Int ern at i onal  Journ al of  P ower E le ctr on i cs a n d  Drive  S ystem s   ( IJ PEDS )   Vo l.   12 ,  No.   1 ,  M a r 202 1 , p p.  10 ~ 19   IS S N:  20 88 - 8694 ,  DOI: 10 .11 591/ ij peds . v12.i 1 . pp10 - 19          10       Journ al  h om e page :  http: // ij pe ds .i aescore.c om   On  fini te - time  ou tput fe edback sli ding mo de cont rol of an  elastic  multi - mo t or syst em       Pha m  Tu an  T ha n h 1 , Tr an   X ua n  Ti nh 2 ,  D ao P huong  Na m 3 , Da o  Sy L ua t 4 , Ng uyen  Ho n g Qu ang 5   1,2 Le   Quy   Don   Univer sity   of Technology,   Hano i,  Viet na m   3 Hanoi  Univer si t y  of  Sci ence and   Technol ogy ,   Ha noi,   Vi et n am   4 Dong Nai   Te ch nology  Univer si t y,   Bi ên  Hòa ,   Vi e tna m   5 Tha i   Nguyen  U nive rsity   of Technology,   Tha i   N guyen,   Vi et n am       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   J ul   28 , 2 0 20   Re vised  Jan  15 , 2021   Accepte d  Fe b   15 , 20 2 1       In  thi s  pape r ,   th e  tracki ng  con tr ol  sche m e  is  pre sente d  using  th e   fra me work   of  finite - ti m e  sl idi ng  mode  con trol   (SM C)  la w   and   high - g ai n   observe r  for   disturbe d/un ce rt ai n  mu lt i - mot or   drivi ng  sys tems  under   the  conside ra ti on   mul ti - ou tput  sys te ms.  The  con ver gence  ti m e  of  slidi ng   mod e  con trol  is   esti mated  in  co nnec t ion  with  linear   m at r ix  inequali t ie s  (LMIs) .   The  input   stat e   stabilit y   ( ISS )  of  proposed  con tro ller  w as  analyz ed  by   Lya punov   stabi lity  the ory .   Final ly,  th e  exte nsive  simu la t ion   result s   are  giv e n  to  v alidate  the   adva nt age s o f  proposed contr ol  design .   Ke yw or d s :   Finit e - ti me con trol   Linear  matri x i nequali ti es   M ulti - m otor s yst ems    Ou t pu t  fee db ac k  c on t ro l   Sli din g m od e  c on t ro l   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  BY - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Ngu yen Ho ng  Qu a ng,    Thai  Ngu yen  Un i ver sit y o f Te ch no l ogy,    666, 3/ 2  St reet,  Tich L uong  W ard, T hai Ng uyen  Ci ty  -   T hai  Ngu yen Pro vinc e, V ie tna m   Emai l:   qu a ng. nguye nhong@t nu t.e du. vn       1.   INTROD U CTION     M ulti - m otor  dri ve  s ys te ms   ha ve  been  em pl oy e d  i n  s ys te ms  m ovin g  pa per,  meta l,  ma te rial   bein g  qu it e  popula r   in  man uf a ct ur i ng  s ys te ms   an d  researc he d  by  man y  aut hor s  in   the   rece nt   ti mes.  The   c ontr ol  method  util iz e d  arti fici al   ne ur al   net wor k  ( ANN)   te c hn i que  has  bee n  pres ente d  by  B ou c hib a  et   al .,  [1].  Howe ver,  the   disad va ntage   is  to   in vestigat e   the   ap pro pr ia t e  net works  with  as so ci at ed   le arn i ng  r ules  i n  con t ro l   desig n.   Furthe r more,  t he  ef fec ti ven ess  of  tra ckin g  pro blem   or  the  sta bili zat ion   of   t he  ca scade  s ys te m  a re  not  sti ll   con side re d  unde r  the   in f luences   of  us i ng  ne ural   net w ork  a p proach.  Dominiq ue  K ni tt el ,   et   al . ,   pro po s ed  man y  li near   c on t ro ll ers  unde r  the  c on si derat ion   of  the  a ppr oximat e  model  of  m ulti - mo to r  sy ste ms  withou t   el ast ic ,  fr ic ti on   as  a   li near  s yst em  to   de sig n  the  c ontr oller  base d  on  the   tr ansf e r  f un ct io n  te ch nique   [2 ] ,   [ 3].  The   f rame wor k  of   the   cl assic al   PI  c ontroll er  a nd   H   in fin it y  to   el imi nat e  disturba nce  was     pro posed   in  th e   work  of  [2 ] ,   [ 3].  In  the   el as ti c  mu lt i - m otor  dr i ve  sy ste m s,  it   is   necess ary  to   est imat e  the   belt  te nsi on  to   est ablish  t he  a s so ci at ed   sta te   f eedb ac k  co ntr ol le r.  H owe ver ,   the d iffic ulti es o f   the   c on tr ol d esi gn   li e  in   th e  fact   that   meas ur e m ent  of  this   belt   te ns io n  by   us i ng  se nsors .  T he   s l i d i n g   m o d e   c o n t r o l   ( S M C )   t e c h n i q u e   b a s e d   s t a t e   f e e d b a c k   c o n t r o l   e n a b l e s   t o   e l i m i n a t e   i n f l u e n c e  o f  d i s t u r b a n c e s  a n d  u n k n o w n  p a r a m e t e r s  w a s  p r o p o s e d   i n   [1 ] ,   [ 4].   In   [ 4] ,   the  sli ding  m ode  c ontr oller  wa s  c ombine d  with  disturba nce  observ e r  as   well   as  it erati ve  le arn i ng   con t ro l  ( ILC) ,   feedfo rw a r d  con t ro ll er.  