TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 15, No. 2, August 201 5, pp. 270 ~  276   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 15i2.810 1        270     Re cei v ed Ma y 14, 201 5; Revi sed  Jul y  1, 2015; Accept ed Jul y  16, 2 015   Flight-Path Tracking Control of an Aircraft Using  Backstepping Controller      Laban e  Chrif* 1 , Zemalache Meguen n i Kada 2 , Tah a r  Mohamed 2   1 Departem ent of Electtotechn i c, Universit y  of  Dr Moula y  T ahar, Said a, Alg é rie   2 LDEE Lab orat or y  UST O, MB  Oran, Algeri a   *Corres p so ndi ng auth o r, e-mail: c_l aba ne @ hotmai l .fr      A b st r a ct  For transportat i on  aircraft, the primary cont rol ob jectiv e for an autopilo t system  engaged  durin g   appr oach  an d l and ing  is rel a ti ve to t he flig ht path tracki ng o n  the bas is of   hig h ly si mp lifie d lin ear  mo del s of   flight dy na mics . T he dyn a m ic s gover ni ng th e flig ht p a th  of  an  aircraft ar e  in  gen era l  h i g h ly n o n lin ear  a n d   involv e co mp le x physics for w h ich no acc u rate mode ls ar e avai lab l e. In  this pap er a non lin ear  mo d e l   descri b in g the   lon g itud in al  eq uatio ns of  moti on i n  st rick fe e dback f o rm is  deriv ed. Backs teppi ng  is uti l i z ed   for the constru c tion of a gl oba lly stabi li z i n g  c ontrol l er w i th a nu mb er of  free para m eters. It i s  imp l e m e n ted  a   control l er w i th  an  intern al  lo o p  co ntrols  inv o lving  the   p i tch  rate of th e  airc raft and  a n  ext e rna l  l o o p  w h i c h   inclu des  a ngl e  of attack, p a th  ang le  an d  pitc h a ngl e. F i n a ll y, non lin ear  si mu lati on r e sult s for a  l ong itud in a l   mo de l of a tran sportatio n  aircr a ft are displ a ye d and d i scuss e d .    Ke y w ords :  ba cksteppi ng, air c raft control, nonli n e a r contro l, Lyapu nov sta b ility     Copy right  ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion    The de sig n  o f  flight control  system s is  a   typical  nonli near co ntrol probl em,  due   dire ctly  to the  ch ang es i n  ai rcraft  dynami c s  wi th flight  cond itions  and  ai rcraft  co nfiguration. Fo r thi s   rea s on, a dy namic m odel  that is stable and  ade qu ately dampe d in one flight condition  may  become unst able  or at least in adequately damped i n  another one.  In transportation ai rcraft, a   lightly damp ed o scill atory  mode  may  cau s e  disco m fort to pa ssen gers  or  make  difficult  the  control of the aircraft for the pilot. For a  combat  aircraft, this conditi on may lead  to more  criti c al   situation once the  aircraft is  i nherently unstabl e due the  maneuverability requirem ents and  capability of attack.   In this pa pe r  we i n tro d u c e  an  altern at ive for  co ntrol  se paration; a  ba ckstepping   controlle r i s  u s ed  to a c hi eve glo bal  stabi lity with an  int e rnal  loop  controls involving the  pitch rat e   of the ai rcraft  and  extern al  loop  which i n clu d e s  a ngl e of atta ck,  p a th an gle  an d pitch a ngle .   A  backsteppi ng  controll er is  prop osed to solve t he pat h angle sta b il ization p r obl e m  of the aircraft  transpo rtation .  Firstly, the full nonlin ear l ongit udi nal d y namics are descri bed u n der  con s ide r a t ion  of external di sturb a n c e s  a c ting on p a th  angle. The n , block ba ckste pping  controll er.   Backstep ping  is a recursiv e pro c ed ure that  interla c e s  the choi ce of  a Lyapunov functio n   with the de si gn of the fee dba ck  cont rol .  The advant age of this te chni que i s  that it can from  the   stabili zing  no nlinea r te rms rath er than   eliminating  th em. Backste pping  ha s  be en a pplie d to  a  numbe r of different de sig n  taske s  [7].    The goal of this wo rk is to design a  con t rol law able t o  deal with th e aircraft long itudinal  dynamics ,  for all the normal opera ting regimes  of the airc raft, wit h  minimal inf o rmation of the  aero d ynami c   model. T he  controlle r m u st  be  able  to  m a ke  the  syste m  se ek the  re feren c e s  in  th e  aero d ynami c   velocity and  flight path  an gle, usi ng as actuato r s  the   elevator defl e ction s   a nd  t he  thrust level.   The main ai m of this pap er is to asse ss the respe c tive perfo rm ances of the  nonlin ear  backsteppi ng  techniq ue ap plied to the f light-path a ngl e tracking  co ntrol problem.   The p ape r i s   stru ctured a s   follows: first, i n  se ction  2 i s  pre s e n ted th e longitu dinal  aircraft  model eq uati on. This ai rcraft repre s e n ts a  tran sp ort a tion aircraft like A320/A3 XX and Boeing  737-200/3 00  this n online a r co ntrol th eory will control  the ai rcraft ri gi d flight dyna mics to a c hi e v e  global stability.