I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   15 ,   N o .   1 J ul y   201 9 ,   pp .   2 83 ~2 93   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 5 .i 1 . pp2 83 - 2 93             283       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i ae s c or e . c om / j our na l s / i nde x . php/ i j e e c s   M o d i f i e d   s i n g u l a r   sp e c t r u m   a n a l y s i s i n   i d e n t i f y i n g   r a i n f a l l   t r e n d   o v e r   p e n i n su l a r   m a l a y si a       S . M .   S h ah a r u d i n 1 ,   N .   A h m ad 2 ,   N . H .   Z ai n u d d i n 3   1 , 3 D e pa r t m e n t   o f   M a t h e m a t i c s ,   F a c ul t y   of   S c i e n c e   a n d   M a t h e m a t i c s ,   U n i v e r s i t i   P e n di di k a S ul t a Id r i s ,   M a l a y s i a   2 D e pa r t m e nt   o f   M a t h e m a t i c s ,   F a c ul t y   of   S c i e n c e ,   U n i v e r s i t i   T e kn o l o gi   M a l a y s i a ,   M a l a y s i a       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e D e c   1 7 2018   R e v i s e F e b   18,   201 9   A c c e pt e M a r e t   1 ,   201 9       I de nt i f y i ng   t he   l o c a l   t i m e   s c a l e   o f   t he   t o r r e nt i a l   r a i nf a l l   pa t t e r t hr o ug S i ng ul a r   S p e c t r um   A na l y s i s   ( S S A )   i s   us e f u l   t o   s e pa r a t e   t he   t r e nd  a nd  no i s e   c om po ne nt s .   H o w e v e r ,   S S A   po s e s   t w o   m a i i s s ue s   w h i c a r e   t o r r e n t i a l   r a i nf a l l   t i m e   s e r i e s   da t a   ha v e   c o i nc i di ng   s i ng ul a r   v a l ue s   a nd  t h e   l e a d i ng   c om po ne nt s   f r o m   e i g e nv e c t o r   o bt a i ne f r o m   t he   de c o m po s i ng   t i m e   s e r i e s   m a t r i a r e   u s ua l l y   a s s e s e by   g r a phi c a l   i nf e r e nc e   l a c ki ng   i a   s pe c i f i c   s t a t i s t i c a l   m e a s u r e .   I c o ns e que nc e s   t o   bo t i s s ue s ,   t he   e x t r a c t e t r e nd  f r o m   S S A   t e nde t o   f l a t t e n   o ut   a nd  di no t   s ho w   a ny   di s t i nc t   pa t t e r n.   T h i s   p r o bl e m   w a s   a pp r o a c he i t w o   w a y s .   F i r s t ,   a I t e r a t i v e   O bl i q ue   S S A   ( I t e r a t i v e   O - S S A )   w a s   pr e s e n t e t o   m a ke   a d j u s t m e nt   t o   t he   s i ng ul a r   v a l ue s   da t a .   S e c o nd,   a   m e a s ur e   w a s   i nt r o duc e t o   g r o up  t h e   de c o m po s e e i g e nv e c t o r   ba s e o R o bus t   S pa r s e   K - m e a ns   ( R S K - M e a n s ) .   A s   t he   r e s u l t s ,   t he   e x t r a c t e t r e nd   us i ng   m o di f i c a t i o o f   S S A   a ppe a r e t o   f i t   t he   o r i g i na l   t i m e   s e r i e s   a nd  l o o ke m o r e   f l e x i b l e   c o m pa r e d   t o   S S A .   Ke y w or ds :   It e ra t i v e   ob l i que   s i n gu l a s pe c t r um   a na l y s i s   Ro b us t   s pa r s e   K - m e a n s   S i ngul a r   s pe c t r u m   a n a l y s i s   T r e nd   C opy r i gh t   ©   201 9   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S . M .   S h a ha r ud i n ,     D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s ,   F a c ul t y   of   S c i e n c e   a n d   M a t h e m a t i c s ,   U n i v e r s i t i   P e ndi d i ka S u l t a I d r i s ,   35 900  T a n j ung  M a l i m ,   P e r a k ,   M a l a y s i a .   E m a i l s ha z l y n @ f s m t . ups i . e du. m y       1.   I N TR O D U C TI O N   U n de r s t a n di ng  o f   r a i n f a l l   pa t t e rn s   i s   e s s e n t i a l   f o r   w a t e r e s o ur c e s   pl a nn i ng  a n m a na ge m e n t   e s pe c i a l l y   w i t h   e v i de n c e   o f   h y dr o l o gi c a l   e xt r e m e   e v e n t s   a nd  v a ri a b i l i t y   i r e c e n t   y e a r s .   It   r e p r e s e n t s   o n e   o t h e   m a i n   po t e nt i a l   c a us e s   of   n a t u r a l   h a z a rds   s uc h   a s   f l oo d s   i n   c e rt a i n   a r e a s   i n   w h i c h   i t   c a us e s   e c o n o m i c   l o s s e s ,   da m a ge   a n d   s o m e t i m e s ,   hum a n   l o s s e s .   T h us ,   i de n t i fy i n l o c a l   t i m e   s c a l e   t o   de t e r m i n e   w h e n   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l   e v e n t s   c o ul po s s i b l y   o c c ur   a t   a   p a r t i c ul a l o c a t i o n   a n d   c o n c urr e nt l y   t o   de t e c t   t r e nd  a t   t h a t   t i m e   pe r i o a r e   c ri t i c a l l y   i m po rt a nt .   I t hi s   a s pe c t ,   l o c a l   t i m e   s c a l e   c a n   b e   de f i n e a s   t i m e   o r   l e n gt h   o f   a   pr o c e s s ,   ob s e r v a t i o n   o r   m o de l   i n   a   p a r t i c ul a r e gi o o r   a r e a .   T h e   t e rm   t r e n b a s e o n   l o c a l   t i m e   s c a l e   c a n   b e   de f i n e a s   s m o o t h   a dd i t i v e   c o m po n e n t   c o n t a i ni n i n f o r m a t i o n   t ha t   r e qui r e s   a   p r e de t e rm i n e d   t i m e   s c a l e .   T r e n us u a l l y   c h a ra c t e ri z e s   t h e   s h a pe   o f   t i m e   s e ri e s   da t a .   T h e r e   ha v e   b e e n   m a n y   r e s e a r c h   w o r do n e   o n   i de nt i fy i n ra i n f a l l   t r e n b a s e o n   t i m e   s c a l e   [1 - 3].   M o s t   of   t h e s e   s t udi e s   w e r e   pr o po s e us i n K e n d a l l   c o rr e l a t i o n   c oe f f i c i e n t   f o r   i de nt i f y   t r e n i n   t h e   t i m e   s e r i e s   da t a .   H ow e ve r ,   t h i s   m e t h o di n o t   pe r f o r m   w e l l   s i n c e   i t   i s   n o t   po s s i b l e   t o   e s t a b l i s h   w hi c h   ki n o f   t r e n t h a t   c o ul b e   e xt r a c t e by   i t s   m e a n s   [4] .   I a ddi t i o n ,   i t   d i d   n o t   c o n s i de r   a n y   n o i s e   t h a t   c o ul po t e nt i a l l y   c o m pr o m i s e   t h e   m e t h o us e d.   I t h i s   s t udy ,   w e   a i m   t o   i de nt i fy   po t e n t i a l   t r e n t h a t   c a s pe c i fy   t h e   r a nge   o l o c a l   t i m e   s c a l e   t o   de t e rm i n e   w h e t h e r   o r   n o t   t h e r e   ha v e   be e n   a n y   hi g h   e xt r e m e   r a i n f a l l   v a l ue s   i n   o rde t o   de t e c t   t h e   a b n o r m a l l y   h e a v y   r a i n f a l l   t ha t   c a n   c a us e   t o rre n t i a l   r a i n f a l l   e v e n t s .   O n e   o f   t h e   m e t h o ds   i i de nt i fy i n g   t h e   ra n ge   o f   l o c a l   t i m e   s c a l e   a c c o r di n t o   t h e   t r e n d   i s   b a s e o n   s i n gu l a s pe c t r u m   a n a l y s i s   (S S A ).   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   1 J ul y   201 9   :     2 8 3   -   2 9 3   284   In   ge n e r a l ,   S S A   p r o v i de s   a   r e pr e s e n t a t i o n   o f   a   un i v a r i a t e   t i m e   s e r i e s   w h i c h   i s   t ra n s f o r m e i n   t e r m s   o f   t h e   e i ge n v a l ue s   a n e i ge n v e c t o r s   o a   t r a j e c t o r y   m a t r i x .   I n   t h i s   s t udy ,   e i ge n v a l ue s   a n e i ge n v e c t o r   of  t h i s   t y pe   o t i m e   s e r i e s   a r e   r e f e rr e a s   e i ge t i m e   s e r i e s .   S S A   i s   us e f ul   t o   s e pa ra t e   t h e   t i m e   s e ri e s   da t a   i n t o   t r e n d   a nd  n o i s e   by   de c o m po s i n i t s   t i m e   s e r i e s   e i ge n   a n d   r e c o n s t ruc t   t h e m   i nt o   s e l e c t i o n   o f   gr o up.     In  t o rr e nt i a l   ra i n f a l l   t i m e   s e ri e s   da t a ,   t h e   da i l y   a m o u n t   o f   ra i n f a l l   i s   a p p r o xi m a t e l y   s i m i l a r   o v e r   a   pe r i o of   t i m e .   