It  can  be  see n  t hat,  the  cl assi cal   nonlinear  con t ro l   la w  ha s  bee n   inv est igate d  i n  rob otic  syst em s  s uch  as   em plo yi ng  the   fu zz y - c ontrol   in   in ver te d  pe ndulum  s ys te ms   [ 5],   r obust   adap ti ve   co ntr ol  sche mes  i n  bilat eral  te le operators  [ 6],  wheel ed  m ob il e  r obotic  syst ems   [7],   t racto r  tra il er  [8 ].  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       On fi nite - ti me ou t pu t f ee dbac k sli ding  mode  con tr ol  of an  el as ti c mult i - m oto r syste m (P ham  T uan T hanh )   11   Additi on al l y,   t he  o ptimal   c ontrol  a nd  opti miza ti on   pro blem   are   al so  c onsidere d  in   rece nt   ti me  via  t he  w ork  i n  [9 ] - [12 ].   T he  s li din g  mode  ba sed  c on t ro l  has   bee n  paid  muc h  at te ntio n  in   recent  years  be cause  it   is  a  wi dely   releva nt  co ntr ol   method ology  for  un ce rtai n/ disturbe d  s ys te ms.  S M C  as   a   rob us t  co ntr ol   scheme   f oc use s  on   reducin g  t he  di sadv a ntage   of   exter nal  distu rb a nces  a s  m uc h  as  possible  base d  on  t he  de sign   of  a ppropr ia te   sli din g  s urfac e  as   well   as   impleme nting  the  e quivale nt   co ntr oller   [ 13] - [ 21].  An  a dap ti ve   sc hem e  wa s   pr opos e d  i n  [ 22]  with ou t  a ny   knowle dge  of  the  bound  on   the  disturba nc e  an d  thei r  de rivati ves.  T he   high   order  S M C  de sign  wa s  in ves ti gated  in   c on t ro l  sy ste m   of  unic ycle  unde r  t he  c onside rati on  of  un ce rtai nt ie s  of   matc hed  a nd  unmatc he d  te rm   [ 23].  Additi onal ly,  the   act uator  sat urat io n  w as  al so  c on si de red  in   sli ding   mode   con t ro l   desi gn  f or  s pace  c raft   sy ste m s  [24].   Th e  pro blem  of  in vestigat in g  sta te   obse rvers  for   syst em s  is  a n  importa nt  dire ct ion   in   the   co ntr ol  li te ratur e.   I n  [ 25] ,  high - gain  obser ve r  (HGO)  has  be e n  in vestigat e d  sinc e   1980   s  by  the   work   of   Pete rsen   a nd  H ollot  on  H  in fini ty  co ntro l  bas ed  on  the  a dj us ti ng  of  ap propriat e   coeffic ie nt  to   s at isfy  the   li nea r  matri x  in eq ua li ti es  (LM Is ).  A uthors  in  [ 25]   desc ribe d  t he   de velo pm e nt   from  the  tra diti on al   exam ple  to   di fferentia l  obse rvabil it y  us i ng  T aylo r  e xp a ns i on  with  c onside rin g  the   ti me  i nter val   [ − , ] .  It   sug gested   that  the  H G O  sho uld   be  desig ne d  by  interme diate   va riables  obta in ed  f rom  the   diff e re ntial   ob serv a bili ty  work  [ 25].  M ore ov e r,  in   rece nt   ti me,  t he   HGO  desig n  f or  a   cl ass  of  m ulti - in pu t   mu lt i - outp ut  ( M I MO)  unif ormly  obse rv a bl e  sy ste ms  were  al so   co ns i de red   a nd  the  e xt ensio ns   of  previo us  idea  wer e   im plemente d  f or  unce rtai n  no nlinear   s ys te m s  with   sa mp le d  outp uts  [15 ].   The   work  i n  [26 ]  mentio ned  tw o  pr ob le ms ,  in cl ud in g  sta te   est imat ion   via   Neural  Net w orks  a nd   bac kst epp i ng   te c hniqu e  in   deali ng w it h i nput sat ur at io n.   I t i s wo rth n oting  t hat the  outpu t  fee db ac k  c on t ro l sc heme   bein g  the  fram ewor k  of  sta te   fee dba ck  c ontrol   an d  obse rv e r  was   desig ne d  us in g  dy na mic  gain   an d  exte nd e d  sta te   obser ver  [27].   The  fi xed - ti m e  SM C  has  be en  me ntio ned  unde r  the  c onside rati on   of   model  sepa ra ti on   f or   D ual - M ot or   Dr i ving  sy ste ms  but  the  se par at io n  te ch ni qu e  prob le m  was  el imi nate d  [ 28 ] ,   [ 29] .  Howe ver,  mos t  of   the  pr e vious   w ork   i n  m ulti - m otor  dr i ve   co ntr ol   s ys te ms   we re   no t   onl y  menti on e d  to   fi nite  t ime  c onverge nc e  in  SM C  te c hn i que,  but  al so  not   care d  a bout  i nf l uen ce   of  el a sti c  and   fr ic ti on.  Furthe rm or e ,  obse rv e r  desi gn  f or  te ns io n  was   only  c onside red  as  li near   a ppr ox imat e  model     a s  well   as  th e  separa ti on   pr inciple   has   not   been  mentio ned.  I n  t his  pa per,  we  c on si der   t he  L M I  base d  fi nite - ti me  SM C  for   mu lt i - m oto r  s ys te ms  in  pres ence  of  el ast ic ,  fr ic ti on   as   well   a s  t he  high  gain   obse rv e r  te c hn i que  is  deter mine d  in  our   work.  