I n d on e s i an   Jo u r n al   o f  El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   15 ,   N o .   3 ,  S e pt e m b e r   2 01 9 ,   pp .   1128 ~ 1137   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 5 .i 3 . pp 112 8 - 1137             1128       Jou r n al   h o m e pa ge :  ht t p: / / i ae s c or e . c om / j our na l s / i nde x . php/ i j e e c s   D y n a m i c   b i f u r c a t i o n   a n a l y s i s  a n d   m i t i g a t i o n   o f   SSR   i n   S M I B   sy st e m       S h r u th i   R am ac h an d r a,   R .   C .   M al a ,   H .   V .   G u r u r aj  R ao     D e pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   a nd   E l e c t r o ni c s   E ng i ne e r i ng ,   M a ni pa l   I ns t i t u t e   o f   T e c hno l o gy ,   I ndi a       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T     Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d  O c t   2 3 ,   2018   R e v i s e d  J a n   2 ,   201 9   A c c e pt e d  J a n   25,   201 9       T hi s   p a pe r   pr e s e nt s   a   de t a i l e d  s t udy   o n  S ub - s y nc hr o n o us   r e s o na nc e   i n  a   S i ng l e   m a c hi n e   c o nne c t e d  t o   a n  i nf i n i t e   bus   s y s t e m   by   e m pl oy i ng  B i f ur c a t i o n  T he o r y .   T he   s y n c hr o no us   m a c hi ne   m o de l   c o ns i de r e d   i s   a   t w o - a xi s   m o de l ,   t he   t ur b i n e   s y s t e m   i s   a   s i x  m a s s   s y s t e m .   A   c o m pa r a t i v e   s t u dy   of   S ub - s y n c hr o no us   r e s o na nc e   f o r   t he   t w o - a xi s   s y n c hr o no us   m a c hi ne   m o de l s   1. 1 ,   2 . 1   a n d  2 . 2   un de r   c o ns t a n t   e xc i t a t i o n  i s   pr e s e nt e d  i n   t hi s   pa pe r .     T he   e f f e c t   o f   a ddi ng   a n  e xc i t e r ,   po w e r   s y s t e m   s t a b i l i z e r   a nd  S t a t i c   S y nc hr o no us   S e r i e s   C o m pe ns a t o r   t o   t he   S M I B   s y s t e m ,   i nc o r po r a t e d  w i t h  a   2. 2  s y nc hr o no us   m a c hi ne   m o de l   o n  t he   bi f ur c a t i o ns   o f   S S R   i s   a l s o   i nv e s t i g a t e d.   T he   r e s u l t s   o bt a i n e d  o n  r e p l a c i ng   t he   f i xe d   s e r i e s   c o m pe ns a t i o n  o f   t he   l i ne   by   S t a t i c   S y nc hr o n o us   S e r i e s   C o m pe n s a t o r   r e s u l t e d   i n  t he   m i t i g a t i o n  o f   S ub - S y n c hr o no us   R e s o na nc e .   T he   r e s u l t s   o bt a i ne d  f o r   a l l   t h e   a bo v e - c o ns i de r e d  c a s e s   a r e   c o m pa r e d  w i t h  e i g e nv a l ue   a na l y s i s   a n d   v a l i da t e d  us i ng   t r a ns i e nt   a na l y s i s .   Ke y w or ds :   B i f ur c a t i o n   E i ge n v a l ue   a n a l y s i s   S t a t i c   s y n c hr o n o us   s e ri e s   c o m pe n s a t o r  (S S S C)   S ub - s y n c h r o n o us   r e s o na n c e   (S S R )   T r a n s i e nt   a n a l y s i s   C opy r i gh t   ©   201 9   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e d  E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S hr u t h i   R a m a c ha n d ra ,     D e pa rt m e n t   o f   E l e c t ri c a l   a nd  E l e c t r o ni c s   E n g i n e e ri n g,   M a n i p a l   I n s t i t u t e   o f   T e c hn o l o g y ,   M a n i p a l ,   U dupi -   576 104 ,   I ndi a .   E m a i l :   S hr ut hi . r@ m a ni p a l . e du       1.   I N TR O D U C TI O N     S e r i e s   c o m pe n s a t i o n   o f   t r a n s m i s s i o n   l i n e s   i s   us e d  t o  e nh a n c e   pow e r   t ra n s f e r   c a pa b i l i t y .     S e r i e s   c o m pe n s a t i o n   us i n g  s e ri e s   c o n n e c t e d  c a pa c i t o r s   i n c r e a s e s   t h e   m a xi m u m   po w e r   t ra n s f e rr e d  by   r e duc i n g   i t s   e ff e c t i v e   i m pe da n c e .   T h e   us e   o f   s e r i e s   c a pa c i t o r s   m a y ,   h ow e v e r ,   l e a d  t o   s us t a i n e d  o s c i l l a t i o n s   a t   f r e que n c i e s   l o w e r   t h a n  t h e   ra t e d  f r e que n c y .   T h i s   i s   b r o a d l y   kn o w n   a s   S ub - S y n c hr o n o us   R e s o n a n c e   [1].     S S R   oc c ur s   e i t h e r   due   t o   “ In duc t i o n   ge n e ra t o r   e ff e c t ”   o r   due   t o   “ T o r s i o n a l   I n t e r a c t i o n   a nd  A m pl i f i c a t i o n  E f f e c t ” .   I nduc t i o n  ge n e ra t o r  e ff e c t   i s   c a us e d  by   s e l f - e xc i t a t i o n  o f   t h e   s y n c hr o n o us   ge n e ra t o r s .   To r s i o na l   I n t e ra c t i o n  a n d   A m p l i f i c a t i o n   E f f e c t   o c c ur s   du e   t o   t h e   i n t e r a c t i o n   o f   e l e c t r i c a l   n e t w o r k  s ub - s y n c hr o n o us   f r e que n c y   w i t h   t h e   t o r s i o n a l   o s c i l l a t i o n   m o de s   of   e l e c t r o - m e c h a ni c a l   c o m po n e n t s   o f   t h e   pow e r   s y s t e m   fo l l ow e d  by   a   di s t u r b a n c e   s uc h   a s   v a r i a t i o n   i n   e l e c t r o m a g n e t i c   t o rque   c a us e d  by   t r a n s i e n t s   i n   t h e   n e t w o r k  t ha t   m a y   b e   c a us e d  due   t o   s w i t c h i n g   [2] .   T h e r e   a r e   s e v e r a l   m e t h o ds   t o   t h e   s t udy   S S R .   I n   t h i s   pa pe r,   B i f ur c a t i o n   A na l y s i s   h a s   b e e n   c a rr i e d  o ut .   T r a n s i e nt   a n a l y s i s   i s   us e d  t o   v a l i da t e   t h e   s a m e .   “ B i f ur c a t i o n  T h e o r y   i s   us e d  t o   s t udy   pos s i b l e   c h a nge s   i n   t h e   s t ruc t u r e   o f  t h e   o r b i t s   o f   a   di ff e r e n t i a l   e qu a t i o n   de pe ndi n g   o n   v a ri a b l e   pa r a m e t e r s ”   [3] .   T h e   v a l ue   o f   t h e   pa r a m e t e r  a t   w h i c h   t h e   s y s t e m   e xh i b i t s   q ua l i t a t i v e   c h a n ge   i s   k n o w n   a s   a   “ b i f ur c a t i o n   p o i n t ” .   