TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 13, No. 2, Februa ry 20 15, pp. 215 ~ 222   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 13i2.704 3          215     Re cei v ed  No vem ber 1 8 , 2014; Re vi sed  De cem ber 2 6 ,  2014; Accep t ed Jan uary 1 0 , 2015   Optimal Warranty Policy Considering Two-dimensional  Imperfect Preventive Maintenance fo r Repairable  Product      Xin- y u e Lee* 1 , Yun-xian Jia 2   Dep a rtment of Mana geme n t Engi neer in g   Me ch an i c al  Eng i ne e r in g  Co l l eg e  Hepi ng str., Shijiaz h u ang, C h i n a   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : oecl x y@ hot mail.com 1 , y unx ia n_ j i a @ ho tma i l . co m 2       A b st r a ct   For some kinds of products, such as car, ai rcraft, governm ent acquisition, the consumers hav e  strict requir e ments to th e re li abil i ty of th ese  prod ucts . T hen  the  manufact u rer is  incl in ed t o  pr ovid e th e t w o- di me nsio nal pr eventiv e mai n tena nce  p o licy to  take  the us age  degr ee  of the prod uct in to accou n t. As  a   result, tw o-di me nsi ona l pre v entive  mainte nanc e po li cy i n  the w a rrant y perio d h a s  recently  obtai n e d   incre a sin g  atte ntion fro m   man u facturers a nd  consu m er s. In this pa per, w e  focused  on th e  opti m i z at ion  o f   base d  w a rra nty cost a n d  p r opos ed  a  ne w  expecte d  c o st  mod e l  of  the tw o-d i me nsio nal  i m perf e ct   preve n tive  mai n tena nce p o lic y from the pe rspective  of th e ma nufactur e . T he optimal tw o-dime nsi o n a l   preve n tive  ma i n tena nce w a s  obtai ne d by mi ni mi z i n g   b a se d  w a rranty cost.  And asy m metri c  copul a functi on   w a s app li ed t o  mod e li ng  the  fail ure f unctio n  of t he  pro d u c t. At last, nu mer i cal  ex a m p l es  are  giv e n   to   illustrat e  the pr opos ed  mo dels ,  of  w h ich the re sults prov e the mo de l effective and va li date .     Ke y w ords :  t w o-dimens ion a l  w a rranty, tw o-dimens ion a l   i m p e rfect p r eventiv e  mai n tena nce, b a s ed   w a rranty, extende d w a rranty,  asymmetric co pul a functio n     Copy right  ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion   In general, warranty has two sig n ifica n t roles  a s  “p ro tector” and “p romote r” to consume r   and m anufa c turer when  the p r od uct s   fail to pe rf orm their p r e-specifie d fun c t i ons du ring  the   warra n ty peri od [1-2]. Accordin g to M u rthy and B lischke [3], the r e  are  only two  kind s of  wa rranty  in the  pro d u c t life cycl e in cludi ng b a se d warranty a nd exten ded  warra n ty. Based  warranty  is  sold with p r o duct. Its co st is usually in clud ed  in the  sale pri c e. Ho wever, to have extend ed  warra n ty, the cu stome r  sho u ld pay extra  money to  get  the se rvice  a fter ba sed  wa rra nty expire s.  No wad a ys, ei ther for ba se d warra n ty or extended wa rra nty, one key issu e of interest that ari s e s   from wa rrant y analysis i s  the modelin g of wa rrant y cost. By optimizing  wa rranty co st, th e   manufa c turer co uld p r i c e  the  warrant y prop er  an d ma ke th ei r p r od uct m o re  attra c tive to  c o ns umers .  For s o me k i nds  of  produc ts  (s uc h as  airc raft,  government ac quis ition), the  con s um ers h a ve strict req u irem ents to  the reliab ility of these prod ucts. So the  manufa c turer is   inclin ed to provide the two - dime nsi onal  prevent ive m a intena nce policy to take the usage de g r ee  of the produ ct into accou n t, which ha s two lim its of coverage in t e rm s of age and u s age. F o r  example, a sold ca r  may  be cove red   a   3  ye ar and   3 0 ,000 mile warranty,  and   t he ca r sho u ld   be   che c k u p  i n  4 s (Sal e, Spa r e  pa rt, Service  and   Su rvey)  sto r e at  p e r year and   15, 000 mile.  