It  is  w or t h  noti ng  tha t   the  S M C   base d  sta te   fee db ac k  c ontr ol  sc he me  gu a ra ntees  the  el imi natio n  of  disa dv a nta ge  of  disturba nc e  an d  un ce rtai nties.  Ther e f or e,   co nsi der at io n  of   usi ng   high - gai n  ob s er ver   is  i nvest igate d  to  c omp ute  the  te nsi on   i n  this  sy ste m  a nd  co mb i ne  wit h   the  sta te   fee dback  c ontr ol  scheme  to  i mp le ment  the  ou t pu t  feedback  c on trolle r  gu a ra nteed  the   separ at io n  pr i nciple.  T he  sta bili zat ion   of  c ascade  s ys te m  is  sat isfie d  by  the  outp ut  fee db ac k  con t ro l al gorithm a nd s how n by the or et ic al   analysis,  sim ulati on s.       2.   DYN AM I C M ODEL O F  A ROBOT   M A NIP ULATO R  AND  PR OBL EM ST ATEM ENT    As  t he  w ork   descr i bed  in   [ 30],  the   m ode l  of  a   m ulti - m otor  s ys te ms   with  fr ic ti on,   back la s h  an d   el ast ic  can  be   r epr ese nted   as  ( 1) :     1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 2 12 12 1 1 2 2 12 12 21 12 1 1 2 2 21 12 12    1 . ( ) ( ) ( ) 1 . ( ) . ( ) ( ) 1 ( 1 ) . 1 ( 1 ) . rL rL L c b L L L c b L L LL LL k f k g T r F K k f k g T r F K F C r r F Cl F C r r F Cl yF   = − = − = + − + = + − −  = − +    = − +   =   (1)     In  w hic h,  the   par a mete rs   of  t his  s ys te m   are   sh ow n  i n  Tabl e   1 .  I n  orde r  t o  co ns i der  the   model  (1)  i n  the stat e sp a ce  r e p r e s e n t a t i o n ,   t h e   s t a t e   v a r i a b l e s   a n d   c o n t r o l   i n p u t s   a r e   g i v e n   t o   o b t a i n   t h e   s t a t e   s p a c e   m o d e l   (2):        1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 2 1 1 2 T T LL x x x x x x x F F = =   ;     1 2 1 2 TT rr u u u  ==   ;     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   10   –   19   12   1 1 3 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 5 12 1 3 2 4 5 12 6 12 1 3 2 4 6 12 ;  1 . ( ) . ( ) ( ) 1 . ( ) . ( ) ( ) 1 ( 1 ) . 1 ( 1 ) . c b L L c b L L x u x x u x x k f x k g x T r x K x k f x k g x T r x K x C r x r x x Cl x C r x r x x Cl = − = − = + − + = + − −  = − +    = − +     (2)       Table  1.   D yn a mic pa rameter   Para m aters   Exp lain atio n   J 1 , J 2 , J L1 , J L2     Moto rs’s I n er tia  m o m en t,  Load s’s  Inertia  m o m en t  (kg m 2 )   , , ∅     The to rqu e of  Moto r,  L o ad  ( Nm ),   rot o r’ s Flu x  ( W b )       Ro to r’ s Self - in d u ctio n  ( H)   , , , ,     Ro ller  ‘s Rad iu s, v elo city  r atio ,  roto r’ s electric  ang le vel o city ,  stato r’ s an g l e  v elo city ,  b elt tens io n     ω 1 , ω 2 ,   ω r1 , ω r2   The ang le velo city  of m o to r ,  lo ad   c 1 , c 2 , b 1 , b 2   The coeffi cien ts o f  Stif fnes s an d   fr icti o n     ∆ 1 , ∆ 2   The er rors o f  an g le  sp eeds  un d er  th e influ en ce of back la sh ,  elastic       Re mark 1   :  Un li ke  the   de scriptio n  was   est ablishe d  i n  [ 1 ] - [ 4],  this   w ork  c onside rs  mu lt i - m otor  s yst ems  in  prese nce  of   nonli near  pro per t y,   bac klas h,   fr ic ti on,   el ast ic   ph e nome non.  T he refor e ,   the  trans fer - f un ct i on  base d  a ppr oa ch  in  [ 1 ] - [ 4]   has  no t  bee n  m entione d  i n  thi s  pa per   due  to   these  chall enges.    The  mai n  co ntro l  obje ct ive  to  fin d  the  velo ci ti es  12 , rr    ob ta ini ng  the  trac king  of   sta te   va riab le s   vecto r  = [ ∆ 1 , ∆ 2 , 1 , 2 , 21 , 12 ] .  Furth erm or e,   beca use   it   is   ha r d  t o  e sta blish   the   se ns ors   in   thi s   mu lt i - m otor  s ys te m,   the   co ntr oller  needs   to   be   ad de d  more  t he  sta te   obse rv e r  obta ining  the   se pa rati on   pr i nciple.   Fo r  the  outp ut  feedbac k  c on t r ol d e sig n,  t he  a ssu m ptio ns  a re  intr oduce d  as  fo ll ows:   Assum ption   1.  The  diamet er  of   eac h  m ot orcycle  is  ne glig ible  com par e d  to  le ngth  of   t he   conve yor  bel t  of   a   mu lt i - m otor s yst em.   Assum ption  2.  T he  fr ic ti on   a nd  sli p  c oeffic ie nts  of  the   c onve yor   belt  of  a   m ulti - mo t or  s ys te m   are   c onsta nt  and  the y  we re  no t  de pende d  on  loa ds ,  diam et er  of  eac h  m otorcycle  is  ne gligible  c ompa red   t o  le ng th  of t he  c onve yor belt  of  a m ulti - mo t or  sy ste m.       3.   