A s   e xpl a i n e d  i n  [4 ,  5]   L o c a l   b i f ur c a t i o n   t h e o r y   h a s   b e e n   a pp l i e d  t o   p r o v i de   a n   e xp l a na t i o n   f o r   v a r i o us   n o n l i n e a r   b e ha v i o ur s   i n  pow e r   s y s t e m   a n d   po w e r   s y s t e m   i n s t a b i l i t i e s .   T h e   p r o b l e m   a s s o c i a t e d  w i t h   t h e   a pp l i c a t i o n  o f   s e r i e s   c a pa c i t o r s   i n   t ra n s m i s s i o n   l i n e s   w a s   f i r s t   di s c us s e d  i n   1937  by   J   W   B ut l e r   a n d  C  Co n c o r di a   i n   [6 ].   H ow e v e r ,   t h e   t o r que   s h a f t   o s c i l l a t i o n s   w e r e   n e gl e c t e d  u n t i l   t h e   f i r s t   e xpe r i e n c e   of   S S R   a t   t h e   M o ha v e   G e n e ra t i n g  S t a t i o n   i n   19 70,   f o l l ow e d  by   a n o t h e r  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       D y nam i c   b i f ur c at i on   ana l y s i s   and   m i t i ga t i on   o f   s s r   i n  s m i b  s y s t e m   ( Shr ut hi   R am ac ha ndr a )   1129   i de nt i c a l   s i t ua t i o n  i n  197 1  [7] .   S S R   p r o b l e m   i n   S M IB   w a s   s t udi e d  by   Z h u  [8 ]  a nd  Z h u   e t   a l .   [9]   us i n g   t h e   H o p f   b i f ur c a t i o n  t h e o r e m .   A ut h o r s   o f  [10]  h a v e   i m pl e m e n t e d  p h a s e   i m b a l a n c e   s c h e m e   t o   s t a b i l i z e   S ub - s y n c h r o n o us   o s c i l l a t i o n s .   F A CT S   c o n t r o l l e r s   c a n   b e   us e d  t o   m i t i ga t e   S S R   [11].   S ub - s y n c hr o n o us   r e s o n a n c e   i n   a   h y b r i d  c o m pe n s a t e d  s y s t e m   w i t h   F A CT S   c o n t r o l l e r   i n c o rpo r a t i ng  e n e r gy   s t o r a ge   de v i c e   h a s   b e e n   i n v e s t i ga t e d  i n  [12,   13] .   T h i s   p a pe r   p r e s e n t s   t h e   e ff e c t   of   s y n c h r o n o us   m a c hi n e   da m pe r  w i n d i n gs   o n   H o pf   b i f ur c a t i o n s   o f  S S R .   It   a l s o   di s c us s e s   t h e   i m p a c t   o f   s t a t i c   e xc i t e r   a nd  P S S ,   o n   t h e   s t a b i l i t y   bo un da r y .   S S S C  w i t h   T y pe - 2  c o n t r o l l e r  i s   us e d  t o   e l i m i na t e   H o pf   b i f ur c a t i o n s   o f   S S R .       2.   S Y S TE M   D ES C R I P TI O N   2. 1 .       S M I B   M o d e l l i n g   A   s i n gl e   m a c h i n e   c o nn e c t e d  t o   a n  i n f i ni t e   b us   s y s t e m   i s   a s   s h o w n   i n  F i g u r e   1.   T h e   v o l t a ge   a t   t h e   ge n e ra t o r   t e rm i na l   i s   de n o t e d   a s   V g ∠ θ.   T h e   vo l t a ge   a t   t h e   i nf i n i t e   b us   i s   E b ∠ 0.   R t   a n d  X t   a r e   t h e   t ra n s f o r m e r  r e s i s t a n c e   a n d  r e a c t a n c e   r e s pe c t i v e l y .   R l   a n d  X l   a r e   t h e   r e s i s t a n c e   a n d  r e a c t a n c e   of   t h e   l i n e .   X c   i s   t h e   s e ri e s   c o m pe n s a t i o n .             F i g u r e   1 .   S i ngl e   m a c h i n e   c o nn e c t e d  t o   t h e   i n f i n i t e   b us   s y s t e m       T h e   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   c o n s i de r e d  h a s   t w o   da m pe r   w i ndi n gs   a l o n g  q - a x i s .   T h e   f i e l d  w i n di ng  a n d   o n e   da m pe r   w i n di ng  a nd  a l o n g   d - a xi s   a s   de s c r i b e d  i n   [14] .   A s   s h o w n   i n   (1 )  t o   (9)  de s c ri b e   t h e   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   a l o n g   t h e   d i r e c t   a nd  qua d ra t u r e   a xi s .     d - a xi s   e qua t i o n s :        = −  − −   (1)      = 1 ′ ( − + ) + ( ′ ( − ′ ) )   (2)     ℎ  = 1 ′′ ( − ℎ + )   (3)     = ′′ + ( ′ − ′′ ′ ) ℎ + ( − ′ ) ( ′′ ′ )   (4)     q - a xi s   e qua t i o n s :      =  − −   (5)      = 1 ′ ( − + )   (6)    = 1 ′′ ( − + )   (7)     = ′′ + ( ′ − ′′ ′ ) + ( − ′ ) ( ′′ ′ )   (8)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   3 ,  S e pt e m b e r   2 019   :     11 28   -   11 37   1130   T h e   m a t h e m a t i c a l   e xp r e s s i o n   de s c r i b i n g  t h e   t r a n s m i s s i o n   l i ne   i n   t h e   d - q   f ra m e   i s :      [ ] = [ −  − −  ] [ ] + ( [ ] − [ ] − [   ] )   (9)     T h e   t u r b i n e   s h a f t   s y s t e m   i s   m o de l l e d  a s   s i x  m a s s   s y s t e m .   T h e   m e c h a ni c a l   e qua t i o n s   f o r   a   s i n gl e   m e c h a ni c a l   m a s s   a r e   a s   f o l l ow s :     2 (  ) = [  −  − ( − 0 ) − , − 1 ( − − 1 ) + , − 1 − , + 1 ( − + 1 ) − , + 1 ]   (10)     , + 1  =     , + 1 ( − + 1 )   (11)     , − 1  =     , − 1 ( − 1 − )   (12)     = −   (13)      =     ( − 0 )   (14)     In   ge n e r a l ,   a   r o t o r   w i t h   ‘ p’  m a s s e s   h a s   ‘p - 1’  t o r s i o n a l   m o d e s   a n d  o n e   c o m m o n   m o de   m o t i o n   i . e . ,   ‘M o de   0’.   T h e   j th   t o r s i o na l   m o de   h a s   ‘ j ’  n u m b e r   o f   po l a ri t y   re ve r s a l s   i n  i t s   m o de   s h a pe   [15] .     T h e   f a s t - a c t i n g   s t a t i c   e xc i t a t i o n  s y s t e m   i s   m o de l l e d  a s   de s c r i b e d  i n  t h e   f o l l o w i n g  e qua t i o n s :      = 1 [ − + ( − + ) ]   (15)     ′ = 1 1 +   (16)     P ow e r   s y s t e m   s t a b i l i z e r   (P S S )  i s   m o de l l e d  us i n g  a   w a s h o ut   f i l t e r   a nd  a   l e a d - lag   c o m pe n s a t o r  a s   s h o w n   i n  F i g u r e   2.             F i gu r e   2 .   P o w e r   s y s t e m   s t a b i l i z e r       2. 2 .       M o d i fi e d   S M I B  S ys te m   Eq u i p p e d   w i th   S S S C   F i gu r e   3  s h o w s   t h e   m o di f i e d  S M IB   s y s t e m   w i t h   t h e   f i xe d  s e r i e s   c a pa c i t o r  r e pl a c e d  by   S t a t i c   S y n c hr o n o us   S e ri e s   Co m pe n s a t o r   (S S S C) .   