I n t e r n at ion al   Jou r n a l   of   Robot ics   an d   Au t om at ion   ( I JRA )   Vo l . 9 ,   No. 1 M a r c h   2020,   pp.   34 ~ 41   I S S N:  2089 - 4856,   DO I 10 . 1159 1/ i j r a . v 9 i 1 . pp 34 - 41     34       Jou r n al  h o m e page ht tp: // ij r a. iaes c or e . c om   N on li n e a r   s yst e m s   id e n t i f ic at i on   w ith   d is c on t in u ou s   n on li n e ar i t y       M oh am e d   B e n yas s i 1 ,   A d il   B r ou r i 2 ,   S m ail   S l as s i 3   1 D e p art men t   o E l ec t ri c a l   E n g i n ee r i n g ,   E ST M,   Mo u l a y   Is m ai l   U n i v e rs i t y M o ro cco   2, 3 A E E E   D e p art men t ,   E N SA M,   Mo u l a y   I s m a i l   U n i v e rs i t y ,   M o ro cc o       Ar t ic l e   I n f o     AB S T RA CT     A r ti c le  h is tor y :   R e c e i ve d   A pr   26 ,   201 9   R e vi s e J u l   5 ,   201 9   A c c e pt e Oc t   6 ,   201 9       I n   t h i s   p ap e r,   n o n p arame t ri c   n o n l i n e ar  s y s t em s   i d en t i fi c at i o n   i s   p ro p o s e d .   T h e   c o n s i d e r ed   s y s t em   n o n l i n e ar i t y   i s   n o n p ara me t ri c   an d   i s   o h ar d   t y p e .   T h i s   l at t e c an   b e   d i s c o n t i n u o u s   an d   n o n i n v e rt i b l e.   T h e   e n t i r e   n o n l i n e ar   s y s t em   i s   s t ru c t u r e d   b y   H a mme rs t e i n   mo d el .   Fu rt h e r mo r e ,   t h e   l i n e ar  d y n a m i b l o ck   i s   o an y   o r d e an d   c a n   b e   n o n p a rame t ri c.   T h e   p ro b l em   i d e n t i f i c at i o n   me t h o d   i s   d o n e   w i t h i n   t w o   s t ag e s .   I n   t h e   fi rs t   s t ag e ,   t h e   s y s t em  n o n l i n e ari t y   i s   i d e n t i f i e d   u s i n g   s i m p l e   i n p u t   s i g n al s .   In   t h e   fi rs t   s t ag e,   t h e   l i n e ar  d y n ami b l o ck   p ara me t e rs   ar e   e s t i m at ed   u s i n g   p e r i o d i c   s i g n al s .   T h e   p ro p o s e d   al g o r i t h m   c a n   b u s e d   o l arg e   cl as s   o n o n l i n e ar  s y s t ems .   K e y w o r d s :   D i s c o n t i n uo us   n o nli ne a r i t i e s   Ha m m e r s t e i n   m o de l s     No nl i ne a r   s y s t e m s   No nl i ne a r   s y s t e m s   i de n t i f i c a t i o n   No nl i ne a r   s y s t e m s   s t r uc t ur e i n   bl o c k s     Th i s   i s   a n   o p en   a c ces s   a r t i c l u n d e r   t h CC  B Y - SA   l i cen s e.     C or r e s pon din A u th or :   M o h a m e B e ny a s s i ,   De pa r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i ne e r i n g,   E S T M ,     M o ul a y   I s m a il   U ni ve r s i t y ,   M o r o c c o .   E m a i l b e ny a s s im o h a m e d @ y a h o o . f r       1.   I NT RODU C T I ON   N o nl i ne a r   s y s t e m s   i de n t i f i c a t i o n   i s   a n   a c t i v e   r e s e a r c h   a r e a   i t h e   l a s t   de c a de s   [ 1 - 4] .   T h e   a c t ua l   s y s t e m s   a r e   ge n e r a ll y   n o nli ne a r   i n   n a t ur e   [ 5 6 ] .   T h e n ,   t h e   n o nli ne a r   e f f e c t   c a n   n o b e   ne g l e c t e d.   F ur th e r m o r e ,   t h e   n o nli ne a r   s y s t e m s   pa r a m e t e r s   v a r y   a c c o r d i n g   to   t h e   t i m e ,   t e m pe r a t ur e ,   e t c .   I t   i s   t h e r e f o r e   n e c e s s a r y   to  de v e l o a   n o nli ne a r   m o de l   to   t a ke   i n t o   a c c o un t   t h e   r e a l   be h a vi o r   o f   pr o c e s s .     No nl i ne a r   s y s t e m s   i d e n t i f i c a t i o n   i s   a   n e c e s s a r s t e f o r   s y s t e m   c o n t r o l   [ 7 - 10] .   T h e   n o nl i ne a r   s y s t e m s   s t r uc t u r e i n   bl o c k s   a r e   i nc r e a s i ng ly   u s e d.   I t   c o n s i s t s   o f   s e r i e s   c o nn e xi o n   o f   li ne a r   a n no nl i ne a r   bl o c k s   [ 5 6 ]   a n [ 11 12] N o nl i ne a r   s y s t e m s   s t r uc t ur e d   i n   bl o c ks   h a v e   b e e n   w i d e ly   s t ud i e l a t e l y   [ 13 - 17] .   On e   t h e   m o s t   us e m o de l s   o f   t h e s e   s y s t e m s   a r e   Ha m m e r s t e i n   m o de l s .   T he   Ha mm e r s t e i n   m o de l s   c o n s i s t   i n   a   n o nli ne a r i t y   e l e m e n t   f o l l o we by   a   l i n e a r   d y n a mi c   bl o c ( F i gur e   1) .   T h e s e   n o nli ne a r   m o de l s   a r e   w i de ly   s t ud i e i t he   l a s t   de c a de s   [ 18 - 22] .   S e v e r a l   s y s t e m s   c a b e   pr a c t i c a ll y   m o d e l l e by   H a m m e r s t e in  m o de l s   [ 23 24] .     T h e   i de n t i f i c a t i o n   pr o bl e m   o f   t h e s e   n o nl i ne a r   s y s t e m s   i s   a n   im po r t a n t   s t a ge   f o r   c o n tr o l   a n d     s t a bi li t y   [ 18] T h e   d i v e r s i t y   o f   n o nli ne a r   s y s t e m s   a n t h e   c o n s i de r a bl e   a s s u m pt i o ns   o n   t h e   s y s t e m   ha s   l e t   a   l a r ge   v a r i e t y   o f   i de n t i f i c a t i o s o l ut i o n s   a n a ppr o a c h e s   [ 9,   10]   a n [ 23,   24] .   