I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   20 ,   N o .   3 D e c e m b e r   20 20 ,   pp .   1242 ~ 1251   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 20 .i 3 . pp 124 2 - 1251             1242       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e e c s . i a e s c or e . c om     S t a b i l i t y   a n d   c h a o w i t h   m a t h e m a t i c a l   c o n t r o l   o f   4 - d   d y n a m i c a l   sy st e m         M ays o o n   M .   A z i z ,   D al ya  M .   M e r i e   D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s ,   Co l l e ge   o f   Co m put e S c i e n c e   a n d   M a t h e m a t i c s ,   U n i v e r s i t y   of   M os ul ,   I ra q         A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e D e c   1 2 ,   20 19   R e v i s e A pr   25 ,   2020   A c c e pt e J un   14 ,   2020       A   ne w   f o ur - di m e ns i o na l   c o nt i nuo us - t i m e   s y s t e m   i s   de a l t   i t hi s   p a pe r .   T he   s y s t e m   e m p l oy s   e i g ht   s i m p l e   t e r m s   i nv o l v i ng   no nl i ne a r   t e r m s .   T he   f unda m e n t a l   c ha r a c t e r i s t i c s   o f   t he   s y s t e m   a r e   a na l y z e d   by   m e a ns   o f   i t s   e qui l i br i um   po i n t s ,   d i s s i pa t i v i t y ,   w a v e   f o r m   a na l y s i s ,   s t a b i l i t y   a n a l y s i s ,   L a pi y nu o v   E xpo ne nt s   a nd   K a pl a n - Y o r ke   d i m e ns i o n.   T h e   m a x i m u m   v a l u e   o f   L a pi y nu o v   e xpo ne nt   i s   o bt a i n   a s   ( 1. 6 6074 8)   a nd   K a p l a n - Y o r ke   di m e n s i o o bt a i n   a s   ( 3 . 1 4343 3471 ) ,   t ha t   s ho w   t he   s y s t e m   i s   un s t a b l e   a nd  hi g hl y   c ha o t i c .   A s   w e l l ,   a n   o pt i m a l   c o nt r o l l e r   by   a da p t i v e   c o nt r o l   s t r a t e g y   i s   e s t a bl i s he d   t o   b e   s y s t e m   t r a j e c t o r i e s   a r e   s t a b l e .   F i na l l y ,   a d a p t i v e   s y nc hr o ni z a t i o o f   n e w   s y s t e m   i s   c l a r i f i e d.   T a bl e s   a r e   m a de   t o   c o m pa r e   t h e   g r a ph i c a l   a nd   t he o r e t i c a l   r e s u l t s   o f   t he   n e w   s y s t e m   i t w o   c a s e s   b e f o r e   a nd   a f t e r   c o nt r o l .   Ke y w or d s :   A da pt i v e   c o n t r o l   F o ur - di m e n s i o n a l   s y s t e m   L a pi y n uo v   e xp o n e n t   S t a b i l i z a t i o n   S y n c hr o ni z a t i o n   C opy r i gh t   ©   20 20   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   M a y s oo n   M   . A z i z ,   D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s ,   U n i v e r s i t y   of   M o s ul ,   M o s ul ,   I ra q.   E m a i l :   a z i z _m a y s oo n @ y a h o o . c o m ,   a z i z _ m a y s o o n @ uo m o s ul . e du. i q       1.   I N TR O D U C TI O N     In  de c a y   y e a r s ,   r e s e a r c o c h a o t i c   p h e n o m e na   h a s   i n c r e a s e d   dra m a t i c a l l y   due   t o   t h e   i n c r e a s i ng   l i m i t s   of   c h a o t i c   a p pl i c a t i o n s   i n   s c i e n c e   a n d   e n gi n e e ri n g   s y s t e m s   [1].   T h e   p h e n o m e n o n   o f   c h a o s   is   c a us e by   s e n s i t i v i t y   of   o pp o n e nt s   t o   pe rt u r b a t i o s t r uc t u ra l   p a r a m e t e r s   a nd  i n i t i a l   c o n di t i o n s   o f   a   f e w   c a t e go r i e s   o d y n a m i c   s y s t e m s   [2 - 5] .   C ha o t i c   s i g na l s   c ha ra c t e ri z e   by   ra n do m - l i ke   n a t u r e b r o a db a n d   s pe c t r u m   a nd   a r e   a pe ri o di c   [6 ,   7].   T h e   c o n d i t i o n s   o f   t h e   c ha o t i c   s y s t e m   t h a t   s ho ul b e   s a t i s f i e d ;   F i r s t ,   s e n s i t i v ity   t o   di s t u r b a n c e s   i n   i t s   i n i t i a l   c o n di t i o n s   w h i c s h o ul r e s ul t   i n   u np r e di c t a b i l i t y   be h a v i o r   o n   l o n g   t i m e ;   s e c o n d,   i t ' s   n o t   a   t r a n s i t i o n a l   t o po l o g y ;   a n d   t h i rd,   i n   p h a s e   s pa c e   t h e   c h a o t i c   o r b i t s   s h o ul d   b e   de n s e   [8 - 9] . " A m o ng  s o m e   o f   t h e   a t t ra c t o r s   o f   c h a o s   e vo l ve i n   t h e   r e s e a r c h e s   a r e   t h e ,   C h e n' s   [10] ,   4 - w i n a t t r a c t o r   [11] ,   S u n d a ra pa ndi a n - P e h l i v a [1 2],   R a b i n o v i c h   s y s t e m " [ 13 - 15].   A   f unda m e nt a l   p r o pe rt i e s   o f   c ha o t i c   s y s t e m   i t   po s s e s s   a t   l e a s t   o n e   L a pi y n uo v   e xpo n e n t   g r e e a t e r   t ha n   z e r o .   A   s y s t e m   t ha t   ha s   m o re   t ha n   o n e   po s i t i v e   l a p i y n uov   e xpo n e n t s   i s   hi g h l y   ch a o t i c   a n d   b e c o m e s   e xt r e m e l y   s e n s i t i v e   t o   t i n y   di s t u r b a n c e s   i t h e   dy n a m i c s   o f   hi s   s y s t e m   [16 - 17 ].   