I nd o ne s ia n J o urna l o f   E lect rica l En g ineering   a nd   Co m p u t er   Science   Vo l.   21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1 ,   p p .   8 2 2 ~ 8 2 8   I SS N:  2 5 02 - 4 7 5 2 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j ee cs.v 2 1 .i 2 . p p 8 2 2 - 8 2 8          822       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //ij ee cs.ia esco r e. co m   Cert a in p ro pertie s o f    -   - fu zz y  su bri ng s       Dils ha d Alg ha zz a w i 1 ,   Wa f a a   H .   H a no o n 2 ,   M uh a m m a d G ulza r 3 ,   G ha za nfa r  Abba s 4 ,   N a s re en  K a us a r 5   1 De p a rtme n t  o f   m a th e m a ti c s,  Kin g   A b d u laz iz  Un iv e rsit y   (Ra b ig h ),   Je d d a h ,   S a u d i   A ra b ia   2 De p a rtme n t  o f   Co m p u ter S c ien c e ,   Co ll e g e   o f   Ed u c a ti o n   f o r  G irl s,  Un iv e rsit y   o f   Ku fa ,   Ku f a ,   Ira q   3 De p a rtme n t  o f   M a th e m a ti c s,  G o v e rn m e n t  Co ll e g e   Un iv e rsit y   F a isa lab a d ,   P a k istan   4 De p a rtme n t  o f   M a th e m a ti c s an d   S tatisti c s,  In stit u te  o f   S o u t h e rn   P u n jab ,   M u lt a n ,   P a k istan   5 De p a rtme n t  o f   m a th e m a ti c s,  Un iv e rsit y   o f   Ag ricu lt u re   F a isa lab a d ,   F a isa lab a d ,   P a k istan       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u n   2 3 ,   2 0 2 0   R ev i s ed   A u g   1 1 ,   2 0 2 0   A cc ep ted   A u g   2 1 ,   2 0 2 0       In   th is  p a p e r,   w e   d e f in e   th e     -   - f u z z y   su b rin g   a n d   d isc u ss e d   v a rio u s  f u n d a m e n tal  a sp e c ts   o f     -   - f u z z y   s u b ri n g s.  W e   in tro d u c e   th e   c o n c e p t  o f     -   - lev e l  su b se t  o f   th is  n e w  f u z z y   s e t  a n d   p r o v e   th a t     -   - lev e l  su b se t  o f     -   - f u z z y   su b rin g   f o r m   a   rin g .   W e   d e f in e     -   - f u z z y   id e a l  a n d   sh o w   th a t  se t  o f   a ll     -   - f u z z y   c o se ts  f o rm   a   rin g .   M o re o v e r,   w e   in v e stig a te  th e   p ro p e rti e s  o f   h o m o m o rp h ic i m a g e   o f     -   - f u z z y   s u b ri n g .     K ey w o r d s :     - f u zz y   s et      - f u zz y   s u b r in g       -   - f u zz y   id ea l     -   - f u zz y   s et      -   - f u zz y   s u b r in g     T h is  is  a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Mu h a m m ad   Gu lzar   Dep ar t m en t o f   Ma th e m at ics   Go v er n m en t Co lle g e  Un i v er s i t y   Fai s alab ad ,   3 8 0 0 0 ,   P ak is tan   E m ail:9 8 k o h l y @ g m ail. co m       1.   I NT RO D UCT I O N   I n   m at h e m atics,  r i n g   t h eo r y   i s   o n e  o f   th e  m o s t  i m p o r tan t  p ar t  o f   ab s tr ac t  alg eb r a.   I n   alg eb r a,   r in g   th eo r y   s tu d ie s   t h e  al g eb r aic  s tr u ctu r e s   o f   r i n g s .   R i n g s   al g e b r aic  s tr u ct u r e  is   a   f r a m e w o r k   i n   w h ic h   ad d itio n   an d   m u ltip licatio n   ar e  w el l d ef in ed   w ith   s o m e  m o r e  p r o p er tie s .   T h e  co n ce p t  o f   f u zz y   s et s   w as   in tr o d u ce d   b y   Z ad eh   [ 1 ]   in        .   Ma n y   m at h e m aticia n   h av e   ap p lied   v ar io u s   h y b r id   m o d els  o f   f u zz y   s ets  a n d   in t u it io n is tic  f u zz y   s ets  to   s e v er al  alg eb r aic  s t r u ct u r e  s u c h   as  g r o u p   th eo r y   [ 2 ,   3 ] ,   n o n - a s s o ciati v e  r in g   [ 4 ,   5 ] ,   ti m e  s er ies  [ 6 ,   7 ]   an d   d ec is io n   m a k in g   [ 8 ] .   R o s en f eld   [ 9 ]   co m m e n ce d   th e   id ea   o f   f u zz y   s u b g r o u p s   i n   1 9 7 1 .   T h e  f u zz y   s u b r in g s   w er e  i n itia ted   b y   L i u   [ 1 0 ]   Dix it  et  al.   [ 1 1 ]   d escr ib ed   th e  n o tio n   o f   lev el  s u b g r o u p   i n        .   T h e  id ea   o f   an ti - f u zz y   s u b g r o u p s   w as   in v e n ted   b y   B is w a s   [ 1 2 ] .   Gu p ta  [ 1 3 ]   d ef in ed   m an y   clas s ical    - o p er ato r s   in   1 9 9 1 .   