I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   P o w e r   E l e c t r o n i c s   a n d   D r i v e   S y s t e m   ( I J P E D S )   V o l . 2 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 ,   p p .   2 0 3 ~ 2 1 8   I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4             2 0 3       J o u r n a l   h o m e p a g e :   h t t p : / / i a e s j o u r n a l . c o m / o n l i n e / i n d e x . p h p / I J P E D S   A n a l y s i s   o f   D i s c o n t i n u o u s   S p a c e   V e c t o r   P W M   T e c h n i q u e s     f o r   a   S e v e n - P h a s e   V o l t a g e   S o u r c e   I n v e r t e r       M o h d .   A r i f   K h a n # 1 ,   A t i f   I q b a l # 2 ,   S k   M o i n   A h m a d # 2 ,   Z a k i r   h u s a i n # 3   # 1   D e p t t .   o f   E l e c t r i c a l   &   E l e c t r o n i c s   E n g i n e e r i n g ,   K r i s h n a   I n s t i t u t e   o f   E n g g .   & T e c h . ,   G h a z i a b a d ,   2 0 1 2 0 6 ,   I n d i a ,   # 2   E l e c t r i c a l   &   Co m p u t e r   E n g i n e e r i n g   P r o g r a m m e ,   T e x a s   A & M   U n i v e r s i t y   a t   Q a t a r ,   D o h a ,   Q a t a r ,   # 3 D e p a r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   &   E l e c t r o n i c s   E n g g ,   N a t i o n a l   I n s t i t u t e   o f   T e c h n o l o g y ,   H a m i r p u r ,   I n d i a   E m a i l :   m d a r i f 2 7 @ r e d i f f m a i l . c o m ,   a t i f 2 0 0 4 @ g m a i l . c o m ,   m o i n . n t @ g m a i l . c o m ,   z a h u s a i n 2 @ g m a i l . c o m     A r t i c l e   I n f o     A B S T R A C T   A r t i c l e   h i s t o r y :   R e c e i v e d   J a n   4 th ,   2 0 1 2   R e v i s e d   M a r   2 0 th ,   2 0 1 2   A c c e p t e d   M a r   2 7 th ,   2 0 1 2       T h i s   p a p e r   p r e s e n t s   d i s c o n t i n u o u s   s p a c e   v e c t o r   P W M   ( D P W M )   t e c h n i q u e s   f o r   a   s e v e n - p h a s e   v o l t a g e   s o u r c e   i n v e r t e r   ( V S I ) .   S p a c e   v e c t o r   m o d e l   o f   a   s e v e n - p h a s e   V S I   s h o w s   t h a t   t h e r e   e x i s t   1 2 8   s p a c e   v e c t o r s   w i t h   d i f f e r e n t   l e n g t h s   a n d   m a p s   i n t o   f o u r t e e n   s i d e d   p o l y g o n s .   A   n u m b e r   o f   p o s s i b i l i t i e s   c o u l d   a r i s e   t o   i m p l e m e n t   m o d u l a t i o n   o f   i n v e r t e r   l e g s   d u e   t o   l a r g e   n u m b e r   o f   a v a i l a b l e   s p a c e   v o l t a g e   v e c t o r s .   T w o   s t r a t e g i e s   a r e   a d o p t e d   h e r e ;   o n e   u t i l i s i n g   l a r g e   a n d   t w o   m i d d l e   s e t s   o f   s p a c e   v e c t o r s   t o   i m p l e m e n t   d i s c o n t i n u o u s   s p a c e   v e c t o r   P W M .   Cl a m p i n g   o f   l e g s   o f   i n v e r t e r   t o   e i t h e r   p o s i t i v e   o r   n e g a t i v e   d c   b u s   l e a d s   t o   d i s c o n t i n u i t y   i n   t h e   s w i t c h i n g   a n d   c o n s e q u e n t l y   o f f e r s   r e d u c e d   s w i t c h i n g   l o s s   m o d u l a t i o n   s t r a t e g y .   A   s i g n i f i c a n t   r e d u c t i o n   i n   s w i t c h i n g   l o s s e s   c a n   b e   a c h i e v e d   w h i l e   e m p l o y i n g   D P W M   i n   a   s e v e n - p h a s e   V S I .   A   g e n e r a l i s e d   m e t h o d   i s   a l s o   p r o p o s e d   t o   r e a l i z e   t h e   D P W M   i n   a   s e v e n - p h a s e   V S I .   Co m p a r i s o n   o f   c o n t i n u o u s   a n d   d i s c o n t i n u o u s   P W M   i s   p r e s e n t e d   i n   t e r m s   o f   s w i t c h i n g   c u r r e n t   r i p p l e .   T h e   e x p e r i m e n t a l   s e t - u p   i s   i l l u s t r a t e d   a n d   t h e   e x p e r i m e n t a l   r e s u l t s   a r e   p r e s e n t e d .   K e y w o r d :   D i s c o n t i n u o u s S V P W M   S p a c e   v e c t o r   P W M     T o t a l   H a r m o n i c   D i s t o r t i o n   ( T H D )   V o l t a g e   S o u r c e   I n v e r t e r   ( V S I )   Co p y r i g h t   ©   2 0 1 2   I n s t i t u t e   o f   A d v a n c e d   E n g i n e e r i n g   a n d   S c i e n c e .     A l l   r i g h t s   r e s e r v e d .   C o r r e s p o n d i n g   A u t h o r :   M o h d .   A r i f   K h a n ,     D e p a r t e m e n t   o f   E l e c t r i c a l   a n d   E l e c t r o n i c s   E n g i n e e r i n g ,   K r i s h n a   I n s t i t u t e   o f   E n g i n e e r i n g   & T e c h n o l o g y ,   1 3 th   K M   S t o n e ,   G h a z i a b a d - M e e r u t   R o a d ,   G h a z i a b a d     2 0 1 2 0 6 ,   I N D I A   E m a i l :   m d a r i f 2 7 @ r e d i f f m a i l . c o m         1 .   I N T R O D U C T I O N     S p e e d   c o n t r o l l e d   e l e c t r i c   d r i v e s   p r e d o m i n a t e l y   u t i l i s e   t h r e e - p h a s e   a c   m a c h i n e s .   H o w e v e r ,   s i n c e   t h e   v a r i a b l e   s p e e d   a c   d r i v e s   r e q u i r e   a   p o w e r   e l e c t r o n i c   c o n v e r t e r   f o r   t h e i r   s u p p l y ,   t h e   n u m b e r   o f   m a c h i n e   p h a s e s   i s   t e c h n i c a l l y   n o t   l i m i t e d .   