Ge ne r a l ly ,   t he r e   e xi s t   f r e qu e n c y   s o l ut i o ns   [ 23,   24] ,   r e c ur s i v e   a l go r i t hm s   [ 8,   9] ,   hi e r a r c hi c a l   a n f il t e r i ng  a ppr o a c h e s   [ 25] ,   s ub s p a c e   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o ds   [ 26]   I n   t hi s   pa pe r ,   a n   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o i s   pr o po s e to   de a l   i n   t h e   k i nd  o f   n o nl i ne a r   s y s t e m s   s t r uc t ur e by   Ha mm e r s t e i n   m o de l s .   C o m pa r e to   m o s t   o f   pr e vi o us   m e t h o ds ,   t h e   pr e s e n t   wor i s   m o r e   ge n e r a l .   I n de e d,   t h e   a s s u m pt i o n s   im po s e o n   t h e   l i ne a r   s u bs y s t e m   a n t h e   n o nli ne a r   bl o c k s   a r e   r e duc e d.   P r e s e n t l y ,   t h e   c o n s i de r e Ha mm e r s t e i n   m o de l   i s   c h a r a c t e r i z e by   n o n pa r a m e t r i c   l i ne a r   s u bs y s t e m   blo c k.   T hi s   l a t t e r   c a n   b e   o f   u n k n o wn   s t r uc t u r e   a n o f   i nf i n i t e   o r de r .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       N onli ne ar   s y s te ms   identif ication  w it dis c onti nuou s   nonli ne ar it y   ( M ohame B e ny as s i )   35       F i gur e   1.   Ha m m e r s t e i n   n o nli ne a r   s y s t e m       On  t h e   o t h e r   ha n d,   t h e   c o ns i de r e s y s t e m   n o nli ne a r i t y   f ( . )   i s   a   f u nc t i o o f   h a r t y pe   ( F i g ur e   2a - c ) .   T h e s e   e x a m p l e s   o f   n o nl i ne a r i t i e s   a r e   a   v e r y   a t tr a c ti ve   r e s e a r c h   a r e a   i n   t he   l a s t   de c a de s   [ 21] .   I n   f a c t ,   i t   i s   v e r y   d i f f i c u l t   to   a ppr o xi m a t e   t h e s e   n o nl i ne a r i t i e s   t y pe   by   po l y n o mi a l   f u nc t i o ns   [ 21] .     F ur t h e r m o r e ,   i t   i s   a s s u m e h e r e   t h a t ,   t h e   s y s t e m   no nl i ne a r i t y   c a b e   d i s c o n t i n uo us   a n d   n o ni nve r t i bl e   ( F i gur e   2a - c ) .   F i na ll y ,   i o r de r   to   i de n t i f i a bil i t y   c o n s i de r a t i o ns ,   t h e   n o nl i ne a r i t y   f ( . )   c o n t a i ns   a t   l e a s t   o n e   s e g m e n t   o f   n o n z e r o   s l o pe   ( F i gur e   2a - c ) .   P r e s e nt l y ,   t he   s y s t e m   n o nl i ne a r i t y   f ( . )   c a n   c o n t a i n s   s a t ur a t i o   ( F i gur e   2a ) ,   or   di s c o n t i n u i t y   ( F i gur e   2b ) ,   a s   i t   c a n   c o n t a i n s ,   s im u l t a n e o us l y ,   s a t ur a t i o n   a n d i s c o n t i n u i t y   ( F i gur e   2 b ) .   T h e n ,   t h e   pr e s e n t   s t udy   i s   m o r e   ge ne r a l   u s i ng  n o n pa r a m e t r i c   li ne a r   d y na m i c   bl o c w hi c h   c a b e   o f   i nf i ni t e   o r de r .   Unl i k e   s e v e r a l   pr e vi o us   wo r ks ,   t h e   l i ne a r   e l e m e n t   i s   pa r a m e t r i c   o r   o f   kn o wn   s t r uc t ur e .   T h e   pa pe r   i s   o r ga ni z e a s   f o ll o ws t he   i de n t if i c a t i o n   pr o bl e m   i s   f o r m u l a t e i n   S e c t i o n   2   t h e   n o nl i ne a r   o pe r a tor   i de n t i f i c a t i o i s   c o pe w i t h   i S e c t i o n   3 t h e   li ne a r   s u b s y s t e m   f r e que n c y   r e s po n s e   de t e r m i na t i o n   i s   i nv e s t i g a t e i n   S e c t i o n   4.   A n   e x a m p l e   o f   s im u l a t i o n   i s   pr o p o s e wi t h   i n   S e c t i o n   5.             ( a )   ( b )   ( c )     F i gur e   2 .   Ha r d   n o nl i ne a r i t y   w i t h   ( a )   s a t ur a t i o n ,   ( b d i s c o n t i n u i t y ,   a n d   ( c )   d i s c o n t i n u i t y   a n s a t ur a t i o n       2.   P ROB L E M   S T AT E M E NT   T h e   a i m   i t hi s   wo r i s   to   de a l   t h e   n o nli ne a r   s y s t e m s   i de n t i f i c a t i o n   pr o bl e m .   T h e   c o n s i d e r e n o nli ne a r   s y s t e m   i s   s t r uc t ur e by   Ha mm e r s t e i n   mo de l s   ( F i gur e   1) .   P r e s e n t l y ,   t h e   n o nli ne a r   f u nc t i o f ( . )   i s   o f   h a r t y pe   ( F i gur e   2a - c )   a n t h e   n o n pa r a m e t r i c   l i n e a r   bl o c i s   o f   u n k n o wn   s t r uc t ur e .   F ur t h e r m o r e ,   th e   li ne a r   e l e m e n t   i s   c h a r a c t e r i z e d   by   t h e   t r a n s f e r   f u n c t i o n   G ( s ) .   A   s t a n da r Ha mm e r s t e i n   m o de l   i s   a n a ly t i c a ll y   de s c r i be a s   f o l l o ws   ( F i gur e   1) :       (   )     (   (   ) )   ( 1 )       (   )     (   )     (   )   ( 2 )       (   )     (   )     (   )     (   )     (   )     (   )   ( 3 )     wh e r e     (   )         (   (   ) )   a n L   - de n o t e s   t h e   i nv e r s e   L a p l a c e   o pe r a to r .   E x c e pt   t h e   i n put   a n o ut pu t   s y s t e m   (   (   )   a n   (   ) ) ,   a l l   i n t e r n a l   s i g n a l s     (   )   (   )   a n   (   )   a r e   n ot   a c c e s s i b l e   t m e a s ur e m e n t .   On   t h e   ot h e r   h a n d,   t h e   e x t r a - i n put   s i g n a l     (   )   a c c o un t s   to   di s t ur b a n c e s   a n m e a s ur e m e n t   e r r o r s .   On   t h e   o t h e r   h a n d,   n o t e   t h a t   Ha m m e r s t e i n   s y s t e m s   pr o bl e m   i de n t i f i c a t i o n   do e s n’ t   h a v e   a   u ni qu e   s o l ut i o n   [ 11 - 12] .   