B e c a us e   of   t h e   c o nt r o l a b i l i t y   a n d   s y n c hr o ni z a b i l i t y   c h a o s   c o n t r o l   b e c o m e s   w i de s pr e a a t t e nt i o f r o m   r e s e a r c h e s   i s   a i n di c a t i o o f   b e n e f i t   i c o m pl e t e l y   di f fe r e nt   de s i g n s   s uc a s   s e c ur e   c o m m u n i c a t i o n s ,   a rt i f i c i a l   i nt e l l i ge n c e ,   a nd  b i o m e t r i c   i de nt i f i c a t i o n   [ 1 8 - 20] .   O n e   o f   t h e   p ri n c i pl e   o f   l a pi y n uo v   s t a b i l i t y   c a n   e f f e c t i v e l y   s e t t l e t h e   di s s i pa t i v e   s y s t e m s   [2 1 - 24] .     T h i s   pa pe c o n s i s t s   o f   s e v e n   s e c t i o n s :   I n   S e c t i o 2 ,   w e   pr e s e nt e t h e   n e w   s y s t e m ;   i t   i s   m a i n l y   c o n s i s t   of   e i ght   s i m p l e   t e rm s   i n c l ude   t w o   n o n l i n e a t e r m s .   I S e c t i o n   3 ,   w e   i n v e s t i ga t e b a s i c   c h a ra c t e ri s t i c s   o f   t h e   n e w   s y s t e m   by   m e a n s   t h a t   o f   e qui l i b r i u m   po i nt s ,   s t a b i l i t y ,   di s s i pa t i v i t y ,   L a pi y n uov   e xpo n e n t s ,   K a pl a n - Y o rke   di m e n s i o a n di a g r a m s .   I n   S e c t i o n   4 ,   w e   i n f e r   t h e   r e s ul t s   o f   a da p t i v e   c o n t r o l   o f   t h e   h i g h l y   c h a o t i c   s y s t e m   w i t h   unk n o w n   pa ra m e t e r .   I n   S e c t i o 5,   w e   m a de   t a b l e s   t o   c o m pa r e   t h e   s y s t e m   be fo r e   c o n t r o l   &   a f t e r   c o nt r o l .   I s e c t i o n   6 ,   t h e   c o n c e pt   o f   A da p t i v e   s y n c h r o n i z a t i o t e c hni qu e   a n d   i t s   r e s ul t s   o f   t h e   i de n t i c a l   c ha o t i c   s y s t e m s   w i t a u n k n o w n   p a ra m e t e r .   I S e c t i o n   7,   w e   pr e s e nt e t h e   c o n c l us i o n s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       St abi l i t y   and   c haos   w i t m a t he m a t i c al   c ont r o l   o f   4 - d y nam i c al   s y s t e m   ( May s oo M .   A z i z )     1243   2.   S Y S TE M   D ES C R I P TI O N     T h e   n e w   fo ur - di m e n s i o na l   s y s t e m   h a s   t h e   f o l l ow i n g   e qua t i o ns :     ̇ 1 = ( 2   1 )   ̇ 2 =    1 1 3 + 4                                                                                                                                   (1)     ̇ 3 1 2 3   ̇ 4  1       1 , 2 , 3 , 4   a r e   s t a t e   v a r i a b l e s   a n d   , , ,   ,   ar e   c o n s t a nt s .     W h e r e   = 296 . 5 ,   = 10 , = 10 , = 40 , = 8                                                                                             (2)                        3.   S Y S TE M   A N A L Y S I S     T o   a n a l y z e   a   dy n a m i c a l   s y s t e m   f i r s t   w e   ha v e   t o   l oo a t   i t s   e qui l i b r i um   po i nt s   by   s e t t i n g   (1)   e qua l   t o   z e r o ,   t hi s   r e s ul t s   o n l y   o n e   e qui l i b r i um   po i n t   a nd  i t   i s   t h e   o ri gi po i n t   = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) .     3. 1 .       S tab i l i t an a l ys i s   3. 1 . 1.   C h ar a c t e r i s ti c   e q u ati o n   r o o ts   T h e   s y s t e m   t o   b e   s t a b l e   i t   i s   n e c e s s a r y   a n s uf f i c i e n t   c o n d i t i o t ha t   t h e   e i ge n v a l ue s   o f   i t s   c ha r a c t e r i s t i c   e qua t i o n   ha v e   n e ga t i v e   r e a l   pa rt s .   T h e   J a c o b i a m a t ri o f   n e w   s y s t e m   (1)  t hr o ug h   = ( 0 , 0 , 0 , 0 )   i s   gi v e a s :     J =   [ 10       10       0         0 296 . 5     0         0       1   0           0     1       0 8         0           0         0   ]     T h e   c ha ra c t e ri s t i c   e qu a t i o i s :     λ 4 + 11 λ 3 2955   λ 2 2885 λ   + 80 = 0                                                                   (3)                T h e   r o o t s   of   (3)  a r e :     λ 1 = 1     λ 2 = 59 . 693     λ 3 = 0 . 026984   λ 4 = 49 . 666     T h e r e f o r e ,   t h e   n e w   s y s t e m   i s   u n s t a b l e .     3. 1 . 2 .   R o u th   s tab i l i ty  c r i te r i o n   T h e   R o ut s t a b i l i t y   t e s t   s t a t e s   t ha t   t h e   s y s t e m   i s   s t a b l e   ( a l l   p o l e s   i O L H P   (O pe L o o H a l f   pl a n e ))   i f   a n d   o n l y   i f   a l l   t h e   e l e m e n t s   i t h e   f i r s t   c o l um o f   t h e   R o ut a rr a y   a r e   s t ri c t l y   po s i t i v e .   I a ddi t i o t h e   n u m b e r   of   po l e s   n o t   i n   t h e   O L H P   i s   e qua l   t o   t h e   n u m b e r   o f   s i gn   c h a ng e s   i n   t h e   f i r s t   c o l um n " [25] .   