T h i s   h a s   l e d   t o   a n   i n c r e a s e   i n   t h e   i n t e r e s t   i n   m u l t i - p h a s e   ( m o r e   t h a n   t h r e e - p h a s e s )   a c   d r i v e   a p p l i c a t i o n s ,   e s p e c i a l l y   i n   c o n j u n c t i o n   w i t h   t r a c t i o n ,   E V / H E V s   a n d   e l e c t r i c   s h i p   p r o p u l s i o n   [ 1 ] - [ 4 ] .   S u p p l y   f o r   m u l t i - p h a s e   v a r i a b l e   s p e e d   e l e c t r i c   d r i v e   i n   t h e   m a j o r i t y   o f   c a s e s   i s   p r o v i d e d   b y   V o l t a g e   S o u r c e   I n v e r t e r s .   T h e r e   a r e   t w o   m e t h o d s   o f   c o n t r o l l i n g   t h e   o u t p u t   v o l t a g e   a n d   f r e q u e n c y   o f   s u c h   i n v e r t e r s   n a m e l y ;   s q u a r e   w a v e   m o d e   a n d   p u l s e   w i d t h   m o d u l a t i o n   m o d e .   A   n u m b e r   o f   P W M   t e c h n i q u e s   a r e   a v a i l a b l e   t o   c o n t r o l   a   t h r e e - p h a s e   V S I   [ 5 ] .   H o w e v e r ,   S p a c e   V e c t o r   P u l s e   W i d t h   M o d u l a t i o n   ( S V P W M )   h a s   b e c o m e   t h e   m o s t   p o p u l a r   o n e   b e c a u s e   o f   t h e   e a s i n e s s   o f   d i g i t a l   i m p l e m e n t a t i o n   a n d   b e t t e r   D C   b u s   u t i l i s a t i o n ,   w h e n   c o m p a r e d   t o   t h e   r a m p - c o m p a r i s o n   s i n u s o i d a l   P W M   m e t h o d .   S V P W M   f o r   t h r e e - p h a s e   v o l t a g e   s o u r c e   i n v e r t e r   h a s   b e e n   e x t e n s i v e l y   d i s c u s s e d   i n   t h e   l i t e r a t u r e   [ 5 ] .   S V P W M   f o r   a   f i v e - p h a s e   i n v e r t e r   i s   t a k e n   u p   i n   [ 6 ] - [ 1 3 ]   a n d   S V P W M   f o r   s i x - p h a s e   i n v e r t e r s   a r e   e l a b o r a t e d   i n   [ 1 4 ] - [ 1 7 ] .   S e v e n - p h a s e   i n v e r t e r   f o r   a   s e v e n - p h a s e   b r u s h l e s s   d c   m o t o r   i s   i l l u s t r a t e d   i n   [ 1 8 ]   a n d   f o r   a x i a l   f l u x   s e v e n - p h a s e   m a c h i n e   i s   p r e s e n t e d   i n   [ 1 9 ] .   C o n t i n u o u s   S p a c e   v e c t o r   P W M   t o   g e n e r a t e   s i n u s o i d a l   o u t p u t   f r o m   a   s e v e n - p h a s e   V S I   i s   e l a b o r a t e d   i n   [ 2 0 ] - [ 2 1 ] .   D i s c o n t i n u o u s   s p a c e   v e c t o r   P W M   t e c h n i q u e   f o r   a   s e v e n - p h a s e   v o l t a g e   s o u r c e   i n v e r t e r   i s   d i s c u s s e d   i n   [ 2 2 ] ,   w h e r e   p r e l i m n a r y   r e s u l t s   a r e   p r e s e n t e d   f o r   m e t h o d   i n v o l v i n g   o n l y   t w o   l a r g e   o u t e r   s e t   o f   v e c t o r s   a n d   w i t h   d i s t o r t e d   o u t p u t ,   i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I J P E D S ,   V o l . 2 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 :     2 0 3   2 1 8   2 0 4 c o n t r a s t   t h i s   p a p e r   p r o p o s e s   s i n u s o i d a l   o u t p u t   c a s e .   M o r e   t h a n   s e v e n - p h a s e   f o r   i n s t a n c e   n i n e - p h a s e   [ 2 3 ] - [ 2 5 ]   a n d   t w e l v e   p h a s e   [ 2 6 ]   i n v e r t e r s   a r e   a l s o   a v a i l a b l e   i n   t h e   l i t e r a t u r e .   G e n e r a l i s e d   s p a c e   v e c t o r   P W M   f o r   n - p h a s e   v o l t a g e   s o u r c e   i n v e r t e r s   i s   p r e s e n t e d   r e c e n t l y   u s i n g   d u t y   r a t i o   a p p r o a c h   f o r   s i n u s o i d a l   o u t p u t   [ 2 7 ] .   T h e   a n a l y s i s   o f   o u t p u t   c u r r e n t   r i p p l e s   i n   m u l t i p h a s e   d r i v e s   u s i n g   s p a c e   v e c t o r   a p p r o a c h   i s   p r e s e n t e d   i n   [ 2 8 ] .   D e t a i l e d   r e v i e w   o n   t h e   m u l t i p h a s e   d r i v e   s y s t e m s   a r e   p r e s e n t e d   i n   [ 2 9 ] .     S w i t c h i n g   l o s s e s   a r e   t h e   m a i n   c o n c e r n   i n   m u l t i p h a s e   d r i v e   s y s t e m s   a s   t h e i r   m a j o r   a p p l i c a t i o n   a r e a s   a r e   c o n s i d e r e d   i n   h i g h   p o w e r   r a n g e .   T h e   c o n c e p t   o f   d i s c o n t i n u i t y   i n   s w i t c h i n g   l e g s   c a n   b e   e m p l o y e d   a s   t h e   p o t e n t i a l   m e a n s   o f   r e d u c i n g   t h e   s w i t c h i n g   l o s s e s   [ 5 ] .   T h u s   t h i s   p a p e r   a n a l y s e s   D i s c o n t i n u o u s   S V P W M   t e c h n i q u e   t o   p r o v i d e   v a r i a b l e   v o l t a g e   a n d   f r e q u e n c y   o u t p u t   f r o m   a   s e v e n - p h a s e   V S I   w i t h   r e d u c e d   s w i t c h i n g   l o s s e s .   T h i s   m o d u l a t i o n   t e c h n i q u e   i s   k n o w n   t o   o f f e r   r e m a r k a b l e   a d v a n t a g e s   c o m p a r e d   t o   t h e   c o n t i n u o u s   S V P W M   i n   t e r m s   o f   s i g n i f i c a n t l y   r e d u c e d   s w i t c h i n g   l o s s e s .   