I n de e d,   i f   t h e   c o upl e   (   (   )     (   ) )   ( F i g ur e   1)   i s   s o l ut i o n   o f   t h e   a b o v e   pr o bl e i de n t i f i c a t i o n .   T h e n ,   a ny   n o nli ne a r   s y s t e m   o f   t he   f o r m   .   (   )       (   )   /   ( F i gur e   3)   i s   a l s o   s o l ut i o n   o f   t hi s   pr o bl e m   i de n t i f i c a t i o n   f o r   a ny   n o n z e r o   r e a l   K .   C ur r e n t l y ,   t h e   que s t i o n   t h a t   a r i s e s   i s   h o to  c h o o s e     t h e   c o n s t a n t   K ?   T h e   pr o bl e m   o f   t h e   j ud i c i o u s   c h o i c e   o f   K   c a n   b e   r e s o l v e i t h e   f o l l o w i ng  s e c t i o n .   T h e   a im     i t hi s   pa pe r   i s   t o   de v e l o a   f r e qu e n c y   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o a ll o w i ng  t h e   e s t i m a t e   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   pa r a m e t e r s ,   a s   we l l   a s ,   t h e   f r e que n c y   l i ne a r   s ubs y s t e m   e s t i m a t i o n .     w   v     w   v     w   v   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I S S N : 2089 - 4856   I n t   J   R o b   &   A ut o m Vo l .   9 ,   N o .   1 M a r c h   2020    34     41   36           F i gur e   3 S o l ut i o n   m u l t i p l i c i t y   o f   Ha m m e r s t e i n   m o de l s       3.   NONL I NE A RI T F UN CT I ON  I DE N T I F I CA T I ON   I n   t hi s   s e c t i o n ,   t h e   o bj e c t i v e   i s   t o   pr o vi de   a i de n t i f i c a t i o n   s o l ut i o n   l e t t i n t h e   e s t i m a t e   o f   n o nli ne a r i t y   f u n c t i o n   f ( . ) .   T t hi s   e n d,   t h e   n o nli ne a r   s y s t e m   s t r uc t ur e d   by   Ha mm e r s t e i n   m o de l   ( F i g ur e   1)   i s   e x c i t e by   a   s e t   o f   c o n s t a n t   i n put       (   )         f o r       , (       )        -   ( 4 )     wh e r e   T   i s   m uc h   gr e a t e r   t h a n   t h e   s y s t e m   r i s e   t i m e   (         )   a n           .   N ot e   t h a t h e   i n t e ge r   n u m b e r   N   i s   a r bi t r a r i ly   c h o s e n   by   t h e   de s i g n e r .   T h e n ,   t h e   in t e r n a l   s i g n a l   w ( t )   i s   a l s o   a   p i e c e w i s e   c o n s t a nt   s i g n a l .   S pe c i f i c a ll y ,   i t   f o l l o ws   f r o m   ( 1)   a n ( 4)   o n e   h a s :       (   )           (     )   f o r       , (       )        -   ( 5 )     f o r             .   I n   s e c t i o n   2,   we   h a v e   s h o wn   t h a t h e   Ha m m e r s t e i n   s y s t e m   i de n t i f i c a t i o n   po s s e s s e s   a   m u l t i p l e   s o l ut i o ns   ( F i gur e   3) .   S e v e r a l   s t ud i e s   we r e   m a de   f o r   t h e   c h o i c e   o f   K .   I t   i s   pr e f e r a bl e   t t a ke   t h e   f o l l o w i ng   f a c t o r   K           (   )   ( 6 )     A c c o r d i n g ly ,   i t   r e a d il y   f o l l o w s   f r o m   ( F i gur e   3)   a n ( 6)   t h a t   t h e   l i ne a r   e l e m e n t   to   b e   i de n t i f i e i s   c h a r a c t e r i z e by   a   uni t   s t a t i c   ga i n .   S pe c i f i c a l ly ,   o n e   h a s   w i t h o ut  l o s s   o f   ge n e r a li t y       (   )       ( 7 )     A c c o r d i n g ly ,   i t   r e a d il y   f o l l o w s   f r o m   ( 2) ,   ( 5 )   a n ( 7)   t h a t   t h e   s t e a d y   s t a t e   o f   u n d i s t ur b e o u t pu t   x ( t )   i s   c o n s t a n f o r   a ny   i nput   v a l ue       (           ) .   T h e n ,   i t   c a n   be   e x pr e s s e a s       (   )           (     )   f o r             ( 8 )     f o r   a ny       *       + .   T h e r e f o r e ,   us i n ( 3)   a n ( 8)   t h e   s t e a d y   s t a t e   s y s t e m   o u t pu y ( t )   i s   c l o s e   to  a   s e o f   c o n s t a n t   v a l ue s   up  to  n o i s e ,   f o r   a ny   i n put       (           ) .   S pe c i f ica l ly ,   t h e   s y s t e m   o u t pu y ( t )   c a n   r e wr i t t e n   a s   f o l l o ws :       (   )           (   )     (     )     (   )   f o r             ( 9 )     wh e r e             .   P r e s e n t l y ,   t h e   d i f f i c u l t y   i s   h o to   de t e r mi ne     (     ) ,   f o r   a ny   i n put       (           ) ,   us i n g   uni que ly   t he   s y s t e m   i n put   u ( t )   a n o u t pu y ( t )?   T hi s   pr o b l e m   c a n   b e   a v o i de us i ng  t h e   f a c t   t h a th e   n o i s e   s i g n a l   *   (   ) +   i s   o f   z e r m e a n .   L e   ̂ (   )   de n o t e s   t h e   e s t i m a t e   o f     (   ) .   T h e n ,   a n   a c c ur a t e   e s t i m a t e     ̂ (     )   o f     (     ) ,   f o r   a ny   i n put       (           ) ,   c a n   b e   o b t a i n e us i ng  t h e   f o l l o w i ng  e s t i m a t o r :         ̂ (     )         (   )           ( 10 )     wh e r e   M   i s   a ny   l a r ge   i n t e ge r   a n           .   