T a b l e   r e f e r   to   Ro ut h   s t a b i l i t y   t e s t .     4 = 1   3 = 11   2 = 2955     1 = 2885   0 = 80     2 = 2 4 1 3 = 2692 . 727   0 = 0 4 ( 0 ) 3 = 80   1 = 1 3 0   2   = 2884 . 67   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   3 D e c e m be r   20 20   :     12 42   -   12 51   1244   T a b l e   1 .   R o ut a rra y   t a b l e   o f   s y s t e m   (1)   4   1   2955   80   3   11   2885   0   2   2 6 9 2 . 727   80   0   1   2884 . 67   0   0   0   80   0   0         S y s t e m   (1)  i s   u n s t a b l e ,   s i n c e   t h e r e   a r e   t w o   e l e m e n t s   i n   t h e   f i r s t   c o l um o f   T a b l e   a r e   l e s s   t ha z e r o .         3. 1. 3 .   Lap i yn u ov   fu n c ti o n   A s s um e   t h a t   t h e   L a p i y n uo v   f un c t i o o f   s y s t e m   (1)  i s :         ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = 1 2 ( 1 2   + 2 2 + 3 2 + 4 2 )     ̇   ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = 1 1 ̇ + 2 2 ̇ + 3 3 ̇ + 4 4 ̇                                                                                   (4)     ̇   ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = 306 . 5 1 2 30 1 2 3 10 1 2 3 2 + 4 ( 2 8 1 )     S i n c e   ̇ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) > 0   ,   h e n c e   n e w   s y s t e m   (1)  i s   u n s t a b l e .     3. 2 .     D i s s i p ati v i ty       L e t ,   1 = 1    2 = 2   3 = 3    a n d   4 = 4    .     T h e   v e c t o r   f i e l V   t h a t   w e   ge t :       ( 1 ̇ , 2 ̇ , 3 ̇ , ̇ 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 )     T h e t h e   di v e r ge n c e   o f   V   o n   4   l e a ds   t o :     .   ( 1 ̇ , 2 ̇ , 3 ̇ , ̇ 4 ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = ( + 1 ) =     N o t e   t ha t   = ( + 1 ) = 11 f o r   a l l   po s i t i v e   v a l ue s   of     t ha t   g r e a t e t ha n   z e r o ,   (1)   i s   di s s i p a t i v e   s y s t e m .   T h e   e xpo n e n t i a l   ra t e   i s :       =  ( ) = 0  = 0 11     T h e   v o l um e   e l e m e nt   0   f r o m   a b ov e   e qua t i o i s   c o nt r a c t e d   by   t h e   f l o w   i nt o   0 11   a t   t i m e   t .     3. 3 .   G r ap h i c al   an d   n u m e r i c al   an al ys i s   T h e   f o ur t h   a nd  f i f t h   o rde r   R u n ge - K ut t a   m e t h o i s   us e t o   s o l ve   s y s t e m   (1).   W i t h   i ni t i a l   v a l ue s   | 1 ( 0 ) , 2 ( 0 ) , 3 ( 0 ) , 4 ( 0 ) = [ 4 , 1 , 4 , 2 ] .       3. 3 . 1.   Wav e   fo r m   o n e w   s ys te m   ( 1)   T h e   w a v e - fo r m   1 ( ) , 2 ( ) , 3 ( )   a n d   4 ( )   fo r   s y s t e m   (1)  i s   c ha r a c t e r i z e w i t a pe ri o di c   s t r uc t u r e ,   s h o w n   i F i g u r e   1 ,   w hi c i s   t h e   b a s i c   f e a t u r e   o f   c h a o t i c   s y s t e m .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       St abi l i t y   and   c haos   w i t m a t he m a t i c al   c ont r o l   o f   4 - d y nam i c al   s y s t e m   ( May s oo M .   A z i z )     1245       (a )   (b )           (c )   (d)     F i gu r e   1 .   T h e   w a f e   fo r m   o f   n e w   s y s t e m   (1),   (a ) :   1   v e r s us   t i m e ;   (b ):   2   v e r s us   t i m e ;   (c ):   3 v e r s us   t i m e ;   (d):   4   v e r s us   t i m e       3. 3 . 2.   P h as e   p o r tr ai t   o th e   s ys te m   ( 1)     In  t h i s   pa ra g ra p h,   F i gu r e   2   a n d   F i gu r e   3   s h o w s   c h a o t i c   s t r a n ge   a t t ra c t o f o r   n e w   s y s t e m   (1)   i ( 1 , 2 , 4 s pa c e ,   a n d   c h a o t i c   s t ra n ge   a t t ra c t o r   f o r   n e w   s y s t e m   (1)  i ( 1 , 4 pl a n e .             F i gu r e   2 .   N e w   s y s t e m   a t t ra c t o i ( 1 , 2 , 4 )     F i gu r e   3 .   N e w   s y s t e m   a t t ra c t o i ( 1 , 4 )     T h e   n e w   s y s t e m   e xh i b i t   c ha o t i c   a t t ra c t o s i n c e   t h e   o r b i t   a ppe a r s   de n s e   i e a c h   g ra p h.       3. 4     Lap i yn u ov   e x p o n e n an d   l ap i yn u ov   d i m e n s i o n     G e n e ra l l y   t h e   L a pi y n uo v   e xp o n e nt   r e f e r s   t o   a v e r a g e   e xp o n e n t i a l   ra t e s   o f   n e a r   t ra j e c t o r i e s   t h a t   di v e r ge n c e   i p ha s e   s pa c e .   T h e   n e w   s y s t e m   s a i d   t o   b e   c h a o t i c   i f   t h e r e   e xi s t   o n e   po s i t i v e   L a pi y n uov   e xpo n e n t   a t   l e a s t .   T h e   v a l ue s   o f   l a pi y n uov   e xp o n e nt s   a r e :   ( 1 = 1 . 660748 2 = 0 . 149599   ,   3 = 0 . 068474   a nd  4 = 12 . 144118 ).   T h e r e fo r e ,   t h e   L a p i y n uov   di m e n s i o " K a pl a n - Y o r ke   di m e n s i o n "   o f   t h i s   s y s t e m   i s :     = 3 + 1 + 2 + 3 | 4 | = 3 . 143433471       F i gu r e   4   s h o w   t h a t   t h e   n e w   s y s t e m   (1)  i s   H i g h l y   Cha o t i c .