F r o m   the perspe c ti ve of the consum ers, two-dim e n s iona l preventiv e maintena nce  policy might be   better than  o ne-di men s ion a l wa rranty for its o ne m o re bo und ary t hat co uld ma ke the  pro d u c ts  be mai n taine d  in time.  Ho wever, it  coul d also pla c e   heavier bu rd en on  the m anufa c ture rs. So  the man u fact ure r s sh ould   price the  wa rranty pro perly   to make thei r  prod uct s  mo re attra c tive a nd  guarantee th eir p r ofit. As  a re sult, ho w to minimizi n g  the warrant y cost in  the  two-di men s io nal  warra n ty be comes a  pra c tical requi re ment. To  ou r kno w led ge,  few  analytical or num eri c al  method s h a ve be en  rep o rt ed in  the lite r ature,  wh i c h offers  a de cision  fra m e w ork  to optimi z e the   two-di men s io nal p r eve n tive mai n tena nce pe rio d  in  th e warranty  p e riod.  In thi s   perspe c tive,  we  develop in thi s  pap er a  ne w mathem atical mo del  to  find the opti m ized  preve n t ive maintena nce  policy for ba sed wa rranty.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  215 – 222   216 The re st of this pa per i s  orga nized a s  follows: Section 2 introdu ce s the relati ve work  existing in t he literature  with p r od u c t wa rr anty  polici e s. Se ction 3 o u tlines the  mod e l  assumptio n s  and n o tation.  Section 4 i s  d edicated  to d e velopme n t o f  the mathem atical mo del.  A  nume r ical example illu stra tes our a ppro a ch to pr ove the model validate and effective in Sect ion  5.       2. Litera ture  R e v i e w     Different wa rranty  polici e s has different warr a n ty co st. The charact e risti c s of wa rra nty  polici e s a r e  essential fa ctors i n  determining wa rra n ty cost in cluding  warra n t y service o b j ect,  warra n ty rene wal me cha n ism and wa rra nty dimensio n etc. Blisch ke and Murthy  [4]  formulate d  a  cla ssi c taxon o my for wa rranty policie s.  But w hen th e prod uct s  are becoming  more  compli cate,  the warranty polici e s have  some chang es. So based  on the syste m  of the warranty policie s [5,  18, 24], we furthe r devel o p  the taxon o m y for warr a n ty policie s,  sho w n  as Fi gure  1. At first,  warra n ty poli c ie s  could  be  divided i n to  two type s in cluding  sin g le -comp one nt warranty [9, 1 9 ]  and multi-co mpone nt warranty. Multi-compon ent wa rranty often consi d e r s a  fleet of produ cts.  Then th e wa rra nty coul d  be divide d i n to two  sub - grou ps as rene wing  wa rranty an d n o n - renewing warranty. Rene wing warranty policy means that the  warranty period  will restart at the  failure time if the failure occurs in the  warr anty peri o d [1, 21]. Non -re ne wing  wa rra nty policy  will  end at the wa rra nty period  W  no matter  how ma ny failure s hap pen i n  the warra n ty period [2, 27].  Simple warra n ty policy h a s  only  one  warranty poli c y will be  ap pli ed in th e warranty pe riod  [22],  and different warra n ty policie s will b e  a pplied in th e perio d of co mbined  wa rranty policy [1 6].  