TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.6, Jun e  201 4, pp. 4237 ~ 4 2 4 2   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i6.467 9          4237     Re cei v ed O c t ober 9, 20 13;  Revi se d De cem ber 19, 20 13; Accepted  Jan uary 23, 2 014   DOA Estimation by Fourth-Order Cumulants without  Source Enumeration and Eigen Decomposition       Elhafiz Ab da lla Bakhit Ya goup, Zhi w e n Liu, and Yougen Xu     Scho ol of Infor m ation a nd El e c tronics, Beij in g  Institute of  T e chn o lo g y , Beij ing 1 0 0 081, Ch ina   Corresp on din g  auther, e-mai l :  hafiz_kuttum @ yah oo.com, z w l i u @ bit.e du. cn,  y o uge n x u @ bit.ed u .cn       A b st r a ct   A new  al gor ithm for d i recti on of  arriva l  (DOA ) esti mat i on  is pr op os ed.Usi ng fo urth-ord er   cumul ants a n d   mo difi ed M U SIC (MUl i pl le  SIg nal  Cl assifica ti on) alg o rith m. How e ver,  it do es  n o t  re quir e  an y   eig end eco m po sition of th e cu mu la nt matrix  of the rece iv ed  data a nd so ur ce en umerati o n. It also eli m in ates   the n e e d  for  kn ow ledg e  of the  spati a l c har acteristics  of  the   nois e  a n d  int e r f erence. T h is  meth od  o n ly  u s es   the conj ug ate  spatia l sig nal  of di fferent se nsor pos itio ns. Computer  si mu lati on resu lts are provi d e d  to   de mo nstrate t he p e rfor ma nc e of  the  prop o s ed a ppr oach  and c o mp are t h e m  to D C I (Diag o n a lly- l oa de d   Conj ug ate corr elati on  matrix Inverse p o w e r) meth od.      Ke y w ords : fourth-order cumulants,  DCI, MUSIC, DOA estim a tion      Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  Dire ction  of  arrival  (DOA) estim a tion i s  o ne  of the  impo rtant  co ntents  of a r ray sig nal   pro c e ssi ng, b e ca use of its importa nt appl icatio n s  in ra dar, so na r, co mmuni cation s, etc.  There are m any array mo dels, an d alg o rithm s  are a v ailable for e s timating the  DOA of  sou r ces. Am ong the s e,  Multiple Sign al Cla ssi fi cati on (M USIC)  [1] algorithm  that belong s to  sub s p a ce m e thod  of eig enstructu re  i s  the  supp e r  resolution   method, a n d  it ha s g o o d   perfo rman ce  and  widely u s ed.  Ho weve r, MUSIC a n d  som e  mo di fied versi o n s  of MUSIC [2 -8]  requi re th e n o ise  ch ara c t e risti cs  of the se nsor s b e  kn own an d the total n u mbe r  of si g nals  impingin g  on  the array to  be kno w n o r  to be  exact l y estimated  in advan ce.a nd al so the r e  is  algorith m  whi c h is  able to  achi eve high  accuracy  [11,  12]. We pro pose a ne w  dire ction findi ng  algorith m  to overcome th e aforem enti oned  sho r tco m ings by u s i ng high -o rde r  cumula nts m a trix  to re pla c e th e conju gate  sou r ce  co rrel ation m a trix [ 9 ]. The  algo rithm ha s l o w co mputatio n a l  compl e xity in com pari s o n   with the M U SIC al go rith m and  still h a s g ood  pe rforma nce. Both the  comp uter  si mulation s an d the expe ri ment of t he  dire ction findi ng sy stem h a ve bee n giv en to  illustrate the  performan ce  of the algorithm.  The rest of t h is p ape r is  orga nized a s  fo llows. Sect ion 2 introdu ce s the  syste m  model  and  DCI me thod. Se ction  3, the  ne w algo rithm i s  de scribe d i n  detail. Se ction 4  pre s e n ts  simulat i o n  re sult s t h at  sho w  t he ef f e ct iv ene ss of  the  prop osed al g o rithm. Finall y , we con c lu de   this pap er in  se ction 5.   