T h e   e qu i v a l e nt   c i r c ui t   o f   S S S C  i s   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   4.     T h e   o pe r a t i o n  o f   S S S C  i s   e xpl a i n e d   i n  de t a i l   i n  [1 6].             F i gu r e   3 .   S i ngl e   m a c h i n e   c o nn e c t e d  t o   a n  i n f i ni t e   b us   s y s t e m   e qui ppe d  w i t h   S S S C               F i gu r e   4 .   E qui v a l e nt   c i r c ui t   o f   S S S C   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       D y nam i c   b i f ur c at i on   ana l y s i s   and   m i t i ga t i on   o f   s s r   i n  s m i b  s y s t e m   ( Shr ut hi   R am ac ha ndr a )   1131   ̂ = ( −  ) = (  −  )   (17)     W h e r e   Φ   i s   t h e   p ha s e   a n g l e   of   t h e   l i n e   c urr e n t   a n d    i s   t h e   a n gl e   by   w h i c h   V C   l a gs   t h e   c urr e nt .   If   V CR   i s   p o s i t i v e ,   i t   i m pl i e s   c a pa c i t i v e   m o de   a n d  V CR   n e g a t i v e   i m pl i e s   i n duc t i v e   m o d e .   S i n c e     i s   c l o s e     t o   ±  90 0 ,      = (  ) [ − 90 + ]   (18)     T h e   e qua t i o n   f o r   t h e   D C  Ca p a c i t o r  v o l t a ge   i s   a s   gi v e n  b e l ow :       = − ( ) − ( )    (19)     W h e r e      = − [ si n ( + ) + c o s ( + ) ]   (20)     A s   t h e r e   i s   n o   e n e r gy   s o ur c e   o n   t h e   d. c .   s i de ,   t h e   l o s s e s   i n   t h e   c o n v e r t e r   a r e   n e gl e c t e d.     T h e   m a g n i t ude   o f   V c   c a n   b e   c o n t r o l l e d  t o   r e gu l a t e   po w e r   fl o w .   T y pe   II  c o n t r o l l e r  i s   s h o w n   i n   F i gu r e   5  i s   us e d  t o   c o n t r o l   t h e   p ha s e   a n g l e   o f   t h e   c o n v e r t e r  v o l t a ge   i n  S S S C  [16] .             F i gu r e   5 .   B l o c k  di a g r a m   o f   t h e   S S S C  T y pe   II  c o n t r o l l e r       3.   R ES U LTS   A N D   A N A L Y S I S     B i f ur c a t i o n   a n a l y s i s   i s   us e d  t o   i n di c a t e   a   qu a l i t a t i v e   c h a ng e   i n   t h e   dy n a m i c s   of   a   s y s t e m ,   s uc h   a s   n u m b e r   a n d  t y p e   of   s o l ut i o n s   u nde r  t h e   v a r i a t i o n   o f   o n e   o r   m o r e   pa ra m e t e r s   o n   w h i c h   t h e   s y s t e m   i n   q ue s t i o n  de pe n ds .   T h e   l o c a l   s t a b i l i t y   of   a n  e qui l i b r i um   s o l ut i o n   de pe n ds   o n   t h e   e i ge n v a l ue s   o f   i t s   J a c ob i a n   m a t r i x.     T h e   e qui l i b ri um   s o l ut i o n   m a y   l o s e   i t s   s t a b i l i t y   t hr o ug h   a   s t a t i c   b i f ur c a t i o n  o r  t hr o ug h  a   H o p f   b i f ur c a t i o n.     T h e   c o n di t i o n s   f o r   t h e   o c c urr e n c e   o f   a   H o p f   po i n t   i s   g i v e n   i n   [4,   5] .   If   a   p a r t i c ul a r  qu a n t i t y   c a l l e d  t h e   f i r s t   L y a pun o v   c oe ff i c i e n t   of   t h e   H o p f   p o i n t   i s   n e ga t i v e ,   t he n   i t   i s   a   s upe r c ri t i c a l   b i f ur c a t i o n   a n d  t h e   l i m i t   c y c l e   i s   s t a b l e .   O t h e r w i s e ,   i t   i s   a   s ub c r i t i c a l   b i f ur c a t i o n  a nd  t h e   l i m i t   c y c l e   i s   u n s t a b l e .     Si x  c a s e s   a r e   c o n s i de r e d  fo r   dy n a m i c   b i f ur c a t i o n   a na l y s i s   o f  s u b - s y n c hr o n o us   r e s o n a n c e .     S e r i e s   c o m pe n s a t i o n   i s   t h e   v a ri a b l e   pa ra m e t e r.   T h e   s t udy   i s   c o n duc t e d  by   v a r y i n g  s e ri e s   c o m pe n s a t i o n   f r o m   0%  t o   90%  of  t h e   l i n e   r e a c t a n c e .   M a t c o n t   [1 7,   18] ,   a   dy n a m i c   b i f ur c a t i o n   t o o l bo x  i s   us e d  t o   de t e c t   t h e   H o p f  po i n t s .   E i ge n v a l ue   a n d   t ra n s i e n t   a n a l y s i s   of   t h e   s a m e   a r e   c a rri e d   o ut   us i ng  M A T L A B - S IM U L IN K .       3. 1 .       E ffe c t  o f  D am p e r   W i n d i n gs   C as e   1 :   I n  t hi s   c a s e ,   t h e   s y n c hr o n o us   m a c hi n e   i s   m o de l l e d  a s   a   1. 1  m o de l ,   w i t h   o n e   da m pe r  w i n d i n g   i n   q - a xi s   a n d  o n e   f i e l d  w i ndi n g  a l o n g  d - a xi s .   T h e   S M IB   i s   m o de l l e d  w i t h  c o n s t a nt   e xc i t a t i o n .   M a t c o nt   r e s ul t s   y i e l de d  s e v e n   H o p f   b i f ur c a t i o n   po i nt s   a s   s h o w n   i n   F i gu r e   6 a .   A   L i m i t   po i n t   i s   o b t a i n e d  a t   X c   =   0. 083719 ,   w h e r e   s t a b l e   n o de   b r a n c h   m e et s   t h e   u n s t a b l e   n o de   b r a n c h.   F i gu r e   6b   i s   a   pl o t   of   r e a l   pa r t   o f   e i ge n v a l ue s   c o r r e s po n di ng  t o   t h e   f i v e   t o r s i o na l   m o de s   un de r   v a r y i n g  X c .   T h i s   f i gu r e   s h o w s   t h a t   m o de   5  a n d  0  r e m a i n  s t a b l e   a l l   a l o ng.   H ow e v e r ,   m o de s   4,   3 ,   2   a nd  1   y i e l d  s e v e n   H o p f   po i n t s .   T h e   v a l ue   o f   s e r i e s   c a pa c i t a n c e   c o r r e s po n di ng  t o   t h e s e   H o p f   p o i n t s ,   t h e i r   r e s pe c t i v e   f i r s t   L y a pu n o v  Coe ff i c i e n t s   a n d  t h e   n a t u r e   o f  t h e s e   H o p f  po i n t s   a r e   gi v e n   i n  T a b l e   1.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   3 ,  S e pt e m b e r   2 019   :     11 28   -   11 37   1132         F i gu r e   6a .   D y n a m i c   B i f ur c a t i o n s   o f   S S R   w i t h  1. 