Acco rdi ng to  the wa rranty  boun dari e s, t he warr anty  polici e s  co uld  be furth e r  di vided into o n e - dimen s ion a l  warra n ty, two-dim e n s iona l wa rranty a nd n - dim e n s i onal  wa rrant y ( 3 n ). One - dimen s ion a l  warra n ty is li mited by time  [23], and  two-dim e n s iona l wa rranty is  usu a lly limite d  by  age and u s a ge (such as  miles an d re volutions) [8, 10, 26]. For  some p r od ucts, which  req u ire   high reli abilit y, multi usage limits will be applie d to rest rain th e warra n ty period. Th en the  warra n ty cou l d be n - dim ensi onal  wa rranty. Th e r e  are fe w lite r atures  abo u t  n-dime nsi o nal  warra n ty. However, alo n g  with the industrial p r o d u c t become m o re co mplex, the intere sting  of  the n-dime nsi onal  wa rranty wo uld i n crea se. O b viou sly wa rranty poli c y is the  re su lt of the g a m e   betwe en m a n u facturer an d  co nsume r . So the  co st all o catio n  me ch anism  will  greatly influen ce  the warra n ty deci s io n and  effect. And the warra n ty  policy coul d be furthe r divided  into free-rep a ir  warra n ty, pro-rate  warra n ty and  reb a te warr anty  etc  by cost allocation  mech ani sm.  The  manufa c turer will take all  expense in  the free-re p a ir wa rranty perio d. On the co ntra ry,  the  warra n ty cost  will be sh are  by manufact u re rs a nd  co nsum ers in th e perio d of pro-rata wa rran ty  or re bate warranty [7].        Figure 1. The  classification  of warranty policie s  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Warranty Policy Consi deri ng T w o-dim ens io nal Im perfect Preventive…  (Xin-yue L e e )   217 Obliviou s ly, two-dime nsio nal  warra n ty is o ne  of the  main  conte n ts of th e  wa rra nty policy   For two - dim e nsio nal warra n ty, there are  thr ee meth o d s that ha s b een devel ope d for analy z in g   two-di men s io nal wa rra nty [29], ie univariate method  [14, 19, 26],  bivariate met hod [8] and time   scale m e tho d  [12]. Bivairate metho d  i s   simple r an d  mo re strai ghtforward. And  on e wa y  to   formulate  the  bivariate  di stribution  is ma king  fu ll u s e  of Co pula  fun c tion.  Cop u la s a r e  a tool  for  con s tru c ting  multivariate  distrib u tion s and de scri bing the d e pend en ce b e twee n ra nd om  variable s   Furthermo re  sy mmetric cop u la fun c tion  were al rea d y appli ed to  model th e p r odu ct   reliability. In this pape r,  we propo se the co st model of th e two-dimen s ion a l preve n tive   maintenance in the  warranty period by  utilizing  asy mmetric copula function.  And the optimal   two-di men s io nal preventive mainten a n c e p e rio d   is  obtaine d by minimizi ng th e wa rranty cost.  The advanta g e s of the mod e l prop osed a r e as follo ws.  a)  It is able  to  handl e the  tail dep end ence of a g e  and  usage  to cal c ul ate  two- dimen s ion a l  warra n ty co st  whi c h  co uld  be mo re  accurate. T he a symmetric  co p u la   function i s  ap plied rath er th an assumi ng  the age an d u s ag e have lin ear relation sh ip.   b)  The two-dim ensi onal  pre v entive ma i n tenan ce pe riod co uld be  obtai ned   by  minimizi ng b a se d warrant y cost. It is  more  re alisti c that the PM  action i s   also  two- dimen s ion a l to make the p r odu ct more reliable.        3.  Model As su mptions and  Nota tion   This  se ction provide s  mo d e l assumptio n s an d notati on.     ( T 0 ,  U 0 )  The two - dime nsio nal preve n tive mainten ance (PM) p e riod impl eme n ted   (W B , U B )  The ba sed  warranty time and usage limi t 0 0 0 B B U U r WT   (0 1 )    PM level. When 1  , PM is perfect maintena nce. When 0 , PM is   minimal re pai r.  