TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 12, No. 11, Novembe r   2014, pp. 79 2 0  ~ 792 6   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i11.64 88          7920     Re cei v ed  Jul y  14, 201 3; Revi sed Septe m ber  17, 201 4; Acce pted  Octob e r 4, 20 14   A SIR Mathematical Model of Dengue Transmission and  its Simulation      Asmaidi* 1 , Paian Sianturi 2 , Endar Has a fah  Nugr ah ani 3    Dep a rtment of Mathematics F a cult y  of Mathe m atics and N a tural Sci ence, B ogor Agr i cultur al Univ ersit y ,   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : asmedmat@ g mail.c o m      A b st ra ct   T he Mathe m ati c al  mo del  that  w a s devel op ed  is  a SIR  mod e l  hu ma n- mosq u i to-mosq uito  e ggs, the   rate of  disp lac e ment  of late n t  mos quit oes  beco m e i n fected  mos q u i to w a s ass u med  c onstant  an d n on- infected  e ggs   w e re pro duc ed  by  infecte d   mosqu i t oes  an d  susce ptibl e   mosqu i toes, w h i l e  i n fected  e g g s   w e re pro duc ed  by  infecte d   mosqu i toes. In  a dditi on,  th e te mp eratur e fact or us ed  in  pr o duci ng s u sce ptib l e   mos q u i toes  an d infect ed  mos quito es fro m  e ggs. T he  an aly s is show s tw o equ ili bri u m state, dis ease-fr e e   equ ili briu m a n d  end e m ic eq uili bri u m. T he  simulati on w a s  conducte d to show  dyna mic  popu latio n  w here   R o < 1  and  R o > 1 . T he result sh ow s the dise as e-free e qui li bri u m w h ic h is st abl e w hen  R o < 1  an d the  en de mi c   equ ili briu m w h i c h is stab le w hen  R o > 1 . T h is also s how s mos q u i to  mort ality rate tow a r d s the d e se as e i n   pop ulati on. If mos q u i to mortality rate is inc r ease d , the  ba sic repro ductio n  nu mb er is de creasi ng, so it c a n   preve n t sprea d  in pop ul ation.      Ke y w ords :   math e m atic al  mo de ls, ba sic repr oducti ve  nu mber, dise ase-free quil i br iu m,  en de mi c     equ ili briu m, nu mer i cal si mulat i ons         Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion    Based  o n   re gular a ppea rance of  den g ue, the r e  are  seve ral  solu tion come  int e rtwin e d   with the   ca se . One  of the m  is to  provid e math ematical mo del, o r  j u st m odel.  Th is i s   not a  b r a n d   new way to  solve  pro b le m, in 19 11  Ro ss devel o ped  a  simple  model  to a d ept the  sp re ad of  malari a which be cam e  fa mous Ross  Model.   Then  in 19 57   it was fo rtified by  MacDo nald   whi c h   is kno w n a s   Ro ss-Ma c Do nald [5]. At the end  of 20  century, the m odelin g is  accepte d  glo bal ly,  esp e ci ally in  the commu nity health  se ct or  be cau s e  its  strate gic an d tacti c al f eat ure s  [3], a s  a n   example  of  a math emati c al  mod e l th at take s into  acco unt the  tempe r atu r e  facto r . Den gue  spread  mo del  with th e  con s ideratio n of te mperat ure  wa s int r odu ce d  by [4] and  [1]. They  develo p   formula for  SI R  huma n -m o s quito - mo sq uito egg s.  In [4] assum ed late n mo squito es spreadin g  rate  cau s e  the inf e cted  mo squ i toes  not   con s tant a nd  delayed    a s  i n cu bation  period of mo sq ui to . Furthe rmo r e, [4] assu m ed the n on- infected  egg s wa s reprodu ced  by laten  mosq uitoe s  a nd infe cted m o sq uitoe s , while infe cted  egg   wa s only re prod uced by  infected m o sq uitoe s . Tempe r ature factor i n trod u c ed by [4]  in  su sceptible m o sq uitoe s  an d infected mo squito es i s  no t consta nt.   In [1] assume d laten mosq uitoes spread ing ra te ca use the infected  mosquito es  con s tant   and the  non -infecte d e g g s  was re pro duced by th ree  com p a r tment mo squi toes, while t h e   infected e g g s  wa s p r od u c ed by infe ct ed mo squito es an d laten t  mosquito es. Meanwhile,  [1 ]   temperature wa s  co nsta nt.  