Int ern at i onal  Journ al of  P ower E le ctr on i cs a n d  Drive  S ystem   (I J PE D S )   Vo l.   11 ,  No.   3 ,  Septem be r   2020 , pp.  12 8 7 ~ 12 9 7   IS S N:  20 88 - 8694 ,  DOI: 10 .11 591/ ij peds . v 1 1 .i 3 . pp 12 8 7 - 12 9 7           1287       Journ al  h om e page :  http: // ij pe ds .i aescore.c om   Full ve rsus d ecou pled c onstant ma trices to  sp eed up  power  system stat e esti mation       Merie m  Majd ou b 1 ,  Bo uchr a Che dd ad i 2 , Om ar Sab ri 3 , Abdelaziz  Bel fqi h 4 , Jam al Bo ukher ouaa 5   1,4,5   La bora tory  o f  Elec tr ic Sys tems a nd  Ene rgy ,   ENSEM,  Univer sity  Hass an  II   of   Casablanc a, Moroc co   2,3   La bora tory  RI TM,   EST ,   Univ e rsity  Hass an  II   o f  Casablanc a, Moroc co       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved  J ul  15, 2 019   Re vised Ma r 1 8,   2020   Accepte d Apr  13, 202 0     Thi s  pap er  pr ese nts  a   per for mance   evalua t ion  of  two  solut ion s  to  red u ce   com put at ion al  b urde n  o f  the  traditi ona l   W ei ght e d  L ea st   Squar es  Algori thm  for  power   sys tem  st at e   esti m at i on:  Simp li fi ed   me thods   SWLS 1  /   SWLS2   base d  on   ful l  consta nt   m at ri c es  and   Fast   de coupl ed   FD WLS   base d   on   dec oupl ed  const ant   m at ri ce s.   Fir st,  the  al gor it h ms  were   t este d  on  IEE E   14   and  118  bus  trans mi ss ion  sys te ms.  Second ,   the  soluti ons  were   te sted  on  a   rura l  d istri but io n  fee d er  to   ev aluate  the  response  of  th e  al gori th ms  to  high   R/X  ra ti o.   R esul ts  show   th at  fo r   tra nsmiss ion   sys te ms,   FD WL S   is  th e  f aste st   me thod   but  m ore   sensit ive  t o  err oneous   m ea surem ent s.   Si mpl ifica ti ons  conside red   in   FD WL S,  are  not   val id   in   distri bu ti on  sys tems  wit h  high   R/X   rat io  thi s  resul ts  in  slowing  down  the   al go rit hm  conve rge nce   spee d   co nsidera b ly  co mpa red   to   SWL S2  which  p erf or ms  well.  SW LS2  al gor it hm   pre sents  a  pro mis ing  soluti on   to   red uce  co mputat ion  t im e   for   app li c at ion   in   future   sm art gri d .   Ke yw or d s :   Decou pled  c on sta nt matrice s   Fu ll  consta nt  matri ces   Power syste m  sta te  esti mati on   Wei ghte d  le ast  squar e s  al gorithm   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  BY - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   M eriem   M aj do ub,    Lab or at or y of   Ele ct ric Sy ste ms a nd En e r gy, E NS E M   ENS E M ,  Uni ve rsity  Hassa n I I of  Casa blanc a,    ENS E M ,  El Ja did a R oa d,   km  7,  BP:  81 18, O asi s  –   Ca sa bla nca, M orocc o.   Emai l:  majdou b. me riem @gm ai l.com       1.   INTROD U CTION   Re centl y,   the  powe r  sy ste m  is  underg oing  big   c hanges  due  to  the  massi ve  integ rati on  of   ren e wa ble   energ y  re sourc es  to  tra nsmi ssion   a nd d ist rib ution  syst ems w hic h  le ad s  to a  com plex   bi directi on al  pow e r  fl ow .   This  c onjuctu r e  incit es  re sea rch e rs  t o  im prov e   the   s peed  an d  reli abili ty  of  sta te   est imat ion  al gorit hm s   to   ens ur e a n  e ff ic ie nt r eal  ti me  monit or i ng of  f utur S mat G rid .   The  weig hte d  le ast - squares   ( WLS )  meth od  is  the  most   Sta te   Esti mati on  Algorith m  us e d  i n  c ontrol   centers  al l  ove r  the  w orl d.   In  fact,  WL S  st a te   est imat ion   al gorithm  prov i des  the  best  es ti mati on   qual it y  an d  good  c onve r ge nce  rate.   H owe ver,  t he  gain   a nd  Jac ob ia n  m at rices  nee d  to   be  recalc ulate d  each   it erati on  wh ic h  needs  a  la r ge   amo un t  of   c al culat ion ,  a  bi g  mem ory  re qu i reme nt  an d  long  c ompu ti ng   t ime  [1].   On e  of    the  majo r  so l ution s p r opos e d  i n  li te ratur e  to  c ircum ve nt  the co m pu ta ti onal  b ur den   is  the F ast - dec oupled  WLS   (F D WL S)  te chn i qu e   based  on  dec ouple d  c onsta nt  m at rices  [ 1 - 5]  as  use d  to   s peed  up  loa d  flo w     cal culat ion   [6 - 8].  T he  fa st - de coupled   f ormu la ti on   ha s  pr oven  it s  ef fici enc y  to   re du ce   co mputat ion   ti m e  an d  data  sto rag e   a nd  has   f ound  wide  acce ptan ce  in  the  i ndust ry ,   va rio us   ve rsions  hav e   be en  im plement ed  in   con t ro l  ce nter s   al l  over   the   w or l d  [4].  