1   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l     F i gu r e   6b .   R e a l   pa rt   o f   e i ge n v a l ue s   c o rr e s po n d i n g  t o   to r s i o na l   m o de s   v / s   X c   f o r   Ca s e   1       T a b l e   1.   X c   V a l ue s   Co rr e s po n di n g   t o   H o pf   P o i n t s   a n d   T h e i r   F i r s t   L y a pun o v   Co e ff i c i e n t s   f o r   C a s e   1   X c   pu   F i r s t   L y a p u n o v   C o - e ff i e c i e n t     0 . 1 7 2 1 5 7   - 1 . 1 7 7 5 9 2 e - 04   S u p e r c ri t i c a l   0 . 2 0 9 1 5 5   1 . 9 5 9 6 9 7 e - 04   S u b c ri t i c a l   0 . 2 7 9 4 1 7   - 2 . 8 9 7 2 2 4 e - 04   S u p e r c ri t i c a l   0 . 3 1 0 3 9 8   6 . 6 4 6 0 3 4 e - 04   S u b c ri t i c a l   0 . 3 6 2 0 2 5   - 6 . 9 4 8 6 6 9 e - 05   S u p e r c ri t i c a l   0 . 4 0 9 7 0 5   - 2 . 9 9 7 1 7 5 e - 04   S u p e r c ri t i c a l   0 . 4 2 3 7 4 0   6 . 3 7 0 8 1 3 e - 05   S u b c ri t i c a l       C as e   2 :   I n   t hi s   c a s e ,   t h e   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   i s   m o de l l e d  a s   a   2. 1  m o de l ,   w i t h   a   f i e l d  w i n di ng  a nd  a   da m pe r   w i n di ng  a l o n g  d - a x i s   a n d  o n e   da m pe r   w i n di ng  a l o n g  q - a x i s .   T h e   s i n g l e   m a c h i n e   c o nn e c t e d  t o   t h e   In f i n i t e   b us   i s   m o de l l e d  w i t h   a   c o n s t a nt   e xc i t a t i o n   s y s t e m .   F i gu r e   7a   a nd  F i gu r e   7b   s h o w   t h e   s e v e n   H o p f   po i n t s .   A   l i m i t   po i n t   i s   o b t a i n e d  a t   X c   =   0 . 083 719  pu   b e y o n d  w h i c h   t h e   s y s t e m   be c o m e s   un s t a b l e .   T h e   v a l ue   of   s e r i e s   c a pa c i t a n c e   c o rr e s po n di n g  t o   t h e s e   H o p f   p o i n t s ,   t h e i r   r e s pe c t i v e   f i r s t   L y a pun o v   C o e ff i c i e n t s   a n d   t h e   na t u r e   o f   t h e s e   H o pf   po i n t s   a r e   t a b ul a t e d   i n  T a b l e   2.             F i gu r e   7a .   D y n a m i c   B i f ur c a t i o n s   o f   S S R   w i t h  2. 1   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l     F i gu r e   7b .   R e a l   pa rt   o f   e i ge n v a l ue s   c o rr e s po n d i n g  t o   t o r s i o n a l   m o de s   v / s   X c   fo r   C a s e   2       T a b l e   2.   X c   V a l ue s   Co rr e s po n di n g   t o   H o pf   P o i n t s   a n d   T h e i r   F i r s t   L y a pun o v   Co e ff i c i e n t s   f o r   C a s e   2   X c   pu   F i r s t   L y a p u n o v   Co - e ff i c i e n t     0 . 1 6 8 6 0 8   - 1 . 0 8 1 9 3 2 e - 04   S u p e r c ri t i c a l   0 . 2 0 4 9 2 7   1 . 8 9 1 2 5 9 e - 04   S u b c ri t i c a l   0 . 2 7 3 6 1 8   - 2 . 6 9 2 8 2 2 e - 04   S u p e r c ri t i c a l   0 . 3 0 4 2 2 8   6 . 9 6 6 4 5 6 e - 04   S u b c ri t i c a l   0 . 3 5 6 4 9 7   - 7 . 0 0 2 5 9 2 e - 05   S u p e r c ri t i c a l   0 . 4 0 9 7 9 2   - 4 . 5 2 7 8 3 7 e - 04   S u p e r c ri t i c a l   0 . 4 1 3 4 9 8   6 . 0 0 2 5 0 3 e - 05   S u b c ri t i c a l       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       D y nam i c   b i f ur c at i on   ana l y s i s   and   m i t i ga t i on   o f   s s r   i n  s m i b  s y s t e m   ( Shr ut hi   R am ac ha ndr a )   1133   C as e   3 :   I n   t hi s   c a s e ,   t h e   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   i s   m o de l l e d  a s   a   2. 2  m o de l ,   w i t h   a   f i e l d  w i n di ng  a nd  a   da m pe r   w i n d i n g  a l o n g  d - a xi s   a n d  t w o   da m pe r   w i n di ngs   a l o n g  q - a x i s .   T h e   s i n gl e   m a c hi n e   c o n n e c t e d  t o   t h e   i n f i ni t e   b us   i s   m o d e l l e d  w i t h   s t a t i c   e xc i t a t i o n   s y s t e m .   F i g ur e   8a   a nd  F i gu r e   8b   s h ow   s e v e n   H o p f   p o i n t s .     A   l i m i t   po i n t   i s   o b t a i n e d  a t   X c =   0. 069251   b e y o n d  w h i c h   t h e   s y s t e m   be c o m e s   un s t a b l e .   T h e   na t u r e   o f   t h e   ob t a i n e d  H o pf   p o i n t s   a nd  t h e i r  c o r r e s po n d i n g   f i r s t   L y a pun o v  c o e ff i c i e n t s   a r e   t a b ul a t e d  i n  T a b l e   3.               F i gu r e   8a .   D y n a m i c   B i f ur c a t i o n s   o f   S S R   w i t h  2. 2   s y n c hr o n o us   m a c hi n e   m o de l     F i gu r e   8b .   R e a l   pa rt   o f   e i ge n v a l ue s   c o rr e s po n d i n g  t o   t o r s i o na l   m o de s   v / s   X c   f o r   Ca s e   3       T a b l e   3.   X c   V a l ue s   Co rr e s po n di n g   t o   H o pf   P o i n t s   a n d   T h e i r   F i r s t   L y a pun o v   Co e ff i c i e n t s   f o r   C a s e   3   X c   pu   F i r s t   L y a p u n o v   C o - e ff i c i e n t     0 . 1 6 6 0 4 1   - 1 . 1 3 7 3 1 5 e - 04   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 0 2 0 7 4   1 . 9 6 3 7 3 1 e - 04   S u b - c ri t i c a l   0 . 2 6 9 6 6 2   - 2 . 8 1 9 7 5 7 e - 04   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 9 9 9 5 3   7 . 5 6 1 3 6 3 e - 04   S u b - c ri t i c a l   0 . 3 5 1 5 6 8   - 7 . 2 8 0 5 4 1 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 4 0 4 7 5 3   - 4 . 7 7 8 3 2 2 e - 04   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 4 0 7 5 3 7   6 . 7 8 6 7 9 6 e - 05   S u b - c ri t i c a l       O n   c o m pa ri n g  T a b l e   1,   2  a n d  3  w e   ob s e r v e   t h a t   w i t h   a n   i n c r e a s e   i n   da m pe r   w i n d i n gs   i n   t h e   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   H o pf   po i n t s   o c c ur   a t   l e s s e r   v a l ue s   of  s e r i e s   c o m pe n s a t i o n .   A t   X c   =   0. 174  pu ,    t h e   e l e c t r i c a l   s ub - s y n c hr o n o us   m o de   i s   c l o s e   t o   4 th   t o r s i o na l   m o de ,   h e n c e   i n   T a b l e   4,   i t   c a n  b e   ob s e r v e d  t ha t   t o r s i o na l   m o de   4  i s   u n s t a b l e   f o r   c a s e s   1,   2  a n d  3.   