A t   f i r s t ,   i n   t h e   p a p e r   m o d e l i n g   o f   a   s e v e n - p h a s e   V S I   i s   r e v i e w e d   i n   t e r m s   o f   s p a c e   v e c t o r   r e p r e s e n t a t i o n .   T h e   m o d e l   o b t a i n e d   i s   d e c o m p o s e d   i n t o   t h r e e   t w o   d i m e n s i o n a l   o r t h o g o n a l   s p a c e s .     T h e   s w i t c h i n g   c o m b i n a t i o n s   y i e l d   1 2 8   s p a c e   v e c t o r s   s p a n n i n g   o v e r   f o u r t e e n   s e c t o r s .   T w o   d i f f e r e n t   s c h e m e s   a r e   i n v e s t i g a t e d   i n   t h i s   p a p e r .   T h e   o u t e r   l a r g e   l e n g t h   s p a c e   v e c t o r s   a r e   u s e d   t o   i m p l e m e n t   t h e   D i s c o n t i n u o u s   S V P W M   m e t h o d   a t   f i r s t   f o l l o w e d   b y   u s i n g   s i x   a c t i v e   s p a c e   v e c t o r s .   T h e   s i x   a c t i v e   v e c t o r s   a p p l i c a t i o n   y i e l d   s i n u s o i d a l   o u t p u t   v o l t a g e s   a n d   t h e   o t h e r   m e t h o d   p r o d u c e   l o w   o r d e r   h a r m o n i c s   i n   t h e   o u t p u t   v o l t a g e s .   A   c o m p a r i s o n   i s   d o n e   f o r   t h e   t w o   s c h e m e s   d e v e l o p e d   i n   t h e   p a p e r   i n   t e r m s   s w i t c h i n g   c u r r e n t   r i p p l e .   A   g e n e r a l i s e d   a n a l y t i c a l   e x p r e s s i o n   i s   o b t a i n e d   a n d   p r e s e n t e d   t o   a c c e s s   t h e   s w i t c h i n g   l o s s   r e d u c t i o n   b y   a d o p t i n g   t h e   d i s c o n t i n u o u s   P W M   s c h e m e s .   F u r t h e r   a   g e n e r a l i s e d   c o n c e p t   i s   p r e s e n t e d   t o   g e n e r a t e   t h e   r e q u i r e d   l e g   v o l t a g e s   f o r   d i s c o n t i n u o u s   P W M   s c h e m e s .   S i m u l a t i o n   a n d   e x p e r i m e n t a l   r e s u l t s   a r e   p r o v i d e d   t o   s u p p o r t   t h e   a n a l y t i c a l   a n d   t h e o r e t i c a l   f i n d i n g s .       2 .   M O D E L L I N G   O F   S E V E N - P H A S E   V S I   P o w e r   c i r c u i t   t o p o l o g y   o f   a   s e v e n - p h a s e   V S I   i s   s h o w n   i n   F i g .   1 .   E a c h   s w i t c h   i n   t h e   c i r c u i t   c o n s i s t s   o f   t w o   p o w e r   s e m i c o n d u c t o r   d e v i c e s ,   c o n n e c t e d   i n   a n t i - p a r a l l e l .   O n e   o f   t h e s e   i s   a   f u l l y   c o n t r o l l a b l e   s e m i c o n d u c t o r ,   s u c h   a s   a   b i p o l a r   t r a n s i s t o r   o r   I G B T ,   w h i l e   t h e   s e c o n d   o n e   i s   a   d i o d e .   T h e   i n p u t   o f   t h e   i n v e r t e r   i s   a   d c   v o l t a g e ,   w h i c h   i s   r e g a r d e d   f u r t h e r   o n   a s   b e i n g   c o n s t a n t .   T h e   i n v e r t e r   o u t p u t s   a r e   d e n o t e d   i n   F i g .   1   w i t h   l o w e r   c a s e   s y m b o l s   ( a , b , c , d , e , f , g )   w h i l e   t h e   p o i n t s   o f   c o n n e c t i o n   o f   t h e   o u t p u t s   t o   i n v e r t e r   l e g s   h a v e   s y m b o l s   i n   c a p i t a l   l e t t e r s   ( A , B , C , D , E , F , G ) .   A   c o m p l e t e   s p a c e   v e c t o r   m o d e l   o f   a   s e v e n - p h a s e   V S I   i s   r e p o r t e d   i n   [ 1 9 ] .   A   b r i e f   r e v i e w   i s   p r e s e n t e d   h e r e .   T h e   t o t a l   n u m b e r   o f   s p a c e   v e c t o r s   a v a i l a b l e   i n   a   s e v e n - p h a s e   V S I   i s   2 7 = 1 2 8 .   O u t   o f   t h e s e   1 2 8   s p a c e   v o l t a g e   v e c t o r s ,   1 2 6   a r e   a c t i v e   a n d   t w o   a r e   z e r o   s p a c e   v e c t o r s   a n d   t h e y   f o r m   n i n e   c o n c e n t r i c   p o l y g o n s   o f   f o u r t e e n   s i d e s   i n   d - q   p l a n e   w i t h   z e r o   s p a c e   v e c t o r s   a t   t h e   o r i g i n   a s   s h o w n   i n   F i g - 2 .       F i g u r e   1   S e v e n - p h a s e   v o l t a g e   s o u r c e   i n v e r t e r   p o w e r   c i r c u i t   H o w e v e r ,   s i n c e   a   s e v e n - p h a s e   s y s t e m   i s   u n d e r   c o n s i d e r a t i o n ,   o n e   h a s   t o   r e p r e s e n t   t h e   i n v e r t e r   s p a c e   v e c t o r s   i n   a   s e v e n - d i m e n s i o n a l   s p a c e .   S u c h   a   s p a c e   c a n   b e   d e c o m p o s e d   i n t o   t h r e e   t w o - d i m e n s i o n a l   s u b - s p a c e s   ( d - q ,   x 1 - y 1   a n d   x 2 - y 2 )   a n d   o n e   s i n g l e - d i m e n s i o n a l   s u b - s p a c e   ( z e r o - s e q u e n c e ) .   S i n c e   t h e   l o a d   i s   a s s u m e d   t o   b e   s t a r - c o n n e c t e d   w i t h   i s o l a t e d   n e u t r a l   p o i n t ,   z e r o - s e q u e n c e   c a n n o t   b e   e x c i t e d   a n d   i t   i s   t h e r e f o r e   s u f f i c i e n t   t o   c o n s i d e r   o n l y   t h r e e   t w o - d i m e n s i o n a l   s u b - s p a c e s ,   d - q ,   x 1 - y 1   a n d   x 2 - y 2 .   