So lair a j u   an d   Nag ar aj an   [ 1 4 ]   ex p lo r ed   a  n e w   s tr u ct u r e  an d   co n s tr u ctio n   o f     - f u zz y   g r o u p s   in            Mu t h u r aj   et  al.   [ 1 5 ]   p r o p o s ed   th e  s t u d y   o f   lo w er   lev el  s u b s ets  o f   an t i - QFS  i n   2 0 1 0     T h e  co n ce p t  o f     - f u zz y   n o r m al  s u b g r o u p s   an d     - f u zz y   n o r m alize r   w er e  estab lis h ed   b y   P r i y a  e t  al.   [ 1 6 ]   in   2 0 1 3 .   Sit h er   Selv a m   et  al.   [ 1 7 ]   u s ed   th e   B is w as   w o r k   to   m o d if y   t h e  id ea   o f   an ti - QFN S  in   2 0 1 4 .   A l s ar ah e ad   an d   Ah m ed   [ 1 8 - 20]   co m m en ce d   n e w   co n ce p t  o f   co m p lex   f u zz y   s u b r i n g ,   co m p le x   f u zz y   s u b g r o u p   an d   co m p le x   f u zz y   s o f t  s u b g r o u p s   in        .   Ma k ab a  an d   Mu r ali  [ 2 1 ]   d is cu s s ed   f u zz y   s u b g r o u p s   o f   f i n ite  g r o u p s .   R asu li  [ 2 2 ]   d is cu s s ed     - f u z z y   s u b r in g   w i th   r esp ec t  to     - n o r m   in            T h e     - f u zz y   s u b g r o u p   i n   alg eb r a  w a s   d is cu s s ed   in   [ 2 3 ] .   Mo r e  d ev elo p m e n t  ab o u t  f u zz y   s u b g r o u p   m a y   b e  v ie w ed   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       C erta in   p r o p erti es  o f    -   - fu z z y  s u b r in g s   ( Dils h a d   A lg h a z z a w i )   823   in   [ 2 4 ] .   Sh af ei   et  al  [ 2 5 ]   s tu d ied   th e  f u zz y   lo g ic  co n tr o l  s y s te m s   f o r   d e m an d   m a n ag e m e n t  i n   air p o r ts   an d   en er g y   ef f icie n c y   b y   u s i n g   3 D   s i m u lato r .   T h is   p ap er   is   o r g an ized   as  th e   s ec tio n       co n tain s   th e  ele m e n t ar y   d e f i n itio n   o f     - f u zz y   s u b r i n g s   a n d   r elate d   r esu lts   w h ic h   ar e  th o r o u g h l y   cr u cia l  to   u n d er s tan d   th e  n o v elt y   o f   th i s   ar ticle.   I n   s ec t io n     ,   w e  d ef i n e   th e    -   - f u zz y   s u b r in g   an d   p r o v e  th at  t h e  le v el  s u b s et   o f     -   - f u zz y   s u b r in g s   is   a  s u b r in g .   W e  als o   d ef in e    -   - f u zz y   id ea l  an d   d is c u s s   i ts   p r o p er ties .   I n   s ec tio n     ,   w e  u s e  t h e  clas s ical  r in g   h o m o m o r p h i s m   to   i n v e s ti g ate   th e  b eh a v io r   o f   h o m o m o r p h ic  i m a g e  ( in v er s e - i m ag e)   o f     -   - f u zz y   s u b r in g .         2.   P RE L I M I NARIE S   We   r ec all  f ir s t th e  ele m e n tar y   n o tio n   o f   f u zz y   s e ts   w h ic h   p lay   a  k e y   r o le  f o r   o u r   f u r t h er   an al y s i s .   Def ini t io n 2 . 1 .   [ 1 ] :   A   f u zz y   s et      o f   a  n o n e m p t y   s e t      is   a  f u n c tio n ,                 ,       -       Def ini t io n 2 . 2 .   [ 1 0 ] :   L et      b e  f u zz y   s u b s e t o f   a  r in g     .   T h en       is   s aid   to   a  f u zz y   s u b r i n g   i f   i.     (       )       *   (   )     (   ) +   ii.     (    )       *   (   )     (   ) +                               Def ini t io n  2 . 3 .   [ 1 4 ] :   L et      an d       b e  t w o   n o n e m p t y   s et s .   A     - f u zz y   s u b s et      o f   s et      is   a  f u n c tio n               ,       -                           an d               Def ini t io n 2 . 4 .   [ 1 4 ] :   A   f u n cti o n               ,       -   is   a  QFS R R   o f   a  r in g       if   i.     (           )       *   (       )     (       ) +   ii.     (        )       *   (       )     (       ) +                                                 Def ini t io n  2 . 5 .   L et  th e  m ap p in g                   b e   a  h o m o m o r p h i s m .   L et       an d       b e    - QFS R s   o f         an d         r esp ec tiv el y ,   t h e n     (   )   an d         (   )   ar e  im ag e  o f       an d   th e  in v er s e  i m a g e  o f       r esp ec tiv el y ,   d ef i n ed   as   i.     (   ) (       )   {      *   (       )             (   ) +              (   )                    (   )                                                ii.         (   ) (       )     (   (   )     )                                              Def ini t io n  2 . 6 .   [ 1 3 ] :   L et        ,       -   ,       -   ,       -   b e  th e  al g eb r aic  p r o d u ct    - n o r m   o n   ,       -   an d   is   d e s cr ib ed   as      *       +                                      3.   P RO P E RT I E S O F     -   - F U Z Z Y  SUB RIN G S   Def ini t io n  3 . 1 .   L et      an d       b e  an y   t w o   n o n e m p t y   s et s   an d       b e  a    - f u zz y   s u b s et  o f   a  s et     ,   an y       ,       - .  T h en   f u zz y   s e t        o f       is   s aid   to   b e    -   - f u zz y   s u b s e t o f       ( w . r . t    - f u z z y   s et    )   an d   d ef in ed   b y :         (       )       *   (       )     +                                           Re m a r k   3 . 2 .   C lear l y ,       (       )     (       )   an d       (       )     .     Re m a r k   3 . 3 .   I f       an d       b e  tw o     - f u zz y   s ets o f     .   T h en   (       )                     Def ini t io n 3 . 4 .   A    - f u zz y   s u b s e t o f   a  r in g       is   ca lled     - QF SR ,   a n d       ,       - ,   if   i       (           )       *     (       )       (       ) +                                                 T heo re m   3 . 5 .   I f       is   a    - QF SR   o f   a  r in g     ,   th e n         (       )       (       ) ,   f o r   all          an d           w h er e      is   th e  ad d itiv e  id en tit y   o f         P ro o f :   C o n s id er     (       )       (           )       *     (       )       (           ) +         *     (       )       (       ) +       (       )     Hen ce ,       (       )       (       )                         T heo re m   3 . 6 .   I f       is   QFS R   o f   a   r in g     ,   th en       is   an     - QFS R   o f           P ro o f :   A s s u m e  t h at      is   a  QFS R   o f   a  r in g       an d                   an d             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   8 2 2   -   8 2 8   824   Ass u m e  th at,       (           )       *   (           )     +       *     *   (       )     (       ) +     +           {     *   (       )     +       *   (       )     + }         *     (       )       (       ) +       (           )       *     (       )       (       ) +     Fu r t h er       (        )       *   (        )     +       *     *   (       )     (       ) +     +           {     *   (       )     +       *   (       )     + }         *     (       )       (       ) +       (        )       *     (       )       (       ) +   C o n s eq u en tl y ,       is     - Q FS R   o f     .   I n   g e n er al,   th e  co n v er s e  m a y   n o t b e  tr u e.     No t e  3 . 7 .   w e  ta k e      *   +   in   all  th e  e x a m p les     E x a m p le  3 . 8   L et      *               + ,   b e  a  r in g   a n d       *   +     L et  t h e    - f u zz y   s et      o f       d escr ib ed   b y :       (       )   {                                                                               T ak e          th e n ,           (       )       *   (       )     +       *   (       )     +                               ⟹       (           )       *     (       )       (       ) +       Fu r t h er ,   w e  h av e      (        )       *     (       )       (       ) +   C o n s eq u en tl y       is     - Q FS R   o f       an d       is   n o t Q FS R   o f             Def ini t io n  3 . 9 .   L et      b e    - Q - f u z z y   s et  o f   u n i v er s e  s et    .   Fo r             ,       -   th e  lev el  s u b s e t          o f     -   - f u zz y   s et  is   g iv e n   b y :              *               (       )     +       T heo re m   3 . 1 0 .   L et      is     -   - f u zz y   s u b r in g   o f       th en           is   s u b r in g   o f       f o r   all        (       )     P ro o f :   I t  is   q u ite  o b v io u s   th a t        is   n o n - e m p t y .   Si n ce       b e     -   - f u zz y   s u b r in g   o f   a  r in g         w h ich   im p lie s   th at      (       )       (       )                       an d             L et                  th en       (       )              (       )     .    