T h i s   s i t u a t i o n   l e a ds   t o   a   pr o b l e m   w h e n   us i n S S A   w h e r e   t h e r e   w e r e   c o i n c i di n g   s i n g ul a r   v a l ue s .   It   m a de   di s j o i nt   s e t s   o f   s i n gu l a v a l ue s   a nd  d i f fe r e nt   s e ri e s   c o m po n e n t s   a c t u a l l y   m i xe w i t e a c o t h e r.   A n o t h e r   i s s ue   t ha t   c r o ppe up  w h e n   us i ng  S S A   w a s   t ha t   l e a d i n c o m po n e n t   f r o m   t h e   e i ge n v e c t o r   ob t a i n e f r o m   t h e   de c o m po s i n t h e   t i m e   s e r i e s   m a t ri w a s   us ua l l y   a s s e s s e s ub j e c t i ve l y   by   gr a p hi c a l   i n f e r e n c e ,   l a c ki n g   a   s pe c i f i c   s t a t i s t i c a l   m e a s u r e .   T h us ,   t hi s   ha po t e n t i a l l y   a ff e c t e t h e   s e pa ra b i l i t y   s t r e n g t h   i n   S S A .   In   c o n s e que n c e   of  t h e   i s s ue s   s t a t e a bo ve ,   t h e   e xt ra c t e t r e n f r o m   S S A   t e n de t o   f l a t t e n   o ut   a n d i n o t   s h o w   a n y   di s t i n c t   pa t t e rn.   T h e r e f o r e ,   i t   f a c e di ff i c ul t i e s   i n   de t e r m i n i n t h e   r a nge   of   t h e   l oc a l   t i m e   s c a l e   i n   e s t i m a t i ng  w h e t h e   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l   e v e n t   o c c ur s .   In  o r de r   t o   e ff e c t i v e l y   ov e r c o m e   t h e   a b ov e   s h o r t c o m i n gs ,   t w o   a pp r o a c h e s   w e r e   i n t r o duc e i S S A   t o   m i t i g a t e   t h e s e   p r o b l e m s .   F i r s t l y ,   a n   i t e r a t i v e   ob l i que   S S A   (I t e ra t i v e   O - S S A w a s   p r e s e n t e w hi c h e l pe t i m p r o v e   t h e   w e a s e pa ra b i l i t y .   T h i s   m e t h o pe r f o r m e a   n e w   de c o m p o s i t i o n   o a   pa rt   i n   t h e   S S A   w h i c c o r r e c t e t h e   e i ge n v a l ue s   i n   o rde r   t o   a v o i t h e i r   po s s i b l e   m i x t u r e   o r   di s j o i n t   s e t s   of   s i n gul a r   v a l ue s   i n   t h e   gr o up  c o rr e s po n di n t o   di f fe r e n t   c o m po n e n t s .   It e r a t i v e   O - S S A   fo un t ha t   t h e   s e pa ra t i ng  i nn e r   p r o duc t s   b y   i t e ra t i o n s   w e r e   c o n v e r ge t o   a   s t a t i o na r y   po i n t .   S e c o n dl y ,   a   m e a s u r e   w a s   i n t r o duc e t o   gui de   a n   e f fe c t i ve   gr o upi ng  o f   de c o m po s e e i ge n v e c t o r   b a s e o n   R ob us t   S pa r s e   K -   m e a n s   c l us t e ri n g   m e t h o (R S K - m e a n s ) .   T y pi c a l l y ,   b a s i c   c l us t e r i n m e t h o l i ke   k - m e a n s   m e t h o pe r f o r m e r a t h e r   po o r l y   i n   t h e   pr e s e n c e   of  n o i s e T h us ,   i t   w a s   u na b l e   t o   r e t r i e v e   a   v e r y   goo pa r t i t i o n   f o r   e i g e n v e c t o r   i n   o r de r   t o   s e pa ra t e   t h e   t r e n a nd  n o i s e   c o m po n e n t s   a c c o r di n gl y .   M o r e ove r ,   t h e   s pa r c i t y   i n   t hi s   m e t h o w a s   ob t a i n e by   a s s i gn i n w e i gh t s   t o   c o m po n e n t s   w h e r e   t h e   o pt i m a l   w e i ght s   a r e   po s i t i v e   w h i c h   w e r e   us e t o   de t e r m i n e   t h e   c l us t e r .   In   S e c t i o n   2,   t h e   ra i n f a l l   d a t a   t ha t   us e i n   t hi s   s t u d y   i s   de s c r i b e d.   T h e n,   i n   S e c t i o n   3 ,     t h e   m e t h o do l o gi e s   r e l a t e t o   t h e   S S A   a n m o di f i c a t i o n   o f   S S A   i s   pr e s e n t e d .   N e xt ,   i n   S e c t i o n   4,   t h e   r e s ul t s   a n d i s c us s i o n   t o   i de nt i f y   t e m po r a l   c l us t e r   p a t t e rn s   us i ng  S S A   a n m o di f i e S S A   a r e   p r o v i de d.   Co n c l us i o n   i s   gi v e n   i t h e   f i n a l   s e c t i o n.         2.   D EV ELO P M EN O F   M O D I F I ED   S S A   A P P R O A C H   O v e r   t h e   y e a r s ,   de v e l o pm e n t s   i n   i m p r o v i n S S A   g ra du a l l y   g r o w .   V a ri o us   s t udi e s   l o o a t   i s s u e s   s uc h   a s   w e a s e pa ra b i l i t y   b e t w e e n   c o m po n e n t s ,   hi g h   d i m e n s i o n s   of   t h e   t ra j e c t o r y   m a t r i c e s ,   c h a nge   po i n t   de t e c t i o n   a n l o w - r a n m a t r i a pp r o xi m a t i o n s .   S e pa r a b i l i t y   c o n di t i o n   i s   o n e   of   t h e   i m po rt a nt   a s pe c t s   w h e n   us i ng  S S A   a s   i t   de t e rm i n e s   p r o pe de c o m po s i t i o n s   a n e x t r a c t i o n   o f   c om po n e n t s   t o   b e   a c h i e v e d.   T h e   m a i n   o b j e c t i v e   of  S S A   i s   t o   de t e r m i n e   t h e   s e pa r a b i l i t y   w h i c h   e n t a i l s   h o w   w e l l   t h e   c o m po n e n t s   o f   t h e   t i m e   s e r i e s   c a n   b e   s e pa ra t e f r o m   e a c h   o t h e r   t o   a l l o w   f ur t h e r   a na l y s i s   t o   be   m e a ni n gf ul l y   d o n e .   [5 - 7 p r o ve t h a t   s e pa ra b i l i t y   ha a   g r e a t   i n f l ue n c e   i n   S S A   p r o c e s s .   [8]  p r o po s e t w o   m e t ho ds   w h i c h   a r e   It e r a t i v e   O b l i que   S S A   a n N e s t e S S A   w i t h   de r i v a t i v e s   (D e r i v S S A i n   i m p r o v i n g   t h e   s e pa ra b i l i t y   c o n di t i o n s .   T h e i m e t h o ds   f o c us   o n   t h e   i nn e r   pr o duc t s   c o rr e s p o n di ng  t o   o b l i que   c oo r di na t e   s y s t e m s   i n s t e a o f   t h e   c o n v e n t i o na l   E uc l i de a n   i nn e r   p r o duc t .   Bo t h   m e t h o ds   c a n   b e   c o n s i de r e a s   r e f i ni n o f   t h e   de c o m pos i t i o o b t a i n e by   S S A   a ppr o a c w h e r e   t h e y   c a n   c o n s i de r a b l y   i m p r o v e   t h e   s e pa ra b i l i t y   a n d   h e n c e   t h e   r e c o n s t ruc t i o n   a c c ura c y .   Im p r o v e m e n t   o r   r e p l a c e m e nt   o f   t h e   s i n gu l a r   v a l ue   de c o m po s i t i o n   (S V D pr o c e dur e   i n   de c o m po s i t i o n   s t a ge   i s   o n e   o f   t h e   a l t e rna t i v e s   t o   e xt e n d   S S A .   T h e r e   a r e   t w o   r e a s o n s   S V D   m e t h o i s   i n a pp r o p r i a t e   t o   us e   i n   a na l y s i s .   T h e   f i r s t   i s   w h e n   t h e   di m e n s i o n   of   t h e   t ra j e c t o r y   m a t ri o t h e   da t a   s e t   i s   s l a r ge   t ha t   i t   b e c o m e s   t oo   e xp e n s i v e   t o   c o m put e   t h e   da t a   u s i ng  S V D   m e t h o d.   T h e   s e c o n i s ,   a c c o r di ng  t o   pe r t u r b a t i o n   t h e o r y ,   t ha t   S V D   s e ri o us l y   de gr a de s   t h e   pe r f o rm a n c e   o f   t h e   m e t h o d.   I c l a s s i c a l   S S A   m e t h o d,   s t a n d a r S V D   i s   b a s e o n   t h e   l e a s t   s qua r e   e s t i m a t e   w h i c h   ha s   hi g h e s t   po s s i b l e   r e s i dua l   n o i s e   l e v e l .   [9]   i n t r o duc e S S A   b a s e d   o n   t h e   m i ni m u m   v a r i a n c e   e s t i m a t i o n   w h e r e   t h e   e s t i m a t o r   g i v e s   t h e   m i n i m um   t o t a l   r e s i du a l   po w e r .   T h e   di f fe r e n c e   b e t w e e n   t h e s e   t w m e t h o ds   i s   t ha t   by   a da pt i ng  t h e   w e i gh t s   o f   di ff e r e n t   s i ngul a r   c o m po n e n t s ,   i t   c o ul s e pa r a t e   t h e   s i gna l   f r o m   n o i s e   c o m po n e n t s .   