Int ern at i onal  Journ al of  P ower E le ctr on i cs a n d  Drive  S ystem s   ( IJ PEDS )   Vo l.   12 ,  No.   1 ,  M a r 202 1 , p p.  612 ~ 626   IS S N:  20 88 - 8694 ,  DOI: 10 .11 591/ ij peds . v12.i 1 . pp612 - 626          612       Journ al h om e page :  http: // ij pe ds .i aescore.c om   A robust  non li ne ar co ntr ol strat egy of  a PV Syste m conn ected  to  the thre e - phase g rid base d on ba ck steppin g and PS O tech nique       Sa lm a  Zo uga 1 ,  M ohame d B enchagr a 2 ,  Abdall ah Ail ane 3     1,3   Nati ona l  Scho ol  of  Appl ie d   Sc ie nc es,   ISERT   L abor at ory ,   ENSA ,   Sulta n   Moula y  Slim an e  Univ e rsiy ,  Khouribg a,  Morocc o   2   Superior  Schoo l  of Te chnol ogy ,  EST - Ben im e ll a l ,   Sult an  Moul ay S li ma ne   Univer s iy ,  Khouribg a,  Morocc o       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   M a y   1 9 , 20 20   Re vised  Jan   2 8 , 20 21   Accepte d  Fe b 1 3 , 20 21       Thi s  ar ti c le  pre s ent s  a   robust  no n - li ne ar  cont rol   te chn ique   of   th e   three - phase   photovol taic  sys te m .   Th e  struc tu re  chose n  for   this   PV   sys te m  is  tha t  of  two  power  conve r ters   and  DC  vo lt ag e  in te rm ediate  bus.  Th e   t wo  power  conve rt ers  ar e:   the   DC - DC  con ver te r   a nd  the   t hre e - phase   inv e rte r,  which   req uire s  two  main  cont ro ll ers .   T hese   cont ro llers  have   thr ee   main   obje c ti ves .   The  first   obj ec t i ve  is  to   i mpose   t he  PV   vo lt ag e   g ene ra te d   by   the  photovol taic   pane l ,   in  ord er  to  fol low  a   m a xim um   ref e ren c e  vol ta ge   provi ded  by   the   MP PT  bloc k.   Th e  sec ond  on e  is  t o  ma in ta in   the  DC  li nk  vol ta g e  to   a  const an t   val ue ,   in   orde r   to  op ti m iz e   the  tra nsfer   of   en er gy  be twee n   th e   two   power   conve rt ers.   The   l ast  obj ec t ive   is  t o  inj e ct  a  three - p hase   sinusoida l  c urre nt  int o   the   grid ,   whil e  r espe cting  a  un it   power  factor.   W it h  th e  intenti on   to  ac h ie v e   the se  three  obj e ct iv es,   we   desig ned  c asc ad ing  n onli ne ar  cont rol l ers  by  using   the  technique  of   non - li ne ar  b ac ks te pping   con trol  i n  th e  synth esis  o f  th ese   two   cont rollers,   base d  on   th e  Lya pu nov  func ti on ,   w it h   reg a rd  to   m axi mi se   the   PV G  output   voltage,  in  ord er  to   have   a  uni ta ry  p ower  factor  a t  th e  grid  sid e.   In  orde r  to  r egulate   DC - l ink  voltage,   w e  dev el op ed  an  in te gr al   pr oporti onal   cont roller  (PI)  with  par a meter s   tha t  are  optimi ze d  by  the   Par t ic l e  Sw arm   Optim izati o n  (PS O)  me thod.   T he  robustness  of  the   cont rol ler  designe d   appr oac h   is  te st ed  by   a   simul a ti on   in   MA TLA B/Sim uli nk   software ,   that   im prove s  the pe r forma nc es  of ea ch  con trol l er  wh at ev er condi t ion s of  clim at e .   Ke yw or d s :   Ba ckstep ping c on t ro l    Ca scade   regula ti on  lo ops   Lya punov f un c ti on  c on t ro l   Op ti mize d al gorith m    Thr ee  phase  P V  S ys te m   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  BY - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Salma Z ouga   Nati on al   Scho ol of  A pp li ed  S ci ences   Su lt an M oula y Sl imane  U nive rsiy   927, A L Fat h,   Kho ur i bg a - M orocc o   Emai l:   zouga. s el ma@gmai l.com       1.   INTROD U CTION   Durin g  the   la st  deca de,  we   ca nnot  ima gi ne  a   sin gle  da y  without  el ect rici ty .  We  c ons um e   m or e   a nd   more  e nerg y,  a nd  we  wa nt  to   pr oduce   it   co r rectl y.  To   mee t  this  gro wing  dema nd,  we   ha ve  bee n  t urni ng  for   the  la st   fe w   ye ars  t owar ds  cl ean   an d  re ne wa ble  e nergies,   t o  pro duce   m ore  a nd  m ore,   wi thout  destr oy in g  t he   env i ronme nt.  Nowa day s ,  m or e  i nterest  in   photov oltai c  energ y  (PV)  ha s  fo c us e d  on   photov oltai c  sy ste ms   connecte d  t o  th e  gr id   [ 1] .  H oweve r,   t he  ope rati on   of   t hese  pho to volt ai c  sy ste ms  is  in flu enced   by  the  va riat ion   of  weat her  co nd it io ns   [2] ,   the  non - li near it y  of  the  switc hing  functi ons   of  c onve rters  and  in ver te rs,   and  the   load  var ia ti on   [3] .  T he  impa ct   of   these  dif fer e nt  facto rs  po s es  the  c on t ro l  of  these  s yst ems  in  f ront   of   the   Diff e re nt  c halle ng e s  t o  im pro ve  t he  pe rform ance  a nd  qual it y  of  th e  gr i d .   