T a b l e   4  c o m pa r e s   t h e   t o r s i o na l   m o de   e i ge n v a l ue s   f o r   t h e   t hr e e   c a s e s .   It   i s   o bs e r v e d   h e r e   t h a t   t h e   i n c r e a s e   in   da m p e r   w i n di ngs   i n c r e a s e s   t h e   da m pi ng  i n   M o de   0   s i g n i f i c a n t l y .       T a b l e   4 .   E i ge n v a l ue s   o f   t h e   S M IB   S y s t e m   f o r   Ca s e   1 ,   2   a nd  3  f o r   a   F i xe d   V a l ue   o f   X c = 0. 174  pu     M o d e   Ca s e   1   1 . 1   m o d e l   Ca s e   2   2 . 1   m o d e l   Ca s e   3   2 . 2   m o d e l   T o rs i o n a l   m o d e s   M o d e   5   - 1 . 8 5 0 ± 2 9 8 . 1 6 i   - 1 . 8 5 0 ± 2 9 8 . 1 6 i   - 1 . 8 5 0 ± 2 9 8 . 1 6 i   M o d e   4   0 . 0 4 8 1 8 ± 2 0 3 . 6 2 i   0 . 2 8 1 2 3 ± 2 0 3 . 7 4 i   0 . 4 9 1 6 5   ± 2 0 3 . 7 1 i   M o d e   3   - 0 . 6 3 3 6 ± 1 6 0 . 6 7 i   - 0 . 6 3 4 ± 1 6 0 . 6 8 i   - 0 . 6 3 4 ± 1 6 0 . 6 9 i   M o d e   2   - 0 . 0 7 2 4 ± 1 2 6 . 9 9 i   - 0 . 0 7 2 9   ± 1 2 6 . 9 9 i   - 0 . 0 7 2 9 ± 1 2 6 . 9 9 i   M o d e   1   - 0 . 2 1 0 3 ± 9 9 . 2 0 2 i   - 0 . 2 1 7   ± 9 9 . 2 3 0 i   - 0 . 2 1 7 ± 9 9 . 2 3 1 i   M o d e   0   - 0 . 4 3 0 8 ± 8 . 8 6 5 7 i   - 0 . 4 8 7 2 9 ± 8 . 9 1 0 7 i   - 0 . 4 8 8 9 ± 8 . 9 1 6 8 i   E l e c t ri c a l   m o d e s   S u p e r - s y n c h ro n o u s   - 4 . 3 7 5 4 7   ±   5 4 2 . 9 6 i   - 4 . 5 5 5 5 ± 5 4 4 . 6 9 i   - 4 . 6 3 6 5 ± 5 4 5 . 9 1 i   S u b   s y n c h r o n o u s   - 4 . 1 9 1 2 3   ± 2 1 0 . 0 8 i   - 4 . 2 7 3 2 6   ± 2 0 8 . 2 2 i   - 4 . 4 9 3 6 3 ± 2 0 7 . 0 2 i       3. 2 .       E ffe c t  o f  Ex c i te r ,   P S S   an d   S S S C   C as e   4 :   I n   t hi s   c a s e ,   t h e   S M IB   s y s t e m   i s   m o d e l l e d  w i t h   a   2. 2  s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l   w i t h   a   f a s t   a c t i n g  e xc i t a t i o n   s y s t e m .   M a t c o n t   r e s ul t   f o r   t h e   s a m e   i s   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   9a .   T h e   l i m i t   po i n t   i s   n o t   e n c o un t e r e d  w i t h i n  t h e   c o m pe n s a t i o n   ra n ge .   F i gu r e   9b   i n di c a t e s   t ha t   t h e   c o m m o n  m o de   i s   u n s t a b l e   a l l   a l o n g .   T h e   num b e r   o f   H o pf   p o i n t s   f o r   a   S M IB   s y s t e m   w i t h   2 . 2  s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l   i s   t h e   s a m e   b o t h   u n de r   c o n s t a n t   e xc i t a t i o n   a n d  w i t h   a   f a s t - a c t i ng   e xc i t e r .   H ow e ve r ,   t h e   na t u r e   o f   t h e   H o p f   po i n t s   c ha n ge   a s   s h o w n     i n   T a b l e   5 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   3 ,  S e pt e m b e r   2 019   :     11 28   -   11 37   1134         F i gu r e   9a .   D y n a m i c   B i f ur c a t i o n s   o f   S S R   w i t h  2 . 2   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l   e qui p pe d  w i t h   a   f a s t - a c t i n g   e xc i t e r     F i g u r e   9b .   R e a l   pa rt   o f   e i ge n v a l ue s   c o rr e s po n d i n g  t o   t o r s i o na l   m o de s   v / s   X c   f o r   Ca s e   4       T a b l e   5.   X c   v a l ue s   Co rr e s po n di ng  t o   H o pf   P o i n t s   a nd  T h e i r  F i r s t   L y a pun o v   Co e ff i c i e n t s   f o r   C a s e   4   X c   pu   F i r s t   L y a p u n o v   C o - e ff i c i e n t     0 . 1 6 7 5 2 0   - 1 . 7 0 0 4 3 2 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 0 1 0 1 3   - 2 . 5 0 6 6 7 5 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 7 1 9 0 3   - 1 . 4 2 6 1 2 4 e - 04   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 3 2 8 4 1 1   - 6 . 8 1 6 9 2 3 e - 02   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 3 5 9 4 4 9   7 . 5 7 8 2 3 8 e - 07   S u b - c ri t i c a l   0 . 4 0 3 8 7 5   - 3 . 4 5 9 1 9 7 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 4 3 3 7 3 8   4 . 6 9 7 5 5 4 e - 04   S u b - c ri t i c a l       C as e   5 :   T h i s   c a s e   de a l s   w i t h  b i f ur c a t i o n   a na l y s i s   of   S M I B   s y s t e m   m o de l l e d  w i t h   a   2. 2   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l   e qui ppe d  w i t h   a   f a s t   a c t i ng  e xc i t a t i o n   s y s t e m   a n d  a   P S S .   T h e   l i m i t   po i n t   i s   a b s e n t   w i t hi n   t h e   c o m pe n s a t i o n   r e gi o n .   F i g u r e   10a   a n d  F i g u r e   10b   s h ow   s e ve n   H o pf   po i n t s   a n d  i t   c a n   a l s o   be   n o t e d  t h a t   t h e   a ddi t i o n   o f   P S S   t o   t h e   s y s t e m   h a s   s t a b i l i z e d  m o de   0.   H e n c e   i t   c a n  b e   s a i d  t ha t   t h e   n u m b e r   a n d  na t u r e   o f   t h e   H o p f   po i n t s   f o r   c a s e s   4  a n d   5  r e m a i n   t h e   s a m e             F i g u r e   10 a .   D y n a m i c   B i f ur c a t i o n s   o f   S S R   w i t h   2. 2   s y n c hr o n o us   m a c hi n e   m o de l   e qui ppe d  w i t h  a   f a s t - a c t i n g   e xc i t e r  a n d  P S S     F i g u r e   10b .   R e a l   pa rt   o f   e i ge n v a l ue s   c o r r e s po n d i n g   t o   t o r s i o na l   m o de s   v / s   X c   f o r   Ca s e   5       T a b l e   6.   X c   V a l ue s   Co rr e s po n di n g   t o   H o pf   Po i n t s   a n d   T h e i r   F i r s t   L y a pun o v   Co e ff i c i e n t s   f o r   C a s e   5   X c   pu   L y a p u n o v   Co - e ffi c i e n t     0 . 1 6 7 7 1 1   - 1 . 5 9 8 7 3 0 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 0 0 8 7 6   - 2 . 3 0 1 4 1 2 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 7 2 1 8 0   - 1 . 3 3 9 2 1 7 e - 04   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 2 9 8 8 1 7   - 2 . 