I n v e r t e r   v o l t a g e   s p a c e   v e c t o r   i n   d - q   s u b - s p a c e   i s   g i v e n   w i t h   [ 2 0 ] ,   ( ) ( ) g f e d c b a d q v a v a v a v a v a a v v v * 2 * 3 * 3 2 7 / 2 + + + + + + =       ( 1 a )     w h e r e 7 / 2 p j e a = , 7 / 4 2 p j e a = , 7 / 6 3 p j e a = a n d   *   s t a n d s   f o r   a   c o m p l e x   c o n j u g a t e .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J P E D S     I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4           A n a l y s i s   o f   D i s c o n t i n u o u s   S p a c e   V e c t o r   P W M   T e c h n i q u e s   f o r   a   S e v e n - P h a s e   V o l t a g e   S o u r c e   I n v e r t e r   ( M o h d .   A r i f   K h a n ,   A t i f   I q b a l ,   S k   M o i n   A h m a d ,   Z a k i r   h u s a i n )   2 0 5   F i g u r e   2   P h a s e - t o - n e u t r a l   v o l t a g e   s p a c e   v e c t o r s   f o r   s t a t e s   1 - 1 2 8   ( s t a t e s 1 2 7 - 1 2 8   a r e   a t   o r i g i n )   i n   d - q   p l a n e     F i g u r e   3   P h a s e - t o - n e u t r a l   v o l t a g e   s p a c e   v e c t o r s   f o r   s t a t e s   1 - 1 2 8   ( s t a t e s 1 2 7 - 1 2 8   a r e   a t   o r i g i n )   i n   x 1 - y 1   p l a n e     O n   t h e   b a s i s   o f   t h e   g e n e r a l   d e c o u p l i n g   t r a n s f o r m a t i o n   m a t r i x   f o r   a n   n - p h a s e   s y s t e m ,   i n v e r t e r   v o l t a g e   s p a c e   v e c t o r s   i n   t h e   s e c o n d   t w o - d i m e n s i o n a l   s u b - s p a c e   ( x 1 - y 1 )   a n d   t h e   t h i r d   t w o - d i m e n s i o n a l   s u b - s p a c e   ( x 2 - y 2 )   a r e   d e t e r m i n e d   w i t h ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I J P E D S ,   V o l . 2 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 :     2 0 3   2 1 8   2 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) g f e d c b a y x g f e d c b a y x v a a v v a v a v a v a v v v a v a a v v a v a v a v v 4 5 2 6 3 2 2 5 3 6 4 2 1 1 7 / 2 7 / 2 + + + + + + = + + + + + + =     ( 1 b )   T h e   z e r o - s e q u e n c e   c o m p o n e n t   i s   i d e n t i c a l l y   e q u a l   t o   z e r o   b e c a u s e   o f   t h e   a s s u m p t i o n   o f   i s o l a t e d   n e u t r a l   p o i n t .   T h e   p h a s e   v o l t a g e   s p a c e   v e c t o r s   i n   t w o   o r t h o g o n a l   p l a n e s ,   o b t a i n e d   u s i n g   ( 1 ) ,   a r e   s h o w n   i n   F i g s .   3   &   4 .   I t   c a n   b e   s e e n   f r o m   F i g s .   2 ,   3   a n d   4   ,   t h e   v e c t o r   m a p p i n g   i n   d - q   a x i s ,   x 1 - y 1   a x i s   a n d   x 2 - y 2   a x i s .   T h e r e   a r e   i n   t o t a l   f o u r t e e n   d i s t i n c t   s e c t o r s   w i t h   2 5 . 7 1 4 2 8 6 °   ( π / 7   r a d i a n s )   s p a c i n g .   T h e   i n n e r - m o s t   s p a c e   v e c t o r s   i n   d - q   p l a n e   a r e   r e d u n d a n t   a n d   a r e   t h e r e f o r e   o m i t t e d   f r o m   f u r t h e r   d i s c u s s i o n .   T h i s   i s   i n   f u l l   c o m p l i a n c e   w i t h   o b s e r v a t i o n   o f   [ 1 7 ] ,   w h e r e   i t   i s   s t a t e d   t h a t   o n l y   s u b s e t   w i t h   m a x i m u m   l e n g t h   v e c t o r s   h a v e   t o   b e   u s e d   f o r   a n y   g i v e n   c o m b i n a t i o n   o f   t h e   s w i t c h e s   t h a t   a r e   o n   a n d   o f f   ( 3 - 4   a n d   4 - 3   i n   t h i s   c a s e ) .   T h e   m i d d l e   r e g i o n   s p a c e   v e c t o r s   c o r r e s p o n d   t o   t w o   s w i t c h e s   b e i n g   o n   f r o m   u p p e r   ( l o w e r )   s e t   a n d   f i v e   s w i t c h e s   b e i n g   o f f   f r o m   l o w e r   ( u p p e r )   s e t   o r   v i c e - v e r s a   a n d   o n e   s w i t c h   b e i n g   o n   f r o m   u p p e r   ( l o w e r )   s e t   a n d   s i x   s w i t c h e s   b e i n g   o f f   f r o m   l o w e r   ( u p p e r )   s e t   o r   v i c e - v e r s a .   I n   w h a t   f o l l o w s ,   t h e   v e c t o r s   b e l o n g i n g   t o   t h e   m i d d l e   r e g i o n   a r e   s i m p l y   t e r m e d   m e d i u m   a n d   s m a l l   v e c t o r s ,   w h i l e   t h e   v e c t o r s   o f   t h e   o u t e r - m o s t   r e g i o n   a r e   c a l l e d   l a r g e   v e c t o r s .     F i g u r e   4   P h a s e - t o - n e u t r a l   v o l t a g e   s p a c e   v e c t o r s   f o r   s t a t e s   1 - 1 2 8   ( s t a t e s 1 2 7 - 1 2 8   a r e   a t   o r i g i n )   i n   x 2 - y 2   p l a n e       3 .   C O N T I N U O U S   S P A C E   V E C T O R   P U L S E   W I D T H   M O D U L A T I O N   S C H E M E S   3 . 1 .   U s i n g   O n l y   L a r g e   V e c t o r s   T h i s   s e c t i o n   r e v i e w s   t h e   c o n t i n u o u s   S V P W M   s c h e m e s   f o r   a   s e v e n - p h a s e   V S I .   