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   3 D e c e m be r   20 20   :     12 42   -   12 51   1246       F i gu r e   4 .   L a p i y n uo v   e xp o n e nt   ( 1 , 2 , 3 , 4 )   o f   n e w   s y s t e m   (1)       4.   A D A P TI V C O N TR O L LER   D ES I G N   4 . 1 .       R e s u l ts   th e o r e ti c al ly     A a d a pt i v e   c o n t r o l   s t r a t e g y   i s   de s i g n   t o   s t a b i l i z e   hi g h l y   c h a o t i c   s y s t e m   (1)  w i t h   p a r a m e t e   w h i c h   i s   u n k n o w n   a s   f o l l ow s     ̇ 1 = 10 ( 2   1 ) + 1   ̇ 2 =    1 40 1 3 + 4 + 2                                                                                                                              (5)           ̇ 3 10 1 2 3 + 3   ̇ 4 8 1 + 4   w h e r e   [ 1 , 2 , 3 , 4 ]   a r e   f e e d b a c c o n t r o l l e r s.     N ow ,   w e   c o n s i de r   t h e   s ub s e que n t   a d a p t i v e   c o n t r o l   l a w s   t o   m a ke   s u r e   t h a t   t h e   c o n t r o l l e s y s t e m   (5)  c o n v e r ge s   a s y m pt o t i c a l l y   t o   t h e   o ri gi n.       1 = 10 ( 2   1 ) 1 1   2 = ̂   1 + 40 1 3 4 2 2                                                                                                                       (6)   3 = 10   1 2 + 3 3 3   4 = 8   1 4 4     W h e r e   1 ,   2   , 3      4   a r e   c o n s t a n t s ,   ̂   i s   e s t i m a t e o f   t h e   p a ra m e t e r   a .   S ub s t i t ut i ng  t h e   c o n t r o l l e (6)   i nt o   (5) ,   w e   ge t     ̇ 1 = 1 1   ̇ 2 =   (a   ̂   ) 1 2 2                                                                                                                                             (7)   ̇ 3 3 3   ̇ 4 4 4     L e t   t h e   e rr o r   o f   e s t i m a t i ng  p a ra m e t e r   i s                                     = ̂                                                                                                                                   (8)     U s i n (8) ,   s y s t e m   (7)   c a n   b e   w r i t t e n   a s       ̇ 1 = 1 1   ̇ 2 =   1 2 2                                                                                                                                                         (9)   ̇ 3 3 3   ̇ 4 4 4     T h e   L a pi y n uo v   a pp r o a c t o   de r i v i n g   t h e   upda t e   l a w   i s   us e t o   m o di fy   t h e   pa ra m e t e e s t i m a t e   ̂ .   T h e   qu a d r a t i c   l a pi y n uo v   f u n c t i o n   i s   c o n s i de r e a s :       ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = 1 2 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 2 )                                                                                         (10)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       St abi l i t y   and   c haos   w i t m a t he m a t i c al   c ont r o l   o f   4 - d y nam i c al   s y s t e m   ( May s oo M .   A z i z )     1247   w h i c i s   a   po s i t i v e - de f i n i t e   o n   5   .     A l s o                             ̇ = ̂ ̇                                                                                                                                 (11)                                    D i f fe r e n t i a t e   &   s ub s t i t u t i ng  ( 9)  a n d   (11) ,   w e   ge t :     ̇ = 1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 2   [ ̂   ̇ 1 2 ]                                                                                 (12)     A s s um e   t h a t                                   ̂ ̇ = 1 2 + 5                                                                                                                             (13)     w h e r e   5   i s   g r e a t e r   t h a z e r o .     S ub s t i t ut e   (13 i n t o   (12) ,   w e   ge t       ̇ = 1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 2 5 2                                                                                                 (14)     w h i c i s   n e ga t i v e - de f i n i t e   o 5   S o ,   by   L a pi y n uo v   s t a b i l i t y ,   E i ge n v a l ue s   a n d   R o ut h   a rra y   c r i t e r i o w e   ge t   t h e   r e s ul t   de s c r i b e b e l ow .     P r o po s i t i o n 1 .   By   a da p t i v e   c o n t r o l   (6) ,   w h e r e   ̂ ̇ = 1 2 + 5       a n d     1 , 2 ,   3 ,   4      5   a r e   po s i t i v e   c o n s t a n t ,   T h e   c h a o t i c   s y s t e m   (5)  i s   s t a b i l i z e f o r   x (0) 4 .       4. 2 .     S i mu l ati o n   an d   n u m e r i c al   r e s u l ts     S i m ul a t i o f o r   c o n t r o l l e hi g h l y   c h a o t i c   s y s t e m   (7)  w a s   do n e   w i t h     | 1 ( 0 ) , 2 ( 0 ) , 3 ( 0 ) , 4 ( 0 ) = [ 4 , 5 , 2 , 1 ]   a n d   [ 1 , 2 , 3 , 4 ] = [ 30 , 40 , 50 , 10 ] .   Co n t r o l l e s t a t e   t ra j e c t o r i e s   of   n e w   s y s t e m   (1),   s h o w n   i F i gu r e   5.           F i gu r e   5 .   