T hu s ,  it   is   esse nt ia l  to  desig n  r obus t  con t ro ll ers   w hi ch  ens ure  the   main  obje ct ives  of  co ntr ol  r epr ese nted   by  the  co rr ect io n  of   t he  powe r  f act or,   regulat ion  of   t he DC  bu s  volt age   a nd  opti mi zat ion   of  the  powe r ge ner at ed  by th e  P V pane l  [4 ,  5] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       A   rob us t  nonlinear c on tr ol st ra te gy  o f  a  P V  System  con nected to  the t hr ee - phas e  g ri d   …   ( Sa l ma Z ouga )   613   In   the  li te ratu re,  ma ny   st udie s  hav e  f oc use d  on  the  de sign   met hods  of   li nea r  co ntr ollers  f or   photov oltai c  sy ste ms   c onnec te d  to  gr i d.  A mong  these  m et hods   we  ca n  fi nd :  t he  cl assic al   PI   c ontrolle r   gen e rall y  us e d  in   in du st ry,  be cause  it   is   c he ap,  r obus t,   a nd  it   is   easy   to   impleme nt   [6 ],   it   pro duces  good  resu lt s   in   li nea r  s ys te ms .   H oweve r,  it   has   c ertai n  li mit at io ns ,   giv e n  t hel  un ce rtai nties,   a nd  non - li near  l oads .   I n  [7 ,  8],   t he   c on t ro l   ba sed   on  a   PR  c on t ro ll er ,   has   al so  s how n  the   good   co ntinu at io n  of  the   ref e ren ce ,  t ha nks   to   th e  in finite   gai n.   D e sp it e  t he  us ef uln e ss  of  t hese   li near  c ontrolle rs   to   achi eve  t heir   obje c ti ves  within   a  sta ble   op e rati ng  rang e ,  the se  li nea r   methods   becom e  in suf fici ent ,  a nd  unreli abl e  in   the   prese nc e  of   ra pid l y  c hangin g  op e rati ng  c ondi ti on s ,  i nclu din g  mete orolo gi cal   changes.   Fo r   this  rea on,   the  desig n  of   a  c on tr ol  te c hniq ue,   adequate  t o per tur bations, a nd to  the  no n -   li ne arit y beco me  necessa ry .   A   lot  of  resear ches   ha ve   pr opos e d  rob us t  non - li nea r   co ntr ol   meth ods  t o  e ns ure   sta bili ty   [9 - 1 1] ,   f rom   PV   sy ste ms  c onnecte d  t o  gr i d.  Th e   sli di ng  mode  c ontr oller  (S MC )   [ 12 ,  13 ],  th e   pre dicti ve  co ntr oller  model   [14 ] ,  an d  the  f eedb ac k  li nea r iz at ion   te ch nique  FB L   [15 ] ,   a re  me ntion e d.   Each  of   it s  ap proac hes  ha s  it s  own   adv a ntage s,  a nd   disa dv a nta ges.   T he  FB L   te chn iq ue  of f ers  the  best  pe rformance  ov er  a  wi de  ra nge  of  op e rati ng  rang es   but  it   ca ncel s  the   no nlinear it ie s  of  the   sys te m   an d  bec ome s   a   li near  s ubsyst em .   I n  a ddit ion ,   this  ca ncell at ion   ca n  be   a vo i de d  by  us in g  a  con t ro ll er   [ 16],  base d  on   the   nonlinea r  Ba c ks te ppin g  te c hniq ue.  This  met hod  will   be  prese nt ed  in  this  pa pe r ,  in  order  to   desig n  a n  a ppr opriat e  co ntr ol  la w ,  to   ens ur e  t he  ov e rall   sta bili ty  of  the   s ys te m .   N on - li near  con t ro ll er   de sign,  i n  casca de   base d  on  the   B ackstep ping   te chn i qu e ,   ta kes  into  c onside rati on   t he   fo ll owin g  c on t ro l  ob je ct ives:  i)  re gu la te   the  vo lt age   wh ic h  sup plies  the   photov oltai c  ge ner at or   to   ext ract  the  ma xim um   power .   ii )  Ph asi ng   t he  vo lt ag es  of   t he  gr id  with  the  c ur ren t  by   regulat ing   t his  la st ,  and   to  as s ert  a  perfect   co rr ect io n  to  the  powe r  facto r  ( PFC).   In   orde r   to  keep   t he  D C  bu s   vo lt age   at   it s  desire d  ref e rence   val ue,   a   P I  typ e   co ntr oller   base d  on  a   pe rformi ng  met a - he ur ist ic   a l gorith m   " par ti cl e  s warm  op ti miza ti on"  (P S O)  has  been  dev el op e d  t o  opti mize   the   K p  a nd  Ki  par a mete rs   of  t he   con t ro ll er .  P S O  is a n op ti miz at ion  alg ori thm  u se d  in  this  pa per  t o determi ne  the  par a mete rs of  t he  P I reg ulator   in  orde r  to  regulat e  the  DC  bus  volt age .  [ 17] .  Co mp a re d  w it h  sever al   methods,  i nclu ding  ge netic   al gor it hms   (GA),  B - sp li ne   net wor ks ,   f uz zy  l og ic   an d  ne ur al   n et works   [ 18] ,  P SO  has   sho wn  a   bette r  opti miza ti on ,   it   is   base d  on  a  sim ple  al gorith m  c har act erize d  by  ease  of   imple mentat io n  an d  rob us tness .   T his  pa per   is  struc ture d  as  f ollo ws:  S ec ti on   2  prese nts   the   de scriptio n  of  t he  s ys te m,  a nd  t he  mat hemati cal   m od el .  