0 1 8 5 3 2 e - 04   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 3 5 9 7 9 7   8 . 2 1 4 1 3 6 e - 06   S u b - c ri t i c a l   0 . 4 0 2 8 3 2   - 2 . 5 8 3 1 8 9 e - 05   S u p e r - c ri t i c a l   0 . 4 3 2 2 3 1   2 . 0 6 4 6 5 1 e - 04   S u b - c ri t i c a l       C as e   6 :   T h i s   c a s e   de a l s   w i t h  b i f ur c a t i o n   a na l y s i s   of   S M I B   s y s t e m   m o de l l e d  w i t h   a   2. 2   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l   e qui ppe d  w i t h  a   f a s t   a c t i n g   e xc i t a t i o n  s y s t e m   a n d  a   P S S .   T h e   s e r i e s   c a pa c i t o r   i s   r e pl a c e d  w i t h   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       D y nam i c   b i f ur c at i on   ana l y s i s   and   m i t i ga t i on   o f   s s r   i n  s m i b  s y s t e m   ( Shr ut hi   R am ac ha ndr a )   1135   a   S S S C .   T h e   s e r i e s   c o m pe n s a t i o n  p r o v i de d  by   S S S C  i s   v a r i e d  f r o m   0%   t o   90%   o f   t h e   l i n e   r e a c t a n c e .     F i gu r e   11a   a nd  11b   s h o w   t h a t   t h e   s y s t e m   doe s   n o t   y i e l d  a n y   H o pf   po i n t s ,   t h e   s y s t e m   i s   s u b - s y n c h r o n o us   n e ut ra l .             F i gu r e   11 a .   D y n a m i c   B i f ur c a t i o n s   o f   S S R   w i t h   2 . 2   s y n c hr o n o us   m a c h i n e   m o de l   e qui p pe d  w i t h   a   f a s t - a c t i n g   e xc i t e r,   P S S   a nd  S S S C     F i gu r e   11b .   R e a l   pa rt   o f   e i ge n v a l ue s   c o r r e s po n d i n g   t o   t o r s i o na l   m o de s   v / s   X c   f o r   Ca s e   6       T a b l e   7  r e c o r ds   t h e   E i ge n v a l ue   c o r r e s po n d i n g  t o   t o r s i o na l   a n d  e l e c t ri c a l   m o de s   fo r   X c   =   0. 174  pu   fo r   c a s e s   3,   4 ,   5  a n d  6.   Ca s e   4  s h o w s   t h a t   e i ge n v a l ue   f o r   M o de   0  i s   un s t a b l e .   O n   a ddi ng  a   P S S   m o de   0  ge t s   s t a b l e .   R e pl a c i n g   t h e   f i xe d  s e r i e s   c a p a c i t o r  m a ke s   t h e   s y s t e m   S ub   s y n c hr o n o us   n e u t r a l .         T a b l e   7 .   E i ge n v a l ue s   o f   S M IB   S y s t e m   f o r   Ca s e   4 ,   5  a n d   6  w i t h   S e r i e s   Co m pe n s a t i o n = 0 . 1 74   pu   M o d e   Ca s e   3   Ca s e   4   Ca s e   5   Ca s e   6   T o rs i o n a l   M o d e s   M o d e 5   - 1 . 8 5 0 4 ± 2 9 8 . 1 6 i   - 1 . 8 5 0 4 ± 2 9 8 . 1 6 i   - 1 . 8 5 0 4 ± 2 9 8 . 1 6 i   - 1 . 8 5 0 4 ± 2 9 8 . 1 7 i   M o d e 4   0 . 4 9 1 6 5 ± 2 0 3 . 7 1 i   0 . 4 8 8 9 2 ± 2 0 3 . 7 3 i   0 . 5 9 1 4 8 ± 2 0 3 . 7 4 i   - 0 . 3 3 7 0 ± 2 0 2 . 9 7 i   M o d e 3   - 0 . 6 3 4 1 ± 1 6 0 . 6 9 i   - 0 . 6 3 6 4 ± 1 6 0 . 6 9 i   - 0 . 6 2 0 7 ± 1 6 0 . 6 9 i   - 0 . 6 2 8 4 ± 1 6 0 . 6 0 i   M o d e 2   - 0 . 0 7 2 9 4 ± 1 2 6 . 9 9 i   - 0 . 0 7 3 6 8 ± 1 2 6 . 9 9 i   - 0 . 0 6 8 3 6 ± 1 2 6 . 9 9 i   - 0 . 0 6 8 6 ± 1 2 6 . 9 8 i   M o d e 1   - 0 . 2 1 7 3 8 ± 9 9 . 2 3 1 i   - 0 . 2 2 8 5 9 ± 9 9 . 2 2 7 i   - 0 . 1 4 6 6 4 ± 9 9 . 2 6 7 i   - 0 . 1 5 1 9 ± 9 9 . 0 9 9 i   M o d e 0   - 0 . 4 8 8 9 0 ± 8 . 9 1 6 8 i   0 . 2 5 0 2 5 ± 9 . 5 6 7 5 i   - 0 . 7 8 6 7 1 ± 1 0 . 0 8 1 i   - 0 . 5 9 8 ± 8 . 8 9 1 4 i   E l e c t ri c a l   m o d e s   S u p e r - s y n c h ro n o u s   - 4 . 6 3 6 5 ± 5 4 5 . 9 1 i   - 4 . 6 3 0 6 2 ± 5 4 5 . 9 2 i   - 4 . 6 2 4 3 2   ±   5 4 5 . 9 3 i   ---   S u b - s y n c h ro n o u s   - 4 . 4 9 3 6 3 ± 2 0 7 . 0 2 i   - 4 . 4 1 7 0 ± 2 0 6 . 9 9 i   - 4 . 4 4 5 1 7 ± 2 0 6 . 9 7 i   ---       3. 3 .       T r an s i e n t  A n a l ys i s   T h e   t ra n s i e n t   r e s po n s e   of   t h e   s y s t e m   f o r   Ca s e   3,   4,   5  a n d   6  i s   s t udi e d  by   i n t r o duc i n g  a   s udde n  di s t u r b a n c e .   T hi s   i s   do n e   by   r e duc i n g  t h e   m e c h a ni c a l   t o r qu e   by   0. 1  p. u.   f o r   0. 1  s e c .   S e r i e s   c o m pe n s a t i o n   o f  t h e   s y s t e m   i s   f i xe d  a t   0 . 174   pu   F i gu r e   12  s h o w s   t h a t   t h e   S M IB   s y s t e m   w i t h   c o n s t a n t   e xc i t a t i o n   e x h i b i t s   g r o w t h   i n   o s c i l l a t i o n   i n   t h e   r o t o r   a n g l e   u n de r  s udde n   d i s t u r b a n c e s .   F i gu r e   13   s h o w s   t h e   e ff e c t   of   a   f a s t - a c t i n g   e xc i t a t i o n   s y s t e m .   S M IB  s y s t e m   i n c o r po ra t e d  w i t h   f a s t - a c t i n g  e xc i t e r   r e s ul t s   i n   a n   u n s t a b l e   c o m m o n   m o de .   M o dul a t i o n   o f   t h e   r o t o r  a n gl e   c a n  b e   o b s e r v e d  i n  t h e   t ra n s i e n t   r e s po n s e   o f   t h e   s a m e .               F i gu r e   12 .   T ra n s i e n t   r e s po n s e   o f   S M I B   unde r  c o n s t a n t   e xc i t a t i o n     F i gu r e   13 .   T ra n s i e n t   r e s po n s e   o f   S M I B   w i t h  a   f a s t - a c t i n g   e xc i t e r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i ,   V o l .   15 ,   N o .   3 ,  S e pt e m b e r   2 019   :     11 28   -   11 37   1136   F i gu r e   14  s h o w s   t h e   e ff e c t   o f  a ddi n g  b o t h ,   a n   e xc i t e r   a n d  a   P S S .   In   bo t h   F i gu r e   13  a n d  F i gu r e   14,     t h e   s y s t e m   e xh i b i t s   gr o w t h   i n   r o t o r   a n g l e   un de r   s udde n   di s t u r b a n c e s .   T h e   s y s t e m   i n c o r po r a t e d  w i t h   S S S C  s h o w s   a n   i m p r o v e d  t ra n s i e n t   r e s po n s e   a s   s h o w n   i n   F i gu r e   15.   T h e   s y s t e m   b e c o m e s   s t a b l e   w h e n   t h e   s e r i e s   c a pa c i t o r  i s   r e pl a c e d  b y   S S S C.             F i g u r e   14 .   T ra n s i e n t   r e s po n s e   o f   S M I B   w i t h  a   f a s t - a c t i n g   e xc i t e r  a n d  P S S     F i gu r e   15 .   