S i n c e   t h e r e   e x i s t   1 2 8   s p a c e   v o l t a g e   v e c t o r s   s p a n n i n g   i n   f o u r t e e n   s e c t o r s ,   a   l a r g e   n u m b e r   o f   S V P W M   s c h e m e s   a r e   p o s s i b l e .   H o w e v e r ,   f o r   s i m p l i c i t y   o n l y   l a r g e   v e c t o r s   m a y   b e   u s e d   t o   i m p l e m e n t   t h e   S V P W M .   T h e   b a s i c   p r i n c i p l e   i s   t o   i d e n t i f y   t h e   l o c a t i o n   o f   r e f e r e n c e   v o l t a g e   v e c t o r s   a n d   o n c e   i t   i s   k n o w n   t h e   t w o   n e i g h b o u r i n g   l a r g e   a c t i v e   v e c t o r s   a r e   a p p l i e d   f o r   a   s p e c i f i c   t i m e   d u r a t i o n   c a l l e d   d w e l l   t i m e   a n d   a r e   g i v e n   b y ;     ( ) ( ) s t l v k s v a t 7 / s in 7 / s in * p a p - =         ( 2 a )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J P E D S     I S S N 2 0 8 8 - 8 6 9 4           A n a l y s i s   o f   D i s c o n ti n u o u s   S p a c e   V e c to r   P W M   T e c h n iq u e s   f o r   a   S e v e n - P h a s e   V o lta g e   S o u r c e   I n v e r te r   ( M o h d .   A r if  K h a n ,   A tif  I q b a l,   S k   M o in   A h m a d ,   Z a k ir   h u s a in )   2 0 7 ( ) ( ) s l s b t v k v t 7 / s i n 7 1 s i n * p p a - - =       ( 2 b )   b a s t t t t - - = 0           ( 3 a )   0 1 2 7   t t g =           ( 3 b )   ( ) 0 1 2 8   1 t t g - =           ( 3 c )   w h e r e   k   is   t h e   s e c to r   n u m b e r   ( k =   1   to   1 4 )   a n d ( ) D C D C l b l a l V V v v v 6 4 1 9 . 0 7 / 3 c o s 2 7 2 = = = = p .   S y m b o * s v   d e n o te s   th e   r e f e r e n c e   v o lta g e   s p a c e   v e c to r ,   w h ile   x   s ta n d s   f o r   m o d u lu s   o f   a   c o m p le x   n u m b e r   x a n d   in d e x   l   s ta n d   f o r   la r g e   v e c to r s .   S u f f ix   a   s ta n d   f o r   th e   v e c to r s   o n   t h e   r ig h o f   t h e   r e f e r e n c e   v e c to r   a n d   s u f f i x   b   r e f e r s   to   th e   a c ti v e   v e c to r   o n   t h e   le f o f   th e   r e f e r e n c e   v e c to r .     I is   to   b e   n o te d   th a th e   f a c to r   g o f f e r s   a   d e g r e e   o f   f r e e d o m   to   f o r m u la te   d if f e r e n t y p e s   o f   P W M   s c h e m e s .   I n   c a s e   o f   c o n ti n u o u s   s y m m e tr ic a S V P W M   th e   f a c to r   5 . 0     = g a n d   in   d is c o n ti n u o u s   S V P W M   d e f i n e d   in   th e   n e x t   s e c tio n   is   e i th e r   0   o r   1 .   T h e   la r g e s p o s s ib le   f u n d a m e n ta p e a k   v o lta g e   m a g n it u d e   th a m a y   b e   a c h ie v e d   u s i n g   th is   s c h e m e   c o r r e s p o n d s   to   t h e   r a d iu s   o f   t h e   la r g e s t   c ir c le   t h a c a n   b e   i n s c r ib e d   w it h i n   t h e   te tr a - d e c a g o n .   T h e   c ir c le   is   ta n g e n tia to   t h e   m id - p o in o f   t h e   li n e s   c o n n e c ti n g   th e   e n d s   o f   t h e   a c t iv e   s p a c e   v e c to r s .   T h u s   t h e   m a x i m u m   f u n d a m e n ta p e a k   o u tp u t   v o lta g e   m a x V   is   D C D C V V V 6 2 5 9 . 0 7 3 c o s 2 1 4 c o s 7 2 m a x = = p p .   T h e   m a x i m u m   p e a k   f u n d a m e n ta o u tp u i n   f o u r te e n - s te p   m o d e   is   g i v e n   w i th   D C D C s t e p V V V 6 3 6 6 . 0 2 1 4 = = p   [ 2 4 ] .   T h u s   t h e   r a tio   o f   th e   m a x i m u m   p o s s ib le   f u n d a m e n ta o u tp u v o lta g e   w ith   S V P W M   a n d   in   f o u r t e e n - s te p   m o d e   is 9 8 3 1 5 8 3 . 0 / 1 4 . m a x m a x = s t e p V V .   T h e   s w itc h i n g   p a tte r n   f o r   s e c to r   I   is   illu s tr a te d   in   F ig .   4 ,   s h o w in g   s e v e n   le g   v o lta g e s .   I i s   i m p o r ta n to   n o te   th a t   t h e   t h r e e   le g s   ( A , B   a n d   G )   h a v e   s a m e   p a tte r n   a n d   t h r e e   o th e r   le g s   ( D , E   a n d   F )   h a v e   s a m e   p a tte r n .   I n   o th e r   w o r d   it   c a n   b e   s a id   t h a th e s e   le g s   a r e   t u r n e d   o f f   s i m u lta n e o u s l y .   T h e   o u tp u v o lta g e   g e n e r a te d   b y   t h is   m e th o d   c o n ta in s   a   s i g n i f i c a n a m o u n t   o f   lo w e r   o r d e r   h a r m o n ic   e s p e c ia ll y   th ir d   a n d   f i f th .   T h is   is   d u e   to   th e   f a c th a th e   x 1 - y 1   a n d   x 2 - y 2   p la n e   s p a c e   v e c to r s   a r e   n o a tte n u a te d   in   t h e   m o d u la tio n   s c h e m e   a n d   a r e   f r e e l y   f lo w in g .       4 0 t 2 a t 2 a t 4 0 t 2 b t 2 b t 2 0 t A V B V C V D V E V F V G V   F ig .   4 .   S w itc h i n g   p a tte r n   a n d   s p a c e   v e c to r   d is p o s itio n   in   s e c t o r   I   f o r   S V P W M   w it h   la r g e   s p a c e   v e c to r s   o n l y .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N 2 0 8 8 - 8 6 9 4   I J P E D S ,   V o l. 2 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2   2 0 3   2 1 8   2 0 8 x 2   a x i s y 2   a x i s 9 7 1 1 3 9 6 1 1 5 1 2 3 6 4 x 1   a x i s y 1   a x i s 9 7 1 1 3 9 6 6 4 1 2 3 1 1 5 3 . 