I nte rna t io na l   J o urna l   of   Ro bo t ics   a nd   Aut o m a t io n   ( I J R A)   Vo l. 9 ,   No . 4 ,   Dec em b er   2 0 2 0 ,   pp.   2 7 1 ~2 8 0   I SS N:   2089 - 4 8 5 6 ,   DOI :   1 0 . 1 1 5 9 1 / i jr a . v9 i 4 . pp 2 7 1 - 2 8 0     271       J o ur na l   ho m ep a g e :   h ttp : //ij r a . ia esco r e. co m   The   a lg o rithm   of   a da ptive   co ntrol   f o r   a ctive   sus pensi o n     sy stems   using   po le   a ss ig n   a nd   ca sca de   desig n   met ho d       Chi   Ng uy en   Va n   Th a i   Ng u y e n   Un i v e rsity   of   Tec h n o lo g y ,   Vie tn a m       Art icle   I nfo     AB S T RAC T     A r ticle   his to r y:   R ec eiv ed   Mar   11 ,   20 20   R ev is ed   May   31 ,   20 20   Acc ep ted   Sep   10 ,   20 20       Th is   p a p e r   p re se n ts   th e   a c ti v e   su s p e n sio n   sy ste m   (ASS )   c o n tro l   m e th o d   u si n g   th e   a d a p ti v e   c a sc a d e   c o n tr o l   sc h e m e .   Th e   c o n tro l   sc h e m e   is   imp le m e n ted   by   two   c o n tr o l   lo o p s,   th e   i n n e r   c o n tr o l   lo o p   a n d   o u ter   c o n tro l   l o o p   a r e   d e sig n e d   re sp e c ti v e ly .   Th e   in n e r   c o n tr o l   lo o p   u se s   th e   p o le   a ss ig n m e n t   m e th o d   in   o rd e r   to   m o v e   th e   p o les   of   t h e   o rig i n a l   sy ste m   to   d e sire d   p o les   re sp e c t   to     th e   re q u ire d   p e rf o rm a n c e   of   th e   s u sp e n sio n   sy ste m .   To   d e si g n   t h e   c o n tro ll e r   in   t h e   in n e r   lo o p ,   th e   m o d e l   wit h o u t   th e   n o ise   c a u se d   by   t h e   ro a d   p ro fil e   a n d   v e lo c it y   of   t h e   car   is   u se d .   Th e   o u ter   c o n tro l   l o o p   t h e n   d e sig n e d   wit h   an   a d a p ti v e   m e c h a n ism   c a lcu late s   t h e   a c ti v e   c o n tro l   fo rc e   to   c o m p e n sa te   fo r     th e   v i b ra ti o n s   c a u se d   by   t h e   r o a d   p ro fil e   a n d   v e lo c it y   of   t h e   c a r.   T h e   c o n tro l   fo rc e   is   d e term in e d   by   th e   e rr o r   b e twe e n   sta tes   of   th e   re fe re n c e   m o d e l   a n d   sta tes   of   su sp e n sio n   sy ste m s,   th e   re fe re n c e   m o d e l   is   th e   m o d e l   of   c lo se d   lo o p   with   i n n e r   c o n tr o l   lo o p   with o u t   th e   n o i se .   T h e   sim u lati o n   re su lt s   imp lem e n ted   by   u sin g   t h e   p ra c ti c e   d a te   of   t h e   ro a d   p ro fil e   sh o w   t h a t     th e   c a p a b il it y   of   o sc il lati o n   d e c re a se   fo r   ASS   is   q u it e   e fficie n t.   K ey w o r d s :   Ad ap tiv e   co n tr o l   C ascad e   co n tr o l   Po le   ass ig n m en t   m eth o d   R o ad   ex citatio n   R o ad   p r o f ile   Su s p en s io n   s y s tem     T h is   is   an   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r   th e   CC   BY - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   C h i   Ng u y en   Van ,     Dep ar tm en t   of   C o n tr o l   E n g in e er in g   an d   I n s tr u m en ts ,   T h ai   Ng u y e n   Un iv er s ity   of   T e ch n o lo g y ,   3 /2   S tr ee t,   T h ai   Ng u y en   C ity ,   Viet   Nam .   E m ail:   n g ch i@ tn u t.e d u . v n       1.   I NT RO D UCT I O N   T h e   m ain   ad v a n tag e   of   th e   ac tiv e   s u s p en s io n   s y s tem   ( ASS)   is   th e   ca p ab ilit y   of   ch an g in g   th e   d y n am ic   wh ee l   lo a d   ( Fd y n )   in   o r d er   to   im p r o v e   th e   r id e   co m f o r t   f o r   p ass en g er s   by   ad ju s tin g   th e   ch ar ac ter is tic   of   a   s u s p en s io n   s y s tem   lik e   th e   s tiff n ess ,   th e   d am p in g .   T h e   elec tr o m ag n etic,   h y d r a u lic   ac tu ato r s   m o s tly   ar e   u s ed   to   g en er ate   th e   ac tiv e   f o r ce   in   th e   ASS.   T h e   co n tr o l   p r o b lem   f o r   ASS   is   alwa y s   m o r e   ch allen g in g   f o r   r esear ch in g   an d   ap p licatio n   in   th e   p r ac tice   b ec a u s e   of   s o m e   r ea s o n s   [ 1 ,   2 ] :   th er e   ar e   m an y   ASS’s   s ta tes   n ee d   to   be   co n tr o lled   wh ile   ASS   h a s   o n ly   one   co n tr o l   in p u t,   th e   c o n tr o lled   ac tiv e   f o r ce   ac ts   co n tem p o r an e o u s ly   on   b o th   s p r u n g   m ass   an d   s p r u n g   m ass ,   th e   p er f o r m an ce   b an d w id th   of   ac t u ato r   is   lim ited ,   t h e   lim itatio n s   of   tim e,   th e   r esp o n s e   tim e   d o es   not   m ee t   th e   r eq u ir em e n t   of   h i g h   v elo city ,   all   ASS’s   s tate s   ar e   not   m ea s u r ed   by   s en s o r s ,   th e   d eter m in in g   s tatis tic   ch ar ac ter is tics   of   r o ad   e x citatio n   is   th e   p r ac tice   d if f icu lty .   