T h us ,   a   s m a l l   a dj us t m e nt   o t h e   e i ge n v a l ue s   a nd  e i ge n v e c t o r s   c a n   c o unt e t h e   p r o b l e m s   of   s t a n d a r d   S V D   i S S A   a pp r o a c h .   T h e   c o m b i na t i o n   m e t h o o S S A   a n c l a s s i f i c a t i o n   i s   a n o t he r   s t a t i s t i c a l   a pp r o a c h   i n   i m p r o v i n t h e   S S A .   T h e   i m p r o v e m e n t   i n di c a t e s   t h a t   t h e   p r o c e dur e   s uc c e s s f ul l y   e l i m i n a t e s   m o s t   of   t h e   n o i s e   p r e s e n t   i n   t h e   s i g n a l   i n   a n   e f f i c i e n t   m a nn e r .   Cl us t e ri n t e c hn i que s   a r e   w i de l y   us e a n d   o f t e n   c o m b i n e w i t h   S S A   a s   s h o w n   by   [10]  i n   o r de r   t o   r e pl a c e   t h e   t ra di t i o na l   d i gi t a l   f i l t e r i n a n d   s pl i n e - b a s e m e t h o ds .   T h e   p r o c e dur e   a c c o r di ng  t o   t hi s   a pp r o a c h   c o n s i s t s   o f   ob t a i n   l e a d i n c o m po n e n t s   i t he   f r e que n c y   do m a i n   a n r e m o ve   n o i s e   pr e s e n t   i t h e   s i g n a l   i n   a   s i m pl e   a nd  i nt ui t i v e   w a y .   A   l a t t e r   a p p r o a c h   d e s c r i b e by   [11]  us e t h e   s a m e   a pp r o a c h   w hi c Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Modi f i e s i ngul ar   s pe c t r um   ana l y s i s   i n   i de n t i f y i ng  r a i nf a l l   t r e nd  ov e r   p e ni ns u l ar   ( S. M.   Shah ar udi n )   285   c o m b i n e S S A   w i t n e u r a l   n e t w o r k.   T hi s   p r o po s e m e t h o ha s   t h e   s a m e   go a l   w h i c h   i s   t o   r e m o v e   m o s t   of   t h e   n o i s e   i s i g na l   c o m po n e nt s .       3.   M A TER I A A N D   M ETH O D   In  t hi s   s e c t i o n,   da t a   a n d   m e t h o a r e   e xp l a i n e d.       3. 1 .       D at a   T h e   da i l y   r a i n f a l l   da t a   f r o m   75  s t a t i o n s   o ve r   P e n i n s u l a r   M a l a y s i a   w e r e   ob t a i n e f r o m   J a b a t a P e n ga i r a n   d a n   S a l i ra n   (J P S ).   I n   t h i s   s t udy ,   t h e   fo c us   i s   o n   t he   oc c ur r e n c e   of   e xt r e m e   r a i n f a l l   e v e n t   de s c r i b e a s   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l .   D a y s   w h i c h   e x h i b i t e t o rr e n t i a l   c ha r a c t e r i z e w e r e   s t ri c t l y   s e l e c t e b a s e o n   c r i t e r i a   de s c r i b e d.   It   w a s   t h e r e f o r e   n e c e s s a r y   t o   c h o os e   s o m e   c r i t e r i a   t ha t   w o ul l e a t o   t h e   e s t a b l i s hm e nt   o f   a   t hr e s h o l d ,   i o r de r   t o   a l l o w   fo r   a   c l e a di s t i n c t i o n   b e t w e e n   w h a t   c o n s t i t u t e s   a   d a y   of   t o r r e n t i a l   r a i n f a l l   i t h e   P e n i n s ul a r   M a l a y s i a   r e gi o n   a nd  w h a t   do e s   n o t .   A r e a   w i t h   a   t r o pi c a l   c l i m a t e   w i t h   60  m m / da y   i s   t h e   m o s t   c o m m o n   t hr e s h o l a p pl i e f o r   t h i s   pu r po s e   [12].   T h e   pe r i o i s   b a s e o n   o b s e r v e s e r i e s   o f   da i l y   m a xi m um   ra i n f a l l   s t a r t i n f r o m   N o v e m be r   197 a nd  e n ds   o 31   D e c e m be r   2007 ,   c o v e r i n g   a   s e que n c e   o f   61   c o n s e c ut i ve   da y s .     3. 2 .       S i n gu l ar   S p e c tr u m   A n al ys i s     S i n gu l a s pe c t rum   a na l y s i s   (S S A i s   a   t i m e   s e r i e s   a na l y s i s   m e t h o w h us i s   c o n s t r uc t e f r o m   s e v e r a l   e l e m e n t s   o f   c l a s s i c a l   t i m e   s e ri e s ,   m ul t i v a r i a t e   s t a t i s t i c s ,   m u l t i v a ri a t e   ge o m e t r y ,   d y n a m i c   s y s t e m   a n s i g n a l   p r o c e s s i n g.   T h e   f u n c t i o n   o f   us i n S S A   m e t h o i s   t o   de c o m p o s e   t h e   o r i gi na l   c o m po n e n t s   t o   t r e n d ,   s e a s o n a l   a n n o i s e   c o m p o n e nt s   [13].   S S A   m e t h o c o n s i s t s   of   t w c o m pl e m e n t a r y   s t a ge s   w h i c h   a r e   de c o m po s i t i o n   a nd  r e c o n s t r uc t i o n   s t a ge .   I de c o m po s i t i o n   s t a ge ,   i t   h a s   t w o   v i t a l   s t e ps   w hi c a r e   e m b e ddi n a n s i n gu l a r   v a l ue   de c o m po s i t i o n   w h i l e   i n   r e c o n s t ruc t i o n   s t a ge ,   i t   ha s   a n o t h e r   t w o   m a i n   p r o c e dur e s   w h i c h   a r e   gr o upi ng  a nd  d i a go n a l   a v e ra gi ng.   B e l o w   i s   a   b r i e f   di s c us s i on   o n   t h e   m e t h o do l o g y   of   S S A   m e t h o d.   T h e   s t e ps   i n v o l ve i   S tage   1:  D e c o m p os i ti o n   T h e r e   a r e   t w o   s t e ps   i n   t h e   de c o m pos i t i o n   s t a ge   w h i c h   a r e   e m b e ddi n a n s i n gul a r   v a l ue   de c o m po s i t i o n   (S V D ) .   I ge n e r a l ,   t hi s   s t a ge   a i m s   t o   de c o m p o s e   t h e   s e ri e s   t o   o b t a i n   e i ge n   t i m e   s e ri e s   da t a .   S t e 1 :   E m b e ddi n g .   T h e   f i r s t   s t e i n   b a s i c   S S A   a l go r i t h m   i s   t o   c o n s t r uc t   t h e   t r a j e c t o r y   m a t r i f r o m   a   o n e   di m e n s i o na l   s e ri e s   t o   a   m ul t i d i m e n s i o n a l   s e ri e s   w h o s e   di m e n s i o n   i s   c a l l e t h e   w i n do w   l e n gt h,   L .   L e t   a   o n e   di m e n s i o na l   t i m e   s e r i e s ,   = { 1 , 2 , , }   b e   t ra n s f o r m e i n t o   a   m u l t i - di m e ns i o n a l   s e r i e s   1 , ,   w i t v e c t o r s   = ( , , + 1 ) ,   w h e r e   2 < < 2   i s   t h e   w i ndo w   l e n gt a nd   = + 1 .   T h e   t ra j e c t o r y   m a t r i x   i s   de n o t e b y   = ( 1 , , ) = (  ) , = 1 , ,   s uc t ha t     = [ 1 : : ]   = (  ) , = 1 , = (         1   2   3         2   3   4     + 1     3   4   5     + 2                 + 1   + 2         )         (1)     T h e   l a gge d   v e c t o r s     a r e   t h e   c o l um n s   o f   t h e   t ra j e c t o r y   m a t r i .   T h e   r o w s   a n d   c o l um n s   o f     a r e   s ub s e r i e s   o f   t h e   o r i g i n a l   t i m e   s e ri e s   da t a .     S t e 2 :   S i ngul a r   V a l ue   D e c o m po s t i o n   (S V D ).   S V D   t ra ns fo r m s   t h e   t r a j e c t o r y   m a t ri i n   s t e I   i nt o   a   de c o m po s e t r a j e c t o r y   m a t r i w h i c h   w i l l   t u rn   i n t o   t r e n a n n o i s e   b a s e o n   t h e i s i n gu l a r   v a l ue s .   I n   t h i s   s t e p,   S V D   o f   t h e   t ra j e c t o r y   m a t ri c     i s   pe r f o r m e d.   T h e   S V D   c a b e   r e p r e s e n t e d   a s       = Σ   (2)     w h e r e   = ( 1 , , )   i s   a   ×   o r t h o go n a l   m a t r i x,   = ( 1 , , )   i s   a     ×   o rt h o go n a l   m a t r i x   a nd  Σ   i s   a   ×   di a go n a l   m a t r i w i t n o nn e g a t i v e   r e a l   d i a go na l   e n t ri e s   Σ  =   f o r   = 1 , , .     T h e   v e c t o r s     a r e   c a l l e l e f t   s i n gu l a v e c t o r s ,   t h e     a r e   t h e   ri g ht   s i n gu l a v e c t o r s   a n d   t h e     a r e   t h e   s i ngul a r   v a l ue s .   L e t   t h e   s i ngul a r   v a l ue s   b e   a rra n ge i n   de s c e n di n o r de r   s uc h   t ha t   (   1 2 ).   T h e n ,   t h e   S V D   o f   t h e   t ra j e c t o r y   m a t ri x     c a b e   w r i t t e a s     = 1 + + L   (3)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   1 J ul y   201 9   :     2 8 3   -   2 9 3   286   W h e r e   = .   