T h e n ,   o n e   i mm e d i a t e l y   ge t s   f r o m   ( 9)   a n ( 10)   t h a t:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       N onli ne ar   s y s te ms   identif ication  w it dis c onti nuou s   nonli ne ar it y   ( M ohame B e ny as s i )   37     ̂ (     )     (     )         (   )           ( 11 )     F ur t h e r m o r e ,   n ot i c i ng  t h a t   t h e   t e r m   o n   t h e   r i g h t   o f   ( 11)   b o i l s   do wn   to   z e r wi t h   pr o b a bil i t y   e qua l s   t 1:           (   )               ( w. p. 1 )   ( 12)     F i na ll y ,   i t   f o l l o ws   f r o m   ( 11)   a n ( 12)   t h a t :       ̂ (     )   (     )                   ( w. p. 1 )   ( 13)     f o r   a ny   i nput        (           ) .   T c o n c l ude ,   a n   a c c ur a t e   e s t i m a t e   o f     (     ) ,   f o r   a ny   i n put                   c a n   b e   o b t a i n e by   a ve r a g i n t h e   s y s t e m   o ut pu y ( t )   o v e r   a ny   i n t e r va l   , (       )        - .       4.   I DE NT I F I CA T I ON  OF   T HE   L I N E AR   E L E M E NT   T h e   a im   i t hi s   s e c t i o i s   to   de v e l o p   a n   i de n t i f i c a t i o n   a ppr o a c h   t o   de t e r m i ne   t h e   li ne a r   s u bs y s t e m   pa r a m e t e r s .   B e a r   i n   mi nd  t h a t   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   i s   o f   ha r t y pe   f u n c t i o n   h a vi ng  a t   l e a s t   o n e   s e g m e n t   o f   n o n z e r o   s l o pe .   P r e s e n t l y ,   w e   s ugge s t   a   f r e que n c a ppr o a c h   a l l o w i ng  a n   a c c ur a t e   e s t i m a t e   o f   c o m p l e x   ga i n   ( i . e .   t h e   m o du l us   ga i n   a n t h e   pha s e )   o f   l i ne a r   d y na m i c   e l e m e n t .     T h e n ,   us i n t h e   n o nli ne a r i t y   e s t i m a t o r   pe r f o r m e in   s e c t i o n   a n e xc i t e   t h e   Ha mm e r s t e i n   s y s t e m   by  t h e   s i n e   i nput   s i g n a l       (   )                      (    )   ( 14 )     wh e r e   V   i s   a m p l i t ude   o f   s i n u s o i da l   p a r t   o f     (   )   a n             i s   t h e   o f f s e t   v a l ue .   R e c a ll   t h a t   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   h a s   a t   l e a s t   o n e   s e g m e n t   o f   n o n z e r o   s l o pe   ( f o r   i d e n t i f i a bil i t y   r e a s o n s ) .   A c c o r d i n g ly ,   t he   c o upl e   (               )   i s   c h o s e n   s uc h   t h a t h e   i n put   s i g n a l     (   )   r e m a i ns   be lo n g i n to  o n e   s e g m e n t   h a vi ng   a   n o n z e r s l o pe .   T h e   pr o bl e m   t h a t   c ur r e n t l y   a r i s e s   i s   h o to   m a ke   s ur e   t h a   (   )   r e m a i ns   b e l o n g i ng  to  o n e   s e g m e n t   ( o f   n o n z e r o   s l o pe ) ?   T hi s   que s t i o n   w il l   b e   de a l t   us i ng  t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   e s t i m a t o r   ( s e c t i o 3) .   A c c o r d i n g ly ,   b y   m a k i ng  a   li ne a r   c o nn e c t i o n   o f   a ll   e s t i m a t e po i n t s   i s e c t i o n   3.   S o m e   o f   c a n d i da t e   s e g m e n t s   a r e   de duc e a nd   l e t   t a ke   o n e .   On   t h e   ot h e r   h a n d,   s t a r t i n f r o m   a ny  a m p li t ude   V   a n c h o o s i n a n   o f f s e t   v a l ue               n e a r   o f   t h e   s e g m e n t   c e n t e r .   T h e n ,   t h e   a m p li t ude   V   c a n   b e   a d j u s t i n u n t i l   t h e   s y s t e m   o u t pu   (   )   b e c o m e s   s i ne   s ign a up  to   n o i s e .   I f   t hi s   l a t t e r   n o   l o n ge r   b e c o m e s   s i nu s o i d a l   ( up  t o   n o i s e ) ,   t h e n   a n o t h e r   c a n d i da t e   s e g m e n t   c a   b e   c o n s i de r e d.   T h e r e f o r e ,   l e t           a n b   de s i g n a t e s   t h e   pa r a m e t e r s   o f   t hi s   s e g m e n t   h a vi n a   n o n z e r o   s l o pe .     T h e   pa r a m e t e r s   c o upl e   (       )   i s   a l r e a d y   de t e r m i ne i n   s e c t i o n   3.   Un de r   t h e s e   c o n d i t i o ns ,   i t   r e a d i ly   f o l l o ws   t h a t h e   i n t e r n a l   s i g n a l     (   )   a n t h e   i n put   s i g n a l     (   )   a r e   r e l a t e by   t h e   f o l l o w i ng  r e l a t i o n s hi p:        (   )      (   )       ( 15 )     T h e n ,   i t   r e a d i l y   f o ll o ws   f r o m   ( 1) ,   ( 14)   a n ( 15)   th a t ,   t h e   i n t e r n a l   s i g n a l     (   )   i s   a l s o   s i ne   s i g n a l .   T hi s   latt e r   c a n   b e   e x pr e s s e d   a s :       (   )           (    )                     ( 16 )     On   t h e   ot h e r   h a n d,   us e   t h e   f a c t   t h a t   t h e   s t a bi li t y   a s s u m pt i o n   o f   t h e   l i ne a r   bl o c k,   t h e n   t h e   u n d i s t ur b e d   s y s t e m   o u t pu   (   )   i s   a l s o   s i n e   s i g na l .   S pe c i f i c a ll y ,   o n e   i mm e d i a t e l y   ge t s   f r o m   ( 1) ,   ( 7)   a n ( 16)   t h a   t h e   s i g n a l     (   )   c a n   e x pr e s s e a s   f o l l o w s :       (   )      |   (    ) |      (        (   ) )                     ( 17 )     F i na ll y ,   f r o m   ( 3)   a n ( 17) ,   o n e   h a s   t h e   r e s u l t i n s ys t e m   o ut pu   (   ) :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I S S N : 2089 - 4856   I n t   J   R o b   &   A ut o m Vo l .   