Based on  th ose re sea r ch ,  SIR  model  human -mo s q u ito- mo squit o  egg s is  de veloped  more with th e assumptio n  transmi ssion  of  lat en mo squito es spre ading rate ca use the infe cted  mosq uitoe s  is con s tant as i n  [1]   and the non-i n fecte d  egg s wa s re p r odu ce d by laten mosquito es  and i n fecte d   mosq uitoe s ,  while  infe cted  egg  was onl y rep r od uced  by infe cted   mosq uitoe s  a s  in   [4].   Furtherm o re, the  temp eratu r e fa ctor used in  t he  prod uctio n  of  su sceptible   mosq uitoe s  a nd  infected  mo squitoe s  from   egg s. Temp e r ature was a pplied  as i n  [ 4 ].   In this paper, equilibri u m   state a nd b a s ic re pro d u c tion nu mbe r s we re  det ermined. Next,  simu ation was done   to show  dynamic p o p u lation on mo del.        Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A SIR Mathem atical Mode l of Dengu e Tr an sm issi on  and its Sim u lation (Asm aid i )  7921 2. Mathem atica l   Model  In  SIR  mod e l huma n -m osq u ito-e g g s , human  pop ulation i s  divided into  su sceptibl e   human s  , infected  hum an s  , dan re cov e red  hum an s  , with total h u man  popul a t io n      .  Mosq uito is divided into  susce p tible  mosq uitoe s   , latent mosq uitoes  , and infecte d  mosquitoe s   , with total mos q uito      .   Egg pop ulation  is  divided into non-infe cted e ggs   and infected egg s  , w i th total egg  popul ation   .   system  differential e quat ions of treatm ent model is:          1                                                                                                                                                                               ( 1 )                                                                                                                            1 1           1                                                                     The rate of i n fection f r om  infected  mo squito es to  susceptibl e  hu man i s    ,  whe r e   is tot a l ratio  of m o sq uito po pu lation comp a r ed to  total  human  po pul ation ,  then    multiplied by the proporti on of infected mos quito e s  so that human tran smi ssi on be com e s   / . The rate of  infection from  infected  h u m ans to  su sceptible mo sq uitoes  i s    ,  whe r e   is multiplied by total infected  human pop ulation so th e mosquito t r an smi ssi on is   / . Temperature factor i s  introdu ced a s ,          2                    ( 2 )     In orde r to a v oid equatio n  (2) n o t be coming  n egati v e, Heavisid e function i s  applied,  whe r e Heaviside is value d  wheth e r 0 o r  1.       2   1 ;   jika   2  0 0 ;   jika   2  0        ( 3 )     Equation (2) i s  determine d as,          2   2               ( 4 )     Several p a ra meters u s ed  in modificate d model  are, fractio n  of in fective bites f r om a n   infected hu m an  , fraction  of infective bites from an infected  mosq uitoe s   , dengue  indu ced m o rt ality in huma n s  , human s  recovery rate , latenc y rate in mosquitoes   ,  human s n a tural mortality ra te  , natural  m o rtality rate of  egg s  , birth rate of hum an s  ,  human s ca rry ing  capa city  , infected  egg s hatchi ng  rate   , infected  eg gs h a tchi ng  rate  ,  ovipositio n ra te  , eggs  ca rrying ca pacity  , climatic fa ctor mo dulating  winters  , climatic  factor mo dula t ing winters  ,  freque ncy of the se asonal  cycle s , [1] an d  [4]   To facilitate  Equation (1) analysi s , e m piri cal eq u a tion wa s m ade to comp are e a ch   sub pop ulatio n towards tot a l popul ation,  ie:    ; ; ;  ; ;  ;  ;                   (5)    in c o rrelation  with,                                                                                                                                                                                                                                                                   1 ,     1 , a n d    1     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  79 20 – 792 6   7922 From Equation (5)  we get,            and         .    