N o t e   t ha t ,   t h e   m a t ri c e s   o f     a r e   c a l l e d   e l e m e nt a r y   m a t r i c e s   i f     ha s   ra n k   o n e .   T h e   c o l l e c t i o n   ( , , )   i s   c a l l e t h e      e i ge n t r i p l e   o f   t h e   S V D .     S tage   2:  R e c o n s t r uc t i o n   T h e r e   a r e   t w o   s t e ps   i n   t h e   r e c o n s t r uc t i o n   s t a ge   w h i c h   a r e   gr o upi ng  a nd  d i a go n a l   a v e ra gi n g .   I ge n e ra l ,   t hi s   s t a ge   a i m s   t o   r e c o n s t r uc t   t h e   o r i g i n a l   s e r i e s   a n d   us e   t h e   r e c o n s t r uc t e s e r i e s   f o r   f ur t h e r   a na l y s i s   s uc h   a s   f o r e c a s t i n g .     S t e 1:   G r o upi ng.   I n   g r o upi n s t e p,   t h e   t r a j e c t o r y   m a t ri i s   s pl i t   i n t o   t w o   gr o ups   b a s e o n   t h e   t r e n a n n o i s e   c o m po n e n t s .   T h e   i ndi c e s   s e t   { 1 , , }   i s   pa rt i t i o n e d   i nt o     di s j o i n t   s ub s e t s   1 , , ,   c o rr e s po n d i n g   t o   s pl i t i n g   t h e   e l e m e n t a r y   m a t ri c e s   i n t o     gr o ups .   S e t   = { 1 , , } ,   a n d   t h e   r e s ul t a n t   m a t ri x     i s   de f i n e d   a s       = 1 + +    (4)     T h e   r e s ul t a n t   m a t ri c e s   a r e   c o m put e f o r   = 1 , ,   a n s ub s t i t ut e i (5. 3).   T h e   e xp a n s i o n   i s   de f i n e a s :     = 1 + +    (5)     wh e r e   t h e   t ra j e c t o r y   m a t r i i s   r e p r e s e nt e a s   a   s um   o f     re s ul t a n t   m a t ri c e s .   T h e   c h o i c e   o f   t h e   s e t s   = 1 , ,   i s   k n o w n   a s   e i ge nt r i p l e   g r o upi n g .     S t e 2:   D i a go n a l   a v e r a g i n g .   D i a go n a l   a v e r a gi ng  t r a n s f o r m s   e a c h   r e s ul t a n t   m a t ri o b t a i n e f r o m   (5)  i n t o   a   n e w   o n e   di m e n s i o na l   s e r i e s   o f   l e n g t .   L e t   Z   b e   a ×   m a t ri x   w i t h   e l e m e n t s    , 1 ,   1 .   S e t   = mi n ( , ) , = ma x ( , )   a nd  = + 1 .   L e t    =    i f   <   a n d    =    o t h e r w i s e .   By   us i n g   (6) ,   m a t ri x     w i l l   t r a n s f e r   i n t o   t h e   s e ri e 1 , ,   O n c e   t h e   di a go na l   a v e ra gi ng  s t e i n   r e c o n s t r uc t i o n   s t a ge   i s   c o m pl e t e d,   i t   b e c o m e s   a   r e c o n s t r uc t i o da t a   s e r i e s   ̃ ( )   w i t e n t ri e s   ̃ ( )     {         1 , + 1 = 1   1 < 1 , + 1 = 1     1 + 1 , + 1 + 1 = + 1   <     (6)       3. 3 .       M o d i fi c ati o n   o S S A   L a r ge   M o di f i c a t i o n   o f   S S A   i n   t hi s   s t udy   i s   t h e   c o m b i n a t i o n   o f   t w o   m a i n   s t ra t e gi e s   w h i c h   a r e   ( i It e ra t i v e   O b l i que   S S A   (It e r a t i v e   O - S S A b a s e o n   r e s t r i c t e S V D   t m a ke   a dj us t m e n t   t o   s i n gul a r   v a l ue s   ob t a i n e f r o m   t h e   de c o m po s i n t i m e   s e r i e s   m a t r i x   a nd  ( i i )   R ob us t   S pa r s e   K - m e a n s   (R S K - m e a n s w h i c h   i s   t i de nt i fy   r e l e v a n t   c l us t e r   f o r   e i ge n v e c t o r   ob t a i n e f r o m   de c om po s i n t i m e   s e r i e s   m a t ri i n   o rde r   t o   s e pa ra t e   t h e   t r e n d   a nd  n o i s e   c o m po n e nt s   i t h e   t i m e   s e r i e s   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l   d a t a   a pp r o p r i a t e l y .     3. 4 .       I t e r at i v e   O b l i q u e   S S A   (I te r ati v e   O - SSA)   N um b e r   It e r a t i v e   O - S S A   w a s   i n i t i a l l y   pr o po s e by   [8]  t i m p r o v e   t h e   s e pa r a b i l i t y   o f   t h e   s e r i e s   c o m po n e n t s   by   S S A .   In   ge n e r a l ,   t h e   m e t h o c o n s i s t s   o f   a   ba s i c   a l go r i t hm   o f   S S A   a n s e v e r a l   v a r i a t i o n s   t o   i m p r o v e   t h e   s e pa ra b i l i t y   b e t w e e n   c o m po n e n t s   i n   t h e   o ri gi na l   s e r i e s   da t a .   S e pa ra b i l i t y   i s   c l o s e l y   r e l a t e t o   t h e   S V D   w h i c h   i s   t h e   e s s e n t i a l   pa rt   o m a n y   s t a t i s t i c a l   a nd  s i g n a l   p r o c e s s i n m e t h o ds .   H ow e ve r ,   i t   ha s   a   dra w b a c i f   t h e   s i n gul a r   v a l ue s   o b t a i n e f r o m   S V D   h a v e   c o i n c i di n s i n gul a r   v a l ue s .   Co i n c i di n g   s i n gu l a v a l ue s   m e a t ha t   t o rr e nt i a l   r a i n f a l l   t i m e   s e r i e s   d a t a   ha v e   e qua l   s i ngul a r   v a l ue   w h i c h   a r e   ge n e ra t e f r o m   t h e   de c o m po s i n t i m e   s e ri e s   m a t ri x.     T h i s   s i t u a t i o n   c a us e s   di s j o i n t   s e t s   o s i n gul a r   v a l ue s   a n di f fe r e nt   s e r i e s   c o m po n e n t s   t o   m i w i t h   e a c h   o t h e r .   It e ra t i v e   O - S S A   m e t h o c o ul o v e r c o m e   t h e   p r o b l e m   by   m odi fy i n t h e   b a s i c   S S A   a l go r i t h m   w h e r e   t h e   S V D   s t e i s   c h a nge t o   t h e   ( L , R ) - S V D   k n o w n   a s   R e s t ri c t e S V D   (R S V D ).     T h e   a l go r i t h m   o f   i t e ra t i v e   O - S S A   s t a r t s   w i t h   a n   o b l i que   S S A .   O b l i que   S S A   c o m e s   f r o m   t w o   ob l i que   b a s e s   r e f e r r e t o   a s   L - o r t h o n o r m a l   a n R - o rt h o n o rm a l   t ha t   c o r r e s po n d i n t o   t h e   r o w   a n c o l um n   s pa c e s   b a s e o n   D e fi n i t i o n   1 F l ow   c h a r t   o f   S S A   a ppr o a c h   a s   s h o w n   i n   F i gu r e   a n F l o w   c h a rt   o f   M o di f i e S S A   a pp r o a c a s   s h o w n   i F i gu r e   2.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Modi f i e s i ngul ar   s pe c t r um   ana l y s i s   i n   i de n t i f y i ng  r a i nf a l l   t r e nd  ov e r   p e ni ns u l ar   ( S. M.   Shah ar udi n )   2 87       F i gu r e   1 .   F l o w   c h a rt   o f   S S A   a pp r o a c h           F i gu r e   2 .   F l o w   c h a rt   o f   M o di f i e S S A   a pp r o a c h       D e fi n i t i o n   1:  Co n s i de r   a   m i n i m a l   de c o m po s i t i o o f   ,   o f   ra n i t h e   f o r m       = = 1   (7)     w h e r e   1 2 > 0 ,   { } = 1   a nd  { } = 1 a r e   l i n e a rl y   i n de pe n de nt .   { } = 1   i s   a   b a s i s   o f   t h e   c o l u m s pa c e   of     o f   a n   - o r t h o n o rm a l   s y s t e m   w h i l e   { } = 1   i s   a   b a s i s   o f   t h e   r o w   s pa c e   of     o f   a n   - o r t h o n o r m a l   s y s t e m .   (7)  c a b e   e xpr e s s e i t h e   m a t ri x   f o r m ,     Y = P Σ Q T   (8)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   1 J ul y   201 9   :     2 8 3   -   2 9 3   288   w h e r e   = [ 1 : : ] ,   = [ 1 : : ]   a nd  = ( 1 , , ) .   T h e   de c o m po s i t i o n   i s   ( , ) - b i o r t h o go n a l   kn o w n   a s   R e s t ri c t e S V D   (R S V D gi v e by   t h e   t r i p l e   ( , , )   L e t     b e   a o rt h o n o rm a l i z i ng   m a t ri x   o f   { } = 1   a n d     b e   a o r t h o n o r m a l i z i ng   m a t ri x   o f   { } = 1 .   T h e n,   (7) ,   t r a n s f o r m e t o       T = ( ) ( ) = 1   (9)     i s   a S V D   o f   T   of  ,   w i t l e f t   s i n g ul a r   v e c t o r s     a n d   ri g h t   s i ngu l a v e c t o r s   .   T h e   r e s ul t   f o l l ow s   t h e   f a c t   t ha t   a n y   b i - o r t h o go n a l   de c o m po s i t i o n s   i s   a S V D .     (9)  i s   a S V D   i f   a n d   o n l y   i f   (7)   i s   a ( L ,   R ) - S V D ,   w h e r e   = T   a n d   = T a nd     a r e   o r t h o n o r m a l i z i ng.     O b l i que   S S A   (O - S S A i s   t h e   m o di f i c a t i o n   f r o m   t h e   S S A   w h e r e   t h e   S V D   s t e i s   c h a n ge t o   ( L ,   R ) - S V D .   T h e   a l go r i t hm   f o r   O - S S A   i s   a s   f o l l ow s :     A l go r i th m   1:  O b l i q u e   S S A   (O - SSA)   In p ut :   Y , ( L , R )   c o n s i s t e n t   w i t h   Y     O ut put :   ( L , R )    i n   t h e   f o r m   (7)   [1]   Ca l c ul a t e     a nd  us i n g   C h o l e s k y   de c o m po s i t i o n   [2]   Ca l c ul a t e   T   [3]   F i nd  t h e   o r d i n a r y   S V D   de c o m po s i t i o n   a s   f o l l ow :     T = = 1   ( 10)     b e   o r di na r y   S V D   of   T .   T h e n,   c o m pa r e   w i t t h e   de c o m po s i t i o n   o f   (7)  w i t h   = =   a n =   i s   t h e   ( , )    w h e r e     de n o t e s   ps e udo - i n v e r s e .     N o t e   t h a t   i f     a nd    a r e   t h e   i de n t i t y   m a t ri c e s ,   t h e o b l i que   S S A   c o i n c i de s   w i t h   c l a s s i c a l   S S A ,   = =   a n d   =   ( , )    is   a n o t h e S V D   a pp r o a c h.   I t s   f u n c t i o t o   e xt ra c t   t h e   l e a d i n g   c o m po n e n t s ,   l i ke   c l a s s i c a l   S V D ,   i s   i na pp r o p r i a t e   i n   e x t r a c t i n t h e   t r e n a nd  n o i s e   f r o m   c o m po n e n t s .   T r e n ds   c o m po n e nt s   w o ul be   m i xe w i t h   n o i s e   c o m po n e nt s   i r e c o n s t ruc t i o s t e w h e n   us i n g   ( , )    a pp r o a c h.   T h e   It e r a t i v e   ob l i que   S S A   (It e ra t i v e   O - S S A i s   i nt r o duc e t o   i m p r o v e   t h e   s e pa ra b i l i t y   b e t w e e n   t h e   c o m po n e nt s .     = 1 + +    i s   a   m a t ri x   de c o m po s i t i o o b t a i n e d   f r o m   t h e   g r o upi n g   s t e i S S A   m e t h o d   (r e f e r   t o   5. 5 w h e r e   e a c g r o up  c o rr e s po n ds   t o   a   s e pa ra t e t i m e   s e ri e s   c o m po n e n t .   L e t      gr o up  =   b e   a ppo i n t e f o r   a   r e de f i n e de c o m po s i t i o n .   D e n o t e   = =     = 1 ,   t h e   s e r i e s   ob t a i n e f r o m     by   di a go na l   a v e r a gi n g .     A l go r i th m   2 :   It e r a t i v e   O - SSA    In p ut :   T h e   m a t ri x   Y   c o n t a i n s   c o l um n   s p a c e   o f   L   a nd   r o w   s pa c e   o f   R ,   s uc a   pa i ( L , R )   i s   c o n s i s t e nt   w i t t h e   m a t r i x   Y     O ut put :   R e de f i n e s e ri e s   de c o m pos i t i o o f   = ̃ ( 1 ) + + ̃ ( ) .   a)   Co n s t r uc t   a ( L , R ) - S V D   o f   Y   us i n g   a l go ri t hm   i n   (7)   b)   P a rt i t i o t h e   s e t   { 1 , , } = = 1   a n d   f o r m   g r o up  b e t w e e n   c o m po n e n t   t o   o b t a i n e d   a   r e f i n e m a t r i de c o m po s i t i o n   = 1 + +  .   c)   O b t a i n   a   r e f i n e s e ri e s   de c o m po s i t i o n   = ̃ ( 1 ) + + ̃ ( ) ,   w h e r e   ̃ ( ) = 1  .   d)   T h e   de c o m po s i t i o n   o f   t h e   s e ri e s      i s   o b t a i n e d,    =  ̃ ( 1 ) + +  ̃ ( )   w h e r e    ̃ ( ) = ̃ ( 1 ) + + ̃ ( ) .     3. 5 .       R o b u s S p ar s e   K - M e an s   (R S K - m e an s )   K - m e a n s   c l us t e r i ng  i s   o n e   o f   t h e   po pul a r   m e t h o ds   f o r   c l us t e r   a na l y s i s   i da t a   m i n i n g   [14] .     T h e   pu r po s e   of   t h i s   c l us t e r i ng  m e t h o i s   t o   pa r t i t i o n   t h e   o bs e r v a t i o n s   o c o m po n e n t s   i n t o   s e v e r a l   g r o ups   i w h i c h   o b s e r v a t i o n s   o r   c o m po n e nt s   b e l o n t o   t h e   g r o up  w i t h   t h e   n e a r e s t   m e a n.   I n   t h e   m o di f i c a t i o n   o f   S S A ,   t h i s   c l us t e ri n t e c hni que   i s   c h o s e f o r   t h e   pu rpo s e   of   gr o upi n g   s t e w h e r e   t h e   l e a d i n c o m po n e n t s   e xt r a c t e f r o m   S V D   a r e   a s s e m b l e d.   U n fo r t u na t e l y ,   k - m e a n s   i s   u n a b l e   t o   e xt r a c t   a   v e r y   g oo pa r t i t i o n   f o r   l e a di n g   c o m po n e n t s   b e c a us e   i t   pe r f o r m s   ra t h e r   po o r l y   i t h e   s e pa r a t i o n   o f   t h e   t r e nds   a nd  n o i s e   c o m po n e n t s .   T h e r e f o r e ,   a n   e f f i c i e n c y   m e t h o f r o m   t h e   e xt e n s i o n   o f   k - m e a n s   a pp r o a c h   w a s   i nt r o duc e w h i c h   i s   c a l l e t h e   Ro b u s t   S pa r s e   K - M e a n s   (R S K - M e a n s ).     R S K - m e a n s   w a s   i n i t i a l l y   pr o po s e by   [6]  t o   de v e l o a   r o b us t   c l us t e ri n m e t h o t h a t   i s   a l s o   a b l e   t pe r f o r m   v a r i a b l e   s e l e c t i o n   i t h e   da t a   s e t .   T h i s   a pp r o a c h   i s   b a s e o n   c o m b i ni n i de a   f r o m   t w o   m e t h o ds   w h i c a r e   s pa r s e   K - m e a n s   a nd  t r i m m e K - m e a n s   w h e r e   b o t h   m e t ho ds   us e   s qua r e E uc l i de a n   a n w e i g h t e s qu a r e E uc l i de a n   di s t a n c e s .   T h e   w e i gh t e s qu a r e E uc l i de a n   di s t a n c e   i s   us e t o   e l i m i na t e   t h e   e f fe c t   of   n o i s e   f r o m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Modi f i e s i ngul ar   s pe c t r um   ana l y s i s   i n   i de n t i f y i ng  r a i nf a l l   t r e nd  ov e r   p e ni ns u l ar   ( S. M.   Shah ar udi n )   289   t h e   s e l e c t i o n   of   a   pa r t i t i o n   i n   t h e   da t a   s e t .   T h e   pu rpo s e   of   t hi s   pr o po s e m e t h o i s   t o   pr o duc e   a   d o ub l e   s t e p   pr o c e dur e   by   t r i m m e k - m e a n s   c a l l e w e i ght e a nd  u n w e i g ht e t ri m m e p r o c e dur e .     T h e   s t e ps   i n v o l ve i R S K - m e a n s   a l go r i t h m   a r e   a s   f o l l ow s :   a)   G i v e n   c l us t e r   c e n t e r s   1 , , ,   a s s i g e a c h   po i nt   t o   t h e   c l us t e w i t h   t he   c l o s e s t   c e n t e r .   b)   G i v e n   a   c l us t e r   a s s i g n m e nt ,   t ri m   t h e   100%   o b s e r v a t i o n s   w i t l a r g e s t   di s t a n c e   t o   t h e i r   c l us t e c e n t e r s ,   a n upda t e   t h e   c l us t e r   c e nt e r s   t o   t h e   s a m pl e   m e a o f   t h e   r e m a i ni n o b s e r v a t i o n s   i e a c c l us t e r .     T h e   t u ni n g   p a r a m e t e   r e gul a t e s   t h e   a m o unt   o f   t r i m m i n g   a n d   i s   s e l e c t e by   t h e   r e s e a r c h e r .       3. 6 .       A s s e s s i n g   S e p a r ab i l i ty   i n   Ti m e   S e r i e s   D ata   S e pa ra b i l i t y   i s   o n e   of   t h e   m a i n   c o n c e pt s   i n   s t udy i n S S A   w h i c h   n e c e s s i t a t e s   h o w   w e l l   di f fe r e n t   c o m po n e n t s   o t h e   t i m e   s e r i e s   c a n   b e   s e pa ra t e f r o m   e a c h   o t h e r   t o   a l l o w   f ur t h e r   a n a l y s i s   t o   be   m e a n i ngf ul l y   do n e .   A c c o r di n t o   t h e   l i t e r a t u r e   r e v i e w   [8],   s e pa r a b i l i t y   i s   a n   i m po r t a nt   de v i c e   w h e n   de a l i ng  w i t h   S S A   m e t h o i n   v a r i o us   f i e l ds   of   s t ud y .   T h e   i m pa c t   o f   s e pa r a b i l i t y   c o ul b e   r e s ul t e i n   t h e   p r o pe r   de c o m po s i t i o n   a n p r o pe r   c o m po n e n t   e xt ra c t e d.   W - c o rr e l a t i o n   i s   t h e   m e t h o t o   m e a s ur e   t h e   s e pa ra b i l i t y   b e t w e e n   t w di f fe r e nt   r e c o n s t r uc t e t i m e   s e ri e s   c o m po n e nt s .   