9 ,   N o .   1 M a r c h   2020    34     41   38     (   )      |   (    ) |      (        (   ) )                       (   )   ( 18 )     A c c o r d i n g ly ,   t hi s   l a t t e r   e qua t i o n   s h o w s   t h a t   t h e   s t e a d y   s t a t e   o f   s y s t e m   o ut pu t     (   )   i s   a   s i ne   s i g n a l   up  to   n oi s e .   F ur t h e r ,   t h e   u ni qu e   un k n o w n s   i t h e   a m p l i t ud e   a n p h a s e   o f   s i n u s o i da l   t e r m   a r e   t h e   m o du l us   ga i n   |   (    ) |   a n p h a s e     (   )   o f   l i ne a r   bl o c k.     T h e n ,   by   f il t e r i n t h e   s i nus o i da l   t e r m   i ( 18) ,   t h e   f r e qu e n c y   pa r a m e t e r s   o f   li ne a r   s u bs y s t e m   c a n   be   e a s il y   o b t a i n e d.   T t hi s   e n d,   t h e   n o i s e   pa r t   i n   ( 18)   i s   f il t e r e a s   f o l l o w s .   L e   ̂ (   )   de n o t e s   t h e   un d i s t ur b e o u t pu e s t i m a t e .   T h e   e s t i m a t or   o f     (   )   c a n   b e   o b t a i n e us i n t h e   f o l l o w i ng  T - pe r i o di c   a ve r a ge       ̂ (   )         (        )           ( 19 )     wh e r e                 i s   t h e   pe r i o o f   t h e   i n put     (   )   a n o u t pu   (   )   s i g n a l s .   I n de e d,   us i n t h e   f a c t   t h a t     t h e   un d i s t ur b e s y s t e m   o u t pu t     (   )   i s   pe r i o d i c   s i g n a l   o f   s a m e   pe r i o o f   t h e   i n put     (   ) .   T h e n ,   o n e   im m e d i a t e l y   g e t s   f r o m   ( 3)   a n ( 19)   t h a t   t h e   e s t i m a t e     ̂ (   )   c a n   b e   e x pr e s s e a s :       ̂ (   )       (   (        )     (        ) )               (   )         (        )           ( 20 )     A c c o r d i n g ly ,   t h e   l a s t   t e r m   i n   t h e   r i g h t   s i de   o f   ( 20)   v a ni s he s   w i t h   pr o b a bil i t y   e qua l   t 1.   T h e n ,   i t   f o l l o ws   f r o m   ( 20)   t h a t :       ̂ (   )     (   )   ( 21 )       5.   S I M UL AT I ON   T h e   n o nl i ne a r   s y s t e m   o f   Ha mm e r s t e i n   m o de l s   c o n s i d e r e i n   s i m u l a t i o n   i s   c h a r a c t e r i z e b y     t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   s h o wn   i n   F i gur e   4.   T h e n ,   th e   t r a n s f e r   f u n c t i o n   o f   l i ne a r   e l e m e n t   i s   g i v e n   a s   f o ll o ws       (   )         (           ) (           )   ( 22 )     I n   t h e   f i r s t   s t a ge   a n us i n t h e   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o p r e s e n t e i n   s e c t i o n   3,   t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   pa r a m e t e r s   c a n   b e   o b t a i n e d.   T h e n ,   t h e   n o nl i ne a r   s y s t e m   i s   e x c i t e by   t h e   c o ns t a n t   i n put   o f   F i gur e   5.     T h e   c o r r e s po n d i n s y s t e m   o u t pu   (   )   i s   d i s p l a y e d   b F i gur e   6.   F ur t h e r m o r e ,   t h e   n o nl i ne a r   s y s t e m   o f   Ha m m e r s t e i n   m o de l   i s   e x c i t e by   o t h e r s   c o n s t a nt   i n put s .   T h e   s y s t e m   o u t pu t     (   )   f o r     (   )               i s   s h o w n   i n   F i gur e   7.           F i gur e   4 T h e   s y s t e m   n o nl i ne a r i t y   f ( . )       F i gur e   5 T h e   i n put   v ( t )       -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 T h e   h a r d   n o n l i n e a r i t y   c o n s i d e r e d   i n   s i m u l a t i o n w v 50 100 150 200 250 300 350 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 T i m e   ( s ) T h e   c o n s t a n t   i n p u t   s i g n a l   V 1 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       N onli ne ar   s y s te ms   identif ication  w it dis c onti nuou s   nonli ne ar it y   ( M ohame B e ny as s i )   39       F i gur e   6 T h e   r e s ul t i n o ut pu s i g na l   y ( t )       F i gur e   7 T h e   r e s ul t i n o ut pu s i g na l   y ( t )       I n   t h e   s e c o n s t a ge   a n u s i ng  t h e   f r e que n c y   a lgo r i t hm   pr e s e n t e i n   s e c t i o n   4,   t h e   l i ne a r   bl o c k   pa r a m e t e r s   c a b e   i de n t i f i e d.   T o   t hi s   e n d,   t h e   n o nli ne a r   s y s t e m   i s   e x c i t e by   t h e   s i ne   i nput   ( 14) .   T h e n ,   f o r     a n   a r bi t r a r i ly   a m p li t ude   V   a n o f f s e t             ,   t h e   s y s t e m   o u t pu   (   )   i s   s h o wn   i n   F i gur e   8.   I i s   c l e a r   t h a t     t h e   s y s t e m   o u t pu   (   )   i s   n o a   s i n e   s i g n a l .   T h e n ,   by   a d j us t i n t h e   pa r a m e t e r s   c o upl e   (               )   of   t h e   i n put   ( 14)   a n o b s e r vi ng  t h e   s y s t e m   o u t pu t     (   )   un t i l   t h a t   t hi s   l a t t e r   b e c o m e s   s i ne   s i g n a l .   T hi s   r e s u l t   i s   s h o wn    i n   F i gur e   9.   T hi s   r e s u l t   ( F i gur e   9)   s h o ws   t h a t h e   o u t pu s i g n a l     (   )   i s   c l o s e   to  a   s i n e   s i g n a l   up  to   n o i s e .   