I n d on e s i an   Jo u r n al   o El e c t r i c al   En gi n e e r i n g   an d   C o m p u te r   S c i e n c e   V o l .   16 ,   N o .   1 O c t o be r   2 01 9 ,   pp .   539 ~ 543   IS S N :   2502 - 4752 ,   D O I :   10. 1 1591 / i j e e c s . v 1 6 .i 1 . pp 539 - 543             539       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i ae s c or e . c om / j our na l s / i nde x . php/ i j e e c s   Hy b r i d   c o n j u g a t e   g r a d i e n t   p a r a m e t e r   f o r   s o l v i n g   sy m m e t r i c   sy st e m s o f   n o n l i n e a r   e q u a t i o n s       M .   K .   D au d a 1 ,   M u s tafa  M am at 2 ,   M o h am ad   A .   M o h am e d 3 ,   N o r   S h am s i d ah   A m i r   H am z ah 4   1 , 2 , 3 F a c ul t y   o f   I nf o r m a t i c s   a nd   C o m put i ng ,   U ni v e r s i t i   S u l t a n   Z a i n a l   A bi di n,   T e r e ng g a nu,   M a l a y s i a   1 D e pa r t m e n t   o f   M a t h e m a t i c a l   S c i e nc e s ,   K a dun a   S t a t e   U n i v e r s i t y ,   N i g e r i a   4 F a c ul t y   of   A ppl i e d   S c i e nc e   a nd  T e c hno l o gy ,   U ni v e r s i t i   T un  H us s i e O n n,   M a l a y s i a       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d   N ov   1,   2018   R e v i s e F e b   6,   2019   A c c e pt e M a r   1 5,   201 9       M a t he m a t i c a l   m o de l s   f r o m   r e c e n t   r e s e a r c h   a r e   m o s t l y   no nl i ne a r   e q ua t i o ns   i n   na t u r e .   N um e r i c a l   s o l u t i o ns   t o   s uc s y s t e m s   a r e   w i de l y   ne e de d   a nd  a ppl i e i n   t ho s e   a r e a s   o f   m a t he m a t i c s .   A l t ho ug h,   i n   r e c e nt   y e a r s ,   t hi s   f i e l d   r e c e i v e d   s e r i o us   a t t e n t i o ns   a n n e w   a ppr o a c w e r e   di s c o v e r e d,   but   y e t   t h e   e f f i c i e nc y   o f   t he   p r e v i o us   v e r s i o ns   s uf f e r s   s e t ba c k.   T h i s   a r t i c l e   g i v e s   a   n e w   hy br i d   c o nj ug a t e   g r a di e nt   p a r a m e t e r ,   t h e   m e t ho i s   d e r i v a t i v e - f r e e   a nd   a na l y z e w i t h   a e f f e c t i v e   i n e xa c t   l i n e   s e a r c i n   a   g i v e n   c o ndi t i o ns .   T h e o r e t i c a l   pr o of s   s ho w   t ha t   t he   pr o po s e d   m e t ho r e t a i ns   t he   s uf f i c i e n t   d e s c e n t   a nd  g l o ba l   c onv e r g e nc e   pr o pe r t i e s   o f   t he   o r i g i n a l   C G   m e t h o ds .   T h e   pr o po s e d   m e t ho d   i s   t e s t e d   o a   s e t   o f   t e s t   f unc t i o ns ,   t he n   c o m pa r e d   t o   t he   t w o   p r e v i o us   c l a s s i c a l   C G - pa r a m e t e r   t ha t   r e s ul t e d   t he   g i v e m e t ho d,   a nd  i t s   pe r f o r m a nc e   i s   g i v e b a s e o num b e r   o f   i t e r a t i o ns   a n C P U   t i m e .   T he   num e r i c a l   r e s u l t s   s ho w   t h a t   t h e   n e w   pr o po s e m e t ho i s   e f f i c i e n t   a nd  e f f e c t i v e   a m o ng s t   a l l   t he   m e t ho ds   t e s t e d .   T h e   g r a phi c a l   r e p r e s e n t a t i o o f   t he   r e s u l t   j us t i f y   o ur   f i ndi ng s .   T he   c o m put a t i o na l   r e s u l t   i nd i c a t e s   t ha t   t h e   n e w   hy br i c o nj ug a t e   g r a di e nt   pa r a m e t e r   i s   s u i t a b l e   a nd   c a pa bl e   f o r   s o l v i ng   s y m m e t r i c   s y s t e m s   o f   no nl i ne a r   e qua t i o ns .     