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Flight-Path T r acking  Control of an Aircraft Us ing Ba ckste ppin g  Co ntrolle r (La b a ne Ch rif)  271 In the sectio n 3, backste pping  control  desig n pro c edure is sho w n tra c king f our  state  variable s . Fin a lly, in the section 4 a num erical sim u lati on is do ne to demon strate       2. Nonlinear  Aircraft  Model   The lon g itudi nal motion  of an aircraft is well de scri b ed by the foll owin g stan da rd set of  dif f erential eq uation s ,  the state  vari able s ,   ( a irs p ee d) ,   (p ath an gl e),   (angl e of  attack),    (pitch a ngle )   and   (pitch rat e ), are d epi cted in Figu re 1 .                                                                                      (1)                                                                              (2)                                                                                       (3)                                                                                                                                              (4)                                                                                                                                     (5)      is the  flight  path angle, to which we shall return lat e r .    is the en gine thru st  force a nd   the elevator an gle. Finally ,  ,  et   are the aerodynamics  forces  lift, drag and   pitchin g  mom ent and   is the inertial mom ent about   axis in body axe s .      Figure 1. Defi nition of force s , moment s a nd angl es      As usu a l in a e rodyn a mi c forces a nd mo ments a r e co mputed throu gh their no n- dimens ional coeffic i ent, as   follows :      ,     ,      ̅                                                                      (6)    Whe r e   is the air density ,   is the referen c e wing surfa c e,  ̅  is the mean cho r d and   ,   and   are the lift, drag and pitching mom ent coef fici ents. Moreover ,  we consider the following  model s for th e drag a nd m o ment co ef ficients [1, 2].                                                                                                 (7)                                                                    (8)    Whe r e  ,   ,   ,   ,   ,   an d   are ai rcraft  aerodynam i c  coef fi cients,  and   is  the elevator angle. in this work  ,   ,   ,   ,    and   are con s idere d  to be  unkno wn  para m eters,  while is  k n own.           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  270 –  276   272 3. Bac ksteppin g   Con s id er a d y namic sy ste m :                                                                                                (9)    Whe r e  ∈ , ∈  are st ate variable s   and  ∈  is the co ntrol input.   The control o b jective [x] to this dynami c  syst em i s  to  desi gn a  cont rol la w such that the  state   can b e  stabilized  at 0, a supp ose d  global  asymptoticall y  stable equi librium with  null   input  0 0 , furthermore it can o b se rved that   can b e  re ga rde r  as  a virtual (o r medi a t e)  control input  for the dyna mics  , the dynamics of   is controlled by  the real co n t rol input  .  This i s  an i m porta nt feature to ma ke  use of  for t he followi ng  control law  synthesi s . No w,  sup p o s e that there exist s  a  control la w [5].                                                                                                                   (10)                                                                (11)    Whe r e   is positive definite functio n . Then  t he whole dy namics can b e  expre s sed  as:                                                                           (12)                                                                                                                      (13)     Whe r e,                                                                                                        (14)                                                                                                                           (15)    With,                                                                              (16)       Then, the Lya punov fun c tio n  con d idate o f  the full system is given by [9]:        ,                                                                                           (17)    The time deri v ative of  ,  is given by:    ,                                                               (18)    Substituting the ineq uality of Equation (9) and  Eq uati on (10 )  into Equation (14 )  yields:     ,                                                                (19)        By an edequ ate choi ce of  ,  such a s :                                                                                              (20)    Whe r e is p o sitive consta nt, the full system is glob all y  asymptoticallt stable si n c e it satisfie s the   following condition:    ,                                                                                    (21)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Flight-Path T r acking  Control of an Aircraft Us ing Ba ckste ppin g  Co ntrolle r (La b a ne Ch rif)  273 Finally, sibstit u ting Equatio n (7) a nd Equ a tion (1 1 )  into  Equation (1 6 )  yields the ef fective  control input:                                                           (21)      4. Con t roller  Design   The main obj ective of the  controlle r is to track slo w  states  , , and  .  