Internati o nal  Journal of P o wer Elect roni cs an Drive  S y ste m  (I JPE D S)  Vol .   5 ,  No . 2, Oct o ber   2 0 1 4 ,  pp . 23 7~ 24 3   I S SN : 208 8-8 6 9 4           2 37     Jo urn a l  h o me pa ge : h ttp ://iaesjo u r na l.com/ o n lin e/ind e x.ph p / IJPEDS  Modelling of Variable Frequenc y Synchronous Buck Converter      Jeya Selvan Renius  A, Vinoth  Kum a r   K,  Arn o ld Fre d derics, Raja  Guru, Sree  Laks hmi Nair   Departement of  EEE, School of   Electri cal Sciences, Karun y a University , Co imbatore – 64111 4, Tamil Nadu , India      Article Info    A B STRAC Article histo r y:  Received  J u l 11, 2014  Rev i sed   Sep 9, 20 14  Accepted  Sep 25, 2014      In this paper ,   novel small-sig n al av eraged m odels for dc–d c conver t er  operating at var i able switc hing  frequency   are d e rived .  This is achieved  b y   separately  considering th e on- time and the off-time  of the switching period.  The deriv a tion is shown  in detail for a s y nchro nous buck converter . Th Enhanced Small Signal (ESSA)  Model  is derived for the s y nchr onous buck   converter. The equivalent  se ries inductance (ESL)  is  al so consid ered in th is  modelling. Th e buck converter model is  also si mulated in MATLAB and th result  is also  pre s ented.   Keyword:  D C -D C conv erter ,   En hance d  Sm al l   Si gnal   Analy s is (ESS A),   Equivalent Series  Inductance   (ESL )   Copyright ©  201 4 Institut e  o f   Ad vanced  Engin eer ing and S c i e nce.  All rights re se rve d Co rresp ond i ng  Autho r Jey a  Sel v a n  R e ni us  A,     Depa rt em ent  of EEE , Sc h ool   of Electrical Sciences,    Karun y a Un iv ersity,  Co im b a to r e  –  6 411 14 , Tam il  N a du , Ind i a.    Em a il: ren i u s 28 @g m a il.co     1.   INTRODUCTION  In t h e co nt r o l  of  dc –dc c o nv ert e rs, t w o c o n t rol  o b j ectives  are appare nt: perform a nce and efficiency.  On  t h e on h a n d , th research  fo cu s in  t h co mm u n ity h a s b e en  pu t on   th e op timizatio n  of th e con v e rsion  effi ci ency .  F o r  i n st ance , t h e s w i t c hi n g   fre q u e ncy  ca be  re duce d  at  l o w l o ad s,  o r  t h e  c o nt r o l  sc hem e  coul be  swi t c he d bet w een a co nst a n t  on -t im e and  a const a nt  o f f - t i m e  cont r o l  schem e  dependi ng  o n  t h e  l o ad  co nd itio ns.  On   th e o t h e r h a nd , a stro ng  i n terest can   b e   foun d in  th e op tim iz atio n   o f  th d y n a m i c p e rforman ce.  Wh en  a v a riatio n   of th e swi t ch in g p e riod   is to le rab l e during  co nv erter op eration ,  th i s  add itio n a l   deg r ee o f  fr ee dom  offe rs t h e  op po rt u n i t y  of t i ght  (n ear o p t i m u m )  vol t a ge re gul at i o n.  Neve rt hel e ss , t o  f u l l y   expl oit the swi t ching  peri od  m odulation  in  term s of dyna m i c transient perf orm a nce and to ens u re stability in   all conditions,  accurate m o dels, which c o ver the  dynam i cs of t h power conversi on  system  unde varia b le   fre que ncy ope r ation, are  ne eded. A  fre quency -selectiv e av erag ing  is ap p lied  su ch  th at th e switch i n g   fre que ncy appears in the  dynam i c s y ste m   m odel. The de rivations gi ve an accurate  model  of the c o nve rte r   d y n a m i cs also  for situatio n s  wh en th e t r ad itio n a l sm all-ripp le cond itio n s  are  n o t  sat i sfied ,   bu t yield  a  no nl i n ea r t i m e -va r y i ng sy st e m  form ul at i on. As p r e v i o us  cl assi c cont r o l  t h eo ri es l a rgel y  de pen d   on  a   linearized representation of  t h system  u n d er ex am , th e resu ltin g  m o d e l is o f  lim i t ed  in terest fo r th e targ eted  d e sign  ob j ective.  