W - c o rr e l a t i o n   i s   t h e   w e i gh t e c o rr e l a t i o n   b e t w e e n   t h e   r e c on s t ruc t e t i m e   s e r i e s   c o m po n e n t s   a n i t   w o ul gi v e   ve r y   h e l pf ul   i n f o r m a t i o n   f o r   s e pa r a t i o n   a n g r o up  i de nt i f i c a t i o n   f o r   r e c o n s t r uc t e c o m po n e n t s .   T h e   w e i gh t s   r e f l e c t   t h e   e l e m e n t s   o f   t h e   t i m e   s e ri e s   t e rm s   i nt o   t ra j e c t o r y   m a t r i x.   I t   ra n ge s   f r o m   t h e   a b s o l ut e   v a l ue s   of   t o   1   w h e r e   w e l l   s e pa ra t e c o m po n e n t s   i n c l i n e   t o   z e r o   w h e r e a s   poo r l y   s e pa r a t e c o m po n e n t s   ge n e ra l l y   i n c l i n e   t o   o n e .   B e s i de s   t ha t ,   t h e   o t h e r   f u n c t i o n   o f   w - c o rr e l a t i o m a t ri i s   c h e c ki n t h e   g r o upe de c o m po s i t i o n   b e t w e e n   r e c o n s t r uc t e c o m po n e n t s .   T h e   f o r m ul a t i o o f   t h e   w - c o r r e l a t i o m a t ri i s   a s   f o l l ow s :     12 = ( 1 ) , ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )   (13)     w h e r e   ( ) = ( ) , ( ) , = 1 , 2 , ( 1 ) , ( 2 ) = ( 1 ) ( 2 ) 1 = 0   a nd  t h e   w e i ght s     a r e   de f i n e a s   fo l l ow s :   L e t   = mi n ( , ) a n d   = ma x ( , ) .   T h e n,     = { + 1      0 1 ,      ,      1 .   (14)     w - c o r r e l a t i o n   m a t r i c a n   b e   i l l us t r a t e gra p hi c a l l y   i n   t h e   w h i t e - b l a c s c a l e   w h e r e   s m a l l   c o r r e l a t i o n   i s   s h o w n   i n   w hi t e   w hi l e   c o rr e l a t i o n   b e t w e e n   t h e   s e ri e s   c o m po n e n t s   a r e   c l o s e   t o   i s   s h o w n   i n   b l a c k .         4.   R ES U LTS   A N D   D I S C U S S I O N   T h e   e ffe c t i ve n e s s   o t h e   m o di f i e S S A   w a s   c o m pa r e a g a i n s t   S S A   a pp r o a c h e s   us i n t h e   da i l y   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l   da t a   de s c ri b e i n   da t a   s e c t i o n   t o   s e pa r a t e   t re n a nd  n o i s e   c o m po n e n t s   i n   s ke w e t i m e   s e r i e s   da t a .   T h e   e f fe c t i ve n e s s   of   t h e s e   a ppr o a c h e s   w e r e   m e a s u r e by   a s s e s s i n i t s   w e i gh t e c o rr e l a t i o n   i . e .   w - c o r r e l a t i o n   a t   d i f fe r e nt   w i n do w   l e n gt h ,   L .   T h e   w - c o r r e l a t i o n   a s   de s c r i b e i n   t h e   m e t h o do l o g y   s e c t i o n   m e a s u r e t h e   s e pa ra b i l i t y   b e t w e e n   t h e   r e c o n s t r uc t e t i m e   s e ri e s   c o m po n e n t s ,   w h i c h   w e r e   t h e   t r e n d   a n d   n o i s e   c o m po n e n t s .   S e v e r a l   s e l e c t i o o f   L   w hi c w e r e   L =   / 2 , / 5 , / 10   a n d   20 w hi c r e f e t o   =   3 , 6 , 12, 30   r e s pe c t i v e l y   f o r     b a s e o 61  da i l y   t o rr e nt i a l   r a i n f a l l   d a y s   t ha t   w e r e   c h o s e n .   T h e s e   s c a l e s   w e r e   s e l e c t e t s ui t   t h e   t i m e   s e r i e s   da t a   a n d   t o   s t ri k e   a   b a l a n c e   t o   a c h i e v e   a a pp r o pri a t e   s e que n c e   o f   l a v e c t o r .     F i gu r e   s h o w s   t h e   w - c o r r e l a t i o n   us i n S S A   a nd  m o di f i e S S A   f r o m   da i l y   t o r r e n t i a l   r a i n f a l l   d a t a   a t   di f fe r e nt   w i n do w   l e n gt h s .   T h e   r e r e c t a n g l e   r e f e r s   t o   S S A   a nd  t h e   b l ue   t r i a ngl e   i n   t h e   pl o t   r e f e r s   t o   t h e   m o di f i e S S A .   T h e   p l o t   s h o w s   t ha t   t h e   a v e r a ge   w - c o r r e l a t i o i l l us t ra t e s   a   de c r e a s i n g   pa t t e rn   a s   t h e   n u m b e r   of  w i n do w   l e n gt h   de c r e a s e   fo r   b o t h   a pp r o a c h e s .   T hi s   i m p l i e s   t h a t   di f f e r e n t   w i n do w   l e n gt h s   a f f e c t   t h e   s e pa ra b i l i t y   of   c o m po n e n t s .   I t   a l s o   s h o w s   t h a t   m o di f i e S S A   po i n t e o ut   t o   t h e   l o w e s t   a v e r a ge   w - c o r r e l a t i o a t   w i n do w   l e n g t h ,   L = / 5   w h i c s h o w s   t h e   s t r o n ge s t   s e pa ra b i l i t y   b e t w e e n   t h e   r e c o n s t r uc t e d   c o m po n e n t s   a s   i t   i s   c l o s e s t   t o   z e r o .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   1 J ul y   201 9   :     2 8 3   -   2 9 3   290       F i gu r e   3 .   E f fe c t   of   w - c o r r e l a t i o b a s e o S S A ,     a n m o di f i e S S A ,     us i n d a i l y   t o r r e nt i a l   ra i n f a l l   da t a   a t   di f f e r e n t   w i n do w   l e n g t hs       T h e   g r a p h s   i n   F i gu r e   s h o w   h e a t pl o t s   o f   w i n do w   l e n gt h s ,   L = T / b a s e o n   w - c o r r e l a t i o n s   f r o m   S S A   a n m o di f i e S S A .   A s   de s c r i b e by   [8]  t h e   h e a t pl o t   o f   w - c o r r e l a t i o n   f o r   t h e   r e c o n s t r uc t e c o m po n e n t s   o n   a   gra de   s c a l e   f r o m   w h i t e   t o   b l a c c o r r e s po n d i n t o   a b s o l ut e   va l ue s   of   c o r r e l a t i o n   f r o m   t o   1.   L a r ge   v a l ue s   o c o r r e l a t i o n s   b e t w e e n   r e c o n s t r uc t e c o m po n e nt s   i n d i c a t e t ha t   t h e   c o m po n e n t s   c o ul po s s i b l y   b e   ga t h e r e i n t o   o n e   gr o up  a n c o r r e s po n t o   t h e   s a m e   c o m po n e n t   [9] .   T h e   s h a de   of   e a c h   s qua r e   i n   F i gu r e   r e p r e s e n t s   t h e   s t r e n gt o f   t h e   w - c o r r e l a t i o n   b e t w e e n   t w o   c o m po n e n t s .   F i gu r e   4( a s h o w s   t ha t   t h e   c o m po n e n t s   t e nd  t o   be   c o r r e l a t e w i t h   m o r e   o t h e r   c o m po n e nt s   e v e n   i f   t h e   c o rr e l a t i o n   i s   l i g h t   a t   t i m e s .   I t   m e a n s   t ha t   i n   S S A ,   t r e nds   c o m po n e n t s   a r e   s t i l l   s l i g ht l y   m i xe w i t h   t h e   n o i s e   c o m po n e n t s   a n i t   w a s   c o r r e c t e by   t h e   m o di f i e S S A   w h e r e   i t   c l e a r l y   s h o w s   i n   F i gu r e   4(b t h e   b e t t e r   i m p r o v e m e nt   o f   s e pa r a b i l i t y .   F o r   t r e n e xt ra c t i o n ,   i t   i s   i m po rt a nt   t ha t   c o rr e l a t i o n s   b e t w e e n   t r e n a n n o i s e   a r e   c l o s e   t o   z e r o .   H e r e ,   c o r r e l a t i o n s   w h i c h   e m pl oy   m o di f i e S S A   be t w e e n   t h e   r e c o n s t r uc t e t i m e   s e r i e s   c o m po n e n t s   w e r e   s m a l l   c o m pa r e t o   S S A .   In   t hi s   s t udy ,   t h e   w - c o rr e l a t i o n   i s   0. 35  f o r   S S A   a n 0 . 20  f o r   m o di f i e S S A ,   i n d i c a t i n t ha t   m o di f i e S S A   h a s   s t r o n s e pa ra b i l i t y   c o m pa r e d   t o   S S A .         (a )     (b )     F i gu r e   4 .   T h e   w - c o r r e l a t i o n   us i n S S A   a n d   m o di f i e S S A   w i t h   = / 5       F i gu r e   a nd  F i gu r e   s h o w   t h e   pl o t   of   fo r m   o t w e l ve   l e a di n e i ge n v e c t o r s .   T h e   e i ge n v e c t o r   pl o t   c o ul b e   us e t o   h e l p   i c h o o s i n t h e   p r o pe r   g r o up  f o r   t h e   c o m po n e n t s   i t i m e   s e ri e s   da t a   w h i c h   w a s   us e f ul   i n   t h e   s e pa ra t i o o f   t h e   t r e n d   a nd  n o i s e   c o m po n e n t s .   