Thro ugh out t he p ape r, lo wer-ca s e  bol dface  it alic l e tters  den ote  vectors; u p per-case   boldfa c e itali c  letters  re prese n t matri c es, a nd l o wer a nd  upp e r -ca s e itali c  l e tters stan d  for  scalers. Th e symbol   is u s ed for  conj ug ation ope ratio n s a nd notati on   T x and   H x re pre s ent   transpo se a n d  co njugate t r an spo s e,  re spe c tively. We use E x , cu m x  and  to indicate the   expectatio n  o perate r , the cumulant s  and  kron ecke r produ ct, sepa ra tely.         2. Sy stem Model and DCI   2.1. Sy stem  model    Assum e  there are  M far-field  narro wb and  sign als , 1 , 2 , ... ..... ..., m tm M s , impinging on   auniform line a r array (ULA ) with  N  senso r s from differe nt directio ns , 1 , 2 , . ... .. ... , . m mM   The array out put vector  co uld be re presented by:  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4237 – 4 242   4238   1 M mm m ts t t  xa n                                                                                                        (1)    Whe r e   12 si n s i n si n , , . . . ... ... .. ... ... .. . mm N m T jj j m ee e    a  is the steerin g vect or of the  m th sign als,  21 / n nd   , and  is the wavelength of  sign al,  d is the element spa c e.  Then rewritin g Equation (1 ) in matrix form, we obtain:        ts t t  xA n  For  1 , 2 , .. .. .. .. .. , tK                                                                                   (2)    Whe r e:      12 , , .. ... .. ... .. T N tx t x t x t   x   is   1 N obse r vation vector  (sn apshot vector),     12 , , ....... ........ , T M    Aa a a   is   NM  array manifold matrix,         12 , , ... .. .. ... .. .. .. ... .. , T M ts t s t s t   s  is  1 M  signal ve ctor,   and      12 , , ... .. .. .. .. ... .. . T N tn t n t n t   n  is  1 N  noise  vector.   The cova ria n c e matrix of the data re ce i v ed by the se nso r  array, denoted by:     H xx E tt Rx x                            2 ss  RI                                                                                                                         (3)    Whe r e   H ss s RA Γ A  and   H s Et t Γ ss  denote s  the covarian ce m a trix of radiatin g sign als  and  I is the  NN  identity matrix.  The co njug ate covari anve  matrix of the array, denote d  by:      .. TH xx s s Et t R  Rx x A A                                                                                                       (4)    Whe r e    . T ss E tt Rs s is call ed the co njug ate sou r ce co rrel a tion matri x .    2.2. Diagona lly  Loaded Conjugate Co rrelation Ma trix In v e rse Po w e r Me tho d  (DCI)  This m e tho d  ca n e s timate DOA of narro wband  non circula r  si gnal s with out   eigen de comp osition  an d  source  enu me ration.Thi s  m e thod  exploit s  the  conju g a te correlatio n   betwe en the receive d  sig n a l s at different  sen s o r  po sitions.   Here we u s e  only conj ugat e array correl ation matrix    .. TH xx s s Et t R  Rx x A A   First we sq ua re the above  eguatio n to obtain He rmiti an matrix.    .. . . H TH H H xs x x x x ss ss  CR R A R A A R A A C A                                                                             (5)    The DOAs ca n be obtain e d  by searchin g  the  peaks of the followin g  spatial  spe c trum.       H L DC I L H x D      aa S aa                                                                                                          (6)    Whe r e:      1 xx N  DC I            ( 7 )     Whe n   L  , the DCI method ap proa ch es M U SIC [9].  