C p   The co st of PM  C m   The co st of CM    Assu ming th e  usa ge of the   prod uct i s  rel a tive ly steady  for individu al  cu stome r . It doe sn’t  mean the u s age for indivi dual cu stom e r  doe sn’t  ch a nge but ch an ge little. The based wa rra n ty  coverage  a r e a  could  be  di vided into  two pa rt: D 1  an d D 2 . For  D 1 ,  warranty is likely terminated at   usa ge limit. On the cont rary , warranty is likely termin ated at time limit for D 2 .         Figure 2. Two  dimensi onal  warra n ty coverag e       Preventive m a intena nce is im pe rfect  re pair  and  the  co rrective  maintena nce  (CM) i s   minimal re pa ir. Compa r e d  to the mean time be tween failu re s, the maintenan ce time  is  negligibl e . A failure  ca n be  detecte d im mediately whi c h  re sults i n   an imme diate  claim, the n  the  manufa c turer will respon d  all the clai ms. Assu min g  a failure could be dete c ted imme di ately  whi c h re sult s in an immediate claim a nd the manuf acturer will resp ond all th e claim s . In this  study, the  warra n ty co st is  comp o s ed  of  prev entive maint enan ce  co st  and  corre c tive   maintena nce co st. The cu mulative failure dist ribut io n  function, failure de nsity function a nd fai l ure   rate of the produ ct are [20] :  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  215 – 222   218  12 01 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 3 (, ) ( ( ) , ( ) , ) ( ( ), ( ) , ) ( ) ( 1 ( ) , ( ), ) ( ) ( ( ) , 1 ( ) , ) Ft u C F t F u p C Ft F u p F u C F t F u p F t C Ft F u          (1)    (, ) (, ) F tu ft u tu  ,   (, ) (, ) 1 (, ) Ft u ht u F t u tu                                          (2)    12 (( ) , ( ) , ) CF t F u is the a s ym metric  co pul a functio n  a nd  2 0 1 i i p .  12 1 (( ) , ( ) ,) CF t F u is  symmetri c   co pula fu nctio n , whi c h   sho u ld be   sele cted   by  hi stori c al  warra n ty data. The commo n   simple  symm etric copul a functio n s in clu de Gau s sian  cop u la, t-co p u la, Gumbel  cop u la, Clayt o n   cop u la an d Frank  cop u la et c. Gumb el co pula is:      1/ ' 12 1 2 (( ) , ( ) , ) e x p ( l n (( ) ) ( l n ( ( ) ) CF t F u F t F u                                   (3)    For the two - dime nsi onal  imperfe ct preventiv e p o licy, the failure rate  ri ght after   perfo rming th e jth PM acti on is give n b y  Equation (4). Obviou sly ,  the PM action effect is t he  redu ction of  failure inte nsity [11].  10 B nU U , 20 B nW T ( * : In teger part of a  re a l   number) .      00 0 0 0 00 0 0 0 P M  a t (, ) ( 1 ) (, ) PM  a t    ( t , ) ( 1 ) ( / , ) jT h j T u h j T j T r jU h j U h j U r j U                     j= 1,2,…               (4)      4. Analy t ical  Warr anty  Cost An aly s is    For t w o - dime nsio nal  wa rranty, there  a r e t w o  po ssi ble  situation s  that ba si c  warra n ty  expire s. One  is the u s a g e  of the pro d u c t exce ed s th e mileag e lim itation. And the othe r is th e  age of the produ ct excee d s  the ti me limitation. So th e warra n ty co st inclu d e s  two parts:  D 1  and  D 2 . For the  warranty cove rage of D 1 , let  N t  be the  nu mber  of PM obse r ved u p  to  time t. Then the   failure rate be tween two PM action is:     t N0 ,  (, ) ht u ;  t N1 ,  00 0 (, ) ( , ) ht u h U r U ;  …  t N j ,  1 0 0 0 0 () (, ) ( 1 ) , ( ) j i i ji U ht u h j i U r          The cost of the wa rranty inclu d ing two-di men s ion a l imperfe ct pre v entive maintenan ce   is:  00 1 1 0 0 1 10 (1 ) 1 1 0 1 0 00 0 0 1 10 10 0 0 0 () (, ) ( 1 ) , ( ) () (, ) ( 1 ) , ( ) B jU u r n j i Dp m ji jU ur U n i m i nU ji U C C n C h t u h j i U d td tu r ni U Ch t u h n i U d t d t u r                             (5)    At the same princi ple, the cost of the   warranty including two - di mensi onal im perfe ct  