Ke y w or d s :   Co n j uga t e   G ra di e nt   D e r i v a t i v e   F r e e   H y b r i d   N o n l i n e a E qua t i o n s   S y m m e t ri c   S y s t e m   C opy r i gh t   ©   201 9   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .     A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   M us t a f a   M a m a t ,   F a c ul t y   of   In f o r m a t i c s   a n Co m put i n g ,     U n i v e r s i t i   S ul t a Z a i n a l   A b i di n,   T e r e n gga nu,   M a l a y s i a .   E m a i l :   m us m a t 567 @ g m a i l . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N     In  r e c e n t   y e a r s ,   m a n y   r e s e a r c h e r s   [ 1 - 5]   f o c us e o n   t h e   t e c hni que s   w h i c r e s ul t e t o   e m e rge n c e   o s e v e r a l   CG   f o r m ul a s   c o e ff i c i e n t   _ k)   i s o l v i n g   u n c o n s t r a i ne o pt i m i z a t i o p r o b l e m s ,   b ut   h y b r i di z i ng   t h e   CG   c oe ff i c i e n t   _k)  gi v e s   s o   m a n y   a dv a nt a ge s .   H y b r i CG   p a r a m e t e r s   a r e   b a s i c a l l y   de s i gn e b a s e o a a da pt i v e   s w i t c h   f r o m   a   CG   pa ra m e t e r,   t h e s e   i n c l u de s   t h e   h y b r i di z a t i o ns   of   P R P   a n F R   m e t h o ds   i p r o po s e by   T o ua t i - A hm e a nd  S t o r e y   [6],   H a n d   S t o r e y   [7]  a n d   G i l b e r t   a n d   N o c e da l   [1],   t h e   h y b r i di z a t i o n s   o f   H S   a n D Y   m e t h o ds   p r o po s e by   D a i   a n d   Y ua [8 a n d   t h e   h y b r i di z a t i o n   o f   L S   a n d   CD   m e t h o ds   p r o po s e by   T o ua t i - A hm e a n d   S t o r e y   [6].   I t h e   h y b r i d   CG   m e t h o ds   o f   [6,   8] ,   t h e   CG   p a ra m e t e i s   c o m put e d   b a s e o d i s c r e t e   c o m b i na t i o n s   o f   t h e   CG   p a r a m e t e r s   o f   t h e   t w o   c a t e g o r i e s .   R e c e n t l y ,   A n d r e i   [9 - 1 3]  p r o po s e s e v e r a l   e f f i c i e n t   h y b r i CG   m e t h o ds   b a s e o c o n v e c o m b i n a t i o n s   o f   t h e   CG   pa ra m e t e r s   o f   t h e   t w o   c a t e go r i e s   w h i c h   a r e   c o n t i n uo us   c o m b i n a t i o n s .   M o r e   e xa c t l y ,   i n   [9]   a   h y b r i di z a t i o n   o f   H S   a n d   D Y   m e t h o ds   ha s   b e e n   p r o po s e i w h i c t h e   h y b r i di z a t i o pa ra m e t e i s   c o m put e d   b a s e o t h e   s t a n d a r d   s e c a nt   (qu a s i - N e w t o n e qu a t i o [14 ,   15] .   In  [10] ,   us i n g   a a c c e l e r a t i o s c h e m e ,   A n d r e i   p r o po s e a n o t he r   h y b r i di z a t i o o f   H S   a n D Y   m e t h o ds   i n   w hi c t h e   h y b r i di z a t i o p a r a m e t e i s   c o m put e d   b a s e o a   m o di f i e s e c a n t   e qu a t i o p r o po s e by   L i   e t   a l .   [3] .   T h e   h y b r i di z a t i o n   p a r a m e t e r   i n   o u r   m e t h o ds   i s   c o m put e f r o m   a   m o di f i e s e c a n t   e qua t i o n   o b t a i n e b a s e o n   t h s e a r c h   di r e c t i o n   o f   t h e   H a ge r - Z ha n n o n l i n e a r   CG   m e t h o d.   T h e   s u r v e y   by   H a ge r   a nd  Z h a n g   (2006 di s c us s e Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   1 O c t o b e r   2019   :     539   -   543   540   e xt e n s i v e l y   o n   s o m e   m e t h o ds   w i t h   s pe c i a l   e m p ha s i s   o n   t h e i gl o b a l   c o n v e r ge n c e .   