I nte rna t io na l J o urna l o f   P o w er   E lect ro nics   a nd   Driv Sy s t e m   ( I J P E DS )   Vo l.   8 ,   No .   4 Dec em b er   2 0 1 7 ,   p p .   1 6 5 0 ~ 1 6 6 2   I SS N:  2 0 8 8 - 8 6 9 4 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j p ed s . v8 i 4 . pp 1 6 5 0 - 1 662          1650       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I JP E DS   M RAS - ba sed  Sen so rless  Speed  In te g ra l Ba ck ste ppin g  Contro for Induc tion M a chine,  using  a Flu x  Ba ck ste pping   O bserv er       M o ha m ed  H o rc h 1 ,   Abde l m a djid B o u m e diene 2 ,   L o t f i B a g hli 3   1, 2, 3 Un iv e rsité d e   T lem c e n ,   LA T ,   1 3 0 0 0 ,   T lem c e n ,   A lg e ria   3 Un iv e rsité d e   L o rra in e ,   G REE N,  EA   4 3 6 6 F - 5 4 5 0 0 ,   V a n d o e u v re - lès - Na n c y ,   F ra n c e       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Sep   10 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   Oct   2 2 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   N o v   1 4 ,   2 0 1 7       T h is  p a p e p re se n ts  a   stu d y   c o n c e rn in g   a   se n so rles v e c to c o n tro o f   a n   in d u c ti o n   m a c h in e   f e d   b y   a   v o lt a g e   so u rc e   in v e rter.  T h e   a i m   is  to   p ro v id e   a   sc h e m e   to   c o n tro l   th e   sp e e d   a n d   t h e   ro to r   f lu x   u sin g   a   se n s o rl e ss   in teg ra l   b a c k ste p p in g   c o n tro a p p ro a c h .   T h e   ro to sp e e d   e sti m a ti o n   is  d o n e   b y   a n   o b se rv e u sin g   th e   m o d e re fe r e n c e   a d a p ti v e   s y st e m   (M R A S )   tec h n iq u e   w h e re a s th e   n o n li n e a b a c k ste p p i n g   o b se rv e is  u se d   t o   g e th e   ro t o f lu x .   T h e   m a in   o b jec ti v e   is  to   a c h iev e   a   ro b u st  c o n tr o l,   a d a p ti v e   a n d   e f f icie n t,   w h ich   w il a ll o w   u to   tes a n d   e v a lu a te  th e   p e rf o rm a n c e   o f   th e   p ro p o se d   o b se rv e r,   c o m b in e d   w it h   a   se n so rles c o n tro l   o f   th e   in d u c ti o n   m a c h in e .   T e sts  a n d   v a li d a ti o n   a re   d o n e   u sin g   n u m e rica si m u latio n w it h   M AT LAB/S IM UL INK - P S (P o w e r   S y ste m   Blo c k   s e t)  to o lb o x .   T h e   re su lt s   sh o w   g o o d   p e rf o rm a n c e   in   ter m o f   ro b u stn e ss   re g a rd in g   m a c h in e   p a ra m e ter   va riatio n a n d   sh o w   th e   e x c e ll e n q u a l it y   o f   th e   c o n tro law   a ss o c iate d   w it h   th e   o b se rv e r,   d e sp it e   t h e   o b se rv a b il it y   p ro b lem w h e n   th e   m a c h in e   o p e ra tes   a lo w   sp e e d .   K ey w o r d :   Field   o r ien ted   co n tr o l   I n d u ctio n   m ac h i n d r iv e   I n teg r al  B ac k s tep p in g   MR A S o b s er v er   Sen s o r les s   co n tr o l   Co p y rig h ©   201 7   In s t it u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Mo h a m ed   Ho r ch ,     Dep ar t m en t o f   E lectr ical  an d   E lectr o n ic  E n g in ee r i n g ,   T lem ce n   Un i v er s i t y ,   Un i v er s it y   o f   T le m ce n ,   L A T ,   1 3 0 0 0 ,   T lem ce n ,   Alg er ia.   E m ail:  m o h a m ed . h o r ch @ m ail . u n i v - tle m ce n . d z       1.   