TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.7, July 201 4, pp . 5284 ~ 52 9 2   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i7.470 8          5284     Re cei v ed O c t ober 1 1 , 201 3; Revi se d Febru a ry 15, 2 014; Accepte d  March 12, 2 014   Adaptive Neural Network Approach for a Class of  Uncertain Non-affine Nonlinear Systems       Hui H U * 1 , Wa ng Yingjun 2 , Xilong  Qu 3   1 Dept of Electri c al an d Information En gi neer i ng, Hun an Insti t ute of Engin e e r i ng, Hu nan  Xi angta n , Chi na,  2 School of Infor m ation & Eng i n eeri ng, Hen an  Instit ute of Science a nd T e chnol og y, Xin x i a n ,  China,   3 Dept of Comp uter Scienc e, Hun an Instit ute  of Engine eri n g ,  Hunan  Xi an gtan, Chi n a   *Corres p o n id n g  author, e-ma i l : onl ym yh ui@ 126.com 1 , w a ngy i n g j un @ s in a.co m 2 , quxil on g @ 12 6.com 3        A b st r a ct  T he p a p e r pr opos es a  n e w  outp u t fee d b a ck a daptiv e t r ackin g  co ntrol  sche m e us in g n eura l   network for a class of unc ertain no n-affine  nonlinear systems that only th e system  output  variables c an  b e   me asur ed. The  sche m e  ad opt s low - pass filte r  to transfor m   non- affine  non l i ne ar syste m s i n to affine  in th e   pseu do-i n p u t d y na mics. No s t ate observ e r i s  empl oy ed  a nd few  ada pti ng p a ra meters  to be tune d a n d   Lipsc h i z   ass u mpti on, SPR c ond ition  is not  requir ed.  Onl y  the outp u t error is use d  in  control l a w s  an d   weights update laws which  make the syst em  construct  sim p le. Boundedness for the  output tracking  error   and  all  states  in the  clos e d -lo op syste m  are g uar ante ed, an d si mul a tion r e sults  have v e rifie d   the   effectiveness  o f  the propos ed  appr oach.     Ke y w ords :   ne ural n e tw ork, non-affin e  no nli near syste m s, uncerta in, outp u t feedb ack     Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  In the p a st  d e ca de, the  a daptive  control  ha s see n  rapid   an d sig n ificant devel opment  leadin g  to global stability and asymptoti c  trackin g   re sults for larg e cla s ses of un certai n nonli n ear  sy st em s.  I n   r e ce nt  y ear s,  f u z z y  logi c  co nt rol [ 1 -8] a n d  ad aptive n e u ral  network [ 9 -12] th at mo del  the fun c tional  mechani sm  of the h u man  brai n t hat  ca n coop erate   with h u man  e x pert kno w le dge   have bee n succe ssfully a pplied to ma ny cont rol problem s be ca use they ne ed no a c curate   mathemati c al  model s of th e syste m  un d e r  control.  Likewi se, for  a class of no nlin ear  contin uou s- time system s,  adaptive di re ct and  i ndirect control  usi n g fuzzy logi c have be en p r opo sed in [3,  4]  by using “do m inate input s” con c e p t. Co ntrolle rs in  [3,  4] using a st ate feedba ck approa ch is v a lid   if all of the   system  state s  a r e  availa ble fo r me asurem ent. In  pra c tice,  ho wever, th e  state   feedba ck co n t rol doe s not  alway s  hold  becau se sy st em state s  are not alway s  available. Ba sed  on [3, 4], ref e renc es  [5, 6] pres ent a d a p tive output  control  algo ri thms ba sed o n   state ob server  and e r ror o b server. Mo st o f  them deal  with the co ntrol  probl em of t he affine n onl inear  syste m s.  