T h i s   i n f o r m a t i o w i l l   b e   us e f o r   f ur t h e r   a n a l y s i s   i gr o upi ng  s t e i S S A .   I i de n t i fy i n t h e   t r e n c o m po n e n t s   t hr o ugh  e i ge n v e c t o r   pl o t ,   t h e   s l o w   c y c l e s   of   t h e   gra p h   w i t h   h i g h e r   f r e que n c i e s   r e f e r   t o   t h e   t r e n c o m po n e nt   w h i l e   t h e   s a w - t o o t h   o f   t h e   gr a p h   w i t h   l ow   f r e que n c i e s   r e f e r   t o   t h e   n o i s e   c o m po n e n t .   F r o m   F i gu r e   5,   i t   c l e a r l y   s h ow s   t h a t   S S A   di n o t   s e pa r a t e   t h e   t r e n d   a n n o i s e   c o m po n e n t s   f o r   t h i s   t i m e   s e r i e s ,   l i ke l y   due   t o   t h e   l a c o f   s t r o n s e pa ra b i l i t y .   It   c a n   b e   v i s ua l i z e f r o m   F i gur e   t ha t   t h e   f i r s t   c o m po n e n t   ha v e   h i g h   f r e que n c y   b ut   t h e   g r a p h   i s   f l a t t e n e o ut .   T h i s   i s   t h e   t y pi c a l   W - c o r r e l a t i o n   m a t r i x F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 W - c o r r e l a t i o n   m a t r i x F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 W - c o r r e l a t i o n   m a t r i x F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 W - c o r r e l a t i o n   m a t r i x F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F 1 0 F 1 1 F 1 2   M               Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       Modi f i e s i ngul ar   s pe c t r um   ana l y s i s   i n   i de n t i f y i ng  r a i nf a l l   t r e nd  ov e r   p e ni ns u l ar   ( S. M.   Shah ar udi n )   291   s i t ua t i o n   w h e n   t r e n c o m po n e n t s   a r e   m i xe w i t h   t h e   n o i s e   c o m po n e nt s   a n t h e r e fo r e   i t   w a s   c o r r e c t e b y   m o di f i e S S A .   M o di f i e d   S S A   h e l t o   m ov e   a pa r t   de c o m po s i t i o n   c o m po n e n t s   w h e r e   i t   w o ul r e f i n e gr o ups   by   us i n R ob us t   S pa r s e   K - M e a n s   (R S K - m e a n s a n d   g r o upi ng  r e s ul t s   o f   t h e   c o m po n e nt s   c a n   b e   s uppo r t e by   e i ge n v e c t o r   pl o t .   F i gu r e   i l l us t ra t e s   t h e   s a w - t oo t h   o f   t h e   g r a p a nd  l o w   f r e que n c i e s   f o r   t h e   f i r s t   s e v e n   c o m po n e n t s ,   t h us   t h e   c o m po n e n t s   r e f e r   t o   t h e   n o i s e   gr o up.   M e a n w hi l e   t h e   s l o w   c y c l e   of   t h e   gra p h   w i t h   h i g f r e que n c i e s   f o r   t h e   8 - 12   c o m po n e n t s   r e f e r   t o   t h e   t r e n d   g r o up.             F i gu r e   5 .   E i ge n v e c t o r s   pl o t   o b t a i n e b y   S S A       F i gu r e   6 .   E i ge n v e c t o r s   pl o t   o b t a i n e b y     m o di f i e S S A       F i gu r e   de m o n s t r a t e s   t h e   r e c o n s t r uc t e t i m e   s e r i e s   c o m po n e n t s   pl o t   f r o m   t h e   e xt ra c t e t r e n us i ng  m o di f i e S S A   a nd  S S A   f o r   a   ra i n f a l l   s t a t i o n   w h e r e   t hi s   a r e a   t y pi c a l l y   r e c e i ve s   a b un da nt   a n i n t e n s e   r a i n f a l l   i n   P e n i n s u l a r   M a l a y s i a .   T h e   t r e nd  c o m po n e n t   o f   t h e   t i m e   s e r i e s   da t a   i s   us e fo r   i de n t i fy i n t h e   ra n ge   of   l oc a l   t i m e   s c a l e   a t   s i ngl e   ra i n f a l l   s t a t i o n   i o r de r   t o   de t e c t   t h e   a b n o rm a l l y   h e a vy   r a i n f a l l   t ha t   c a c a us e   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l   e v e n t s .   T h e   d a s h e l i n e   i t h e   p l o t   r e f e r s   t o   t h e   o r i g i na l   t i m e   s e r i e s   ra i n f a l l   d a t a ,   t h e   b l ue   l i n e   r e f e r s   t t h e   r e c o n s t r uc t e s e r i e s   b a s e o n   e xt r a c t e t r e n c o m po ne n t s   f r o m   S S A   a n t h e   r e l i n e   r e f e r s   t o   t h e   r e c o n s t r uc t e s e r i e s   b a s e o n   e xt ra c t e t r e n d   c o m po n e nt s   f r o m   m o di f i e S S A .   F r o m   F i g u r e   7 ,   t h e   pl o t t e l i n e   of   t h e   r e c o n s t ruc t e t i m e   s e r i e s   c o m po n e n t s   of   S S A   t e n t o   fl a t t e n   o ut   c o m pa r e t o   m o di f i e S S A .   T h e r e f o r e ,   t h e r e   w a s   di f f i c ul t i e s   i n   de t e r m i n i ng  t h e   r a nge   of   t h e   l o c a l   t i m e   s c a l e   t o   de t e c t   t h e   t o rr e nt i a l   ra i n f a l l   e v e n t s   o c c ur .   M e a n w hi l e ,   t h e   pl o t   o f   t h e   r e c o n s t ru c t e t i m e   s e r i e s   c o m po n e n t s   o f   m o di f i e S S A   a ppe a r e t o   f o l l o w   t h e   pa t t e rn  o f   t h e   o r i g i na l   t i m e   s e r i e s   ra i n f a l l   da t a   de s pi t e   t he   e xc l us i o n   o f   n o i s e   c o m po n e nt s   p a rt i c ul a r l y   fo r   = / 5 .   I n   pa rt i c ul a r ,   f o r   t h e   r e c o n s t r uc t e c o m po n e n t   pl o t   i F i gu r e   7 ,   t h e   d a i l y   t o r r e n t i a l   r a i n f a l l   a ppe a t o   i n c r e a s e   a n de c r e a s e   f r e que n t l y   w i t h   pe a ks   o c c urr i n i n   t h e   pe r i o b e t w e e n   t h e   20 th   a n 30 th   da y   of   t h e     t i m e   s e r i e s .           F i gu r e   7 .   P l o t   o f   r e c o n s t r uc t e d   c o m po n e nt s   f r o m   e xt r a c t e t re n ds   us i n g   S S A   a nd  m o di f i e S S A .       r e f e r   t o   r a nge   o f   l o c a l   t i m e   s c a l e   E i g e n v e c t o r s 1   ( 8 8 . 2 5 % ) 2   ( 2 . 4 2 % ) 3   ( 2 . 3 1 % ) 4   ( 1 . 1 2 % ) 5   ( 0 . 9 5 % ) 6   ( 0 . 9 % ) 7   ( 0 . 7 9 % ) 8   ( 0 . 7 7 % ) 9   ( 0 . 7 5 % ) 1 0   ( 0 . 7 1 % ) 1 1   ( 0 . 5 4 % ) 1 2   ( 0 . 4 8 % ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   1 J ul y   201 9   :     2 8 3   -   2 9 3   292   5.   C O N C LU S I O N   T h e   m a i n   pu r po s e   of   i n t r o duc i ng  S S A   i n   t h i s   s t udy   i s   i de n t i f y i n r a i n f a l l   t r e n i n   o r de r   t o   de t e rm i n e   w h e n   t o rr e n t i a l   r a i n f a l l   e v e n t s   o c c ur   a t   a   pa rt i c ul a r   l o c a t i o n.   T h i s   c a b e   de t e c t e by   ob s e r v i n t h e   t r e n o f   a   t i m e   s e r i e s   da t a   c ha ra c t e ri z e by   t h e   s ha pe   o f   t i m e   s e r i e s   d a t a .   M o di f i e S S A   h a s   b e e n   p r o po s e t o   s o l v e   t h e   pr o b l e m   i n   s e pa ra b i l i t y   c o m po n e n t s   a nd  p r o pe r   g r o up i n g   a s   di s c us s e i n   I nt r o duc t i o n   s e c t i o n.   A   n e w   de c o m po s i t i o n   a pp r o a c i s   p r o po s e i S t a ge   o f   S S A   by   i n c o r po ra t i n t h e   a pp r o pri a t e   w i n do w   l e n gt a nd  a n   i t e ra t i v e   o b l i que   S S A   (It e r a t i v e   O - S S A w h i c h e l ps   t o   i m p r o v e   t h e   w e a s e pa ra b i l i t y   i s s ue   a b ove .     T h i s   m e t h o pe r f o r m s   a   n e w   de c o m po s i t i o n   o f   a   pa r t   i n   t he   S S A   w h i c h   s ugge s t s   t h e   a pp r o p r i a t e   w i ndow   l e n g t h   t h a t   s u i t   t o   t i m e   s e r i e s   r a i n f a l l   d a t a   a nd  c o rr e c t s   t h e   e i ge n v a l ue s   i o r de t o   a v o i t h e i po s s i b l e   m i x t u r e   o di s j o i nt   s e t s   o f   s i n g ul a v a l ue s   i n   t h e   g r o up  c o rr e s po n d i n t o   di f f e r e n t   c o m po n e n t s .   