2 .   S v p w m   F o r   S i n u s o i d a l   O u t p u t   T h e   d is tr ib u te d   w in d i n g   m a c h in e s   r e q u ir e   s i n u s o id a in p u v o lta g e   a n d   c u r r e n t.   T h u s   a   m e th o d   is   d e v i s e d   to   e li m i n a te   t h e   lo w e r   o r d e r   h a r m o n ic s   g e n e r a te d   i n   t h e   p r e v i o u s   m e th o d .   I n   e s s e n c e   it  i s   e s s e n tia to   e li m i n a te   th e   u n w a n te d   s p a c e   v o lta g e   v e c to r s   o f   x 1 - y 1   a n d   x 2 - y 2   p la n e s .   T h e   p r in c ip le   i s   to   a p p l y   th e   r e q u ir e d   s p a c e   v e c to r s   f o r   a p p r o p r ia te   ti m e   s o   th a t h e   x - y   v e c to r   s e t s   c a n c e ls   e a c h   o t h e r .   T h e   ti m e s   o f   a p p lic a tio n s   o f   v e c to r s   a r e   h o w e v e r ,   o n c e   a g a i n   c a lc u la te d   u s i n g   e q u a tio n s   ( 2 ) - ( 3 )   w it h   t h e   f o llo w i n g   c o n s tr a i n t;       I y x I b y x I I I b I I y x I I b I y x I a y x I I I a I I y x I I a I y x I b y x I I I b I I y x I I b I y x I a y x I I I a I I y x I I a I I I b I I b I b b I I I a I I a I a a v t v t v t v t v t v t v t v t v t v t v t v t t t t t t t t t 2 2 I I I 2 2 2 2 2 2 I I I 2 2 2 2 1 1 I I I 1 1 1 1 1 1 I I I 1 1 1 1     ;           ;               ; - - - - - - - - - - - - = + = + = + = + + + = + + =     ( 4 )   S ix   a c tiv e   v e c to r s   a r e   c h o s e n   f r o m   d i f f e r e n t   s e t s   i n   s u c h   a   w a y   t h a t h e   c o r r e s p o n d in g   v e c t o r s   in   t h e   o t h e r   t w o   p la n e s   f a ll  o p p o s ite   to   e a c h   o t h e r .   W ith   th e   c o n s tr a in p u b y   e q u a tio n   ( 4 ) ,   th e s e   o p p o s in g   v e c to r s   o f   x 1 - y 1   a n d   x 2 - y 2   p la n e s   c a n c e e a c h   o t h e r .   I n   t h is   w a y   s in u s o id a l   o u tp u v o lta g e   is   g e n e r a te d   b y   th e   v o lta g e   s o u r c e   in v e r te r .   T h e   s p a c e   v e c to r   d is p o s itio n   a n d   t h e ir   r e s p e c ti v e   m a g n it u d e s   f o r   s e c to r   1   a r e   il lu s tr a te d   i n   F ig .   5 .   T h e   m a x i m u m   a v a ila b le   o u t p u v o lta g e   w it h   th is   S V P W M   m e th o d   is   0 . 5 1 3 V d c .   T h u s   th e   r a tio   o f   t h e   m a x i m u m   p o s s ib le   f u n d a m e n ta o u tp u v o lta g e   w it h   S V P W M   a n d   in   f o u r te e n - s te p   m o d e   is 8 0 5 8 . 0 / 1 4 . m a x m a x = s t e p V V .   T h e   s w i t c h i n g   p a t t e r n   f o r   t h i s   s c h e m e   i s   e l a b o r a t e d   i n   F i g .   6 .   I t   i s   n o t e d   f r o m   F i g .   6   t h a t   a l l   t h e   s e v e n   l e g s   h a v e   s t a g g e r e d   t u r n i n g   o n   a n d   t u r n i n g   o f f   t i m e s   a n d   t h u s   h a v e   d i f f e r e n t   s w i t c h i n g   p a t t e r n .   T h i s   i s   a c t u a l l y   t h e   r e q u i r e m e n t   o f   g e n e r a t i n g   s i n u s o i d a l   o u t p u t .                 F i g .   5   S p a c e   v e c t o r   d i s p o s i t i o n   i n   s e c t o r   1 f o r   s i n u s o i d a l   o u t p u t   4 0 t 2 2 a t 2 1 a t 4 0 t 2 1 b t 2 1 b t 2 0 t A V B V C V D V E V F V G V 2 2 b t 2 2 b t 2 1 a t 2 2 a t 2 3 a t 2 3 a t 2 3 b t 2 3 b t   F i g .   6   S w i t c h i n g   p a t t e r n   a n d   s p a c e   v e c t o r   d i s p o s i t i o n   i n   s e c t o r   I   f o r   s i n u s o i d a l   S V P W M .       4 .   P R O P O S E D   D I S C O N T I N U O U S   S V P W M   4 . 1     U s i n g   O n l y   L a r g e   V e c t o r   [ 2 2 ]   T h i s   s e c t i o n   d e s c r i b e   t h e   s w i t c h i n g   r i p p l e   c h a r a c t e r i s t i c   i n   t h e   d i s c o n t i n u i t i e s   P W M   m e t h o d   u s i n g   o n l y   l a r g e   v e c t o r ,   w h i c h   w a s   n o t   p r e s e n t e d   i n   [ 2 2 ] .   T h i s   i s   i m p o r t a n t   f o r   t h e   c o m p a r i s o n   p u r p o s e s .   T h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J P E D S     I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4           A n a l y s i s   o f   D i s c o n t i n u o u s   S p a c e   V e c t o r   P W M   T e c h n i q u e s   f o r   a   S e v e n - P h a s e   V o l t a g e   S o u r c e   I n v e r t e r   ( M o h d .   A r i f   K h a n ,   A t i f   I q b a l ,   S k   M o i n   A h m a d ,   Z a k i r   h u s a i n )   2 0 9 s w i t c h i n g s   o f   d i f f e r e n t   l e g s   a r e   s h o w n   i n   F i g .   7   f o r   D W P M M I N   w h e n   u s i n g   o n l y   l a r g e   s e t   o f   v e c t o r s ,   a n d   t h e   s i m i l a r   p a t t e r n   c a n   b e   e v a l u a t e d   i n   o t h e r   D P W M   s c h e m e s .   T h e   f i l l e d   p o r t i o n   o f   F i g .   