Ho wever,  in  pra c tice,  the  control m e th ods of  affine nonlin ear  sy stems do not alway s   h o ld and   the co ntrol  m e thod s of the  non -affine n online a r  syst ems  are  ne cessary. And   few results a r e  available fo r  non-affine n o n linea r  syste m s in  whi c h   the control  in put app ea rs  in a n onlin ea r   fashio n. In [7] authors a d d r essed th e ind i rect a daptive  fuzzy  control  probl em of S I SO non-affine   nonlin ear  systems. The ap proa ch i s  ba sed on t he ap p r oximation of  the nonlin ear  plant dynami cs  by  a f u zzy   sy st em a nd t h e n  t he  co nt rol  act i on  is  c o m put ed  ba sed   on lo cal  inv e r s ion  of  t h e  f u zzy  model. In [8], an indirect a daptive fuzzy controller  i s   prop osed, wit h in this ap proach, the SISO   non-affine no nlinea r syste m  is firstly transfo rme d  into an affine form by con s i derin g a Taylor  seri es exp a n s ion a r ou nd  an ope rating  trajecto ry . Ho wever, the in dire ct adaptiv e approa ch h a s  the drawb a ck of the contro ller  singul arit y proble m , i. e., division by  zero may o ccur in th e cont rol  law. In [9], an obs e rver-based dire ct ad a p tive fuzzy-n eural  control  scheme  is p r ese n ted fo r  n o n - affine nonli n e a r  system s. By using im p licit func tio n   theorem  a nd Taylor seri es  expan sion a nd  SPR Lyapu n o v theory, th e sta b ility of the clo s e - l o o p  sy stem i s   verified. Recently, in [10] an  output fee d b a ck-b ased  ad aptive ne ural  co ntrolle r  ha s b een  p r e s e n ted fo r a  cl a s s of  un certa i n  non-affine no nlinea r sy ste m s  with unm odelle d dyna mi cs whi c h  redu ce the  co mplexity of control   desi gn. But i n  the  scheme ,  a low-pa ss f ilter is  de sign ed to ma ke  the e s timation  error  dynami c s  satisfy the strictly positive-real  (SPR) co ndition so that they can use Meyer-K al mon-Ya ku bo vitz   (MKY) lemm a, which m a ke s the st ability anal ysis of the close d -lo op system and real   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Adaptive  Neu r al Net w o r k A ppro a ch for a  Class  of Un certain Non - affine No nlinea r… (Hui  HU)  5285 impleme n tation very  com p licate d . And  the pa ram e ters  of filter a r e h a rd  to be  cho s e n . In [11],   output feedb ack tra cki ng  control sch e me is i n vestigated for a  cla ss of u n c ertai n  no nli near  system s. Th e  distin gui she d  a s pe ct of  the al gor ith m   is that  no  Lip s chitz  assu m p tion a nd SP R  con d ition a r e  employed  which m a kes t he syste m   construct  simp le. But the obse r ver m u st  be   employed.   In orde r to  si mplify the d e sig n   of  co n t roller, i n  [12 ], an outp u t  feedba ck-b ased  adaptive ne u r al controll er  has b een p r o posed for  a  cla ss of un ce rtain  nonli n e a r sy stems.  No  state observe r wa s employ ed in the algo rithm and onl y the output e rro r wa s used  in control la ws  and weight s update la ws.  Based  on  the  above  ob se rvation, a n o vel sy stematic  desi gn  pro c e dure  is devel oped  for  non-affine no nlinea r syste m s witho u t state obse r ve r to simplify the de sign of  control  syst em.  First, a  lo w-p a ss filter i s   e m ployed to  transfo rm th e n o rmal  form  n on-affine  no nl inear sy stem  into   affine in the  pse udo -inp ut dynamics.  No  stat e ob server i s  e m pl oyed an d th e neu ral  wei ghts  update  la ws i s  tun ed  acco rding to  only t he o u tput  tra cki ng  error.  T he  stability a nalysi s  d epe nds  heavily on the unive rsal  function a p p roximatio n  prop erty, onl y one RBF N  is empl oye d  to   approximate t he lump ed u n ce rtain n onli near fu ncti o n . There are n o  re stri ctive condition s on t he  desi gn con s tants. The  pro posed sch e m e  has fe w ad apting pa ram e ters to  be tu ned an d Lip s chi z   assumptio n , SPR con d itio n are not req u ired.    The pap er i s  org ani zed  as follows. First,  the problem is formulated in  Section II.  