No w ,          (           )       *     (       )       (       ) +       *       +               (        )       *     (       )       (       ) +       *       +           T h is   i m p lies   t h at                     .   Hen ce ,           is   s u b r in g   o f           Def ini t io n  3 . 1 1 .   L et      b e  a    - f u zz y   s u b s et  o f   a  r in g       an d       ,       -     T h en         is     -   - f u zz y   lef t  id ea l  (   - QFL I )   o f       if ,    i       (           )       *     (       )       (       ) +   ii       (        )       (       )                                           Def ini t io n  3 . 1 2 .   L et      b e  a     - f u zz y   s u b s et  o f   a  r in g       an d       ,       -     T h e n         is     -   - f u zz y   r i g h t  id ea l  (   - QFR I )   o f       if ,    i.       (           )       *     (       )       (       ) +   ii.       (        )       (       )                                           Def ini t io n 3 . 1 3 .   L et      b e  a    - f u z z y   s u b s et  o f   a  r in g       an d       ,       -     T h en         is     - Q FI  o f       if ,    i.       (           )       *     (       )       (       ) +   ii.       (        )        *     (       )       (       ) +                                           Def ini t io n  3 . 1 4 .   L et      b e  a    - Q FS R   o f   a  r i n g       an d       ,       - .   Fo r   an y           an d         ,   T h e    -   - f u zz y   co s et  o f       in       is   r ep r esen ted   b y             as d ef in ed   as,    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       C erta in   p r o p erti es  o f    -   - fu z z y  s u b r in g s   ( Dils h a d   A lg h a z z a w i )   825   (         ) (       )       *   (           )     +       (       )                                             T heo re m   3 . 1 5 .   L et      b e  ω - QFI   o f   r in g     .   T h en   th e  s et           *               (       )       (       ) +   is   an   id ea l o f   r in g     .   P ro o f :   O b v io u s l y                 b ec au s e        .   L et                  b e  an y   ele m e n t s .     C o n s id er       (           )       *     (       )       (       ) +       *     (       )       (       ) +   I m p lies   t h at       (           )       (       ) .   B u t      (           )       (       )   T h er ef o r e,       (           )         (   )   I m p lies   t h at                 .   Fu r t h er ,   let              an d         .   C o n s id er         (        )        *     (       )       (       ) +        *     (       )       (       ) + ,   I m p lies   t h at       (        )       (       ) .   B u t      (        )       (       )   T h er ef o r e,       (        )       (       ) .   Si m i lar l y ,       (        )         (       )   I m p lies   t h at                   .   I m p lies   t h at             is   an   id ea l.     T heo re m   3 . 1 6 .   L et          b e  an     - QF I   o f   r in g     ,                          .   T h en ,                                                                            P ro o f :   Fo r   an y             ,   w e  h av e                    .   C o n s id er ,         (           )   (         ) (       )   (         ) (       )       (       )       T h er ef o r e,                 .   C o n v er s el y ,   le t                  I m p lies   t h at       (           )       (       )   C o n s id er ,   (         ) (       )       (           )       ( (       )   (       )     )         {     ( (       )     )       ( (       )     ) }           {     ( (       )     )       (       ) }       ( (       )     )   (         ) (       )     I n ter ch a n g e  t h e  r o le  o f       an d       w e  g et   (         ) (       )   (         ) (       )   T h er ef o r e,   (         ) (       )   (         ) (       ) ,   f o r   all            Def ini t io n  3 . 1 7 .   