In  th is p a p e r, an  altern ativ form u l atio n  o f  th e SSA m o d e l is p r esen ted, wh ich  yield s  a lin earized   sm a ll-sig n a l rep r esen tatio n of th p o wer conv ersi o n  circu it, where t h on-tim e, as well as the  off-tim of t h e   pul se -wi d t h  m o d u l a t i on  (P W M ) si gnal  a r e t r eat ed as  di st i n ct  cont r o l  i n put s. I n  t h i s  m a nn er,  one ca n st u d y  t h e   dynam i cs  under variable   s w itching fre quency operat io n.  Th e  co rr ec tn e s s   o f  th e e n h a n c ed  con v e r t e r   rep r ese n t a t i on  i s  al so  di scus se d i n  t h i s   pa per.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN 2 088 -86 94  I J PED S    Vo l.  5 ,   No 2 ,  O c t o b e r 201 4 :   2 37 –   24 23 8 2.   CONVE RTER MODELLING  In  t h is sectio n, a sm a ll-sig n a l  av erag ed  and   lin ear ized  m o del will b e  d e riv e d, in   wh ich   th e on -tim e   ˆ t on  an d th e of f- ti m e  ˆ t o f f   of  th e PW M si g n a l  dr iv ing th po w e r  stage  o f   th d c –d co nv er ter   appear   as  ad d ition a l in puts to  th e system . Th is is  in  co n t rast to  th co nv en tio n a l SSA m o d e l, where th e sm al l-sig n a dut y  cy cl e dˆ i s  t h e o n l y  co nt rol   vari abl e . T h e o n - t i m e  i s  defi ne d as t h e t i m e peri o d  d u ri ng  w h i c h t h b i nary   P W M  si gnal  i s  “H”, a n d t h e   of f-t i m e i s  defi ned  as t h pe ri od  o f  t i m e dur i ng  w h i c h t h P W M  si gnal  i s  “L”.  Acco r d i n gl y ,  for a sy nc hr o n o u s b u c k  co nve rt er i n  co nt i n u ous c o nd uct i o n m ode (C C M ), d u ri ng t h o n -t i m t h e hi g h - si de s w i t c h S 1  i s  co nd uct i n g a nd t h e l o w-si de s w i t c h S 2  i s  o p e n.  Whe r eas  d u ri ng t h e o f f - t i m e, t h e   hi g h -si d e swi t c h S1 i s  ope and t h e l o w-si de swi t c h S 2  i s  con duct i n g.  Sim i l a r consi d erat i ons are  va l i d  for a  b o o s t co nv erter. Th e relation b e tween   d u t cycle, o n -ti m e, o f f-tim e, an d   switch i ng   p e ri o d  i n  equ ilib ri u m  i s   gi ve n by :     D =  T_on / T_sw   =   T_on /( T_on + T _off   )                                                                                                            (1)     D '   =   ( 1 - D )           ( 2 )     Thus, a  va riation of the  duty  cycle corre sponds  to  a v a riatio n of th e on-time  of the  s w itching cycle,  wh en  th e switch i ng  p e riod  Tsw is assu m e d  to  b e  co nstan t: d ( t) = t o n(t) / Tsw .  Wh en , add itio n a lly, a v a riatio o f  th e switch i ng   p e ri o d  Tsw i s  allo wed ,  th fo llo wi n g  equ a t i o n  is read ily ob tain ed :      d(t )  =  ( T_on  (t)/ T_sw  (t)) =   ( T_on  (t)/ T_on  (t)+  T_(off (t ) )     The state-s p ac e m odels, as c o nside r ed in t h is  study, are  de fi ned as:     dx (t) ) /dt  A x ( t Bu (t)          (3 )     y ( t)    C x (t Du (t)          (4 )     Thi s  i s  t h basi c sm all  si gnal   equat i o f o r t h e sy nc hr on o u buc k c o nve rt er     3.   ENHA N C ED  SM ALL  SIG NAL M O DEL L ING OF SY NC HR ON OU BU CK CO NVE RTER           Fi gu re  1.  B u c k  co nve rt er m o d e l        From  the above circuit two mode s of operati on a r possi ble (i.e)  whe n  the  switch is ON s t ate and the   switch is i n   OFF state. T h e sta t e varia b les are  give n a s   X =        The i n p u t   vari a b l e s are  gi ven   as U.  T h ey  are   gi ve bel o w.