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     DOA Estim a tion by F ourth -Orde r  Cum u lants with out Source… (El hafiz Abdall a  Bakhit Yago u p )  4239 3. The Propo sed Algori t h m .  The p r o b lem  is th at give n the  array  output , 1 , 2 , .... ... tt K x where K denote s  the   numbe r of sn apshots, e s timate the DO A paramete r   , 1 , 2 , .... .... , m mM of the impingi ng sig nal s.  We shall work with a fou r th orde r cumul ant of  received array outpu t which  can b e  expre s sed  as:      12 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ,, , c u m x x x x E x x xx E x x E xx       13 2 4 1 4 13 E xx E x x E xx E x x                                                                        (8)    We can u s e  matrices to e x press  cumu l ants by usi n g  Krone cker p r odu cts.        . HH x EE E   Cx x x x x x x x   .. HH EE xx xx       (9)    Whe r e  x C  is the fourth ord e r  cumul ants of  sign al vector x .  Con s id erin g the pro p e r ties  of Krone cker  prod uct s  we  have.     H xs Cb C b                                                                                                                              (10)    Whe r e  s C is fourth orde r cum u lant matrix o f  signal,            .. . HH HH s CE E E E E   ss ss ss s s s s s s                (11)    and    12 .... .... .... ... N    bb b b    11 ... .... ... .... ... ... NN      aa a a                                                                       (12)    We cons truc t further the following f ourth  orde r cumula nts matri c e s  [10].      .. HT T T xx x x x x x x x Q Q xx xx E t t vec vec   CZ Z R R R R I R R I              (13)    Whe r e  tt t  ZZ Z  ,  tt t  ZX X ,  "" ve c M denotes  1 PG vector f o rme d  from  the elem ents of a  P G matrix  M by  st ac kin g  it s c o lum n s,  a nd   1 , 1 , ... .... .... ., 1 T Q I which is  a 1 Q  vector  with a ll element s b e ing on e.In a ddition  "" denot es the  khat ri-Rao p r o d u c t (element  Krone cker p r odu ct) i.e:    11 , . . .... .... .... GG M Hm h m h                                                                                                (14)    In which  12 , , .... .... .... , G M mm m  and 12 , , ... ..... .... ..., G Hh h h .  We then fo rm  the following  matrix:     1 xx N  DC I                                                                                                                                 (15)    Whe r e   is a scalar  whi c h  is sm aller th an the lea s t eigenvalu e  of x C , N I  denotes a 22 NN   identity matri x . Let   1 M m m v  be the do minant  eigenve c tors of  x C  according to  M largest   eigenvalu e s  1 M m m . W h er es    1 NM m m u  be the rem a ining  NM eigenve c tors  asso ciated wi th the   zero eige nval ues, it then follow that:    1 11 MN M H xm m m m m mm     Dv v u u                                                                                                 (16)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4237 – 4 242   4240 From the  sub s pa ce o r tho g onality we  kn ow that  () 0 H mk uB  for  1 , .... ....., mN M  and 1 , .. .. .. .. .. .., kM . Thu s  the  di rectio n  of arrival ca n b e  o b tained  by  searchin g the   pea ks of the   followin g  spat ial spe c tru m  expre ssi on.          1 H F O CD CI L H x       bb S bD b                                                                                                                                           22 11 () LH MN M LH LH mm m mm      bb bv b u                                                    (17)    Whe r e   L x D  denotes the  L -fold powe r  of  x D and  L  is an integ e r, and  mm  .  