T h e   m a i a i m   o f   t hi s   pr o po s e h y b r i d   m e t h o i s   t o   f i n o ut   n e w   f o r m ul a   f o r   c o n j u ga t e   m e t h o ds   s uc t h a t   t h e y   a r e   n o t   o n l y   gl o b a l l y   c o n v e r ge n t   f o r   ge n e ra l   f un c t i o n s   b ut   a l s o   ha v e   goo n u m e r i c a l   pe r f o r m a n c e .       2.   D ER I V A TI O N   O F   TH E   H Y BR I D   C O N JU G A TE   G R A D I EN P A R A M ETER   F O R   S O LV I N G   S Y M M E TR I C   S Y S TEM S   O F   N O N LI N EA R   E Q U A TI O N S   In  t hi s   s e c t i o n ,   t h e   n e w   fo r m u l a   w a s   de r i v e f r o m   [16]  a n d   [ 17],   t h e   r e s ul t i n h y b r i di z a t i o n s   f o r m u l a   i s   gi v e b e l ow .   T h e   a t t ra c t i v e   f e a t ur e s   o f   t h e s e   m e t h o ds   a r e   t o   a t t a i go o c o m put a t i o na l   pe r f o r m a n c e   a nd  t m a i n t a i n   t h e   a t t ra c t i v e   f e a t ur e   o f   s t r o n g l o b a l   c o n v e r ge n c e .   I n   o r de r   t o   t a ke   a dv a nt a ge   o f   t h e s e ,   a   h y b r i di z a t i o n s   o f   t h e s e   m e t h o ds   i s   c a rri e o ut   us i ng  t h e   A n d r e i ’s   a pp r o a c t o ge t h e w i t t h e   n o nn e ga t i v e   r e s t r i c t i o o f   t h e   CG   p a r a m e t e r s   s ugge s t e by   P ow e l l   [5] .   F r o m   [ 16],   t h e   CG   pa ra m e t e i s   gi v e n   b y     1 = ( ) + 1 , =   = 1 , 2 , 3 ,   (1)     A l s o ,   f r o m   [1 7],   t h e   CG   p a ra m e t e r   i s   g i v e n   by     2 = ( )  ( + 1 ) = 1 , 2 , 3 ,               (2)     Co n s i de r i n g   t h e   c o n c e pt   o f   [18, 18 , 20] ,   t h e   n e w   CG   pa ra m e t e   i s   g i v e n   by :     = ( 1 ) + 2 ,   w h e r e     i s   t h e   h y b r i di z a t i o n   p a ra m e t e r   a nd  i s   a   s c a l a r   s a t i s fy i n g   0 < < 1 .   If  = 1 ,   t h e n   = 2   w hi l e   = 1 i f   = 0 .     T h us ,         = ( 1 ) ( ) + 1 + ( )  ( + 1 )   f o r   = 1 , 2 , 3 , ,   =     (3)     T h e   di r e c t i o n     i s   a s s um e t o   b e   a   de c e n t   o n e   a n d   i s   o b t a i n e d   us i n     = { ( )        = 0 ( 1 ) + 1              1                   (4)      w h e r e     i s   t e r m   a s   c o n j uga t e   g ra d i e nt   p a r a m e t e r.   T h e   CG   m e t ho ds   f o r   s o l v i n n o n l i n e a r   s y s t e m s   of   e qua t i o n s   ge n e ra t e s   a i t e ra t i v e   po i n t s   { }   f r o m   i ni t i a l   g i v e n   po i n t   0   v i a       + 1 = +                 (5)     w h e r e   >   0   i s   a t t a i n e d   v i a   l i n e   s e a r c h .   U s i n g   t h e   a b o ve   p r o c e dur e ,   t h e   f o l l ow i n g   i s   t h e   a l go r i t h m   f o t h e   n e w   upda t e .     A l go r i th m :   S te p   1:   G i v e 0 , > 0 , = 0 . 6 ,  ( 0 , 1 )   a n d   > 0   c o m put e   0   =   ( 0 ) ,   s e t   = 0 .     S te p   2:   Co m pu t e   ( )   a n t e s t   t h e   s t o ppi ng  c ri t e r i o n ,   i . e .   | | ( ) | |     ,   i f   y e s ,   t he n   s t o p,   o t h e r w i s e   c o n t i n ue   w i t n e xt   s t e p.   S te p   3:   Co m pu t e     by   us i n t h e   l i n e   s e a r c i [ 16, 1 7, 2 1, 22 ]   S te p   4:   Co m pu t e   = ,   a n d   n e w   .   S te p   5:   Co m pu t e   + 1 = +     S te p   6:   Co m pu t e   s e a r c di r e c t i o n   us i n g   (4)   S te p   7:   S e t   = + 1   a nd  go   t o   s t e p   2.           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       H y br i d   c on j uga t e   gr ad i e n t   p ar am e t e r   f or   s o l v i ng   s y m m e t r i c   s y s t e m s   o f   nonl i n e ar   e qua t i ons   ( M.   