The  sam e  thi ng i s  o c cu rre d fro  othe r v a riabl es so t hat a  ne w di fferential e q u a tion in   eight dime nsional state i s  mad e  with  two dime nsions fo r hu man po pulati on  , ,  two  dimen s ion s  f o r mo sq uito popul ation  , ,  one dime nsi o n  for egg s p o p u lation ,  and three   dimen s ion s  for total popul ation   , , .          1   1             1          1                       (6)         1   1                                1                                                                                                                                     1 1   1             3.  Resul t  and Analy s is   3.1. Equilibrium  State  Equation  (6 )  is ta ken  to d e termin e e q u ilibrium  state.  Equilib rium  state i s  b a se d on  [2].  There are two equilib rium  state, dise ase- fre e  equilib rium and en de mic equili briu m,    3.1.1.  Disease-Free Equilibrium         , , , , , , ,       1 ;      0 ;    ;                ;                       3.1.2.   Endemic Equilibrium        ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗       ∗               ∗                 ∗           ∗      ∗       ∗       ∗     ∗         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A SIR Mathem atical Mode l of Dengu e Tr an sm issi on  and its Sim u lation (Asm aid i )  7923 With,         2   2      3.2.  Basic Repro duction Num b ers   The ba sic rep r odu ction n u m ber, de note d   .  Ac c o rding  to [7] if   1 ,  then on avera g e   an infe cted i ndividual p r o duces l e ss than o ne ne w infected in di vidual over t he course  of its  infectiou s  pe riod, an d the  infect ion ca nnot  grow. Conve r sely,  if  1 ,  then each  infected  individual  pro duces, o n  av erag e, mo re t han o ne  n e w infection,  an d the di se ase  can  invade  the   popul ation. To Determinat ion of the basi c  rep r od u c tion num ber is used th e next ge neration   ma tr i k s   .   The next ge neration m a trix    is defined [7]:                  ( 7 )     With   as m a trix coeffici en t of the rate  infection,  while    is mat r ix co efficient  of de sea s e  transmissio n, either for mo rtality or re co very.  Difere ntial eq uation s  we re  use d  to determine ba sic re prod uctio n  nu mber, ie (2 ), (3), (4),  dan (5)  whi c h incl ude d i n  Equation  (6). Equatio n   (2),  (3),  (4), dan (5) in  Equation  (6 ) is  constructed i n to matrix which ev aluated in disease-free equilibrium, in  order to obtain the matrix      . Furthermo re  determine d eigenvalu e s  matrix  , ie  , 1 , 2 , … . .   , 1,2 , …  is calle d the basi c  re produ ction num be r.    Based o n  the  analysi s  ba si c rep r o d u c tio n  numbe r is g a ined,                                    ( 8 )     3.3. Population  D y namics  Simula tion of  Deng ue Tran smission     Simulation was  d one whe n   1  dan  1 , whre   is d e fined  from eq uatio n (8 ).    This si mulati on wa s to show that system will be stabilize d  to disea s e - fre e  equilibri um wh en  1  and  stabili zed to en de mic eq uilibri u m  whe n    1 .  B e side s,  t h is  simulat i o n   wa s   need ed to kn ow mo rtality rate in mosq ui to populatio n   to transmi ssi on in pop ulati on.     Paramete r value s  we re u s ed in  simul a tion are  on  the below t able with init ial value  1 0 ,  1 5 ,  7 5 ,   5 0 , 3 0   2 0 ,  5 0 , 5 0 , and e a ch total  popul ation     100 .      