Let   mm   then:       22 11 () H FOC D C I MN M LH H mm m mm S     bb bv b u                                                                     (18)    Whe n   L   , then  0 L m  , and (18) to  be MUSIC al gorithm u s in g  fourth ord e r  cumul ants  x C .      4. Simulation Resul t s an d Analy s is   In this sectio n, com puter  simulatin s  a r e  prese n ted t o  demo n st rat e  the pe rformance of   fourth order cumula nts  DCI meth od.  The fo llowi ng perfo rma n ce m easures a r e u s ed  to  investigate th e perfo rman ce of DOA esti mation tech ni que.            F i r r s t ly th e  po w e r  sp ec tr um p l o t s ,  wh en  t here  we re  five source s i m pingin g  on  the ULA  with di re ction s  [-4 0  -20 0  2 0  40], the S N R is  10 dB an d the  sna p sh ot numb e r i s   1000. T he  sp atial  spe c tru m  of FOC-DCI can  be estimate d  corre c tly as shown in the Figure 1.                       Figure 1. Estimate Five Sources u s in g F O C-DCI Algo rithm, SNR= 10 dB, Number of               Snapshots=5 0 0       Secondly the estimation accura cy, assume the array is illumi nat ed by two si gnals from      [-30 50]. All result s are av erag ed via 1000 Monte - carlo sim u latio n  run s . The root-me an-sq uare   err o r (R MSE)   v e rs us sig n a l–to-n ois e   r a tio  ( S NR)  of FOC- DC I, SOC - DC I and FOC - D C I,  N C - Root MUSIC, NC-s tandard ESPRIT  as   s h own in Figure 3 and  Table 1 res p ec t i vely. And th e  RMSE versu s  the  numb e r of sn ap shot s are  depi cted  in Figu re  2 a nd Ta ble 2.  We  can  see f r om  Figure 2-3 a nd Tabl e 1-2, that  generall y  the FOC-DCI method h a s bette r esti mation preci s ion  comp ared wit h  SOC-DCI, NC-Root  MUSIC and NC-stand ard ES PRIT.  -8 0 -6 0 -40 -20 0 20 40 60 80 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 direc t ion  of  arriv a l( o ) F O C - D C I  s pec t r um ( d B ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     DOA Estim a tion by F ourth -Orde r  Cum u lants with out Source… (El hafiz Abdall a  Bakhit Yago u p )  4241       Figure 2. RM SE of the FOC-DCI an d DCI  Estimator versu s  Num b e r  of Snapsh o ts  Figure 3. RM SE of the FOC-DCI an d DCI  Es timator vers us  SNR      Table 1. The  RMSE of FOC-DCI, NC-st anda rt ESPRIT and NC-Root  MUSIC versus SNR  SNR in (dB)   RMSE in degree s    NC-standa rt ESP RIT   NC-R O OT M U SIC  Proposed metho d  (F OC- DCI)   5 0.1368   0.1301   0.1252   7 0.1037   0.08497   0.09739   9 0.06714   0.0537   0.04995   11 0.05659   0.05036   0.03828   13 0.03853   0.03666   0.03121   15 0.02694   0.02876   0.02121   17 0.03182   0.02538   0.007071   19 0.02476   0.02138   0.007071       Table 2. The  RMSE of FOC-DCI, NC-st andart  ESPRIT and NC-Root MUSIC  versus Num b er of  Snapshots  Number of sna p shots  RMSE in degree s  NC-standa rt ESP RIT   NC-R O OT M U SIC  Proposed metho d  (F OC- DCI)   50 0.09845   0.06974   0.07364   150 0.05843   0.05525   0.05525   250 0.047   0.03367   0.02828   350 0.03567   0.03466   0.03466   450 0.03685   0.02931   0.02121   550 0.02256   0.02079   0.01932   650 0.0328   0.02526   0.007071   750 0.02059   0.01678   0.01932   850 0.02623   0.02022   0.007071   950 0.02388   0.02254   0.01236       4. Conclusio n   We  pre s