H owe ver,  the   decou pled   meth od  m ay  fail   to  pro v i de  a   s olu ti on  on  il l - conditi on e d  syst ems  as  high   R/ X  rati o  of  di stribu ti on  br a nch e s  or  in  pr esence  of  er r oneo us  meas ur e ments.   Ther e f or e,   it   w il l  be  inte resti ng  t o  de velo p  te chn i qu e s  wh ic h  e nsure   a  co mpro mise  between  the   reli a bili ty  of   fu ll  W ei ghte d  Least   Squa res  Algorith m  a nd Converge nce  s peed  of f ast   de coupled   W LS an d  able  t o  ov e rcome   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  Dr i   S ys t ,   V ol .  1 1 , N o.   3 ,  Se ptembe r   2020   :    12 8 7   –   12 9 7   1288   li mit at ion s  dis cusse d  a bove.  A uthors  of  [ 5],  pr opos e d  t wo  va riants  of  WLS  meth od  with  f ull  c onsta nt  matri ces  (SW LS1   a nd  S WL S2 )   ba sed  on  Dishone st  Ga uss  Ne wton  M e thod  us ed   f o r  Loa d  Flo w  [2,  9 - 11]  t o  reduce  cal cula ti on   ti me  with ou t  decou pled   simpli ficat ions.  Th ough  the   pr i nciple  of  t hese  met hods   is  ver y  popula r, fe w  st ud ie s a nal ys ed   it s co nver ge nc e p er f ormances  [ 5,  12 - 15] on  Transmi ssio n  s ys te ms a nd  no  study  app l y  it   be fore   to   a   distri bu ti on  s ys te m.   T hi s  arti cl e  is   the   first  one  e xplo rin g  t he  pe rformance   of  f ull  ver s us  decou pled  c onsta nt  matri ces   on   distrib ution   s ys te m  sta te   est imat ion   with  W LS  al gorithm .  The  rest  o f     the  pa per  is  or gan iz e d  as  fo ll ow :  S ect ion   2  pr ese nts  a  des cri ptio n  of  th e   tradit iona l  we igh te d  le ast   squares   al gorithm   an d  the  al te r native   s olu ti ons   to   r edu ce   c omp utati on al   bur den.   T he  al gorith ms  st ud ie d  are   te ste d  bo t h  on  tra ns m issi on   a nd  distrib ution  syst ems,  e mp l oy i ng  accu rate  an d  e rron e ous  meas ur e ments.   Sim ulati on  resu lt s a re  pr es ented  a nd  disc us se d  in  Secti on3. T he mai n f ind in gs o f  the   pap e r  a re as  foll ow s:   -   Fo r  Tra ns missi on   Sy ste ms,  F DWLS  based   on   dec oupled  c on sta nt  matri c es  is  the  best  method,  it   is  2  to   5  ti mes  faster  than ba sic  W L S  and  requires  hal f  sto rag e  c ap aci ty.   -   SWL S1   meth od  c on si der i ng  const ant  Jac obia n  matri x  on l y  is  no t  reli abl e  an d  do es   not   represe nts  a ny  adv a ntage  on r edu ci ng com puta ti on  ti me.   -   Fo r   distri bu ti on  s ys te ms,   F D WLS  base d  on   dec oupled   co nst ant  matri ces  conve rg es   slo wly  a nd  re quir es   high  it er at ion s   numb e r  w hile  the  SWL S2   al gorithm  e valua ti ng   the  Jac obia n  an d  gain  m at rices  on ce  a t   the  flat   sta rt  is   2  ti mes  faster   tha n  basic  W LS  with  t he  sa me  reli a bili ty  wh ic h  make   it   le ss  se ns it ive  to   erron e ous  mea su re ments  a nd   high  R/ X  rati o  com par e d  to  FDWLS.   The r efore,  S WLS 2  pr ese nts  a  go od   al te rn at ive to  re du ce  comp uta ti on  ti me i n  f ut ur e  po wer   sy st ems.       2.   WEIGHT ED   LE AS T SQ U AR ES  A L GO RITH MS   2.1.   Basic al go ri thm   The  Net wor k  model  empl oyed  is  the  sin gl e - phase  m od e l  with  N  bus es  and   m  me asur e ments   gathe red  f rom   rem ote  mete r s.  M ost   c om m on l y  us e d  me asur e ments   ar e  the  li ne   power  fl ow s ,  bu s  po wer  injec ti on s a nd  bu s  volt age  ma gn it udes .   The  ai m  of   sta te   est imat or   is  to  pro vid e  t he  best  possi ble  va lues  of  the  bu s  volt age  ma gnit ud e s  an d  ang le s  by pr oc essing t he  a vai la ble   netw ork   data rec ognizin g  that t her e  are  erro rs  in  the  m easur e d q uan ti t ie s.   The  sta rting eq uation f or the   WLS  stat e esti mati on  al gorith m is [4,  16 - 18] :       =   ℎ ( )   +       (1)     Wh e re: z is t he  ( m x1) mea s urement  vecto r;   x  is   an   (nx 1)  sta te   ve ct or  t o  be   est ima te d:  T he  num be r  of  est imat ed   sta te s  is  n= 2*N - 1,  since     the b al a nce  ph ase’s is al ready  know n  ϴ =0 .   e is an  ( m x1)   measu reme nt e rror vect or .   