Sect io n  3  de velo ps   the  nonli near   c on t ro l  strat e gies  of   t he  pr opose d  s ys te m.  Se c ti on   4  sho ws  the  sim ulati on   r esults  as  well   as  an   analysis  of the se r es ults . F i na ll y , conclusi on  is givi ng in  sec ti on   5 .       2.   DESCRIPTI ON A ND M O DELL ING O F  THE  ST UDIED S YS TE M     The  f ollow i ng  sect ion   present s  the  mathe mati cal   modeli ng  of  each   c omponent   in  t he  PV  conve rsion   chain.   As  il lus trat ed  i n  Fi gur e 1,  the   ge ner al   str ucture  of  th e  syst em  c onsist s  of  t wo  pow er  sta ges  t o  m anag e   the  P V   power  deli ver e d  t o  the  util it y  gr i d.   T he  first   st ag e  incl ud i ng  a   chop per  that   a ll ow s   to   ext ra ct   the   maxim um  po w er  ge ner at ed   by   t he  PV  pan el ,  by  re gula ti ng  the  ou t pu t   cap aci tor’ s   vo lt ag e  to   a  c onsta nt  value.   Be sides  it   al lows   to  ac hieve  the  M P PT  c ontrol  by  f or ci ng   the  phot ovoltai c  pan el   to  operate  at   the  op ti mu m   op e rati ng  point   des pite  the  va r ia ti on   of  e nv ir onmental   c ondi ti on s.   T he  sec ond  sta ge  is  re pr ese nted   by  a  three - ph a se  in ver te r   whose  main  obje ct ive  is  to  en su re  t he  c onve rsion  of  the   D C  power  into  a n  AC  powe r  in je ct ed   into the  grid , a nd contr ols the   outp ut curre nt .           Figure  1.   S tr uc ture of  the  gri d - co nnect ed p hotovolt ai c sy ste m       In  or der  to   ha ve   a  ze r o  phase   sh ift  with   the   volt age  of   t he  gri d  i n  orde r   t o  ob ta in   a   unit y  FP.  The   use   of   t he  in duct iv e  filt er  L  betw een  the   in ver te r  an d  t he  th ree - phase  gr i d  is  necessa ry,  in  orde r  to  minimi ze   the  harmo nic c ompone nts  in  the i nv e rter  outp ut  curre nt  ge ner at ed by t he PW M  c ontrol.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   612   –   626   614   A  phot ovoltai c  pan el   co ns i sts  of   se ver al   cel ls  as so ci at ed   in   series   a nd  i n  pa rall el ,  w hic h  a re   el ect ro nic  c omp on e nts   t hat  al low  t he  tr ansfo rmati on  of   li gh t  i nto  el ect rical   en ergy.  The   el ect rical   char act e risti cs  of   a  si ng le   m odule  us ed  i n  this  stu dy   a re  li ste d  in  Table  1.   Wh il e  the  a dopted  mathe mati cal   model  of   a  PV  cel l  is  sh own  in  Fi gure  2,   thi s  model  co n sis ts  of   a  cu rr e nt  gen e rato r  0   con t ro ll ed  by   volt age,  and   i nf l uen ce d  by   te mp e ratu r e  and   so la r  ra diati on ,   an   a nt i - par al le l  di ode  D 1,  a   s hunt  el ect rical   resist ance   ℎ ,   an d  a  ser ie s  re sist ance    [19].           Figure  2 .  P V  c el l mod el       The  relat io nsh ip  betwe en  P V  cu rr e nt  a nd  PV   ou t pu t  volt age  is  re presented  by  th e  fo ll owin g  mathemat ic al  e qu at io n:     I =     I 0 −   I D   [ +  − 1 ]   −   +   ℎ     (1 )     With  I  represe nt  the   li gh t   ge ner at e d  c urre nt,   I 0   the   di od e   sat ur at io n  c urre nt ,  T K   the  te m perat ur e   of   cel l,   In K,  n  th e ideal  f act or,   q  the  ch a r ge of  an  elec tr on,   i n C  and  K  t he  B oltzma n’s c ons ta nt,   in  J/ K         Table  1   P V mo du le   pa rameter s   Para m eter   Valu e   Maximu m  po wer   260W   Cu rr en t at  th e  m ax im u m   p o we r  p o in t   8 ,37 A   Vo ltag e at  th e  m ax im u m  po we r  p o in t   3 1 ,1V   Nu m b er  o f  series   m o d u les   6   Nu m b er  o f  parallel  m o d u les   1       The  sta bili zat ion   of   t he  DC  volt age     and   the   converge nce  of  this  volt age  to  it s  ref e ren ce  value  is   the  obje ct ive  of  the  dev el op e d  co ntr ol  strat e gy.  F or   t his,  obta inin g  a  dyna mic  model  of  the  DC/DC  c onve rter   [20]  is  esse ntial   by  us i ng  the   kirc hhoff  la w  wh e re  t he  DC - li nk   ca pacit or  and  the    capaci tor  a re  c onnect ed  and this ca n be  w ritt en  as:        dv pv dt   = 1 C pv ( i pv − I L )     (2 )       di L dt = 1 L 1 [ − R 1 I L + v pv − ( 1 − μ ) V dc ]     (3)     dV dc dt = 1 C dc [ ( 1 − μ ) − I dc ]   (4 )     wh e re     and      represe nt  the   gen e rated  P V  ou t pu t  vo lt age   and   c urren t,     desig nates  th e  DC  li nk   vo lt age ,     and     are   res pecti vely  the inp ut and  outp ut   cu rr e nt c hopper , a nd    is t he  duty  cy cl e   [ 21] .   The  sec ond  co nv e rsion  sta ge   represente d  by  the  th ree - ph ase  inv e rter  is  us e d  to  ge nera te   the  three - ph a se  cu rr e nts   injec te d  into  the  gr i d.   