7 ,   i n d i c a t e   t h e   s e c t o r s   w h e r e   t h e   c o r r e s p o n d i n g   l e g   r e m a i n s   u n - m o d u l a t e d   a n d   t h e   u n f i l l e d   p o r t i o n   o f   t h e   c i r c l e   r e p r e s e n t s   t h e   t i m e   i n   w h i c h   t h e   s w i t c h i n g   t a k e s   p l a c e .   I t   i s   e v i d e n t   t h a t   e a c h   l e g   r e m a i n s   u n - m o d u l a t e d   f o r   s i x   s e c t o r s   ( i . e .   t h e y   a r e   t i e d   t o   t h e   n e g a t i v e   d c   r a i l )   a n d   s w i t c h e s   c h a n g e s   s t a t e s   i n   r e m a i n i n g   e i g h t   s e c t o r s .   I t   i s   a l s o   e v i d e n t   t h a t   i n   e a c h   s e c t o r   t h r e e   l e g s   o f   t h e   i n v e r t e r   r e m a i n   u n - m o d u l a t e d .   I n   D P W M M I N   a n d   D P W M M A X   t h e   l e g s   a r e   t i e d   c o n t i n u o u s l y   t o   e i t h e r   n e g a t i v e   o r   p o s i t i v e   d c   r a i l ,   r e s p e c t i v e l y   i n   s i x   s e c t o r s .   I n   D P W M 0   a n d   D P W M 1 ,   t h e   u n - m o d u l a t e d   l e g s   c h a n g e s   a l t e r n a t i v e l y   i n   t h e   t w o   c o n s e c u t i v e   s e c t o r s .     F i g .   7 .   D i s c o n t i n u i t y   i n   d i f f e r e n t   l e g s   d u r i n g   D P W M M I N .   C u r r e n t   R i p p l e   i n   D S V P W M   T h e   g e n e r a l i s e d   c u r r e n t   r i p p l e   e q u a t i o n   i s   g i v e n   a s   [ 5 ] ;   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 1 3 2 1 2 3 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 ~ u u u u u u u u T L V i s d c a b - - + - + - = s     ( 5 )   T h i s   e q u a t i o n   i s   v a l i d   i f   0 ~ > - = B A A B V V V a n d   i n   s e v e n - p h a s e   c a s e ,   i t   i s   o n l y   v a l i d   i n   s e c t o r s   4 , 5 , 6 , 1 1 , 1 2   &   1 3 ,   i . e .   i n   t h e s e   s e c t o r s   t h e   d i f f e r e n c e   b e t w e e n   l e g   A   a n d   l e g   B   v o l t a g e   e x i s t   a n d   i n   t h e   r e s t   o f   t h e   s e c t o r s   t h e y   a r e   e q u a l .   W i t h   a p p r o p r i a t e   s u b s t i t u t i o n   f o r   u 1   a n d   u 2   f o r   e a c h   m o d u l a t i o n   s t r a t e g y   t h e   s q u a r e d   h a r m o n i c   c u r r e n t   r i p p l e   i s   e v a l u a t e d .     A s   a n   e x a m p l e   o n e   s a m p l e   c a l c u l a t i o n   i s   s h o w n   h e r e ,   f o r   s e c t o r   4 ,   p a r t   o f   t h e   s w i t c h i n g   w a v e f o r m   i s   g i v e n   i n   F i g .   8 .         F i g .   8 .   S w i t c h i n g   w a v e f o r m s   f o r   t h e   s e v e n   p h a s e   V S I   i n   s e c t o r   4   u s i n g   S V P W M   i n   c o n t i n u o u s   m o d e .     T h e   t i m e   o f   a p p l i c a t i o n   i n   s e c t o r   4   i s   t a   =   T 5   a n d         t b   =   T 4 .   C o n s i d e r i n g   V A   &   V B   ,   a v e r a g e   l e g   v o l t a g e s     4 0 t 2 a t 2 a t 4 0 t 2 b t 2 b t 2 0 t A V B V S e c t o 4 T s Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I J P E D S ,   V o l . 2 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 :     2 0 3   2 1 8   2 1 0 [ ] [ ] 5 4 5 4 T T T V V T T T V V s d c B s d c A + = - =             ( 6 )   T h e   t i m e   o f   e x p r e s s i o n   f o r   e a c h   v e c t o r   i s   s u b s t i t u t e d   f r o m   e q u a t i o n   ( 2 )   o n e   g e t s ;       =   c o s + + s i n +       =   c o s + s i n +       ( 7 )   N o w   a s s u m i n g ;   d c B d c A V V u V V u = = 2 1 ,             ( 8 )   W h e r e   m   i s   t h e   m o d u l a t i o n   i n d e x   d e f i n e d   a s ;     s t e p o u t V v m 1 4 =               ( 9 )   T h e   c u r r e n t   r i p p l e   e x p r e s s i o n   f o r   c o n t i n u o u s   m o d e   i s   o b t a i n e d   a s ;       ̃  =   ̃  +   ̃  +   ̃  +   ̃  + ̃  + ̃    ( 1 0 )       ̃  =   0 . 1 2 0 0 . 0 1 3 + 0 . 0 1 6 0 . 0 0 5     ( 1 1 )   T h e   c u r r e n t   r i p p l e   e x p r e s s i o n s   f o r   d i s c o n t i n u o u s   m o d e   o b t a i n e d   a s   f o l l o w s ;       ̃  =   0 . 1 1 8 0 . 0 6 4 + 0 . 0 6 8 0 . 0 0 3     ( 1 2 )   O r   i n   m o r e   g e n e r a l   t e r m s   a s       2 ~ a b i =                 ( 1 3 )   W h e r e   t h e   f u n c t i o n   f ( m )   i s   t h e   H a r m o n i c   d i s t o r t i o n   f a c t o r     ( H D F ) .   H D F   i s   c o m m o n l y   u s e d   a s   a   f i g u r e   o f   m e r i t   f o r   P W M   s t r a t e g i e s   t h a t   a r e   i n d e p e n d e n t   o f   s w i t c h i n g   f r e q u e n c y ,   D C   b u s   v o l t a g e ,   a n d   l o a d   i n d u c t a n c e s   [ 5 ] .     W h e r e         L σ   =   L 1   +   2 2 L m L L m L + ,   a n d     L 1 ,   L 2 ,   L m   c o r r e s p o n d   t o   s t a t o r   l e a k a g e ,   r o t o r   l e a k a g e ,   a n d   t h e   m a g n e t i z i n g   i n d u c t a n c e s   r e s p e c t i v e l y .   T h e   c u r r e n t   r i p p l e   i s   s h o w n   g r a p h i c a l l y   f o r   v a r y i n g   m o d u l a t i o n   i n d e x   f o r   c o n t i n u o u s   a n d   d i s c o n t i n u o u s   s p a c e   v e c t o r   P W M   i n   F i g .   