h  is t he vect or  of no nlinear  f unct ions t hat  rel at e the stat es to  the mea surem ents  def ine d:   Re al  an d R eact ive po wer i nje ct ion  at  bus i:      =  ∑  (  +   ) ≠   (2)    =  ∑  (   +     ) ≠   (3)     Re al  an d react i ve powe r  fl ow  from b us  i t o b us  j:        =  2 (  +  ) −  (  +  )     (4)    = −  2 (  +  ) −  (  −  )     (5)     Wh e re:   Vi  is t he vo lt a ge  magnit ude at  bu s  i   θi   is t he ph a se  ang le  at  bus i    =  −      Gij + jBi j   is t he  ij th element  of the  Y - bus  m at rix   gij +  j bij   is t he  ad mit ta nce  of  the series  bran ch betwee n bus i an d b us  j   gs i +  jbsj   is t he  ad mit ta nce  of the  shu nt bra nch at b us i .   In   pr act ic e,  it   is  require d  to  ha ve  the  numb e r  of  meas ur e m ents  la rg e r  tha n  num ber   of  sta te s,  this  is  cal le d  re dunda ncy  [ 19].  S o,   s ta te   est imat or   can  c on si der  the  var i ou s   ope rati on  la youts  us e d  an d  t o  c over  f or  the  una vaila bili ty  of  tran smis sion   a nd  te le m et ering   e quip ment  fail ures  [ 20].   A  m easu r e  of   t he  redu ndanc y  may be  de no te d by the  re dundanc y fact or  ɳ, w hich  is  d e fin ed  as  [21]:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N:  20 88 - 8 694       Full vers us   dec oupled  const ant ma tri ces t o  s pe ed up p ower  s yst em  state e sti ma ti on  ( Meri e m  M ajdo ub )   1289   =                 = = 2 − 1   (6)     The me asu rem ent er rors  ei  a r e assume d t o s at isfy  the  foll owin g  sta ti sti cal  propertie s:    First,  t he  e rrors  ha ve  z er o  m ean:  E (ei)  =   0,  i  =  1,  . ..,  m.   Sec ond,  the   error s   are   ass ume d  to  b e  ind e pende nt,  s uch that t he  c ovaria nce m at rix  is  diag onal :     Cov(e)  = E (e,   e T )  = R =  d ia g { σ 1 2 ,  σ 2 2 , …, σ m 2 }    (7)     The  s olu ti on  to  the  sta te   est imat ion   pro blem  can  be  f or m ulate d  as  a  mi nimiza ti on   of   t he  f ollow i ng   ob je ct ive  fun ct ion :   ( ) = ∑ ( − ℎ ( ) ) 2  = [ − ℎ ( ) ] − 1 [ − ℎ ( ) ] = 1     (8)     To   fin d  the   minimi zat ion  of  this   obje ct ive  functi on  t he  de rivati ve   sho uld  be  s et   to  z er o.    The deri vative  of the  obje ct ive fun ct io n  is  de no te d by g( x) :     ( ) =  ( )  = −   ( ) − 1 [ − ℎ ( ) ] = 0   (9)     wh e re:  H(x) =   ∂ h(x )/∂ x, ca ll ed  the  meas ur e ment Jac obia n mat rix.   Ign or in g  the   hi gh e r  orde r  te r ms  of  t he  T ay lor   series   e xp a ns io n  of  t he   de rivati ve   of   th e  obje ct ive   functi ons  yield s an i te rati ve  s olu ti on as  sho wn b el ow :     + 1     = + [ ( ) ] − 1 [ [ ( ) ] [ ] − 1 [ − ℎ ( ) ] ]   (10)     Whe re t he gain  matrix , G, is  de fine d  as:   ( ) =  ( )  = − 1   (11)     Fo r  t he  first  it erati on  o f  t he  opti miza ti on   pr ob le m ,  an  i niti al   gu ess h as  to b e  ma de  f or   th e  sta te   vecto r   x0  co rr e spo nding   t o  t he  flat   volt age  pro file ,  or  flat   sta rt .  A   flat   sta rt  ref e rs  to   a  sta te   vecto r  whe re  al l    the  vo lt age   ma gn it udes   are   1. 0  per  un it   a nd  al l  the  volt ag e  an gles  a re  0  de gr ee s.  With   res pect  to   the   sta te   vecto r:  the  me asur e ment  f unct ion s,  Jaco bia n  a nd   gai n  mat rices  are  cal c ul at ed  each   it erati on   unti l  the  ab so lute   diff e re nce  between  tw o  s ucc essive  values   of  x  is  le ss   tha n  a  c ho se n  toler ance   ɛ .  WLS   fl ow c ha rt  prese nt ed  in   Figure  1, res ume s the  princi pal steps  of t he  algorit hm.           Figure  1. Ba sic  W L S f l ow c ha rt   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  Dr i   S ys t ,   V ol .  1 1 , N o.   3 ,  Se ptembe r   2020   :    12 8 7   –   12 9 7   1290   2.2.   Simpl ifie d a l gori th m s w i th   f ull  co ns tant  m at ri ces   M ost ly,   it   is  obser ve d  t hat  t he   el eme nts  of  Jaco bian   an d  ga in  m at rices  do  not  si gn i f ic antly  c ha nge   betwee n  flat   st art  init ia li zat io n  an d  t he  co nver ge d  so l utio n  [ 5].  S o,   t heir  eval uation  c ou l d  be   restrai ned   t o  so me   fi rst  it er at ion s   with out  al te rin g  t he  est imat ion   qua li ty.  Ba sed   on  this  pri nciple   tw o  meth od s   ha ve   emer ged :  SWL S1  a nd S WL S 2.     2.2.1.   