T he  inv e rter  is  bas e d  on  P W M   co ntr ol  and   is  c onnecte d  to  the   gr id   thr ough  a   ba x  pa ss   filt er.   Wh e reas   the   dyna mica l  m od e l  of   volt age   so urce   in ver te r  is   e xpresse d  by   the  fo ll owin g  e qua ti on s  [22 ,  23] :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       A   rob us t  nonlinear c on tr ol st ra te gy  o f  a  P V  System  con nected to  the t hr ee - phas e  g ri d   …   ( Sa l ma Z ouga )   615    = − − +  3   (2 − −   )   (5 )      = − − +  3   ( -   + 2 − )   (6 )      = − − +  3   ( -   − + 2 )   (7 )     The  pr e vious model  is  tran sf ormed  i nto   a ne w  re fer e nce f r ame  acco rd i ng to  the  a ngular  f reque ncy  of   the n et wor k,   w hich   al lo ws  u s   to r e wr it e th e i nv e rter  model  as foll ows:       d I d dt = − R f L f I d + w I q − 1 L f E d + V dc L S d     (8)       d I q dt = − R f L f I q − w I d − 1 L f E q + V dc L S q     (9)     Id  an d  Iq  are   are  the   act ive  and  reacti ve   c urren ts ;  E d  an d  E q  a re  a re  t he  act ive   an d  reacti ve  gr i d  vo lt age s; S d  a nd   S q  a re  t he  s w it ching  c ontr ol  inputs.       3.   CONTR OLL ERS  DESIG N  STEPS   In   t his  sect io n,   we  a re  i nt erested  in   de sign i ng  tw o  r obus t  c on t r ollers  base d  on  ad va nced  mathemat ic al   al gorithms   de di cat ed  to  non - l inear  s ys te ms .   The  first  c ontrolle r  c oncer ns   the  P V  vo lt a ge,   it  fo ll ows  t he  ma ximum  powe r  po i nt  ( MPPT )  by  tw o  c ontr ol  lo op s ,  a nd  r eg ulate s  the   volt age  ge ner at e d  by  the   PV   ge ner at or .   F or  the   seco nd   co ntr oller   is  ba sed  on  tw o  ca scade d  lo ops,  a n  inte rn al   re gu l at ion   loop   t o  c on t ro l   the  act ive  an d  reacti ve  po wer  injec te d  into  t he  gri d,  an d  th e  exter nal  lo op  serv e s  ma ke   the  DC  bus  vo l ta ge   sta ble acco rd i ng to  the  desire d  re fer e nce  vo l ta ge . T he  f ull mo del of the  de sign   of  t hese  co nt ro ll ers  is s how n  in   the F ig ure  3,  a nd it  w il l be  d e ta il ed  in this  se ct ion .           Figure  3. N onli near co ntr ol sc heme o f  the  th r ee - phase - gri d  c onnected  ph otovo lt ai c s ys te m       3.1.   P V outpu t vo lt age c ont rolle r desig n   The  pr i nicipal   go al   of  this  re gula tor   is  to   ens ur e   the  e xtracti on  of  t he  ma xi mu m   po wer  ge ner at e d  by  the  PV  pan el   wh at e ver   the   operati ng   co ndit ion s .  For   this   r easo n,   the   design  of  t his  c ontr oller  ai ms  t o  st abili ze  the  P V   volt ag e  at   it s  ref e re nc e  val ue   obta ined   by  th e  MPPT   al gorith m   ba sed   on  inc r emental   c ondu ct ance  te chn iq ue.  T hi s  re gula ti on  of  the   P V  volt age  is   ens ure d  by  the   Ba c ks te ppin g  te c hniq ue  a ppli ed   to  t he  dyna mics   m od el   ( 4),  a nd   bas ed   on   the   sta bi li zat ion   f unct ion  of  L ya punov,  t he   de sig n  of   the   c on t ro l le r  is   dev el op e d  i n  t wo steps   [ 24] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   612   –   626   616   I n  t he  first  des ign   ste p:  w e  de fine  t he  er r or  betwee n  t he  volt age  gen e rat ed  by  the  PV  pan el   a nd  it s  ref e ren ce   by:     e 1 = V pv   − V pv ref     (1 0 )     Wh e re      rep res e nts  t he  volt ag e  ge ne rated   by  t he  MPPT   blo c k  w hich   s erv es   as   a   re f eren ce  vo lt age .   By r e placi ng  w it h  ( 4)  t he deri vative  of (1 0 ),  resu lt s t he  er r or  dynamics,  wh ic h  is:     e ̇ 1 = 1 C pv ( i pv − I L ) − V ̇ pv ref     (1 1 )     To  c onfir m the  stabil it y,  L ya puno v  ca nd i date  fun ct io n (CLF )  is cal culat e d as:     V 1 = 1 2   e 1 2     (1 2 )     Its ti me d e rivat ive is  giv e n  as  fo ll ows:     V ̇ 1 =   e 1 e ̇ 1     (1 3 )     If   we  c onside r  ̇ 1 =   − 1 1   the  der i vative  of CLF ca n be  wr it te n  as :     V ̇ 1 =   − k 1 e 1 2   (1 4 )     M a king  ̇   ne gat ively  def i ne d  def i nite  ( ̇ 1 < 0 )   or  se mi - de finite   ( ̇ 1 ≤ 0 )   al lows   t o  sta bili ze   ̇ 1   an d  to h a ve  a  null  c onve rg e nce e rror .  w hic h  ma ke s it  possible t o wr it e  ̇ 1   in a si mp li fied  form :     V ̇ 1 =   1 C pv ( i pv − I L ) − V ̇ pv ref = − k 1 e 1     (1 5 )     If  w e  c hoos e    as  virt ual  co ntr ol   input,   we   de duce  the stabil iz ing  f unct io n ( =  ) ,  w hich  e nsure   the  asy mp t otic  sta bili ty   of   the   su bsystem   (1 7 ).   