But the problem  is divide d in t w o p a rt s. The  first on e is th e co ntrol  of  ,  a nd  , this pro b l e m can b e  viewe d  like   a two-scaleti ne app roa c h  bec au se the fast states   is use d  as co ntrol input as is propo se d in   Lee et al. (2001) [8]. the seco nd part is the control of  , acco rdingl y to  achieve this obje c tive is  prop osed a first orde r ba cksteppi ng u s in g the throttle setting inp u ts [3, 4].    4.1.    Control  of the Flight Path Angle    The  ba ckstep ping  pro c e d u r e to  be  ap pl ied  can  be  vi ewe d  a s  t w o - timescal e a p p roa c h  becau se the fast state s  are  used a s   cont rol input s for  the slo w  stat es  ,  and   intermediately.  Ho wever, thi s  method olo g y consi d e r s the transient  resp on se s of the fast  states and, therefor  doe s not re quire the ti mescale  sep a ration a s su mption. First, it is nece s sary repla c e  the  aero d ynami c   force s  and  m o ments into  the  state  e qua tion. The  dyn a mics  of fligh t -path  angle   are   written as  [11, 12]:                                                                                     (22)    The first step  of a backste pping a p p r oa ch  con s ist s  i n  difining the  output outp u t error  whi c h is give n here by:                                                                                                                               (23)    Whe r e   is the desire d  flight-path angl e. Then the  error dynami cs  of flight-path angle is give n   by:                                                                                                                            (24)    A Lyapunov functio n  for   is given by:                                                                                                                                     (25)    Its time-de r ivative is then given by:                                                                                                                                                                                                   (26)    With:    0                                                                                                                                   (27)                                                                                                                                (28)    Since:                                                                                                           (29)    At the seco nd  step the ne w erro r given b y :                                                                                              (30)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  270 –  276   274 Its time-de r ivative is then given by:                                                                                            (31)    With:                                                                                                                     (32)    Such that:                                                                                           (33)       1                                                                  (34)    Afin d’élimine r   cette e r reur, la fon c ti on de  Lya pun ov  augm entée  d’un autre   te rme qui   contie nt une  nouvelle e rre ur                                                                                                                   (35)    Its time-de r ivative is then given by:                                                                                                                  (36)                                                                                              (37)    With:   0                                                                                                                                (38)                                                                                                                  (39)    Finally, the effective cont ro l  of flight path angle given  by:    , , , , ,                                                                                                    (40)    It appears th at the backsteppin g  app ro ach i s   far fro m  being  strai gh forward a nd that  su ch an inttricate co nst r u c tion sh ould  be tested th rou gh fully to provide confiden ce in  its   perfo rman ce s.       5. Simulation  Results   I n  t h is s e ct i on,  simul a t i o n  re sult s  of  the co ntroll ers  develo p ed are sho w n a nd  demon strate the perfo rma n c e of this con t rol law.      Figure 2. Flight path angle    Figure 3. Angle of attack    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0 . 2 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 ti m e  ( s ) g a m m a  ( deg) F l i g ht  pat h  angl e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0 . 4 -0 . 3 -0 . 2 -0 . 