T h e   b e h a v i o o f   s t a t e   v a r i a b l e s   1 , 2 , 3 , 4   f o r   t h e   c o nt r o l l e d   s y s t e m   (7)       5.   A   C O M P A R I S O N   TA B L ES   B EF O R A N D   A F TER   C O N TR O L   A   c o m pa r i s o o f   e i ge n v a l ue s   s h o w n   i T a b l e   2   a nd  R o ut h   a rr a y   c r i t e ri a   s h o w n   i n   T a b l e   o f   n e w   s y s t e m   (1)  b e fo r e   a n a f t e c o n t r o l   a t   e qui l i b ri um   po i n t   (0 , 0 , 0, 0) .       T a b l e   2 .   E i ge n v a l ue s   o f   n e w   s y s t e m   (1)   E q u i l i b ri u m   p o i n t   Be fo r e   C o n t r o l   A f t e r   C o n t ro l     ( 0 , 0 , 0 , 0 )   = 1       = 59 . 693   = 0 . 0 2 6 9 8 4   = 49 . 666   = 40   = 30   = 50   = 10       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   3 D e c e m be r   20 20   :     12 42   -   12 51   1248   T a b l e   3 C a l c ul a t e d   v a l ue s   o f   Ro ut h   a rra y   c r i t e ri a   of  n e w   s y s t e m   (1 )   E q u i l i b ri u m   p o i n t     Be fo r e   C o n t r o l   A f t e r   C o n t ro l       ( 0 , 0 , 0 , 0 )   4   3   2   1   0     1   2955   80   11   2885   0   2692 . 727   80   0   2884 . 67   0   0   80   0   0     1   4820   6 0 0 0 0   130   3 6 8 0 0   0   4 5 3 6 . 9 2 3   6 0 0 0 0   0   3 5 0 8 0 . 7 7   0   0   6 0 0 0 0   0   0         6.   A D A P TI V S Y N C H R O N I ZA TI O N   S TR A TE G Y   6. 1 .   Th e o r e ti c al   r e s u l ts   I t hi s   s e c t i o w e   e xpl a i n   A d a p t i v e   s y n c hr o ni z a t i o s t r a t e g y   of   h i g hl y   c h a o t i c   s y s t e m   w h e n   t h e   pa r a m e t e   i s   u n k n o w n .   A s   a   d r i v e   s y s t e m ,   w e   c o n s i de r   t h e   hi g h l y   c h a o t i c   dy n a m i c s   re pr e s e n t e d   b y       ̇ 1 = 10 ( 2   1 )   ̇ 2 =    1 40 1 3 + 4                                                                                                                                         (15)           ̇ 3 10 1 2 3   ̇ 4 8 1     w h e r e   i s   t h e   u nk n o w n   s y s t e m   pa ra m e t e .   F o r   r e s po n s e   s y s t e m ,   w e   c o n s i de r   t h e   c o n t r o l l e dy n a m i c s   r e pr e s e nt e d   as     ̇ 1 =   10 ( 2   1 ) + 1   ̇ 2 =    1 40 1 3 + 4 + 2                                                                                                                                 (16)   ̇ 3 10 1 2 3 + 3   ̇ 4 8 1 + 4     W h e r e   1 , 2 , 3 , 4   a r e   t h e   de s i g n e n o n - l i n e a r   c o nt r o l l e r s   a nd  (   = 1 , 2 , 3 , 4 )   a r e   t h e   s t a t e   v a r i a b l e s .   A da pt i v e   S y n c hr o ni z a t i o n   e rr o g i v e n   by       =       (   = 1 , 2 , 3 , 4 )                                                                                         (17)     H e n c e ,   t h e   e rr o r   dy n a m i c s :       ̇ 1 = 10( 2 1 ) + 1   ̇ 2 =     1 40 ( 1 3 + 3 1 + 1 3 ) + 4 + 2                                                                                                 (18)   ̇ 3 =   10 ( 1 2 + 2 1 + 1 2 ) 3 + 3   ̇ 4 =   8 1 + 4     de f i n e   a d a pt i v e   c o n t r o l   f un c t i o n s   1 ( ) , 2 ( ) ,   3 ( )   a n d   4 ( )   a s :     1 =   10 ( 2 1 ) 1 1   2 =   ̂   1 + 40 ( 1 3 + 3 1 + 1 3 ) 4 2 2                                                                                           (19)   3 10 ( 1 2 + 2 1 + 1 2 ) + 3 3 3   4 = 8 1 4 4     w h e r e   1 , 2 , 3 ,   4   a r e   po s i t i v e   c o n s t a nt ,   a nd  ̂   i s   t h e   e s t i m a t e r   o f   pa r a m e t e r   a .   S ub s t i t ut i ng  (1 9)  i n t o   (1 8),   w e   ge t   t h e   dy n a m i c   o f   s y n c hr o n i z a t i o n   e rr o a s :     ̇ 1 =   1 1   ̇ 2 =   ( ̂ )   1 2 2                                                                                                                                         (20)   ̇ 3 3 3   ̇ 4 4 4     N ow ,   t h e   e rr o o f   t h e   p a r a m e t e r   e s t i m a t e i s :       = ̂                                                                                                                       (21)     S ub s t i t ut e   (21 i n t o   (20) ,   w e   ge t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       St abi l i t y   and   c haos   w i t m a t he m a t i c al   c ont r o l   o f   4 - d y nam i c al   s y s t e m   ( May s oo M .   A z i z )     1249   ̇ 1 =   1 1   ̇ 2 =       1 2 2                                                                                                                                                   (22)   ̇ 3 3 3   ̇ 4 4 4     F r o m   t h e   L a p i y n uo v   a ppr o a c t o   de r i v i n g   t h e   upd a t e   l a w   i s   u s e t o   m o di fy   t h e   p a r a m e t e r   e s t i m a t e .   T h e   qu a d r a t i c   l a pi y n uo v   f un c t i o n   i s   c o n s i de r e a s :     = 1 2 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 2 )                                                                                                                 (23)     w h i c i s   po s i t i v e   de f i n i t e   o 5 .     