The first  simp li fied meth od  SWLS1   The   first   sim plifie d  meth od  ( SWL S1)  cal c ul at es  the  Jaco bi an  matri x  at   e very   it erati on  bu t   prese rv es   the  gai n  matri x  c on sta nt  afte r  an   it erati on   k  ch os en   as  pr e sented  i n  Fi gure  2.  T he  obvi ou s   ad va ntage  of   t his   method is  to  re du ce  the  num be r of  calc ulati ons  of the  gain   matri x.     2.2.2.   The seco nd  si mpli fied met h od   SWLS 2   The  sec ond  me thod  S WLS 2  a dm it s  that  t he  gain  a nd  the   Ja cob ia n  mat rices  remai n  c on st ant  after   an   it erati on   k  c hosen  as  prese nted  in  Fig ure  3  [ 5,   13 - 15] .             Figure  2. S WL S1   flo wc har t     Figure  3. S WL S2   flo wc har t       2.3.   Fast dec oupl ed w ei gh t ed le ast sq ua re s  algorithm  ( F DW LS)   The  pr i nciple   of   Fast  D ecoupled   Stat e  Esti mati on  Tech niques   consi sts  on   exp l oiti ng    the  act ive/r eac ti ve  decou plin g  pro per t y  bas ed  on   fast   dec oup le d  l oad  fl ow  met hods  [ 2,  9 - 11].  I nde ed,  f or  la rg e   scal e   po wer  s ys te ms   th e  tra ns missi on  li nes   hav e   a   ve ry  high   X/R   r at io.  In  s uc h  a   case,  the  real  powe r  changes  a re  le ss  sensiti ve  to  c hanges  in  volt age  ma gn it ude  and   ca n  be   ignore d.   Simi la rl y,  the  reacti ve  powe r   change  is  le ss   sensiti ve  to   c hanges  i n  a ng l es.  M a ki ng   t he se  simpli ficat ion s ,  the  gain  matri x  in   W L S  sta te  est imat ion  alg ori thm ca n be  simpli fied  [1 0 - 11] .    In   the  dec oupl ed  f ormulat io n,  the  meas ur e ment  vect or   Z  is  portion e d  in to  two  par ts:   a ct ive  ZA  a nd  reacti ve  ZR c omp on e nts  [2 - 4].     Z= (   )   , Z A = (    )   , Z R   = (   )   (12)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N:  20 88 - 8 694       Full vers us   dec oupled  const ant ma tri ces t o  s pe ed up p ower  s yst em  state e sti ma ti on  ( Meri e m  M ajdo ub )   1291   Wh e re:   Pinj,  Qinj: are   resp ect ivel y re al  an d react ive   powe r  injec ti on mea sureme nt s.   Pf lo w,   Q flo w:  are r e sp ect ivel y real  and  react ive po wer flo w   meas ur eme nts .   V: Volt age  me asur e ments .   By the  d e finiti on abo ve  the  J acob ia n  m at rix  H ,  and c ovaria nce m at rix  R  c an be  wr it te n  a s:   H= [     ]   , R= [ 0 0 ]   (13)     Ba sed  on   P - ϴ   an d  Q - V  dec ouplin g,  the   off - dia gonal  bl ocks     a nd     in   t he   meas ure ment   ja cob ia n H  are   ignore d:     H= [  0 0  ]   (14)      The n  the  g ai n mat rix  is e xpre ssed  as  foll ow:     G= [  0 0  ]   (15)     Wh e re:    =  − 1    (16)    =  − 1    (17)     Seve ral  ve rsions  of   t he  fast - decou pled  sta t e  est imat or   ha ve  been  pro po sed  in   li te rature  de pendin g  upon  the   ass umpti ons  a nd  a ppr ox imat io ns  adopted .  T he  ver si on  rec ogni zed  as  present ing   best  pe rformanc e   has  t he  f ollo wing f eat ur es  [2] :   -   The  Jac ob ia n  and   gain  matri ces  are  eval ua te d  on ce,  at   th e  flat   vo lt age  sta rt:  al l  V=1   p.u  an d  ϴ   =  0  degrees.   -   The  branc h  ser ie s  resist ance s ar e  ig nore d  in  f ormin g  the   el ements of  t he  Ja cob ia n  H, wh ic h  is   eq uiv al e nt   to  re placi ng  br anch  s us ce ptan ces  bij  by  -   1  /  xij.  Wh e re  xij  i s  the   reacta nce   of  t he  se ri es  branc h  betwee n  bu s  i a nd bus  j.   -   A  tra nsfo rme d  meas ur e ment   vect or s   Z A’  an d  ZR’   are   us e d  by   di vid in g  t he  flo w   an d  injec ti on   measu reme nts  by the c orres pondin g  cal c ulate d vo lt age  ma gnit ud e .   -   Fo r  bet te r  co nv erg e nce c ha rac te risti cs, a b l oc k  se quentia l so luti on   sche me i s u se d w her ei n:      ∆ =    (18)   TA= HAA T *RA - 1 * Δ ZA ’   (19)   ΔZA’= (Z A - hA)/V   (20)     hA is the  v ect or  of  acti ve  mea su re ments  fun c ti on s.   ∆   is sol ved an d  t he update d  ′   are  u se d  i n  the  RHS of :      ∆ =    (21)     Wh ic h  is t hen  so lve d for  ∆ .   TR= HRR T *RR - 1 *ΔZ R ’   (22)   ΔZR’ =(ZR - hR ) /V   (23)     hR is the  v ect or  of   reacti ve m easur e ments  fu nctions.   Fo r   m ore  deta il s,  ab ou t   ho w   to   cal culat e  t he  el eme nts   of   the   fast - dec ouple d  Ja co bian ,  rea de r  ca n  ref e r  to  [2 - 4].  