K .   D auda )   541   3.   N U M ER I C A R ES U LT   In   t h i s   s e c t i o n,   t h e   num e r i c a l   r e s ul t s   o f   t h e   p r o po s e m e t h o i s   gi v e n .   T h e   p r o po s e h y b r i m e t h o i s   de n o t e a s   M 1,   a nd  i t s   pe r f o r m a n c e   i s   c o m pa r e w i t h   t h e   c l a s s i c a l   c o n j uga t e   g r a d i e nt   p a r a m e t e m e t h o ds   de n o t e a s   M a n M 3   r e s pe c t i v e l y .   In   T a b l e s   a n 2,   e a c h   n - d i m e n s i o n a l   p r o b l e m   w i t h   i n i t i a l   s t a rt i ng  po i n t   i s   c o n s i de r e a s   o n e   p r o b l e m ,   t h e r e f o r e   a   t o t a l   o f   40  b e n c hm a r k   p r o b l e m s   w e r e   s o l v e d.   T h e   c o m put a t i o na l   e xpe r i m e nt   i s   b a s e o t h e   n u m b e r   o f   i t e ra t i o n s   a n d   CP U   t i m e .   T o   a s c e r t a i t h e   gl o b a l   c o n v e r ge n c e   o f   t h e   pr o po s e m e t h o d,   t h e   b e n c hm a r ks   p r o b l e m s   i [2 1,   22]   w a s   us e w i t t w o   di f fe r e nt   IS P ,   a n d   t h e   o ut p ut   o f   t h e   pe r f o r m a n c e   o f   t h e   m e t h o ds   w a s   b a s e o t h e   pe r f o r m a n c e   p r o f i l e   p r e s e n t e b y   D o l a a n M o r e   [24] .       T a b l e   1 .   P e r f o r m a n c e   p r o f i l e   o f   M 1,   M a n d   M b a s e o n   i t e ra t i o n   num b e &   CP U   t i m e   P ro b   IS P       D i m   M1       M2       M3                   It e r     CP U          I t e   CP U     It e r     CP U     1a   ( 0 . 5 , 0 . 5 , , 0 . 5 )   10   1   0 . 0 0 6 8 0 6   13   0 . 0 1 5 0 3 4   17   0 . 0 1 4 1 4 7           100   1   0 . 0 0 0 6 3 2   14   0 . 0 0 2 8 8 7   18   0 . 0 0 2 2 4 9           500   1   0 . 0 0 0 3 6 6   14   0 . 0 0 3 0 0 4   18   0 . 0 0 8 6 4 8           1000   1   0 . 0 0 0 4 3 3   14   0 . 0 0 3 0 2 4   19   0 . 0 0 9 2 2 1           5000   1   0 . 0 0 1 4 0 3   14   0 . 1 2 3 7 0 4   21   0 . 0 5 7 7 7 7   1b   ( 0 . 2 , 0 . 2 , , 0 . 2 )   10   5   0 . 0 0 0 5 6 7   10   0 . 0 0 1 0 7 8   15   0 . 0 0 1 4 1 8           100   6   0 . 0 0 1 1 4 2   10   0 . 0 0 1 1 6 5   18   0 . 0 0 3 6 0 7           500   6   0 . 0 0 1 0 0 0   11   0 . 0 0 1 9 5 1   18   0 . 0 0 4 4 3 3           1000   6   0 . 0 0 1 3 9 5   11   0 . 0 0 4 2 5 5   18   0 . 0 0 7 7 4 0           5000   7   0 . 0 0 6 4 8 8   11   0 . 0 1 3 5 8 9   21   0 . 0 5 5 3 5 4   2a   ( 0 . 5 , 0 . 5 , , 0 . 5 )   10   6   0 . 0 0 0 5 8 0   4   0 . 0 0 0 8 0 9   18   0 . 0 0 1 7 6 5           100   6   0 . 0 0 0 5 6 5   4   0 . 0 0 0 8 9 3   19   0 . 0 0 2 7 5 8           500   6   0 . 0 0 0 9 0 4   5   0 . 0 0 1 2 3 7   20   0 . 0 0 4 7 2 6           1000   6   0 . 0 0 1 2 5 7   5   0 . 0 0 1 6 3 7   21   0 . 0 0 8 8 0 9           5000   6   0 . 0 0 6 0 3 9   6   0 . 0 0 6 1 5 7   22   0 . 0 5 6 5 5 3   2b   ( 0 . 2 , 0 . 2 , , 0 . 2 )   10   4   0 . 0 0 0 5 9 4   5   0 . 0 0 2 8 5 2   15   0 . 0 0 2 3 7 4           100   5   0 . 0 0 0 7 3 6   6   0 . 0 0 0 8 2 8   15   0 . 0 0 2 0 3 8           500   5   0 . 0 0 0 8 8 4   6   0 . 0 0 1 1 5 0   16   0 . 0 0 4 1 0 3           1000   5   0 . 0 0 1 9 8 2   6   0 . 0 0 1 6 7 8   16   0 . 0 0 7 6 3 1           5000   5   0 . 0 0 5 9 1 4   7   0 . 0 0 5 9 9 1   18   0 . 0 4 5 6 5 9       T a b l e   2 .   P e r f o r m a n c e   p r o f i l e   o f   M 1,   M a n d   M b a s e o n   i t e ra t i o n   num b e &   CP U   t i m e   (c o n t )   P r o b   I S P       D i m   M1       M2       M3                   I t e r     C P U     I t e r     C P U     I t e r     C P U     3a   ( 0 . 