T ra n s i e n t   r e s po n s e   o f   S M I B   e qui ppe d  w i t h  a   f a s t - a c t i ng   e xc i t e r,   P S S   a n d   S S S C       4.   C O N C LU S I O N   B i f ur c a t i o n  a na l y s i s   c a rri e d  o ut   f o r   t h e   S M IB   s y s t e m   u n de r  c o n s t a n t   e xc i t a t i o n  l e d  t o   t h e   f o l l ow i n g  c o n c l us i o n s   a nd  t h e   s a m e   h a s   b e e n   v a l i d a t e d  by   E i ge nv a l ue   a n a l y s i s   a n d   T ra n s i e nt   a n a l y s i s .   F i r s t l y ,     t h e   i n c r e a s e   i n   da m pe r   w i ndi n gs   i n  t h e   s y n c h r o n o us   m a c h i ne   l e d  t o   t h e   o c c urr e n c e   o f   t h e   f i r s t   H o pf   p o i n t   f o r   a   l e s s e r  v a l ue   o f   s e r i e s   c o m pe n s a t i o n .   H e n c e ,   i t   c a n  b e   s a i d  t ha t   t h e   s t a b i l i t y   bo un da r y   i s   m o r e   f o r   a   1. 1   s y n c hr o n o us   m a c hi n e   m o de l .   It   i s   a l s o   ob s e r v e d  t h a t   t h e   i n c re a s e   i n   d a m pe r   w i n di ngs   i n c r e a s e d  t h e   da m pi n g   i n   t o r s i o n a l   m o de   0  s i g n i f i c a n t l y .   L a s t l y ,   i rr e s pe c t i v e   of   t h e   m a c h i n e   m o de l   a do pt e d,   t h e   num b e r   a n d  n a t u r e   of   H o p f   po i n t s   r e m a i n  t h e   s a m e .     B i f ur c a t i o n   a na l y s i s   of   a n   S M IB   m o d e l ,   w h e n   i n c o r po r a t e d  w i t h   a   f a s t - a c t i ng   e xc i t e r ,   c a us e d  m o de   0   t o   go  un s t a b l e .   T h e   a b s e n c e   of   l i m i t   po i n t   b i f ur c a t i o n   i s   o b s e r v e d  bo t h   i n   t h e   pr e s e n c e   of   a   f a s t - a c t i n g   e xc i t e r  a n d  P S S .   A ddi t i o n  o f   a   P S S   a l o n g  w i t h  t h e   e xc i t a t i o n   s y s t e m   m a ke s   t h e   m o de   0  s t a b l e .   R e pl a c i n g  t h e   s e r i e s   c a pa c i t o r   w i t h   S S S C  r e s ul t s   i n   a   s t a b l e   s y s t e m ,   a s   t h e   s y s t e m   b e c o m e s   S S R   n e ut ra l   a n d  t ra n s i e n t   s t a b i l i t y   i s   a c hi e v e d.       A P P EN D I X   T h e   da t a   f o r   t h e   S M IB   s y s t e m   i s   t a ke n   f r o m   [1 9].   E xc i t e r :   K a = 200 ;   T a = 0. 05;   T m d = 0. 002;   E f dm i n = - 6,   E f dm a x = 6   P S S   pa r a m e t e r s :   K s =   6 ;   T w = 10;   T 1 = 0 . 6;   T 2= 0 . 5;   T 3= 0 . 6 ;   T 4= 1;   W n = 2 2;   V s m i n= - 0 . 5 ,   V s m a x = 0. 5   S S S C  ra t i n g :   15 0  M V A ;   b c = 0. 359   pu ;   R p= 2 78. 7;   gc = 1/ R p       R EF ER EN C ES     [ 1]   I E E E   c o m m i t t e e   r e po r t ,   “ R e ade r ’ s   gu i de   t o  S ubs y nc h r on ous   R e s o nanc e ” ,   I E E E   T r a n s a c t i o ns   o n  P o w e r   S y s t e m s .   V o l .   7 ,   N o .   1 ,   pp . 150 - 15 8,   F e br u a r y   1992 .   [ 2]   M .   A .   P a i ,   D . P .   S e n  G up t a ,   K . R .   P a di y a r ,   “ Sm a l l - s i gna l   A n al y s i s   of   P ow e r   Sy s t e m ” ,   N a r o s a   P ub l i s h i ng   H o us e ,   I S B N - 978 - 81 - 7319 - 5945 .   [ 3]   J .   H a l e ,   H .   K o c a k,   “ D y n am i c s   and   B i f u r c a t i on ” ,   S p r i ng e r - V e r l a g ,   I S B N   0 - 387 - 971 41 - 6.   [ 4]   A . H .   N ay f e h,   B al ak um a r   B al a c han dr a n,   “ A pp l i e d  N on - L i ne ar   D y nam i c s ” ,   W I L E Y - V C H   V e r l a g   G m bH   &   C o .   K G a A ,   W e i nh e i m ,   2004 ,   I S B N - 13 :   978 - 0 - 47  1 - 5934 8 - 5.   [ 5]   R udi g e r   S e y de l ,   “ P r ac t i c a l   B i f ur c at i on  an d  St a bi l i t y   A na l y s i s ” ,   S pr i ng e r   N e w   Y o r k,   T hi r d  E di t i o n  I S B N   978 - 1 - 4419 - 173 9 - 3.   [ 6]   J .   W .   B ut l e r ,   C .   C o nc o r di a ,   “ A na l y s i s   o f   Se r i e s   C apac i t or   A pp l i c at i on  P r obl e m s ” ,   A I E E   T r a ns a c t i o ns .   V o l .   5 6,   ( 193 7) ,   pp  975 - 988 .   [ 7]   D .   N .   W a l ke r ,   D .   A .   H o dg e s ,   “ R e s u l t s   of   Sub - Sy nc h r ono us   R e s on a nc e   T e s t   M ohav e ” ,   I E E E   T r a ns a c t i o ns   o n  P o w e r   A ppa r a t u s   a nd   S y s t e m s ,   V o l .   P A S - 94,   N o . 5,   S e pt e m be r / O c t o be r   1 9 75.   [ 8]   W .   Z hu ,   “ A na l y s i s   o f   Sub - Sy nc h r on ous   R e s o nanc e   i n  P ow e r   Sy s t e m s ” ,  P hD   T h e s i s ,   O r e g o n  S t a t e   U ni v e r s i t y ,     J une   19 94 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a n  J   E l e c   E ng  &   Co m p  S c i     IS S N :   2502 - 4752       D y nam i c   b i f ur c at i on   ana l y s i s   and   m i t i ga t i on   o f   s s r   i n  s m i b  s y s t e m   ( Shr ut hi   R am ac ha ndr a )   1137   [ 9]   W .   Z hu ,   R .   R .   M o hl e r ,   e t . a l . ,   “ H o pf   B i f ur c a t i o ns   i n   a  SM I B   P ow e r   Sy s t e m   w i t h  S SR ” ,   I E E E   P r o c e e di ng   o f   t he   1995   S um m e r   M e e t i ng ,   pp .   531 - 53 4,   P W R S .   [ 10]   R a c ha na n j a l i   K ,   S um a n  S ,   e t . a l . ,   “ I m p l e m e nt at i on   of   P has e   I m ba l anc e   S c he m e   f or   S t ab i l i z i n g  T o r s i ona l   O s c i l l at i on s .”   I nt e r n a t i o na l   J o ur n a l   o f   E l e c t r i c a l   a nd  C o m put e r   E n g i ne e r i ng   ( I J E C E )   V o l .   4,   N o .   5,   O c t o be r   2 014 ,   pp.   69 7 - 702  I S S N :   2088 - 8708 .   [ 11]   N a r e n dr a   K um a r ,   S a n j i v   K um a r ,   “ SSR   A l l e v i at i on  us i n g  B V L C   Suppl e m e nt a r y   C on t r o l l e d  SV S  o f   Se r i e s   C om pe ns at e d  P ow e r   Sy s t e m ”   T E L K O M N I K A   ( T e l e c om m uni c at i on  C om pu t i ng  E l e c t r o ni c s   and  C o nt r ol )     I nd o ne s i a n   J o ur na l   o f   E l e c t r i c a l   E ng i n e e r i ng   V o l .   