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PED S    I S SN 208 8-8 6 9 4       Modelling  of V a riable Fre q ue ncy  Sync hr onou s B u ck C o nve r ter (Jeya  Selvan Re nius  A)  23 9 U =        The  o u t p ut  va r i abl e  i s  gi ven  a s :     Y =  [   3. 1. MO DE  1   Wh en  t h e switch  S1  is i n   ON state and  th e switch  S2  is i n   OFF state, the  circuit equations acc ordi ng  to  Ki rcho ff’s  vo ltag e  law is  g i v e n as:        =   -   +            ( 5 )      C     = -             ( 6 )          =   -     -           ( 7 )     B y  appl y i n g  t h e ab ove  eq uat i ons  t o  t h e sm all  si gnal  a n al y s i s  m odel  eq uat i ons we  get :           = 00 0     +[         ( 8 )     Y =  [    + [ o      o]            ( 9 )     These a b ove  e quat i o ns  are  si m i l a r t o  t h ba si c sm al l  si gna l  equat i o ns . T h us  fr om  t h e ab ove  eq uat i o ns,        =  00 0          = [          = [        = [o   o   o]    Th us t h e  f o ur  m a t r i ces are de ri ve d f r o m   m o de  1.  Si m i l a r cal cul a t i ons a r m a de i n  m ode  2 al s o     3. 2. MO DE  2   Wh en  t h e switch  S2  is i n   ON state and  th e switch  S1  is i n   OFF state, the  circuit equations acc ordi ng  to  Ki rcho ff’s  vo ltag e  law is  g i v e n as:       L     =   -            ( 1 0 )      C     = -             ( 1 1 )          =   -     -           ( 1 2 )        Sim i l a r t o  ab o v e m ode, i n  t h i s  m ode al so  we  f o rm  t h e m a t r ix e quat i o n a s   g i ven  bel o w:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN 2 088 -86 94  I J PED S    Vo l.  5 ,   No 2 ,  O c t o b e r 201 4 :   2 37 –   24 24 0     = 00 0     +[ 000         ( 1 3 )     Y =  [    + [ o      o]            ( 1 4 )     Thus  from  the above e q uations we  can  also   get th e fo llowing  m a trices,       =  00 0            = [ 000      = [ 0       = [0   0   0]    Co n s i d eri n g  small p e rtu r b a tio n s  aro und  th e eq u ilibriu m  p o i n t , th e states  x , inpu t sign als  u , an d t h e c ont ro l   vari a b l e t on   and  t off are  gi ven   by ,     x =  X +   x ̂ ,u =  U +  û     t on T on   t ôn       t off T off t ̂ off     Acco r d i n gl y ,  t h e st at e e quat i on  i s   gi ve by ,      ̂   = (( - ) on     ôn  on    o ̂ n off    ̂ off  ) ( X  +   x ̂    ) +   ( ( - ) on     ôn  on    o ̂ n off    ̂ off   +  ) ( U  +  û )   (1 5)       An d t h out put  eq uat i o n  i s ,     Y+  ŷ  = (( - ) on     ôn  on     o ̂ n off    ̂ off  ) (X  +  x ̂    ) +     (( - ) on     ôn  on    o ̂ n off    ̂ off   +  ) (U + û )   (1 6)       Co llectin g  th d i rect-cu r ren t  (d c) term s an d   acco rd ing  t o  th e con d ition   o f  the equ ilib riu m     0=    A x ( t ) + Bu( t  y ( t )      =  C x ( t ) +  D u ( t    Whe r e t h e a v eraged  m a trices are  give by,    A =  D  + D'   B ̃  = D  + D'   C = D  + D'   D ̃  =  D  + D'     After  calcu latio n, we g e t:    A =  00 0         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PED S    I S SN 208 8-8 6 9 4       Modelling  of V a riable Fre q ue ncy  Sync hr onou s B u ck C o nve r ter (Jeya  Selvan Re nius  A)  24 1  B ̃  = [     C = [      D ̃  =  [o    o   o]      To calc u late B  and D,  we  use  t h e p r oced ure   as gi ven  bel o w ,       B = [ B      D  [ D      &   and   &   can  be calculated  from  the fo rm ula belo w,      = ( X +  U)   (     )    = ( X +  U)   (     )          ( 1 7 )     An d,      = ( X +    Y)  (     )    = ( X +    Y)  (     )        ( 1 8 )       Th us a f t e r cal c u l a t i ons  we  get  t h val u o f  B   & D  m a t r i ces as gi ven  bel o w ,         =  0 D′      0         0 D      0          =       B  00 0 D′      D      00 0      D  0     By sp littin g  th e switch i ng  p e riod  of th e PWM sig n a l in to  t h e on -tim e an d  th e o f f-tim e o f  th e p e riod the input  vector size is  2, com p ared t o   1  in  case  o f  t h e trad itio nal SSA app r o a ch  (wh e re so lely th dut y  cy cl e i s  adde d as co nt r o l  i nput ) .  