FINITE - TI M E OUTP UT F EE DBACK S LIDIN G  MO DE CONT ROL  D ESIG N     3.1.    Fini te - time  t r ackin g  sli din g mod e c on tr ol  design   Accor ding to  the  m o d e l   ( 3 )   a n d   A s s u m p t i o n   1 ,   2 ,   t h e   t r a c k i n g   e r r o r   m o d e l   c a n   b e   o b t a i n e d   a s   (3) :     2 2 5 1 1 2 1 5 1 2 2 6 2 2 5 2 1 2 1 5 1 2 2 6 3 1 5 4 2 6 5 1 1 3 1 1 3 1 1 2 1 6 2 2 4 2 2 4 2 2 1 2   1 . ( ) . ( ) ( ) 1 . ( ) . ( ) ( ) c b L L c b L L r x x x C r x C r x l r x x x C r x C r x l x u x x u x x k f x k g x T r x K x k f x k g x T r x K = − − = − − =− =− = + − + = + − −   (3)       It can  b e  r e wr it te n  by:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       On fi nite - ti me ou t pu t f ee dbac k sli ding  mode  con tr ol  of an  el as ti c mult i - m oto r syste m (P ham  T uan T hanh )   13   12 1 12 2 11 12 1 12 2 22 33 44 1 1 55 66 2 2 0 0 0 0 . . 0000 0 0 0 0 . . 0000 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0000 0000 0 0 0 0 0 L L C r C r xx C r C r xx xx xx r K xx xx r K −   −   −  −  =+  −       ( ) 1 2 ., 0 0 u u d x t    +        (4)     wh e re:   1 12 T z x x = ;  2 3456 T z x x x x = ; 11 00 00 A  =   ;  1 2 1 1 2 2 12 1 2 1 1 2 2 00 00 C r C r A C r C r −  =  −        1 21 1 2 2 00 00 0 0 L L r A K r K     − =        ; 22 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A −   −  =          2 1 0 0 0 0 1 0 0 0000 0000 B    =    ; 1 0000 0000 B  =        ( ) 1 1 3 1 1 3 1 2 2 1 2 2 4 2 2 4 2 2 0 0 1 . ( ) . ( ) , 1 . ( ) . ( ) c b L L c b L L k f x k g x T d z t K k f x k g x T K     +− =    +−         therefo re , t he  t rack i ng er ror mo del (4)  can   be rep rese nted as:     ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 22 2 1 2 2 00 00 00 00 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L C r C r z z z C r C r r z z z B u d z t K r K −   =+   −     −     − −  = + + +           (5)     Con si der the sl iding va riable ( ) ( ) 12 1 T s e e A P e = −     (6)     wh e re  z  r e f ez =−   an d  ( ) 1 11 ee  − =− ,  HI = ,    the  fi nite t ime sl iding m od e  c on t ro l l a w  is  propose d  as  d e sc ribe d  in  the  f ollow in g The or e m 1.   The or em  1 : C onside r  the   s ys te m (5) wit h t he  d ist urba nce  ( 2 ( , ) )   be ing   boun ded  by  2 d   and the  S MC  is  giv e n  as ;     ( ) = ( ) − 2 − 1 ( )   (7)     in  w hich   ( ) ( ) 1 1 2 1 2 T d n de u t B A z A P z dt −  = − − −   ,  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s g n s g n s u t d s e s e s e s e  = + + ,  ;     ar e   the  posit ive  co ns ta nt  numb e r s.    The  pro pos ed  S M C  ena bl es  us   to  obta in   the  finite - ti me   Inp ut  Stat e  Stabil it y  (I S S)   sta bili ty.   Pr oo f   : The  Proof is  div ide d  i nto t w o  ste ps .    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   10   –   19   14   In Step  1,  we p rove t hat the cl os e d  s ys te m  re aches t o  the  sli ding s urface i n fin it e ti me:   Ba sed on t he L yapu nov  ca ndidate  fu nction u sing t he  sli di ng v a riable as:     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 T V s e s e s e =   (8)     ta kin g  the ti me  d e rivati ve o f  t his L yapu nov f un ct io n  al ong t he  s ys te ms  (5),  w e  obta in:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 12 21 22 2 2 1 12 2 2 ,               =  s , T T T dd TT d dg e V s e s e s e s e H z A P A z A z B u H z z d z t dt dg e e A z A P B u z d z t dt = = − + + + − − +  − + − +     (9)     su bst it uting   ( 7) into ( 9)   giv e s:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 s g n                           sg n , TT TT V s e s e s e s e s e s e s e d s e s e d z t  =− −+   (10)     accor ding  t o  ( ) ( ) 2 2 x , ma d d z t , we  hav e:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 m i n m i n 2 2 2 2 V s e s e s e V s e V s e + − − = − −   (11)     Choose  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 / 2 2 m in 2 m in 2 2 0 ,   2 0 ,   1 / 2 1 + = = = + , acc ordin g  to  the i ne qu al it y ( 11),   the close d  s ys t em r eac hes  t o  s li din g   surface  in finit e ti me g i ven as   (12 ) :     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 1 ln 1 r V s e t t  − + = −   (12)     wh e re      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 / 2 T V s e t s e t s e t =   (13)     In   Step   2,  on c e  the  cl ose d  s ys te m  traj ect ory  reac hes  t he   sli ding  s urfac e,  the  e rro rs  c onve rg e   to  at tract ion   reg i on  in   fi nite  ti me.  