Adaptive neural net work  controlle r design i s  given in III. In Se ction IV, stability analysis is  inclu ded. Sim u lation results are present ed to co nfirm  the effectiveness a nd ap plica b ility of the   prop osed met hod in Sectio n V. Finally, concl u si on s are inclu ded.       2. Problem Formulation   The following notations and def initions  will be used  extensiv ely throughout this paper.   Let  R be the re al numbe r, a nd  n R r e pr es en t th e  r e a l   n -vec tors .  k den ote s  the usual E u clid ean   norm of a vector  k . In c a s e   where  k is a scalar,  k den otes  its absolute value.    We co nsi der  the followin g  non-affine no nlinea r syste m :        1 1       1 , , 1 ( , )                                                             ii n x xi n xf x u yx                                                                                              (1)    Whe r e yR , uR  are the outputs a nd input  of the system a nd  1 [, , ] Tn n x xx R    is the  system state  vector. The smooth functio n () f  is unkno wn . The states  are not mea s urabl e, only  y is available fo r cont rol de si gn.    For the controllability issue, the following assumption must be made.  Assu pmtion  1 : T h e va lu e  o f   f u is no nzero.  Witho u t lo ss  of gen erality, we  assu me t hat  for all  n x R  , 0 u f f u  .   The control o b jective i s  to  desi gn a n  a daptiv e ne ural network co ntrolle r for a  cla ss  of  non-affine no nlinea r syste m s (1 )  su ch that the syste m  output  y follows a de sired  trajecto ry  d y ,  while all  sign als in the cl osed-lo op sy ste m  are bo und ed.   In the foll owi ngs,  we   will a dopt lo w-pa ss filter  to tran sform  (1) into  affine i n  the   pse udo - input dynami cs  [13] . The overall scheme  is illustrated i n  Figure 1.  The tran sfe r  functio n  of the low-p a ss filter is:     () Ls s                                                                              (2)    Whe r e  is  a p o sitive d e sig n  co nsta nt. Th en, altho ugh t he p s e udo -co n trol  p u sho w s a  ch at t e ring  phen omen on  due to a swi t ching fun c tio n , the actual  control input  u applie d to the real pla n t is   smooth b e ca use  u  is made  by low pa ss fi ltering of  p u ,  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5284 – 52 92   5286 p uu u                                                                                                              (3)                Figure 1. Basic Idea for S m oothing  Co ntrol         We d e fine the au gmented  state variable as   (1 ) ( ) 12 1 = , ,, , , ,, , T T nn m nn x xx x y y y y R      and   =, T m x uR with  1 mn . Then:    1 1 1 1 1 1    1, 2 , , 1 (, ) : (, )              = ii nn n n i i i n ip i i xx i n xf x u x xf x u ff xu xu f ff x uu x uu                                                                                  (4)    If we define the functio n s  () a and  () b  as :    1 1 () n i i i f f ax u x u          () f b u                                                                                                                               (5)    Whe r e  () b is n o n ze ro  and  p o sitive a c cording to A s su mption 1. T hus th ere ex ist po sitive   con s tant  0 b su ch that  0 () bb for all  m R .And we ca n see that the origin al  n th-order n on- affine nonlin e a r sy stem be come s the  m th-o rde r  affine  in the pseu d o -inp ut nonlin ear sy stem:     1    1, 2 , , () ( ) ii mp x xi n xa b u                                                                                                        (6)      3. Adap tiv e   Neur al Net w ork Con t roll er Desig n    Define t he  re feren c e ve cto r   () [] nT m dd d d yy y y R  .  The refe re nce   si gnal  d y an d   its time  deriv ative are  a s sumed to  be  smooth a nd  b ound ed.  