T h er e   ar e   lo ts   of   co n tr o l   m et h o d s   f o r   ASS   in clu d in g :   in   th e   m ater ial   [ 3 ] ,   th e   au th o r s   u s ed   th e   s elf - lear n in g   n e u r al   n etwo r k s   to   ad ju s t   co n tr o ller   p ar am eter s   in   o r d er   to   im p r o v e   th e   r id e   co m f o r t,   th e   co m p lex ity   of   n eu r al   n etwo r k s   an d   ca p ab i liti es   of   co n v er g e n ce   ar e   th e   d is ad v an tag es   of   th is   m eth o d .   Usi n g   th e   Sk y h o o k   r ef er en ce   m o d el   a n d   th e   ad ap tiv e   p ar am eter   c o n tr o ller   b ase d   on   t h e   L y a p u n o v   m eth o d   is   p r esen ted   in   [ 4 ] .     In   [ 5 ,   6 ] ,   au th o r s   a p p lied   th e   f r ee - m o d el   s lid in g   mode   c o n tr o l   with   tim e - d ela y   esti m atio n   to   elim in ate     th e   n o n lin ea r ,   u n ce r tain ty   an d   n o is e   ac tin g   on   th e   s y s tem .   T h e   m o d al   f ee d b ac k   m et h o d   u s e d   to   co n tr o l   ASS   is   wr itten   in   th e   m ater ial   [ 7 ] ,   th i s   m eth o d   co n tr o l   in d ep en d en t ly   in   each   v ib r atio n   mode   of   ASS,   th e   co n tr o ller   p ar am eter s   ar e   tu r n ed   by   an   o p tim al   co n tr o l   m eth o d .   Usi n g   s ec o n d   o r d er   o p tim al   L QG   co n tr o ller   f o r   ASS   is   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4 8 5 6   I nt   J   R ob   &   A u to m ,   Vo l.   9 ,   N o .   4 ,   Dec em b er   2 0 2 0   :    2 7 1     280   272   co n d u cte d   in   th e   [ 8 ] ,   in   wh ich   th e   ASS   m o d el   is   r ewr itten   in   th e   lin ea r   f o r m .   In   th e   ar ticle   [ 9 ] ,   th e   co n tr o ller   b ased   on   b ac k s tep p in g   m eth o d   is   u s ed   to   c o n tr o l   ASS,   in   t h is   m eth o d   c o n tr o l   law   is   d esig n ed   to   b ac k   s tep   f r o m   in n er   lo o p   to   o u ter   lo o p   by   u s in g   th e   v ir tu al   co n tr o l   i n p u ts .   T h e   s im p le   d ec o u p lin g   m eth o d   f o r   ASS   is   im p lem en ted   by   th e   au th o r s   of   [ 1 0 ] .   Mo r e o v er ,   th e r e   ar e   lo ts   of   co n tr o l   m eth o d s   ap p lied   to   ASS   in clu d in g   th e   E v en t - tr ig g e r ed   co n tr o l   [ 1 1 ] ,   H∞   co n tr o l   m eth o d   u s in g   th e   L in ea r   m atr ix   in e q u ality ,   th e   f u zz y   lo g ic   co n tr o l   m eth o d   [ 1 2 ] ,   etc.   T h e   co m m o n   f ea tu r e   of   t h e   ab o v e   m eth o d s   is   th e   n o is e   c au s ed   by   r o ad   p r o f ile   co n s id er ed   to   be     th e   m ain   n o is e   in p u t   of   th e   m ath em atica l   m o d el,   th is   m o d el   is   not   co n ce r n   ab o u t   th at   n o is e   wh ich   is   d ep en d   on   th e   r o ad   p r o f ile   an d   v elo c ity   of   th e   ca r .   In   t h is   p ap er ,   we   u s e   th e   g e n er al   m o d el   of   ASS,   in   th at   m o d el     th e   p ar a m eter s   r elate d   to   t h e   n o is e   ca u s ed   by   r o ad   p r o f il e   an d   v elo city   of   th e   car   ar e   co n s id er e d .   Fr o m     th e   p r ac tice   test ,   we   s ee   th at   t h e   f aster   v elo city   of   th e   car   is   th e   s m all   am p litu d e   of   t h e   n o is e   is   an d   th e   f aster   f r eq u e n cy   is .   T h is   f ea tu r e   m a k es   th e   n o is e   ch ar ac ter is tic   ac tin g   to   t h e   ASS   ch an g e.   B ased   on   th at   m o d el   of   ASS,   th e   co n tr o l   p r o ce s s   f o r   ASS   is   im p lem en ted   by   two   co n tr o l   lo o p s .   T h e   in n e r   co n tr o l   lo o p   is   d esig n ed   with   n o is es   with o u t   a f f ec tin g   ASS,   th is   co n tr o l   lo o p   d r iv es   th e   p er f o r m a n ce   of   ASS   in   t h e   tr an s ien t   p e r io d .   T h e   m o d el   of   clo s ed   l o o p   s y s tem   with   in n er   co n tr o l   lo o p   is   u s ed   as   r e f er en ce   m o d e l   f o r   t h e   d esig n i n g     th e   o u ter   ad a p tiv e   c o n tr o l   lo o p .   T h e   r ef e r en ce   m o d el   d ep e n d s   on   th e   v elo city   of   t h e   ca r .   T h e   o u ter   a d ap tiv e   co n tr o l   l o o p   u s es   th e   p ar am et er   ad ap tiv e   m ec h a n is m   ad ju s t ed   by   th e   v elo city   of   th e   car   an d   er r o r s   b etwe en   ASS’s   s tates   an d   s tates   of   th e   r ef er en ce   m o d el.   T h e   ad ap tiv e   f o r ce   is   g en er ated   to   co m p e n s ate   f o r   th e   ab o v e   er r o r s   in   o r d e r   to   d r iv e   t h at   er r o r   r ea ch in g   to   ze r o .   T h e   s im u latio n   r esu lts   u s in g   th e   p r ac tice   r o ad   p r o f ile     s h o w   th at   th is   m eth o d   is   ef f ic ien t   to   ap p l y   to   t h e   p r ac tice.   T h e   r em ain i n g   p ar t   of   th is   p a p er   is   s tr u ctu r ed   as   f o llo ws:   Par t   two   m en tio n s   t h e   m o d elin g   of   th e   s u s p en s io n   s y s tem .   