1 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Ti m e  ( s ) al pha  deg ) A n gl e of  A t t a c k Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Flight-Path T r acking  Control of an Aircraft Us ing Ba ckste ppin g  Co ntrolle r (La b a ne Ch rif)  275       Figure 4. The  pitch angl e    Figure 5. Pitch angle rate                   Figure 6. Con t rol inputs:  el evator defle ction    Figure 7.Co ntrol input s: ele v ator throttle  s e tting                                                                           Figure 8. The  lift  force L   Figure 9. The  drag force  D      6. Conclu sion   In this pa per  nonlin ear  ba ckste ppin g  techniqu e wa s u s ed to  de sign  law to be  ap plied in   a nonli nea r a i rcraft mod e l. A cont rolle r  wa s p r op ose d  to tra c k  , and    u s ing ang ular rate a s   intermediate,  thus, it i s  possible  control a  sl o w  dy namics  usi n g  the fast  dyn a mics. With  this   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0 . 2 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 Ti m e  ( s ) t e t ha ( deg) P i t c h angl e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0 . 8 -0 . 6 -0 . 4 -0 . 2 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 Ti m e  ( s ) q ( r a d/ s ) Pi tch  r a t e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Ti m e  ( s ) de l t e  ( d eg ) E l ev a t or  de f l ec t i o n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 x 1 0 5 Ti m e  ( s ) Th r u s t  ( N ) Th r u s t  f o r c e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x 1 0 4 Ti m e  ( s ) L L i ft  c o e f fi c i e n t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 x 1 0 4 Ti m e  ( s ) Dr a g D r ag f o r c e Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 15, No. 2, August 2015 :  270 –  276   276 controlle r ap plied the  erro r expon entiall y conve r ge s, then sy stem  can  be gl ob aly stabili zed  or  reach a new  equilibrium st ate.  We have  addressed the  path  angl e control probl em for a transportation ai rcraft. A  nonlin ear m o del de scribi n g  the longitu dinal mo tio n  in stri ck fe edba ck form at wa s de rived,  carefully sele cting the sta t es inclu d e s  and maki ng  prope r app roximations.  A backstep p i n g   control la w was  de sign ed  recursively in  thre e  step s,  resulting i n  a  nonli nea r  co ntrolle r  with fi ve  free pa ram e ters. T he  cl ose d  loop  stability of  the error  stat es a nd the  para m eters of  backsteppi ng  techniq ue a r e examine d  by the Lyapu nov theory, a nd it is  shown that the error  expontially co nverge to a compa c t set whose si ze  is a j ustabl e by the desi gn pa ra meters. Finall y ,  a nonline a r  si mulation of a n  aircraft ma neuver i s  pe rformed to de monst r ate th e perfo rman ce o f   the prop osed  control laws.                Referen ces   [1]  V an Orrt Eduard  Ric hard.  Ad a p tive Bac kstep pin g   C ontr o l  a nd  Safety Analysis   for Modern  Air c r a ft.  PhD  thesis.  T e chnische Uni v ersiteit Delft.  201 1.   [2]  AL  da Silv a,  P  P agli o n e , Y o n e yam a   T .   Control l ab ility an alysis  and  stab ili z a ti on  of  fle x i b le  aircrafts .  XV II I  C o n g r e ss o Br asil ei r o   d e   A u tomática.  20 10.   [3]  C Laba ne, K Z e malac he Megu en ni.  Aircraft Control System Usin g L Q R and LQG  control l er w i th   Optim a l Estimation-Kalm an Filter Design . Procedi a Engi ne er ing. 20 14; 80:  245- 257.    [ 4 ]   A B   G u i m a r a e s  N e t o .   D i n â m i c a  e   c o n t r o l e   d e   a e r o n a v e s   f l e x í v e i s   c o m   mod e lagem  a e r o d i n â m i c a   p e l o   método d o u b le t  lattice. Maste r ’ s   thesis.  T e chnol ogic a l Instit ute  of  Aeron aut ics  (IT A ).  2008.  [5]  L  Son nev eldt,  Q Ch u,  J  Muld er .  Nonlinear  flig h t  c o n t r o l  des ign  u s i n g  c o n s t r a i n e d  a dap t i v e   bac k step pi ng .    J.  Guid.   Contr .   D y nam . 20 07; 3 0 (2):  3 2 2 - 336.   [6]  A  Morales, P   P aglione, F  T r i v e n o .   No nli n ear  flig h t   con t r ol  u s i n g  b a ck steppi ng   t ec hn iq u e. 2 0 1 1:   555- 558.   [7] L  Sonn ev e ld t .  A d aptive  Bac k s te p pin g  F lig ht Contr o l  for Mo dern  F i g h te r  A ir c r af t.   P h D .  Th e s i s .   Delft  T e c hnolog yc  Un i v e rs i t y . 2 010.   [8]  T    Lee,  Y  Ki m.  Nonli n e a r a d a p t i v e   fli gh t  co n t ro l  us ing  bac kstep ping  an d  ne ura l   ne t w or ks   con t ro l l er .  20 0 1 ;  24:  675- 68 2 .   [9]  ER V  Oor t .  A d aptive  Bac k s te p p i ng C ontr o l   and  Safet y   A nal ysis  f o r   Mo de r n  F i ghter  A i rc ra f t .   PhD.    T hesis. Delft  T ec h no lo gy c  Un i v e rs i t y .  20 1 1 .  [10]  AL   da  Silv a, P .  P a gli o n e ,  Y o n e yam a   T .   Conceptua l  fl e x ible   aircr a ft  mod e l  for  mo de lin g, ana lysis an d  control stud ies .  Submitted  for pr esentation  in  AIAA.   2010.   [11]  Boua di H, Mor a -Cami no F .   Ai rcraft trajectory tracking  by no nlin ear s patia l  inversi o n . AIA A  Guidanc e ,   Navig a tio n  an d  Control C onfer ence Mi nne ap olis, Min nesota ,  USA. 2012: 1 - 17.   [12]  Boua di H, Mor a -Cami no F .   Space- base d  n o n lin ear  dyna mi c inversi on c o ntrol for aircr a ft continu o u s   desce nt ap pro a ch . IEEE Evol ving  and A d a p tive Intel lig ent  S y stems C onfe r ence .  Ma drid,  Spai n. 20 12 :   164- 169.    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.