We  also  defin e th e tra c king  error a s   d ey y    and co rresp ondin g   e rro r vector as () [, , ] nT m d ey e e e R  . A filtered t r ackin g   error is d e fine d as:       1 1 m T d s ee e dt                                                                   (7)     Whe r e 0  is a  desi gn  con s tant.  12 ,( 1 ) , , ( 1 ) T mm mm    ， 1 T    . The time  derivative of  s  is de rived a s :   out put   C ontr o l   input  y u p u s   Real  plant   Pseudo-  cont rol   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Adaptive  Neu r al Net w o r k A ppro a ch for a  Class  of Un certain Non - affine No nlinea r… (Hui  HU)  5287 () () 1 () 11 11  () ()  () ( ) Tm m d TT m dd p T p se y y y ya b u ab u v                                                           (8)     W h er e  1 0 T T    , () 11 mT dd vy y  .  F o r  t he  sy st em   (1)  s a t i sf ie s  Assu mption   1, if the id e a l  control is de si gned a s :      *1 () () () m p av uk t e b                                                                     (9)     Whe r e   1 () 2 kt   is a  desi gn pa ra meter,  12 () ( ) () TT aa b k   ,  12 1 2 ,, vv v v b v     ， 22 T d vk y   ， 2 2 0 , (1 ) , (1 ) , 1 T m mm     , Then,  s  converg e s to zero.     Proof:  Con s i der th e Lya p u nov fun c tion  2 1 2 s Vs . Taki ng th e time de rivative of   s V  along   (8) y i eld s :      11 1 11 1 22 2 () () ()     () () ( ) ()     () ( ) ( ) ()     ( ) ( ) T sp Tn mT T d Vs s s a b uv av s ab k t e v b sb k t e b k b k y bk t s                                             (10 )     Acco rdi ng to the Lyapu nov theor e m , the results impli e s that  li m 0 t s  .   Ho wev e r,  () a () b are  unkn o wn in ideal controll e r  (9 ),   an d the state vecto r    can n o t  be mea s u r ed.   * p u   is not availa ble.  The idea l controll er (9) can be  rewrit tened a s :     *1 * () m ad uk t e u                                                                                                         (11)                      Whe r e  * () () ad av u b is an unkno wn fun c tion.    In this paper,  a radial ba si s function  (RBF) neur al n e twork (NN) is use d  to ca pture the  unkno wn no nlinea rity  * ad u  in (11). In ge neral, the ou tput  of the  multiple-i nput -sin gle - output  R B F N N  is  des cr ib ed  b y :                              () () T hW                                                                                                         (12)    Whe r e  () hR is  the RBFN output,  L WR  is the adjust able pa ram e ter vecto r ,  1 () : nL RR   is a nonli nea r vector fun c tion of the inpu ts with  L bein g  the numb e r of  RBFs. The  i t h  element of W ,  ,1 , , i iL , is the syna ptic wei ght be tween the  i th  neuron in the  hidde n layer  and outp u t  neuron an d  () i  is a Gau s sian  function in th e form of:     2 () e x p 2 i i i                                                                                                    (13)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5284 – 52 92   5288 Whe r e  i  is a m-dime nsi o n a l vector represe n ting the  cente r  of the  i th basi s  functi on and  i is  the varian ce repre s e n ting the sp rea d  of the ba sis fun c tion.  