N o t e   t ha t                 ̇ = ̂ ̇                                                                                                                                     (24)     D i f fe r e n t i a t i n g     o t h e   t r a j e c t o r i e s   o f   (22)  a nd  us e   ( 24) ,   w e   ob t a i n     ̇ = 1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 2 [ ̂   ̇ 1 2 ]                                                                                         (25)     In  (25) ,   t h e   e s t i m a t e p a ra m e t e r   i s   up da t e by :     ̂ ̇ = 1 2 + 5                                                                                                                                                     (26)     w h e r e   t h e   c o n s t a nt   5   i s   a   po s i t i v e .   S ub s t i t ut i ng  (2 4)  i n t o   (2 3),   w e   ge t     ̇ = 1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 2 5 2                                                                                                       (27)     W h i c i s   a   n e g a t i v e   o n   5 .     H e n c e ,   by   L a pi y n uov   s t a b i l i t y   [22],   i m m e di a t e l y   t h e   e rr o o f   s y n c h r o n i z a t i o a n t h e   e rr o o f   pa r a m e t e e s t i m a t e   de ge n e r a t i o n   e xpo n e nt i a l l y   t o   z e r o .   T hus ,   t h e   f o l l ow i n i s   p r o v e d.   P r o po s i t i o n 2 .   T h e   i de n t i c a l   c ha o t i c   s y s t e m s ,   t h e   d ri v e   (15)   a n d   t h e   r e s po n s e   (16)   w i t u n k n o w n   pa ra m e t e   a r e   s y n c hr o n i z e f o r   e a c h   i n i t i a l   v a l ue   b y   a da pt i v e   c o n t r o l   t e c hni que   (19) ,   w h e r e   t h e   e s t i m a t e pa ra m e t e r   gi v e n   by   (26)  a n d   t h e   c o n s t a n t   , ( = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 a r e   po s s i t i v e .     6. 2 .     N u m e r i c a l   s i m u l ati o n   an d   r e s u l ts     R un ge - K ut t a   m e t h o o f   o r de r   f o ur t w a s   us e t o   s o l ve   (15)  &   (16) ,   a n d   a l s o   s o l ve   t h e   dy n a m i c   o s y n c hr o ni z a t i o e rr o (20 ).   T h e   i ni t i a l   v a l ue s   o f   t h e   d r i v e   s y s t e m   ( 15)   a s     | 1 ( 0 ) , 2 ( 0 ) , 3 ( 0 ) , 4 ( 0 ) = [ 2 , 15 , 10 , 3 ]   a n d   t h e   r e s po n s e   s y s t e m   (16)   a s   | 1 ( 0 ) , 2 ( 0 ) , 3 ( 0 ) , 4 ( 0 ) = [ 18 , 6 , 4 , 3 ]   ,   p a r a m e t e v a l ue   a s     =   296 . 5   a nd  = 4   fo r     = 1 , 2 , 3 , 4 .   A da pt i v e   s y n c hr o ni z a t i o n   o f   c h a o t i c   s y s t e m   s h o w n   i n   F i gu r e   6,   a nd  c o n v e r ge n t   f o r   s y s t e m   (20)  s h o w n   i F i gu r e   7 .           F i gu r e   6 .   T r a j e c t o r i e s   by   a da p t i v e   s y n c hr o ni z a t i o f o r   d r i v e   s y s t e m   (15)  a n d   r e s po n s e   s y s t e m   (16)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   20 ,   N o .   3 D e c e m be r   20 20   :     12 42   -   12 51   1250       F i gu r e   7 .   Co n v e r ge n c e   o f   t ra j e c t o r i e s   f o r   t h e   dy n a m i c   o f   s y n c hr o ni z a t i o n   e rr o (20 )       7.   C O N C LU S I O N     T h i s   p a pe p r e s e n t s   a   c o n s i de r a t i o o f   a   n e w   f o ur - di m e n s i o o c o n t i n uo us - t i m e   s y s t e m   w i t qua d ra t i c   c r o s s - pr o duc t   n o n l i n e a r   t e r m s ,   i t s   s o l ut i o n   t hr o ug t h e   f o ur t a nd  f i f t o r de R un ge - K u t t a   m e t h o d.   T h e   c ha ra c t e ri s t i c s   o f   t h e   s y s t e m   a na l y z e by   m e a n   o f   e qui l i b r i um   po i n t s ,   a na l y s i s   of   s t a b i l i t y   (s uc h   a s   L a pi y n uo v   f un c t i o n R o ut h   c r i t e r i o n   a nd  c h a ra c t e ri s t i c   e qua t i o n   r o o t s a l l   t h e s e   m e t h o ds   s h o w s   t h at   t h e   n e w   s y s t e m   i s   u n s t a b l e .   T h e   a na l y s i s   of   di s s i pa t i v i t y   s h o w s   t ha t   t h e   n e w   d y n a m i c a l   s y s t e m   i s   d i s s i pa t i v e   f o r   a l l   v a l ue s   of   t h e   pa ra m e t e r s   a , δ , φ , k   a n f o t h e   po s i t i v e   v a l ue s   of   pa r a m e t e ρ .   L a pi y n uo v   e xpo n e n t ,   l a p i y n uov  di m e n s i o n   " K a pl a n - Y o r ke   d i m e n s i o n "   a nd   a na l y s i s   of   w a ve - fo r m   p r e s e n c e   t h e   c h a o t i c   b e h a v i o r s   w h e t h e   pa r a m e t e r s   t a ke n   a s   ρ  = 10 ,   a = 29 6. 5 , δ = 40 ,   φ = 1 0,   k= ,   a n t h e   m a x i m u m   v a l ue s   o f   l a pi y n uo v   e xp o n e n t s   f o r   t h e   s y s t e m   a r e   1 = 1. 660 748 ,   2 = = 0 . 1495 99,   3 == - 0 . 