e n te d ne w di re cti on findin g  al gorithm  for  n on  circula r   si gnal s, which   based  on   the  fou r th  o r d e r cum u lant s of  the data re ceived   by the array. It’s   a f a s t   DOA  es timation method,  whi c h d o e s  not re qui re dete c ting  the num b e r of in cid ent sig nal s and  perfo rming  eigen de comp osition to a c hieve sign al  noise  s epa ration. An important topi c which rem a ins   unsolved i s   on the o p timum sel e ctio n  of . Both the theoretical  formulatio n  and  comp ute r   simulatio n  sh ow that the F O C-DCI has  agoo d perfo rmance       Ackn o w l e dg ements   This work was supp orte d by Nation al Natural Scien c e Fo un dation of Ch ina (no.   6107 2098, 6 1 0720 99, 613 3 1019 ).      100 150 20 0 25 0 30 0 35 0 400 450 500 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 num ber  of s napshot s R M S E ( degr ee)     F O C- DC I SO C-DC I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0. 05 0. 1 0. 15 0. 2 0. 25 SN R ( d B ) R M SE( o )     FO C- DCI S O C- DCI Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4237 – 4 242   4242 Referen ces   [1]    Schmidt RO. Multiple  em itter l o catio n  a nd s i g nal  par ameter  estimatio n .  IEEE Transactions  on A n tenas   and Pro p a gatio n . 1986; 3 4 : 27 6-28 0.  [2]    Gouno n   P, Ad net   C, Gal y   J.  Loc alis atio n  a ngu lair e  de s i g nau x n on c i rcul arizes.  T r a i tme n t du  si gna l .  199 8; 15: 17-2 3 .  [3]    Abei da H, D e l m as JP. MUSIC-like  estimati on of  d i rectio n  of arriva l for  non-c i rcul ar so urces.  IEEE   T r ansactio n s o n  Sign al Proc e ssing . 20 06; 54 : 2678-2 6 9 0 .  [4]    Chev ali e r P, F e rréol  A, Alb e r a  L. H i gh  reso luti o n  d i rectio n  findi ng from  h i gh er or der sts t ics: the 2q- MUSIC algorithm.  IEEE  transaction Signal Pr ocessing . 20 06 ; 54: 2986- 299 7.  [5]    T ang JH, SI  XC, Ch u P. Imp r oved  MUSIC  alg o rithm  bas e d  o n  fo urth-ord er cum u la nts.  Systems  an d   Electron ics En gin eeri n g . 20 1 0 ; 32; 256- 259.   [6]    W e i P, Xiao  X, Li L.  T he four th-ord er  cumul a nts  based  sp e c tral estim a tion  metho d   an d it s ap plic atio n   to directio n find ing.  Jour nal of  electro n ics . 19 95; 12(4): 3 30- 335.   [7]    W ang Q, Che n  H, Z hao G. A n  impr oved  dir e ction  fi ndi ng  alg o rithm b a se d on T oep litz  Appro x imatio n.   Sensors . 20 13;  13: 746-7 57.   [8]    He Z ,  Li Y, H uan g Z .  A mo difie d  hig h  ord e r cumula nt MUSIC alg o rith m for signal D O A estimation.   Journ a l of Elec tronics . 200 0; 17(4): 31 9-3 2 4 .   [9]    Qi X, Xu Y, Fu S, W ang Y, Liu Z .   High r e sol u tion DOA  estimati on of  non-c i rcul ar si gna ls w i thout   source e n u m er ation a nd e i ge ndec o m pos itio n . Proc. W C SP. 2009; 9: 1-4.   [10]    Xu Y, Li u Z .  Noncircu larit y  rest oral for multi-ant enn a blin d be amfor m ing.  Multid i m  Syst Signa l   Processi ng . 20 10; 21: 13 3-16 0.  [11]    Lin g w e n Z .  S parsit y   base d  AOA Estimation f o r Emitte r Loc aliz ation.   T E LKOMNIKA Indo nesi a n   Journ a l of Elec trical Eng i ne eri n g . 201 2; 13: 7 69-7 74.   [12]    Lan g x ia ng Z ,  Yao w u S, Yira n S, Lifei D, Hong w e i S. Elec tromagn etic Ve ctor  Sensor arr a y   param ete r   estimatio n  method.  T E LKOMNIKA Indon esi an Jour nal  of Electrical E ngi ne erin g.  201 3; 11 : 2860-2 8 6 8 .              Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.