5 , 0 . 5 , , 0 . 5 )   10   6   0. 00 0583   4   0. 00 0748   18   0. 00 1662           100   6   0. 00 0502   4   0. 00 0791   19   0. 00 2683           500   6   0. 00 0705   5   0. 00 1285   20   0. 00 4508           1000   6   0. 00 0978   5   0. 00 1404   21   0. 00 7613           5000   6   0. 00 4791   6   0. 00 5932   22   0. 04 9457   3b   ( 0 . 2 , 0 . 2 , , 0 . 2 )   10   4   0. 00 0597   5   0. 00 0625   15   0. 00 1215           100   5   0. 00 0629   6   0. 00 0764   15   0. 00 1608           500   5   0. 00 0863   6   0. 00 1065   16   0. 00 3806           1000   5   0. 00 1085   6   0. 00 2203   16   0. 00 6194           5000   5   0. 00 5834   7   0. 00 5344   18   0. 04 8274   4a   ( 0 . 5 , 0 . 5 , , 0 . 5 )   10   3   0. 00 0345   1   0. 00 9970   51   0. 00 5631           100   3   0. 00 0391   1   0. 00 0614   63   0. 00 8490           500   3   0. 00 0423   1   0. 00 0783   69   0. 01 9573           1000   4   0. 00 0483   1   0. 00 1370   73   0. 03 2623           5000   4   0. 00 1014   1   0. 00 4664   79   0. 14 9735   4b   ( 0 . 2 , 0 . 2 , , 0 . 2 )   10   2   0. 10 5179   F   0. 00 0493   60   0. 00 6403           100   4   0. 12 6227   F   0. 00 0784   70   0. 01 3660           500   4   0. 21 2208   F   0. 00 0963   78   0. 02 2243           1000   4   0. 33 4854   F   0. 00 5148   80   0. 03 3186           5000   4   1. 36 9668   F   0. 00 4322   88   0. 15 9905       T h e   pe r f o r m a n c e   pr o f i l e   :   [ 0 , 1 ]   i s   de f i n e a s   f o l l ow s :   L e t     a n   b e   t h e   s e t   of   pr o b l e m s   a nd   s e t   of   s o l ve r s   r e s pe c t i v e l y .   F o r     s o l v e r s   a n d     pr o b l e m s ,   a nd  f o r   e a c h   p r o b l e m     a n f o r   e a c h   s o l v e r   ,   , = (num b e r   o f   i t e ra t i o n s   r e qu i r e t o   s o l ve   pr o b l e m     by   s o l v e r   i s   de f i n e d.   T h e   pe r f o r m a n c e   r a t i o   i s   gi v e by :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2502 - 4752   In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i ,   V o l .   16 ,   N o .   1 O c t o b e r   2019   :     539   -   543   542   , =   , / { , } .       T h e t h e   pe r f o rm a n c e   p r o f i l e   i s   de f i n e by :     ( ) 1 { : , } ,       fo r   a l l     w h e r e   ( )   i s   t h e   p r o b a b i l i t y   fo r   s o l v e r     t h a t   a   pe r f o r m a n c e   r a t i o   ,   i s   w i t h i a   f a c t o r     of   t h e   b e s t   po s s i b l e   r a t i o .   T h e   c o de   f o r   t h e   p r o po s e m e t h o w a s   do n e   us i n g   M A T L A B   7. 1 ,   R 2009b   pr o g r a m m i n g   e n v i r o nm e n t   a n ru n   o a   pe r s o n a l   c o m put e r   2. 4G H z ,   I n t e l   (R Co r e   (T M )   i 7 - 5500U   CP U   pr o c e s s o r ,   4G B   R A M   m e m o r y   a nd  o n   w i n do w s   X P   o pe r a t o r .   B o t h   t h e   m e t h o ds   w a s   i m p l e m e nt e w i t t h e   s a m e   pa ra m e t e r s   a s   1   =   0 . 01 ,   =   0 . 2 , 1   =   2   =   10 4 ,   a nd  = 1 { + 1 } 2 .   T h e   s e a r c h   i s   s t o ppe i f :   (i ( )   <   w i t h   < 10 4   o (i i T h e   t o t a l   n u m b e r   o f   i t e ra t i o e xc e e ds   1000.   T h e   m e a ni n o f   e a c h   c o l um n   i t h e   t a b l e s   a r e   s t a t e a s   f o l l o w s ,   P :   s t a n ds   f o r   B e n c hm a rk  p r o b l e m ,   IS P :   s t a n ds   f o r   i n i t i a l   s t a r t i n g   po i n t s ,   n” :   s t a n ds   f o r   d i m e ns i o n   o f   t h e   t e s t   p r o b l e m s ,   It e r :   t h e   t o t a l   n u m b e r   of   i t e r a t i o n s   a nd  CP U :   t h e   p r o c e s s i n t i m e   i s e c o n ds .   