Par t   th r ee   in tr o d u ce s   ad ap tiv e   co n tr o l     f o r   th e   ASS .   Par t   f o u r   s h o ws   t h e   s im u latio n   r esu lts .   Fin ally ,   p ar t   f iv e   s u m m a r izes   s o m e   co n clu s io n s .       2.   M AIN   CO N T E NT S   2 . 1 .   M o dellin g   of   t he   ASS   T h e   ac tiv e   s u s p en s io n   d ep ic ted   in   Fig u r e   1   s y s tem   co n s is t s   of   s p r u n g   m ass     an d   u n s p r u n g   m ass   ,   th e   s p r u n g   m ass ,   an d   u n s p r u n g   m ass   ar e   co n n ec ted   by   th e   s u s p en s io n   p ar t   in clu d in g   d am p i n g   p ar t     an d   s p r in g   p ar t   in   p a r allel   [ 13 ].   In   ca s e   of   ac tiv e   s u s p en s io n ,   th e   ac tiv e   ac t u ato r   ( elec tr ical ,   elec tr o m ag n etic,   h y d r ic   d ev ic es   d r iv en   by   elec tr ical   s ig n al   ( ) )   is   ad d ed   to   th is   p ar t   to   ch an g e   th e   n atu r al   ch ar ac ter is tics   of   s u s p en s io n   p ar t   in   o r d er   to   g et   th e   d esire d   co m f o r t   r id e.   T h e   co n n ec tio n   b etwe en     th e   u n s p r u n g   m ass   an d   th e   r o ad   s u r f ac e   is   th e   wh ee l.   T h e   wh ee l   is   d escr ib ed   by   wh ee l   d am p in g   p ar t     an d   wh ee l   s p r in g   p ar t   .   T h e   s tates   of   th e   s u s p en s io n   s y s tem   ar e   d ef lectio n ,   v el o city ,   an d   ac ce l er ato r   of   s p r u n g   m ass   , ̇ , ̈ ,   u n s p r u n g   m ass   , ̇ ̈ ,   r esp ec tiv ely .   T h e     is   th e   r o ad   ex citatio n   s u p p o r ted   as   th e   m ain   in p u t   n o is e   of   th e   s y s tem ,     d ep e n d s   on   th e   r o ad   p r o f ile   an d   v el o city   of   th e   car   ( ) .     T h e   p er f o r m an ce   q u ality   of   th e   s u s p en s io n   s y s tem   is   r ef lecte d   u p o n   th e   co m f o r t   r id e,   th is   q u ality   is   p r esen ted   by   3   p a r am eter s :   th e   ac ce ler atio n s   of   th e   car   an d   th e   wh ee l   ̈ , ̈   r esp ec tiv ely ,   th e   d y n am ic   wh ee l   lo ad     an d   th e   s u s p en s io n   d e f lectio n   .   T h e   d y n a m ic   wh ee l   lo ad   is   ca lcu lated   as   ( 1 )   as   [1 4 ] .     = ( ) + ( ̇ ̇ )   ( 1 )           Fig u r e   1.   Ph y s ical   m o d el   of   a   ty p ical   s u s p en s io n   s y s tem   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   R ob   &   A u to m   I SS N:   2089 - 4 8 5 6       Th e   a lg o r ith m   of   a d a p tive   co n tr o l   fo r   a ctive   s u s p en s io n   s yst ems   u s in g   p o le   a s s ig n ...   ( C h i   N g u ye n   V a n )   273   T h e   d y n am ic   wh ee l   lo a d     d ep en d s   on   th e   m ass   of   th e   ca r     v elo city   of   th e   car   ( )   an d   r o a d   p r o f ile.   T h e   s m aller   v alu es   of   ̈ , ̈ ,   ar e,   th e   h ig h er   c o m f o r t   r id er   of   th e   p ass en g e r s   in   th e   car   is   Fig u r e   1.   T h e   r o ad   e x citatio n   alwa y s   is   s u p p o s ed   as   th e   m ain   in p u t   n o is e,   but   we   r ea lize   th at   th e     not   o n ly   d e p en d s   on   th e   r o ad   p r o f ile   b u t   also   th e   v elo city   of   th e   ca r .   Fo r   th e   s am e   r o ad   p r o f ile,   as   th e   v elo city   of   th e   car   ch a n g es,   th e   s to ch asti c   ch ar ac ter is tics   of   th e   will   be   ch an g ed .     Fig u r e   2   s h o ws   th e   v ar y in g   of   th e     in   th e   ca s e   v elo city   of   th e   car   ch an g in g   f r o m   5   k m /h   to   45   k m /h   f o r   th e   s am e   r o ad   p r o f ile.   T h e   r o ad   p r o f ile   h as   th e   s to ch asti c   ch ar ac ter is tic s :   = 2 . 319    ,      = 2 . 348    ,    = 0 . 0131 ,     = 0 . 0131 ;     = 0 . 331678 ,   = 0 . 0131 ,   = 0 . 576 .   Fro m   F ig u r e   3   we   s ee   th at   th e   v elo city   of   th e   ca r   is   h ig h er ,   th e   am p litu d e   of   th e   v a r iatio n     is   lo wer .     T h e   m ax im u m   of     is   0 . 0 7   y m   in   th e   ca s e   ( ) = 5    / ,   th e   m ax im u m s   of     ar e   0 . 023     an d   0 . 02     in   th e   ca s es   ( ) = 15    /   an d   45    / ,   r esp ec tiv ely .   T h e   ch an g in g   of   s to ch asti c   ch ar ac ter is tics     by   th e   v elo city   of   t h e   ca r ,   t h e   r o a d   p r o f ile   will   af f ec t   s tr o n g ly   to   th e   s tate   esti m atio n   p r o ce s s .   T h e   f ir s t   o r d er   m o d el   of   t h e   r o ad   e x citatio n     as   th e   f u n ctio n   of   th e   r o a d   p r o f ile   a n d   v elo city   of     th e   car   d e p icted   in   Fig u r e   4   c an   be   wr itten   by   th e   e q u atio n   as   [ 1 5 ,   16 ] :      = ( ) +    ( 2 )     w h er e   ,   ar e   th e   o p tio n al   f ee d b a ck   p ar am eter   a n d   v elo city   of   th e   ca r ,   r esp ec tiv ely ,      is   th e   in p u t   n o is e   ca u s ed   by   th e   r o a d   p r o f ile.   