A nd  f rom  ( 2 7 )  the  desire d  value  of   t he  fir st  virtu al   co ntr ol  ca n  be writt en  as  foll ows:     α = i pv − C pv ( V pv ref − k 1 e 1 )     (1 6 )     As    is  no t  t he  f inal  co ntr ol  in pu t,   a nd  not  al way s   e qu al   t o  t he  sta bili zi ng   f un ct io n,  in   the   fo ll owin g  a  new  er ror  va riable  2   betwee n  the  virtu al   c on t ro l    and  it s  desire d  va lue    is  introduc ed  s te p  to  def in e   the   final c on tr ol i nput   sig nal .   I n t he  sec ond   de sign st ep:  we defi ne  the  er ror bet wee n  the  c urren t a nd it s refere nce  value     as:     e 2 = I L − α     (1 7 )     Whose  dy nami cs is ba sed  on t he  s ubsy ste m ( 18 )  a nd  it  can   be  e xpresse d b y :       e ̇ 2 = 1 L [ v pv − ( 1 − μ ) V dc − R 1 I L ] − α ̇     ( 18 )     In co ntem plati on of sta bili zi ng  the   s ub s ys te ms (4 )  a nd (5),  w e c onside r  th e seco nd ca nd i date L yapu nov  functi on:     V 2 = V 1 + 1 2 e 2 2     ( 19 )     Be fore  obta ini ng   t he  de rivati on   of   t he  Ly ap unov  can did at e  Functi on   2   ,  it   is  necessa ry   t o  simpli fy  the  value   of  t he   der i vative  of   ̇ 1   represe nte d  by  (1 5 ).   For  this ,  th e  dyna mics  of   the  error  1   can  be  r e - expresse d b y:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       A   rob us t  nonlinear c on tr ol st ra te gy  o f  a  P V  System  con nected to  the t hr ee - phas e  g ri d   …   ( Sa l ma Z ouga )   617   e ̇ 1   =   1 C pv i pv − e 2 C pv − α C pv − V ̇ pv ref     ( 20 )     Fr om  ( 1 3 ) ,  ( 1 6 )  an d  (2 0 )   the  dynamics  of  tr ackin g   er r or   1   an d  L yapu nov  functi on  can  be  wr it te n  as   fo ll ows:     e ̇ 1   =   − k 1 e 1 − e 2 C pv     (2 1 )     V ̇ 1 =   − k 1 e 1 2 − e 1 e 2 C pv     (2 2 )     The  ti me  de riv at ive of   V 2   is gi ve n by usi ng the  ( 19 )  a nd v al ue  of   V ̇ 1 ,:     V ̇ 2 =   − K 1 e 1 2 + e 2 ( e ̇ 2 − e 1 C pv )     (2 3 )     I f we s et   2 < 0   or   2 ≤ 0 ,  w e can  e nsure  th e stabil it y  of  t he  erro r derivati ve   2   , an d we ca n  put:     − 2 2 = ̇ 2 − 1      (2 4 )     Wh e re,  2   is  a  re al   po sit ive  desi gn   pa rameter ,  and   t he  dynam ic s  of   t he  Lya puno v  can dida te   functi on  becomes:     V ̇ 2 = − K 1 e 1 2 − K 2 e 2 2 ≤ 0     (2 5 )     The  e quat ions  (2 4 )  and  ( 18 )  l ead to :     − K 2 e 2 = 1 L [ v pv − ( 1 − μ ) V dc − R 1 I L ] − ̇ −   1      ( 2 6 )     By  re placi ng  (2 6 )  in  the  e xpr ession  of   t he  dyna mics  of  CF L  (2 5 ) ,  we  get the  real  co ntr ol  input   sign al   no te d  μ , th at  e nsures  the  sta bili ty  of the s ys te m  ( e 1 , e 2 ) :       μ = 1 − 1 V dc ( − R 1 I L + v pv + L K 2 e 2 − L α ̇ − L e 1 C pv )     (2 7 )     3.2.     Ac tive  an d rea c tive  p ower c ontrolle r  design   The  ob je ct ive   of   t his  c on tr oll er  is  to   achie ve   a  unit y  pow er  fact or   by  re gu la ti on  of   t he   direct  a nd   qu a drat ic   com pone nt   of  the  current   ,     to  be  sinu s oid al   a nd   in  phase  with   the  gri d  s uppl y  volt age .  Thi s   internal  c urre nt   regulat ion  lo op  ai ms  t o  ma ke   the   c urren t    and     pr ese nt  a de qu at e  val ues  with  it s  gen e ra te d  ref e ren ce  v al ue s,  in  ord e r  t o  in je ct  an  opti mal  acti v e po wer a nd zer o react iv e pow e r.   The  i niti al   ste p  of   t his  c on t r oller  is  to   de fi ne  the   trac king   erro r  betwee n  the  act ive   cu r ren t  a nd  i ts  re f eren c e  value b y:       e 3 = I d − I dref     ( 28 )     Wh e re   the   re fe ren ce   c urren t      is  gen e rated   by  the   e xter nal  volt age   re gu la ti on  l oop  disc usse d  in   the foll owin g  s ect ion , a nd  wh i ch  is e xpresse d as f ollo w:       I dref = β E d   ( 29 )     With    is   an y p osi ti ve  real c on s ta nt g e ner at e d by the  oute r v ol ta ge  loop.     The  ti me  der i va ti ve  of  the  t ra ckin g  e rror   bet ween  the  act iv e  curre nt  an d  i ts  ref e ren ce   va lue    3 ,  is  expresse d b y :         e ̇ 3 = − R f L f I d + w I q − 1 L f E d + V dc L f S d − I ̇ dref   ( 30 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   612   –   626   618   Alte rn at ivel y,   we defi ned  the  trackin g  e rror  betwee n  the  r e act ive curre nt  and it s r e fer e nc e v al ue   er r or   as:       e 4 =   I q − I qr e f     (3 1 )     U sin g  t he valu e of   ̇ , w e  can  e xpress  t he deri vative  of    4   by:     e ̇ 4 = − R f L f I q − w I d − 1 L f E q + V dc L f S q − I ̇ qr e f     (3 2 )     The  determi nation  of   t he  c ondi ti on s  on  t he  c on t ro l   la w   re quires  t he  ch oic e  of   t he  L ya punov  sta bili ty  functi on   w hich   al lows   t o  fi nd   the  bala ncin g  po i nt  of  the  syst em .  