The key adv antage   of RBFN  i s   th at it  has  the  capability to  a pproxim ate n online a r  mappin g s to  any degree of  accura cy. So:    ** () () () T ad av uW b                                                                                          (14)    Whe r e app ro ximation  erro r  sat i sf y   0 ,   11 1 2 ( ) ,( ) , ,( ( 1 ) ) , ( ) , ( ) T yt y t d y t m d v t v t  is  the inp u t vector to th e  RB FNN a nd  1 0 d is  a po sitive tim e  del ay . * W  is  an id eal  para m eter  vector  which minimizes the  function     an d  be defined a s :     ** arg m i n s u p ( ) T ad W WW u                                                                                      (15)    Whe r e   | WW  , 0  is the desi gn  con s tant. So the neural  network ou tput  feedba ck co n t roller  can b e  descri bed a s :        1 ˆ () m pa d uk e u                                                                                                              (16)                         Whe r e ˆ ˆ () () T ad uW   is the  output of RB FNN,  ˆ W is the e s timated valu e of the optimal wei ght  * W .                    The ada ptive law for the e s timated para m eter s of the NN i s  determi ned a s  the followin g :    ˆˆ () We e W                                                                                                                   (17)                        Whe r e  ada p t ive gain  ,0 an d   the  e -modification term is in tro d u c ed  to im prove the   robu stne ss of adaptive law in the presen ce of  the app roximation e r ror, and the r e  exists compa c t   s e t.                         ˆ ˆ | m WW                                                                               (18 )        Whe r e  () m  ,  m is  a cons tant. If  ˆ (0 ) W  , then  ˆ () , 0 Wt t  .                                                          Proof:  Co nsi der  the Lya punov  fun c ti on  1 ˆ ˆ 2 T VW W .  The time de rivative of the   function  V  alon g (19 )  is de rived as:       2 2 1 ˆˆ ˆ ˆ () ˆ ˆ     ˆˆ     ˆ ˆ     ( ) TT T m VW W W e e W We e W We e W eW W                                                                  (19 )        Thus , it follows  that if  ˆ m W then  0 V . So ˆ () , 0 Wt t  .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Adaptive  Neu r al Net w o r k A ppro a ch for a  Class  of Un certain Non - affine No nlinea r… (Hui  HU)  5289 From (8), the  time derivative of the  filtered tracking e r ror ca n be de ri ved as:      11 ** 11 * 11 1* 2 () ( )    ( ) () () () ()    ( ) () () ( ) () ˆ    () ( )    () ( ) T T ip T pa d a d T pa d mT T T sa b u v ab u b u b u v av ab u b b u v b bk e W W k e bk s W                                      (20 )     Whe r e  * ˆ WW W  .      4. Stabilit y  Anal y s is    We a r e no w ready to pre s e n t our main th eore m  whi c h  is sum m ari z e d  in Theo rem  1.    Theorem 1:  Con s id er  th e pure - fee dba ck  n online a r  system (1)  wit h  the  cont roll er in put  (16 )  and ad a p tive law (17 ) . Then, all the signal s in the clo s ed -loo p  system are b ound ed and t h e   state vecto r   x remains in:     0 () | ( ) 2 , 1 , 2 , , 0.5 ii m m xi b x te t i m k      , tT     Whe r e  * m bW  .   Proof:   Let th e Lyapu nov functio n   2 1 2 s Vs  . Taking the time  d e rivative of   s V  according  to (20), we get:         2 2 0 2 0 () ( )      () () ()      () () ()      () () T s Vs s b k s W s bk s b W s b s bk s b W s b s bk s b s W                                                     (21 )     Since  ˆ W is boun ded a s  sh own in (18 ) , it follows that  Wb , * m bW  , th en:     2 0 () () sm Vb k s b s b                                                                             (22)    From the ine quality  22 () 2   , it  follows  that:     22 2 0 2 2 0 2 0 () 0 . 5 ( ) ( ) () () ( 0 . 5 ) 2 ()       2 ( ) ( 0.5 ) 4( 0.5 ) sm m m s Vb k s b b s b bk s b bk V k                                                       (23 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5284 – 52 92   5290 Let  2 0 () 4( 0 . 5 ) m ss b VV k    an d n o te  2 0 () 4( 0.5 ) m b k   is  co nstant. Usin g t he comp ari s on   princ i ple, it follows  that:                      0 2( 0 . 5 ) ( ( ) ) (0 ) t kb d ss VV e                                                                  ( 2 4 )     Therefore,     0 22 2( 0 . 