I NT RO D UCT I O N     I n   th r ec en d ec ad es,  th v ar iab le  s p ee d   elec tr ic   d r iv es  d e v elo p ed   r ap id ly   an d   ar o u s ed   s ig n i f ica n t   in ter est  in   m o s s ec to r s   o f   i n d u s tr ial  ac tiv it y   i m p le m e n ti n g   t h d r iv i n g   f o r c e,   d u to   tech n o lo g ical  ad v a n ce s ,   b u also   m et h o d o lo g ical  [ 1 ] . T h d ir ec cu r r en m ac h i n h a s   lo n g   b ee n   t h b est  s o u r ce   o f   elec tr o   m ec h a n ical   v ar iab le  s p ee d   b ec au s e   o f   its   ea s o f   co n tr o l.  T h is   m ac h in e,   w ith   it s   t w o   co il s   to   o r th o g o n al  f ie ld s ,   p r esen t s   a   na tu r al  d ec o u p li n g   b et w ee n   s tato r   f lu x   a n d   elec tr o m ag n eti to r q u [ 2 ] .   Ho w e v er ,   its   m aj o r   d is ad v an ta g is   th e x is te n ce   o f   t h " co llecto r - b r u s h "   d ev ice  w h ic h   is   t h o r ig i n   o f   h is   e m p lo y m e n li m itatio n s .   T h i s   m ec h a n ical  d ev ice  is   p o o r ly   to ler ated   in   s o m ap p l icati o n s   f o r   its   h i g h   p r ice,   its   f r eq u en an d   co s tl y   m ai n ten a n ce ,   b u a ls o   b ec au s o f   th e   p r esen ce   o f   elec tr ica ar cs  p r o h ib iti n g   u s e   i n   e x p l o s iv a t m o s p h er es.  Du to   th ese  co n s tr ai n t s ,   r esear ch   w a s   ca r r ied   f o r   o th er   s o lu tio n s ,   ex p lo iti n g   t h AC   m ac h i n es  a n d   esp ec iall y   th s q u ir r el  ca g i n d u c tio n   m o to r s   ( I M)   [ 3 ] . T h I h as   ce r tain   ad v an tag e s   r elate d   t o   its   s i m p le   d esi g n ,   r o b u s tn es s ,   lo w   co s an d   m ai n ten a n ce .   A ls o ,   it  is   w id el y   u s ed   in   m a n y   f ield s   s u c h   as  ae r o s p ac e,   r ail   an d   m ar in e   tr ac tio n ,   tr a n s p o r tatio n   s y s te m s   a n d   in   a   m u lt itu d o f   in d u s tr ial   ap p licatio n s   ( m a ch in e   to o ls ,   d r iv i n g   m ac h in e s ,   p u m p i n g   s y s t e m s ,   v en tilatio n   an d   li f ti n g   [ 4 ] .     Ho w e v er ,   th e   u s o f   t h i n d u ctio n   m ac h in e   f o r   v ar iab le  s p ee d   d r iv es  r aise s   co u p le  o f   d if f ic u lt ies,   w h ic h   lead s   to   co m p le x   co n tr o co m p ar ed   to   th at  o f   an o th er   m o to r .   I n d ee d ,   th i s   t y p o f   m o to r   i s   ch ar ac ter ized   b y   m u lti v ar ia b le  an d   n o n lin ea r   m a th e m ati ca m o d el,   w it h   s tr o n g   co u p lin g   b et w ee n   th e   co n tr o v ar iab les  o f   th m a g n etic  f lu x   an d   th elec tr o m ag n etic  to r q u e.   I is   n o p o s s ib le  to   co n tr o m o to r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PEDS     I SS N:  2 0 8 8 - 8 694       MRA S - b a s ed   S e n s o r less   S p ee d   I n teg r a l B a ck s tep p in g   C o n tr o l fo r   I n d u cti o n   Ma ch in e   ( Mo h a med   Ho r ch )   1651   o u tp u v ar iab le  ( to r q u e,   s p ee d   o r   p o s itio n )   b y   v ar y i n g   s in g le  i n p u v ar iab le  ( cu r r en o r   v o ltag e) .   Mo r eo v er ,   s o m o f   i ts   s tate  v ar iab le s   a r n o ac ce s s ib le  to   m ea s u r em en an d   t h m o to r   p ar a m et er s   ar s u b j ec to   v ar iatio n s   in   ti m [ 5 ] ,   [ 6 ] . T h i m p le m e n tatio n   o f   t h ese  c o n tr o m eth o d s   w er o n l y   p o s s ib le  th r o u g h   t h e   d ev elo p m en o f   d ig i tal  s i g n al   co n tr o ller s ,   m icr o co n tr o ller s ,   s tatic  co n v er ter s .   A ls o ,   s e v er al  tech n iq u es  h a v b ee n   p r o p o s ed   to   o b tain   f o r   th in d u ctio n   m ac h i n e,   th e   h ig h - p er f o r m a n ce   co n tr o d ev ices,   an d   ex p er ien ce   its   q u alities   a n d   b en ef its   i n   t h f i eld   o f   v ar iab le  s p ee d   [ 7 ] .   