Co ns ide r  t he  cl os ed   syst em  in  the  sli ding  s urface  ( ) ( ) 12 1 0 T s e e A P e = − = .  Choose    an d  k   are  c on sta nt  c oeffici ents,  i n  wh ic h  ( t ) ;   f e k  .  The   pa rameters   0 ,  1 0   và   2 0   an d  the  matri ces  0 ,   0 ,   0 ,   0 X Q W G   an d  Y  ar e  ch os en   to  s at isfy  the  f ollow i ng  Linea r   M at rix  Ine qu al it ie s ( LMIs):     1 1 1 1 1 2 1 2 0 T T T A X X A A Y Y A Q X XW  + − − +  −    (14)     1 2 1 2 2 0 T A A X XG  −     (15)     1 2 2 0 IQ −   (16)     2 2 2 0 IW −   (17)     2 12 2 0 k  −   (18)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       On fi nite - ti me ou t pu t f ee dbac k sli ding  mode  con tr ol  of an  el as ti c mult i - m oto r syste m (P ham  T uan T hanh )   15   The n  the   s ys t em  ( 5)  is  sta bili zed  i n  fi nite  ti me  wit h  the   at tract ion   re gion   ( ) 1 e t k .   T he   Pro of  is  simi la rly  im plemented  as a bo ve  ste p wit h  th e co rr es pondin g  L ya punov F unct ion  1 1 1 1 1 ( ) ,   T V e e P e P X − ==     3.2.    High - gain  ob s erver   c ontrol  design   of mul t i - mo to r  syste ms   As  descr i be d  i n  [ 25] ,  it   is  ha rd  to  fin d  th e  obser ve r  f or   mu lt i - ou t pu t  sy ste ms   beca use   the  data  colle ct ion  nee ds   t o  be   im plemented   in   the   su f fici ently   sm al l  interval   as  well   as   em ployin g  t he  ta ylor   series   appr ox imat io n.  Th ere fore,   the   hi gh - ga in  obs erv e r  was   pr opos e d  by  [15]  e nab li ng   us  t o  de al   with   m ulti - ou t put   sy ste ms . Consi der the cla ss  of  non li nea r u nif ormly  obser va ble s ys te ms:     ( ) 1 , z f u z y C z z = + ==     ( 19 )   wh e re  t he  sta te   va riables  n zR   wit h   12 1 ; 1 , 2 , 3 , . . . . , ; . . . ; k n n k qk k z R k q n n n n n = = = ,  the   in pu t   uU   is  a   com pact set   of   R m ,  the  ou t pu t  var ia bles   1 n yR .     ( ) 1 1 2 1 12 1 1 1 2 3 2 2 1 1 ( u , z , z ) 0 ( u , z , z , z ) ; , ; 0 ; , 0 , . . . , 0 ( u , z ) 0 q n n n n n q q q q f z f z z f u z C I f z  − −             = = = =                      1 1 2 1 , 0 , . . . , 0 q n n n n n CI   =        This  a bove   s yst em  al so  sat isfi es  se ver al   ass umpti ons   as  des cribe d  i n  [15 ].  It  is  hard   to   fi nd  directl y  the  Hi gh - G ai n  ob s er ver   f or   m od el   (19 ),   s o  t hat  it   can  be  tr ansf e rr e d  i nto   the  f ollo wing  f orm  to  ea sie r  de sign   base d on the tr ansfo rmati on a s foll ow s:       1 2 1 1 1 12 1 ( .) 1 2 3 2 00 2 ( .) 1 1 ( u , z , z ) ( u , z , z , z ) : , ( z ) ( u , z ) k k f nq n z q f q z i z f f z f + − − =      → = =         ;  We   im ply   0 1 ( u, ) z A yC  = + + == and   c onti nue  t o  f in d  the inter mediat e obser ve r   [ 15 ]:   1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( u , ) ( u , ) TT A S C S C  − − − − − − = + − − .   Be ca us e   1 0 AA − = và  0 CC =   then   em ployin g   0  =   , we  ob ta in  the  dyn a mic eq uat ion   of  ob se r ver erro rs:   1 1 1 0 ˆˆ ( A S C C) ( ( u , ) ) ( u , ) TT C z −−  = − + − −   .   I n  order  to   analyze   the   ob serv e r   er rors,  sel ect ing   the  cand i date  f unct ion   1 () T VS = ,  ta ke  the  de rivati ve  of   this  functi on   al ong  the   sy ste m   traj ect ory of  t r ansfo rme d  s ys t ems:   21 00 1 1 0 m in ˆ ( u , ( ) ) 2 ( S ) ( s ) c VV z  − + + +     wh e re   x m in ( s ) ( S ) ( s ) ma =       base d  on the  w ork  i n  [ 15] , we  imply  that:     ( ) 2 1 1 1 1 1 q c V c V V  − − − +   ( 20 )     the  fact t hat is  the foll owin g  s el ect ion s:  1 1 1 1 11 ( I , I , . . . , I ) q n n n b l o c k d i a g − =     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   10   –   19   16   ˆ ( z ) +   is t he  le ft i nve rse of  b l ock d i agonal mat rix   ˆ ( z )   with  1 12 1 1 21 1 ˆ ˆˆ ( u , z ) ( u , z , z ) ˆ ( z ) b l o c k d ia g , , . . . , ˆˆ q k n k i f f I zz − + =  =    wh e re   S  is t he   po sit ive  d e finit e so l ution o f  th e algeb raic   Lya puov   e qu at ion   ( 21) :      0 TT S A S S A C C + + − =   ( 21 )     come back  to  th e model  (19), t he  e qu i valent  obser ve r  ca n be  determi ned as  (22) :      11 ˆ ( z ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) f ( u , z ) ( z ) ( z z ) T z S C C z  + + − −   = = − −     (22 )     al tho ug h  im ple mentin g  th e  observ e r  i nterme diate ly, we sti ll  obtai n  the   dire ct   resu lt   (23) :     1 1 2 1 2 2 11 1 1 1 ( u , z ) ˆ ( z ) ( u , z ) q n q T q qq k q k i CI f C x SC f C z + + − − + − + =         =            ( 23 )     wh e re  1 1 2 ( i, j) ( 1 ) i j j i j n S C I +− +− =−   with   ! ;1 i, j q ! ( j i) ! i j j C i = −   in  orde r  t o  fi nd  co ntr ol  de sign   a ppr opria te   HGO  for  mu lt i - m otor  s ys te ms  (1),   w e  nee d  to  i m plement   al te rn at el y:   Con si der the  f ollow i ng  m ulti - m oto r  s ys te ms :     12 2 1 1 2 2 1 3 3 12 1 21 2 22 3 12 3 1 () 1 ( ) K ( ) ( ) ( T . ) 1 ( 1 ) . L C L TC x u x T x J f x u x f x r x K x C r x r x x Cl yx =−  = + − − +    = − +   =   w he re     31 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2   ;       ;       r r x x x F x x x x x x F    = = = = = =       accor ding  t o  th e res ult ( 22),   w e obtai n  th e e quivale nt  obse rver:     1 2 3 3 2 2 1 1 2 2 1 3 3 3 3 3 12 1 21 2 22 3 3 3 12 3 1 ˆ ˆ ˆ ( u x ) 3 ( x ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) K ( ) ( ) ( T . ) ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 1 ) ( ) . y L C L TC L xx T x J f x u x f x r x x x KT x C r x r x x rJ x x Cl x = − − −  = + − − + + −    = − + + −   =   (24)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       On fi nite - ti me ou t pu t f ee dbac k sli ding  mode  con tr ol  of an  el as ti c mult i - m oto r syste m (P ham  T uan T hanh )   17   4.   OFFLINE  SI MU L ATIO N RESULTS   To  cl ea rly  val idate   the  e ff ic acy  of  the   pro po s ed   outp ut  f eedb ac k  co ntr ol  sc heme,  a  mu lt i - m otor   dr i vi ng  s ys te m   is  est a blishe d  in   Fig ure   1,  wh ic h  sho ws  t he  physi cal   m eanin g  of  pa ra mete rs  a s  well   as   the   com plete d  c on trol  s ys te m .  T he  sim ulati on  resu lt s  i n  Fig ures  2  an d  3  de scribe   the   be ha vior  of  te n si on  a nd   velocit ie s  wh e n  t he  l oad  is  c hange d  from   T L1 = 100   Nm  to   T L2 = 50   N m.   It   sh oul d  be  note d  t hat  the   c omparis on   betwee n  the   respo ns e  us in g  propose d  s olu ti on  a nd  the  cl assic al   a ppr oach es   has   bee n  in vestigat ed.   Fu rt hermo re ,   the  sim ulati on  resu lt s  i n  Fi gure   4  s how   the   respo ns e  of  propose d  high  ga in  ob se r ver  in   Mult i - M ot or syst ems .            Figure  1. The   s tructu r e  of m ulti - mo to r  c ontro l system         (a)     (b)     Figure  2.  (a )  T he  respo ns e  of  te ns io n  P ID   wi th the l oad  var i at ion   (b)   T he r esp on se  of te nsi on   LMI - S M C   with  the loa d variat ion   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   10   –   19   18     (a)     (b)     Figure  3.  (a )   T he  respo ns e  of  sp ee d  P ID   wit h  the  loa d vari at ion   (b)   T he r esp on se  of s pe ed  L MI - S M C  with  the   load va riat ion         (a)     (b)     Fig ure  4. The  re spon se  of  obs erv e r,   ( a)  tensi on obse rv e r,  ( b) s peed O bs e rver,   with  gear g ap  = 0.1 5   ra d  (8,59 0 )       5.   CONCL US I O N   To  deal  with   the  mu lt i - m otor   sy ste ms  i n  pr e sence  of  nonli near  pr op e rty,  back la s h,  el ast ic ,  the  finite   ti me  sli din g  m od e  c ontrolle r  com bin in g  with  hi gh   gain  observ e r  is  de vel op e d  in  this  w ork.   T he  co nve rg e nce   ti me  of   S M C  is  cl early  est imat ed  by  LMI  te chn i qu e  a nd  th e  ob se r ver   is  de al t  with  mu lt i - outp ut  sy ste m s.  The   pro po se d  c ontr oller is  validat ed via si m ulati on s  in  compa rison w it h  e xisti ng so l utio n.       ACKN OWLE DGE MENTS     This  r e s e a r c h   w a s   s u p p o r t e d   b y   R e s e a r c h   F o u n d a t i o n   f u n d e d   b y   T h a i   N g u y e n   U n i v e r s i t y   of T echnolo gy.       REFERE NCE S   [1]   Bousmaha  Bouc hiba ,   Isma il  Kh al il  Bouss erh an e,  Mohammed   Kari m   Fellah,   Haz za b ,   “Ne ur a l  Ne twork  Slid i ng   Mode  Contro l  f or  Multi - Ma chine  We b   W inding  Sys te m , ”   R e vue  Roumaine  des  Sc ie nc es  Te chni ques   -   S eri e   Él e ct rote chni qu e  e t Éne rgét ique ,   vol. 62,  no.   1,   p p.   109 - 113 ,   201 7.     [2]   Haka n  Ko c,  Do mi nique  Kni tt e l,  Mich el  de   Ma th el in ,   and   Gabri el  Abba ,   “Mode l in g  and   Robust   Co ntrol  of   Wi nd ing  Sys te ms f or  E la s ti c   We bs , ”  IEEE   Tr ansacti on  on  Control  Syst e ms   Technol ogy ,   vo l. 10,  no.   2,   pp.   19 7 - 208,   2002 .     [3]   Domini que   Knit te l ,   Edou ard   La r oche ,   Dani el  Gi gan,   and  Hak an  Koç,   “T ension   C ontrol   for   W inding  Sys te ms  W ith  Two - Degre es - of - Free dom   Hinf   Control le rs , ”   IE EE  Tr ansacti ons  on   Industry   Ap pli cation ,   vol .   3 9,   no .   1,   pp .   11 3 - 120,   2003 .   [4]   Jie - Shiou  Lu ,   M ing - Yang  Cheng ,   Ke - Han   Su,  M i - Chi  Tsai ,   “ Wi r e  t ension  cont rol   of  an   au tom a tic   mot or   winding   ma ch ine   an  it er a ti ve   learni ng   sli ding  mod e  con tr ol  appr o ac h , ”   R oboti cs  and   Co mputer - Inte grat ed  Manufa ct urin g ,  vol.   50 ,   pp .   50 - 6 2,   2018 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       On fi nite - ti me ou t pu t f ee dbac k sli ding  mode  con tr ol  of an  el as ti c mult i - m oto r syste m (P ham  T uan T hanh )   19   [5]   Mohamm ed  A .   A.  Al - Mekhla f i,   Herm an  Wa hid ,   Azia n  Abd  Azi z ,   "A dapt iv e  Neu ro - Fuzzy  Contro l  Approac h  for   a   Single   Inv erted  Pendulum   Sys tem ,"   In te rnationa l  Journal   of   E lec tric al   and  Comp ute r  Eng ineering   (IJ ECE ),   vol .   8,   no.   5 ,   pp .   3657 - 3665 ,   2018 .   [6]   Li u  Y.  C . ,   Dao   N.,   Zh ao  K.  Y. ,   “On  Robust  Control   of  Nonlin ea r   Te l eope r at ors  u nder   Dynamic  U nce rt ai nt ie s  with   Vari able  T im e  Dela ys   and  wi th o ut  Relati v e  Vel oci ty , ”   I EE E  Tr ansacti ons  on  In dustrial  Informatic s,   v o l.   16 ,   no .   2,   pp.   1272 - 1280 ,   2019 .   [7]   Nguyena ,   T . ,   Hoang,  T.,   Pham,  M.,  &   Dao ,   N . ,   “A  G aussian  wave let  n et wor k - base d  robust   ada pt ive  tracki n g   cont roller  for  a  whee le d  mobi l e  robot  with  unkn own  whee l  slips, ”  Inte r nat ional   J ournal  of  Control ,   vol .   92,   no.   11 ,   pp.   2681 - 2692 ,   2019.   [8]   Binh ,   N.  T.,   Tu ng,   N.   A. ,   Nam ,   D.   P.,  Quang ,   N.  H. ,   “An  ada p ti ve   ba ckste ppin g  tr aj e ct ory   tr acking  cont rol   of   a   tra c tor  tra i le r   wh ee l ed  mobi l e  rob ot, ”   I nt ernati ona l  Journal   of   Con t rol,  Aut omat ion   and  S yste ms ,   vo l.  17,   no.   2 ,   pp .   465 - 473,   2019 .     [9]   Dw i  Prihant o ,   I r awa n  Dw i   Wahyono,  Suw asono   and   Andrew  Nafa lski,  "V irt u al   La bor at ory   f or  Li n e  Fol lowe r   Robot  Compe t ition ,"   Inte rnat io nal  Journal  of  El e ct rica l  and  Computer  Engi n ee ring  (IJ ECE ) ,  vol.   7,   no .   4,   p p.   2253 - 2260,   201 7.     [10]   Phuong  Nam  Dao,   Hong  Quang   Nguyen,   Phuon g  N am   Tra n,   Ha i  Yen  Tra n  Thi ,   “Ada pti v e  Dyna mi c  Progr am ing   base d  Optimal  C ontrol   for  a  Rob ot  Mani pul at or , ”  Inte rnationa l  Jo urnal  of  Powe r  El e ct ronics  and  El e ct rica l  Dr iv e s   (IJ PE DS) ,  vol .   1 1,   no .   3 ,   pp .   112 3 - 1131,   2020 .     [11]   Nam,  Dao   Phuong,  et  a l. ,   “R obust  contro l   f or  buck   conv er te r   base d   on   o pti mization ,”   20 17  Int ernati ona l   Confe renc e  on   S yste m Scien ce a nd  Engi n ee ring   ( ICSSE) ,   Ho   Chi M inh  Cit y ,   2017 ,   pp .   704 - 707 .   [12]   Quang  N.   H.,   et  al . ,   “  Mul ti   pa r am e tri c  mode l   p red ictive   cont ro l   base d  on  la gu e rre   model  for  pe rma nen t  ma gn et   li ne ar  synchrono us  mot ors,”  Int e rnational   Journal  of   Elec tric al   and   Computer  E ngine ering   (IJ E CE),   vo l.  9,   no.   2,   pp.   1067 - 1077 ,   2019.     [13]   El - Sous y,   “Ada pti ve  Dyna mic  Slidi ng  Mode  Control   Sys te m   using  Rec urr e nt  RBF N  for  High - Perform an ce  Induc ti on   Motor   Servo  Driv e, ”   I EE E   Tr ansacti o ns on  Industrial Inform ati cs ,  vo l .  9,   no.   4,   pp.   192 2 - 1936,   2013 .   [14]   Zi ti ng   Ch en,  Zh i jun  Li ,   Phil ip   Khan,  Akme li awa ti ,   Bha tt i ,   Khan,  “Robust  St abi liz at ion   of   Underac tua t ed  non li ne ar   Sys te ms:  A fa st   t erm in al   Sl idi ng  Mode  Approac h , ”  ISA   Tr ansacti o ns ,  vol. 66, pp. 2 41 - 248,   201 7 .    [15]   Clé me n t  Tré a ng le ,   Mondher  Far za ,   Mohammed  M.  