L et      b e  a     - Q F I   o f   a  r in g         T h e  s et  o f   all    -   - f u z z y   co s ets  o f       d en o ted   b y         ⁄   f o r m   a   r in g   w i th   r esp ec t to   b in ar y   o p e r atio n   *   d ef i n ed   b y       (         )   (         )   (       )                                               ⁄                     (         )   (         )   (       )                                              ⁄                 T h e  r in g         ⁄   is   ca lled   th e  f ac to r   r in g   o f       w it h   r esp ec t   to     - Q FI      .       T heo re m   3 . 1 8 .   T h e  s et        ⁄   f o r m s   a  r in g   w it h   r esp ec t to   th e  ab o v e  s tated   b in ar y   o p er atio n .     P ro o f :                                                                                                               L et          b e  an y   ele m e n t o f       an d               (                 ) (       )       (     (           )     )             ( (               )     )             ( (         )     )             ( (         )     )             ( (               )     )             ( (         )     )             ( (         )     )             ( (               )     )       (     (           )     )   (                 ) (       )       Mo r eo v er ,       (               ) (       )       (               (                   )     )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   8 2 2   -   8 2 8   826         *     (             )       ( (                   )     ) +       B u t  w e  h a v e,       ( (                   )     )       ( (                                       )     )           ( (           )           (           )     )       *     (           )         )       (     (           )     ) +             *     ( (           )     )       ( (           )     ) +             *     (       )       (       ) +           ( (                   )     )       (       )       (               ) (       )       (             )     )         (               ) (       )       Si m i lar l y ,   w e  ca n   p r o v e  th at  (               ) (       )   (               ) (       )   C o n s eq u en tl y ,   (               ) (       )   (               ) (       ) .   T h er ef o r e       is   w ell  d ef i n ed .   No w   w e  p r o v e  th a t th e  f o llo w in g   ax io m s   o f   r in g ,   f o r   an y                 1)   (         )   (         )                 2)   (         )   , (         )   (         ) -             ,             -   (       )             ,             -             , (         )   (         ) -   (         )   3)   (         )   (         )                               (         )   (         )   4)   (         )   (         )   (         )   5)   (         )   (           )         6)   (         ) (         )              7)   (         ) , (         ) (         ) -             ,          -                 ,          -             , (         ) (         ) - (         )   8)   (         ) , (         )   (         ) -   (         ) , (       )       -     (       )         (         )         (          )   (          )   , (         ) (         )   (         ) (         ) - ,   9)   , (         )   (         ) - (         )   , (       )       - (         )   (       )           (         )         (          )   (          )   , (         ) (         )   (         ) (         ) -   C o n s eq u en tl y ,   (       ⁄         )   is   a  r in g .         4.   H O M O M O RP H I S M   O F     -   - F U Z Z Y  SUB RIN G S    I n   th i s   s ec tio n ,   w e  i n v esti g ate  th e  b eh a v io r   o f   h o m o m o r p h ic  i m a g e  an d   in v er s e  i m a g e  o f     - QFSR .       L e mm a   4 . 1 .   L et              b e  a  m ap p in g   an d       an d       b e  tw o   f u zz y   s u b s e ts   o f       an d       r esp ec tiv el y ,   t h en     i.         (     ) (       )   (       (   ) )   (       ) ,   f o r   all          an d             ii.     (     ) (       )   (   (   ) )   (       ) ,   f o r   all          an d             P ro o f :    ( i)         (       ) (   )       (   (   ) )       {   (   (   ) )     }         *       (   ) (   )     +         (       ) (   )     (       (   ) )   (   )                       ( ii)    (     ) (       )        *     (       )     (   )     +        {     *   (       )     +     (   )     }         {      { *   (       )     (   )     +     } }         *   (   ) (       )     +   (   (   ) )   (       )                       Hen ce ,     (     ) (       )   (   (   ) )   (       )     T heo re m   4 . 