preventive m a intena nce for  the wa rra nty covera ge of D 2  is :      00 2 2 0 0 2 20 (1 ) 1 1 2 00 0 00 0 1 20 20 0 0 0 (, ) ( 1 ) ( ) , ( ) (, ) ( 1 ) ( ) , ( ) B jT r t n j i Dp m ji jT rt W n i m i nT CC n C h t u h j i T j i T r d u d t C h t u h n i T n i T r du dt                      (6)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Warranty Policy Consi deri ng T w o-dim ens io nal Im perfect Preventive…  (Xin-yue L e e )   219 So the total expected b a se d warra n ty co st is:     1 2 1 2 12 12 (, ) ( , ) () (, ) ( , ) (, ) ( , ) DD BD D DD DD f t u d t d u f t u dt du EC C C f t u dt d u f t u d t d u f t u dt du f t u d t d u                        (7)      5.  Numerical E xample   We use  the   a s ymmetri c  co pula pro p o s e d   by   Wu(201 4). Th e  symmetric copul a  functio n   whi c h is a ppli ed to con s tru c tion the a s ymmetric  cop u l a is:     12 1 2 0 1 2 ( ( ) , () ) ( ) ( ) 1 ( 1 ( ) , 1 () ) CF t F u F t F u C F t F u       1/ 0 (, ) e x p l n ( ) l n ( ) Cx y x y     is the  G u m bel  cop u la.  Suppo se   p C 150,  m C 820 a nd   0.36 . The ba se d  warra n ty and  extended  wa rra nty cove ra ge a r e (5, 10 0000 )  and  (10, 2 0 0000 ). The l i fe of  the produ ct is(30,  6000 00).  0 0.9 p , 1 0.1 p , 1 3.76  and  2 0. 48 , 1 0. 7 8 ,   2 0.77 ,  1 2.6 , 2 4 840 0 . The marginal c u mulative failure  distrib u tion s are:     1 1 1 () 1 e x p t Ft      , 2 2 2 () 1 e x p u Fu          In the ba se d  warra n ty, the optimal p r eve n ti ve mainten ance pe riod  could b e  obtai ned by   min i mize   th e  b a s e d   warra n t y shown as  Figure 3. A nd the partial results sho w ed  as Table 1. The   optimal warra nty cost is 51 3.1398 when   the pr eventive maintenance period  is (1.2, 24000). From   results b e low, we co uld find the wa rra nty cost  will  decrea s e s  at  first then in crea ses with  th e   increa sing of  T 0  or  U 0 .       Figure 3. Warranty cost curve of different  two-dimensio nal preventive maintenance period                Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  215 – 222   220   Table 1. Warranty cost of different  two- dimensional preventive  maintenance perio d    0.5   1.0  1.5  2.0  2.5  3.0  3.5  4.0  4.5   1000 0   1000. 7   725.8  701.2  708.8  715.2  720.4  749.8  772.5  790.9   2000 0   835.2   560.3  535.6  543.3  549.6  554.8  584.3  607.0  625.4   3000 0   820.4   545.5  520.8  528.5  534.8  540.0  569.4  592.2  610.5   4000 0   825.0   550.1  525.5  533.2  539.5  544.7  574.1  596.9  615.2   5000 0   828.8   554.0  529.3  537.0  543.3  548.5  577.9  600.7  619.0   6000 0   832.0   557.1  532.4  540.1  546.4  551.6  581.1  603.8  622.2   7000 0   849.7   574.8  550.2  557.9  564.2  569.4  598.8  621.6  639.9   8000 0   863.4   588.6  563.9  571.6  577.9  583.1  612.5  635.3  653.6   9000 0   874.5   599.6  574.9  582.6  589.0  594.2  623.6  646.3  664.7       Then we anal yze the se nsi t ive of the based  warranty cost mod e l b y  changing  shown   as Figure 4. We could noti c e some interesting pheno mena. Warra nty cost of different PM inte rval  change more  by increasing  1  and 2 . And  the optimal warranty cost is increa sing when  1 is   increa sing. O n  the co ntrary, it is decrea s ing when  2 is  increa sing.  W e  come  t o  t h e con c lusion   that  1 and  2  have opposite influence on the based wa rran t y cost.        Figute 4.  Sensitive analyze  of based warr anty cost model considerin g different        Then we a nalyze the sensi t ive of  t he based wa rranty  cost model b y  changing  shown a s   Figure 5. And the optimal warra nty cost is decreasin g when  1  and  2 is increa sing.  