Table 1. Para meters Value   Parameter  V a lue  Parameter   V a lue    1    2   10 5     1  0.15    0.001   0.1    0.143   50    0.143   10 6     4   10 -5   2.8   10 -3     0.1  0.07    2.5  0.06    /2         3.3.1. Population  Dinamics0 02 0sxq for      System (6) has a  singl e equilibri um for   which ca n  be sh own by   Com putatio n  Program .  In this si mulatio n ,  the pa ra meter of ave r age  daily bi ting rate   is 1.2, natural  mortality rate  of mosquito    is 1, and a nother  param eter can be  sho w n o n  Ta ble 4. The   Initial numbe r for the  simul a tion is  ,  ,    ,  ,  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  79 20 – 792 6   7924 , and each total populatio n   . Based on the simul a tion ,    the result is g i ven as sho w n in the cha r ts belo w .   Basic  rep r o d u ction n u mb e r  is de noted  as  and is u s ed to sh ow t he pop ulation  o f   mosq uito, hu man and e g g s is  stabilized at the equilibri um st ate whe n   .  B e side s,   according to  [7] stated that when   means the r e is  no end emic,  that mean s infected   popul ation in the system will be peri s he d. To sho w  this case, the simulatio n  wa s don e in ord e r   to sho w  pop u l ation ch ang e s  in mo squito , human and  egg s.   The  su scepti b le m o squito  pop ulation    oscillated to  a periodi c value. The latent  Mosq uito Population   was decre asi n g  and stabili zed at  , then  infected mo squito  popul ation   was decreased from initia l value and stabilized at   The value adde d in  this paramet er is     and other pa ram e ter made th e value on Tabel 4 ca use    s o  that latent mos quito population an d infec t ed mos q uito are dec r eased and vanis hed  from system.  Furthermore , the increa si ng or  de crea sing value of  each mo sq uito populati on  correl ate to the human p o p u lation a s  wel l  as egg s po p u lation.   Susceptible  h u man  pop ula t ion   was increased from  i n itia l value and  stabili zed  a t   nearly    or 19 9997 peo ple.   Infected hu man  p opul ation   wa s in creased from i n itial  stage and st abilized  at  ,  while  re covered hum an p opulatio n   w a s in cr ea sed  f r om   initial point then buffe red  at   The increase of su sceptible   human p opul ation wa s ca use d  by tran sfer rate  fro m  infected  mosq uito po pulation, so  that,  su sceptible h u man po pula t ion wa s increased, as th e result, the transfe r rate  from su scepti b le   human to  inf e cted  huma n  wa s de crea sed. The  de crease in infe ct ed hum an p o pulation  ca uses   transfe r rate from infe cted  human to recovered h u ma n wa s de cre a s ed too.    Susceptible egg  po pulati on   oscillate d peri odi cally , while infe cted egg  pop ul ation   increa se d fro m  initial  stag e an d  the n  d e crea sed  unti l  stabili ze d at   No n-infe cted  egg   popul ation was p r od uce d   by susce p tibl e mosquito a nd Infected  mosq uito. In a relatively lo ng   perio d of time, non-inf e cted eg g po pulation  was dominantly  reprodu ced  by suscept ible   mos q uitos  than thos e from infec t ed mos q uito, this   is  due to the fac t  that infec t ed mosquito  vanish ed f r o m  the  sy ste m  rel a tively  fast. In the    mea n  time,  non -infe c ted  egg  p opulat ion   oscillated pe riodi cally co rrespon ded to  that  on susceptibl e  mosquito popul ation. When t he  su sceptible  mosq uito po pulation in cre a se d,  then n on-infe cted  e gg pop ulatio n woul d in crease  and vise versa.   