9 .   T h e   r i p p l e   c u r r e n t   i n   c o n t i n u o u s   S V P W M   i s   s e e n   l o w e r   t h a n   t h e   d i s c o n t i n u o u s   m o d e .           F i g .   9   C o m p a r i s o n   b e t w e e n   a l l   t h e   s c h e m e   o n   t h e   b a s i s   o f   c u r r e n t   r i p p l e   a n d   m o d u l a t i o n   i n d e x     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J P E D S     I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4           A n a l y s i s   o f   D i s c o n t i n u o u s   S p a c e   V e c t o r   P W M   T e c h n i q u e s   f o r   a   S e v e n - P h a s e   V o l t a g e   S o u r c e   I n v e r t e r   ( M o h d .   A r i f   K h a n ,   A t i f   I q b a l ,   S k   M o i n   A h m a d ,   Z a k i r   h u s a i n )   2 1 1 4 . 2 .     U s i n g   S i x   V e c t o r   f o r   S i n s u s o d i a l   O u t p u t   A s   a   g e n e r a l   r u l e   t h e   n u m b e r   o f   a c t i v e   v e c t o r s   i n   s p a c e   v e c t o r   P W M   f o r   r e a l i s i n g   t h e   s i n u s o i d a l   o u t p u t   s h o u l d   b e           ( n - 1 ) .   H e n c e   i n   c a s e   o f   a   s e v e n - p h a s e   V S I ,   t h e   n u m b e r   o f   a c t i v e   v e c t o r s   s h o u l d   b e   6   f o r   r e a l i s i n g   s i n u s o i d a l   o u t p u t .   T h e   d i s c o n t i n u o u s   s p a c e   v e c t o r   P W M   i s   t h u s   d e v e l o p e d   i n   t h i s   p a p e r   w i t h   t h e   a i m   t o   g e n e r a t e   s i n u s o i d a l   o u t p u t .   T h e   s a m e   p r i n c i p l e   a s   t h a t   o f   t h e   l a s t   s e c t i o n   i s   u t i l i s e d   t o   d e v e l o p   t h e   d i s c o n t i n u o u s   s p a c e   v e c t o r   P W M .   T h e   o u t p u t   p h a s e   v o l t a g e s   r e m a i n s   s i n u s o i d a l   b u t   t h e   l e g   v o l t a g e s   a n d   t h e   c o m m o n   m o d e   v o l t a g e s   t a k e s   d i f f e r e n t   s h a p e s   d e p e n d i n g   o n   t h e   t y p e   o f   t h e   P W M   t e c h n i q u e s .   A l l   t h e   p r o p o s e d   s c h e m e s   a r e   p r e s e n t e d   i n   F i g   1 0 ,   s h o w i n g   t h e   p l a c e m e n t   o f   z e r o   v e c t o r s   a n d   t h e   w a v e f o r m s   f o r   e a c h   s c h e m e s   w h e r e   V a le g   ( L e g   v o l t a g e ) ,   V a   ( p h a s e   v o l t a g e ) ,   V n ( v o l t a g e   b e t w e e n   n e u t r a l   p o i n t ) .   O n c e   a g a i n   o n l y   f o u r   d i f f e r e n t   s c h e m e s   a r e   e l a b o r a t e d   d e p e n d i n g   u p o n   t h e   r e l o c a t i o n   o f   t h e   z e r o   s p a c e   v e c t o r s ,   n e v e r t h e l e s s ,   a   n u m b e r   o f   o t h e r   p o s s i b i l i t i e s   d o   e x i s t .   T h e   s w i t c h i n g   s c h e m e   i s   p r e s e n t e d   i n   F i g .   1 1   f o r   D P W M M A X   a n d   D P W M M I N .   I t   i s   o b s e r v e d   t h a t   o n e   l e g   r e m a i n s   u n m o d u l a t e d   i n   c o n t r a r y   t o   t h e   p r e v i o u s l y   d i s c u s s e d   m e t h o d   w h e r e   t h r e e   l e g s   w e r e   u n m o d u l a t e d .   T h u s   t h e   n u m b e r   o f   s w i t c h i n g   i s   r e d u c e d   t o   o n e   s e v e n t h   c o m p a r e d   t o   i t s   c o u n t e r p a r t   i n   c o n t i n u o u s   m o d e .   T h e   u p p e r   p o w e r   s w i t c h   r e m a i n s   c o n t i n u o u s l y   o n   a n d   h e n c e   t h e   l e g   i s   t i e d   t o   t h e   p o s i t i v e   d c   r a i l   i n   D P W M M A X ,   w h i l e   i n   D P W M M I N   t h e   l o w e r   p o w e r   s w i t c h   i s   c o n t i n u o u s l y   o n   l e a d i n g   t o   t h e   l e g   b e i n g   t i e d   t o   t h e   n e g a t i v e   d c   r a i l .   T o   f u r t h e r   s h o w   t h e   d i s c o n t i n u i t y   i n   d i f f e r e n t   l e g s ,   a n o t h e r   p i c t o r i a l   v i e w   i s   p r e s e n t e d   i n   F i g .   1 2 ,   h e r e   t h e   f i l l e d   s e c t o r   s h o w s   u n - m o d u l a t e d   l e g s .   T h u s   e a c h   l e g   r e m a i n s   u n m o d u l a t e d   f o r   t w o   c o n s e c u t i v e   s e c t o r s   a n d   m o d u l a t e s   i n   r e m a i n i n g   t w e l v e   s e c t o r s   o f   t h e   c o m p l e t e   m a p p i n g .                         a .                         b .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I J P E D S ,   V o l . 2 ,   N o . 2 ,   J u n e   2 0 1 2 :     2 0 3   2 1 8   2 1 2             c .               d .   F i g .   1 0 .   S i n u s o i d a l   d i s c o n t i n u o u s   P W M :   a .   D P W M M I N ,   b .   D P W M M A X ,   c .   D P W M 0   a n d   d .   D P W M 1 .     2 2 a t 2 1 a t 2 1 b t 2 1 b t 0 t A V B V C V D V E V F V G V 2 2 b t 2 2 b t 2 1 a t 2 2 a t 2 3 a t 2 3 a t 2 3 b t 2 3 b t         F i g .   1 1 a .   D P W M   M A X   f o r   s e c t o r   1     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.