L et   co n s id er   th e   s tate   v ec to r   of   th e   s u s p en s io n   s y s tem   d escr i b ed   in   Fig u r e   1   as :     1 = ,   2 = ̇ , 3 = , 4 =   ̇ , 5 = ,         6 =   ̇   = [ 1       2       3       4       5       6 ]   ( 3 )     Su p p o s e   ( )   as   th e   ac tiv e   f o r ce ,   if   ( ) = 0   s y s tem   is   ca lled   th e   p ass iv e   s u s p en s io n   s y s tem .   T h e   m o d el   of   th e   s u s p en s io n   s y s tem   is   wr itten   by   t h e   f o llo win g   eq u atio n .      = ( ( ) ) + ( ) + ( t )   ( 4 )     wh er e     [               0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 ]               , [               0 1 0 1 0 0 ]               , ( ) = [                 ]             ( 5 )     By   m o d if y in g   th e   ( 5 )   as      = ( ( ) ) + ̃ [ ( ) + ( ) ]   ( 6 )     w ith     ̃ = [ ] , ( ) = ( ( ) ) , ( ) = [ 0 ( ) ] , = 6   ( 7 )     th e   s y s tem   h as   th e   in p u t   ( )       ( ) = ( ( ) )   ( ) = [ 1 ] ( )   ( 8 )     Ma tr ix   ( ( ) )   h as   s ix   eig en v alu es   lo c ated   in   t h e   lef t   of   t h e   im a g in a r y   ax is   wh ic h   m a k e   03   p air s   of   eig en v alu es   th at   a r e   s y m m etr ic   with   r esp ec t   to   th e   im ag in ar y   ax is .   T wo   f ir s t   of   th em   ar e   f ix ed   an d   h av e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4 8 5 6   I nt   J   R ob   &   A u to m ,   Vo l.   9 ,   N o .   4 ,   Dec em b er   2 0 2 0   :    2 7 1     280   274   th e   n eg ativ e   r ea l   p ar t,   th e   las t   p air   d e p en d s   on   th e   v elo cit y   of   t h e   ca r .   T h e   v elo city   of   th e   car   i n cr ea s in g   m ak es   th e   im ag in ar y   p ar t   of   t h e   th ir d   p ai r   of   eig e n v alu es   m o v e   alo n g   th e   im ag in a r y   ax is   f ar   f r o m   th e   r o o t   as   d escr ib ed   in   th e   Fig u r e   3 .           Fig u r e   2.   T h e   v ar y in g   of   th e   s to ch asti c   ch ar ac ter is tics     f o r   th e   s am e   r o ad   p r o f ile   by   th e   v elo city   of   th e   car           Fig u r e   3.   T h e   lo ca tio n s   of   p o le   p air s   of   th e   ASS           Fig u r e   4.   T h e   f ir s t   o r d er   m o d e l   of   r o a d   ex citatio n   z r   as     th e   f u n ctio n   of   th e   r o a d   p r o f i le   an d   v el o city   of   t h e   car       2 . 2 .   Ada ptiv e   co ntr o l   f o r   t he   ASS     T h e   ad ap tiv e   c o n tr o l   f o r   ASS   is   d esig n ed   by   two   s tep s   as   f o l lo ws.   -   Ste p   1:   Desig n   th e   s tate   f e ed b ac k   c o n tr o ller   in   o r d er   to   k ee p   clo s ed   lo o p   s y s tem   with o u t   n o is e     ( ) = 0   h av in g   th e   d esire d   d y n am ic.   T h e   p o le   p lace m e n t   is   th e   tech n iq u e   th at   is   u s ed   to   p lace   th e   c lo s ed   lo o p   p o les   of   th e   s y s tem   in   p r ed eter m in e d   lo ca tio n s .   B ased   on   th e   d esire d   d y n am ic   wh ee l   lo ad   an d     th e   d esire d   d y n am ic   of   , ̇   th e   p r ed eter m in ed   lo ca tio n s   of   t h e   p o les   ar e   ca lcu lated .   T h e   r e s u lts   of     S tep   1   is   th e   s tate   f ee d b ac k   co n tr o ller   wh ich   h as   th e   g ai n   d ep en d in g   on   th e   v elo city   of   th e   car   a n d     th e   r o ad   p r o f ile.   T h is   is   th e   in n er   co n t r o l   lo o p .   -   Ste p   2:   Desig n   th e   ad a p tiv e   c o n tr o ller   in   th e   o u ter   co n t r o l   l o o p   to   atte n u ate   th e   n o is e   ca u s ed   by   th e   r o ad   p r o f ile   an d   v elo city   of   th e   ca r .   T h is   c o n tr o l   lo o p   u s es   th e   r e f er en ce   m o d el   to   be   th e   m o d e l   of   in n er   lo o p   with o u t   n o is e   ( ) ,   th e   d y n am ic   of   th e   r e f er en ce   m o d el   is   d ep e n d ed   on   th e   v elo city   of   th e   car   an d   r o a d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   R ob   &   A u to m   I SS N:   2089 - 4 8 5 6       Th e   a lg o r ith m   of   a d a p tive   co n tr o l   fo r   a ctive   s u s p en s io n   s yst ems   u s in g   p o le   a s s ig n ...   ( C h i   N g u ye n   V a n )   275   p r o f ile.   Usi n g   s tate   er r o r   b et wee n   th e   ASS   an d   r ef er en ce   m o d el,   t h e   ad a p tiv e   m ec h a n is m   ca lcu lates     th e   ac tiv e   f o r ce   to   co m p en s a te   f o r   th e   n o is e   ca u s ed   by   t h e   r o ad   p r o f ile   an d   v elo city   of   th e   ca r .   T h e   ad ap tiv e   m ec h a n is m   g ain   is   v a r ied   r o a d   co n d itio n   an d   v elo cit y   of   th e   ca r .     2 . 2 . 1 .     Desig nin g   t he   inn er   co ntr o l   lo o p   To   d esig n   th e   c o n tr o ller   in   t h e   in n er   co n tr o l   lo o p   we   s u p p o s e   th at   th e   v elo city   of   t h e   c ar   is   ze r o ,   so   ( ) = 0   or   ( ) = + 1 .   