Algorith m step s ar e  de picte d  i n  Fi gure  4:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  Dr i   S ys t ,   V ol .  1 1 , N o.   3 ,  Se ptembe r   2020   :    12 8 7   –   12 9 7   1292       Figure  4.  F DWLS f l ow c ha rt       3.   SIMULATI O N RESULTS   The   obje ct ive   of   this   sect ion  is   to   c ompare   the   perf orma nce  of  t he   Weig hted   Le ast   S qu a res   Algorith ms  de scribe d  i n  t he   pre vious  Sec ti on :  Ba sic   W LS,   S WLS 1,  SWL S2  a nd  FDWLS   in   te rms  of  com pu ta ti on ti me, c onve rg e nc e rate, esti mat ion   qual it y  a nd num ber o f  it er at ion s.     3.1.   Descripti on   of  simul ati on s   The  fou r  al gor it hm s  hav e   bee n  te ste d  on  th r ee  stu dy   cases  IEEE  14,  118  bu s   s ys te ms  a nd  a  12 - bus   rural distrib ution  s ys te m   un de r  tw o  sce nar i os:   I n  s ce na rio   1,  acc ur at e   mea su re ments   e qual   to  l oad flow r esults   hav e   been  em pl oy e d.  I n  scena rio   2,  measu re ments   we re  al t ered  by  a   noise   of  10%   to   eva luate   the   res po ns e  of   the stu died  alg or it hms t o er roneous  meas ur e ments.   Fo r   IE EE  bus  sy ste ms ,  the  ne twork  data  file s  can  be  dow nlo a ded  f rom  Power  Syst em s  Test   Ca se   Ar c hiv e  [22].   To  c ompare t he  stat e esti mate  accurac y of  t he  f ollo wing si mu la ti ons,  mea n  ab so l ute p e rc entage e rror  (MAPE )  is i ntr oduce d  as  foll ow [2 3] :       = 1   ∑ | − | × 100% = 1   (24)     Wh e re,   X   is  the  tr ue  value  of  s ys te m  sta te   ob ta ine d  from   load  flo w  resu l ts  and  Xe   is  th e  est imat ed   sta te . A  s mall er  value of   M A PE in dicat es a  more acc ur at e  sta te  esti mati on   resu lt .   M A PE V: mea n  a bsolute  per c entage e sti mati on er ror of  volt age m a gnit ude.   M A PE ϴ: m ea n  a bsolute  per c entage e sti mati on er ror of  volt age a ng le .   The  sim plifie d  al gorithms  ha ve  bee n  te ste d  for  di ff e ren t  value  of   t he  it erati on   k  f r om  wh ic h  just     the  gain   matri x  is   c on si der e d  c onsta nt   S WLS 1  or  t he   gain   an d  Jac obia n  matri ces   are  c onsta nt   ( SWL S2 ).  Conver ge nce t olera nce  us ed  i n  the se test s is:  ɛ=1 0 - 4 for  both  vo lt age  ma gnit ud e  and  volt age a ng le   sta te s.     3.2.   Te st  syste ms    Fo r   al l   te st  cas es,  meas ur eme nts  we re  set   to  ensure  a  re dund a nc y  facto r  >1.   T hey   wer e   cho se n  of   diff e re nt  typ es   and   unifo rml y  distri bute d  th r ough  the  netw ork  to  e nsure  obser va bili ty  [16,   17].   Weig ht   of   al l  measu reme nts  is assu med  1.     a.   IEEE 1 4 bus s ys te m:   Fo r  IEEE  14  bus s ys te m  test  case, a set  of  41 mea sureme nt s ( η = 1,5) i s c hose n  as:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N:  20 88 - 8 694       Full vers us   dec oupled  const ant ma tri ces t o  s pe ed up p ower  s yst em  state e sti ma ti on  ( Meri e m  M ajdo ub )   1293   -   1 vo lt age  ma gnit ud e  at b us 1 .   -   8 real  po wer   i nj ect ion s a nd 8 r eact ive powe r  i nject ion s  at b use s: 2, 3 , 7, 8,   10, 11,  12, 14.   -   12   real  power  flo w  a nd   12  reacti ve  po wer  flo w  on  bran ches:  1 - 2,   2 - 3,  4 - 2,   4 - 7,  4 - 9,  5 - 2,   5 - 4,  5 - 6,     6 - 13, 7 - 9, 11 - 6, 12 - 13.     b.   IEEE 1 18 bus   sy ste m:   A  set   of 72 6  m easur e ments   (η  = 3)   is  chose n a f ollow :   -   118 v oltage  m agn it udes  for a ll  b us es .   -   118 real   power i nject ion s  and  118 react ive  powe r  i nject ion s  for  all   buses.   -   186 real   power flo w  a nd  186 r eact ive powe r flo w  f or all  n et work bra nch e s.     c.   12 bus dist ri buti on  s ys te m:   A  ph ys ic al ly  e xi sti ng   rural  di stribu ti on  Fee der   [24]   is  c onside red.  Fig ure  5  s hows  t he   sing le - li ne   diag ram  of   t he   sy ste m ,  w he re   node  1  is  t he  s ub sta ti on.  The  sy ste m  data  in cl ud in g  li ne  da ta   and   l oad  dat a  can   be fo und i n [25 ].           Figure  5. Sin gl e - li ne diag ram of  the  12 - bus  di stribu ti on s ys t em.       A  set   of 25  me asur e ments  ( η  =1,1)  is ch os e n as f ollo w:    -   1 vo lt age  ma gnit ud e  at b us 1 .   -   1 real  po wer  i nj ect ion  a nd 1 r eact ive powe r  i nject ion   at  bus 1.   -   11 r eal   powe r f low  a nd  11 r ea ct ive pow e r flo w  f or all  n et work branc hes .     3.3.   Results  of sc e na ri o 1  (accur at e  mea surem ents)   In  this  sect io n,   WL S  al go r it hm s  hav e   be en  te ste d  with   accu rate  mea su re ments   eq ua l  to  loa d    flo w  re su lt s.      3.3.1.   Simul at i on  re sults  fo r  IEEE  14 bus sys tem   As  see n  i n  Ta bl e 1 :   FDWLS  is  t he  fastest   meth od   even   i f  num be r   of   it erati ons  is   increase d  c ompare d  to  t he  ba sic   WLS.  FDWLS  so l ution cha nges sli gh tl y b ut  pr eci sion remai ns   good.   SWL S1  do es   not  c onve rg e   at   flat   sta rt   ( k=1) ,  for   k= 2  num ber  of  it erati on s  a nd  c omp utati on  ti me  is   increase d  c ompare d  t o  the  o t her met ho ds . T he  s olu ti on is t he  sa me as Bas ic  W LS .   SWL S2  a pp li e d  at   flat   sta rt   ( k=1)   co nver ge s  in   half   ti me  com par e d  to   t he   basic   WLS   with   a  good   qu al it y o f  est i mati on  e ve n  if   numb e r of i te r at ion s  require d i s imp or ta nt c ompare d  t o  the  o the r met hods.       Table  1.   Per for ma nce e val uation o f WLS  alg or it hms  for IE EE 14  bus s ys t em un der scen ario 1   Alg o rithm   Co m p u tatio n  tim e  (secon d s)   Iter atio n s n u m b er   MAPE V ( %)   MAPE ϴ ( %)   Bas ic WLS   0 .00 4 5 4 1   4   1 .28   2 .41   SW LS1 (k=1 )   Prog ram  do es n o t  co n v erge    SW LS1 (k=2 )   0 .00 5 7 5 1   7   1 .28   2 .41   SW LS1 (k=3 )   0 .00 4 1 0 2   4   1 .28   2 .41   SW LS2 (k=1 )   0 .00 2 1 1 3   8   0 .57   0 .87   SW LS2 (k=2 )   0 .00 2 5 5 0   4   1 .33   2 .5   SW LS2 (k=3 )   0 .00 3 5 4 5   4   1 .28   2 .41   FDW LS   0 .00 1 4 1 8   6   0 .34   0 .45       Figure  6  sho ws  t hat  F D W LS  a nd  S WL S2  ( k=1)  a re  cl os er   to  t he  t ru e   val ue  t han  basic   W LS ,     the same  f ig ur e ap pear a nce  was ob ta i ned f or volt age a ngle .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  Dr i   S ys t ,   V ol .  1 1 , N o.   3 ,  Se ptembe r   2020   :    12 8 7   –   12 9 7   1294       Figure  6. Esti mate d vo lt a ge mag nitud e  (P. U)   by  dif fer e nt W L S alg or it hms f or IE EE  14  bu s     sy ste m  unde r  s ce nar i o 1       3.3.2.   Simul at i on  re sults  fo r  IEEE  118 bus  syste m   Accor ding  t o  Table  2:  he re  al so ,   S WLS 1  do e s  not  c onve rg e   f or  k= 1.  It  seem s  t hat  const ant  gain   matri x  ass ociat ed  t o  va riable  Jaco bian   ma y  l ead  t o  c onve r ge nce  pro blems.   F DWLS  co m pu ta ti on  ti me   i s  the   lowest.  Th e  all  meth ods  hav e   pro vid e d  a  good esti mati on  qual it y.       Table  2.   Per for mance e val uation o f WLS  alg or it hms  for IE EE 11 8 bus s yst em und e r  sce na rio 1       3.3.3.   Simul at i on  re sults  fo r  12 bu s distribu tio n  system   As  noti ced  i n  Table  3,  S W LS1   has  c onve rg e d  f or  k= 1  because   the  final  sta te   is  too   cl os e  to     the init ia l st at e (Basic  W L S c onve r ges on l y  i n 3 iterat io ns ) .   FDWLS   co nv erg e nce  sp ee d  slo wed  do w n  c ons ide rab l y  c ompare d  to  th e  oth e r  al gorithms.     The   so l utio n  of  F DWLS   is  t he   le ss   accu rate,  an d  th e p r ogra m r eq uire d  a h i gh  it erati on   nu mb e r  (60,5   a ga inst 3  for  the  basic  f ormulat io n).  S WLS 2  (k = 1),  conve rg e d  i n  le ss  ti me  an d  i ts  so luti on  is  accurate  as   th e  bas ic   WLS  ones.       Table  3.   Per for mance e val uation o f WLS  alg or it hms  for 12  bu s  d ist rib utio n  s ys te m  unde r  scena rio 1       Re su lt s  are  de picte d  in  Fi gur e  7:  the  dif fe re nces  be twee n  e sti mate d  volt ages  by  S WL S2(k = 1),  Ba sic   WLS  and t he  tr ue  values  are s o  s mall  that the y  ca nnot  be dis ti ng uis he d.     