Am o n g   th e   co n tr o ls ,   w d i s ti n g u i s h   t h v ec to r   co n tr o b as ed   o n   d y n a m ic  m o d els,  u s in g   th e   P ar k   tr an s f o r m atio n   to   s o lv t h to r q u e - f lu x   d ec o u p li n g   i s s u e.   T h co m b i n atio n   o f   th is   tec h n i q u w it h   m o d er n   au to m at ic  ap p r o ac h es  b ased   o n   n o n lin ea r   co n tr o alg o r ith m s   s u c h   as  t h B ac k s tep p in g   c o n tr o co n tr ib u te  to   s o lv t h r o b u s t n ess   p r o b le m   ( th ch a n g o f   lo ad   to r q u an d   m ac h i n p ar a m eter s ) .   Ho w e v er ,   it  r eq u ir es  t h in s ta llatio n   o f   a n   in cr e m e n tal  en co d er   to   m ea s u r th r o to r   s p ee d   [ 8 - 9 ] .   Usi n g   t h e n co d er   lead s   to   ad d itio n al  co s w h ic h   ca n   b h i g h er   th a n   t h m ac h i n o n e,   f o r   lo w   p o w er   ap p licatio n .   I n   ad d itio n ,   th er m u s b a n   ad d itio n al  s p ac f o r   i n s ta ll i n g   th e n co d er .   T h s y s te m   r eli ab ilit y   d ec r ea s es   b ec au s o f   t h is   f r a g ile  d ev ice.   B ec au s o f   all  t h ese  i n co n v e n ien t,  o n tr ied   to   ex cl u d th u s t h i n cr e m e n tal  e n co d er   an d   r esear ch   o n   t h s en s o r less   co n tr o o f   in d u ctio n   m ac h i n es  b e g an .   Sev er al  s tr ateg ies   w er p r o p o s ed   in   th l iter atu r to   ac h ie v th is   o b j ec tiv [ 1 0 - 1 1 ] .   Mu ch   o f   th p r o p o s ed   m eth o d s   ar b ased   o n   o b s er v er s   an d   esti m ato r s   in   o p en   lo o p .   T h ey   lar g e l y   d ep en d   o n   th m o d el  o f   th in d u ctio n   m ac h i n e .   Fo r   th is   r ea s o n ,   th ese  tech n i q u es  f ail  to   r ep lac th in cr e m e n tal  en co d er   in   th f ield   o f   lo w   s p ee d s .   Fu r th e r   r esear ch   b ased   o n   th co m b in atio n   o f   m o d er n   tech n iq u es   an d   th eo r ies   i n clu d in g   ad ap tiv e   la w s .   T h ese  tec h n iq u e s   p r o m i s to   g i v b etter   r esu lt s ,   e v en   in   t h e   lo w - s p ee d   in cl u d in g   s to p p ed .   I n   th i s   p ap er ,   w c h o s to   u s n o n lin ea r   i n te g r al  b ac k s te p p in g   co n tr o d esig n   s c h e m e,   f o r   s p ee d   co n tr o an d   w p r o p o s n e w   co m b in at io n   f o r   th r ea li za tio n   o f   r o b u s o b s er v er s ,   b y   u s i n g   th m o d el  r ef er en ce   ad ap tiv s y s te m   ( M R A S)  to   esti m ate  t h r o to r   s p ee d   an d   th e   B ac k s tep p in g   o b s e r v er   to   esti m ate  th e   r o to r   f lu x .       2.   I NDUC T I O M O T O M O DE L   A ND  VE CT O CO N T RO L   2 . 1   M o del o f   I M   in ( d - q)  Ref er e nce  F ra m e   T h m at h e m atica m o d el  o f   t h in d u ctio n   m ac h i n i n   t h ( d - q )   s y n c h r o n o u s l y   r o tati n g   f r a m is   g i v en   b y   t h f o llo w in g   n o n li n ea r   eq u atio n s   [ 1 2 - 1 3 ] :     ( ) l 8 r 7 rq sd rd sq 6 r rq 5 rd r s sq 4 rq rq r s rd 5 sd 4 rd sq rq 2 r rd 3 sq 1 sd s sq sd rq r 3 rd 2 sq s sd 1 sd T . a - ω . a - φ . i - φ . i . a = ω φ . a - φ ). ω - ω ( - i . a = φ φ ). ω - ω ( + φ . a - i . a = φ v . b + φ . a + ω . φ . a - i . a + i . ω - = i v . b + φ . ω a + φ . a + i . ω + i . a = i                                           ( 1 )   W ith   2 m m r m 1 s r 2 3 22 r s r s r 2 c m r r m 4 5 6 7 8 r r r 2 m s r s L L . R L a b . (R . R )     ,     a , a L ( . L . L ) ( . L . L ) f L . R R p . L p a   ,     a   ,     a , a   ,     a   L L J . L J J L 1   1     ,     b L . L . L      2 . 