T h e n ,   t h e   e s t i m a t e     ̂ (   )   o f   i nn e r   s i g n a l     (   )   us i n t h e   e s t i m a to r   ( 19 )   i s   r e pr e s e n t e by   F i gur e   10.   T h e n ,   by   r e pr e s e n t i n t h e   o u t pu t     (   )   a c c or di n t t h e   s i g n a l     (   ) .   T h e   c o r r e s p o n d i n l o c us   f o r   a ny   p ha s e       i s   s h o wn  i n   F i gur e   11.           F i gur e   8 T h e   o u t pu t   y ( t )   f o r   a n   a r bi t r a r i ly   V   a n                 F i gur e   9 T h e   s y s t e m   o ut pu s i g n a l   y ( t )           F i gur e   10 T h e   e s t i m a t e   o f   i nne r   s i g n a l   x ( t )       F i gur e   11 T h e   l o c us   ( z ( t ),   y ( t ))       I i s   c l e a r   t h a t h e   un d i s t ur b e s y s t e m   o ut pu   (   )   i s   v e r y   c l o s e   to  a   s i n e   s i g n a l .   A c c o r d i n g ly ,   to  de t e r m i ne   t h e   li ne a r   bl o c pa r a m e t e r s ,   l e t   c o n s i de r   t h e   f o l l o w i ng  r e f e r e n c e   s i g n a l   h a vi ng  t h e   s a m e   f r e que nc y   o f   i n put     (   )   10 20 30 40 50 60 70 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 T i m e   ( s ) T h e   s y s t e m   o u t p u t   e s t i m a t e   f o r   V 1 j f   (V     ) ^ 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 - 0 . 5 - 0 . 4 5 - 0 . 4 - 0 . 3 5 - 0 . 3 - 0 . 2 5 - 0 . 2 - 0 . 1 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 T i m e   ( s ) T h e   s y s t e m   o u t p u t   f o r   V 2 = - 1 j f   (V     ) ^ 0 100 200 300 400 500 600 700 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 T i m e   ( s ) T h e   o u t p u t   f o r   s i n e   s i g n a l   i n p u t 100 200 300 400 500 600 700 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 T i m e   ( s ) T h e   s y s t e m   o u t p u t 0 50 100 150 200 250 300 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 T i m e   ( s ) T h e   f i l t e r e d   s y s t e m   o u t p u t -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 z ( t ) y ( t ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                    I S S N : 2089 - 4856   I n t   J   R o b   &   A ut o m Vo l .   9 ,   N o .   1 M a r c h   2020    34     41   40     (   )          (        )   ( 23)     T hi s   r e s u l t   po i n t s   o u t   t h a t hi s   l o c us   i s   d i f f e r e n t   f r om   a   s t r a i g h t   l i ne .   T h e n ,   a d j us t i n t h e   pa r a m e t e r       i ( 23)   un t i l   t h e   l o c us   (   (   )     (   ) )   b e c o m e s   s t r a i g h t   l i ne   up  to   n o i s e .   O n e   im m e d i a t e l y   c o n c l ude s   t h a t   t h i s   v a l ue   o f       i s   t h e   p h a s e   e s t i m a t e   o f   li ne a r   e l e m e nt.   T hi s   c a s e   i s   s h o wn   i F i gur e   12.   T h e n ,   t h e   mo dul us   f r e qu e n c y   ga i |   (    ) |   c a n   b e   e s t i m a t e by   r e pr e s e n t i n g   t h e   f il t e r e l o c us   (   (   )     ̂ (   ) )   us i n t h e   e s t i m a t or   ( 19) .   T hi s   r e s u l t   i s   s h o w n   i n   F i gur e   13.   F i na ll y ,   t h e   l i ne a r   bl o c pa r a m e t e r s   ( i . e .   t h e   ph a s e     (   )   a n d     t h e   m o du l u s   f r e que n c y   ga i n   |   (    ) | )   c a n   be   de t e r m i ne f o r   a ny   f r e qu e n c y     .           F i gur e   12 T h e   l o c us   ( z ( t ),   y ( t ))       F i gur e   13 T h e   f il t e r e l o c us   (   (   )     ̂ (   ) )       6.   CONC L USI ON    I n   t hi s   wo r k,   t h e   i d e n t i f i c a t i o n   pr o bl e m   o f   n o nl i ne a r   s y s t e m s   i s   de a l t .   T h e   n o nli ne a r   s y s t e m   is   s t r uc t ur e by   H a m m e r s t e i n   m o de l s .   T h e   c o ns ider e n o nli ne a r   s y s t e m   i s   m o r e   ge n e r a l .   T h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   c a n   b e   d i s c o n t i n uo us   a n n o ni nve r t i bl e   f u n c t i o n .   P r e s e n t l y ,   t hi s   l a t t e r   i s   a   f u n c t i o n   o f   ha r t y pe .   F ur t h e r m o r e ,   t h e   d y na m i c   l i ne a r   bl o c c a n   b e   n o n pa r a m e t r i c   a n o f   u n k n o wn   s t r uc t u r e .   T h e n ,   i n   t hi s   wo r   a   n e t wo   s t a ge s   s o l ut i o n   i s   pr o po s e d.   I n   t h e   f i r s t   s t a ge ,   a n   i de n t i f i c a t i o n   m e t h o i s   pr o p o s e to   e s t i m a t e     t h e   s y s t e m   n o nli ne a r i t y   pa r a m e t e r s .   I n   t h e   s e c o n s t a ge ,   t h e   f r e que n c y   g a i n   o f   t h e   li ne a r   e l e m e n t   c a   b e   i de n t i f i e d.       RE F E R E NC E S     [1 ]   A.   C.   d en   Br i n k e r,   F .   P.   A .   B e n d e rs ,   an d   T .   A.   M .   O l i v ei ra  Si l v a,   O p t i m al i t y   C o n d i t i o n s   f o T ru n c at e d   K a u t Se ri e s , ”  I E E E   Tr a n s a c t i o n s   O n   Ci r c u i t s   A n d   S ys t em s v o l .   4 3 ,   n o .   2 ,   p p .   1 1 7 - 1 2 2 ,   1 9 9 6 .   [2 ]   L .   L j u n g ,   Pe rs p ec t i v e s   o n   s y s t em  i d e n t i f i c at i o n , ”  I F A W o r l d   C o n g r e s s ,   Se o u l ,   K o r e a,   2 0 0 8 ,   p p .   7 1 7 2 - 7 1 8 4 .   [3 ]   B.   