C o n s id er   th at   all   s tates   of   ASS   ( )   ar e   m ea s u r ab le.   T h er e f o r e,   th e   m o d el   of   ASS   can   be   wr itten   as   ( 7 ) :      = ( ( ) ) + ̃ ( )   ( 9 )     So   th e   d esig n i n g   is   to   d et er m in e   th e   m atr ix   ( ( ) )   to   g u a r an t ee   th at   ( ) = ( ) + ( ( ) )   m ak es     th e   m o d el   of   clo s ed - lo o p   s y s te m   b ec o m e      = ( ( ( ) ) ̃ ( ( ) ) ) + ̃ ( ) = ̃ ( ( ) ) + ̃ ( )   ( 10 )     an d   th e   p o les   of   th e   d y n am ic   s y s tem   ( 8 )   1 , 2 , ,   ar e   p r ed eter m in ed   l o ca tio n s   with   r esp ec t   to   th e   d esire d   p er f o r m an ce   of   th e   ASS   [ 1 7 ,   18 ] .   So ,   th e   ( 9 )   n ee d s   to   be   s o lv ed .      (  ( ( ) ) ̃ ( ( ) ) ) = ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )   ( 11 )     No te   th at   th e   m atr i x   ( ( ) )   is   d ep en d ed   on   th e   v el o city   of   th e   ca r   ( ) .   On e   of   t h e   m eth o d s   to   s o lv e   ( 9 )   is   th e   m o d al   m eth o d   in   th e   m at er ial   [ 1 9 ] .   T h is   m eth o d   u s es   th e   r eg r ess io n   ca lc u latio n   p r o c ess .   If     is   r an k   of   m atr ix   ̃   an d   1 , 2 , ,   ar e   eig en v alu es   of   m atr ix     th en   th e   r eg r ess io n   ca lcu latio n   p r o ce s s   is   im p lem en te d   by   n /m   s tep s ,   on   each   s tep   th e   m atr ix     is   ca lcu lated   to   m o v e   m   p o les   of   A   a m o n g   1 , 2 , ,   to     n ew   p o les   am o n g   1 , 2 , ,   of   m atr ix   ( ( ) ) ̃ ( ( ) ) .   T h e   m atr ix   ( ( ) )   th en   is   ca lcu lated   by   s u m m in g   m atr ices   ( ( ) ) .     2 . 2 . 2 .   Desig nin g   t he   o ute r   a da ptiv e   co ntr o l   lo o p   B ac k   to   th e   ASS   in   p r esen ce   of   n o is e   ( )   ca u s ed   by   r o a d   p r o f il e   an d   v elo city   of   th e   car   ( 6 ) ,   with   th e   in n er   c o n tr o l   l o o p   t h e   ASS   m o d el   b ec o m es      = ̃ ( ( ) ) + ̃ [ ( ) + ( ) ]   ( 12 )     in   wh ich   ̃   is   a   s tab le   m atr ix   h av in g   d esire d   p o les   1 , 2 , , .   We   h av e   th e   L y ap u n o v   ( 1 1 )     ̃ ( ( ) ) + ̃ ( ( ) ) =   ( 13 )     If   s y m m etr ic   m atr i x   Q   is   p o s itiv e   d ef in ite,   ( 1 1 )   alwa y s   ex is ts   a   u n iq u e   p o s itiv e   d ef in ite   s y m m etr ic   m atr ix   ( ( ) )   [ 2 0 ] .     We   u s e   th e   r ef er en ce   m o d el   d escr ib ed   by   ( 1 2 ) :      = ̃ ( ( ) ) + ̃ ( )   ( 14 )     Desig n in g   th e   o u ter   ad ap tiv e   co n tr o l   lo o p   is   to   g u a r an te e   th e   s y s tem   ( 1 0 )   tr ac k in g   to   th e   s y s tem   ( 1 2 ) .   Su p p o s e   ( ) = ( ) ,   we   h av e      = ̃ ( ( ) ) + ̃ ( ( ) + ( ) )   ( 15 )     So   th e   task   of   n o is e   atten u atio n   a d ap tiv e   m ec h an is m   is   to   ad ju s t   ( )   in   o r d e r   to   m ak e     th e   er r o r   ( ) = ( ) ( )   ten d   to   ze r o ,   in   wh ich     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4 8 5 6   I nt   J   R ob   &   A u to m ,   Vo l.   9 ,   N o .   4 ,   Dec em b er   2 0 2 0   :    2 7 1     280   276    = ̃ ( ( ) ) + ̃ ( )   ( 16 )     T h e   d iag r a m   of   two   co n tr o l   lo o p s   f o r   ASS   is   s h o wn   in   th e   Fi g u r e   5 .     Use   th e   p o s itiv e - d ef in ite   L y a p u n o v   c an d id ate   f u n ctio n   as   f o l lo w s:     ( , ) = +   ( 17 )     in   wh ich   m atr ix   P   is   r o o t   of   L y ap u n o v   f u n ctio n   ( 1 5 )   an d   H   is   th e   p o s itiv e - d ef in ite   s y m m e tr ic   m atr ix   ch o s en   ar b itra r ily .   So   to   k ee p    ( , )  < 0   or     f o r   all   ,   th e   v ec to r     n ee d s   to   be   s atis f y   ( 1 6 )       [ ̃ +  ] =   ( 18 )     T h er ef o r e,   th e   n o is e   at ten u atio n   ad ap tiv e   m ec h an is m   is      = ̃ ( ( ) )   ( 19 )     So m e   r em ar k s :   -   Fu n ctio n    ( , )  < 0   is   n eg ativ e - d ef in ite   with   r esp ec t   to     th er ef o r e,   .   In   an o th er   wo r d ,   th e   ad ap tiv e   m ec h an is m   ( 1 9 )   is   th e   n o is e   atten u atio n   m ec h an is m ,   it   is   not   an   id en tific atio n   f u n ctio n   of   n o is e   ca u s ed   by   r o ad   p r o f ile   an d   v elo city   of   t h e   ca r .   -   T h e   v elo city   of   ten d in g   to   ze r o   of   er r o r     is   d ep en d e d   on   th e   p o s itiv e   d ef in ite   m atr ix   Q .   -   L ar g er   t h e   n o r m   of   m atr ix   H   is   th e   f aster   er r o r     ten d   to   ze r o   d o es.   L ar g er   eig en v alu es   of   m a tr ix   H   a r e   th e   lar g er   am p litu d e   of     is ,   th is   ca u s es   th e   o s cillatio n   in   th e   s y s tem           Fig u r e   5.   T h e   d iag r am   of   two   co n tr o l   lo o p s   f o r   ASS:     in n er   co n tr o l   lo o p   ( b lu e   lin e) ,   o u ter   ad a p tiv e   co n t r o l   lo o p   ( r e d   lin e)       2 . 