2   Dire ct   ro t o f lux   o rient a t io ( DRF O )   T h aim   o f   v ec to r   co n tr o is   to   let  th in d u ctio n   m ac h i n ef f ec ti v el y   r esp o n d   to   r ef er en ce   v ar iatio n s   ( r o to r   p o s itio n ,   to r q u e,   s p ee d )   in   w id r an g o f   o p er ati o n   an d   f o r   ap p licatio n s   r eq u i r in g   h i g h   d y n a m ic   p er f o r m a n ce .   I is   b ased   o n   t h in s tan tan eo u s   to r q u e   co n tr o l   an d   s u itab le  c h o ice  o f   r e f er en ce   ( d ,   q )   o f   P ar k ,   s o   th at  t h d - a x is   is   ali g n ed   w ith   t h r o to r   f lu x   v ec to r ,   to   o b tain   t h d ec o u p lin g   b et w ee n   t h elec tr o m a g n e tic   to r q u an d   r o to r   f lu x .   T h is   ali g n m e n t i m p o s es t h f o llo w i n g   co n d itio n : [ 1 4 - 1 5 ] :     rd r φ = φ an d 0 = φ rq                         ( 2 )     T h is   ch o ice  allo w s   to   co n tr o th to r q u v ia  t h cu r r en sq i   an d   th r o to r   f l u x   th r o u g h   t h cu r r en t sd i .   3.   I NT E G RA L   B ACK ST E P P I NG   CO N T RO L   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 694   IJ PEDS    Vo l.   8 ,   No .   4 Dec em b er   2 0 1 7   :   1 6 5 0     1 6 6 2   1652   3 . 1     P rinciple o f   t he  inte g ra l ba c ks t eppi ng   co ntr o l   T h B ac k s tep p in g   tech n iq u i s   r elati v el y   n e w   co n tr o m et h o d   o f   n o n li n ea r   s y s te m s .   T h p r in cip le   o f   t h is   ap p r o ac h   is   to   s tab iliz at  t h b e g i n n i n g   t h f ir s s u b   s y s te m   b y   s tab ilizi n g   f u n ctio n   k n o w n   v ia  a   ch o s en   L y ap u n o v   f u n c tio n ,   t h en   to   ad d   to   i ts   er r o r   a n   i n t eg r ato r .   T h s a m p r o ce d u r f o r   t h s u cc ess iv e   s u b s y s te m s   to   f in al l y   r ea ch   a   g lo b al  L y ap u n o v   f u n ctio n   g iv i n g   t h o v er all  co n tr o la w   th at  s tab ilizes  t h e   s y s te m   [ 1 6 - 1 7 ] .   T h co m b i n a tio n   o f   tec h n ical  B ac k s tep p in g   w it h   v ec to r   co n tr o o f   th in d u ctio n   m ac h i n e   g iv e s   t h b etter   p er f o r m a n ce   o f   th co n tr o l la w   [ 1 8 - 1 9 ] .     3 . 2   T he  inte g ra l B a ck s t ep p ing   c o ntr o l f o I M   a nd   ro t o f lux   esti m a t o r   T h o b j ec tiv to   d esig n   an   i n teg r al  b ac k s tep p in g   co n tr o l,  allo w i n g   to   en s u r t h tr ac k in g   o f   r o to r   s p ee d   an d   r o to r   f lu x   f o r   th e   m ac h in e   [ 2 0 - 2 1 ] ,   w d ef in th er r o r s r ω e an d   r φ e r esp ec tiv el y   r ep r esen ti n g   t h e   er r o r   b etw ee n   th ac tu al  s p ee d   r ω an d   th r ef er e n ce   s p ee d   r   an d   th er r o r   b et w ee n   t h f l u x   m o d u le  dr   an d   its   r ef er e n ce dr .   a)   F irst  s t ep  "s pee d a nd   f lu x   lo o p     rr r d r d rr r d r d ez ez                         ( 3 )     W ith     r d r d t r d r d 0 z k ( ) d t    r r d t rr 0 z k ( ) d t      T h en   th d y n a m ical  er r o r   eq u atio n s   ar g i v e n   b y     rr r d r d rr r d r d ez ez                           ( 4 )   W ith       rr rr z k ( )      T h en   th er r o r   d y n a m ica l e q u a tio n s   b ec o m es :     rr d r d r r 6 s q r d 7 r 8 l r d 4 s d 5 r d e a . ( i . ) a . a . T z e a . i a . z                       ( 5 )     W r eq u ir th at  r r r e k e  an d   r d r d r d e k e  ,   w h er r k an d   dr k ar p o s itiv es c o n s tan t s.   