1 2,   N o .   9,   S e pt e m be r   201 4,   pp .   655 1  -   6559 .   [ 12]   R . C .   M a l a ,   N a g e s h  P r a bhu ,   H . V .   G ur u r a j a   R a o ,   “ P e r f or m anc e   o f   S T A T C O M - E S  i n  M i t i ga t i ng  SSR . ” ,   I nt e r na t i ona l   J our nal   of   P ow e r   E l e c t r on i c s   and   D r i v e   Sy s t e m   ( I J P E D S)   V o l .   8 ,   N o .   4,   D e c e m be r   20 17,   pp .   1 822 - 182 9  I S S N :   2088 - 8 69 4.   [ 13]   R . C .   M a l a ,   N a g e s h  P r a bh u,   H . V .   G u r ur a j a   R a o .   " H o pf   bi f ur c a t i o ns   o f   S ubs y n c hr o no us   r e s o na nc e   i n  a   hy br i d  s e r i e s   c om pe ns a t e d  s y s t e m   w i t h  S S S C - E S " ,   2015  I nt e r na t i o na l   C o nf e r e nc e   o n  T e c hno l o g i c a l   A d v a nc e m e nt s   i n  P o w e r   a nd   E ne r g y   ( T A P   E ne r gy ) ,   2 015 .   [ 14]   A .   M .   K u l ka r n i   “ P ow e r   Sy s t e m s   D y nam i c s   an d  C ont r o l ” ,   h t t p: / / np t e l o nl i ne c o ur c e s . i i t m . a c . i n   [ 15]   P r a b ha   K undu r ,   “ P ow e r   Sy s t e m   St ab i l i t y   and   C on t r o l ” ,   T a t a   M c G r a w - H i l l ,   I S B N   13 - 978007 0635 159 .   [ 16]   K .   R .   P a d i y a r ,   “ F A C T S  C on t r ol l e r s   i n  P ow e r   T r ans m i s s i on  and  D i s t r i bu t i o n” ,   N e w   A g e   I nt e r n a t i o na l   P ub l i s he r s ,   I S B N   978 - 81 - 224 - 2142 - 2.   [ 17]   ht t p: / / s o ur c e f o r g e . ne t / p r o j e c t s / m a t c o nt / f i l e s / m a t c o nt / m a t c o nt 5p3 /   [ 18 ]   A .   D hoog e ,   W . G o v a e r t s ,   K uz ne t s o v ,   M e i j e r   a nd  S a ut o i s ,   “ N e w   f e at ur e s   o f   t he   s o f t w ar e   M A T C O N T   f or   t he   bi f ur c at i on   ana l y s i s   o f   dy nam i c a l   s y s t e m s ” ,   M a t he m a t i c a l   a nd  C o m put e r   M o de l l i ng   o f   D y na m i c a l   s y s t e m s ,   v o l .   14 ,  no .   2 ,   pp.   1 47 – 1 75,   2 008 .   [ 19]   I E E E   S ubs y nc hr o n o us   R e s o na nc e   T a s k  F o r c e   o f   t he   D y na m i c   S y s t e m   P e r f o r m a nc e   W o r ki ng   G r o up  P o w e r   S y s t e m   E ng i ne e r i ng   C o m m i t t e e ,   “ F i r s t   B e nc hm ar k   M ode l   f or   C om pu t e r   S i m ul a t i o n  o f   Sub - s y nc h r on ous   R e s ona nc e ” ,   I E E E   T r a n s a c t i o ns   o n  P o w e r   A ppa r a t us   a nd   S y s t e m s ,   V o l .   P A S - 96.   N o . 5.   S e p t e m b e r / O c t o be r   197 7.       B I O G R A P H I ES   O F   A U T H O R S         Ms   S h r ut hi   R a m a c ha ndr a   o bt a i ne d  h e r   B . E   i n  E l e c t r i c a l   a nd  E l e c t r o ni c s   f r o m   V i s v e s v a r a y a   T e c hno l o g i c a l   U ni v e r s i t y   i n  2010,   M . T e c h  i n  P o w e r   E l e c t r o ni c   S y s t e m s   a n d  C o nt r o l   f r o m   M a n i pa l   I ns t i t ut e   o f   T e c hno l o gy   i n  2014.   C ur r e n t l y ,   s he   i s   a n  A s s i s t a nt   P r o f e s s o r   i n   E l e c t r i c a l   a nd  E l e c t r o ni c s   a t   M a n i pa l   I ns t i t ut e   o f   T e c hno l ogy ,   M a ni p a l .   H e r   r e s e a r c h  i nt e r e s t s   i nc l ude   P o w e r   E l e c t r o ni c s   a n d  P o w e r   S y s t e m s .           M r s   R   C . M a l a   o b t a i ne d  he r   B . E   i n  E l e c t r i c a l   a n d  E l e c t r o ni c s   E ng i ne e r i ng   f r o m   M y s o r e   U ni v e r s i t y   i n  1988 ,   M . T e c h  i n   P o w e r   S y s t e m s   f r o m   M y s o r e   U ni v e r s i t y   i n  199 2.   C ur r e nt l y ,   s he   i s   a n  A s s i s t a nt   P r o f e s s o r   ( s e l e c t i o n  g r a de )   i n  E l e c t r i c a l   a n d  E l e c t r o ni c s   E ng i n e e r i n g   a t   M a n i pa l   I ns t i t u t e   o f   T e c hno l ogy ,   M a n i pa l   a nd   a   r e s e a r c h  s c ho l a r   a t   V i s v e s v a r a y a   T e c hno l o g i c a l   U ni v e r s i t y ,   B e l a g a v i .   H e r   r e s e a r c h  i nt e r e s t s   i nc l ude   P o w e r   s y s t e m   d y na m i c s ,   P o w e r   e l e c t r o ni c s   a ppl i c a t i o n  t o   P o w e r   s y s t e m s ,   C o nt r o l   s y s t e m s .   M r s   R . C . M a l a   i s   a   F e l l o w   o f   I ns t i t u t i o n  o f   E ng i ne e r s ,   I ndi a   a nd  m e m be r   o f   I ndi a n  S o c i e t y   f o r   T e c hni c a l   E duc a t i o n.         Mr   H . V . G u r ur a j a   R a o   o bt a i ne d  hi s   B . E   i n  E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   f r o m   K a r na t a ka   U n i v e r s i t y   i n  1989 ,   M . T e c h  i n  P o w e r   S y s t e m s   f r o m   M y s o r e   U ni v e r s i t y   i n  199 3.   C ur r e n t l y ,   he   i s   a n  A s s i s t a n t   P r o f e s s o r   ( s e l e c t i o n  g r a de )   i n  E l e c t r i c a l   a n d  E l e c t r o ni c s   E ng i ne e r i ng   a t   M a n i pa l   I ns t i t ut e   o f   T e c hno l o gy ,   M a ni pa l   a nd  a   r e s e a r c h  s c ho l a r   a t   V i s v e s v a r a y a   T e c hno l o g i c a l   U ni v e r s i t y ,   B e l a g a v i .   H i s   r e s e a r c h  i n t e r e s t s   i nc l ude   P o w e r   s y s t e m   pr o t e c t i o n,   P o w e r   e l e c t r o ni c s   a ppl i c a t i o n   t o   P o w e r   s y s t e m s ,   E m be d de d   s y s t e m s .   Mr   H . V . G u r u r a j a   R a o   i s   a   F e l l o w   o f   I ns t i t ut i o n  o f   E ng i ne e r s ,   I ndi a   a nd  m e m be r   o f   I ndi a n  S o c i e t y   f o r   T e c hni c a l   E duc a t i o n.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.