Alg o rithm   Co m p u tatio n  tim e  (secon d s)   Iter atio n s n u m b er   MAPE V ( %)   MAPE ϴ (% )   Bas ic WLS   0 .18 2 3 4 7   4   1 .79   1 .74   SW LS1 (k=1 )   Prog ram  do es n o t  co n v erge   SW LS1 (k=2 )   0 .26 5 6 2 9   7   1 .79   1 .74   SW LS1 (k=3 )   0 .15 6 1 2 7   4   1 .79   1 .74   SW LS2 (k=1 )   0 .08 4 7 2 6   10   1 .81   1 .13   SW LS2 (k=2 )   0 .09 8 5 1 8   5   1 .77   1 .72   SW LS2 (k=3 )   0 .13 5 4 9 5   4   1 .79   1 .74   FDW LS   0 .03 7 5 5 8   5   2 .07   1 .1   Alg o rithm   Co m p u tatio n  tim e  (secon d s)   Iter atio n s n u m b er   MAPE V ( %)   MAPE ϴ   (%)   Bas ic WLS   0 .00 2 2 0 1   3   0 .01   1 .02   SW LS1 (k=1 )   0 .00 3 6 0 1   5   0 .01   1 .02   SW LS1 (k=2 )   0 .00 2 0 2 1   3   0 .01   1 .02   SW LS2 (k=1 )   0 .00 1 5 4 5   5   0 .01   1 .02   SW LS2 (k=2 )   0 .00 1 9 0 6   3   0 .01   1 .02   FDW LS   0 .00 3 8 7 9   6 0 .5   0 .76   1 9 .87   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N:  20 88 - 8 694       Full vers us   dec oupled  const ant ma tri ces t o  s pe ed up p ower  s yst em  state e sti ma ti on  ( Meri e m  M ajdo ub )   1295       Figure  7. Esti mate d vo lt a ge mag nitud e  (P. U)   by  dif fer e nt W L S alg or it hms f or  12 bus dist rib ution s yst em  unde r  sce nar i o1       3.4.   Results  of sc e na ri o 2  ( err oneous  meas ure ments )   In   this  sect io n,  measu reme nts   wer e  al te re d  by  a  noise   of  10 %  to  evaluate  t he  res pons e  of   the  stud ie d  al gorithms t o  e rron e ous  meas ur e ments.     3.4.1.   Simul at i on  re sults  fo r  IEEE  14 bus sys tem   Table  4  sho ws  that  ba d  meas ureme nts  al te r  the  est imat io n  qual it y  f or   al l  WLS  al gorith ms.  S pecial ly ,   FDWLS   w hic h  pro vi ded  the   l ess  acc ur at e   sol ution .   Howe ve r,   FDWL S  m et hod  sti ll   con s ta ntly  the   faste st  one.  Fo r  this ca se,  S WLS 1 ha ve  fai le d  not  on l y  at   flat  start b ut al so   for  t he  sec ond i te rati on (k =2).   Accor ding  to   Figure  8,  All  WLS   al gorith ms  s olu ti ons  a re  fa r  from   th e  true   val ues.  The  FDWLS   curve   is  t he  f urt hest  w hile  B asi c  W LS   cu r ve  is   the   near e st  one   to   the   t ru e   values   c urve.   T ho s e  res ul ts  are    the in ver se  of t ho s e  ob ta ine d  i n  sce nar i o 1.       Table  4.   Per for mance e val uation o f WLS  A l gorithms  fo r  IEEE  14 bus sy ste m un der   sce nar i o2   Alg o rithm   Co m p u tatio n  tim e  (secon d s)   Iter atio n s n u m b er   MAPE V ( %)   MAPE ϴ   ( %)   Bas ic WLS   0 .00 5 8 5 8   5   7 .82   5 .07   SW LS1 (k=1 )   Prog ram  do es n o t  co n v erge   SW LS1 (k=2 )   Prog ram  do es n o t  co n v erge   SW LS1 (k=3 )   0 .00 5 2 6 6   5   7 .82   5 .07   SW LS2 (k=1 )   0 .00 2 3 9 1   8   9 .08   7 .32   SW LS2 (k=2 )   0 .00 3 1 2 7   5   7 .3   4 .17   SW LS2 (k=3 )   0 .00 3 5 4 5   4   7 .8   5 .04   FDW LS   0 .00 1 4 5 9   6 .5   9 .6   8 .15           Figure  8. Esti mate d vo lt a ge mag nitud e  (p. u)  by d if fer e nt  WLS  alg or it hms f or IE EE  14  bu s  s ys te m  unde r  scenari o2       3.4.2.   Simul at i on  re sults  fo r  IEEE  118 bus  syste m   Re su lt s  prese nted  i n  Ta ble  5,  are  le ss   af fected  by  no ise   co mp a red  to   the   pr e vious   case  I EEE  14  bu s   sy ste m,  es peci al ly  for  volt ag e  ang le   sta te .  In   fact,  the  set   of   meas urem ents  ch os e n  f or  this  stu died  m odel ,   pr ese nts  a   hi gh  re dundanc y  le vel  (η  = 3)  wh i ch  al lo wed  to  t he  WLS   Al gor it hm s  to   pro vi de  good  est im at ion .   SWL S1 has  conv e r ged f or k = 2  in  m or e  it erati on s  and c omp uting t ime c ompare d  t o  the  o t her al gorith ms.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  Dr i   S ys t ,   V ol .  1 1 , N o.   3 ,  Se ptembe r   2020   :    12 8 7   –   12 9 7   1296   Table  5.   Per for mance  Eval uation o f WLS  Al gori thms  for I EEE  118  B us  s ys te m  unde r  S cenari o2   Alg o rithm   Co m p u tatio n  tim e  (secon d s)   Iter atio n s n u m b er   MAPE V ( %)   MAPE ϴ   ( %)   Bas ic WLS   0 .18 4 7 4 7   4   6 .65   0 .99   SW LS1 (k=1 )   Prog ram  do es n o t  co n v erge   SW LS1 (k=2 )   0 .45 6 2 5 6   14   6 .66   0 .99   SW LS1 (k=3 )   0 .17 0 3 8 8   4   6 .65   0 .99   SW LS2 (k=1 )   0 .08 4 1 3 7   10   7 .27   1 .85   SW LS2 (k=2 )   0 .09 5 1 4 7   5   6 .54   0 .87   SW LS2 (k=3 )   0 .13 0 6 8 4   4   6 .66   0 .99   FDW LS   0 .04 1 3 4 3   5 .5   8 .37   2 .93       3.4.3.   Simul at i on  re sults  fo r  12 bu s distribu tio n  system   As  noti ced   in   Table  6,  her e   al so   t he  FDW LS  has   co nver ged  sl ow l y  wi th  high  it erati on  numb e rs.   