W ca n   u s t h L y ap u n o v   f u n ctio n :     r r d 22 1 v ( e e ) 2                             ( 6 )               r d r d r d r d z k ( )  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PEDS     I SS N:  2 0 8 8 - 8 694       MRA S - b a s ed   S e n s o r less   S p ee d   I n teg r a l B a ck s tep p in g   C o n tr o l fo r   I n d u cti o n   Ma ch in e   ( Mo h a med   Ho r ch )   1653   I ts   d er iv ativ i s :     r r r d r d r r r d d r r 6 s q r d 7 r 8 l r d 4 s d 5 r d v e e e e v e ( a . ( i . ) a . a . T z ) e ( a . i a . z )                   ( 7 )     T h ai m   o f   tr ac k i n g   is   f u lf ille d   ( v0 )   ch o o s in g   th v ir t u al  co n tr o th at  r ep r esen t s   t h s tab il izat io n   f u n ctio n   a s   f o llo w s     r r r r d r d d r ** s q r 7 r 8 l r d 6 ** s d r e 5 r d 4 1 i [ k e a . a . T z ] .a 1 i [ k e a z ] a                     ( 8 )     T h d er iv ativ o f   t h L y ap u n o v   f u n ctio n   b ec o m e s :     r r r d r d 22 v k e k e 0     So ,   th er r o r s   in   ( 3 )   co n v er g t o   ze r o .   T h s tate  rd   is   u n k n o w n ,   s o   w n ee d   to   u s h is   est i m a tio n   i n   ( 8 ) ,   s o   th n e w   e x p r ess io n :     r r r r d r d r d ** s q r 7 r 8 l r d 6 ** s d r d 5 r d 4 1 ˆ i [ k e a . a . T z ] ˆ .a 1 ˆ ˆ i [ k e a z ] a                                   ( 9 )     b)   Seco nd   s t ep  "c urre nts lo o p"     On ce   v ir t u al s   in p u ts   ar ca lcu l ated ,   w d ef i n th er r o r   o n   th cu r r en ts   as  f o llo w s :     s q s q sd i s q s q i i s d s d i s d ˆ e i i z ˆ e i i z                          ( 1 0 )     W ith :       s q s q t i i s q s q 0 z k ( i i ) d t    s d s d t i i s d s d 0 z k ( i i ) d t      T h en ,   th er r o r   d y n a m ical  eq u atio n s   ar ex p r ess ed   b y :     s q r r r s q s d r d r d d r s d * i r 7 r 8 l s q i r d 6 * i r d 5 r d s d i 4 1 e [k e a . a . T z ] i z ˆ .a 1 ˆ e [k e a z ] i z a     T h en ,   th er r o r   eq u atio n s   ( 5 )   ca n   b ex p r ess ed   as:     r r r s q r d d r d r s d 6 r d i s q 6 r d i 4 i s d 5 r d 4 i ˆˆ e k e a . . e a . . z e k e a . e a . a . z                         ( 1 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 694   IJ PEDS    Vo l.   8 ,   No .   4 Dec em b er   2 0 1 7   :   1 6 5 0     1 6 6 2   1654   W h er th f l u x   esti m atio n   er r o r   is :     r d r d r d ˆ     As  w ell,   th d y n a m ical  eq u ati o n s   f o r   th er r o r sq i e , sd i e ca n   b ex p r es s ed   as:     s q s q s q s q s q s q i s q s q i i i i s q i ˆ e i i z e b v z                                   ( 1 2 )     A nd     s d s d rd s d s d s d s d i s d s d i i i i r d s d i m ˆ e i i z k e b v z L                                 ( 1 3 )     W h er e:     s q r r r r r r * i r 7 r 8 l r 7 r 8 l r d 6 r d 6 11 [ k e a . a . T z ] [ k e a . a . T z ] ˆ .a ˆ .a   s d r d r d r d sq sd * i r d 5 r d 4 i s s d 1 s q 3 r d r 2 r q i 1 s d s s q 2 r d 3 r r q 1 ˆ [k e a z ] a . i a . i a . . a . a . i . i a . a .     No w   w ex ten d   t h L y ap u n o v   f u n ctio n   i n   ( 6 )   to   in clu d th n e w   s tates  v ar iab les sq i e , sq i e an d   th e   p ar am eter   es ti m a tio n   er r o r s   rd   as:     r r d s q s d 2 2 2 2 2 i i r d 11 v ( e e e e ) 2                                                  ( 1 4 )     W h er   is   p o s itiv co n s ta n k n o w n   as t h ad ap tiv g ai n .   