Saad,  “Fi lt er ed  high   gai n   ob serve r  for   a  cla ss   of  unce rt ai n   nonli ne ar  sys te m s with   samp le d   o utput s,”   Aut omat ic a,   vol .   101 ,   pp .   197 - 206,   2019.   [16]   Dong  Y.,   You  L. ,   B ing  X. ,   W ene   L . ,   “Robust   fini t e - time  adaptive   cont rol  algorithm   for  sa telli t e  fast  at t it ud e   ma neuv er,”  Journal  of   the F rank l in  Instit u te ,  vo l.  357,   no .   16 ,   pp .   11558 - 11583,   2 020 .    [17]   Mofid  O.,   Mob aye n  S. ,   “Ada p ti ve  slid ing  mo de  cont ro l  for  f ini te - ti m e  stab i li ty  of  qu ad - rot or  UA Vs   with   par ametr i c  un ce r ta inties, ”  IS A  tra nsacti ons ,  vo l.  7 2,   pp .   1 - 14 ,   201 8.   [18]   Sun  T. ,   Cheng   L. ,   W ang  W . ,   Pan  Y. ,   “ Se mi glo bal   expone nt ia l   cont rol   of  Eu le r - La gra ng e  sys tems  using  a   sl iding - mode   d isturba nc e  observe r, ”   Au t o matic a,   vol .   11 2,   p .   108677 ,   20 20.   [19]   Yang  Xiaowe i ,   J ia nyong  Yao ,   W enxi ang  D eng ,   “ Output  fe edba ck   ada pt ive   sup er - t wisting  slidi ng  mode   con trol   of   hydra ulic  sys te ms  with  distu rba nce  co mpe nsati on ,”   ISA   transactions ,   2020.   htt ps:// do i. org/1 0. 1016/j.isa tr a. 2 020. 09. 014   [20]   Fu  C. ,   Tian   Y.,  Huang   H. ,   Zh a ng  L . ,   Peng   C . ,   “Fin it e - ti m e   tr a je c tory   tracki ng   con trol  for   a   1 2 - rotor  un ma nn ed  ae ri al   v ehicle wi th  input sat ur atio n, ”  IS A trans act i ons ,  vol.  81,   pp.   52 - 62,   2018 .   [21]   Xiao  L.,  Zhu   Y.,   “Sli d ing  m ode  output   f ee d bac k  con trol   b a sed  on  tra ck ing   err or  observe r   with  disturba n ce  esti mator, ”  IS A t rans act ions ,   vol .   53,   no.   4 ,  pp.   10 61 - 1072,   2014 .     [22]   Christofe r   Edwa rds,  Yuri   Shtessel,  “Ad apt iv e  C onti nuous  Highe r  Order   Slidi ng   Mode  Control,”   Aut omati ca ,  vol .   65,   pp .   183 - 190 ,   2016.     [23]   Maria  Thomas,   Kama l ,   Bandyop adhya y,   Va chhani,  “Continuous  Higher   Ord er   Sli ding  Mode   Con t rol  for   a   class   of   Unce rtain  MIM O nonl inear  Sys t em s:  an  ISS   App roa ch,”  Europea n  Journal  o f  Con trol ,  vo l. 41, pp.  1 - 7,   2018 .     [24]   Zhe ng   Zhu,   Xi a   Fu,   “Ada pt ive  Slidi ng  Mode   C ontrol   for  At ti tu de  Sta bil i zation   with  Ac tua tor   S at ura ti on, ”   IEEE  Tr ansacti ons on Indus trial   E le c tronic s ,  vo l. 58, n o.   10 ,   pp .   4898 - 4907,   2011 .     [25]   Hass an  K.  Khal il ,   La ur ent   Pral y ,   “High - g ai n  o bserve rs  in  nonl ine ar  f ee db ac k  cont rol , ”  In te rn ati onal  Journal  of  Robust  and  Non l ine ar Control ,   v ol.   24 ,   no .   6 ,   pp .   993 - 1015,   2013 .   [26]   Ma  L.,  Zong   G. ,   Zh ao  X. ,   Huo  X.,   “Observ ed - b ase d  ad apt iv e  fi nit e - t ime  tr ac kin g  cont rol   for  a  c la ss   of  nonstri c t  fee dba ck  nonli n ea r  sys te ms  wit h  input   satur at io n, ”  Journal  o f  t he  Franklin  Inst it ute ,  vol .   357,   no.   16,   pp .   1151 8 - 11544,   2019 .     [27]   Huang  Y. ,   Li u   Y.,  “A  com pa ct  design   sche me  of  ada p ti ve   output - fee db ack  con trol  for   u nce rt ai n   nonli n e ar   sys te ms,”   In te rn a ti onal   Journal of  Control ,   vol .   92,   no .   2 ,  pp .   26 1 - 269,   2019 .   [28]   Ze ng   T . ,   Ren   X . ,   Zh ang   Y.,  “Fixe d - time   Slid in g  Mode   Contro l   and   High - g ai n   Nonline ar it y   Co mpe nsati on   fo r   Multi - mot or   Dri ving  Sys te m , ”   I EE E   Tr ansacti o ns on  Industrial Inform ati cs ,  vo l. 16, no. 6, pp. 40 90 - 4098,   2020 .   [29]   Inli n  Wa ng ,   Xu em e i  Ren ,   and  Qiang  Chen ,   “ Casca de   Optima l  Control  for  T rac king   and  Sy nchr onizati onof   a  Multi mot or  Dr i ving  Sys te m,”  I EE E  Tr ansacti o ns  on  Control  Syste ms   Tecnol og y ,   vol .   27 ,   no.   3 ,   pp.   1376 - 1384 ,   2019.   [30]   Nam  D.   P., Th an h  P.   T.,  T i nh  T .   X.,   Dat T.   T.,  Va n  V.   M.,   “High - Gain  Obs erv er  B ase d  Output  Fe e dbac k  Contro ll er   for  a  Two - Moto r  Drive   Sys te m :   A  Separ ation  P rinc iple  Approa ch, ”   AE TA   201 7 - Re c ent   Adv an ce s  in  El e ct ri ca l   Engi ne ering  and   Relate d   Sc ie nc e s: Theory  and  A ppli cation ,   vol   4 65,   pp .   840 - 859 ,   2018.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.