A   p a r t i c u l a p r o b l e m   i ,   pe r f o r m s   b e t t e i f   t h e   num b e of   i t e ra t i o (i t e r)  a n d/ o r   t h e   CP U   t i m e   i s e c o n ds   (T i m e i s   l e s s   t ha t h e   num b e o f   i t e ra t i o o t h e   CP U   t i m e   c o r r e s po n di ng  t o   t h e   o t h e r   m e t h o ds   r e s pe c t i v e l y .   F r o m   t h e   a b o ve   t a b l e s ,   t h e   p r o po s e m e t h o d   o ut pe r f o r m e d   t h e   t w o   o t h e m e t h o ds   i t e r m s   o f   CP U   t i m e s   a n d   n u m b e r   o f   i t e ra t i o n s ,   a s   s h o w n   i F i g u r e s   a n d   2 .           F i gu r e   1 .   P e r f o r m a n c e   p r o f i l e   o f   M 1,   M a n d   M 3   w i t r e s p e c t   t o   t h e   num b e o f   i t e ra t i o n s           F i gu r e   2 .   P e r f o r m a n c e   p r o f i l e   o f   M 1,   M a n d   M 3   w i t r e s pe c t   t o   t h e   CP U   t i m e       4.   C O N C LU S I O N   A N D   F U TU R W O R K   In  t h i s   a rt i c l e ,   a   de ri v a t i v e   f r e e   m e t h o f o r   s o l v i n g   s y m m e t ri c   n o n l i n e a s y s t e m s   o f   e qua t i o n s   i s   gi v e n.   T h e   h y b r i d   m e t h o a c hi e v e i t s   o b j e c t i ve s   f ul l y ,   i . e .   i t   i s   f a s t e r   i t e r m s   o f   pr o c e s s i n g   t i m e   a n d   e ff e c t i v e   i t e rm s   o f   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n s .   T hus ,   t h e   h y b r i c o n j uga t e   g ra di e n t   p a r a m e t e i s   a   v e r y   goo a l t e rna t i v e   fo r   s o l v i n s y m m e t r i c   n o nl i n e a r   s y s t e m s   o f   e qua t i o n s .   F o r   f u r t he r   r e s e a r c h   w o r k,   t h e   m e t h o c a b e   m o di f i e t s o l v e   n o n s m o o t h   n o n l i n e a r   e qu a t i o n s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In do n e s i a J   E l e c   E ng  &   Co m S c i     IS S N :   2502 - 4752       H y br i d   c on j uga t e   gr ad i e n t   p ar am e t e r   f or   s o l v i ng   s y m m e t r i c   s y s t e m s   o f   nonl i n e ar   e qua t i ons   ( M.   K .   D auda )   543   A C K N O WL ED G E M EN TS   T h e   a u t h o r s   w o ul l i ke   t o   t h a nk  t h e   G o v e r n m e nt   o f   M a l a y s i a   f o r   f u n di ng  t h i s   r e s e a r c h   u nde t h e   F un d a m e nt a l   R e s e a r c G r a nt   S c h e m e   (F R G S / 1/ 2018 / I CT 03 / U N IS Z A / 02/ 2)  a n d   a l s o   t h e   R e s e a r c h   M a n a ge m e nt ,   I nn o v a t i o a nd  Co m m e r c i a l i z a t i o o f   U n i v e r s i t i   S u l t a Z a i na l   A b i di n.       R EF ER EN C ES   [ 1]   J . C .   G i l b e r t   a nd   J .   N o c e da l ,   G l o ba l   c o nv e r g e nc e   pr o pe r t i e s   o f   c o nj ug a t e   g r a d i e nt   m e t ho ds   f o r   o pt i m i z a t i o n,   S I A M   J .   O pt i m .   ( 19 92) ,   pp .   21 4 2.   [ 2]   W . W .   H a g e r   a nd   H .   Z h a ng ,   A   s u r v e y   of   no nl i ne a r   c o nj ug a t e   g r a d i e nt   m e t ho ds ,   P a c .   J .   O pt i m .   2   ( 2006 ) ,   p p.   35 58 .     [ 3]   G .   L i ,   C .   T a ng ,   a nd  Z .   W e i ,   N e w   c o nj ug a c y   c o ndi t i o a n r e l a t e n e w   c o nj ug a t e   g r a d i e n t   m e t ho ds   f o r   unc o ns t r a i ne d   o pt i m i z a t i o n,   J .   