W u s t h en er g y   f u n ct io n   v ,   to   o b tain   b o th   th co n tr o l a n d   esti m at io n   alg o r it h m s .   T h d er iv ativ o f   t h ab o v eq u atio n   i s :     r r r d r d s q s q s d s d i i i i r d r d 1 v e e e e e e e e                   ( 1 5 )     W ith :     r d r d r d r d r d 4 s d 5 r d ˆ ˆ ( a . i a . )               Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PEDS     I SS N:  2 0 8 8 - 8 694       MRA S - b a s ed   S e n s o r less   S p ee d   I n teg r a l B a ck s tep p in g   C o n tr o l fo r   I n d u cti o n   Ma ch in e   ( Mo h a med   Ho r ch )   1655     B y   r ep lacin g   s y s te m s   ( 1 1 ) ,   ( 1 2 )   an d   ( 1 3 )   in   ( 1 5 )   eq u atio n   is   o b tain ed     r r r d r d s q s q s d s d s q r s q s q s q s q s q s d r d s d s d s d s d s d rd r d s d 2 2 2 2 2 i i i i r d i 6 r d i i i i s q i i 4 i i i i s d i r d 5 i r d 4 s d 5 r d m5 1 ˆ v k e k e k e k e e ( a . . e k e b v z ) e ( a . e k e b v z ) k 1 ˆˆ [ a . e e ( a . i a . ) ] L     Fo r   th co n d itio n   t h at v0 ,   th co n tr o l v o ltag es sd v an d sq v   as f o llo w s :     s d s d s d s d s d s q s q s q s q s q s d s i i i i s d i s q s i i i i s q i v L (k e b v z ) v L (k e b v z )                   ( 1 6 )     An d   th ad ap tatio n   la w   o f   r o to r   f lu x   rd φ ˆ    g iv en   b y :     rd r d s d r d 5 i 4 s d 5 r d m5 k ˆˆ ( a . e e ) a . i a . L                   ( 1 7 )     4.   RO T O SPE E M RAS  O B SE RV E R   4 . 1     P rinciple o f   M RAS  o bs er v e r   C u r r en tl y   th er ar m a n y   tec h n iq u e s   f o r   ac h ie v i n g   s p ee d   est i m ato r ,   b u th m o s t u s ed   is   ce r tain l y   t h ap p r o ac h   u s i n g   an   Mo d el  R e f er en ce   A d ap ti v S y s te m   ( M R A S),   t h is   f o r   it s   ea s ier   i m p l e m en tatio n   an d   it s   g o o d   p er f o r m a n ce   in   ter m s   o f   p r ec is io n   an d   s tab ilit y   [ 2 2 ] .   T h tech n iq u o f   M R A S   b ase d   o n   t h r o to r   f l u x   f o r   esti m at in g   t h s p ee d   o f   t h i n d u c tio n   m ac h i n e,   o r ig in all y   d ev elo p ed   b y   C .   Sc h au d er   [ 2 3 ] ,   is   ce r tain l y   t h m o s p o p u lar   s tr ateg y .   T h p r in cip le  o f   t h s p ee d   esti m atio n   b y   M R A is   b a s ed   o n   th co m p ar is o n   o f   r o to r   f lu x   o u tp u t s   o f   t w o   esti m a to r s   u s i n g   d i f f er en t   f o r m u latio n s .   T h f ir s est i m ato r   is   b ased   o n   th s tato r   eq u atio n s   d e f i n i n g   v o lta g e   m o d el,   ca lled   th e   r ef er en ce   m o d el  an d   th s ec o n d ,   n a m ed   ad j u s tab le  o r   a d ap tiv m o d el  is   d escr ib ed   b y   th r o to r   eq u atio n s ,   it  d ef in e s   cu r r en m o d el.   T h esti m ated   co m p o n e n ts   o f   th r o to r   f lu x ,   f o r   b o th   m o d els ,   ar b ased   o n l y   o n   t h m ea s u r e m en t o f   s tato r   q u an tit ies.  W u s er t h e   r ef er en ce   v o lta g es a n d   th m e asu r ed   cu r r en t s   u s u a ll y   e x p r es s ed   in   s tatio n ar y   r ef er en ce   f r a m r elate d   to   th s tato r   ( α - β)  [ 5 ] .   T h s tr u ctu r o f   th ad ap tiv o b s er v er   is   s h o w n   i n   Fi g u r 1 .           Fig u r 1 .   B lo ck   d iag r a m   o f   M R A S o b s er v er               Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 694   IJ PEDS    Vo l.   8 ,   No .   4 Dec em b er   2 0 1 7   :   1 6 5 0     1 6 6 2   1656   4 . 