2 . 3 .   T he   s im ula t io n   re s u lt s   us ing   t he   pra ct ica l   ro a d   pro f ile   da t a   T h e   s im u latio n   r esu lts   b elo w   ar e   co n d u cted   in   two   ca s es   th at   ar e   ev en   r o ad   p r o f ile   an d   s to ch asti c   p r ac tice   r o ad   p r o f ile.   T h e   p h y s ical   p ar am eter s   of   ASS   ar e :     = 0 . 2 , = 8399 ( ) , = 151176 ( ) , = 6665 (  ) , = 500 (  ) ,   = 194 . 2 (  ) , = 49 (  )       a.   T h e   s im u latio n   r esu lts   f o r   e v e n   r o ad   p r o f ile   T h e   in itial   co n d itio n   of   s tates   is   [ 0 ;0 . 2 ;0 ; 0 . 2 ] ,   th e   a m p litu d e   of   th e   ev en t   r o a d   p r o f ile   is   0 . 0 2   m   as   d escr ib ed   in   Fig u r e   6.   T h e   v ar y in g   of   p o s itio n ,   th e   v elo ci ty   of   th e   s p r u n g   m ass   an d   u n s p r u n g   m ass   ar e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   R ob   &   A u to m   I SS N:   2089 - 4 8 5 6       Th e   a lg o r ith m   of   a d a p tive   co n tr o l   fo r   a ctive   s u s p en s io n   s yst ems   u s in g   p o le   a s s ig n ...   ( C h i   N g u ye n   V a n )   277   d ep icted   in   th e   Fig u r e   7.   In   th is   f ig u r e,   th e   p ass iv e   ca s e,   th e   p o le   ass ig n   ca s e,   an d   th e   ad ap tiv e   ca s e   ar e   co m p ar ed   with .   In   th e   ca s e   of   p o le   ass ig n ,   th e   n u m b er   of   o s cillatio n s   of   p o s itio n   an d   v elo city   of   s p r u n g   m ass   an d   u n s p r u n g   m ass   is   d ec r ea s ed   but   th e   a m p litu d e   of   o s ci llatio n   is   in cr ea s ed   in   c o m p ar is o n   to   t h e   p ass iv e   ca s e.   In   th e   ca s e   of   ad ap tiv e   a ctiv e   co n tr o l,   t h e   am p litu d e   an d   n u m b er   of   o s cillatio n s   ar e   b o th   d ec r ea s ed .         Fig u r e   6.   E v en t   r o ad   p r o f ile             Fig u r e   7.   R esp o n s e   of   p o s itio n ,   v elo city   of   th e   s p r u n g   m ass   an d   u n s p r u n g   m ass     in   th e   ca s e   of   e v en t   r o a d   p r o f il e       b.   T h e   s im u latio n   r esu lts   f o r   s to c h asti c   p r ac tice   r o ad   p r o f ile   Pro b ab ilit y   d en s ity   f u n ctio n   of   th e   s to c h asti c   p r ac tice   r o ad   p r o f ile   ( as   in   Fig u r e   8)   is :     = 2 . 319  ,    = 2 . 348  ,    = 0 . 0131 ,     = 0 . 0131 ;     = 0 . 331678 ,   = 0 . 0131 .   T h e   s im u latio n   r esu lts   ar e   co n d u cted   f o r   th r ee   v elo ci ties   of   th e   car   5   k m /h ,   40   k m /h   an d     80   k m /h .   Fig u r e s   9   an d   10   a r e   d ep icte d   th e   s im u latio n   o s cillatio n   r esp o n s es   of   ASS,   t h e   d y n am ic   w h ee l     lo ad   an d   ac tiv e   f o r ce ,   r esp ec tiv ely .   In   th ese   f ig u r es,   th e   ac ti v e   co n tr o l   r esp o n s es   ar e   co m p ar ed   to   th e   p ass iv e   ca s e.   Similar ly ,   Fig u r e s   11   an d   12   s h o w   th e   s im u latio n   r esu lts   in   th e   ca se   th at   th e   v elo city   of   th e   car   is     40   k m / h ,   Fig u r e s   13   an d   14   p l o t   th e   r esu lts   f o r   80   k m /h .   At   5   k m /h   of   th e   v elo city   of   th e   ca r ,   we   s ee   th at   th e   o s cillatio n   an d   am p litu d e   of   o s cillatio n     th e   s p r u n g   m ass   is   ef f ec tiv ely   d ec r ea s ed   as   s h o wn   in   t h e   Fig u r e   9.   T h e   ac tiv e   c o n tr o l   f o r ce   ac ts   to   th e   s y s tem   clea r ly   at   0 . 5   s   f r o m   th e   b eg i n n in g .   E f f icien c y   of   th e   o s c illatio n   d ec r ea s e   of   th e   ca r   is   b e tter   th an   t h e   wh ee l .   R ed u cin g   car   o s cillatio n   is   more   ef f icien t   t h an   r e d u cin g   th e   wh ee l   o s cillatio n .   T h e   d y n a m ic   lo ad   v a r ies   in   r an g e   ± 3 0 0   N ,   th e   ac tiv e   c o n tr o l   f o r ce   r an g es   f r o m   - 600   N   to   400   N .           Fig u r e   8.   Sto ch asti c   p r ac tice   r o ad   p r o f ile     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4 8 5 6   I nt   J   R ob   &   A u to m ,   Vo l.   9 ,   N o .   4 ,   Dec em b er   2 0 2 0   :    2 7 1     280   278       Fig u r e   9 .   Po s itio n   an d   v elo city   of   s p r u n g   m ass     an d   u n s p r u n g   m ass   f o r   ca s es:   p ass iv e   an d     ad ap tiv e   co n tr o l   at   5   k m /h   ( v e lo city   of   th e   ca r )       Fig u r e   10 .   T h e   d y n am ic   w h ee l   lo ad   an d   ad ap tiv e     co n tr o l   f o r ce   at   5   k m /h   ( v elo ci ty   of   th e   ca r )           Fig u r e   11.   Po s itio n   an d   v elo ci ty   of   s p r u n g   m ass     an d   u n s p r u n g   m ass   f o r   ca s es:   p ass iv e   an d     ad ap tiv e   co n tr o l   at   40   k m / h   ( v elo city   of   th e   ca r )       Fig u r e   12.   