5 ) ( ( ) ) 00 () ( ) (0 ) 4( 0 . 5 ) 4( 0 . 5 ) t kb d mm ss bb VV kk e                                           (25 )     Since  0 () 0 bb   and    0 2 2( 0 . 5 ) 0 () 0 4( 0.5 ) kb t m b k e    ,  it follows  that:                             0 2 2( 0 . 5 ) 0 () (0) 4( 0 . 5 ) kb t m ss b VV k e                                                                                   (26)    Therefore,       0 2 2( 0 . 5 ) 22 0 () (0) 2( 0 . 5 ) kb t m b ss k e                                                                                 (27)    From the a b o v e equation,  s is bou nde d an d it implies that  x  is bound e d . Followin g  [14],  the state vect or  x will remain in  x for all  tT .This  c o mpletes  the proof.      5. Simulation Stud y   In this part, the followin g  non-affine n online a r sy stem is sim u la ted to illustrate the  effectivene ss of the propo sed a daptive  neural network output feed back tra c king  controller. T h e   non-affine no nlinea r syste m  is de scribe d as follo ws:      12 23 2 21 2 1 0. 15 0 . 1 1 si n( 0. 1 ) xx x xu x u u yx                                                                    (28)    The tra cki ng  obje c tive is to make the  system outp u t   y  follow the  desi r ed traje c tor y  0.5 s in 0.5 d yt  ( ） .  In (28),  0 f u whi c h  sati sfy the  a s sumption.  T he  simul a tion  pa ramete rs  are  sele cted  as  follows: 20. 0 , 2.0 ， 22. 0 k . T he ad aptive  gain  95 . 0 ,  0. 02 . A c cording to  the   desi gn proce ss, we ca n ge t controlle r an d weig hts up date law a s  follows:      20 20 p uu u     2 ˆ 22 2 p ue W    ˆˆ 95 ( 0 .0 2 ) We e W         The syste m  initial conditio n s are 12 (0) 0 , ( 0 ) 0 xx . The simulation re su lt using MATL AB  is sh own in Figure 1 - 4.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Adaptive  Neu r al Net w o r k A ppro a ch for a  Class  of Un certain Non - affine No nlinea r… (Hui  HU)  5291       Figure 1. Plots of Output Tr acking of System  Figure 2.  Plots of the Weig hts No rm             Figure 3. Plots of Cont rol Input   Figure 4. Plots of Output Erro r      Figure 1 an d  Figure  4 sho w s th e re sult s of out put tracking. It can  be se en that  the actual  trajecto ry con v erge s rapidl y to the de sired on e.  The  weig hts n o rm  is  sho w n i n   Figure 2  and  the   boun ded  cont rol input is in dicate d in Fig u re 3. The s e  simulatio n  re sults d e mon s trate the tracking  capability of the proposed  controlle d and its  effectivenes s for  cont rol tracking of  uncertai n non- affine nonlin e a r sy stems.       6. Conclusio n   This p ape r propo se s a ne w output fee d back  ad aptive neu ral net work  ada ptive controlle r  for a cla ss of uncertain n o n - affine nonli n ear sy st em s. The distin gui she d  asp e ct  of the propo sed   control alg o rit h m is th at no  state ob se rve r  is  em ploye d .  Only the out put er ro r is  used to ge ne rat e   control i nput  and  upd ate l a ws. Th e  sta b ility analysi s  dep end s  he avily on the   universal fu n c tion  approximatio n prop erty, only one RBF N  is em pl oyed to approximate the lumped un ce rt ain   nonlin ear fun c tion  (1 6). T here  a r e  no   rest rictiv e  co ndition s o n  t he d e si gn  co nstant s. So t h e   sy st em  con s t r uct  i s  v e ry   si mple.  Out put s t r a c king  e r ror an d all  sta t es in the  clo s ed -loo p sy stem  are  gu ara n te ed to  be  bo unde d by  Lyapun ov ap pr oach. Simula tion results  h a ve verifie d  t he  effectivene ss  of the propo sed app roa c h.       