T h us ,  a  new  CLF  is  be ing   c onside red   wh ic h  makes  it  possi ble  t o de du c e t he  c on t ro l si gnal s     an d        V 3 = V 2 + 1 2 e 3 2 + 1 2 e 4 2     (3 3 )     The deri vative   of this CLF  is re pr ese nted   by:     V ̇ 3 = V ̇ 2 + e 3 e ̇ 3 + e 4 e ̇ 4   (3 4 )     By  re placi ng   t he values  of  V ̇ 2   from ( 2 5 ),  e ̇ 3   f rom  (3 0 ) , a nd  e ̇ 4   from  (3 2 )  int o (3 4 )   yields  we’ve  got:       V ̇ 3 = − K 1 e 1 2 − K 2 e 2 2 + e 3 ( R f L f I d + w I q − 1 L f ( E d − V dc S d ) − I ̇ dref ) + e 4   ( R f L f I q − w I d −   1 L f ( E d − V dc S q ) − I ̇ qr e f )   (3 5 )     to  make   th e  de rivati ve   of   V 3   ne gativel y  def i ne d  al lows  us  to   hav e   a   global  sta bili ty   of   th e  s ys te m,   and this  by  c hoos in g   t he  f ollo wing s witc hing  contr ol laws:     =  ( − + ̇  − 3 3 + )   ( 3 6 )       =  ( + + ̇  − 4 4 + )   ( 3 7 )     By  us in g  a  de rivati ve of   the  C LF, we ca n  si mp li f y  the  equ at ion   ( 3 5 )   as:     ̇ 3 = − 1 1 2 − 2 2 2 − 3 3 2 − 4 4 2 ≤ 0     ( 38 )     This   ens ures  a  gen e ral  sta bili zat ion  relat ed   to   the   dynamic   operati on   of   the   V SI,  a nd   w hic h  ma kes   it   po s sible t o i nje ct  an   op ti mal  va lue of t he  act ive  powe r  a nd a  zer o  injec ti on  of the  reacti ve powe r.     3.3.    Desi gn o f  DC - li nk  volt age c ontrolle r    T he  DC  bus  volt age  c ontrol  l oop  must   ens ure  tw o  c ontr ol  ob je ct ives   the   first  is  t o  keep  this  volt age  sta ble, a nd the  seco nd is to  ge ner at e t he  act iv e ref e re nce c urren t.   re qu i red f or the i nternal   current l oop.   Ther e f or e,  t he  desig n  of  this  con t ro ll er  base d  on  a  P I  volt age  lo op,  w hich   has  as  in pu ts:   the  square d  of  the   DC  bus   v oltage    2   a nd  it s  re fere nce   c omp on e nt    2   ,   an d  wh ic h  ge ner at e s  at   it s   outp ut   a  c on tr ol  sign al     mu lt ipli ed  by   gri d  volt age  to   deter mi ne  the   am plit ud e  of   t he  c urre nt  injec te d  i nto  the  gr id .   T he  blo c k  diag ram of  the   con t ro l l oop  is  sh ow n  in  Fi gur e 4 .   In close d  lo op,  the tunin g  la w     is e xpresse d b y     = (  2   −  2 ) .   ( )   (39)       ( )   is t he  tra nsfer   functi on  of   c on ven ti onal   P I  c ontr oller,   e xpres sed b y:   + ∗ ( 1 ) .   The  deter minat ion  of  t he  c on t ro l pa rameters     an d    m us t be precise   in   or der to  e ns ure  t he  opti mal  sta bili ty  point   and  a   slo wer  dynamic   co m pa red  to   the   int ern al   cu rr e nt  l oops ,   for   this  pur po se   the   P arti cl e  Sw ar m  Op ti mi zat ion   ( PS O)   c on t ro l  te c hn i que  h as  been  a dopted   w hich   has  become  one  of   t he  fa vo rite s  in   op ti miza ti on  al gorithms   s olu ti on s ,   t hanks   to   it s  simpli ci ty  of  im pleme ntati on,  it s  r obus tn ess  a nd  it s  ca pa ci ty   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       A   rob us t  nonlinear c on tr ol st ra te gy  o f  a  P V  System  con nected to  the t hr ee - phas e  g ri d   …   ( Sa l ma Z ouga )   619   to  imp rove  propo rtion al   inte gr al   ( PI)  pe rfo rma nces,   by   s earchi ng   for  t he  best  values   in  orde r  to  m ake  the   error as s mall  as possib le  or ze ro.             Fig ur e   4.   P SO al gorithm  b a s ed DC - li nk  Volt age contr ol lo op       3.3.1.   P art ic le   sw arm  op tim iz at io n   algorit hm   The  PS O  al gorith m  is  co nsi der e d  one  of  the  m os t  ex cel le nt  op ti mi zat ion   meth od s  that  have  unde rgo ne  ma ny  cha nges  si nc e  it s  introd uction  i n  1995,  by  Ke nn e dy  a nd   Eberha rt.  PS O  has  pro ven  r obus t  i n  so lvi ng   c on ti nuous  nonlinea r   op ti miza ti on   pro blems,  it s  pri nci ple  a dopts   a  conven ti on a l  swar m  ma na geme nt   for  bir ds .   Eac h  " bir d"  is   re presente d  by  a   par ti cl e.  a nd  r epr ese nts   a  ca nd i date  s olu ti on  t o  t he  opti miza ti on   pro blem.   