T h e   d y n am ic   w h ee l   lo ad   an d   ad ap tiv e     co n tr o l   f o r ce   at   40   k m / h   ( v el o city   of   th e   ca r )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   R ob   &   A u to m   I SS N:   2089 - 4 8 5 6       Th e   a lg o r ith m   of   a d a p tive   co n tr o l   fo r   a ctive   s u s p en s io n   s yst ems   u s in g   p o le   a s s ig n ...   ( C h i   N g u ye n   V a n )   279       Fig u r e   13 .   Po s itio n   an d   v elo ci ty   of   s p r u n g   m ass     an d   u n s p r u n g   m ass   f o r   ca s es:   p ass iv e   an d     ad ap tiv e   co n tr o l   at   80   k m / h   ( v elo city   of   th e   ca r )       Fig u r e   14 .   T h e   d y n am ic   w h ee l   lo ad   an d   ad ap tiv e     co n tr o l   f o r ce   at   80   k m / h   ( v el o city   of   th e   ca r )       At   car   s p ee d   of   40   k m /h   with   ac tiv e   ad ap tiv e   co n tr o l,   th e   car   o s cillatio n   d ec r ea s e   is   q u ite   g o o d     in   co m p ar is o n   to   th e   p ass iv e   ca s e.   Fo r   th e   f ir s t   0 . 5   s ec o n d s   of   th e   ad ap tiv e   co n tr o l   p r o ce s s ,   th e   d y n am ic   wh ee l   lo ad   v ar ies   in   t h e   r a n g e   - 3 0 0   N   to   2 0 0   N ,   an d   af ter   th at   th e   d y n am ic   w h ee l   lo ad   d ec r ea s es,   it   r an g es     in   ± 100   N .   T h e   ac tiv e   co n tr o l   f o r ce   v ar ies   f r o m   4 0 0   N   to   400   N   f o r   th e   f ir s t   0 . 5   s ec o n d s   an d   i t   v ar ies   in     th e   r an g e   ± 2 0 0   N   f o r   af ter   t h at.   At   car   s p ee d   of   80   k m /h ,   th e   s im u latio n   r esu lts   ar e   th e   s am e   at   40   k m /h .   T h er ef o r e,   by   u s in g   th e   ca s ca d e   ad ap tiv e   c o n tr o l   f o r   t h e   A SS ,   th e   o s cillatio n s   of   th e   car   an d   th e   wh ee l   a r e   d ec r ea s e d   ef f ec tiv ely ,   it   is   th e   s am e   ca s e   with   th e   d y n am ic   lo ad .       3.   CO NCLU SI O N     T h e   p ap er   in tr o d u ce s   th e   ca s ca d e   ad ap tiv e   co n tr o l   m eth o d   f o r   an   ASS .   T h e   in n er   co n tr o l   lo o p   u s es   th e   p o le   p lace m en t   tech n i q u e   wh ich   is   u s ed   to   p lace   th e   clo s ed   lo o p   p o les   of   th e   s y s tem   with o u t   n o is e   in   p r ed eter m in e d   lo ca tio n s   in   o r d er   to   ch an g e   th e   d y n am ic   ch ar ac ter is tics   of   A SS   to   d esire d   p er f o r m a n ce   r eq u ir em e n ts .   T h e   o u ter   co n t r o l   lo o p   u s es   th e   ad ap tiv e   c o n tr o l   s tr ateg y   with   th e   a d ap tiv e   m ec h an is m   to   co m p en s ate   f o r   th e   o s cillatio n   of   th e   car   ca u s ed   by   th e   r o ad   p r o f ile   a n d   v el o city   of   th e   ca r   ac tin g   to   ASS.   T h e   s im u latio n   r esu lts   u s in g   ev en   r o a d   p r o f ile   an d   s to ch asti c   p r ac tice   r o ad   p r o f ile   s h o w   th at   th e   ca p ab ilit y   of   o s cillatio n   d ec r ea s e   f o r   th e   ca r   an d   th e   wh ee l   of   ASS   is   q u ite   ef f icien t.   T h e   d y n am ic   wh ee l   lo ad   is   d ec r ea s ed   so   th e   r id e   co m f o r t   of   p ass en g er s   is   b etter .         ACK NO WL E DG E M E NT S     T h is   r esear ch   is   s u p p o r ted   f in a n cially   by   T h ai   Ng u y e n   Un iv e r s ity   of   T ec h n o lo g y ,   T NUT .       RE F E R E NC E S     [1 ]   D.   Ka rn o p p ,   Th e o re t ica l   Li m it a ti o n s   in   Ac ti v e   Ve h icle   S u s p e n si o n s,   Ve h icle   S y ste m   Dy n a mic s ,   v o l.   1 5 ,   n o .   1,     pp.   41 - 5 4 ,   1 9 8 6 .   [2 ]   M.   C.   S m it h ,   Ac h iev a b le   Dy n a m ic   Re sp o n se   fo r   Au to m o ti v e   Ac ti v e   S u sp e n si o n s,   Veh icle   S y ste m   Dy n a mic s ,     v o l.   2 4 ,   no.   1,   p p .   1 - 33 ,   1 9 9 5 .   [3 ]   J.   Lin   a n d   R.   L ian ,   I n telli g e n t   Co n tro l   of   Ac ti v e   S u sp e n si o n   S y ste m s,   IEE E   T r a n sa c ti o n s   on   In d u stri a l   El e c tro n ics ,   v o l.   5 8 ,   no.   2,   p p .   6 1 8 - 6 2 8 ,   2 0 1 1 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SS N : 2 0 8 9 - 4 8 5 6   I nt   J   R ob   &   A u to m ,   Vo l.   9 ,   N o .   4 ,   Dec em b er   2 0 2 0   :    2 7 1     280   280   [4 ]   A.   Tu r n i p ,   et   al . ,   Co n tr o ll e r   d e sig n   fo r   a c ti v e   s u sp e n si o n   sy ste m   b a se d   on   sk y h o o k   re fe re n c e   m o d e l,   in   2 0 1 5   In ter n a t io n a l   Co n fer e n c e   on   T e c h n o lo g y ,   I n fo rm a ti c s,   M a n a g e me n t,   En g in e e rin g   &   En v iro n me n t   ( T IM E - E) ,   2 0 1 5 ,   pp.   1 4 7 - 1 5 1 .   [5 ]   V.   S.   De sh p a n d e ,   M.   B h a sk a ra ,   a n d   S.   B.   