We com e   to the conclusion that  1  and  2  have the uniform influence on the based warranty cost.  T 0   Co st U 0   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Optim a l Warranty Policy Consi deri ng T w o-dim ens io nal Im perfect Preventive…  (Xin-yue L e e )   221     Figure 5. Sen s itive analyze  of based warr anty cost model considerin g different        6. Conclu sion   This a r ticl e propo se s a met hod to find o p ti mal two - di mensi onal  preventive mai n tenan ce   perio d by mi nimizin g  the  warra n ty cost . The method  prop osed co uld help th e manufa c turer to   price the ba sed  warranty  prope rl y. Many extensio ns to this work m a y be con s id ere d . The  method of  fa ilure red u ctio n  mod e ls ha ve  to  be fu rther i n vestig a t ed. And the  paramete r s  of  cop u la fun c tion have to  be theo retica lly studied.  In ord e r to check mo del s validity, some   good ne ss-of- fi t tests  sho u l d  be devel op ed. At last, imperfe ct corrective mainte nan ce shoul d  be   inclu ded in th ese mo del s.      Referen ces     [1]   Bai J, Pham H. Cost anal ysis on rene w a ble full-s e rvice   w a rr anties for  multi-compo n ent s y stems .   Europ e a n  Jour nal of Operati o nal  R e searc h  2 006; 16 8(2): 49 2-50 8.   [2]   Bai J, Pham  H. Repair-lim it  risk-free  w a rr ant y   policies w i t h  imperfect repair .  S y stems, Man and  C y ber netics, Part  A: Sy stems  and H u mans.  IEEE T r ansactions on.  2 005;  35(6): 76 5-7 7 2 .   [3]   Blischk e  W R ,  Murth y  D N P. Product  w a rr a n t y  man a g e m ent I: A  taxo n o m y  for  w a rr a n t y  p o lici e s.  Europ e a n  Jour nal of Operati o nal R e searc h . 199 2; 62(2): 12 7-14 8.   [4]   Blischke  WR, Murth  y  DNP.  W a rrant y  C o st Anal ys is. CRC  Press, 1993.   [5]    Blischk e  W R ,  Murth y  D N P., Product W a rra nt y  H and bo ok . CRC Press, 19 95.   [6]   Boug uerra  S, Chel bi  A, R e zg  N.  A  decisi on  mode l for a d o p ting  an  e x ten ded  w a rra nt y u nder  dif f ere n t   mainte nanc e p o lici e s.  Internat ion a l Jour na l of Productio n  Econo mics.  201 2; 135(2): 84 0-8 49.   [7]   Chie n  YH.  T he ef fect of a pr o -rata reb a te  w a rrant y o n  the  age r epl acem e n t pol ic y  w i th  s a lva ge va lu e   consi derati on. Reli ab ilit y ,   IEE E  T r ansactions  on.  201 0; 59(2 ) : 383-39 2.  [8]   Che n   T ,  Popova E. Maintenance po lici e s w i t h  t w o- dim e nsio nal  w a rr an t y .  Relia bil i ty   Engi neer in g &   System  Safety   200 2; 77(1): 61 -69.   [9]   Chuk ova S, Arnol d R, W ang  DQ. W a rrant y anal ys is: An  appr oach to m ode lin g imp e rfect repairs .   Internatio na l Journ a l of Prod uction Eco n o m ics . 2004 8 9 (1) :  57-68.   [10]   Chuk ova S, Johnston MR.  T w o-dime nsi ona l w a rrant y   r e p a ir  strateg y  base d  on minima l and compl e t e   repa irs.  Mathe m atic al a nd co mp uter mod e li ng . 200 6; 44(1 1 ): 1 133-1 1 4 3 .   [11]    Do ye n L, G a u doi n O. Cl ass e s  of  imperfec t  repa ir mo del s bas ed  on  re ductio n  of  fail u r e i n tensit y  o r   virtual a ge.  R e li a b i l i t y En gi ne eri n g  & System  Sa fe ty.  2004; 8 4 (1): 45-5 6 .   [12]    Gertsbakh IB, Kordo n sk y KB. Parall el time  scales and  t w o-dime nsi ona l manufactur e r and ind i vid u a l   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 13, No. 2, Februa ry 2015 :  215 – 222   222 customer w a rr anties.  IIE transactions.  19 98;  30(12): 11 81- 118 9.  [13]    Hua ng YS, Y e n C. A stu d y   of t w o - d i mens i ona l w a rrant y  polic ies  w i th   p r eventiv e  ma in tenanc e.  