2 .   L et                 b e  a  h o m o m o r p h is m   f r o m   a  r i n g         to   a  r i n g         an d       b e  a     - QF SR   o f   r i n g         .   T h en     (   )   is   a     - QFS R   o f   r i n g             P ro o f :   L et       b e  a    - Q FS R   o f   r in g           L et                      b e  an y   ele m e n t.  T h en   th er e  e x is t s   u n iq u e  ele m e n t s                     s u c h   th at    (     )         an d     (     )         an d                   C o n s id er ,       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci     I SS N:  2502 - 4752       C erta in   p r o p erti es  o f    -   - fu z z y  s u b r in g s   ( Dils h a d   A lg h a z z a w i )   827   (   (   ) )   (               )       *   (   ) (               )     +       *   (   ) (   (     )     (     )     )     +           *   (   ) (   (           )     )     +       *   (               )       +       (               )             *     (         )       (         ) +                                                  (     )                   (     )       +             *      *     (         )       (     )       +          *       (         )       (     )       + +             *   (     ) (         )     (     ) (         ) +       { (   (   ) )   (         )   (   (   ) )   (         ) }              (   (   ) )   (             )       { (   (   ) )   (         )   (   (   ) )   (         ) }       Fu r t h er ,   (   (   ) )   (             )       *   (   ) (             )     +       *   (   ) (   (     )   (     )     )     +           *   (   ) (   (         )     )     +       *   (             )       +       (             )             *     (         )       (         ) +                                                  (     )                   (     )       +             *      *     (         )       (     )       +          *       (         )       (     )       + +             *   (     ) (         )     (     ) (         ) +       { (   (   ) )   (         )   (   (   ) )   (         ) }              (   (   ) )   (             )       { (   (   ) )   (         )   (   (   ) )   (         ) }       C o n s eq u en tl y ,     (   )   is     - Q FS R   o f             T heo re m   4 . 3 .   L et                  b e  a  h o m o m o r p h is m   f r o m   r in g         in to   a  r in g         an d       b e  a     - QF SR   o f   r in g           T h en         (   )   is     - QF SR   o f   r in g           P ro o f :   L et       b e    - Q FS R   o f   r i n g       .   L et                    b e  an y   ele m e n t s ,   th en   (       (   ) )   (               )         (     ) (               )       (   (           )     )           (   (     )     (     )     )             *     (   (     )     )       (   (     )     ) +       *       (     ) (         )         (     ) (         ) +             { (       (   ) )   (         )   (       (   ) )   (         ) }       T h u s ,   (       (   ) )   (             )       { (       (   ) )   (         )   (       (   ) )   (         ) }   Fu r t h er ,   (       (   ) )   (             )         (     ) (             )       (   (         )     )       (   (     )   (     )     )         *     (   (     )     )       (   (     )     ) +       *       (     ) (         )         (     ) (         ) +           { (       (   ) )   (         )   (       (   ) )   (         ) }     T h u s ,   (       (   ) )   (             )       { (       (   ) )   (         )   (       (   ) )   (         ) }       C o n s eq u en tl y         (   )   is     - QFS R   o f   a  r i n g               5.   CO NCLU SI O N   I n   p ap er ,   w e  h a v e  p r o v ed   th e  lev el  s u b s et  o f   t w o     -   - f u zz y   s u b r in g s   is   a  s u b r in g .   I n   ad d itio n ,   w e   h av e  e x te n d ed   th e  s t u d y   o f   t h is   id eo lo g y   to   i n v esti g ate  th e  ef f ec t  o f   i m ag e  a n d   i n v er s e   i m a g e  o f     - Q FS R   u n d er   r in g   h o m o m o r p h i s m .         