Total n u mbe r s of  hum an  p opulatio n   wa s in crea sed  from initial  poi nt and  sta b ili zed  at  , while  nu mbers of m o squito  pop ula t ion   dan  an d egg  pop ula t ion    oscillated to a perio dic va lue. Can be  said t hat the  equilibriu m  without de se ase o c curs when      3.3.2. Population  Dinamics  fo r     Sys t em   (6 )  h a s one equili brium   state when   whi c h  ca n be  sh own b y   com putatio n  prog ram .   Wh en cond uctin g  the sim u lat i on, the valu e  add ed for  all peri m eter as follo w, d a ily  biting rate   is 1.2, mosquito  natural mo rtality rate   is 0.071, and an other pa ram e ter  can   be se en on T abel 4. Initial value in this  simulatio n  is  the sam e  as  whe n    Base d  on the  simulatio n , it  can  be   seen   the result a s   follow. Fi gure  7  sh ows th a t  basi c  re pro ductio n  n u mb er  whe n      and other pa ram e te r  can b e  see n  on Table 4.    Acco rdi ng to [7] when  , end emic o c curs.  It means total  infected p o p u lation in the  system i n cre a se s. To  sh ow thi s  h app en, t he simu lation  cond u c ted  to se e each  po pulat ion  cha nge s for  mosq uito, hu man and e gg  popul ation.   Susceptible mosq uito  pop ulation   oscill ated peri odi cally, latent mosq uito pop ul ation    increa se d from initial  sta ge, if the  sim u lation i s   con ducte d for a l onge r p e rio d   of time, the   latent mo sq u i to pop ulatio n o scill ates to a  pe riodi c state. Infe ct ed m o squito  pop ulation    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     A SIR Mathem atical Mode l of Dengu e Tr an sm issi on  and its Sim u lation (Asm aid i )  7925 increa sed at  initial stage , if the simulation  is con ducte d for a  longer  peri od, the infected  mosquito population  oscillate to a  peri o dic state.  The parameter  set     an d  other pa ram e ter  can  be   se en o n  T able   4 cau s e s    so  that of  latent  mo squito  po pulation  and infe cted  one in crea se s an d oscillat e  peri odi cally . Beside s, ea ch mo sq uito  popul ation gi ves   impact to hu man and e gg  popul ation.   Susceptible h u man po pulat ion   wa s increased from in itial stage  an d oscillated t o  a  perio dic  state ,  Infected hu man po pulati on   increa se d from initial  stage, if the simulatio n  is  conducted for a longer period  of time, it w ill produce  a periodic value, recovered  hum an  popul ation   i n creased from beginning  state and os cillated periodically. T he  downward of  su sceptible h u man po pula t ion was d u e  to the increa se in tran sfer rate from infected mo sq ui to  popul ation, so that susce p t ible hum an p opulatio n is  d e crea sed,  as  the re sult, tra n sfer rate  fro m   su sceptible h u man po pula t ion to infected huma n  populatio n is increa sed. Th e increa se o f   infected h u m an ca uses th e rate of infected human b e c ome s  recovered h u ma n is increa se d too.  Non - infe cted egg  p opul atio n   o scill ated  perio dically, while i n fecte d  egg  po pula t ion   incre a sed at  initial stage, if the simulation  is don e for a longe r pe riod, so the i n fected e gg  popul ation oscillate s peri o dically. Non - i n fected e gg wa s pro d u c e d  by suscepti b le mosquito  and  infected  on e. If su sceptibl e  mo squito  a nd infe ct ed   mosq uito p o pulation  in cre a se  so that  non   infected eg g  population i s  increa se a nd vise versa. Throu gho ut the time,  non-i n fecte d  egg  popul ation o s cillate s peri o d i cally as  well  as susce p tibl e mosq uito p opulatio n and  infected on e.   Total Nu mbe r  of human  po pulation   increase from init ial point an d  slo w do wn u n tl it  oscillated  pe ri odically, whil e total nu mbe r  of m o squito  popul ation   a nd e gg p opul ation    oscillated  pe riodi cally. Ca n be  se en t hat eq uilibri u m  occu rs  when   Based  on th e   simulatio n  on  the mod e l to  sho w  total n u m ber  of hum an, mo squito,  and e gg p o p u lation in crea se  whe n  natural mortality rate   incre a sed.     3.4.  