IIE  T r ansactio n s . 200 9; 41(4): 29 9-30 8.  [14]    Iskandar  BP,  Murth y  DNP,  Jack N. A  ne w   rep a ir –rep la ce strateg y  f o r items so ld   w i t h   a t w o- dime nsio nal w a rrant y.  Co mp uters & Operati ons Res earch.   200 5; 32(3): 66 9-68 2.  [15]    Iskandar BP , Murth y  DNP . Repair-re pla c e stra tegies  for  t w o- dim ensi ona l  w a rr ant y  p o lic ies .   Mathe m atic al a nd Co mputer  Mode lli ng.  20 0 3 ; 38(1 1 ): 12 33 -124 1.  [16]    Jack N, Iskandar BP , Murthy   DNP .  A   repair– repl ac e strateg y   bas ed o n  usage rate for ite m s sold  w i t h   a   t w o- dime nsi o n a l w a rra nt y .   R e liab ility En gin e e rin g  & System Safety .  2009; 94(2): 61 1-61 7.   [17]    Mosko w i tz H,  Chun  YH.  A  poisson re gr essi o n  mode l  for t w o- attrib ute  w a rrant y   polic ies.  Nava l  Research Logistics.  1994; 41( 3): 355-3 76.   [18]   Murth y  D N P ,  Blischke W R . W a rrant y  ma na ge ment and pr od uct manufactur e .  Spring er .  20 06.   [19]    Hua ng YS, Z huo YF . Estimation of future  br eak do w n s to  determin e  op timal  w a rra nt y polic ies for   prod ucts w i t h   d e terior ation.  R e lia bi lity Engi n eeri ng & System Safety.  200 4 ;  84(2): 163-1 6 8 .  [20]    Murth y  D N P ,  W ilson RJ.  Mo dell i n g  tw o-dimensi ona l fail ur e free w a rranti e s . Procee din g s of the F i fth  S y mp osi u m on   Applie d stocha stic models a n d  dat a a nal ys is . 1991. (W orld  Scientific, Sin g apor e).  [21]    Park M, Pham H.  Altered quas i-ren e w a l  c oncepts for  model ing r e n e w a ble  w a rra nt y  costs  w i t h   imperfect repairs.  Mathematic al an d Co mp ut er Mode lli ng.  2 010; 52( 9): 143 5-14 50.   [22]    Park M, Pham H. W a rrant y c o st an al ys es usi ng  qu a s i-rene w a l  pro c esses for m u lticom pon en t   s y stems. S y ste m s, Man and  C y ber neti cs, Part  A: Sy stems  and H u ma ns.  IEEE T r ansactions on.  201 0;   40(6): 13 29- 13 40.   [23]    Park M, Pham  H.  A  ne w   w a r r ant y   po lic y  w i th failur e  times  and  w a rra nt y   servicin g times .   Relia bi lity ,   IEEE T r ansactions on . 2 012;  61(3): 82 2-8 3 1 .   [24]    Shafie e M, C h ukova   S. Mai n tenanc e m ode l s  in   w a rr ant y :   A liter ature r e vie w .  E u rop e a n  Jo urna l  of  Operatio nal R e search . 20 13;  229( 3): 561- 57 2.  [25]    Su C, She n  J.  Anal ys is  of e x t end ed  w a rra nty p o l i cies  w i th  dif f ere n t rep a ir  optio ns.  Eng i n eeri ng F a i l ur e   Analys is . 201 2; 25: 49-62.   [26]    V a rnos afader a n i S, Chuk ova  S.   A   t w o- dime nsio nal  w a rra n t y  servici ng str a teg y  b a sed  o n  reducti on i n   prod uct failure  intens it y .   Co mp uters & Mathe m atics w i th  Ap plicati ons.  2 0 1 2 ; 63(1): 20 1-2 13.   [27]    W u  S, Longh u r st P .  Optimising ag e-rep l ac em ent an d e x tend ed no n-re n e w i n g   w a rr ant y po lici e s in   lifec ycle c o stin g.  Internatio nal  Journa l of Productio n  Econ o m ics . 20 1 1 ; 13 0: 262– 26 7.  [28]    W u  S. Construction of as ymm e tr ic copu las a nd its ap plic ati on in t w o- dime nsio nal re lia bi li t y  mod e ll ing .   Europ e a n  Jour nal of Operati o nal R e searc h .  201 4; 238( 2): 476-4 85.   [29]    Y un W Y , Kang  KM. Imperfect repair p o lic ie s und er t w o - di mensi ona l  w a r r ant y .  Proc ee d i ngs of th e   Institution of Mecha n ica l  Eng i neers.  Part O:  Journ a l of Risk  and Re lia bil i ty .  2007; 2 21(4):  239- 247.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.