A  s w arm  inclu des  of  S - par ti cl es  fl ow i ng   t hroug h   a  mu lt idimens ion al   searc h   s pa ce,   an d  each  of   it s  par ti cl es  a dju s t   its   po sit io n   in  searc h   sp ac e   acco rd i ng  to   it s  own  e xp erience   a nd   th at   of  nei ghbo ur i ng   par ti cl es.   Th us,   a   par ti cl e  us e s  the   good  pos it ion   e nc ounter ed   by   it sel f   a nd   t hat   of   it s  ne ighbou rs  pa rtic le s   to   po sit io n   it sel f   towa rd s   t he  m os t   opti m al   sol ution .   The  se cond  esse ntial   factor  in  this  te chn iq ue  a nd  wh ic h  al lows  each   pa rtic le   to  c ha nge   it s   posit io n  is  t he  velocit y  i nformat io n,  w hich   al lo ws   each   par ti cl e  durin g  updatin g proce ss at eve r y  it er at ion   to  f i nd it s b est  a nd  on l y solutio n .   every  pa rtic le   is  re pr ese nted   as  a  po i nt   in   a  j - dime ns i on a l  sp ace.   T he  i th  par ti cl e  is  r epr ese nted   as   = ( 1 , 2 , … ,  ) .  T he  best   previ ou s   po sit ion   of   it h  pa rtic le   swa rm  is  re pr es ented  a s = ( 1 , 2 , … ,  ) ,  this  is  cal le d  pb e st.  T hu s ,   a   par ti cl e  us es   th e  good  posit ion   e ncou ntere d   by   it sel f   an d   th at   of   it s  neig hbou rs  par ti cl es   to   po sit ion   it sel f   to wards   the   m ost   opti mal  s olu t ion .   T he   sec ond  e ssentia l  fac tor   i n  this te ch nique  and whic h al lo ws  eac h partic l e to c hange .       V ij n + 1 = w ∗ V ij n + r 1 c 1 ( P ij n − X ij n ) +   r 2 c 2 ( P gj n − X ij n )     ( 40 )       Wh e re     is   the   inerti a   wei gh t,   1 and   2   are  acce le r at ion   coe ff ic ie nts,  1 and   2   are   ra ndom   num ber s   un i formly  d ist r ibu te d bet wee n   0   a nd   1,  a nd    r epr ese nts t he  it erati on num be r .   T he ne w po sit ion o f  t he parti c le s is obtai ne d on the  basis  of  it s  velocit y   a nd  it s p re vious  po sit ion :      + 1 =  +  + 1     ( 41 )     The  perf or m an ce  of  eac h  par t ic le   is  measu re d  us in g  a   pred efine d  ob je ct iv e  (f it ne ss)   f un c ti on ,  w hic h  def i ne  the  c ha r a ct erist ic s   of th e opti miza ti on   pro blem [2 5 ].     3.3.2.   PI c ont rolle r based  on PS O t ec hni que   In  this  w ork,  the  PSO  al go rithm  is   us e d  to   deter mine   the   opti mal  value s  of    a nd    of  the  P I   con t ro ll er.   T he   impleme ntati on  str uctu re  of  the  PS O  te ch nique  for  t un i ng  the   PI  c on t ro ll er   in  t he  D C  bus   con t ro l   lo op  is  represe nted   in   Figure   4 ,   it s  pe rformance   e valuati on  base d  on  t he  obje ct ive   f unct ion  def in ed  by   the mini mum t ime mult ipl y  s qu a re d  er r or   IT SE,  a nd  wh ic h ca n be  represe nted b y:     ITSE   = ∫ t .   e 2 ∞ 0 dt     ( 42 )     Wh e re    is  the   PI  co ntr oller  input  that  e xp resse d  the   er r or  bet ween  th e  square   of  t he   meas ur e d  vo lt age      and  t he  squar e  of its  r efere nce  value      .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8 694   In t J   P ow  Ele c  &  D ri   S ys t,   V ol .  12 , N o.   1 ,  Ma rch  20 21   :   612   –   626   620       Figure  5.  imple mentat io n  al go rithm  of the  PSO - P I  c ontr oller meth od       The  c ompu ta ti on al   flo wch a rt  in  Fig ur e   5  re presents  t he  al gorith m  use d  i n  the  impleme nt at ion   of   t he  PSO  f or  the  pu rpose  of  op ti m iz ing   th e  par a mete rs  of  the  P I .   T he  Para mete r s   init ia li zat ion   at   th e  beg i nning   of   the  PS O  al gori thm incl ud es  the ma xim um   num ber   of it e rati on s     that i s equal t o 100 itera ti on s,   t he  siz e  of  t he   popula ti on     th at   is  c onside re d  by   30   in div i du al s   (p a rtic le s)  i n  the   popu la ti on ,   as   well   as   the   acce le r at ion   coeffic ie nts  1   a nd   2   and  the   i nert ia   weig ht   .   Since  th e  dimens ion   of  the   pr oble m   co ncerns   two  pa ramete rs     an d    to  be   co ntr olled,  t he  posit ion  an d  t he   velocit y  are   r epr ese nted   by  matri ces  with   the  dimensi on   of   2 × 30   by   us in g  the  ( 4 0 )  an d  (4 1 ) .  At  the  en d  of  t he  al gorith m   t he  best  posit ion   of  a  pa rtic le   represe nts  the  op ti mal  values   of the c ontrolle r gains    an d .       3.   RESU LT S  AND A N ALYSIS   Simulat io ns   a re  done  i n  M A TLAB/ Sim ulink  s of t ware  in  orde r  t o  ve rif y  a nd  evaluate  t he   performa nce   of  th e  nonlinea r   co ntr oller  bas ed  on  t he  Ba c ks te ppin g  te ch nique,   de sig ne d  i n  t he  a b ov e   sect ion  and   il lustrate d  in  Fig ur e  3.   