ACK NO WL E D G E M E NT   T h is   w o r k   w a s   f u n d ed   b y   t h e  Dea n s h ip   o f   Sc ien ti f ic   R e s ea r ch   ( DS R )   at   Ki n g   A b d u laziz   Un i v er s it y ,   J ed d ah ,   Sau d i  A r ab ia.   T h e  a u th o r s ,   t h er ef o r e,   ac k n o w led g e  w it h   th a n k s   DS R   f o r   tec h n ica l  an d   f i n a n cial   s u p p o r t.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 5 0 2 - 4752   I n d o n esia n   J   E lec  E n g   &   C o m p   Sci,   Vo l.  21 ,   No .   2 ,  Feb r u ar y   2 0 2 1   :   8 2 2   -   8 2 8   828   Co nflict   o f   inte re s t   A ll a u t h o r s   d ec lar e  n o   co n f lic t   o f   in ter est i n   t h is   p ap er       RE F E R E NC E   [1 ]   L . A .   Zad e h ,   “ F u z z y   se ts,   In f o r m a ti o n   a n d   Co n tro l , ”   v o l.       n o .     ,   p p .   3 3 8 - 3 5 3 ,   1 9 6 5 .   [2 ]   U.  S h u a ib ,   M .   S h a h e ry a r  a n d   W .   A s g h a r,   “ On   so m e   c h a ra c teriz a ti o n   o f     - f u z z y   su b g ro u p s,”   In ter n a ti o n a   j o u r n a l   o f   M a th e ma ti c s a n d   Co mp u ter   S c ien c e ,   v o l.          n o .         p p .   1 1 9 - 1 3 1 ,   2 0 1 8 .   [3 ]   M .   G u lza r,   G .   A b b a s,  F .   Dila w a r,   “ A lg e b ra ic  p ro p e rti e s  o f     -   - f u z z y   su b g ro u p ” ,  In ter n a ti o n a l   jo u rn a l   o f   M a th e ma ti c s a n d   Co mp u ter   S c ien c e ,   v o l.   1 5 ,   p p .   2 6 5 - 2 7 4 ,   2 0 2 0 .   [4 ]   N.  Ka u sa r,   B.   U.  Isla m ,   M .   Y.  Ja v id ,   S .   A .   A h m e d ,   a n d   U.  Ijaz ,   “ Ch a ra c teriz a ti o n   o f   n o n - a ss o c iati v e   rin g s  b y   th e   p ro p e rti e s o f   th e ir  f u z z y   id e a ls ” ,  J o u rn a l  o f  T a i b a h   Un ive rs it y   fo r  S c ien c e ,  v o l.   1 3 ,   n o .   1 ,   p p .   8 2 0 - 8 3 3 ,   2 0 1 9 .     [5 ]   N.  Ka u sa r,   “ Dire c t  p ro d u c t  o f   f in it e   in tu it io n isti c   f u z z y   n o rm a l  s u b ri n g s  o v e r  n o n - a ss o c iativ e   rin g s ” ,  Eu ro p e a n   J o u rn a l  o f  P u re   a n d   A p p l ied   M a t h e ma ti c s ,   v o l.   1 2 ,   n o .   2 ,   p p .   6 2 2 - 6 4 8 ,   2 0 1 9 .     [6 ]   D.  S h a n ,   W .   L u   a n d   J.  Ya n g ,   “ T h e   d a ta - d riv e n   f u z z y   c o g n it iv e   m a p   m o d e l  a n d   i ts  a p p li c a ti o n   t o   p re d ictio n   o f   ti m e   se ries ,   “ In ter n a ti o n a l  J o u rn a l  o f  In n o v a ti v e   Co m p u ti n g ,   I n fo rm a ti o n   a n d   C o n tr o l ,   v o l.   1 4 ,   n o .   5 ,   p p .   1 5 8 3 - 1 6 0 2 ,   2 0 1 8 .     [7 ]   M .   N.  A le m u ,   “ F u z z y   m o d e l  f o r  c h a o ti c   ti m e   s e ries   p re d ictio n ” ,  In ter n a t io n a l  J o u rn a l  o f  I n n o v a ti v e   Co mp u ti n g ,   In fo rm a t io n   a n d   Co n tro l ,   v o l.      ,   n o .     ,   p p .   1 7 6 7 - 1 7 8 6 ,   2 0 1 8 ,   2 0 1 8 .     [8 ]   Y.  Qin ,   Y.  L iu ,   Z.   Ho n g   a n d   H.   Jia ,   “ He sitan t  f u z z y   m u irh e a d   m e a n   o p e ra ti o n s  a n d   it s  a p p l ica ti o n   t o   m u lt ip le   a tt rib u te d   d e c isio n   m a k in g ” ,  In ter n a ti o n a l  J o u rn a l  o f  I n n o v a ti v e   Co mp u t in g ,   I n fo rm a ti o n   a n d   C o n tro l ,   v o l .      ,   n o .     ,   p p .   1 2 2 3 - 1 2 3 8 ,   2 0 1 8 .   [9 ]   A .   Ro se n f e ld ,   “ F u z z y   g ro u p s,”  J o u rn a l   o f   M a th e ma t ica l  A n a lys is  a n d   A p p li c a ti o n ,   v o l.   3 5 ,   n o .   3   p p .   512 - 5 1 7 ,   1 9 7 1 .     [1 0 ]   W .   J.  L iu ,   “ F u z z y   in v a rian t  su b g ro u p s   a n d   f u z z y   id e a ls, ”   Fu zz y   S e ts  a n d   S y ste ms ,   v o l.   8 ,   n o .   2 ,   p p .   1 3 3 - 1 3 9 ,   1 9 8 2 .     [1 1 ]   V .   N.  Dix it ,   R.   K u m a r,   N.  A j m a l ,   “ L e v e l  su b g ro u p s  a n d   u n io n   o f   f u z z y   su b g ro u p , ” .   Fu zz y   S e ts   a n d   S y ste ms ,   v o l.   3 7 ,   n o .   