C om pu t .   A pp l .   M a t h .   202   ( 2007 ) ,   p p.   52 3 53 9.   [ 4]   W .   Z ho a nd   D .   S h e n ,   " A i ne x a c t   P R P   c o nj ug a t e   g r a d i e n t   m e t ho f o r   s y m m e t r i c   no nl i ne a r   e q ua t i o ns , "   N um e r i c a l   F unc t i o nal   A n al y s i s   and   O p t i m i z at i on ,   v o l .   35 ,   no .   3,   pp .   370 - 38 8,   2014 .   [ 5]   M . J . D .   P o w e l l ,   N o nc o n v e M i ni m i z a t i o c a l c ul a t i o ns   a nd   t he   c o nj ug a t e   g r a d i e nt   m e t ho d,   i n   N um e r i c a l   A na l y s i s   ( D und e e ,   1 983 ) ,   L e c t ur e   N o t e s   i n   M a t he m a t i c s ,   V o l .   1066 ,   D . F .   G r i f f i t hs ,   e d. ,   S p r i ng e r ,   B e r l i n ,   1984 ,   pp .   122 141 .   [ 6]   D .   T o ua t i - A hm e a nd   C .   S t o r e y ,   E f f i c i e nt   hy br i d   c o nj ug a t e   g r a di e nt   t e c hn i que s ,   J .   O p t i m .   T he or y   A pp l .   64   ( 1990 ) ,   pp.   37 9 39 7.   [ 7]   Y . F .   H a nd  C .   S t o r e y ,   G l o ba l   c o nv e r g e nc e   r e s ul t   f o r   c o nj ug a t e   g r a di e n t   m e t ho ds ,   J .   O pt i m .   T he or y   A pp l .   71   ( 1 991 ) ,   pp.   39 9 40 5.   [ 8]   Y . H .   D a i   a nd   Y .   Y ua n,   A e f f i c i e n t   hy br i c o nj ug a t e   g r a d i e nt   m e t ho f o r   unc o ns t r a i n e d   o pt i m i z a t i o n,   A nn.   O pe r .   R e s .   1 03   ( 2 001 ) ,   pp .   33 47.   [ 9]   N .   A ndr e i ,   A   h y br i c o nj ug a t e   g r a d i e n t   a l g o r i t hm   f o r   unc o ns t r a i ne o pt i m i z a t i o a s   a   c o nv e c o m bi na t i o o f   H e s t e ne s S t i e f e l   a n D a i Y u a n ,   S t u d.   I nf o r m .   C on t r ol   17   ( 200 8) ,   p p.   55 70.   [ 10]   N .   A ndr e i ,   A c c e l e r a t e d   hy br i c o nj ug a t e   g r a di e nt   a l g o r i t hm   w i t m o di f i e d   s e c a nt   c o ndi t i o f o r   unc o ns t r a i ne d   o pt i m i z a t i o n,   N um e r .   A l gor .   54   ( 2010 ) ,   p p.   23 46 .   [ 11]   I br a hi m   A bdul l a h i   a n R o ha n i n   A hm a d,   ( 2017 ) .   G l o ba l   C o nv e r g e nc e   A na l y s i s   o f   a   ne w   H y br i C o nj ug a t e   G r a di e n t   M e t ho f o r   U nc o ns t r a i ne d   O pt i m i z a t i o P r o bl e m s ,   M a l ay s i an  J our nal   of   F undam e n t al   and   A pp l i e S c i e nc e s ,   13 ( 2 )   40 - 48.   [ 12]   W a F a r a H a na n   W a n   O s m a n,   M o hd  A s r u l   H e r y   I br a hi m   a nd   M us t a f a   M a m a t ,   ( 201 7) .   H y br i d   D F P - C G   M e t ho f o r   S o l v i ng   U nc o ns t r a i ne d   O p t i m i z a t i o P r o bl e m s ,   J o ur n al   o f   P hy s i c s ,   C on f e r e nc e   Se r i e s ,   do i : 10. 1088 / 17 42 - 6596 / 890 / 1 / 01 2033 .   [ 13]   S he ng w e i   Y a o   a nd   B i n   Q i ( 2014 ) .   A   H y br i o f   D L   a nd  W Y L   N o nl i ne a r   C o n j ug a t e   G r a di e n t   M e t ho ds ,   A bs t r a c t   a nd   A ppl i e d   A na l y s i s ,   V o l um e ,   A r t i c l e   I D   279891 ,   9   pa g e s ,   ht t p: / / dx . do i . o r g / 10 . 11 55 / 201 4/ 2 7989 1.     [ 14]   J .   N o c e da l   a nd   S . J .   W r i g ht ,   N um e r i c a l   O p t i m i z a t i o n ,   S pr i nge r ,   N e w   Y o r k,   20 06.   [ 15]   W .   S u a nd   Y . X .   Y ua n ,   O pt i m i z a t i o T he o r y   a nd  M e t ho ds :   N o nl i n e a r   P r o g r a m m i ng ,   Sp r i nge r ,   N e w   Y o r k,   20 06 .   [ 16]   M .   Y .   