Ackn o w l e dg ement  It is a project suppo rted by Provincial  Na tural Sci e nce Fo und ation of Huna n, China   (Grant No.   13 JJ902 2), the  Re sea r ch Fo undatio n of Educ ation Bureau of Huna n  Province, Ch ina  (Grant No.09 B 022), the Pl anne d Scie n c e a nd T e ch nology Proje c t of Hu nan  Province, Chi na  (Grant No.2 0 11FJ312 6). S uppo rt ed by the Co nst r u c t Program of the Key Disci p line in Huna n  Province: Co ntrol Sci e n c e  and En ginee ring Sci e n c e a nd Te ch nolo g y Innovation  Team of  Hu n an  Prov inc e : Co mplex  Netw or k Co ntrol.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 7, July 201 4:  5284 – 52 92   5292 Referen ces   [1]  F i trian Imad ud din, K h isb u ll ah  Hud ha, J anat ul Isla h Mo ha mmad, His ham udd in J a mal u d d in. Sim u l a tio n   and  e x perim en tal i n vestig atio n o n   ada ptive  multi-ord e r pro portio nal- i nte g r a l c ontrol  for  p neum atical l y   actuated  activ e  susp ens ion   s y st em usin g kno w l e d ge- bas ed  fuzz y.  Int.  J. of Mode lli ng , Identificati o n   and C ontrol . 2 011; 14( 1/2): 7 3  – 92.   [2]  Mrinal  Ka nti S a rkar, Su brata  Ban e rje e , Sa kti Pr asa d  Gh osha l, T apas  Kumar S aha.  Adaptiv e fuzz y  param eter scheduling  schem e for GSA based optim al pr oportiona l integral derivativ e  and lag-lead  control  of a D C  attraction t y pe l e vitatio n  s ystem.  Int. J. of  Automation and Control . 2 0 12; 6(2): 1 74  –   192.   [3]  LIU Guo-ro ng,  W A N Bai- w u .  Direct a dapti v e fuz y   rob u st control for  a  class of n o n l ine a r MIMO   s y stems . Co ntrol T heory&A p p licatio ns . 20 02;  19: 693-6 98.   [4]  LIU Guo-ro ng,  W A N Bai- w u .  Indirect a dapt ive fuz y  rob u s t  control for a  class of no nli near MIMO   s y stems.  Co ntrol an d Decis i o n .  2002; 1 7 : 67 6-68 0.  [5]  T O NG Shao-chen g, QU Lia n -jia ng. F u zz y adaptiv e outp u t feedb ack control for a cl ass of MIMO  non lin ear s y ste m s.  Control an d Decisi on.  20 05; 20: 78 1-79 3.  [6]  T O NG Shao-c hen g, CHAI T i an- yo u. Ada p ti ve fuzz y o u tp ut feed back c ontrol for  a cl ass of MIMO  non lin ear s y ste m s.  Acta Electronic a  Sinic a . 2 005; 23: 9 87-9 90.   [7]  R Boukezz o u l a, S Galichet,  L F oull o r . Fuzz y  a daptiv e c ontrol for n on- affine syste m s . Proc. IEEE   Internat. Conf. F u zz y  S y stems .  2003; 23: 54 3 - 548.   [8]  J W ang, SS Ge,  T H  Lee.  Adaptiv e fu z z y  slidi ng  mo de  contro l of a  class of no nli near syste m s.   Proc.T hird Asian Co ntrol Co n f. 2000; 170: 5 99-6 04.   [9]  Yih-Gua ng L e u , W e i-Yen W ang, T s u-T i an  Lee. Obse rv er- base d  dir e ct a daptiv e fuzz y- neur al co ntrol  for non-affin e  n onli n e a r s y ste m s.  IEEE  Transactions on Neural Networks .  200 5; 16: 853- 861.   [10]  H Du, SS Ge, JK Liu. Adap tive neur al net w o rk  outp u t feedb ack control  for a class of non-affin e   n o n l i n e a r  sy stems  w i th  un mode l l e d  dy na mi cs.  IET Control T heory & App lic ation.  20 10; 5: 465- 477.   [11]  Hui Hu, Pe ng Guo. Output F eed back Ne ur al Net w ork Ad aptive T r ackin g  Contro l for Pure- F eed bac k   Nonl in ear S y stems.  IJACT . 2 012; 4(1 8 ): 655 -663.   [12]  Hui  Hu, Gu o-r ong  Li u, Pe ng  Guo, F e n g  H uan g.  Ne ura l   net w o rk  ad apti v e tracki ng c o ntrol for  strict- feedb ack no nl i near s y stems  w i t h o u t backst epp ing.  Jo urn a l  of Centra l So uth Univ ersity  (Scienc e an d  T e chno logy) . 2 012; 42( 10): 39 00-3 905.   [13]  SWKKB Park,  JJ Lee. Sm oot h variable struct ure controller  for  robot manipulat or us ing v i rtual  plant.   Electron ics Let ters. 1995; 31( 23): 213 4-2 136 .    [14]  PA Ioann ou, J Sun. Rob u st  a daptiv e contro l. Engle w o o k C l i ffs, NJ: Prentice-Hal l . 199 6.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.