T he   global  par a m et ers  are  obta ined  on  the  bas is  of   the  the ore ti cal   stud y  sho wn   i n  th e  desi gn  pa rt  of   t he  c on tr ol le r  an d   that  a r e  giv e n  in  Tab le   2 ,  T he  sim ul at ion   res ults  wer e   ge ner at e d  un der  sta ble  operati ng c onditi ons   w hich  a re :( G= 1000  w/m²,  T= 25°C) , a nd o t he r diffe ren t c on diti on s .       Table  2 .  param et ers  of t he pr opose d PV  s ys te m   Para m eter   Sy m b o l   Valu e   PV - ar ray p o wer   P pv   1562   DC b u s cap acito r   C dc   3 × 10 3    Switch in g  f requ en cy   F s   5    Grid   V g   3 8 0 V/5 0 Hz   Filter  p ar am e ters   L   R   1 ,8mH   0 ,05 Ω   PV vo ltag e r eg u lat o r   k 1   k 2   3 × 10 − 2   5 × 10 − 3   Cu rr en t r eg u lato r   k 3   k 4   10 7   10 6   PI - PS O   k i   k p   0 .8   0 .05   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  P ow Elec   & Dri S ys t   IS S N: 20 88 - 8 694       A   rob us t  nonlinear c on tr ol st ra te gy  o f  a  P V  System  con nected to  the t hr ee - phas e  g ri d   …   ( Sa l ma Z ouga )   621   Ca se  1:  (S im u lation u nder c on s tant  ir r ad i an ce  and  tem pera tu re)   The  Fi gure  6 - 10   il lustrate   th e  beh a vior  of   t he  main  s ys te m  singa ls  after   a  simulat ion   unde r  sta ble   conditi ons   (   =  1000  w/ 2 ;    =  25°C) ,  in  order   t o  de m on st rate   the  m os t  s ign ific a nt  aspe ct s   of   t he  c on t rol   strat egy pr opose d.   Figure   6  s how s  the   beh a vior   of  the   vo lt age   gen e rated   by  t he  PV  a rr a y,  wh ic h  f ollow s   it s  ref e rence   value  at   near l y  93.3  V  t hank s  to  the  hybri d  Mpp t  c omma nd   t hat  intr od uces  bo t h  te ch ni ques  (Incco nd  a nd  Ba ckstep ping) .   T he   values   of  the  c urren t  a nd   the  i nput  volt age  of  the   ch op per s   in dicat e   r especti vely ,  16 .74  A  an d  93.3V,   a nd  t he  value   of  the   P V  powe r  is   ab out  1561. 8W.   This   ju sti fies  the   reli abili ty  of   the   exter nal  vo lt age   co ntr oller  base d  on   t he   lyap unov  f un ct ion   w hic h  ha s  ens ur e d  a  global  sta bili zat ion   of  the  sy ste m ,  an d  makes  it  possi ble to e xtract t he  in sta ntane ous  vo lt a ge  a nd  maxim um   cu rrent ge ne rated  by the  P V gen e r at or .           Figure  6.   I nput  Volt age         Figure  7  repres ents  the  be ha vio r  of   the outp ut   vo lt age o f  the   chop per ,  as  ca n  be  no ti ce d  in   this  figur e   the  volt age   f ollow s   perfect ly  ( on  ave ra ge)  it s  ref e re nce  valu e  ( 360),  w hich  pro ves  th e  perf ormance   of  t he   DC   bu s   vo lt age   re gu la ti on  l oop,  that  intr oduces   the  PS O  base d  P I  dc  li nk  c on t ro ll er ,   with  the  a bili ty  to  quic kly  and accu ratel y conve rg e  to  it s  ref e ren ce   val ue s.           Figure  7.   DC  – bu s  volt age       Figure  8  s how s  the  outp ut  c urren t  a nd  th e   AC  volt age  wav e f or m s,  from  t his   fi gure,   we  note   that   there  is  a  ze r o  ph a se  di ff e rence   betwee n  t he   volt ag e  a nd   t he   injec te d  c urr ent. ,  w hich  ma kes  it   possi ble to  ha ve   the  unit y  pow er  facto r  is  we ll   achieved   a nd  the  f reque nc y  remai ne d   co ns ta nt  an d  e qual   to  the  gr i d - vo lt age   fr e qu e nc y .   M oreo ver,  the  c ur ren t  injec te d  into  th e  net wor k  co nver ges  t o  it s  ref e re nce   val ue  a fter  a  sh ort   transient p ha se   (0 . 07s)  w hich  means  t hat  the n onli nea r  cu rr e nt  co ntr oller  de velo ped  h as g i ven  u s  t he  ex pe ct ed  resu lt s   an d  the   co ntr ol  t h at   w e  ha ve   set   up  a ll ow s   us  to   ha ve  a   un it   powe r  facto r .   A nd  a ccordin g  to   fi gure   9,  we  no ti ce  that  the  reacti ve   po wer   is   re gu la te d  to   zer o  a nd  the  act ive  powe r  injec te d  into   the  gri d   reac he s  it s  maxim um   val ue  (156 2W) ,  w hi ch  will  ensu re  a total  transfe r of PV  po wer.    The  im pro vem ent  of  t he  qu al it y  of  the   inje ct ed  po wer  is  ens ur e d  by  the   non - li nea r  c ontr ol  lo op s ,   wh ic h   is  pro ve d  by  Fig ur e   10   w hich  s how   the  T HD  in  t he   curre nt,   as  it   can  be  no ti ced   that  t he  TH D  in  th e   gr i d  c urren t i s  3, 34   w hich  is  unde r  t he  sta nda rd  val ue  re quir ed no t t o  e xcee d 5% .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.