W a z i r i   a nd   S .   J a m i l u,   ( 2 015 ) .   A   D e r i v a t i v e - F r e e   C o n j ug a t e   G r a d i e n t   M e t ho a n I t s   G l o ba l   C o nv e r g e nc e   f o r   S o l v i ng   S y m m e t r i c   N o nl i ne a r   E qua t i o ns ,   I nt e r nat i on al   J ou r na l   o f   M a t he m at i c s   and   M at he m at i c al   Sc i e nc e s ,   3 9:   A r t i c l e   I D   961487 ,   10  pa g e s .   [ 17]   M .   K .   D a ud a ,   M us t a f a   M a m a t ,   M o ha m a A f e nde e   M o ha m e d,   F a t m a   S u s i l a w a t i   M o ha m a a nd  M . Y .   W a z i r i ,   ( 2 017 ) .   D e r i v e d   C o nj ug a t e   G r a d i e nt   P a r a m e t e r   f o r   S o l v i ng   S y m m e t r i c   S y s t e m s   o f   N o nl i n e a r   E qu a t i o ns ,   F ar   E as t   J o ur na l   o f   M a t he m at i c a l   Sc i e nc e s   ( F J M S) ,   102   ( 11 ) 259 9 - 2610 .   [ 18]   S .   B a ba i e - K a f a k i ,   A   m o di f i e B F G S   a l g o r i t hm   b a s e o a   hy br i s e c a nt   e qua t i o n,   S c i .   C h i na   M a t h .   5 ( 2011 ) ,   pp .   2019 2036 .   [ 19]   S .   B a b a i e - K a f a k i ,   M .   F a t e m i ,   a n N .   M a hd a v i - A m i r i ,   T w o   e f f e c t i v e   hy br i d   c o nj ug a t e   g r a di e nt   a l g o r i t hm s   ba s e d   o m o di f i e B F G S   u pda t e s ,   N um e r .   A l go r .   5 8   ( 201 1) ,   pp.   3 15 3 31.   [ 20]   S .   B .   K a f a ki ,   A   hy br i c o nj ug a t e   g r a d i e n t   m e t ho ba s e d   o a   qua d r a t i c   r e l a x a t i o o f   t he   D a i - Y ua hy br i c o nj ug a t e   g r a di e nt   p a r a m e t e r ,   A   J our nal   of   M a t he m at i c al   P r og r am m i n g   an d   O pe r a t i ons   R e s e ar c h,   V o l .   62 ,   N o . 7 ,   92 9 - 941,   ( 201 1) .   [ 21]   M .   K .   D a ud a ,   M us t a f a   M a m a t ,   M .   Y .   W a z i r i ,   F a d hi l a   A hm a a nd   F a t m a   S us i l a w a t i   M o ha m a d,   ( 2 016 ) .   I ne xa c t   C G - M e t ho v i a   S R U pd a t e   f o r   S o l v i ng   S y s t e m s   o f   N o nl i ne a r   E qua t i o ns ,   F ar   E a s t   J ou r na l   o f   M a t he m at i c a l   Sc i e nc e s   ( F J M S)   100 ,   ( 11 )   1787 - 18 04.   [ 22]   D .   H .   L i   a nd   M .   F uk u s hi m a ,   A   d e r i v a t i v e - f r e e   l i ne   s e a r c h   a nd   g l o ba l   c o nv e r g e nc e   o f   B r oy de n - l i k e   m e t ho ds   f o r   no nl i n e a r   e qua t i o ns ,   O pt i m i z a t i on  M e t h ods   an Sof t w ar e ,   1 ( 20 00) ,   181 - 201 .   [ 23]   M . K .   D a uda ,   M us t a f a   M a m a t ,   M . Y .   W a z i r i ,   F a dhi l a A hm a a nd   F a t m a   S us i l a w a t i   M o ha m a d,   ( 20 16) ,   I m pr ov e d   Q uas i - N e w t on  M e t h od   V i a   P SB   U p dat e   f or   S ol v i n g   Sy s t e m s   o f   N o nl i ne ar   e quat i on s ,   A I P   C o nf e r e nc e   P r o c e e di ng s   ( I C O Q S I A   2016) ,   17 82,   0 3000 ( 20 16) ;   do i :   10. 10 63 / 1. 4966 066 .   [ 24]   E .   D o l a n   a nd   J .   M o r ´ e ,   B e nc hm a r ki ng   o pt i m i z a t i o s o f t w a r e   w i t h   p e r f o r m a nc e   pr o f i l e s ,   M a t h .   P r ogr am .   Se r .   A ,   91   ( 200 2) ,   201 - 213 .     [ 25]   Y . H .   D a i   a nd   Y .   Y ua n ,   A e f f i c i e n t   hy br i c o nj ug a t e   g r a di e n t   m e t ho f o r   unc o ns t r a i ne d   o pt i m i z a t i o n,   A nn.   O pe r .   R e s .   1 03   ( 2 001 ) ,   pp .   33 47.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.