3 ,   p p .   3 5 9 - 3 7 1 ,   1 9 9 0 .     [1 2 ]   R.   Bisw a s,  “ F u z z y   su b g ro u p s an d   a n ti - f u z z y   su b g ro u p s,”  F u zz y   S e t s a n d   S y ste ms ,   v o l.          n o .     ,   p p .   1 2 1 - 1 2 4 ,   1 9 9 0 .     [1 3 ]   M .   M .   G u p ta,  J.  Qi ,   “ T h e o ry   o f   T - n o rm s  a n d   f u z z y   in fe re n c e   m e th o d s,”  F u zz y   S e ts  a n d   S y ste ms ,   v o l .      ,   n o .         p p .   431 - 4 5 0 ,   1 9 9 1 .     [1 4 ]   A .   S o laira ju ,   a n d   R.   Na g a ra jan ,   “ A   n e w   stru c tu re   a n d   c o n str u c ti o n   o f     -   f u z z y   g ro u p s”   Ad v a n c e s  in   F u zz y   M a th e ma ti c s,  v o l.   4 ,   n o .         pp .   23 - 2 9 ,   2 0 0 9 .     [1 5 ]   Dr.  R.   M u t h u ra j,   P .   M .   S i th a rse l v a m ,   M .   S .   M u th u ra m a n ,   “ A n ti     - F u z z y   Gro u p   a n d   Its  L o w e r   Lev e l  S u b g ro u p s,”  In ter n a t io n a l  J o u rn a l  o f  C o mp u ter   Ap p l ica ti o n ,   v o l.   3 ,   n o .         p p .   16 - 2 0 ,   2 0 1 0 .     [1 6 ]   P riy a ,   T .   Ra m a c h a n d ra n ,   K.  T .   Na g a la k sh m i,   “ On     - f u z z y   No r m a l  S u b g ro u p s”   In ter n a ti o n a l  J o u rn a l  o f  c o mp u ter   a n d   Or g a n iza ti o n   T re n d s ,   v o l.         n o .   6 ,   p p .   39 - 4 2 ,   2 0 1 3 .     [1 7 ]   P .   M .   S it h a r  se lv a m ,   T .   P riy a ,   K .   T .   Na g a la k sh m i  a n d   T .   Ra m a c h a n d ra n ,   “ On   S o m e   p ro p e rt ies   o f   a n ti   -   - f u z z y   No rm a l  S u b g ro u p s”   Ge n e ra l   M a t h e ma ti c s No tes ,   v o l .   2 2 ,   n o .   1 ,   p p .   1 - 1 0 ,   2 0 1 4 .     [1 8 ]   M .   O.  A lsa ra h e a d ,   A .   G .   A h m a d ,   “ Co m p lex   f u z z y   su b g ro u p s,”  Ap p li e d   M a th e ma t ica l  S c ien c e s ,   v o l.          n o .      ,   p p .   2 0 1 1 - 2 0 2 1 ,   2 0 1 7 .     [1 9 ]   M .   O.  A lsa ra h e a d ,   A .   G .   A h m a d ,   “ Co m p lex   f u z z y   su b rin g s,”  In ter n a ti o n a l   J o u rn a l  o f  P u re   a n d   Ap p li e d   M a th e ma ti c s ,   v o l.   1 1 7 ,   n o .         p p .   5 6 3 - 5 7 7 ,   2 0 1 7 .     [2 0 ]   M .   O.  A lsa r a h e a d ,   A .   G .   A h m a d ,   “ Co m p le x   f u z z y   so f t  su b g ro u p s,  J o u rn a l  o f  Qu a li ty  M e a su re me n t  a n d   A n a lys is, ”   v o l.      ,   no.   2 ,   p p .   17 - 2 8 ,   2 0 1 7 .     [2 1 ]   B.   B.   M a k a m b a ,   V .   M u ra l i,   “ A   c las s  o f   f u z z y   su b g ro u p s   o f   f in it e   re f le c ti o n   g ro u p s,”  J o u rn a l   o f   In telli g e n t  a n d   Fu zz y   S y ste ms ,   v o l.   3 3 ,   p p .   9 7 9 - 9 8 3 ,   2 0 1 7 .     [2 2 ]   R.   Ra su li ,   “ Ch a ra c teriz a ti o n   o f     - f u z z y   su b rin g s  (A n ti     - f u z z y   s u b rin g s)  w it h   re sp e c t  to   a     - n o rm   (   - c o n o rm ), ”   J o u rn a l  o f  In fo rm a ti o n   a n d   O p ti miza ti o n   S c ien c e s ,   v o l .          p p .   8 2 7 - 8 3 7 ,   2 0 1 8 .     [2 3 ]   Dr.  R.   Ja h ir  H u ss a in ,   “ A   Re v ie w  On     - f u z z y   su b g ro u p   i n   A lg e b ra , ”   In ter n a ti o n a l   J o u rn a l  o f  Ap p li e d   E n g i n e e rin g   Res e a rc h ,   v o l.   1 4 ,   p p .   60 - 6 3 ,   2 0 1 9 .     [2 4 ]   S .   A .   T re v ij a n o ,   M .   J.   Ch a sc o   a n d   J.   El o rz a ,   “ T h e   a n n i h il a t o r  o f   f u z z y   su b g ro u p s,”  F u zz y   S e ts   a n d   S y ste ms ,   v o l .           p p .   1 2 2 - 1 3 1 ,   2 0 1 9 .     [2 5 ]   M .   A .   R.   S h a f e i,   M .   A .   T a w f i k   a n d   D.   K.  Ib ra h im ,   “ F u z z y   c o n tro l   sc h e m e   f o r  e n e rg y   e ff ici e n c y   a n d   d e m a n d   m a n a g e m e n t  in   a irp o rts  u sin g   3 D  si m u lato r, ”   In d o n e sia n   J o u rn a l  o f  El e c trica l  En g i n e e rin g   a n d   Co mp u ter   S c ien c e   ( IJ EE CS ) ,   v o l.          n o .   2 ,   p p .   5 8 3 - 5 9 2 ,   2 0 2 0 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.