06847 a nd   4 == - 12. 144118 ,   L a pi y n uo v   di m e n s i o " K a pl a n - Y o r ke   d i m e n s i o n "   of  n e w   s y s t e m   i s   = 2. 22 349544 ,   t h a t   m e a n s   t h e   n e w   s y s t e m   i s   h i g hl y   c h a o t i c .   F urt h e rm o r e ,   by   a da pt i v e   c o n t r o l   s t r a t e g y   w e   s t a b i l i z e d   t h e   h i g hl y   c h a o t i c   s y s t e m .   F i n a l l y ,   a da p t i v e   s y n c hr o ni z a t i o w a s   e s t a b l i s h e d   f o r   i de n t i c a l   hi g hl y   c h a o t i c   s y s t e m   w i t u n k n o w n   pa ra m e t e r,   s o   w e   go t   t h e   s y n c hr o ni z a t i o e rr o c o n v e r ge n c e   t o   z e r o .   M o r e o v e r ;   w e   c o m pa r e g ra p hi c a l   a nd   t h e o r e t i c a l   r e s ul t s   o f   t h e   n e w   s y s t e m   b e fo r e   a n d   a f t e c o n t r o l .         A C K N O WL ED G E M EN TS     W e   w o ul l i ke   s i n c e r e l y   t ha n k   a n d   a l s o   a c kn o w l e dge   t o   t h e   u n i v e r s i t y   of   M o s ul   a n d   c o l l e ge   of  c o m put e r   s c i e n c e   a n d   m a t h e m a t i c s   f o r   t h e   s uppo r t   a nd  e n c o ura ge m e n t   t ha t   h e l p   us   t o   i m p r o v e   t h e   qua l i t y   o t h i s   w o r k.       R EF ER EN C ES   [ 1]   M a y s oo M .   A z i z   a nd  M .   A .   H a m i d " T he   po s s i bi l i t y   of   I nc r e a s i n g   t he   P r e d i c t a b i l i t y   I ndi c e s   A f t e r   C o nt r o l   o f   3D   C o nt i nuo us - T i m e   s y s t e m , I nt e r na t i ona l   c onf e r e nc e   on   c om pu t i ng   a nd   In f or m a t i on   Sc i e nc e   and   T e c h no l ogy   and   t he i r   A pp l i c a t i on, .   20 19 .   [ 2]   S .   F .   A l - A z z a w i ,   e t   a l . ,   S t a b i l i t y   o f   L o r e nz   S y s t e m   a t   t he   S e c o nd  E qu i l i b r i a   P o i nt   b a s e o n   G a r da no ' s   M e t ho d .   J o ur n al   of   P hy s i c s :   C o nf e r e nc e   Se r i e s ,   v o l . 1 477 ,   0220 09 ,   2 020 .   [ 3]   S .   F .   A l - A z z a w i   a nd   M a y s oo M. A z i z ,   " S t r a t e g i e s   o f   L i ne a r   F e e dba c C o nt r o l   a nd   I t s   c l a s s i f i c a t i o n" ,   T E L K O M N I K T e l e c om m uni c at i on   C om p ut i ng   E l e c t r oni c s   an C o nt r ol ,   v o l . 17 ,   no . 4,   pp . 193 1 - 1940 ,   2019 .   [ 4]   M a y s oo M .   A z i z   a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   " H y br i C h a o s   S y nc hr o ni z a t i o B e t w e e T w o   D i f f e r e n t   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m s   v i a   T w o   A ppr o a c he s , "   O p t i k ,   v o l . 13 8,   pp .   328 340 ,   201 7.   [ 5]   Z .   S h .   A l - T a l i b   a nd   S .   F .   A L - A z z a w i ,   P r o j e c t i v e   a n H y br i d   P r o j e c t i v e   S y nc hr o ni z a t i o o f   4 - D   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m   v i a   N o nl i ne a r   C o nt r o l l e r   S t r a t e g y ,   T E L K O M N I K A   T e l e c om m uni c at i on ,   C om pu t i ng ,   E l e c t r o ni c s   an d   C ont r ol ,   v o l .   18 ,   no   2 ,   pp.   1 012 - 102 0,   A pr i l   2020 .   [ 6]   B .   J o v i c ,   ' ' S y nc hr o ni z a t i o T e c hn i que s   f o r   C h a o t i c   C o m m uni c a t i o n   S y s t e m s " ,   S pr i nge r - V e r l ag ,   B e r l i n   H e i d e l be r g ,   2011 .     [ 7]   M a y s oo n. M . A z i z   a nd   M a ns o ur . N .   F a r a j ,   " N um e r i c a l   a nd   C h a o t i c   A na l y s i s   o f   C hua ' s   C i r c ui t , "   J ou r na l   o f   E m e r gi n t r e nds   i c om pu t i ng   and   i nf or m a t i on   s c i e nc e ,   v o l . 3,   no . 5 , pp .   783 - 79 1,   201 2.   [ 8]   S .   F .   A l - A z z a w i ,   e t   al . ,   " C h a o t i c   L o r e nz   S y s t e m   a nd   i t ' s   S upp r e s s e d,   J our nal   o f   A dv anc e d   R e s e ar c h   i D y nam i c a l   and  C ont r o l   Sy s t e m s ,   v o l . 12 ,   no .   2 ,   pp .   548 - 555 ,   202 0.     [ 9]   S .   F .   A l - A z z a w i   a nd   M a y s oo n   M .. A z i z ,   C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o o f   N o nl i ne a r   D y na m i c a l   S y s t e m s   v i a   a   N o v e l   A na l y t i c a l   A ppr o a c h,   A l e x and r i E ngi ne e r i ng   J ou r na l ,   v o l .   57 ,   no .   4,   pp .   349 3 - 3500 ,   D e c   201 8.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       St abi l i t y   and   c haos   w i t m a t he m a t i c al   c ont r o l   o f   4 - d y nam i c al   s y s t e m   ( May s oo M .   A z i z )     1251   [ 10]   G .   C h e n   a n T .   U e t a ,   " Y e t   a no t he r   c ha o t i c   a t t r a c o r , "   I n t .   J .   B i f ur c a t i on   C hao s ,   v o l . 9 ,   pp  1465 -   146 6, 1999 .   [ 11]   F .   Y u   a nd   C .   