Wh il e,  SWL S 2(k= 1), c onve rges in  reduce d  ti me compa re d  t o  the  b a sic  WL S, wit h  the  sa me r el ia bili ty.       Table  6.   Per for mance e val uation o f WLS  alg or it hms  for 12  bu s  d ist rib utio n  s ys te m  unde r  scena rio 2   Alg o rithm   Co m p u tatio n  tim e  (secon d s)   Iter atio n s n u m b er   MAPE V ( %)   MAPE ϴ   ( %)   Bas ic WLS   0 .00 2 9 3 4   4   1 0 .35   9 .07   SW LS1 (k=1 )   0 .00 5 5 3 6     9   1 0 .35   9 .06   SW LS1 (k=2 )   0 .00 2 8 0 1   4   1 0 .35   9 .07   SW LS2 (k=1 )   0 .00 1 6 0 2   6   1 0 .34   9 .08   SW LS2 (k=2 )   0 .00 2 2 0 8   4   1 0 .35   9 .07   FDW LS   0 .00 4 4 0 8   6 8 .5   9 .6   9 .11       4.   DISCU SSI ON    Applie d  on  tra ns missi on   sy st ems  with   lo w  R/ X  rati o,   FDWLS  is  t he  fas te st  WLS  Algo rithm.  It  is  2 - 5  ti mes  faster   than  basic  W LS  e ven  if  c onve r gen ce   re quires  half   to  t wo  it erati ons  more  tha n  bas ic   WLS   (simp li ficat io ns  ass ume d  di minish  t he  tr ue  qua dr at ic   conve rg e nce  pro per ti es  of   ba sic   WLS ).   F DWLS  requires  half  s tora ge  capaci t y  since  off  di agonal  el eme nt s  of   H  a nd   G  matri ces  a r e  neg le ct e d.   D ia gonal  Jaco bian   el em ents  a re  sim ple s  an d  co ntain   only   reacta nce  branc hes.  Howe ver,  a pp li e d  on  distri bu ti on   syst em   with  hi gh   R/ X   rati o,   F D WL S  was  t he  slo west  al gorith m  an d  re quire d  a  hu ge  it era ti on s  numb e r  because   assumpti ons c onside red are  b a sed o n  tra ns mi ssion sy ste m  fe at ur es  (acti ve/r eact ive d ec oupl ing ) .    SWL S1   al gori thm  do e s  no t   co nv e r ge  f or   first  it erati on s.  It  see ms  t hat  co ns ta nt  gain  matri x  associat ed  to  var ia ble  Jaco bi an  may  le a d  to  co nv e r gen c e  pro blems.  S WLS 1  is  not  reli able  an d  does  not   pr ese nt a ny advanta ges o n  re du ci ng comp ut at ion  ti me.   SWL S2   al go rithm  ap plied  a t  first  it erati o n  ( k=1),  requi res  the  e valua ti on   of  gai n  a nd   Jac obia n  matri ces  just  once  w hic h  re duces  c ompu ta ti on   ti me .  I ndee d,   S WL S2   ( k= 1)   is  2  ti mes  f ast er  tha n  basi c  WLS   even  it   re quire s  a  higher   it er at ion s  num ber.   S WLS 2(k= 1)  has  t he  sa me  c har act erist ic s  of  basic  WLS   wh ic h  make  it   le ss  se ns it ive  to   er roneous  meas ur e ments  a nd  high  R/ X  rati o  c ompa red  to  FDWLS   an d  it   c ould  be   app li ed  in dist r ibu ti on  netw ork  sta te  esti mati on.       5.   CONCL US I O N   This  pa per  has   prese nted   a  pe rformance   c omparis on  betwee n  t wo  s olu ti on s  to   re duce  c omp utati on al   bur den  of  tra di ti on al   Weig hted  Least   Squa re s  ( WLS )  Algo rithm:  S olu ti on  1  base d  on  f ull  co ns ta nt  m at rices  (simp li fie d  m et hods   S WL S 1  /  S WLS 2)  and  S olu ti on  2  based   on  de coupled   co nst ant  matri ces  (F ast   Decou pled  W LS  F D WLS ).   Algorith ms  ha ve  been  te ste d  on  th ree  stu dy  cases  IE EE  14,   118  bus   sy ste ms  a nd   a  12 - bu s   r ur al   distrib utio n  s ys te m.  For  ea ch  case,  simul at ion s  wer e  pe rformed  on  ac cur at e  a nd  er r on e ous  measu reme nts.     Simulat io n  re su lt s  ha ve   show n  t hat  the   pe rformance   of  F D WLS   al gorithm  de pe nds  on  th e   app li cat io n  e nvir onment:  a pp li ed  on  tra ns mi ssion  s ys te ms ,  FDWLS   is   the   fastest   W LS   Algorith m.   H oweve r,  on   distri bu ti on   sy ste m  with  hi gh   R/ X  rati o,  F DWLS  was  th e  slow est   a l gor it hm   an d  requi red   a   hu ge  it er at ion s  numb e r. The rfor e , FD WLS  is  not s uitable  fo r dist rib ution s ys te m stat e esti mati on .   SWL S2  ( k=1)   is  2  ti mes  fa ste r  tha n  basi c  WL S  with  t he  sa me  reli abili ty,  w hic h  make  it   le ss   sensiti ve  t o  e rron e ous  meas urements   an d  hi g h  R/ X   rati o  c ompa red  to   F D WLS .  T he refore ,  S WL S2  a pp l ie d  at   the  flat   sta rt  presents   a  good  al te r nativ e  to  reduce   com pu ta ti on  t ime  in  f utu re   distri bu ti on  sy ste m     sta te  esti mati on .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.