Mosquito M o rtalit y  Rate  Simulation   This sim u lati on is nee ded  to see the impact on mo rtality rate in  mosq uito    toward  the endemi c   in population. Furt hermore, the in crease  of param e ter va lues will  reduce basi c   rep r od uctio n  rate ( ) de rive d from  Equat ion (8). T h e r e are 4   valu e for   to be  examined,   taken  in th e i n terval [1  , 2. 5] by 0.5  ste p  [6]. The s e   para m eter va lue a r e  ba se d on  Ta ble  2  with  bite rate  .  Incre a sed  of mosquito  mortality rat e  ca usi ng t he nu mbe r   of mosquito  red u ced,  su sceptible   mosq uitoe s , l a tent mo sq uitoes  and  infe cted  mo squit o . The  re du ced of  mo squi to   popul ation nu mber give eff e ct to the hu man pop ulati on and mo sq uito egg s.  The condition ing of this is  the increa se  in  su sceptibl e  human s, while infecte d  human s  and recovere d huma n s a r e decre asi n g .  This is d u e  to the shri n k  of mo squit o  popul ation  that  lowe r the po p u lation of infe cted mo sq uitoes. In o r de r  that the bite rate is sl owi n g  down. In oth e r  words, infe cted huma n s a nd re cove red  human s a r e d e crea sed too.   Observed  im pact  on th e  egg  popul ation i s  the  de cre a se of  no n-infe cted  eg gs  and   infected  egg s p opulatio n. This is du e  to the  d e crease of late nt mosquitoe s  a nd infe ct ed   mosq uitoe s  to lay egg. T he de crea se  of infect ed  egg s re sulte d  in the de crea se in i n fe cted   mos q uitoes  from infec t ed eggs .         4. Conclu sion   Based  on th e discu ssi on  and result on modifi cat ed mod e l it can  be con c l uded, the  equilib rium g a ined is di se a s e-f r ee e quili brium an d en demic e quilib rium. Di sea s e - free e quilib ri um   stable wh en   1 , while  endemic equilibrium  stabl e when  1 . Hu man p opul ation,  mosq uito, an d infected  e gg drawn to zero wh en   1 , while increases and  oscillated  perio dically when   1 . Meanwhile, with the  mortality rate  in mosquito, t he ba si c re produ ction   rate is de crea sing, so we  can red u ce the  rate of infecti on and d e sea s e.         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 11, Novem ber 20 14:  79 20 – 792 6   7926 Referen ces   [1]  Amaku M, Co u t inho F A , d a  Si lva D R , Lo pez  LF , Burattini M N , Massad  E.  A  Comp arative  Anal ys is  o f   the Rel a tive E fficac y  of Vekt or-Contr o l Strategi es Aga i n s t Deng ue F e ver .   Biom edic al . 20 13. do i :   10.10 07/s1 15 3 8 -01 4 -99 39- 5.  [2] Edelste i n-Kes h et  L.  Mathematical Mo dels i n  Biol ogy . Ne w  Y o rk: Rand om H ouse. 20 05.   [3] Helmers on  J,  Mathe m atic al  Mode lin g of Deng ue T e m per ature Effect on Vektoria l Ca pacity .  T e sis.    Umea. Ume a  Univers i t y . 2 0 1 2 .  [4]  Massad E,  Co utinh o  F A , Lo p e z LF , da S ilv a DR.  Mo de lin g the Imp a ct o f  Global  W a rmi ng o n  Vekt or- Borne Infections.  ScienceD ire c t . 2011; 8(2): 169- 199.   [5]  Ng w a  GA, Shu W S . A M a thematic al M ode l for En de mic Mal a ria  w i t h  Var i ab le  Huma n a n d   Mosqu i toPo pul ations.  Mathe m atic al a nd Co mp uter Mod e ll i n g . 200 0; 32: 7 47– 76 3.  [6] Patricia  K.  Mod e lin g the T r a n s m iss i on  Dyna mics  of the De ngu e Virus . Dissertations. Miami: Universit y   of Miami. 201 0 .   [7]  Van  de n Dr ies sche P, W a tm oug h J.  Repr o ductio n  N u mb e r s an d s ub-thr e sho l d  en demi c  eq uil i bri a  fo r   compartme n tal  models of dis e ase transmiss i on.  Mathe m ati c al Biosc i enc e s . 2002;  18 0 : 29-48.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.