W a ng ,   " G e ne r a t i o n   o f   a   N e w   T hr e e - D i m e n s i o na l   A ut o no m o us   C h a o t i c   A t t r a c t o r   a nd   I t s   F o ur   W i ng   T y pe , "   E n gi ne e r i n T e c h nol ogy   an A ppl i e Sc i e nc e   R e s e ar c h ,   v o l . 3,   no . 1 ,   p 352 -   3 58 ,   2 013 .   [ 12]   V .   S und a r a pa ndi a n   a nd   I .   P e hl i v a n   " A na l y s i s ,   C o nt r o l ,   S y nc hr o n i z a t i o n   a nd   C i r c ui t   D e s i g o f   a   N o v e l   C ha o t i c   S y s t e m , "   M at h s .   C om p .   M od . ,   v o l .   5 5,   pp   1 904 - 191 5,   20 12 .   [ 13]   A . S .   P i ko v s k y   e t   al . ,   " O ns e t   o f   S t o c ha s t i c i t y   i D e c a y   C o nf i ne m e nt   o f   P a r a m e t r i c   I ns t a bi l i t y " ,   Sov .   P hy s .   J E T P v o l . 47,   pp . 715 - 71 9 19 78 .   [ 14]   S .   Y .   A l - ha y a l i   a nd   S .   F .   A L - A z z a w i ,   A O p t i m a l   N o nl i ne a r   C o nt r o l   F o r   A nt i - S y n c hr o ni z a t i o o f   R a b i no v i c H y pe r c ha o t i c   S y s t e m ,   I n done s i an   J ou r na l   of   E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i n an C om p ut e r   Sc i e nc e ,   v o l .   19 ,   no .   1 ,   p 3 79 - 386,   J ul y   2020 .   [ 15]   S .   Y .   A l - ha y a l i   a nd   S .   F .   A L - A z z a w i ,   A O p t i m a l   C o nt r o l   F o r   C o m pl e t e   S y nc hr o ni z a t i o n   o f   4D   R a b i no v i c H y pe r c ha o t i c   S y s t e m s ,   T E L K O M N I K A   T e l e c om m un i c a t i on,   C om p ut i ng ,   E l e c t r o ni c s   and  C ont r o l , v o l .   18 ,   no   2 ,   pp .   994 - 1000 ,   A pr   20 20.   [ 16]   A .   S .   A l - O be i di   a nd   S .   F .   A l - A z z a w i   " C ha o s   S y nc hr o ni z a t i o i n   a   6 - D   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m   w i t h   S e l f - E xc i t e d   A t t r a c t o r " ,   T E L K O M N I K A   T e l e c om m un i c a t i on  C om pu t i n E l e c t r o ni c s   a nd  C ont r o l ,   v o l . 18 ,   no . 3 ,   pp .   1 483 - 149 0,   J une   20 20 .   [ 17]   Z .   S h .   A l - T a l i a nd  S .   F .   A L - A z z a w i ,   P r o j e c t i v e   S y n c hr o ni z a t i o f o r   4D   H y pe r c ha o t i c   S y s t e m   B a s e o A da pt i v e   N o nl i ne a r   C o nt r o l   S t r a t e g y ,   I n done s i an   J o ur na l   o f   E l e c t r i c al   E n gi n e e r i ng  an C om pu t e r   S c i e nc e ,   v o l .   19,   no .   2 ,   pp .   715 - 722 ,   A ug   2020 .   [ 18]   K . M .   C u o m o   e t   a l . ,   " S y n c hr o ni z a t i o o f   L o r e nz - ba s e d   c ha o t i c   c i r c ui t s   a nd   a pp l i c a t i o t o   s e c ur e   c o m m uni c a t i o n" ,   I E E E   T r an s a c t i on   on   C i r c ui t s   and   S y s t e m s - I I : A na l ogue   and   D i gi t a l   P r oc e s s i ng ,   v o l .   40 ,   no . 10 ,   pp.   6 26 - 633 ,   1993 .   [ 19]   M .   G h .   S a e e d   e t   al . , " M u l t i p l e   M o de l s   o f   B i na r y - S uppo r t - V e c t o r - M a c hi n e   f o r   F a c e   V e r i f i c a t i o U s i ng   H i s t o g r a m   O r i e nt a t i o G r a d i e n t   F e a t ur e s "   J ou r na l   o f   T he or e t i c a l   and   A pp l i e d   I nf or m a t i on   t e c h nol ogy ,   v o l . 96 ,   no . 19 ,   pp . 63 49 - 6360 ,   O c t o be r   2 018 .   [ 20]   F.   L .   M a l a l l a h   e t   a l . , " O f f - L i ne   A r a b i c   ( I ndi a n)   N um be r s   R e c o g ni t i o U s i ng   E xpe r t   S y s t e m , "   I nt e r na t i ona l   J our na l   of   A dv a nc e c om pu t e r   s c i e nc e   and   A p pl i c a t i ons ,   v o l . 7,   no .   4 ,   p p. 39 7 - 406,   20 16.   [ 21]     M a y s oo n . M   A z i z ,   " S t a b i l i t y   a na l y s i s   o f   m a t he m a t i c a l   m o de l , "   I n t e r nat i ona l   J our n al   o f   s c i e nc e   and   r e s e ar c h   ( I J SR ) V o l . 7,   no .   9 ,   p p.   14 7 - 148 ,   S e p .   2 018 .   [ 22]     W. H a hn ,   ' ' T he   S t a b i l i t y   of   M o t i o n' ' ,   Spr i nge r ,   N e w   Y o r k , 19 67.   [ 23]     M a y s s o M . A z i z   a nd  S .   F .   A l - A z z a w i ,   A nt i - s y nc hr o ni z a t i o o f   N onl i ne a r   D y na m i c a l   S y s t e m s   B a s e o G a r da no s   M e t ho d,   O p t i k ,   v o l .   134 ,   pp.   1 09 - 12 0 ,   A pr   201 7.   [ 24]     M a y s oo M . A z i z   a nd   Z A .   A l - N ua i m i , " s t a bi l i t y   a nd   ho p - B i f ur c a t i o f o r   D i a be t e s   M o de l " ,   I n t e r nat i o nal   j ou r na l   o f   e l e c t r on i c s   c om m un i c a t i on   and   c om pu t e r   E n gi ne e r i n g ,   v o l . 4,   no . 3,   pp.   80 5 - 809,   2 013 .   [ 25]     J .   J o s e p a nd   A .   I v a n,   " F e e d ba c a n d   C o nt r o l   S y s t e m s " .   M c G r a w - H i l l ,   19 90 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.