W ah l b e rg   a n d   P.   M.   k i l ä,   O n   A p p ro x i m at i o n   O St ab l e   l i n e ar  D y n a m i c   S y s t em s   u s i n g   L ag u e rr e   an d   K a u t z   Fu n c t i o n s , ”  A u t o m a t i c a v o l .   3 2 ,   n o .   5 ,   p p .   6 9 3 - 7 0 8 ,   1 9 9 6 .   [4 ]   Z .   H as i ew i c z,   P .   Sl i w i n s k i ,   G .   Mz y k ,   N o n l i n e ar  s y s t e m   i d en t i fi c at i o n   u n d e v ar i o u s   p ri o k n o w l ed g e , ”  I F A W o r l d   C o n g r e s s ,   Se o u l ,   2 0 0 8 ,   p p .   7 8 4 9 - 7 8 5 7 .   [5 ]   A .   Br o u r i ,   F.   G i ri ,   F.   Z .   C h ao u i ,   A .   A md o u ri ,   I d en t i fi cat i o n   o H a mme rs t e i n - W i en e S y s t em s   w i t h   Ba c k l as k   In p u t   N o n l i n e ari t y   B o rd e r ed   B y   St rai g h t   L i n e s , ”  1 9 t h   IF A W o r l d   Co n g r es s ,   Cap e   T o w n ,   S o u t h   A fri c a,   A u g u s t   2 4 - 2 9 ,   2 0 1 4 ,   p p .   4 7 5 - 4 8 0 .   [6 ]   A .   Bro u r i ,   F. Z .   Ch ao u i ,   A .   A m d o u r i ,   F.   G i ri ,   Fre q u e n cy   I d e n t i f i c at i o n   o H a mme rs t ei n - W i e n e S y s t em s   w i t h   Pi e cew i s e   A ff i n e   I n p u t   N o n l i n e ari t y , ”  1 9 t h   IF A W o r l d   Co n g r e s s ,   Ca p e   T o w n ,   So u t h   A fr i c a,   A u g u s t   2 4 - 2 9 ,   2 0 1 4 p p .   1 0 0 3 0 - 1 0 0 3 5 .   [7 ]   J .   Sch o u k e n s ,   R.   P i n t e l o n ,   Id en t i f i ca t i o n   o f   Li n ea r   S ys t e m s ,   O x fo rd ,   E n g l an d :   P e rg a mo n   Pr e s s ,   1 9 9 1 ,   p p .   3 3 2 .   [8 ]   E .   W .   Bai   a n d   D .   L i ,   Co n v e rg en ce   o t h e   i t e rat i v e   H amme rs t e i n   s y s t em   i d en t i fi c at i o n   a l g o ri t h m , ”  IE E E   Tr a n s .   A u t o m a t i Co n t r o l ,   v o l .   4 9 ,   n o .   1 1 ,   p p .   1 9 2 9 - 1 9 4 0 ,   2 0 0 4 .   [9 ]   W .   X .   Z h ao   a n d   H .   F.   Ch e n ,   Re cu rs i v e   i d e n t i f i c at i o n   fo H a mme rs t e i n   s y s t em s   w i t h   A R X   s u b s y s t em , ”  I E E E   Tr a n s .   A u t o m a t i C o n t r o l ,   v o l .   5 1 ,   n o .   1 2 ,   p p .   1 9 6 6 - 1 9 7 4 ,   2 0 0 6 .   [1 0 ]   W .   G re b l i c k i   a n d   M .   Pa w l ak ,   No n - p a r a m et r i S y s t em   Id en t i f i ca t i o n ,   Cam b ri d g U n i v e rs i t y   Pr e s s ,   2 0 0 8 .   [1 1 ]   H H J .   Bl o eme n ,   T J J .   v an   d e n   Bo o m ,   H B .   V e rb r u g g en ,   Mo d el - b as e d   p red i c t i v e   c o n t ro l   fo H a mme rs t ei n - W i e n e r   s y s t em s ,   In t er n a t i o n a l   Jo u r n a l   o f   C o n t r o l v o l .   7 4 ,   n o .   5 ,   p p .   4 8 2 4 9 5 ,   2 0 0 1 .   [1 2 ]   E .   W .   Bai ,   A   Bl i n d   A p p ro a c h   t o   t h e   H a mme rs t ei n - W i e n e M o d el   Id e n t i f i c at i o n , ”  A u t o m a t i ca v o l .   3 8 ,   n o .   6 ,   p p .   967 9 7 9 ,   2 0 0 2 .   [1 3 ]   K .   Ch e rn y s h o v ,   I d en t i fi c at i o n   o s t o ch as t i c   N L N   s y s t e m s   u s i n g   mo n o t o n e   c o rr el at i o n s , ”  i n   P r o ceed i n g s   o f   t h e   1 2 t h   IF A s ym p o s i u m   o n   s ys t em   i d en t i f i c a t i o n ,   San t Barb ara,   U SA ,   J u n e   21 23 ,   2 0 0 0 .   -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 y ( t ) z ( t ) -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   R o b   &   A ut o m   I S S N:  2089 - 4856       N onli ne ar   s y s te ms   identif ication  w it dis c onti nuou s   nonli ne ar it y   ( M ohame B e ny as s i )   41   [1 4 ]   H .   W .   C h en ,   Mo d el i n g   an d   i d e n t i f i c at i o n   o p aral l el   n o n l i n e ar  s y s t em s :   s t ru c t u ral   c l as s i fi c at i o n   a n d   p aramet e e s t i m at i o n   me t h o d s , ”  i n   P r o ceed i n g s   o f   t h IE E E ,   v o l .   8 3 ,   1 9 9 5 ,   p p .   3 9 - 66 .   [1 5 ]   C.   N o v ara,   T .   V i n ce n t ,   K .   H s u ,   M .   Mi l an e s e ,   K .   P o o l l Param e t r i c   i d en t i fi c at i o n   o s t ru c t u r ed   n o n l i n e ar  s y s t em s ,   A u t o m a t i c a ,   v o l .   4 7 ,   n o .   4 ,   p p .   7 1 1 - 7 2 1 ,   2 0 1 1 .   [1 6 ]   A .   Bro u ri ,   F r eq u en cy  Id en t i f i c a t i o n   O f   No n l i n ea r   S y s t e m s ,   L ap   L a m b e rt   A c ad emy   P u b l i s h i n g ,   2 0 1 6 .   [1 7 ]   A .   V an   Mu l d e rs ,   J .   Sch o u k en s ,   L .   V an b ey l e n   I d en t i fi cat i o n   o f   S y s t em s   w i t h   L o c al i s ed   N o n l i n e ar i t y :   fr o m   St at e - Sp ac t o   Bl o c k - St ru c t u r ed   M o d el s , ”  A u t o m a t i c a ,   v o l .   4 9 ,   n o .   5 ,   p p .   1 3 9 2 - 1 3 9 6 ,   2 0 1 3 .   [1 8 ]   A .   Bro u ri ,   L .   K a d i ,   S .   Sl as s i ,   Fre q u en cy   i d en t i fi c at i o n   o H a mme rs t e i n - W i e n e s y s t em s   w i t h   Ba c k l as h   i n p u t   n o n l i n e ari t y , ”  I n t .   J.   o f   Co n t r o l ,   A u t o m a t i o n   &   S ys t em s v o l .   15 ,   n o .   5 ,   p p .   2222 - 2 2 3 2 ,   2 0 1 7 .   [1 9 ]   J .   Bru l s ,   C . T .   Ch o u ,   B. R . J .   H ev e rk a m p ,   a n d   M.   