2   E s t i m a t io n o f   ro t o s peed  by   M RAS  o bs er v er   T h eq u atio n s   o f   t h r ef er en ce   m o d el  ar g iv e n   b y :     r r s s s s s m r r s s s s s m L ( v R i L i ) L L ( v R i L i ) L                               ( 1 8 )     T h eq u atio n s   o f   t h ad j u s tab le  m o d el  ar g iv e n   b y :     m r r r r s rr m r r r r s rr L 1 ˆ ˆ ˆ i TT L 1 ˆ ˆ ˆ i TT                      ( 1 9 )     W ith     r r r L T R     W n o tice  th at  th r o to r   s p ee d   is   o n ly   p r esen in   eq u atio n s   ( 1 9 )   an d   n o in   eq u atio n s   ( 1 8 ) .   T h ad ap tatio n   alg o r ith m   is   c h o s e n   to   m ak t h ad j u s tab le  m o d el  co n v er g e   to w ar d   th r ef er en ce   m o d el  b y   m i n i m izi n g   t h e   er r o r .   Fo r   th is ,   t h al g o r ith m   p ar am eter s   ar d ef in ed   ac co r d in g   to   t h cr iter io n   o f   h y p er s tab ilit y   o f   P o p o v .   [ 2 3 ]   T h er r o r   b etw ee n   th s tates o f   th t w o   m o d els ca n   b ex p r e s s ed   in   m atr i x   f o r m   b y :     rr rr ˆ ˆ                       ( 2 0 )     An d   f r o m   eq u atio n s   ( 1 8 )   an d   ( 1 9 )   its   d y n a m ic s   ar g i v en   b y :     A . W                                       ( 2 1 )     W ith :       r r r rr r r r 1 ˆ T ˆ , A , , W ( ) . ˆ 1 T            Sch a u d er   [ 2 4 ]   o f f er s   an   ad ap ta tio n   la w   th a m ee t s   t h cr iter io n   o f   P o p o v   an d   g iv e n   b y   eq u at io n :     t r 2 1 0 ˆ ( ) ( ) d                            ( 2 2 )     T h cr iter io n   o f   P o p o v   r eq u ir es satis f ac tio n   o f   t h f o llo w i n g   in eq u ali t y   [ 2 3 ] :     t T2 0 W d t                            ( 2 3 )         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PEDS     I SS N:  2 0 8 8 - 8 694       MRA S - b a s ed   S e n s o r less   S p ee d   I n teg r a l B a ck s tep p in g   C o n tr o l fo r   I n d u cti o n   Ma ch in e   ( Mo h a med   Ho r ch )   1657   W ith     is   p o s itiv co n s ta n t.   R ep lacin g     an d   W   b y   t h eir   v al u e s ,   E q u atio n   ( 2 3 )   b ec o m es:     tt 2 r r r 2 1 00 ˆˆ . ( ) ( ) d                       ( 2 4 )     W ca n   s o lv t h eq u atio n   ( 2 4 )   u s i n g   t h f o llo w i n g   r elatio n s h ip :     t 2 0 d1 k ( f ( t ) ) f ( t ) d t k f ( 0 ) d t 2                      ( 2 5 )     T h u s o f   th ab o v e x p r ess i o n   p r o v id es th f o llo w i n g   f u n ctio n s :     1 i r r i r r r r 2 p r r p r r r r ˆ ˆ ˆ ˆ k ( ( ) k ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ k ( ) k ( )                   ( 2 6 )     R ep lacin g   t h eq u atio n s   ( 2 6 )   i n   eq u atio n   ( 2 2 )   th er w as o b tain ed :     r p r r r r i r r r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k ( ) k ( ) d t                   ( 2 7 )     p k an d i k   ar th P I   co n t r o ller   g ain s   o f   th ad ap tatio n   m ec h a n i s m .   T h f lu x   p o s itio n   a n d   th P ar k   an g le  i s   d eter m i n ed   b y :     r s r ˆ ˆ a r c t g ˆ                           ( 2 8 )     T h in teg r al  B ac k s tep p in g   co n tr o w ith   t h M R A S - B ac k s te p p in g   o b s er v er   co m b i n atio n   t o   esti m ate  t h r o to r   f l u x   a n d   th r o to r   s p ee d   f o r   in d u ctio n   m ac h i n ca n   b p r esen ted   b y   th b lo ck   d ia g r a m   o f   Fig u r 2 .           Fig u r 2 .   B lo ck   d iag r a m   o f   Se n s o r les s   in te g r al  B ac k s tep p in g   co n tr o l sch e m ass o ciate d   w it h     MR A S - B ac k s tep p in g   o b s er v e r       5.   