P h a d k e ,   S li d in g   m o d e   c o n tro l   of   a c ti v e   su s p e n sio n   sy ste m s   u si n g     a   d istu r b a n c e   o b se r v e r,   in   2 0 1 2   1 2 t h   In ter n a ti o n a l   W o rk sh o p   on   Va ria b le   S tr u c tu re   S y ste ms ,   2 0 1 2 ,   pp.   70 - 7 5 .   [6 ]   W.   Ju e   a n d   Z.   Jin g ,   M o d e l - fre e   trac k in g   c o n tr o l   fo r   v e h icle   a c ti v e   su sp e n sio n   sy ste m s,   in   2 0 1 5   3 4 t h   Ch i n e se   Co n tro l   Co n fer e n c e   (CCC) ,   2 0 1 5 ,   pp.   8 0 6 7 - 8 0 7 2 .   [7 ]   F.   Bra g h i n ,   F.   Re sta ,   a n d   E.   S a b b i o n i ,   A   m o d a l   c o n tr o l   fo r   a c ti v e /se m i - a c ti v e   su sp e n sio n   sy st e m s,   in   2 0 0 7   IEE E/ AS M E   in ter n a ti o n a l   c o n fer e n c e   on   a d v a n c e d   i n telli g e n t   me c h a tro n ics ,   2 0 0 7 ,   p p .   1 - 6.   [8 ]   B.   Z h a n g ,   M.   F a n ,   a n d   F.   M iao ,   Op ti m a l   Co n tro l   of   Ve h icle   Ac ti v e   S u sp e n si o n   S y ste m s   with   Ac t u a to r   De lay ,   in   2 0 0 7   IE EE   I n ter n a t io n a l   C o n fer e n c e   on   C o n tro l   a n d   A u to m a ti o n ,   2 0 0 7 ,   p p .   2 2 5 7 - 2 2 6 1 .   [9 ]   A.   Alley n e   a n d   J.   K.   He d rick ,   N o n li n e a r   Co n tr o l   of   a   Qu a rter   Ca r   Ac ti v e   S u s p e n sio n ,   in   1 9 9 2   Ame ric a n   C o n tr o l   Co n fer e n c e ,   1 9 9 2 ,   pp.   21 - 2 5 .   [1 0 ]   G.   Tan g ,   H.   Li n ,   a n d   H.   S u ,   De c o u p l in g   v ib ra t io n   c o n tr o l   fo r   a c t iv e   su sp e n sio n   sy ste m s,   in   2 0 1 7   2 9 th   C h in e se   Co n tro l   a n d   De c isio n   C o n fer e n c e   (CCDC) ,   2 0 1 7 ,   pp.   6 5 0 4 - 6 5 0 9 .   [1 1 ]   K.   Ba n sa l   a n d   P.   M u k h ij a ,   Ev e n t - tri g g e re d   c o n tr o l   of   v e h icle   a c ti v e   su s p e n sio n   s y ste m s,   in   2 0 1 8   In d i a n   Co n tro l   Co n fer e n c e   (ICC) ,   2 0 1 8 ,   p p .   1 7 8 - 1 8 3 .   [1 2 ]   S. - j.   Li u ,   Z. - h.   Hu a n g ,   a n d   Y. - z.   Ch e n ,   Au t o m o b il e   a c ti v e   su s p e n sio n   sy ste m   wit h   fu z z y   c o n tr o l,   J o u rn a l   of   Ce n tra l   S o u th   U n ive rs it y   of   T e c h n o l o g y ,   v o l.   11,   n o .   2,   p p .   2 0 6 - 2 0 9 ,   2 0 0 4 .   [1 3 ]   C .   N .   Va n ,   S tate   Esti m a ti o n   Ba se d   on   S i g m a   P o i n t   Ka lma n   F il t e r   fo r   S u sp e n si o n   S y ste m   in   P re se n c e   of   Ro a d   Ex c it a ti o n   I n flu e n c e d   by   Ve lo c it y   of   t h e   Ca r ,   J o u r n a l   of   C o n tr o l   S c ien c e   and   En g in e e rin g ,   v o l .   2 0 1 9 ,   2 0 1 9 .   [1 4 ]   G.   Ko c h   a n d   T.   Kl o ib e r,   Driv i n g   S tate   Ad a p t iv e   C o n tr o l   of   an   Ac ti v e   Ve h icle   S u sp e n si o n   S y s tem ,   in   IEE E   T ra n sa c ti o n s   on   Co n tro l   S y ste ms   T e c h n o l o g y ,   v o l.   22,   n o .   1,   pp.   44 - 57 ,   2 0 1 4 .   [1 5 ]   D.   Hro v a t,   S u r v e y   of   a d v a n c e d   su sp e n sio n   d e v e l o p m e n ts   a n d   re late d   o p ti m a l   c o n tr o l   a p p li c a ti o n s,   Au to ma ti c a ,   v o l.   3 3 ,   no.   1 0 ,   pp.   1 7 8 1 - 1 8 1 7 ,   1 9 9 7 .   [1 6 ]   G.   Ko c h ,   et   al . ,   A   n o n li n e a r   e stim a to r   c o n c e p t   f o r   a c ti v e   v e h icle   su sp e n sio n   c o n tro l,   in   Pro c e e d i n g s   of   t h e   2 0 1 0   Ame ric a n   Co n tro l   C o n fer e n c e ,   2 0 1 0 ,   p p .   4 5 7 6 - 4 5 8 1 .   [1 7 ]   K.   Og a ta,   M o d e rn   Co n tro l   En g in e e rin g .   P re n ti c e   Ha ll   P TR,   2 0 0 1 .   [1 8 ]   C.   N.   Va n   a n d   P.   N.   Do a n ,   Ad a p ti v e   trac k i n g   c o n tr o l   b a se d   on   d istu r b a n c e   a tt e n u a ti o n   a n d   IS S   sta b il iza ti o n   of   Eu ler - Lag ra n g e   n o n li n e a r   sy ste m s   in   th e   p re se n c e   of   u n c e rtain ty   a n d   i n p u t   n o ise ,   in   2 0 1 1   2 n d   In ter n a ti o n a l   Co n fer e n c e   on   Arti fi c ia l   I n telli g e n c e ,   M a n a g e me n t   S c ien c e   a n d   El e c tro n ic   Co mm e rc e   (AI M S EC) ,   2 0 1 1 ,   p p .   3 6 9 8 - 3 7 0 1 .   [1 9 ]   G.   Ya o ,   et   al . ,   M o d a l   c o m p u ti n g   m e th o d   of   o u tp u t   fe e d b a c k   c o n tro l   g a i n   m a tri x   in   p o le   a ss ig n m e n t   of   v i b ra ti o n   sy ste m ,   in   2 0 1 0   I n ter n a ti o n a l   Co n fer e n c e   on   M e c h a n ic   Au to m a ti o n   a n d   Co n tro l   E n g i n e e rin g ,   2 0 1 0 ,   p p .   2 2 4 3 - 2 2 4 7 .   [2 0 ]   G.   Kitag a wa ,   An   a lg o rit h m   fo r   s o lv i n g   t h e   m a tri x   e q u a ti o n   X   =   F XF   T   +   S,   In ter n a ti o n a l   J o u rn a l   of   Co n tro l ,   v o l .   25,   n o .   5,   p p .   7 4 5 - 7 5 3 ,   1 9 7 7 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.