V e r h aeg e n   L i n e ar   an d   n o n l i n e ar  s y s t em  i d e n t i f i c at i o n   u s i n g   s e p arab l e   l e as t   s q u are s , ”  E u r o p e a n   J o u r n a l   o f   Co n t r o l ,   v o l   5 ,   p p .   116 - 1 2 8 ,   1 9 9 9 .   [2 0 ]   A .   V .   Mu l d e rs ,   J .   S ch o u k en s ,   L .   V a n b ey l en ,   I d en t i fi c at i o n   o s y s t em s   w i t h   l o c al i s ed   n o n l i n e ari t y :   Fro s t at e - s p ac e   t o   b l o c k - s t ru c t u r e d   m o d e l s , ”  A u t o m a t i ca ,   v o l .   4 9 ,   n o .   5 ,   p p .   1 3 9 2 - 1 3 9 6 ,   2 0 1 3 .   [2 1 ]   A .   Bro u ri ,   S.   S l as s i ,   I d en t i fi c at i o n   o N o n l i n e ar   S y s t em s   St ru c t u r ed   b y   W i en e r - H a mme rs t e i n   M o d e l , ”  In t e r n a t i o n a l   Jo u r n a l   o f   E l ect r i c a l   a n d   Co m p u t er   E n g i n eer i n g v o l .   6 ,   n o .   1 ,   p p .   1 6 7 - 1 7 6 ,   2 0 1 6 .   [2 2 ]   J .   V o ro s ,   Re cu rs i v e   i d e n t i f i c at i o n   o h a mme rs t e i n   s y s t em s   w i t h   p o l y n o m i a l   n o n l i n e ar i t i e s , ”  Jo u r n a l   o f   E l ec t r i ca l   E n g i n eer i n g v o l .   5 7 ,   n o .   1 ,   p p .   4 2 - 4 6 ,   2 0 0 6 .   [2 3 ]   A .   Br o u r i ,   F.   G i ri ,   Y .   Ro ch d i ,   F .   Z .   Ch a o u i ,   Fre q u en cy   i d en t i fi c at i o n   o n o n p arame t ri H a mme rs t e i n   s y s t em s   w i t h   Bac k l as h   n o n l i n e ari t y , ”  in  IE E E   A m er i ca n   C o n t r o l   C o n f e r en ce ,   San   Fran c i s c o ,   C A ,   U S A ,   J u n e   29 - J u l y   0 1 ,   2 0 1 1 p p .   6 5 7 - 6 6 2 .   [2 4 ]   A .   Bro u ri ,   Y .   Ro ch d i ,   J .   B.   G n i n g ,   F .   G i ri ,   F. Z .   Ch a o u i ,   " Fr e q u en cy   Id e n t i f i c at i o n   o f   H a mme rs t e i n   S y s t em s   w i t h   S w i t c h   M em o r y   N o n l i n e ari t i e s ,”   1 8 t h   IF A W o r l d   C o n g r es s ,   Mi l an o ,   I t al y ,   A u g u s t   2 8 - Se p t e m b e 0 2 ,   2 0 1 1 ,   p p .   1 3 9 4 2 - 13 9 4 7 .   [2 5 ]   Y .   W an g ,   F.   D i n g ,   N o v e l   d at fi l t e r i n g   b as e d   p arame t e i d en t i fi c at i o n   f o mu l t i p l e - i n p u t   mu l t i p l e - o u t p u t   s y s t em s   u s i n g   t h e   au x i l i ar y   mo d el , ”  A u t o m a t i ca ,   v o l .   7 1 ,   p p .   3 0 8 - 3 1 3 ,   2 0 1 6 .   [2 6 ]   C.   Y u ,   M.   V e rh a eg e n ,   Bl i n d   mu l t i v ari ab l e   A RMA   s u b s p ac i d e n t i f i c at i o n , ”  A u t o m a t i ca ,   v o l .   6 6 ,   p p .   3 - 1 4 ,   2 0 1 6 .       B I OG RA P H I E S   OF   AU T HO RS       M o h a m ed  Be n y a s s i   h as   c o m p l e t e d   h i s   Mas t e d e g r ee   i n   Ph y s i c s   an d   Mat h em at i c s   fro m   Fa cu l t y   o Sci e n ce   an d   Mat h em at i c s   Ru s s i an   U n i v e rs i t y   M o s co w   U SSR  i n   1 9 9 1 .   I n   1 9 9 5   h e   rece i v e d   t h Ph .   D .   d eg r ee   i n   t h eo r e t i c al   P h y s i c s   fro t h e   s ame   U n i v e rs i t y .   S i n ce  2 0 0 4   h e   j o i n ed   t h e   H i g h   Sch o o l   o T ech n o l o g y   E ST M,   Mo u l a y   I s m a i l   U n i v e rs i t y   i n   M e k n e s   Mo r o cc o .   Pro f.   B en y as s i   j o i n e d   t h e   L E M2 A   L ab   as   m em b e i n   M o u l a y   I s m ai l   U n i v e rs i t y .   H i s   re s e ar c h   i n t e r e s t s   n o n l i n e ar  a n d   i n v e rs s y s t em s .   E . m a i l   :   b e n y as s i mo h a me d @ y a h o o . fr         A di l   Bro u ri   o b t ai n ed   t h e   A g rég at i o n   o E l ec t ri c al   E n g i n ee r i n g   i n   2 0 0 0 .   I n   2 0 1 2 ,   h e   o b t ai n ed   a   Ph . D .   i n   A u t o m at i c   Co n t ro l   fr o m   t h e   U n i v e rs i t y   o Mo h a mme d   5 ,   Mo r o cc o .   H e   h as   b ee n   Pro fe s s eu r - A g rég é  f o s e v e ra l   y e ars .   Si n ce   2 0 1 3   h e   j o i n e d   t h e   E N SA ( N at i o n al   H i g h e S c h o o l   o A rt s   T rad e s ),   Mo u l a y   I s m ai l   U n i v e rs i t y   i n   M e k n e s - Mo ro cco .   H e   o b t ai n e d   h i s   H D R   d eg r ee   i n   2 0 1 5   a t   t h e   E N S A M - M e k n e s   (Mo u l a y   I s m ai l   U n i v e rs i t y ).   H i s   re s e ar c h   i n t e r e s t s   i n c l u d e   n o n l i n e ar  s y s t em   i d e n t i f i c at i o n   an d   n o n l i n e ar  c o n t ro l .   H e   p u b l i s h ed   s e v e ra l   p ap e rs   o n   t h e s e   t o p i c s .   Pro f.   Bro u ri   j o i n e d   t h e   r e s e ar ch   t e a m   “I MSM”  an d   t h e   L 2 MC  L ab o rat o r y   as   a   p e r m an en t   mem b e r,   E N S A M,   Mo u l a y   I s m ai l   U n i v e r s i t y .   E - m a i l :   a. b ro u r i @ en s am - u m i . a c. m a   b ro u ri _ ad i l @ y a h o o . fr         S m a i l   Sl a s s i   i s   cu rr e n t l y   c o m p l e t i n g   h i s   Ph .   D .   u n d e t h e   s u p e r v i s i o n   o Pro f e s o A d i l   Bro u ri ,   E N S A M,   M o u l a y   I s m ai l   U n i v e rs i t y   M ek n ès   Maro c.   E - m ai l :   S m ai l . s l as s i @ g m a i l . c o m         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.