SI M UL AT I O R E S UL T AND  I N T E RP R E T AT I O NS   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 694   IJ PEDS    Vo l.   8 ,   No .   4 Dec em b er   2 0 1 7   :   1 6 5 0     1 6 6 2   1658   0 1 2 3 4 5 6 - 1 5 - 1 0 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 - 1 0 0 - 5 0 0 50 100     ref e ren c e   sp e e d a c t u a l   sp e e d 0 1 2 3 4 5 6 -1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 0 1 2 3 4 5 6 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0 10 20 30 0 1 2 3 4 5 6 - 1 0 -5 0 5 10 15 20     q u a d ra t u re  st a t o   c u rr e n t d i rec t   st a t o c u rr e n t 0 1 2 3 4 5 6 -1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5     d i rec t   ro t o f l u x q u a d ra t u re  ro t o f l u x e st i ma red   ro t o f l u x 5 . 1   Si m ula t io n r es ults       T o   ev alu ate  th p er f o r m a n ce   o f   th co n tr o an d   th t w o   o b s er v er s   p r o p o s ed   in   th is   s tu d y ,   t w o   B en ch m ar k s   ar p r o p o s ed   b y   [ 3 ] .   T h f ir s t   B en c h m ar k   p r es en ts   r ap id   tr an s it io n s   an d   o p er atin g   ar ea s   a lar g e   an d   lo w   s p ee d s ,   t h s ec o n d   B en ch m ar k   co n s i s ts   o f   lo w   a n d   v er y   lo w   s p ee d   o p er atio n   an d   in v er s io n .   T h o b j ec tiv is   to   i m p o s r ef er en ce   tr aj ec to r ies  tak i n g   in to   ac co u n t h p r o b lem s   o f   o b s er v ab ilit y   o f   in d u ctio n   m ac h in e   at  v er y   lo w   s p ee d .   R ec all   th a t h s u f f ic ien co n d itio n   o f   o b s er v ab il it y   l o s s   co r r esp o n d s   to   h av i n g   s i m u lta n eo u s l y   co n s ta n m ec h a n ical  s p ee d   an d   ze r o   s tato r   p u ls atio n   [ 2 5 ] .     T h r esu lts   p r esen ted   b elo w er o b tain ed   b y   s i m u lati o n   test s   co n d u cted   f o r   s e n s o r less   in te g r al  B ac k s tep p in g   co n tr o s ch e m ass o ciate d   w it h   t h M R AS  a n d   B ac k s tep p in g   o b s er v er ,   o n   t h p r o f ile s   i m p o s ed   b y   B en c h m ar k s   1   an d   2 .     a)   B ench m a r ks   "1 "               R o to r   s p ee d   ( r a d /s )     Sp ee d   esti m atio n   er r o r     ( r a d /s )       T im ( s ec . )     T im ( s ec . )   Stato r   cu r r en ( A)     E lectr o m ag n   t o r q u e   ( Nm )       T im ( s ec . )     T im ( s ec . )   Stato r   c u r r en t in   d q   ( A)     R o to r   f lu x   in   d q   ( W b )       T im ( s ec . )     T im ( s ec . )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PEDS     I SS N:  2 0 8 8 - 8 694       MRA S - b a s ed   S e n s o r less   S p ee d   I n teg r a l B a ck s tep p in g   C o n tr o l fo r   I n d u cti o n   Ma ch in e   ( Mo h a med   Ho r ch )   1659   0 1 2 3 4 5 6 -1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 R o to r   f lu x   esti m atio n   er r o r   ( W b )              T im ( s ec . )       Fig u r 3 .   P er f o r m a n ce   in   B en ch m ar k s   1   o f   t h p r o p o s ed   o b s er v er   d u r in g   s tar ti n g   o p er atio n   w it h   lo ad   ch an g e       b)   B ench m a r ks   "2 "               R o to r   s p ee d   ( r a d /s )     Sp ee d   esti m atio n   er r o r     ( r ad /s )       T im ( s ec . )     T im ( s ec . )   Stato r   cu r r en ( A)     E lectr o m ag n   t o r q u e   ( Nm )       T im ( s ec . )     T im ( s ec . )   Stato r   cu r r en t in   d q   ( A)     R o to r   f lu x   in   d q   a x is   ( W b )       T im ( s ec . )     T im ( s ec . )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.