al   o f   E du c at i on   an S c i e nc ,   v o l .   27 ,   pp .   102 - 11 6,   2 018.   [ 16]   Q .   J i a ,   H y pe r c ha o s   s y nc hr o ni z a t i o be t w e e t w o   di f f e r e nt   hy pe r c ha o t i c   s y s t e m s ,   J our n al   of   I n f o r m at i on   and   C om put i ng .   Sc i e nc e ,   v o l .   3 ,   p p.   73 - 8 0,   20 08 .   [ 17]   L u   D . ,   e t   a l . ,   C o nt r o l   a nd  s y nc hr o ni z a t i o o f   a   ne w   h y pe r c ha o t i c   s y s t e m   w i t unkno w pa r a m e t e r s ,”   I n t e r na t i ona l   J our nal   o f   N on l i ne ar   S c i e nc e ,   v o l .   6 ,   pp .   224 - 229 ,   200 8.   [ 18]   M .   M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   S o m e   P r o bl e m s   o f   f e e dba c c o nt r o l   s t r a t e g i e s   a n i t s   t r e a t m e nt ,   J our na l   of   M a t he m at i c s   R e s e ar c h ,   v o l .   9 ,   pp .   39 - 49,   2 017 .   [ 19]   M.   S r i v a s t a v a ,   e t   a l . A nt i - s y n c hr o ni z a t i o n be t w e e ni de n t i c a l   a nd   no n - i de nt i c a l   f r a c t i o na l - o r de r   c ha o t i c   s y s t e m s   us i ng   a c t i v e   c o nt r o l   m e t ho d,   N o nl i ne ar   D y n . ,   v o l .   76 ,   p p.   90 5 - 914 ,   201 4.   [ 20]   R .   H a o ,   e t   a l . R e s e a r c o 4 - di m e n s i o na l   S y s t e m s   w i t ho ut   E qui l i br i a   w i t A ppl i c a t i o n, ”  T E L K O M N I K A   T e l e c om m uni c at i on   C om p ut i ng   E l e c t r oni c s   an C o nt r ol ,   v o l .   1 6,   pp .   811 - 826 ,   201 8.   [ 21]   S .   F .   A L - A z z a w i   a nd  M .   M .   A z i z ,   S t r a t e g i e s   o f   l i ne a r   f e e d ba c c o nt r o l   a nd  i t s   c l a s s i f i c a t i o n,   T E L K O M N I K A   T e l e c om m uni c at i on   C om p ut i ng   E l e c t r oni c s   an C o nt r ol ,   v o l .   1 7,   20 19.   [ 22]   H .   N a t i q ,   e t   a l . D y na m i c s   a nd   C o m pl e x i t y   of   a   N e w   4D   C ha o t i c   L a s e r   S y s t e m ,   E nt r op y ,   vol 21 ,   2 019 .   [ 23]   S .   A .   K h a n ,   M i xe T r a c k i ng   a nd   P r o j e c t i v e   S y nc hr o ni z a t i o o f   6D   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m   U s i ng   A c t i v e   C o nt r o l ,   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   N o nl i ne ar   Sc i e nc e ,   v o l .   22 ,   pp .   44 - 53 ,   2 01 6.   [ 24]   Q.   Y a ng ,   e t   a l . ,   A   ne w   6D   hy pe r c ha o t i c   s y s t e m   w i t f o ur   po s i t i v e   L y a punov   e xpo ne nt s   c o i ne d ,   I nt .   J .     B i f ur c at i on   an C h aos ,   v o l .   25 ,   pp .   155 0061 - 15 5007 9,   20 15.   [ 25]   A.   S .   A l - O be i di   a n S .   F .   A L - A z z a w i ,   C o m pl e t e   S y n c hr o ni z a t i o o f   a   N ov e l   6 - D   H y pe r c ha o t i c   L o r e nz   S y s t e m   w i t h   kno w n   pa r a m e t e r s ,   I n t e r na t i ona l   J ou r na l   of   E ng i ne e r i n &   T e c hnol o gy   ( U A E ) ,   v o l .   7,   pp .   534 5 - 5349 ,   2018 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.