S e c o n dl y ,   Ro b us t   S pa r s e   K - m e a n s   c l us t e r i ng   (R S K - m e a n s i s   i nt r o du c e i n   o r de r   t o   gui de   a n   e f f e c t i v e   gr o upi n o de c o m po s e   e i ge n v e c t o r .   T h e   m o di f i e S S A   i s   c o n s i de r e a s   r e f i ni n o f   t h e   de c o m po s i t i o n   a n r e c o n s t r uc t i n ob t a i n e by   S S A .   B a s e o n   t h e   r e s ul t s ,   i t   c l e a rl y   s t a t e t ha t   w i n do w   l e n gt h,   = 5   s h o w s   a   t r e n t h a t   f i t s   w e l l   t o   t h e   o r i gi na l   t o rr e nt i a l   ra i n f a l l   t i m e   s e ri e s   da t a   i n   P e n i n s ul a r   M a l a y s i a .   In   a dd i t i o n ,   t h e   r e s ul t s   o m o di f i e S S A   s h o w s   t ha t   i t   ha s   s l i g h t l y   b e t t e r   pe r f o r m a n c e   i n   r e c o n s t r uc t e t i m e   s e r i e s   c o m po n e nt s   f o r   s m a l l   w i n do w   l e n gt h .   T h i s   c a n   b e   i l l us t ra t e t ha t   t h e   pl o t   o f   t h e   r e c o n s t r uc t e t i m e   s e r i e s   da t a   o f   m o di f i e S S A   a ppe a r   t o   fo l l ow   t h e   pa t t e rn  o f   t h e   o r i g i n a l   t i m e   s e ri e s   ra i n f a l l   da t a   de s pi t e   t h e   e xc l us i o n   o f   n o i s e   c o m po n e n t s   pa r t i c ul a rl y   fo r   s m a l l e r   w i n do w   l e n gt h.   T h e   r e s ul t s   o f   t hi s   a n a l y s i s   c a n   b e   us e t o   d e t e c t   t h e   a b n o r m a l l y   h e a v y   r a i n f a l l   t ha t   c a n   c a us e   t o rr e n t i a l   ra i n f a l l   e v e n t s   a t   a   pa rt i c ul a l o c a t i o n.       A C K N O WL ED G E M EN TS   T h e   a ut h o r s   w o ul l i ke   t o   t h a n U n i v e r s i t i   P e n di d i ka n   S ul t a n   Id r i s   f o r   t h e i r   f i n a n c i a l   f undi n t hr o ugh  G G P U   gra nt   V o t e   N o .   201 8 - 0084 - 106 - 0 1.       R EF ER EN C ES   [ 1]   F . W .   G i t hu i ,   A .   O pe r e ,   a n W .   B a uw e ns ,   S t a t i s t i c a l   a nd  t r e n a n a l y s i s   o f   r a i nf a l l   a nd  r i v e r   d i s c ha r g e :   Y a l a   R i v e r   ba s i n,   K e ny a ,   i P r oc .   I n t e r na t i ona l   C on f e r e nc e   of   U N E SC O ,   N e t he r l a n ds ,   2 003 .   [ 2]   M .   K ha l e g hi ,   H .   Z e i n i v a nd ,   a nd  S .   M o r a di po ur ,   R a i nf a l l   a nd   r i v e r   di s c ha r g e   t r e n a na l y s i s :   a   c a s e   s t udy   o f   J a j r o o w a t e r s h e d ,   I r a n ,   I n t e r na t i ona l   B ul l e t i o f   W at e r   R e s our c e s   a nd   D e v e l opm e nt ,   v o l . 2 ,   no . 3,   2 014 .     [ 3]   R A .   M o nda l ,   S .   K undu ,   a nd  A .   M uk ho pa dhy a y ,   R a i nf a l l   t r e nd  a na l y s i s   b y   M a nn - K e nda l l   t e s t :   a   c a s e   s t u dy   of   N o r t h - E a s t e r p a r t   o f   C ut t a c d i s t r i c t ,   O r i s s a .   I nt e r na t i ona l   J o ur na l   o f   G e ol ogy ,   E ar t a nd  E nv i r onm e n t al   Sc i e nc e s ,   v o l .   2,   no .   1 ,   pp. 70 - 78 ,   J a n .   2012 .     [ 4]   T .   A l e xa nd r o v ,   N .   G o l y a ndi na ,   a nd  A .   S pi r o v ,   S i ng ul a r   s pe c t r u m   a na l y s i s   o f   g e ne   e xpr e s s i o pr o f i l e s   o f   e a r l y   dr o s o phi l a   e m b r y o:   e xpo ne nt i a l - in - di s t a nc e   pa t t e r ns ,   R e s e ar c L e t t e r s   i S i gn al   P r oc e s s i n g ,   v o l .   20 08 ,   no .   200 8,   pp.   1 - 5,   J une   20 08 .     [ 5]   M A R .   K ha n ,   D . S .   P o s k i t t ,   M o m e nt   t e s t s   f o r   w i n do w   l e ng t s e l e c t i o i s i ng ul a r   s pe c t r um   a n a l y s i s   o f   s ho r t -   a nd   l o ng - m e m o r y   pr o c e s s e s ,   J ou r na l   of   T i m e   Se r i e s   A na l y s i s ,   v o l . 34 ,   n o . 2,   pp .   1 41 - 155 ,   2013 .     [ 6]   R O .   A w i c hi ,   W .   M ul l e r ,   I m pr o v i ng   S S A   pr e di c t i o ns   by   i nv e r s e   di s t a nc e   w e i g ht i ng ,   R E V ST A T ,   v o l . 13,   no . 1,     pp.   10 5 - 119,   2 013 .     [ 7]     N .   I t o h,   N .   M a r w a n,   A e xt e nd e s i ng ul a r   s p e c t r um   t r a ns f o r m a t i o ( s s t )   f o r   t he   i nv e s t i g a t i o o f   ke ny a n   pr e c i p i t a t i o d a t a ,   N onl i ne ar   P r oc e s s e s   i n   G e o - p hy s i c s ,   v o l .   20,   no .   4,   pp .   467 - 48 1, 2 013 .     [ 8]   N .   G o l y a ndi na ,   a nd  A .   S h l e m o v ,   V a r i a t i o ns   o f   s i ng ul a r   s pe c t r um   a n a l y s i s   f o r   s e pa r a bi l i t y   i m pr o v e m e nt :     no n - o r t hog o na l   de c o m po s i t i o ns   o f   t i m e   s e r i e s ,   St a t i s t i c s   and   I t s   I nt e r f ac e ,   v o l .   8 ,   no . 3,   p p.   27 7 - 294,   F e b.   2 014 .     [ 9]   H .   H a s s a n i ,   D e v e l o pm e n t   o f   t he   t he o r e t i c a l   a n m e t ho do l o g i c a l   a s pe c t s   o f   t he   s i ng ul a r   s pe c t r um   a na l y s i s   a nd  i t s   a ppl i c a t i o f o r   a na l y s i s   a n f o r e c a s t i ng   o f   e c o no m i c s   da t a .   C a r d i f f ,   W a l e s :   C a r di f f   U n i v e r s i t y ,   2009 .     [ 10]   F J .   A l o ns o ,   D R .   S a l g a do ,   J .   C u a dr a do , P .   P i n t a do ,   A ut o m a t i c   s m o o t hi ng   o f   r a w   ki ne m a t i c s   s i g na l s   us i ng   s s a   a nd   c l us t e r   a n a l y s i s ,   E ur om e c S ol i d   M e c h ani c s   C on f e r e nc e   L i s bo n ,   P o r t ug a l ,   p p.   1 - 9,   S e pt e m be r   2009 .     [ 11]   Y S .   M a s l e nn i ko v a ,   V V .   B o c hka r e v ,   20  t r a i n i ng   a l g o r i t hm   f o r   ne ur o - f uz z y   ba s e o s i ng ul a r   s pe c t r um   a na l y s i s ,   W or l C on f e r e nc e   on   I nf o r m a t i o T e c h no l og y ,   B a r c e l o na ,   S p a i n,   p p.   606 - 61 0,   N o v e m be r   2 012 .     [ 12]   S M .   S ha ha r ud i n,   N .   A hm a d ,   N H .   Z a i nud di n ,   N S .   M o ha m e d ,   I de nt i f i c a t i o o f   r a i nf a l l   pa t t e r n s   o hy dr o l og i c a l   s i m u l a t i o us i ng   r o bus t   p r i nc i pa l   c o m p o ne nt   a n a l y s i s ,   I nd on e s i an  J ou r na l   o f   E l e c t r i c al   E ngi ne e r i ng   and   C om put e r   Sc i e nc e   ( I J E E C S) ,   v o l .   5 ,   no .   3,   pp .   401 - 40 8,   J a nu a r y   2017.     [ 13]   S M .   S ha h a r udi n,   N .   A hm a d,   F a dhi l a Y us o f ,   E f f e c t   o f   w i ndo w   l e ng t w i t s i ng ul a r   s p e c t r um   a na l y s i s   i n   e xt r a c t i ng   t he   t r e n s i g na l   o r a i nf a l l   da t a , A I P   C on f .   P r oc . ,   v o l .   1 6 43,   no .   321 ,   pp .   321 - 326 ,   201 5.   [ 14]   A P .   P ut r a ,   A .   B uo no ,   B P .   S i l a l a h i ,     M o de l i ng   s i ng ul a r   v a l u e   de c o m po s i t i o a nd  k - m e a ns   o f   c o r e   i m a g e   i c l a s s i f i c a t i o o f   po t e nt i a l   n i c ke l ,   T E L K O M N I K A   I ndo ne s i an   J our na l   o f   T e l e c om m uni c at i on ,   C om pu t i ng ,   E l e c t r oni c s   an C ont r o l ,   v o l .   13 ,   no . 3,   pp .   561 - 56 7,   M a r c 20 16.     [ 15]   Y .   K o ndo ,   R o bus t i f i c a t i o o f   t he   S pa r s e   K - M e a ns   C l us t e r i ng   A l g o r i t hm .   W e s t   M a l l ,   V a nc o uv e r :   T he   U ni v e r s i t y   of   B r i t i s h   C o l um bi a ,   20 09 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.