Ne ver t hel e ss, t h e i n p u t  com pone nt s  ( t on a nd  t o f f )  do  not   ind e p e nd en tly  affect the state  v ector. Th is is  in tu itiv ely clear an d reflected   in  th resu ltin g m o d e ls, as:     ran k ( B   (m  + 1 )       i.e.,  d o es not   ha ve ful l   ra n k .       4.   SIMULATION MODEL  Th bu ck conver t er  m o d e l si m u la ted  in  M A TLA B is  g i v e n b e low .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN 2 088 -86 94  I J PED S    Vo l.  5 ,   No 2 ,  O c t o b e r 201 4 :   2 37 –   24 24 2     Fi gu re  2.  Si m u l a t i on di a g ram  of  b u c k  c o n v er t e r i n  M A TL A B  R 2 0 1 3 A          Thu s  th e bu ck co nv erter m o d e l is si m u late d  in  MATLAB an d  th o u t p u t  is similar t o  th at o f  t h id eal ou tpu t . Th e sim u lated  ou tpu t  is  p r esen t e d   b e low.      5 .       SIMUL A TED OUTPUT  The si m u l a t e d o u t p ut  s h o w s  t h at  a  2 0 0 0 V   i n p u t  DC  s o u r ce has  bee n  b u cke d  t o   gi ve   an  out put  o f   15 0 0 V  DC   o u t put .  T h e si m u l a t e d o u t p ut  i s  s h o w bel o w.           Fi gu re  3.  Si m u l a t e d o u t p ut   of  t h e b u c k  c o n v e r t e r       6.    CO NCL U S ION   In   th is p a p e r, an   altern ativ e an d  no v e form u l a tio n  of the lin earized  small-sig n a m o d e ls fo d c –d con v e r t e rs  has  bee n   prese n t e d. T h de ri v a t i on  of t h d y n am i c   m odel  has  bee n  s h ow n i n  d e t a i l  fo r a  syn c hr ono us bu ck  co nv er ter .   Thu s  th e du ty cycle is a l so adde d as a co nt rol  i n put  t o  t h e con v ert e r t o pol ogy   d i scu s sed above. Th u s  th e conv er ter can also  b e  co n t r o lled by u s ing  t h d u t y cycle v a r i atio n s       REFERE NC ES  [1]   X Yu, B W a ng,  X Li. Com pute r-control l ed v a ri able s t ru ctur e s y s t em s :  The s t at e  of the  art .   IEEE Trans. Ind. In f.,   2012; 8(2): 197– 205.  [2]   L  Corra di ni,  A Cost a b e b e r ,  S Me mbe r ,  P Ma t t a vel l i ,  S Me mb e r ,  S Sa ggi ni .  Pa ra me t e r-i nde pende nt  t i m e - optima l   digital  control fo r point-of- load  converters.  IE EE  T r ans.  Po wer Electron.,  2009 ; 2 4 (10): 2235–224 [3]   S Kapat. Improved time optim al contro l of  buck conver t er  based on capacitor curren t IEEE  Trans.  P o we r   Electron.,   2012; 27(3):  1444–145 4.    [4]   AV Peterchev ,   S Sanders. Quan tization  resolution and limit cy c ling in  digi tally   controlled PWM conver t ers.  IEEE  Trans. Power Electron.,  2003 ; 1 8 (1): 301–308.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J PED S    I S SN 208 8-8 6 9 4       Modelling  of V a riable Fre q ue ncy  Sync hr onou s B u ck C o nve r ter (Jeya  Selvan Re nius  A)  24 3 [5]   RW Erickson, D Maksimovic.  Fundamentals of  P o wer Electronics , 2nd  ed.  New Y o rk, USA: Sprin g er-Verlag ,  200 1.  [6]   J Sun, D Mitchell, M Greuel. Averag ed modeling  of PWM converters opera ting in  discontinuous conduction mode.  IEEE  T r ans. Po wer El ectron . ,   2 001; 16(4): 482– 492.  [7]   S Sanders, J No worolski, X Liu. Generalized  av eraging method for power conversion circuits . IEEE T r ans. Power   Electron.,  1991; 6(2):  251–259.  [8]   V Caliskan, O Verghese, A St an kovic. Multifreq u ency  av eraging  of dc/dc conv erters.  IEEE Trans. Power Electron .,  1999; 14(1): 124 –133.  [9]   Z Shen, N Yan ,  H Min. A m u ltim ode dig ital l y  contro lle d  b oost convert er  with pid  autotu ning and  constant  frequency / constant off- time h y b r id pwmcontrol.  IEEE  T r ans. Po wer El ectron . ,  2 011;  26(9) : 258 8–2598.  [10]   F Kuttner, H Habibovic, T Hartig, M Fu lde, G  Babin, A Santne r, P Bogner ,  C   Kropf, H  Riesslegger, U Hodel.  digitally controlled dc-dc converter for SoC in 28 nm CMOS.  P r oc . IEEE Int .  S o li d-S t ate Cir c uits Conf. Dig. Te ch Papers, San  Fran cisco, CA, USA. 2011: 384–385     BIOGRAP HI ES OF  AUTH ORS         M r .  A.  Jey a  Selvan Re nius  received  his B . Tech. degr ee  in  Electronics and  Co mmunication  Engineering fro m Anna University , Tamilnadu ,  Indi a. P r es ent l y  h e  is  purs u ing M . Tech in P o wer   Ele c troni cs  and Drives  from  Karun y a Univ ers i t y ,  Coim batore, T a m il Nadu,  India. His present  research in ter e sts are Power converters and i nverters, Special machines, Solar and wind   Applica tions.           Prof .K . V i n o th  Ku mar  recei ved his  B.E. de gree in El ectr i c a l and El ectron i cs  Engineer ing   from Anna   Uni v e r si ty ,  Che n na i,  T a mi l  Na du,  Indi a. He obtained  M.Tech in Power Electronics  and Drives from  VIT  Universit y , Vellor e , T a m il Na du, India. Presently  h e  is working as an   Assistant Professor in the Scho ol of El ectrical   Science, Karun y a Institu te of  Technolog y  an d   S c ienc es  (Karunya Univ ers i t y ) ,   Coim batore,  Ta m il Nadu, India. He is pursuing PhD degree in  Karun y a Univer sity , Coimbatore, India. His pres ent research interests are Condition Monitoring   of Industrial Drives, Neural Networks and Fuzz y   Logic, Special machines , Application of Sof t   Computing Technique. He has published various  papers in intern ational journals  an d   conferen ces  and  also published  four tex t books.  He is a member of IEEE (USA), MISTE  and   als o  in  Int e rnat io nal  as s o ciat ion o f  El ectr i c a Engi neers  (IAENG).           Mr. A. Arn o l d  Fred d erics  rece ived his  B.Te ch. degr ee i n  Electr i c a l an d Electron i cs   Engineering fro m Anna University , Tamilnadu ,  Indi a. P r es ent l y  h e  is  purs u ing M . Tech in P o wer   Ele c troni cs  and Drives  from  Karun y a Univ ers i t y ,  Coim batore, T a m il Nadu,  India. His present  res earch  in teres t s  are  P o wer con v erters ,  S p ec ial   m achines ,  S o lar  Applica tion.           Mr.  B.  Raja Gu ru   rec e ive d  his   B.Te ch.  degr ee  i n  El ectron i cs   an d Com m unicatio n  Eng i neer ing  from Anna  Uni v e r si ty ,  Ta mi l n a d u,   India. Presently  h e  is pursui ng M.Tech in Power Ele c tron ic s   and Drives from Karuny a University , Coimbatore Tam il Nad u , India .  His  pres ent res e arc h   inter e sts ar e Res onant  converters ,   Special mach in es,  Solar  Application .         Ms .S ree lak s h m y Nair  r e c e ived  his  B.Tech . de gree in E l e c trical and Electronics Engineering   fromSaintgits co lleg e  of engineer ing,Mahatma Gandhi University , K er ala, India. Pr esently  she  is  pursuing M.Tech in Power Electronics and Driv es from Ka runy a   Uni v e r si ty ,  Coimba t ore ,   T a mi Nadu,  and India. Her pr esent research  inte re st s are dc -dc c onve r ter s  and inv e rters.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.